Sindbad~EG File Manager

Current Path : /usr/home/beeson/public_html/michaelbeeson/research/papers/
Upload File :
Current File : /usr/home/beeson/public_html/michaelbeeson/research/papers/LimitTheory.dvi

����;� TeX output 2003.09.23:0001�����������`��������'�':

cmti10�A���rticle���Submitte��}'d�to�Journal�of�Symb�olic�Computation����������Ӏ��N!���N�G�cmbx12�The�z�meaning�of�innit��u�y�in�calculus������`�aand�z�computer�algebra�systems��%>��p(���-�
cmcsc10�Michael���Beeson����2�&�-�
cmcsc10�1��	t��and�Freek�Wiedijk����2�2�������CM��^��ٓ�Rcmr7�1������San���Jos�����$�e�State�University������S���^��2�����University���of�Nijme��}'gen��"����3��4��N�cmbx12�Abstract�����4�5K�`y
�3
cmr10�W��ee��use�lters�of�op�M�en�sets�to�pro��!vide�a�seman�tics�justifying�formally�the��
����4use��&of�innit��!y�in�informal�limit�calculations�in�calculus,�and�in�the�same����4kind��/of�calculations�in�computer�algebra.�W��ee�compare�the�b�M�eha��!vior�of����4these�=�lters�to�the�w��!a�y�=�Mathematica�b�M�eha��!v�es�=�when�calculating�with�in-����4nit��!y��e.�:A�prop�M�er�seman�tics�for�computer�algebra�expressions�is�necessary����4not�H�only�for�the�correct�application�of�those�metho�M�ds,�but�also�in�order����4to���use�results�and�metho�M�ds�from�computer�algebra�in�theorem�pro��!v�ers.����4The�7�computer�algebra�metho�M�d�under�discussion�in�this�pap�er�is�the�use����4of��rewrite�rules�to�ev��dDaluate�limits�in��!v�olving��innit�y��e.�Unlik�e�in�other�areas����4of���computer�algebra,�where�the�problem�has�b�M�een�a�mismatc��!h�b�et��!w�een���a����4kno��!wn�seman�tics�and�implemen�tations,�w�e�here�pro�vide�the�rst�precise����4seman��!tics.����$����7��N�ffcmbx12�1.��*�1In���tro�s3duction������X�Qcmr12�In�K8calculus,�when�calculating�limits,�one�often�rst�uses�the�heuristic�of�`calcu-�����lating�^�with�innit��ry'�b�S�efore�trying�to�ev��X�aluate�the�limit�in�a�more�formal�w�a�y��V.�F�or����instance��one�`calculates':����������lim��33���-.��2cmmi8�x��K�cmsy8�!1���������k�1���)V�[��z�&�
�΍���g�cmmi12�x����+�1�����̸=������ō���1�����[��z� X֟
�΍�!",�
cmsy10�1����+�1�����)i�=�������1�����[��z��
�΍�1������=�UR0��{:��whic��rh�C5indeed�giv�es�the�correct�answ�er.�Ho�w�ev�er,�it�is�not�clear�what�the��8���@cmti12�me��ffaning�����of�5�this�use�of�the�sym��rb�S�ol�`�1�'�is,�and�wh�y�this�metho�S�d�w�orks.�This�problem�arises����in���calculus�textb�S�o�oks,���whic��rh�usually�a�v�oid�examples�of�suc�h�calculations�for�fear����of�v`lac��rk�of�rigor',�although�studen�ts�are�taugh�t�these�metho�S�ds�at�the�blac�kb�S�oard.����This�uRproblem�also�arose�in�the�design�of�the�rst�author's�soft��rw�are,�uRMathX-����p�S�ert�'(�1���;��3��	�#;��4��).�This�soft��rw�are,�'whic�h�is�designed�to�assist�a�studen�t�in�pro�S�ducing����step-b��ry-step��solutions�to�calculus�problems,�had�to�b�S�e�able�to�pro�duce�`ideal'������1����*������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�2�������������step-b��ry-step�4nsolutions�of�limit�problems.�Are�suc�h�`ideal�solutions'�allo�w�ed�to�����use���calculations�in��rv�olving���innit�y?�Or�are�those�calculations�just�priv��X�ate�prelim-����inary�K�considerations�in��rtended�to�guide�a�rigorous�pro�S�of,�just�as�Newton�regarded����calculus�bto�b�S�e�preliminary�computations?�MathXp�ert�do�es�allo��rw�calculations�in-����v��rolving���innit�y��V,�but�not�the�full�system�justied�in�this�pap�S�er,�since�that�go�es����b�S�ey��rond��what�one�nds�in�calculus�textb�o�oks.����!��In��kthe�Mathematica�system�(�12����)�the�approac��rh�of�calculating�with�innit�y�is����used.�#Since�Mathematica�giv��res�answ�ers,�rather�than�step-b�y-step�solutions,�one����will�!Dnot�notice�the�calculations�with�innit��ry��V,�in�cases�where�the�limit�turns�out�to����exist��(and�b�S�e�a�nite�n��rum�b�er).��But�in�fact,�in�Mathematica�there�is�a�complete����`calculus��of�innit��ry'�(and�some�related�sym�b�S�ols):������9߆�Tcmtt12�In[1]:=�,�1/(Infinity�+�1)�����Out[1]=�,�0����In[2]:=�,�Sqrt[Infinity]����Out[2]=�,�Infinity����In[3]:=�,�Infinity�-�Infinity����Infinity::indet:�����(�gIndeterminate�,�expression�(-Infinity)�+�(Infinity)�encountered.����Out[3]=�,�Indeterminate����In[4]:=�,�Indeterminate�+�Infinity����Out[4]=�,�Indeterminate����In[5]:=�,�Sin[Infinity]����Out[5]=�,�Interval[{-1,�1}]����In[6]:=�,�1/Interval[{-1,�1}]����Out[6]=�,�Interval[{-Infinity,�-1},�{1,�Infinity}]����In[7]:=�,�Interval[{-1,�1}]*Interval[{-1,�1}]����Out[7]=�,�Interval[{-1,�1}]����In[8]:=�,�Interval[{-1,�1}]^2����Out[8]=�,�Interval[{0,�1}]����In[9]:=�,�0*Sin[Infinity]����Out[9]=�,�Interval[{0,�0}]����In[10]:=�,�Infinity/Sin[Infinity]����Out[10]=�,�Interval[{-Infinity,�-Infinity},�{Infinity,�Infinity}]����In[11]:=�,�Infinity/Sin[Infinity]^2����Out[11]=�,�Interval[{Infinity,�Infinity}]������Other��\computer�algebra�systems�implemen��rt�similar�calculi.�F��Vor�instance,�the�����֠�����`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�3�������������Maple�WQsystem�(�8���)�uses�the�sym��rb�S�ols��infinity��and��undefined��in�answ�ers�to�limit�����problems.�����2�|{Ycmr8�1������!���It�Oeis�w��rell�kno�wn�that�man�y�computer�algebra�pac�k��X�ages�mak�e�errors.�(See�for����example���(�11����)�and�(�2���).)�One�of�the�reasons�for�that�is�that�they�fail�to�c��rhec�k���the����pre-conditions�}�or�`side�conditions'�that�m��rust�b�S�e�satised�for�a�simplication�rule����to�A�b�S�e�applicable.�F��Vor�example,�b�efore�applying��������p���A������z�mV�
_��x������2������@�=��O�x��w��re�need�to�c�hec�k�that�����x�UR���0.���Systematically�k��reeping�trac�k�of�suc�h�assumptions�is�dicult.�����2�2���}��The�errors����in��computer�algebra�systems�sometimes�giv��re�the�impression�that�those�systems����place�4�a�higher�priorit��ry�on�p�S�erforming�as�man�y�simplications�as�p�S�ossible�than�on����ensuring��Athat�only�correct�computations�are�p�S�erformed.�Generally��V,�`ev��X�aluation����errors'��Kwhic��rh�users�complain�ab�S�out�are�tak�en�care�of�on�an��ad��ho��ffc�h\�basis�only��V,�to����get��rid�of�the�most�em��rbarrassing�ones.����!��Related�$Ato�these�errors�is�the�fact�that�these�systems�ha��rv�e�$Ano�unied�seman-����tics��}for�their�expression�language.�In�this�pap�S�er�w��re�fo�cus�on�the�apparatus�for����limits���and�oer�a�solution:�a�seman��rtics�explaining�and�supp�S�orting�the�use�of�in-����nities���in�limit�calculations.�W��Ve�will�presen��rt�a�formal�seman�tics�of�limits,�whic�h����not�̷only�explains�the�calculations�usually�p�S�erformed�with�innities,�but�oers����some�39extensions�b��ry�in�tro�S�ducing�some�other�sym�b�S�ols�for�common�w�a�ys�in�whic�h�a����function�F�can�fail�to�ha��rv�e�F�a�limit.�Th��rus,�w�e�will�b�S�e�able�to�get�an�answ�er�b�y�calcu-����lation�P�for�suc��rh�a�limit�as��lim����a���x�!1���+�V�1�=�(�2���+��sin��Ŀx��+sB�)��o��whic�h�will�b�S�e�`oscillations�through����the�"in��rterv��X�al�[�����Fu��33�1��33����z�@���3������j�;����1]'.�W��Ve�then�compare�the�resulting�seman�tics�to�the�b�S�eha�vior�of����Mathematica��Gas�illustrated�ab�S�o��rv�e.��GThere�is�a�rough�general�corresp�ondence,�and����our�ŭseman��rtics�agrees�with�some�of�the�examples�ab�S�o�v�e,�but�in�some�instances����Mathematica���do�S�es�giv��re�incorrect�answ�ers,�and�in�some�cases�w�e�are�able�to�dis-����tinguish��db�S�et��rw�een�iden�tical�Mathematica�expressions�whic�h�are�dieren�t�in�our����seman��rtics.����!��W��Ve�)�will�represen��rt��1��and�its�cousins��;��R6cmss12�indeterminate��and��interval��b�y��lters�'��o�v�er����some�dunderlying�top�S�ological�space.�In�calculus�textb�o�oks�this�is�the�space�of�real����n��rum�b�S�ers,��?but�it�could�also�b�e�the�complex�n��rum�b�ers��?or�more�general�spaces.�(As����w��re�$vshall�see,�Mathematica�is�a�bit�sc�hizophrenic�ab�S�out�whether�it�is�w�orking����with�A�the�reals�or�the�complex�n��rum�b�S�ers,�A�but�for�most�of�our�w��rork�the�reader����will���do�w��rell�to�k�eep�the�reals�in�mind.)�F��Vor�eac�h�p�S�oin�t�of�the�space�there�will����b�S�e���a�lter�asso�ciated�with�it,�whic��rh�is�called�the��p�rincipal��lter�of�the�p�S�oin�t.�F��Vor����eac��rh���function�on�the�space�there�will�b�S�e�a��lifte��ffd���v�ersion�that�w�orks�on�the�lters����instead��of�on�the�p�S�oin��rts.����!��F��Vurthermore�vw��re�will�dene�classes�of�lters�called�the��interval�Q	�lters�and�the�����c��ffonne�cte�d��ֹlters.�TCIt�will�turn�out�that�those�t��rw�o�TCclasses�coincide�and�that�con-�������#����^��1����(�K�`y

cmr10�There�*�is�also�some�notion�of�in���terv��q�al�in�Maple,�written�as��:��<x

cmtt10�1�..�2�,�but�our�attempts�to����calculate�Rwith�these�terms�led�only�to�error�messages.�These�terms�seem�primarily�to�b�Ge�used����for�UUgenerating�in���teger�sequences,�although�the�answ�er�to��lim���8���	0e�rcmmi7�x�O!�cmsy7�!1���'�<�sin��5��
�b>

cmmi10�x��comes�out�as��-1�..�1�.���������#����^��2����(�Some�&�of�these�diculties�ha���v�e�&�to�do�with�complex�n���um�b�Gers;�&�these�can�b�e�as�simple�as�the����failure�"�of�the�rule��log��
�(�xy�[ٲ)��=��log�����x���+��log��W;�y��,�"�or�m���uc�h�"�more�delicate;�see�the�discussion�in�(�6��).����Ho���w�ev�er,�θw�e�emphasize�that�there�are�plen�t�y�of�diculties�ev�en�when�using�only�real�n�um�b�Gers.�����x������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�4�������������nectedness�|Gof�lters�is�preserv��red�under�con�tin�uous�mappings.�Also�w�e�will�dene�����the���join��X�and�the��me��ffet��of�t��rw�o��lters.����!��It�=&turns�out�that�the�calculus�used�in�Mathematica�corresp�S�onds�directly�to�the����set��of�nite�joins�of�in��rterv��X�al�lters.��$����2.��*�1Related�ffw���ork������First,�~�in�top�S�ology��V,�the�t��rw�o�~�standard�approac��rhes�for�dening�limits�in�top�ological����spaces��smak��re�use�of��nets��P�or��lters�.�There�is�therefore�nothing�original�in�the�use����of�a lters�to�analyze�the�notion�of�limits.�Ho��rw�ev�er,�a our�fo�S�cus�to�use�them�in�an����applied�xZsetting,�and�iden��rtify�sp�S�ecic�lters�asso�ciated�with�`extra-mathematical'����sym��rb�S�ols��suc�h�as��1�,�seems�to�b�S�e�new.����!��Second,��Fthe�in��rterv��X�al�lters�are�directly�related�to�the�activ�e�eld�of��interval����arithmetic�.�b�W��Ve�thro��rw�a�new�ligh�t�on�the�calculations�with�in�terv��X�als�b�y�lo�S�oking����at��them�as�lters.����!��Third,�BWjustifying�`calculations�with�innite�ob��jects'�rigorously�is�close�to�doing����the��0same�with�`calculations�with�innitesimal�ob��jects',�whic��rh�is�the�domain�of�����nonstandar��ffd�~�analysis�.�SmIn�nonstandard�analysis�one�also�has�innit��ry�as�a�rst����class�:tcitizen,�but�in�nonstandard�analysis�there�is�not��one�,�designated,�innit��ry;����instead�h�there�are�man��ry�innite�nonstandard�n�um�b�S�ers,�without�a�`canonical'�one.����In�JDour�case�there��is��a�canonical�innit��ry��V.�T�o�illustrate�this�dierence�concretely�,����let��|�!�M��b�S�e�the�innit��ry�of�nonstandard�analysis�and�let��1��b�e�the�innit��ry�of�our����lter��calculus.�Then�w��re�ha�v�e��!��+���1�UR�6�=��!�n9�,��but��1��+�1�UR=��1�.����!��The�l�simplest�w��ra�y�l�to�get�non-standard�ob��jects�also�emplo��rys�a�lter,�but�this����has� to�b�S�e�a�sp�ecial�kind�of�lter�called�an��ultr��ffalter�.�Also�this�lter�con��rtains����arbitrary��sets�instead�of�only�op�S�en�sets�(as�is�the�case�for�the�lters�that�are����studied�G
in�this�pap�S�er).�Another�imp�ortan��rt�dierence�is�that,�in�con�trast�to�our����approac��rh,�	}in�this�construction�there�is�only��one��-�lter�in�v�olv�ed.�The�non-standard����ob��jects��in�this�construction�are�not�lters�themselv��res.����!��Nonstandard��analysis�has�b�S�een�used�in�(�5���)�to�help�in�the�computation�of�limits����in��a�computer�algebra�system.��$����3.��*�1Filters,�fflifting,�renemen���t�and�limits��������Denition:���R���Let�9�X�	��b�S�e�a�top�ological�space.�Denote�the�op�en�sets�of��X�	��b��ry��O�UV�(�X��).����A���lter�35on��X��+�is�a�set��A�UR��O�UV�(�X��)�that�satises:��"������&d������8�U��6�2�UR�A:����8�V����2�O�UV�(�X��)�:�U��6���V����)��V��2��A��������~��8�U��6�2�UR�A:����8�V����2��A:�U���\����V����2��A�����"US���In�xw��rords:�a�lter�is�a�set�of�op�S�en�sets�that�is�closed�under�sup�ersets�and�nite����in��rtersections.��The�collection�of�lters�on��X��+�is�written����x��NL������X������.����!��A�z�lter�z�that�do�S�es�not�con��rtain�the�empt�y�set�is�called��pr��ffop�er�.�z�A�z�lter�that�do�S�es����not��con��rtain�an�y�set�at�all�is�called��empty�.�����&�������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�5�������������Often��7the�prop�S�ert��ry�of�b�eing�prop�er�is�made�part�of�the�denition�of�a�lter.�W��Ve�����did�ZJnot�do�this,�b�S�ecause�then�w��re�w�ould�b�S�e�unable�to�dene�the�notion�of��me��ffet�����in��Section�4.2�b�S�elo��rw.�Sometimes�the�prop�ert��ry�of�b�eing�non-empt��ry�is�made�part����of�}�the�denition�of�a�lter�to�S�o.�Ho��rw�ev�er�}�the�empt��ry�lter,�whic�h�is�called��domain-����erro��rr����b�S�elo�w,�p�is�essen��rtial�to�our�application.�W��Ve�found�v��X�arian�ts�of�the�denition�of����lter��in�the�literature,�b�S�oth�allo��rwing�for�improp�er�(�7���)�and�for�empt��ry�(�9��)�lters.����Therefore��w��re�feel�free�to�dene�the�concept�of�lter�to�suit�our�purp�S�oses.����!��In���the�top�S�ological�literature�a�lter�is�generally�not�dened�on�a�top�ological����space��but�on�an�arbitrary�set.�In�that�case�the�restriction�to�op�S�en�sets�is�not����presen��rt.�L�Ho�w�ev�er,�for�our�application�it�is�more�natural�to�restrict�ourselv�es�to����lters��of�op�S�en�sets.���W�����Denition:���R���Here�M�are�some�common�lters�on�the�real�n��rum�b�S�ers,�M�where��a��$�2��#���
msbm10�R�Mֹis����an��arbitrary�real�n��rum�b�S�er:���̍����@���imp��rrop�S�er��o���URy�������������bO�UV�(�R�)����������)pl�domain-erro��rr��k���UR?�������������b;���������"`q�indeterminate��ha����UR$��������������bf�R�g���������2���p��rrincipal��[�%�(�a�)�UR����zչ����a����������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j��a��2��U�@��g���������%��=������b�f�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�a������";���a��+��"�)����U�@��g���������D���left��Tv��(�a�)�UR���a��������������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�a������";���a�)����U�@��g���������=���right��Tv��(�a�)�UR���a�����+���������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�a;�a����+��"�)����U�@��g���������#��punctured��Tv��(�a�)�UR���a��������������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�a������";���a�)��[��(�a;�a��+��"�)�UR���U�@��g���������C��innit��ry��ha���UR1�������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(1�=";��1�)����U�@��g���������E�minus-innit��ry��_���UR1�������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�1�;���1�="�)����U�@��g���������-�
�bi-innit��ry��_���UR1�������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j�9�"��2��R����>�0��\|�:��(�1�;���1�="�)����[��(1�=";����1�)����U�@��g���������?���p�S�ositive��ha����UR!��������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j��(0�;��1�)����U�@��g���������<�"�negative��ha����UR ��������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j��(�1�;��0)����U�@��g���������1���non-zero��_���UR�!��������������bf�U��6�2�URO�UV�(�R�)����j��(�1�;��0)����[��(0�;����1�)����U�@��g�����W���F��Vor��peac��rh�of�these�lters�w�e�ha�v�e�a�`long'�and�a�`short'�notation.�The�rst�four�����lters�ɟcan�b�S�e�dened�for�an��ry�top�ological�space.�The�other�lters�ha��rv�e�ɟanalogues����in��an��ry�order�top�S�ology��V.�������Denition:���R���Let���again��X��M�b�S�e�a�top�ological�space.�Let��A��b�e�a�collection�of�subsets����of�꨿X��+�(not�necessarily�op�S�en)�that�satises:���̍��~�U�8�U��6�2�UR�A:����8�V����2��A:��9�W���2��A:�W�����U���\����V������w�(��)������The���lter�35gener��ffate�d�by��A�꨹is�dened�to�b�S�e:�����evS�generated-b��ry���x�(�A�)�UR��f�U��6�2�O�UV�(�X��)����j�9�V����2�UR�A:�V���UR�U�@��g�����The��collection�of�sets��A��is�called�a��b��ffasis�腹of�the�lter���generated-b��ry��B�͹(�A�).�����4>������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�6�������������The���simpler�prop�S�ert��ry�of�b�eing�closed�under�nite�in��rtersections�implies�(��).�If�all�����elemen��rts�p�of��A��are�op�S�en�sets,�the�lter�generated�b�y��A��is�the�in�tersection�of�all����lters��that�con��rtain��A��as�a�subset.����!��The�eTlters�that�are�dened�in�this�section�can�b�S�e�dened�more�naturally�using����the��notion�of�a�generated�lter.�F��Vor�instance,�w��re�ha�v�e:��,/Ս���&e����m���imp��rrop�S�er�����љ�=������!�generated-b��ry���F�(�f;g�)��������`���p��rrincipal�����(�a�)����љ=������!�generated-b��ry���F�(�ff�a�gg�)�������r��right�����(�a�)����љ=������!�generated-b��ry���F�(�f�(�a;���a����+��"�)��j��"�UR�2��R����>�0��\|�g�������w���innit��ry�����љ�=������!�generated-b��ry���F�(�f�(1�=";����1�)��j��"�UR�2��R����>�0��\|�g��������All��other�lters�in��rtro�S�duced�here�can�b�e�dened�in�a�similar�w��ra�y��V.���q�����Denition:���R���Let��f��#�:�L$�X�=��!��X���b�S�e�some�(p�ossibly�partial)�function�with�domain������dom��,1�(�f�G��).��The��lift�35of��f�2��is��a�function����W��yR��*����f���R��:����x���������UR�X���\��!����x����������UR�X���A�,�dened�b��ry:��Z������W��`T��*���]�l�f���d��(�A�)�UR����generated-b��ry�����AȰ�(����FZt�f�f�G��[�U�@�]����j��U��6���UR�dom���
(�f��)����^��U��6�2�UR�A�g����)�������This�u)denition�can�b�S�e�generalized�to�arbitrary�arities.�The�function����W�����*����f���
�"�:����x���������UR�X����������x��N���������X���'C�������:���:�:��&uH�����x��L���������X������!����x����������UR�X�����is��dened�b��ry�(where��f�G��[�U�@�]�is�the�image�of�the�set��U�+��under��f��):��%������fd������W��%O���*���"�6�f���)�ݹ(�A���̽1����;���A���̽2���;��:�:�:��ʜ;�A����n���P�)�UR���������.�.�generated-b��ry�����l�(����q�P�f�f�G��[�U�@�]����j��U��6���UR�dom���
(�f��)����^����4j�U��6�=�UR�U���̽1��j������U���̽2������:���:�:������U����n��R��^�������4j�U���̽1��V�2�UR�A���̽1��j��^����U���̽2���2��A���̽2��j��^�����:���:�:����^����U����n�����2��A����n���P�g����)��������%|Í�Although�5z�f�}y�can�b�S�e�a�partial�function,�the�lift�of��f��is�alw��ra�ys�5ztotal.�One�can�get����rid���of�the�problems�of�partial�functions�in�calculus�b��ry�lifting�the�whole�theory����to��lters.�In�some�sense�b��ry�going�to�lters�w�e�are�adding�a�`b�S�ottom�elemen�t'��?�����to��Qthe�v��X�alues�of�the�theory��V.�Lo�S�ok��red�at�in�this�w�a�y��V,�w�e�ha�v�e�a��strict�ᕹpartial�logic,����b�S�ecause��a�function�applied�to��?��will�alw��ra�ys��giv�e��?��again.����!��Note��]also�that�the�denitions�of���������a���q��as�a�principal�lter�and�as�lift�of�a�0-ary����constan��rt��function�coincide.�This�justies�using�one�notation�for�b�S�oth.����!��F��Vrom�g�no��rw�on�w�e�will�often�write��f����instead�of����W������*����f���⟹when�one�or�more�of�the����argumen��rts���of��f���are�lters.�So�w�e�will�write��sin��(�A�)�instead�of�������z�m�	g}�sin���(�A�).�This�will����allo��rw��us�to�write�things�lik�e�������p���
ꪟ���z���
(���A�������,�and�mean�the�lift�of�the�square�ro�S�ot�function.����!��T��Vo�nstate�this�con��rv�en�tion�nmore�precisely:�if��t�[�x���̽1����;����:�:�:��ʜ;���x����n���P�]�is�a�term�that�do�S�es�not����in��rv�olv�e�S�lters�(so��x���̽1����;����:�:�:��ʜ;���x����n��	��are�v��X�ariables�ranging�o��rv�er�S�the�ordinary�reals)�then�����t�[�A���̽1����;����:�:�:��ʜ;���A����n���P�]��will�mean�the�lift�of�the�function��x���̽1������������x����n���P�:�t�[�x���̽1����;��:�:�:��ʜ;�x����n���]��applied����to�Z�the�lters��A���̽1����;����:�:�:��ʜ;���A����n���P�.�Note�that�with�this�con��rv�en�tion�Z�1�=��X�A��means�something����dieren��rt�;from���n������1���	�7�=��X�A�.�The�rst�is�the�lift�of�the�unary�function��x:����1�=x��applied�to�����A�.��*The�second�is�the�lift�of�the�binary�function��x���y�n9:�x=y�6c�applied��*to���n������1���pPand��A�.����Those��are�not�necessarily�equal:�1�=�1����2�+��
qʹ=�UR1����2��� �but���n������1���	ʤ�=�1����2�+���=���n�UR�����UR1���	5N.���q�����Denition:���R���The���lter�4�limit�ȹof�the�function��f��|�:�X}�X�J�!��X���when��taking�the�limit�to����the��lter��A��is�dened�to�b�S�e:���������Lim��ww���8N�x�!�A����>��f�G��(�x�)�UR�����W�����*����f���
g��(�A�)�����C_������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�7�������������W��Ve��Bdistinguish�a�lter�limit�from�an�ordinary�limit�b��ry�writing�`Lim'�with�a�capital�����letter�-L.�Note�that�the�lter�limit�is�alw��ra�ys�-dened,�ev��ren�for�non-con�tin�uous��f�G��.����It�p�migh��rt�seem�silly�to�in�tro�S�duce�a�new�notation�for�this�when�w�e�already�ha�v�e����dened��lifting,�as�it�is�the�same�op�S�eration.�Ho��rw�ev�er,��no�w�w�e�can�write:��������/�Lim��p��ː�x�!�0�������Aa�cmr6�+������5`�x=x��������whic��rh��is�something�dieren�t�from�������0�����+��x�=����0�����+�������The��3rst�is�the�lift�of�the�unary�function��x:���x=x��applied�to�0����2�+��
諹and�has�v��X�alue���n������1���	�/.�����The��second�is�the�lift�of�the�binary�function��x���y�n9:�x=y��0�applied��to�the�pair�(0����2�+��x�;����0����2�+���)����and��has�v��X�alue���!��ꪹ.��������Denition:���R���A���lter���A��r��ffenes��ʹa�lter��B���,�notation��A�cf�v��B���when���A����B��as���collec-����tions��of�op�S�en�sets.�When�the�t��rw�o��lters��A��and��B����dier�w��re�write��A�UR� ����
msam10�@��B���.����Here�6�are�some�renemen��rt�relations�b�S�et�w�een�the�lters�dened�on�page�5.�F��Vor�an�y����prop�S�er��and�non-empt��ry�lter��A��w�e�ha�v�e:������C<�y�UR�@��A��v��$�����@��?�����A��rt��an�y�real�n�um�b�S�er��a�UR�2��R��w��re�ha�v�e:������V�a�������
q��@�UR�a��������@���zչ����a���	�S;�
��a�����+���@��a��������@���zչ����a�������and��the�`innite'�lters�are�related�b��ry:����z��1�UR�@��1��@���$��UT�;�
���1��@��1��@���$���;�
���1��@��� �����@���!���@���$���;�
���1��@���!�����@���!���@���$������Note���that�the�lters�dened�on�page�5�are�not�the�only�ones.�There�are�man��ry�����`wild'��Tlters�rening���������a���ũ�and��1�.�F��Vor�instance�the�lter�generated�b��ry�the�sets�����f�2��n9n����j��n�UR>�N�@��g�_T�is�a�lter�whic��rh�renes��1�.�It�has�the�prop�S�ert�y�that�the�lter�limit����of���sin��Bnto��this�lter�is���n������0���	ʤ.����!��W��Ve��>can�no��rw�state�the�rst�theorem,�whic�h�lists�some�of�the�man�y�calculation����rules��that�one�needs�for�arithmetic�on�lters:��������Theorem���3.1:���kU��L��ffet�35�a�UR�2��R����>�0�����b�e�35some�p�ositive�r�e�al�numb�er.�Then:��/UR����&e���)�-�1����+����+����a�����T��=���g���1�������)�^1�������+�����a�����T��=���g���1������$%,1����+��1���T��=���g���1������#�]1����1���T��=����g���$�������&e����������������a����چ=���n�����0��������~=���ƾ�?�������������������
�a�����=�0����2�+�������~�=���ƾ�1������������������
�a�����=�0����2��������~�=���ƾ�1����������0����2�+��x�=�0����2�+������~�=����ƾ�!�������&e��������A�����h��a�����=�1����s��=���0�E0����2�+������������8�����g�a����>h=��1�����s��=���0�E0����2�������������A�����h��a�����=��!�����s��=����0�E�!������������A�����h��a�����=��$�����s��=���0�E�?������&e�����n�Y�ǹ�����Y��0���a���1���w�ù=������K�$��������T�M�0����2�+��x�1���w�ù=������K�!�������T�M�0����2���x�1���w�ù=�����K��!�������S��1���1���w�ù=�����K�1��������U�������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�8���������������Pr��ffo�of:���:�N�W��Ve��Vwill�sho��rw�only�the�pro�S�of�for�the�next�to�last�calculation�rule,�0����2���x�1�UR�=�������!���.�^�The�other�pro�S�ofs�are�similar.�T��Vo�pro��rv�e�^�this�rule,�w��re�need�to�sho�w�that�b�S�oth����0����2���x�1�UR��!��ꪹand��0����2����1���!���.����!��So���supp�S�ose�that�w��re�ha�v�e��V���2�I �0����2���x�1�.�Then�b�y�the�denition�of�lift�of�the����m��rultiplication�function�there�are��U���̽1��>��2�~�0����2�����and��U���̽2���2�~�1��suc��rh�that��U���̽1����U���̽2����~�V��p�.�By����the��Mdenitions�of�0����2���
�Źand��1��w��re�ha�v�e�for�some�p�S�ositiv�e��"���̽1���Q�and��"���̽2���that�(��"���̽1����;����0)����[�����(0�;���"���̽1����)��N���U���̽1���ùand�'�(1�="���̽2���;����1�)����U���̽2���.�'�No��rw�to�sho�w�that��V�Y��2��N�!���,�w�e�need�to�sho�w����that�C�for�an��ry��x��"�6�=�0�C�w�e�ha�v�e�that��x��"�2��V��p�.�C�Consider�some�p�S�ositiv�e��"��smaller�than�����"���̽1��	�and�N
�"���̽2����=�j�x�j�.�Then��x��|�2��V��z�follo��rws,�N
b�S�ecause�w�e�ha�v�e�that��"��|�2��U���̽1��	�and�N
��"��2��U���̽1����,����and���b�S�ecause�b��ry��j�x�j�="�UR>��j�x�j�=�(�"���̽2����=�j�x�j�)�=�1�="���̽2��`޹w�e���ha�v�e�that��j�x�j�="�UR�2��U���̽2����.���Hence�b�S�oth�����j�x�j�UR2��V���and���j�x�j�2��V��p�,�and�so��x��2��V��p�.����!��F��Vor��the�other�inclusion,�supp�S�ose�that��V��z�2�M
�!���,�whic��rh�b�y�denition�means����that���(�1�;����0)��o�[��(0�;��1�)�UR���V��p�.���T��Vak��re��U���̽1����and��U���̽2���b�S�oth�to�b�e�(�1�;����0)��o�[��(0�;��1�).���Then�����U���̽1�����2�$�0����2�����and�d��U���̽2���2�1�.�d�Clearly��U���̽1����U���̽2����=�(�1�;����0)����[��(0�;��1�)�d�as�w��rell,�so��U���̽1����U���̽2������$�V��p�,����and��therefore��V����2�UR�0����2���x�1�.��D�Tq�
lasy10�2���Z���Note��vthat,�although�the�lift�of�division�is�a�total�function,�`division�b��ry�zero'�is����still�1inot�allo��rw�ed�1iin�a�sense,�b�S�ecause�the�result�of���V�����a���\j=���n�����0���eis��domain-erro��rr�.�This�is����essen��rtially�Vedieren�t�from�the�w�a�y�that�Mathematica�b�S�eha�v�es.�W��Ve�will�come�bac�k����to��this�in�Section�5����!��The�ωnext�theorem�tells�us�ho��rw�to�ev��X�aluate�the�lift�of�a�con�tin�uous�function�in����a��p�S�oin��rt:���������Theorem���3.2:���kU��L��ffet�b�f���b�e�a�function�that�is�c�ontinuous�and�monotonic�al���ly�in-����cr��ffe�asing�35in�a�neighb��fforho�o�d�35of��a�.�Then:��0o�����W��<2Ϲ��*���9�%�f���@�̹(���%����a���+�)�UR=�����`�z�a0�
p���f�G��(�a�)������;����W�������*����f�����(�a�������x�)�=��f�G��(�a�)��������;����W�������*����f�����(�a��������)�=��f�G��(�a�)��������;����W�������*����f�����(�a�����+���)�=��f�G��(�a�)�����+����Z�����Pr��ffo�of:���:�N�W��Ve��will�sho��rw�only�the�pro�S�of�of�the�last�equalit�y��V.�The�other�pro�S�ofs�are����similar.��T��Vo�pro��rv�e��that����W��+���*����f���
���(�a����2�+��x�)�UR=��f�G��(�a�)����2�+��
���w��re��need�to�sho�w�that�b�S�oth����W��+���*����f���
���(�a����2�+��x�)�UR���f�G��(�a�)����2�+������and����W��yR��*���꨿f���
�O�(�a����2�+��x�)�UR���f�G��(�a�)����2�+���.����!��So��Zsupp�S�ose�that��V����2����W�����*���UR�f���
g��(�a����2�+��x�).�Then�there�is�a��U��6�2�UR�a����2�+��ҹsuc��rh�that��f�G��[�U�@�]����V��p�,�and����b�S�ecause���U��6�2�UR�a����2�+��
$�there�is�a�p�ositiv��re��"��with�(�a;���a���+��"�)�UR���U�@�.��W��Ve�ma�y�assume�that��"��is����small�6�enough�that��f�~��is�con��rtin�uous�6�and�monotonically�increasing�on�[�a;���a�:��+��"�],�6�and����this��implies��f�G��[(�a;���a��c�+��"�)]���=���(��k�f��(�a�)�;���f��(�a�)���+����s2�)���V�with�����ٹ=��f��(�a��c�+��"�)����f��(�a�).��Therefore������(���Ŀf�G��(�a�)�;���f��(�a�)���+����s2�)���h�
��UR�f�G��[�U�@�]����V��p�,��and�hence��V����2�UR�f��(�a�)����2�+��x�.����!��F��Vor�#�the�other�inclusion,�supp�S�ose�that��V��2�j��f�G��(�a�)����2�+��x�,�so�for�some�p�ositiv��re����%�it����holds���that���(��X��f�G��(�a�)�;���f��(�a�)���+����s2�)���Ve���UR�V��p�.�Because��f�ٹis�con��rtin�uous���in��a��there�is�a�p�S�ositiv��re�����"�By�suc��rh�that��f�G��[(�a��r���";���a��+��"�)]��������(��|��f��(�a�)��������;���f��(�a�)�+����s2�)���f߃.�ByAgain�w��re�ma�y�assume�that�����"�J׹is�small�enough�that��f��ֹis�monotonically�increasing�on�[�a��p���";���a��+��"�],�J�whic��rh����giv��res����f�G��[(�a;���a�&��+��"�)]��������(��	ÿf��(�a�)�;���f��(�a�)���+����s2�)���SԺ,���and�therefore��f��[(�a;���a�&��+��"�)]������V��p�.���Because����(�a;���a����+��"�)�UR�2��a����2�+��x�,��this�implies�that��V����2����W�����*���UR�f���
g��(�a����2�+���).����2���Z���Similar���theorems�hold�for�decreasing�functions�and�functions�at�a�lo�S�cal�maxim��rum����or��minim��rum.����!��The��next�theorems�sho��rw�ho�w�to�ev��X�aluate�lter�limits:�����	b�������`����s��Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�]�9���������������Theorem���3.3:���kU��Bringing�35lter�limits�inside�expr��ffessions:�������-�k�Lim��ww��.L�x�!�A���DS�f�G��(�g���̽1����(�x�)�;���g���̽2���(�x�)�;��:�:�:��ʜ;�g����n���P�(�x�))�UR�v����W�����*����f���
g��(��Lim��ww��_h�x�!�A���e��g���̽1����(�x�)�;����Lim��ww��_f�x�!�A���e��g���̽2���(�x�)�;��:�:�:��ʜ;����Lim��ww��_f�x�!�A���e��g����n���P�(�x�))���������Pr��ffo�of:���:�N�Dene�0f�h�(�x�)��=��f�G��(�g���̽1����(�x�)�;����:�:�:��ʜ;���g����n���P�(�x�)).�T��Vo�pro��rv�e�the�statemen�t�w�e�need�to�����sho��rw�x�that����W������*����h���
<M�(�A�)�UR�v����W�����*����f���
g��(���@0���g���̽1����
`[�(�A�)�;����:�:�:��ʜ;����T�������g����n����
H��(�A�)),�x�whic�h�amoun�ts�to����W��m��*����f���
�j�(���@0���g���̽1����
`[�(�A�)�;����:�:�:��ʜ;����T�������g����n����
H��(�A�))�UR��������W��9���*����h���Ê�(�A�)����!��So���supp�S�ose��W����2����W��洹��*���X
�f���j��(���@0���g���̽1����
`[�(�A�)�;����:�:�:��ʜ;����T�������g����n����
H��(�A�)).�That�means�that�there�are��V����i�����2���ꥹ���X
�g����i����
];�(�A�)����with���V���̽1��0a���p]��������p]�V����n�������UR�dom���
(�f�G��)�and��f��[�V���̽1��0a���p]��������p]�V����n���P�]�UR���W��ƹ.��This�implies�that�there����are�h��U����i���.�2�,T�A��with��U����i�����,T�dom��^(�g����i��dڹ)�and��g����i���[�U����i���]�,T���V����i���.�h�No��rw�dene��U�m8�=�,T�U���̽1�����\���������N\���U����n���P�,����then��R�U����2�v˿A�,��U����v˹dom����(�g����i��dڹ)�and��g����i���[�U�@�]�v����V����i���,��Rwhic��rh�then�implies�that��U������v˹dom����(�h�)����and�꨿h�[�U�@�]�UR���W��ƹ.�Therefore��W���2����W��s����*����h���
ܹ(�A�).��0a�2������Note��that�this�theorem�also�holds�for�non-con��rtin�uous�꨿f�G��.����!��As��can�example�of�the�fact�that�w��re�do�not�alw�a�ys�ha�v�e�equalit�y�here,�not�ev�en����when��all�functions�are�con��rtin�uous,��consider:�� �S�����d������Lim����tx���x�!1����o�(�x������x�)�UR=��Lim��������x�!1��0�0�=���n������0���������u�(�Lim���e����x�!1��,���x�)������(�Lim���e����x�!1���x�)�UR=��1����1�UR�=���$������!�)���This��agrees�with�the�theorem,�since���n������0���
��v��UR$��UT�.�������Theorem���3.4:���kU��Monotonicity�35with�r��ffesp�e�ct�35to�r��ffenement:�����%�ݿA���̽1��V�v�UR�B���̽1����;���A���̽2���v��B���̽2����;����:�:�:��ʜ;���A����n�����v��B����n���)����W�����*����f���
g��(�A���̽1����;���A���̽2���;��:�:�:��ʜ;�A����n���P�)�UR�v����W�����*����f���
g��(�B���̽1����;�B���̽2���;��:�:�:��ʜ;�B����n���P�)�������Pr��ffo�of:���:�N�Let��տV�xE�b�S�e�giv��ren�with��V��E�2����W��~���*����տf���|�(�B���̽1����;����:�:�:��ʜ;���B����n���P�).�Then�there�are��U����i��T��2��տB����i��@��with�����U���̽1�������'�������O��'ʿU����n�������UR�dom���
(�f�G��)�-Aand��f��[�U���̽1�������'�������O��'ʿU����n���P�]�UR���V��p�.�-ABecause��A����i���,�v�UR�B����i��dڹ,�also��U����i���2�UR�A����i��dڹ,����whic��rh��implies�that�also��V����2����W�����*���UR�f���
g��(�A���̽1����;����:�:�:��ʜ;���A����n���P�).�����2�����T��Vogether�ڀthese�t��rw�o�ڀtheorems�allo��rw�one�to�ev��X�aluate�a�lter�limit�`up�to�renemen�t'����b��ry���substituting�the�lter�inside�the�expression.�Often�this�renemen�t�do�S�es�not����h��rurt,��b�S�ecause�the�righ�t�hand�side�will�b�S�e�a�renemen�t�of���B����a���d�or��1��an�yw�a�y��V,�allo�wing����us��)to�apply�the�next�theorem,�whic��rh�giv�es�the�relation�b�S�et�w�een�lter�limits�and����the��usual�kind�of�limits:��������Theorem���3.5:���kU��Limit�35c��fforr�esp�ondenc�e�the�or�em:�����������lim��33���To�x�!�a����!+�f�G��(�x�)�UR=��b���������,��������޹Lim��p�����x�!�a������q�%cmsy6�����噿f�G��(�x�)�UR�v����W���ɹ��*����b������Af���������lim��p���8�x�!�a�����+�����!+�f�G��(�x�)�UR=��b���������,�������󓈹Lim��p�����x�!�a�����+������f�G��(�x�)�UR�v����W���ɹ��*����b�������������ӹlim��33���X6�x�!1����!+�f�G��(�x�)�UR=��b���������,��������n�Lim��33�����x�!1���	���f�G��(�x�)�UR�v����W���ɹ��*����b���������
w�������`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?10���������������Pr��ffo�of:���:�N�W��Ve�umwill�sho��rw�only�the�pro�S�of�of�the�rst�equiv��X�alence.�The�other�pro�ofs�are�����similar.�����(�)�)��Let�b�S�e�giv��ren�that��lim���=i���x�!�a��)�%�f�G��(�x�)�
�=��b�:��w�e�ha�v�e�to�sho�w�that����W��zW��*����f����T�(�a����2���x�)�
��v����W���D���*����b���
	��.��So����supp�S�ose�8that��V����2����W���ɹ��*���UR�b���T<�,�whic��rh�means�that�for�some���UR>��0�8w�e�ha�v�e�that�(�b����;���b��+���)�UR������V��p�.�L�Because�of�the�limit,�there�is�a���Ȅ>�UR�0�suc��rh�that�for�all��x��2��(�a�g������;���a�)��[��(�a;�a��+���s2�)����(call��1this�set��U�@�)�w��re�ha�v�e�that��f�G��(�x�)�is�dened�and��f��(�x�)����2��(�b�<���;���b��+���),��1or,�in����other�:xw��rords,��U�����-�dom���(�f�G��)�and��f��[�U�@�]��-���(�b�����;���b��+���).�:xClearly��U�{\�satises��U��2��-�a����2�������and�꨿f�G��[�U�@�]�UR���V��p�,�and�therefore��V����2����W�����*����f���
g��(�a����2���x�).�����(�(�)�ѥNo��rw�assume�that����W��`O��*����f���
�L�(�a����2���x�)�UR�v����W���ɹ��*����b���T<�.�ѥF��Vor�a�giv�en���UR>��0,�ѥlet��V��¹=�UR(�b�w����;���b��+���).�ѥThen�����V����2����W���ɹ��*���UR�b���T<�,�̫so��V��2����W�����*���UR�f���
g��(�a����2���x�),�and�therefore�there�is�some��U��6�2�UR�a����2���
�#�with��U����UR�dom���
(�f�G��)�and�����f�G��[�U�@�]�UR���V��p�.��[Because��U��6�2�UR�a����2���x�,�for�some���Ȅ>��0�w��re�ha�v�e�that�(�a��������;���a�)��[��(�a;�a��+���s2�)�UR���U�@�.����No��rw�`�this�implies�that�if��x��?�2��(�a��m�����;���a�)��[��(�a;�a��+���s2�)�`�then��f�G��(�x�)�is�dened�and�����f�G��(�x�)�s��2��(�b������;���b��+���).��sBecause�for�eac��rh���s�>��0��sthere�is�a�����>�s��0�with�this�prop�S�ert�y��V,�����lim���&Q����x�!�a��:�x�f�G��(�x�)�UR=��b�.�;u��2������Similar��theorems�hold�at��a����2��� �and��1��and�for�limits�to�plus�or�min��rus�innit�y��V.����!��In�>�Europ�S�e��lim�������O�x�!�a�����+���/8��is�sometimes�written�as��lim��������x�#�a��$�6�or�as��lim��������x�&�a��%�Z�.�The��1��and��a����2�+������in�hQthe�`ordinary'�limits�on�the�left�are�not�lters:�those�are�just�the�customary����notations��|for�limits�from�the�righ��rt�and�to�innit�y��V.�The��a����2���x�,��a����2�+���and��1��on�the����righ��rt���ar��ffe��X�lters.����!��T��Vogether�.�these�theorems�no��rw�giv�e�us�a�metho�S�d�to�rigorously�ev��X�aluate�ordinary����limits��using�lters:�������� �1.����/مReplace��the�limit�b��ry�the�corresp�S�onding�lter�limit.������� �2.����/م`Ev��X�aluate'��the�lter�limit�using�lter�calculations,�leading�to�a�renemen��rt.������� �3.����/مIf�;the�righ��rt�hand�side�of�the�renemen�t�renes���`�����a���
f�,��1��or��1��then�w�e�ha�v�e�����/مsucceeded�S|and�can�use�Theorem�3.5�(or�its�analogue�for�innite�limits)�to����/مnd��the�answ��rer�to�the�original�question.�If�not,�the�metho�S�d�failed.�����As��an�example,�w��re�use�this�metho�S�d�to�ev��X�aluate��lim���<d���x�!1��,�Y�1�=�(�x����+�1):��!ve����`�`Lim��33��_�x�!1��������ō��u�1��x�ޟ[��z�&�
�΍�x����+�1������q��v������ō���n�)�������)�1�������[��z�N�H�
�΍�Lim���e����x�!1��*���(�x����+�1)�����W�R�v������ō���n����������1�������[��z� X֟
�΍�1����+���n������1�������)i�=������ō���n����������1�������[��z��
�΍�1������=�UR0�����+���!;>���(The���renemen��rts�here�are�really�equalities,�but�the�theorems�that�w�e�ha�v�e�do����not���giv��re�that,�and�in�fact�w�e�do�not�need�it.)�No�w�0����2�+��
q��v���n�UR������UR0����
and�so�from�Theorem����3.5��w��re�nd�that:��������I�lim��33����,�x�!1��������ō��i�1��ՊT�[��z�&�
�΍�x����+�1�������=�UR0���:��Here��is�another�example�of�a�limit�ev��X�aluated�using�this�metho�S�d:��/J����V�ALim��p��U
�x�!�0����������n��x�����sin�������ō��1���M�[��z��R�
�΍�x������$�v�UR�0��������	v�sin�������ō�K1���ş[��z��t�
�΍0������������,A��=�0��������	v�sin����(�1�)�=�0�������x�[��1�;����1]�=���n������0���������������`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?11�������������(in���this�calculation�`[��1�;����1]'�is�the�lter�generated�b��ry�the�closed�in�terv��X�al�[��1�;����1],�����cf.��the�notation�in��rtro�S�duced�in�Section�4�b�elo��rw),�whic�h�implies�that:���������lim��33���Mb�x�!�0�����S�x�����sin�������ō��1���M�[��z��R�
�΍�x������$�=�UR0������Note�w�that�w��re�rigorously�established�this�limit��by���c��ffalculation�,�and�did�not�need����the��`squeeze�theorem'�whic��rh�is�usually�used�to�ev��X�aluate�this�limit.��$����4.��*�1In���terv���al�fflters�and�connected�lters��������Denition:���R���W��Ve�rwill�dene�a�class�of�lters�on��R��called�the��interval�M�lters�.�Con-����sider��the�set:�����_��R�UR�=��f1�����+��x�g���[�f�a�������	v�j����a�UR�2��R�g���[�f�a�����+���j����a�UR�2��R�g���[�f1�������x�g�����F��Vor��9eac��rh�pair�of�elemen�ts����ȹand������from��R��for�whic�h���h���UR�����in�the�natural�order�����on�E��R�,�w��re�will�dene�a�lter���interval��'I%�(���;�����O�).�W��Ve�map�the�elemen�ts�of��R��to�form�ulas����as:��)������fe����F������>����l��!ȹ(�x;�����;�"�)���@������r���b�(�x;�����;�"�)���������u�1����2�+�������>���-ؿx�UR<���1�="��������i�a����2������[	�a������"�UR<�x���b�x�UR<�a�������i�a����2�+�����p-�a�UR<�x���f�x�UR<�a����+��"������� �1����2��������1�="�UR<�x���$d�>�����2�Q���and��then�w��re�dene:�������interval��:p�(���;�����O�)�UR��f�U��6�2�O�UV�(�R�)��j�9�"��2��R����>�0��\|�:��8�x��2��R�:�����l��!ȹ(�x;���;�"�)�-��^������r���b�(�x;���O;�"�)�UR�)��x��2��U�@��g������W��Ve��will�write�in��rterv��X�al�lters�using�in�terv��X�al�notation:�� �S�����d����O3s[�a;���b�)����qv8������ˏ�interval�����(�a����2���x�;���b����2����)��������P��[�a;���b�]����qv8������ˏ�interval�����(�a����2���x�;���b����2�+���)�������d�����(�a;���b�)����������(�0�interval��M��(�a����2�+��x�;���b����2����)��������g(�a;���b�]����������(�0�interval��M��(�a����2�+��x�;���b����2�+���)�������W��Ve�j�supp�S�ose�that�it�will�b�e�clear�from�the�con��rtext�when�w�e�mean�an�in�terv��X�al�as�a�����set� �of�real�n��rum�b�S�ers� �and�when�w��re�mean�an�in�terv��X�al�as�an�in�terv��X�al�lter.�Generally��V,����for��nite��a��and��b��they�are�related�lik��re:������
�(�a;���b�]�UR=���generated-b��ry��AȰ�(�f�(�a;�b�]�g�)����but���not�alw��ra�ys.���If��a�UR�=��b�,���then�the�left�hand�side�is��a����2�+��
�W�but�the�righ��rt�hand�side�is������imp��rrop�S�er�꨹b�ecause�the�set�(�a;���a�]�is�empt��ry��V.����!��When�How��re�analyze�a�t�w�o-sided�limit�in�to�t�w�o�one-sided�limits,�and�then�w�an�t����to��Xput�the�results�bac��rk�together,�w�e�need�the�concept�of�the�`join'�of�t�w�o�lters,����whic��rh�~^w�e�write��A�9�_��B���.�F��Vor�example,�0����2���
+��_��0����2�+��m6�=�P�0����2���x�.�This�concept�is�dened�as����follo��rws:�������������`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?12���������������Denition:���R���The��op�S�erations��join��X�and��me��ffet��on�lters�are�dened�b��ry:�� �S�����d�����A����_��B�����w�=������A����\��B��������A����^��B�����w�=������f�U���\����V��n�j����U��6�2�UR�A��^��V����2��B���g��������W��Ve�};can�no��rw�write�the�lters�dened�on�page�5�as�in�terv��X�al�lters�or�as�joins�of�����in��rterv��X�al��lters:��E������ff�����Z�����Z�B�a�����kC�=���~#�[�a;���a�]�������S�ʿa����2�����kC�=���~#�[�a;���a�)������S�ʿa����2�+����kC�=���~#�(�a;���a�]������S�ʿa����2�����kC�=���~#�[�a;���a�)����_��(�a;�a�]�������UA�1���kC�=���~#�[�1�;����1�)������K���1���kC�=���~#�(�1�;����1�]������K���1���kC�=���~#�(�1�;����1�]����_��[�1�;��1�)������ff����j��$����j׹=���0�_(�1�;����1�)��������j��!����j׹=���0�_(0�;����1�)�������j�� ����j׹=���0�_(�1�;����0)�������~��!����j׹=���0�_(�1�;����0)����_��(0�;��1�)���������HP��No��rw�that�w�e�ha�v�e�the�class�of�in�terv��X�al�lters,�w�e�will�dene�the�class�of�connected����lters.��This�denition�is�m��ruc�h��simpler:��������Denition:���R���A��lter��A��is�called�connected�when:�����d���8�U��6�2�UR�A:����9�U��@���0��do�2��A:�U��@���0��do���U���^�����U��@��2�0��BR�is�35a�c��ffonne�cte�d�35set������Note��that�eac��rh�of��imp�rop�S�er�,��domain-erro�r��and��indeterminate��is�a�connected�lter.�����!��The��Nnext�three�theorems�giv��re�the�relev��X�an�t�prop�S�erties�of�the�connected�lters.����T��Vogether�knthey�`explain'�wh��ry�in�practice�one�encoun�ters�only�joins�of�in�terv��X�al����lters:�bZthe�lters�one�starts�with�are�of�that�kind,�and�the�op�S�erations�that�one����applies��to�them�conserv��re�the�prop�S�ert�y��V.��������Theorem���4.1:���kU��The�35interval�lters�ar��ffe�the�pr�op�er�non-empty�c�onne�cte�d�lters.�������Pr��ffo�of:���:�N�It�Lis�easy�to�v��rerify�that�ev�ery�in�terv��X�al�lter�is�prop�S�er,�non-empt�y�and����connected.���Therefore�all�that�is�needed�is�to�sho��rw�that�if�a�prop�S�er�non-empt�y����lter��is�connected,�then�it�is�an�in��rterv��X�al�lter.����!��Assume�꨿A��is�a�prop�S�er�non-empt��ry�connected�lter.�Dene:�� �S�����d����Su�L����R�=�������u��f�����u��l����2�URf1g���[��R��j��
ۋ�(�l�C�;����1�)��2��A����g�����������G0�R����R�=��������u��f�����u��r����2�UR�R����[�f1g����j����(�1�;���r�S��)�UR�2��A����g��������!����Both�8_sets�are�non-empt��ry��V,�b�S�ecause�the�lter��A��is�non-empt�y�and�so�(�1�;����1�)�UR�2��A�����(lters��are�closed�under�sup�S�ersets).�The�set��L��will�b�e�closed�to�the�left�(if��l��&�2�^��L�����and��1�l��C����2�0��g�<�URl�$��then�also��l��C����2�0���2�UR�L�),�so��L��has�to�ha��rv�e��1the�form��f1g�,�[�1�;���a�),�[�1�;�a�]����or��[�1�;����1�).�Dep�S�ending�on�this,�dene���1~�to�b�e�resp�ectiv��rely��1����2�+��x�,��a����2����,��a����2�+��
:g�or��1����2����.����Similarly�e��R�~�will�b�S�e�of�the�form�(�1�;����1�],�[�b;��1�],�(�b;��1�]�or��f1g�,�whic��rh�giv�es�������b�S�eing�Ce�1����2�+��x�,��b����2����,��b����2�+��_ݹor��1����2����.�W��Ve�ha��rv�e�Cethat��L���\��R���=��]�;�Ce�(b�S�ecause�else��A��w��rould�b�e����improp�S�er),��so���h���UR���O�.�W��Ve�are�no��rw�going�to�sho�w�that��A�UR�=���interval��'X¹(���;�����O�).�����
��������`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?13�������������(��)��Supp�S�ose�that��U�:��2��пA�.�The�lter��A��is�prop�er�and�connected,�so�there�is�a�����non-empt��ry��connected��U��@��2�0��do�2�UR�A��with��U��@��2�0����UR�U�@�.�A��non-empt��ry�connected�op�S�en�set��U�����2�0������is��alw��ra�ys�an�op�S�en�in�terv��X�al�(�l�C�;���r�S��),�and�b�ecause��U��@��2�0��s��2�d��A�,�w��re�ha�v�e�that��l��G�2�d��L��and�����r����2�UR�R�J�.���With�the�denitions�of������l��\�and������r�����it�then�follo��rws�that�(�l�C�;���r�S��)��2���interval��'X¹(���;���O�).����Therefore��also��U��6�2��UR�interval��'X¹(���;�����O�).�����(��)��]Supp�S�ose�that��U�:$�2���@�interval��(���(���;�����O�).�Then�from�the�denition�of���interval��-�*�it�is����clear��/that�there�is�an�op�S�en�in��rterv��X�al�(�l�C�;���r��)�with�(�l�C�;���r��)�UR���U��and��/(�l�C�;���r��)��2���interval��'X¹(���;�����O�).����With�qthe�denitions�of������l���عand������r��r�it�then�follo��rws�that��l����2�UR�L��and��r����2��R�J�.�Therefore����(�l�C�;���r�S��)�UR=�(�l�;����1�)����\��(�1�;�r�S��)�UR�2��A�,��and�so�also��U��6�2�UR�A�.����2������So��Qall�in��rterv��X�al�lters�are�connected,�and�the�only�connected�lters�whic�h�are�not����an��in��rterv��X�al�lter�are�the�`error�lters'��imp�rop�S�er��and��domain-erro�r�.�������Theorem���4.2:���kU��If�F��f����is�a�function�that�is�c��ffontinuous�on�its�domain,�and��A��is�a����c��ffonne�cte�d�35lter,�then����W���߹��*����f���Eܹ(�A�)��is�also�c��ffonne�cte�d.������Pr��ffo�of:���:�N�Supp�S�ose�E�that��V�@��2����W��2й��*����&�f����͹(�A�),�so�there�is�a��U��
�2��&�A��with��U�����&�dom����(�f�G��)�and�����f�G��[�U�@�]�UR���V��p�.��W��Ve�need�to�nd�a�connected��V�����2�0�����2����W�����*���UR�f���
g��(�A�)�with��V�����2�0������UR�V��.����!��Because��	�A��is�connected,�there�is�a�connected��U��@��2�0��do�2�UR�A��with��U��@��2�0����UR�U�@�.�T��Vak��re��V���p���2�0�����=�����f�G��[�U��@��2�0���].�T�The�image�of�a�connected�set�under�a�con��rtin�uous�T�function�is�connected,�so�����V���p���2�0��	u׹is�.connected�to�S�o.�F��Vurthermore,��V���p���2�0���has�the�required�prop�S�erties:��U��@��2�0����������dom���f(�f�G��)����from��whic��rh�follo�ws�that��V���p���2�0�����2����W�����*���UR�f���
g��(�A�),�and��V���p���2�0���=�UR�f�G��[�U��@��2�0���]����f��[�U�@�]����V��p�.�Fb��2�������Theorem���4.3:���������W�������*����B�f����-�(�A����_��B���)�UR=����W�����*����f���
g��(�A�)����_����W��9R���*����f���	�O�(�B��)�������Pr��ffo�of:���:�N�(�v�)�eSupp�S�ose��V���2����W���@���*���%��f���8=�(�A�)����_����W�������*����f���
��(�B���),�ethen�b�oth��V���2����W���@���*���%��f���8=�(�A�)�and��V��2����W���@���*���%��f���8=�(�B���),�so����there���are��U����2���A��and��U��@��2�0����2��B�P��suc��rh�that��U��;���U��@��2�0�������dom���(�f�G��)�and��f��[�U�@�]�;���f��[�U�����2�0���]������V��p�.����Then����U�k�[�*"�U��@��2�0��do�2�UR�A��_��B���,�and�furthermore��U�k�[��U��@��2�0��do���UR�dom���
(�f�G��)�and��f��[�U�k�[�*"�U��@��2�0���]�UR���V��p�,�so�����V����2����W�����*���UR�f���
g��(�A����_��B���).�����(�w�)��sIf��V��W�2����W�����*���a�f���t��(�A��_��B���),��sthere�is�a��U����2�a�A��_��B�#y�(and��sso��U��2�a�A��and��U��2�a�B���)�with�����U�������ǹdom���(�f�G��)�"�and��f��[�U�@�]������V��p�.�"�This�same��U�c��sho��rws�that��V�Q7�2����W��Cq���*����ǿf���
�n�(�A�)�and��V��2����W��Cq���*����ǿf���
�n�(�A�),����whic��rh��means�that��V����2����W�����*���UR�f���
g��(�A�)����_����W��9R���*����f���	�O�(�B���).�Ԁq�2�����T��Vogether,�Õthese�theorems�sho��rw�that�if�one�applies�functions�that�are�con�tin�uous����on��their�domain�to�nite�joins�of�in��rterv��X�al�lters,�one�alw�a�ys�will�end�up�with����nite��joins�of�in��rterv��X�al�lters�again.����!��The�Fznal�theorem�is�not�needed�for�actual�limit�calculations,�but�it�is�included����for��completeness.��������Theorem���4.4:���������W�������*����Z�f�����(�A����^��B���)�UR�v����W�����*����f���
g��(�A�)����^����W��9R���*����f���	�O�(�B��)������Π�����`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?14���������������Pr��ffo�of:���:�N�Let����V�ư�2����W������*���*@�f���
<�(�A�)�̠�^����W��[J���*����f���
�G�(�B���),�so�there�are��V���p���2�0�����2����W������*���*@�f���
<�(�A�)�and��V���p���2�0���2����W������*���*@�f���
<�(�B���)�with������V�za�=���V���p���2�0���]�\�G��V���p���2�0��j��.��RThen�there�are��U��@��2�0����2��A��and��U��@��2�0����2��B�lX�with��U��@��2�0���;���U��@��2�0�������dom���(�f�G��)�and�����f�G��[�U��@��2�0���]�*���V���p���2�0��j��,��
�f��[�U��@��2�0���]����V���p���2�0��j��.��
From�this��U��@��2�0��uE�\�f(�U��@��2�0��	90�2�*�A��^��B���,��
�U��@��2�0���\��U��@��2�0��	90���*�dom��[�(�f�G��)��
and�����f�G��[�U��@��2�0�����\����U��@��2�0���]�UR���V���p���2�0��Q�\��V���p���2�0��j��,��and�so��V���p���2�0��Q�\��V���p���2�0�����2����W�����*���UR�f���
g��(�A��^��B���).����2������Note���that�for��^��the�rev��rerse�renemen�t�do�S�es�not�hold.�If�w�e�tak�e��f�G��(�x�)�UR=��x����2�2����,���then�������W������*����f�����(�� ���^���!���)�e[=����W�����*����f���
x�(�y�)�=��y�,��but����W������*����f�����(�� ���)���^����W��?����*����f���	ù�(��!���)�e[=���!��o^���!���=��e[�!��e]�,��and�although��y�e[v��!���,����it���is�not�the�case�that���!��66v���y�.�Also�note�that�the�pro�S�ofs�of�Theorems�4.3�and����4.4���do�not�use�con��rtin�uit�y���of��f�G��,�so�b�S�oth�theorems�also�hold�for�non-con��rtin�uous����functions.��$����5.��*�1Mathematica�ffrevisited������No��rw�2that�w�e�ha�v�e�giv�en�a�calculus�of�lters�that�resem�bles�the�w�a�y�Mathematica����calculates�nSwith�innit��ry��V,�w�e�will�compare�the�b�S�eha�vior�of�our�calculus�and�that�of����Mathematica��zin�detail.�This�is�what�the�calculations�in�the�example�Mathematica����from��Section�1�b�S�ecome�when�w��re�redo�them�in�our�lter�calculus:��4?������e����9/1�=�(�1����+�1)����xkY=������0����2�+����������XkU��[O�p���bkW��[O�z�����1������xkY�=�������1������G��1����1���xkY�=��������$��������G�}$��V�'�+����1���xkY�=��������$��������Q�;�sin��bkW�1���xkY�=������[��1�;����1]�������e�����a1�=�[��1�;����1]����"YJ=���5|��?����������¹[��1�;����1]���y[�����[��1�;����1]���"YJ=���5|�[��1�;����1]��������U[��1�;����1]����2�2�����"YJ�=���5|�[0�;����1]��������n��4������40������,sin��YH�1���"YJ�=�����n�5|������5|�0����������0�1�=�����sin��m�1����"YJ�=����5|��1�=�(�sin��m�1�)����2�2���u̹=�UR�?�����6�Q���Here��are�some�dierences�with�Mathematica:��������#�������/م�Mathematica�]�do�S�es�not�lik��re�to�giv�e�`no'�for�an�answ�er.�So�it�prefers�not�to����/مcomplain��ab�S�out�undenedness�of�a�function.�According�to�Mathematica:��/J�������ō���1����ݟ[��z� ��
�΍[��1�;����1]������S=�UR(�1�;�����1]����_��[1�;��1�)�� ����/مinstead�;�of��?�.�Our�denitions�ha��rv�e�;�dieren�t�b�S�eha�vior�b�S�ecause�w�e�w�an�t�the����/مcorresp�S�ondence�E�theorem�ab�out�limits,�Theorem�3.5,�to�hold.�As�an�example����/مof��this�dierence�in�attitude�consider�the�limit:���������wlim��p���٥�x�!�0�����+������x�����arctan��$�t(�tan�������ō���1��,	�[��z��R�
�΍�x�������)��O���/مThe�}%graph�of��x�����arctan��$�t(�tan����(�1�=x��mJ�))�lo�S�oks�lik��re�a�`sa�w�to�S�oth'�con�v�erging�to�0,����/مand�3it�is�undened�innitely�often�in�eac��rh�neigh�b�S�orho�o�d�3of�0.�Still�Mathe-����/مmatica��sa��rys�����2�3�����:����/م�In[12]:=�,�Limit[x*ArcTan[Tan[1/x]],�x->0,�Direction->-1]�����/مOut[12]=�,�0���������#����^��3����(�In�UUv���ersion�3.0.�In�v�ersion�4.1�it�lea�v�es�the�expression�unev��q�aluated.�����Ƈ������`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?15������������/م�If�kDy��rou�ask�MathXp�S�ert�to�ev��X�aluate�this�limit,�y�ou�get�the�message:��This�����/مfunction�mPis�undene��ffd�for�c�ertain�values�arbitr�arily�close�to�the�limit�p�oint,����/مso�35the�limit�is�undene��ffd.��������#�������/م�Mathematica�Iedo�S�es�not�iden��rtify�as�man�y�expressions�as�it�migh�t.�F��Vor�in-����/مstance,��in�the�example�session�it�migh��rt�ha�v�e�simplied:��(S����fd�����!d�Interval[{0,�,�0}]����!�4�=����5��0���������^�.Interval[{Infinity,�,�Infinity}]����!�4�=����5��Infinity��������X�aInterval[{-Infinity,�,�Infinity}]����!�4�=����5��Indeterminate������*�R�����#�������/م�Mathematica�}�do�S�es�not�distinguish�b�et��rw�een�}�op�en�and�closed�in��rterv��X�als,�nor����/مdo�S�es���it�ha��rv�e���the�concept�of��left��and��right��lters�to�a�p�oin��rt.�In�order�to�add����/مthis�subtlet��ry�to�its��Interval��calculus�all�that�w�ould�b�S�e�needed�is�to�mark����/مall��the�endp�S�oin��rts�of�the�in�terv��X�als�with�a�+�or�a���.��������#�������/م�W��Ve�Üha��rv�e��two���kinds�of�`undened'�in�our�lter�calculus:���domain-erro�r��D_ڹ=�UR�?��and�����/م�indeterminate��u��=��UR�$��UT�.���(The�third�lter,���imp��rrop�S�er��28ѹ=�UR�y�,�only�o�S�ccurs�as�the�meet����/مof�'ct��rw�o�disjoin�t�in�terv��X�al�lters,�and�nev�er�o�S�ccurs�in�practice.)�Mathematica����/مonly�Ahas��Indeterminate�,�and�do�S�es�not�distinguish�b�et��rw�een�Athese�t��rw�o�Akinds����/مof��undenedness.�������#�������/م�Mathematica��issues�a�`w��rarning'�message�lik�e:��H䍑/م�Power::infy:�,�Infinite�expression������ō�`1��`�[��z�,͟
�΍0�������encountered.�����/م�when��it�gets�innite�or�indeterminate�results.�This�seems�to�imply�that�suc��rh����/مresults���are�errors.�Ho��rw�ev�er,���in�our�theory�those�results�are�not�errors�at�all����/مbut��the�correct�answ��rers,�and�they�should�not�generate�suc�h�a�message.�������#�������/م�W��Ve���ga��rv�e�the�details�of�the�lter�theory�for�the�space�of�real�n�um�b�S�ers.�Ho�w-����/مev��rer,�r�the�expression�language�of�Mathematica�is�ab�S�out�the�complex�n�um-����/مb�S�ers.���This�is�clear,�for�example,�from�the�results�of�applying��Sqrt��and��Log����/م�to���negativ��re�n�um�b�S�ers.�It�is�therefore�strange�that�Mathematica�giv�es�answ�ers����/مin��rv�olving�y}in�terv��X�als�to�limit�questions,�since�suc�h�answ�ers�are�appropriate�to����/م�r��ffe�al�);�limits.�����In�ian��ry�case,�our�lter�theory�can�b�S�e�adapted�to�the�complex�n�um�b�S�ers.�F��Vor�ex-����ample,��/complex�innit��ry�is�represen�ted�b�y�the�lter�generated�b�y�the�exteriors����of�֌disks�cen��rtered�at�0�(i.e.,�`neigh�b�S�orho�o�ds�֌of�innit�y').�The�`one-sided'�lters�����a����2�+����and�st�a����2����are�replaced�b��ry�a�wide�v��X�ariet�y�of�other�lters�represen�ting�dieren�t����w��ra�ys��?in�whic��rh�a�complex�n�um�b�S�er��z�q"�can�`approac�h'�a�limit�p�S�oin�t��a�:�for�example,����in��bcomplex�analysis�it�is�common�to�consider�a�limit�restricted�to�an�angular����sector,��|suc��rh�as��j��S��j�UR�<��n9=�4.��|It�is�easy�to�dene�a�`sector�lter'�generated�b�y�suc�h�a����sector.��Our�theorems�that�do�not�in��rv�olv�e��in�terv��X�al�lters�carry�o�v�er�to�the�complex����setting:��pushing�lter�limits�inside�functions,�the�metho�S�d�of�limit�ev��X�aluation�b��ry������Ϡ�����`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?16�������������renemen��rt,���etc.�W��Ve�ha�v�e�not�giv�en�a�c�haracterization�of�the�connected�lters�in�����the�v�complex�case.�F��Vor�example,�there�are�more�than�just�the�sector�lters:�the����lter��generated�b��ry��j��S��j�UR�<�r�����2�2���:�is��not�rened�b��ry�an�y�sector�lter.��$����6.��*�1Conclusion�ffand�future�directions������W��Ve��ha��rv�e�presen�ted�the�lter�approac�h�to�ev��X�aluating�limits�in�v�olving�innit�y��V.����The��xusual�w��ra�y��xof�calculating�with�innities�is�not�rigorous;�indeed�the�cen��rtral����concept��.�innity��is�nev��rer�dened�in�calculus�textb�S�o�oks.��.The�issue�is�skirted�b�y����suc��rh���statemen�ts�as:�`The�sym�b�S�ol��1��do�es�not�represen��rt�a�real�n�um�b�S�er�and�w�e����cannot��use�it�in�arithmetic�in�the�usual�w��ra�y��V.'��(�10����),�p.�112.����!��Consider�8a�studen��rt�who�sa�ys�that��lim����џ�O�x�!�0�����+���-�0�1�=x��is�`undened',�while�the�teac�her����sa��rys��/that��1��is�a�b�S�etter�answ�er.�`But',�sa�ys�the�studen�t,�`y�ou�said��1��is��unde-����ned.'��Suc��rh�dialogues�do�o�S�ccur�regularly�in�classro�oms�and�teac��rhers�are�unable����to�Bansw��rer�these�questions�on�an�y�rigorous�basis.�W��Ve�ha�v�e�no�w,�at�least�in�prin-����ciple,�>�pro��rvided�a�remedy�for�this�situation,�since�our�theory�of�innite�limits�is����completely��Wrigorous.�Questions�at�the�studen��rt�lev�el�in�our�theory�can�usually�b�S�e����pro��rv�ed��or�refuted.����!��When�zcomputer�algebra�systems�mak��re�use�of�a�set�of�calculation�rules,�there����should��mideally�b�S�e�a�seman��rtics�according�to�whic�h�these�calculation�rules�are����correct.��Ev��ren�for�ordinary�algebra,�this�is�not�usually�the�case.�But�it�is�usually����the��6case�that�the�rules�are�correct��exc��ffept��that�the�system�fails�to�c��rhec�k��6the�pre-����conditions.���That�is,�the�seman��rtics�of�algebra�is�understo�S�o�d���{�but�systems�fail�to����implemen��rt�`the�rules�in�a�seman�tically�correct�w�a�y��V.�Up�un�til�no�w,�the�seman�tics����of�	�limits�has�not�b�S�een�prop�erly�understo�o�d,�and�so�the�b�eha��rvior�of�computer����algebra��.systems�did�not�ev��ren�ha�v�e�a�standard�against�whic�h�implemen�tations����could�Z�b�S�e�measured.�In�using�in��rterv��X�als�as�answ�ers�to�limits,�Mathematica�has����v��ren�tured��in�to�unc�harted�territory��V.�W�e�are�no��rw�pro�viding�maps.����!��Our�6>w��rork,�b�S�eing�completely�rigorous,�and�based�on�simple�set�theory��V,�is�also����completely��\formal.�����2�4���
y`�Therefore�computer-c��rhec�king��\the�theory�from�this�pap�S�er����is��p�S�ossible,�and�the�resulting�formalization�w��rould�not�only�b�e�an�in��rteresting����exercise,��@but�also�probably�could�b�S�e�used�to�mak��re�the�pro�v�er�automatically����ev��X�aluate���more�limits.�In�another�direction,�this�material�is�suitable�for�inclusion����in���an�undergraduate�real-analysis�course,�and�the�distinctions�b�S�et��rw�een���dieren�t����t��ryp�S�es���of�limits�that�it�mak�es�are�suitable�for�inclusion�in�calculus�b�S�o�oks.���In����particular,��Ncalculus�b�S�o�oks��Nneed�no�longer�steer�a��rw�a�y��Nfrom�calculations�in��rv�olving����innit��ry��V.�09Simple�rules�for�manipulating�innit�y�can�b�S�e�giv�en�and�the�justications����omitted,���as�is�usually�the�case�no��rw�when�the�justications�in�v�olv�e�epsilon-delta����argumen��rts.��UT�����#����^��4����(�R���igor��}'ous�ox�implies�that�the�concepts�and�theorems�ha���v�e�oxa�clear�meaning�and�the�theorems����can��4b�Ge�correctly�pro���v�ed.��4�F��;�ormal�イimplies�that�the�concepts�can�b�e�dened�and�the�theorems����pro���v�ed�UUin�terms�of�set�theory�(or�some�other�foundational�theory�of�mathematics).�����㍠�����`����p�?�Beeson��fand�Wiedijk:�The�meaning�of�innit��!y�Z�?17�������������References��������[1]���(GM.�4�Beeson,���Mathp��ffert���Calculus�Assistant�.�This�soft��rw�are�program�(no�w�kno�wn�����(Gas��'MathXp�S�ert)�w��ras�published�in�July��V,�1997�b�y�Mathp�S�ert�Systems,�San�ta����(GClara,�eCA,�and�is�commercially�a��rv��X�ailable�from��http://www.mathxpert.com�.�������[2]���(GM.�n�Beeson.�k�Mathp�S�ert:�Computer�supp�ort�for�learning�algebra,�trigonometry��V,����(Gand�B�calculus,�$in:�A.�V��Voronk��ro�v�B�(ed.),��L��ffo�gic��Pr�o�gr�amming�and�A��2utomate�d�R�e�a-����(Gsoning�,�[Lecture�Notes�in�Articial�In��rtelligence��624�,�Springer-V��Verlag,�Berlin����(GHeidelb�S�erg��New�Y��Vork�(1992).������[3]���(GM.�ͻBeeson.��7Design�Principles�of�Mathp�S�ert:�Soft��rw�are�ͻto�supp�ort�education����(Gin��$algebra�and�calculus,�in:��AKa��jler,�N.�(ed.)��Computer-Human��Inter��ffaction����(Gin���Symb��ffolic�Computation�,�[�T��Vexts�and�Monographs�in�Sym��rb�S�olic�Computation,����(GSpringer-V��Verlag,��Berlin�Heidelb�S�erg�New�Y�ork�(1998),�pp.�89-115.������[4]���(GM.�+Beeson.�	�MathXp�S�ert:�un�logiciel�p�our�aider�les�+���s�el��r�ev�es�+�� a�apprendre�les����(Gmath��r��s�ematiques��^par�l'action,��Scienc��ffes�բet�te�chniques�����L�educ�atives�,��^�9��(1)�37-62,����(G2002.���An�English�translation�of�this�article�under�the�title��MathXp��ffert:��Wle�arn-����(Ging�35mathematics�in�the�twenty-rst�c��ffentury�꨹is�a��rv��X�ailable�at����(G�http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/beeson/Pubs/pubs.html�.������[5]���(GM.��+Beeson.�

0Using�nonstandard�analysis�to�v��rerify�the�correctness�of�com-����(Gputations,����International��Journal�of�F���oundations�of�Computer�Scienc��ffe�,���6��(3)����(G(1995),��pp.�299-338.������[6]���(GR.�=�Bradford,�R.�Corless,�J.�H.�Da��rv�enp�S�ort,�=�D.�J.�Jerey��V,�and�S.�M.�W�att.����(GReasoning��Lab�S�out�the�Elemen��rtary�F��Vunctions�of�Complex�Analysis,�<�A��2nnals�#@of����(GMathematics�35and�A��2rticial�Intel���ligenc��ffe���36��303-318,�2002.������[7]���(GK.��Kurato��rwski.���T���op��ffolo�gy�,�v��rolume�1.��Academic�Press,�New�Y��Vork,�London,����(G1966.������[8]���(GM.�6�Monagan,�K.�Geddes,�K.�Heal,�G.�Labahn,�and�S.�V��Vork��ro�S�etter.�%�Maple�yV����(GPr��ffo�gr�amming���Guide�for�R��ffele�ase���5�.�'"Springer-V��Verlag,�D�Berlin/Heidelb�S�erg,�1997.������[9]���(GB.��Sims.�5��F���undamentals�35of�T�op��ffolo�gy�.�5�MacMillan,��New�Y��Vork,�1976.������[10]���.'J.��Stew��rart.�5��Calculus,�353r��ffd�e�dition�,��Bro�S�oks-Cole,�P��racic�Gro�v�e,�CA�1995.������[11]���.'D.��RStoutemey��rer.�FCrimes�and�misdemeanors�in�the�computer�algebra�trade,����(G�Notic��ffes�35AMS���38�,�779-785,�1991.������[12]���.'S.�1FW��Volfram.�	��The�_lMathematic��ffa�b�o�ok�.�	�Cam��rbridge�1FUniv�ersit�y�Press,�Cam-����(Gbridge,��1996.���������;����
�;��R6cmss12�:��<x

cmtt10�9߆�Tcmtt12�8���@cmti12�7��N�ffcmbx12�5K�`y
�3
cmr10�4��N�cmbx12�'�':

cmti10�&�-�
cmcsc10�#���
msbm10� ����
msam10�Tq�
lasy10�q�%cmsy6��K�cmsy8�!",�
cmsy10��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8��-�
cmcsc10���N�G�cmbx12�X�Qcmr12�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���������

Sindbad File Manager Version 1.0, Coded By Sindbad EG ~ The Terrorists