Sindbad~EG File Manager

Current Path : /usr/home/beeson/public_html/michaelbeeson/research/papers/
Upload File :
Current File : /usr/home/beeson/public_html/michaelbeeson/research/papers/BoundaryRegularity.dvi

����;� TeX output 2001.12.05:0750������l�����'���&��WXe�D��tG�G�cmr17�Boundary�7tRegularit��qy�in�Plateau's�Problem��������û��X�Qcmr12�Mic��rhael��Beeson������g3�Departmen��rt��of�Mathematics�and�Computer�Science���������San��Jose�State�Univ��rersit�y��������lSan��Jose,�California�95192�������m�USA�������g�email:�8�b�S�eeson@mathcs.sjsu.edu������]������Decem��rb�S�er��5,�2001��0�����!J�.t�:		cmbx9�Abstract��9���e��-o���		cmr9�Let�&3�b�A�e�a�real-analytic�Jordan�curv��9e�in��/5��"		cmmi9�R��>��-=��Aa�cmr6�3��:��.�O
Let��u��b�e�a�minimal�sur-����Xface�]�(of�the�top�A�ological�t��9yp�e�of�the�disk)�b�ounded�b��9y�,��qha�ving�a�b�A�oundary����Xbranc��9h��
p�A�oin�t�of�order�2�m�.���Supp�A�ose��n����0����		cmsy9���m�.���Then��u��do�A�es�not�furnish�a��C����-=�;�cmmi6�n�����X�relativ��9e�X�minim�um�of�Diric�hlet's�in�tegral�or�area.��In�particular,�i�the�abso-����Xlute��
minim��9um�of�Diric�hlet's�in�tegral,�ڳand�indeed�an�y�relativ�e�minim�um�in����Xthe�Z��C����-=�1��)0�norm,�k�among�disk-t��9yp�A�e�surfaces�b�ounded�b��9y�,�k�has�no�b�oundary����Xbranc��9h�Tp�A�oin�ts.����e�More���generally��:�,��8�can�b�A�e�a��C����-=�N�B";���}�Jordan�curv��9e�(with��N��������3)�in��R��>��-=�3��:��,����Xsuc��9h�X|that�at�eac�h�p�A�oin�t,�~Aeac�h�comp�A�onen�t�of��has�a�nonzero��j���-th�deriv��|rativ�e����Xfor��#some��j���.�Then�w��9e�call��\no�where�planar."�In�that�case�w�e�obtain�the����Xsame�A�conclusion�pro��9vided��n������N�:��as�A�w�ell�as��n������m�.��
Again�A�it�follo�ws����Xthat���the�absolute�minim��9um�of�Diric�hlet's�in�tegral,���and�indeed�an�y�relativ�e����Xminim��9um���in�the��C����-=�1��]!�norm,���among�disk-t�yp�A�e�surfaces�b�ounded�b��9y�,���has����Xno�Tb�A�oundary�branc��9h�p�oin��9ts.����e�These���theorems�are�pro��9v�ed���b�y�explicit�construction�of�a�family���r~����u���
��of����Xharmonic��surfaces�and�an�explicit�calculation�of�the�Diric��9hlet�in�tegral����X�E��2�[����~���u���R��]��#=��E��[�u�]������ct���-=�4�m�+3��J�+��O�A��(�t���-=�4�m�+4����).�ZThe�Ytec��9hnique�is�called�\splitting����Xthe�ORbranc��9h�p�A�oin�t"�b�A�ecause�it�is�based�on�replacing��z��c���-=�m��
���with�a�pro�duct�of����Xterms�T�z�q���8�a�����i��,r�(�t�).�� �ԍ�?�?��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����?�K�`y

cmr10�The���history�of�the�problem�is�somewhat�con���v�oluted.��Before���discussing�it,���note����?the��follo���wing�issues:��din�terior�branc�h�p�Goin�ts��@�':

cmti10�@vs.����b�Goundary�branc�h�p�Goin�ts;�zKtrue����?branc���h�g�p�Goin�ts��@vs.�"��false�branc�h�p�Goin�ts;���real-analytic�b�Goundary��@vs.�"��smo�oth�b�ound-����?ary;��sabsolute�x�minim���um�of�area�or�Diric�hlet's�in�tegral��@vs.���
�b>

cmmi10�C�����^��ٓ�Rcmr7�0���M�relativ�e�minim�um������1����*�l�����'������?�@vs.�T��C�����^��1��1K�relativ���e���minim�um��@vs.�T��C�����^��	0e�rcmmi7�n��	&V�relativ�e�minim�um;��and�explicit�construction�of����?a�UUfamily�that�decreases�Diric���hlet's�in�tegral,�or�no�explicit�construction.����NCho�Gosing��mone�from�eac���h�category�there�arise�man�y�p�Gossible�theorems�con-����?cerning�hHthe�absence�of�branc���h�p�Goin�ts�from�certain�minimal�surfaces,��some�of����?whic���h���ha�v�e�b�Geen�pro�v�ed�in�the�past,��$some�of�whic�h�are�pro�v�ed�here,��$and�some����?of��whic���h�are�still�op�Gen.�SThe�main�con�tributions�already�in�the�literature�are�the����?follo���wing:�?�Osserman��%[�19��
]�pro�v�ed�that�the�absolute�minim�um�of�area�has�no�true����?in���terior���branc�h�p�Goin�ts.�F�R.�Gulliv�er�[�11��
]�and�H.�W.���Alt�[�1��]�indep�Genden�tly�pro�v�ed����?that��athe�absolute�minim���um�of�area�has�no�false�in�terior�branc�h�p�Goin�ts.�F�Gulliv�er,����?Osserman,��tand���Ro���yden�[�13��
]�pro�v�ed�that�a�disk-t�yp�Ge�minimal�surface�spanning����?an�"analytic�Jordan�curv���e�has�no�false�branc�h�p�Goin�ts�in�the�in�terior�or�on�the����?b�Goundary��*�.��Gulliv���er-Lesley��>[�12��
]�pro�v�ed�that�the�absolute�minim�um�of�area�has����?no��<true�b�Goundary�branc���h�p�oin���ts,��6if�the�b�oundary�is�real-analytic,��6b���y�adapting����?Osserman's�s�metho�Gd�to�the�b�oundary�case.��gThese�pro�ofs�should�actually�ap-����?ply���to��C�����^��0���M�relativ���e�minima�as�w�ell�as�the�absolute�minima.��Beeson�[�7��]�ga�v�e�an����?explicit���construction�that�decreases�Diric���hlet's�in�tegral�near�an�in�terior�branc�h����?p�Goin���t;�H	the�Acfamily�can�b�e�made��C�����^��1��t�smo�oth�(not��C�����^��n��	i��as�claimed�in�the�pap�er),�E`so����?�C�����^��1����relativ���e�UUminima�ha�v�e�no�in�terior�branc�h�p�Goin�ts.����NIn�Gthis�pap�Ger�w���e�giv�e�a�(quite�dieren�t)�explicit�construction�that�decreases����?Diric���hlet's�_�in�tegral�near�a�b�Goundary�branc�h�p�Goin�t,�b_and�again�the�family�can�b�Ge����?made�-��C�����^��1��a!�smo�Goth{in�general�it�can�b�e�made��C�����^��m��}I�smo�oth,�5�where�2�m��is�the�order����?of�UUthe�branc���h�p�Goin�t{but�since��m��migh�t�b�Ge�1,�the�b�est�general�result�is��C�����^��1��3��.����NThis�URapplies�rst�to�an���y�real-analytic�b�Goundary��*�,�but�b�y�quoting�kno�wn�rep-����?resen���tation��mform�ulae�for�a�minimal�surface�in�the�neigh�b�Gorho�o�d�of�a�b�oundary����?branc���h��|p�Goin�t,��w�e�are�able�to�extend�the�construction�to�the�case�of�a��C�����^��3��(�b�Gound-����?ary��*�,�[%pro���vided�Y�the�b�Goundary�is�\no�where�planar."��It�is�w�orth�noting�that�w�e�do����?not�_�need�to�app�Geal�to�previous�results�eliminating�false�branc���h�p�oin���ts{they�are����?eliminated��b���y�the�calculation,�'*along�with�true�branc�h�p�Goin�ts,�'*using�the�h�yp�Goth-����?esis�UUthat�the�b�Goundary�is�no���where�planar.����NW��*�e�T�lea���v�e�op�Gen�t�w�o�questions:��ocan�the�b�Goundary�regularit�y�theorem�b�Ge�pro�v�ed����?for����C�����^��3����b�Goundaries�without�the�h���yp�othesis�that�the�b�oundary�curv���e�is�no�where����?planar?�RJand,��can���either�the�b�Goundary�or�in���terior�regularit�y�b�Ge�pro�v�ed�for��C�����^��n�����?�relativ���e��hminima�as�w�ell�as�for��C�����^��1��	��relativ�e�minima?�"So�far�as�w�e�can�pro�v�e�at����?presen���t,���there�n�migh�t�b�Ge�a�disk-t�yp�Ge�minimal�surface�with�an�in�terior�or�b�Goundary����?branc���h���p�Goin�t�of�order�2�whose�energy�cannot�b�Ge�decreased�along�a��C�����^��2��	�~�one-����?parameter���family�of�harmonic�surfaces�(that�is,��
a�one-parameter�family�in�the����?�C�����^��2����metric)��with�the�same�b�Goundary��*�,���although�(after�this�pap�er)�w���e�kno�w�ho�w����?to�UUdecrease�it�along�a��C�����^��1����family��*�.��!č�?�Preliminaries�ffand�Denition�of�the�V���fariation�����?�W��*�e��:deal�with�harmonic�mappings��u��from�a�subset�of�the�plane�to��R��ǟ�^��3���:�.�xThe����?comp�Gonen���ts��Pwill�b�e�indicated�b���y����^��1��#õu�,���ϟ�^��2��8B�u�,���and����^��3���u�.�g�Although�the�use�of�a�sup�Ger-������2�����l�����'������?�script�֩in�this�p�Gosition�is�not�standard,���it�mak���es�it�p�ossible�to�denote�(partial)����?dieren���tiation���b�y�a�subscript,�� for�example����^��1��7�u����y��·�,�when�otherwise�w���e�w�ould�ha�v�e����?to�UUwrite�the�more�cum���b�Gersome����������<$���g@�du����1����g@�w�fejc�	(֍�y|�dy�������:������?�It�:mis�also�con���v�enien�t,�swhen�:mthe�comp�Gonen���ts�of�a�v�ector�are�giv�en�b�y�long�form�ulae,����?to���use�a�column-matrix�format�for�a�v���ector.�T�W��*�e�omit�an�explicit�dot�for�the�dot����?pro�Gduct,�:�writing�4Pfor�example��uu����y��ײinstead�of��u����
!",�

cmsy10���u����y��·�,�as�4Pno�other�in���terpretation�is����?p�Gossible.�q�Otherwise�UUour�notation�is�standard.����NAll�the�minimal�surfaces�considered�in�this�pap�Ger�are�of�the�top�ological�t���yp�e����?of���the�unit�disk.�D�A���t�the�v�ery�b�Geginning,��w�e�consider�a�disk-t�yp�Ge�minimal�surface����?parametrized�9�in�the�disk�of�radius�1�cen���tered�at�(0�;����1),�?with�a�b�Goundary�branc�h����?p�Goin���t��&at�(0�;�����1).�L
Our�rst�step,���ho�w�ev�er,�is��&to�mak�e�a�conformal�transformation����?of��.the�parameter�domain�to�the�upp�Ger�half�plane��H�����^��+��s��,��etaking�the�branc���h�p�oin���t����?to���the�origin.�\jW��*�e�need�to�consider�this�transformation�in�order�to�b�Ge�able�to����?sp�Geak���of�the�\harmonic�extension"�of�a�function�dened�on�the�real�line,�'�and����?b�Gounded��at�innit���y��*�.��MThis�harmonic�extension�can�b�e�dened�b���y�pulling�bac�k����?the��;b�Goundary�v��q�alues�to�the�disk,��using�the�P���oisson�in�tegral�form�ula,��and�then����?mapping��bac���k�to�the�upp�Ger�half�plane.���In�particular�if�w�e�consider�a�3-v�ector����?of�"suc���h�b�Goundary�v��q�alues�that�traces�out�a�Jordan�curv�e��monotonically�except����?for�UUone�p�Goin���t,�then�the�harmonic�extension�is�a�harmonic�surface�spanning�.����NF��*�rom��<no���w�on,��tw�e�consider�a�minimal�surface��u�(�z�p��)�parametrized�in�the�upp�Ger����?half�ilplane,��qwith�a�branc���h�p�Goin�t�at�the�origin,��qand�b�Gounded�b�y�a��C�����^��n��
��Jordan����?curv���e�}�dened�on�the�unit�in�terv��q�al,�whic�h�do�Ges�not�lie�in�a�plane.�Y�F��*�or�the�time����?b�Geing,�B�w���e�=�supp�ose�that��is�real-analytic,�B�and�later�consider�the�case�when��is����?only����C�����^��n��(��.�kUW��*�e�supp�Gose�that��passes�through�the�origin�tangen���t�to�the��X���-axis,����?and�[that��u��tak���es�the�p�Gortion�of�the�real�axis�near�origin�on�to�,�\jwith��u�(0)�Њ=�0.����?Then��hsince��is�a�Jordan�curv���e,���it�is�not�con�tained�in�a�line.��W��*�e�still�are�free����?to���orien���t�the��Y�磲and��Z�e۲axes.�~W��*�e�do�this�in�suc�h�a�w�a�y�that�the�normal�at�the����?branc���h���p�Goin�t�(whic�h�is�w�ell-dened)�p�Goin�ts�in�the�negativ�e��Z���-direction.�DhWith����?�Nkorien���ted�in�this�w�a�y��*�,���there�will�b�Ge�t�w�o�in�tegers��p��and��q��D�suc�h�that��has�a����?parametrization�UUin�the�form���¹����[(��!Dz)��=�����X�����u

cmex10�2������6��fi��4����𣫍��qĵ���
��������h�����C�����Zcmr5�1��� �������r�O
�\cmmi5�q�-�+1�������ʉfe�������N�q�@L�+1�����-���+�8�O�G�(�����^��q�@L�+2���_�)���B���������h�����C���2��� �������r�p�+1�������ʉfe�5�����Pp�p�+1�����-�?�+�8�O�G�(�����^��p�+2����)�������X��`�f�3������`�f7��fi��`�f5����� ����?�for�UUsome�nonzero�real�constan���ts��C����1���Ȳand��C����2��|s�.�q�W��*�e�therefore�ha�v�e��!
���
_�����O!�cmsy7�0���9�(��!Dz)��=�����Z���2����4������d���qIJ1������qĵC����1��|s�����^��q���<�+�8�O�G�(�����^��q�@L�+1���_�)������qĵC����2��|s�����^��p�����+�8�O�G�(�����^��p�+1����)�������Z��Y\$�3����Y\$5�����"��?�W��*�e��write��u�(�z�p��)�R�=�(�X���(�z��)�;���Y�8�(�z��)�;�Z���(�z��)).�l�W��*�e��mak���e�use�of�the�Ennep�Ger-W�eierstrass������3�����l�����'������?�represen���tation�UUof��u��(see�e.g.�q�[�8��],�p.�108)���������u�(�z�p��)��=��R��e�����Z�����2������4������퍍����������1������&�fe�s����2������b՟��īR���(�f�Lo��8�f��g��[ٟ�^��2���L�dz���+V�����������i������&�fe�s�����2������b՟��īR���(�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ�^��2���L�dz�������
UT���īR�����f��g�[�dz�������Z��N˸�3����N˸5�����uo��?�where��0�f����is�analytic�and��g�D	�is�meromorphic�in�the�upp�Ger�half-disk.�MfBy�the�b�ound-����?ary�m�regularit���y�theorem�of�Lewy�(see�[�9��],�s�p.���38),��u�m��can�b�Ge�extended�analytically����?in���to���some�neigh�b�Gorho�o�d���of�the�origin,��and�hence��f�	2�can�also�b�Ge�so�extended,�and����?�g��.�can�UUb�Ge�extended�meromorphically��*�.���ɍ���?�A�"V

cmbx10�ADenition��T1���sz�@The���order��@of�the�br��}'anch�p�oint�is�the�or�der�of�the�zer�o�of��f���@.�	The����?�index����@of�the�br��}'anch�p�oint�is�the�or�der�of�the�zer�o�of��g�[��@.����?�The���order�of�a�b�Goundary�branc���h�p�oin���t�m�ust�b�Ge�ev�en�(since�the�b�Goundary�is�tak�en����?on��monotonically).�L�It�is�customary�to�write�it�as�2�m�,�Gand�to�use�the�letter��k����?�for���the�index.��Th���us��f���(�z�p��)��=��z����^��m��
dS�+�[!�O�G�(�z����^��m�+1��)5�)���and��g�[ٲ(�z��)��=��cz����^��k���H�+�[!�O�G�(�z����^��k�+B�+1��|*�)���for�some����?constan���t�UU�c�.����NLet�UU��!Dz(�z�p��)��=��X���(�z��)�=��Re��������Ȅ�1��Ȅ��&�fe�s����2�������ҟ��īR���%�f�Lo��8�f��g��[ٟ�^��2���L�dz��.�q�Then�UUon�the�b�Goundary�w���e�ha�v�e�������t�u�(�z�p��)������.=������|L(��!Dz(�z�p��))������?This���parametrization�and�function���!Dz(�z�p��)�w���ere�inspired�b�y�Lewy's�equation�(see����?[�9��],�UUp.�q�38).����NW��*�e��supp�Gose�for�the�time�b�eing�that��is�real-analytic;��it�follo���ws�from�Lewy's����?theorem���@op.�\cit.�]��that��u��is�also�real-analytic�up�to�the�b�Goundary��*�.�Hence��f�,8�and��g����?�are��also�analytic�at�the�origin.�V�W��*�e�ha���v�e�εf���(�z�p��)��=������P�����e����i��TL�z����^��i��ɱ�and�εg�[ٲ(�z��)�=������P�����c����i��TL�z����^��i����.�V�Note����?that��_the�rst�nonzero��e����i��D��is��e����M���\�,��where��M�z�is�the�order�of�the�branc���h�p�Goin�t.�P If��u��is����?monotonic�|�on�the�b�Goundary��*�,��_as�is�the�case�in�Plateau's�problem,�then��M����m���ust����?b�Ge���ev���en,��and�w�e�ha�v�e��M��=�g�2�m�;��but�it�is�not�necessary�to�assume�that�y�et,��so����?w���e�R�con�tin�ue�to�write��M�i��for�the�order.�p�Because�of�the�orien�tation�of�,�Sw�e�ha�v�e����?�e����M��5��real.�q�The�UUrst�nonzero��c����i�����is��c����k��됲.����NIf� not�all�the�co�Gecien���ts�of��g�{�are�pure�imaginary��*�,�R�dene�����to�b�e�the�least����?in���teger��msuc�h�that��c����k�+B�+�����has�a�nonzero�real�part.�K%If�not�all�the�co�Gecien�ts�of��f��are����?real,���w���e��dene���l�to�b�Ge�the�least�in�teger�suc�h�that��e����M��,�+���G��has�a�nonzero�imaginary����?part.�:`It��cannot�b�Ge�that�the�co�ecien���ts�of��g�
��are�all�imaginary�and�the�co�ecien���ts����?of�S�f�1�are�all�real,�)Tfor�in�that�case�the�co�Gecien���ts�of��f��g��[ٟ�^��2�����w�ould�b�Ge�all�real,�)Tand�so����?�d��8Y�q=dx���=���������33�1��33��&�fe�s����2������bٲIm��T�(�f�؛�+���f��g��[ٟ�^��2���L�)�kw���ould�b�Ge�iden�tically�zero�on�the�real�axis,�'so��Y�TO�w�ould����?b�Ge��!constan���t�on�the�real�axis�and��w�ould�lie�in�a�plane.�(-Since��e����2�m���z�=�,l1�is�real,����?w���e��?ha�v�e����>�h��0�if���Y5�is�dened,��ybut�w�e�ma�y�ha�v�e���ɀ�=�h�0�if��c����k���ϲhas�a�nonzero�real����?part.�s�The��imaginary�part�of��e����M��,�+���~p�will�o�Gccur�in�man���y�of�our�equations,�+�so�it����?will�UUb�Ge�useful�to�giv���e�it�a�short�name:������?�ADenition��T2���sz�E����:=��pIm���e����M��,�+���\t�@is�޿the�imaginary�p��}'art�of�the�c�o�ecient�of�the����?lowest���p��}'ower�of��z�E�@in��f��=�@that�has�a�nonzer�o�imaginary�p�art.���G��~�:=��Re��Xe�c����k�+B�+����F�@is���the����?r��}'e�al��p�art�of�the�c�o�ecient�of�the�lowest�p�ower�of��z���@in��g���@that�has�a�nonzer�o�r�e�al����?p��}'art.�������4����-b�l�����'������N�W��*�e�UUha���v�e��
������Ei��!Dz(�z�p��)��������=������k��X���(�z�p��)����y�������=�������k�Re������<$����h1����h�w�fe�	(֍2������ߠD��c��Z���J�f�Lo��8�f��g��[ٟ���2���L�dz��������������=���������<$��ϋصa����M���Ȟڟw�fe��	(֍�M�O��+�8�1�������ՖRe���ϵz��p�����M��,�+1���ֲ+�8�O�G�(�z��p�����M��,�+2��p��)�������?Plugging�UUthis�in���to�the�equation�for����^��0��#��ab�Go�v�e,�w�e�ha�v�e�for�real��z�p��:�� �Y����}�������0���9�(��!Dz(�z�p��))������+p=���������Z����2������4�����kǍ��ȝ:�1���z����ȝ:�C����1��|s�a���1ɍ�q�����M����\�z��p���^��(�M��,�+1)�q���m�+�8�O�G�(�z��p���^��(�M��,�+1)�q�@L�+1��'���)������ȝ:�C����2��|s�a���1ɍ�p�����M����\�z��p���^��(�M��,�+1)�p�� 	*�+�8�O�G�(�z��p���^��(�M��,�+1)�p�+1��'�M�)�������Z��R^\�3����R^\5�������!�鍑N�Since�UU�z��p���^���m��I3�f���(�z�p��)�is�analytic�and�nonzero�at�origin,�w���e�can�write����ƦZ�f���(�z�p��)��=��A������2����0���|s�(�z��)�z������2�m�����?�where�F��A����0��|s�(�z�p��)�is�analytic�and�do�Ges�not�v��q�anish�at�origin.�FBy�scaling�the�en���tire����?minimal���surface�and�curv���e��w�e�can�assume��A����0��|s�(0)�gl=�1.��_Similarly���w�e�can�nd����?an�UUanalytic�function��B����0��|s�,�suc���h�that��
����RY�f��g��[ٟ���2���L�(�z�p��)��=��B�������q�2����0�����z������2�m�+2�k���8�:����?�W��*�e��Kdo�not�kno���w�an�ything�ab�Gout��B����0��|s�(0)�except�that�it�is�nonzero;��Fin�particular����?it��umigh���t�ha�v�e�a�nonzero�imaginary�part�for�all�w�e�kno�w.�(If�w�e�expand��A����0���in�a����?p�Go���w�er���series������P��Ա�
����i��TL�z��p���^��i����,��lthe�rst��
����i����with�a�nonzero�imaginary�part�will�con���tribute����?a�UUp�Go���w�er��z��p���^��2�m�+�i��Rֲto��f�ڧ�=���z��p���^��2�m����A���^���2��l�0���|s�;�therefore�b�y�the�denition�of����K�w�e�ha�v�e��i���=������.����NW��*�e�oc���ho�Gose�some�distinct�complex�constan�ts������1��|s�;����:�:�:����;�������m�����.��Ab�Gout�the������i��o��w�e����?assume,�UUfor��m��>��1,����?(i)�UUat�least�one�of�the������i�����is�nonzero.����?(ii)�sBIf������i��ǎ�is�not�real�and�not�zero,��ythen�its�complex�conjugate���q���������i�����s�o�Gccurs�as�another����?�����j��6��.���In�oparticular�eac���h�nonzero�real������i���W�(if�an�y)�o�Gccurs�an�ev�en�n�um�b�Ger�of�times����?in�UUthe�list������1��|s�;����:�:�:����;�������n��q~�.����NIt���is�alw���a�ys���p�Gossible�to�c���ho�ose������i��
��satisfying�these�conditions,�Ҿwhen��m�nN>��1.����?The�^case��m�զ�=�1�^has�to�b�Ge�treated�dieren���tly;�bnthis�will�b�e�done�in�a�subsequen���t����?section.����NThese���conditions�giv���en�ab�Go�v�e�are�enough�for�our�main�computations�ab�Gout����?the���Diric���hlet�in�tegral.���But�to�ensure�that�the�family���d�~����u���;h�tak�es�the�b�Goundary����?monotonically��*�,�UUw���e�need�a�third�assumption:����?(iii)��UURe��#�(�����i��TL�)�����0,�UUand�for�at�least�one��i��w���e�ha�v�e��Re��#�(�����i��TL�)���>��0.����NHenceforth,�UUw���e�assume�that�the������i�����are�c�hosen�to�satisfy�(i),�(ii),�and�(iii).����NW��*�e�4>also�need�n���um�b�Gers���X�^���4>�a����i������for�4>�i���=�1�;����:�:�:����;���m�,�:�whic���h�w�e�shall�ev�en�tually�sp�Gecify����?to�UUb�Ge�0,�1�or���1.�q�Ab�out�the���y�^����a����i����H&�w���e�assume�the�follo�wing:����?(iv)���y�^���UU�a����i����H&�is�UUnonzero�if�and�only�if������i�����is�nonzero.������5����>�l�����'������?�(v)�UUIf���T��������i�����\�=�������j����then���y�^����a����i������=����^����a����j����F�.����NW��*�e�UUthen�dene�������F�a����i��TL�(�t�)������G=������8�����i��TL�t�8�+���]x^����a����i����
�\�t�����2�����������ڦ�A�(�t;���z�p��)������G=������8�A����0��|s�(�t�)���������m�������@����Y����t�����i�=0������(�z��w��8�a����i��TL�(�t�))�����捍���R��B��q�(�z�p��)������G=������8�B����0��|s�z��p�����m�+�k��������?�Th���us�&ٵf��g��[ٟ�^��2�����=�$G�B���q��^��2����,�[9and��B��J�do�Ges�not�dep�end�on��t�.��SFix�a�n���um�b�er�&ٵR�:��m�uc�h�larger����?than��Pall�the��j�����i��TL�j�.�MW��*�e�will�c���ho�Gose��R���large�enough�that�certain�terms�are�p�ositiv���e.����?Sp�Gecically��*�,�UUw���e�require�that��R��߸���2�j�����i��TL�j��for�eac�h��i�,�and��������R����ܴ!�������{?�2�����3�m�+1����;������8�(1)������?and�e*t���w�o�more�conditions�on��R�Dz.��GOne�of�them�is�giv�en�in�equation�(31)�near�the����?end�UUof�the�pap�Ger.����NLet���N����b�Ge�the�n���um�b�er��of�nonzero�complex-conjugate�pairs�among�the������i��TL�.����?W��*�e�Fcan�index�the������i���˲in�suc���h�a�w�a�y�that������i��TL�;����:�:�:����;�������2�N��أ�are�the�nonzero������i���˲and������?�����?�����i����K��=�������N��,�+�i���8�for�S��i����N��.�q9The�follo���wing�equations�dene�t�w�o�p�Golynomials��h��and��p�:���ፍ���`*�h�(��uDz)������=�����������vt�N������ڝ�����Y����t��ڇ%�i�=1����&�j������8�����i��TL�j�����4���S�����uǟ���4�N�����󙍍����G�p�(�w�D�)������=������ڇ%��c��Z�����i���&�w��@���_�0�������uǟ���2�m��4�N��\��h�(��uDz)����d����@��?�The�UUlast�condition�on��R�i�is�that�the�follo���wing�inequalit�y�is�satised:�������X��p�(�w�D�)���<��0��(for�UU�w�����R�������8�(2)������?W��*�e�UUno���w�pro�v�e�that�it�is�p�Gossible�to�c�ho�Gose��R�i�so�that�this�condition�is�satised:������?�ALemma��T1���r��@F��;�or���suciently�lar��}'ge��R���@,�(2)�is�satise�d.����?Pr��}'o�of�.��W��*�e��jb�Gegin�b���y�sho�wing�that�the�leading�co�Gecien�t�of��h��is�negativ�e.���h��is����?of���degree�at�most�4�N�x��`��1,���since�the�term�in����uǟ�^��4�N���m�eviden���tly�cancels�out�to�zero.����?The�<�co�Gecien���t�of����uǟ�^��2�N��,��1�����is���4��������P�����ލ�8�N��%��8�i�=1����WڲRe��'&(�����i��TL�),�vnwhic�h�is�negativ�e�b�y�assumption����?(iii).�Q�Th���us��h��has�degree�4�N�����wt�1�and�a�negativ�e�leading�co�Gecien�t.�Q�Then��p�(�w�D�)��=�����?���īR����j���E���w��	#���C��0���M΄���uǟ�^��2�m��4�N��\��h�(��uDz)����d�#�is��\a�p�Golynomial�in��w��?�of�degree�4�N��,��with�negativ���e�leading����?co�Gecien���t.�)�Hence,��for��large�p�ositiv���e��w�D�,���h�(�w��)��is�negativ�e.�)�That�completes�the����?pro�Gof�UUof�the�lemma.����NW��*�e��)will�alw���a�ys��)assume�that��t��is�small�enough�that��A����0��)��and��B����0���are�analytic����?in�.�the�disk�of�radius��R��t�.�d�Let������1���B�b�Ge�a��C�����^��n��	Wi�real�functions�of�a�real�v��q�ariable��x��suc���h������6����M��l�����'������?�that��CI������;�����1��|s�(�x�)�������>=������m\0��(for��7N?�x�����t�����2��|s�R����������;������0���፱1���|s�(�x�)�������>�������m\�0��(for��9���8�t�����2��|s�R��߸���x����0����������;�����1��|s�(�x�)�������>=������m\1��(for��7N?0�����x����R��t����������;������0���፱1���|s�(�x�)�������>�������m\�0��(for��7N?�R��t�����x����(1�8�+��t�)�R�t����������;����1��|s�(�x�)�������>=������m\0��(for��7N?�x�����(1�8�+��t�)�R��t������?�It��follo���ws�from�the�stated�conditions�that�0�\�������1��|s�(�x�)����1��for�all��x�.��GDene����?�����2��|s�(�x�)�kl=�1�z��������1���(�x�).���Th���us�������1����+������2���߲=�kl1�and�hence�����^���0��l��1�����+�����^���0��l��2����߲=�kl0.���W��*�e�can�obtain����?�����1��;ײb���y��dtranslating�and�scaling�a�similar�functions�whic�h�v��q�aries�on�[0�;����1]�instead����?of�A�[�R��t;����(1�8+��t�)�R�t�],�Eyand�A�joining�it�with�another�suc���h�function�that�increases�from����?0���to�1�on�[0�;����1]�instead�of�[��R��t���^��2��|s�;��0].�M�W��*�e�will�need�an�estimate�on�����^���0��l��1���|s�.�Since������1�����?�m���ust�'�c�hange�b�y�1�in�an�in�terv��q�al�of�length��t���^��2��|s�R�Dz,�\jthe�magnitude�of�����^���0��l��1����?�m�ust�b�Ge����?somewhere��at�least�1�=�(�t���^��2��|s�R�Dz),���but�w���e�can�arrange�that�its�magnitude�is�at�most����?a�wtconstan���t�times�that.��&F��*�or�reasons�that�will�b�Gecome�clear�b�elo���w�w�e�c�ho�Gose�the����?constan���t�UUto�b�Ge��e���^��3��|s�.��*������͸j�������0���፱1���|s�(�x�)�j�������<$��JK�e���^��3����K�w�fe�t�	(֍�t���r�2���R����������8�(3)�����R��?That��7will�follo���w�if�the�unscaled�function�whic�h�v��q�aries�on�[0�;����1]�instead�of�[�R��t;��(1���+����?�t�)�R��t�]�a]has�deriv��q�ativ���e�b�Gounded�b�y��e���^��3��|s�,��)whic�h�is�easy�to�arrange.� uW��*�e�shall�ev�en�tually����?need���to�con���trol�the��n�-th�deriv��q�ativ�es�of������1��5f�as�w�ell.�=�If�w�e�start�with�a��C�����^��N����function����?� ���v��q�arying�DEon�[0�;����1]�and�scale�it�to�v�ary�on�[0�;���t���^��2��|s�]�instead,��b���y�dening���(�x�)�UR=����?� �[ٲ(�t���^��2��|s�x�),��'then��۵���^��(�n�)�����(�x�)��=��t���^��2�n��	m� ����^��(�n�)��
Y�(�x�).�DJIt���follo���ws�that�w�e�can�construct������1��IN�to�satisfy��x썍�����<$���0\�d���^��n��q~�����1����0\�w�fe��	(֍�]V�dx���r�n����������{H�=������Bf�O�G�(�t������2�n����)�:������8�(4)������?It�qJis�easy�to�see�b���y�induction�that�the�exp�Gonen�t�in�an�estimate�of�this�form����?cannot�UUb�Ge�impro���v�ed.����NHo���w�ev�er,���w�e�^rwill�need�a�sharp�Ger�estimate�on�����^���0��l��1�����in�order�to�pro���v�e�^rmono-����?tonicit���y��*�.��1W�e�v#need�this�only�on�the�in�terv��q�al�[��R��t���^��2��|s�;����0].��1Essen�tially��*�,�~Vthe�follo�wing����?lemma�$�sa���ys�that�w�e�can�c�ho�Gose������1����to�ha�v�e�its�steep�Gest�slop�e�near�the�origin,����?so���that�when��z�
e�is�near���R��t���^��2��|s�,������^���0��l��1���A�is�not�so�large.�?3The�previous�estimates�could����?b�Ge�p�satised�b���y�a�(smo�othed-out)�linear������1��|s�,�wkbut�the�sharp�er�estimate�requires�a����?(smo�Gothed-out)�UUlogarithmic������1��|s�.��i����?�ALemma��T2���r��@We�9c��}'an�c�onstruct������1�����@to�satisfy�the�pr�op�erties�state�d�ab�ove,�3\including����?(3)���and�(4),�and�also���썍��Ňt�j�������0���፱1���|s�(�x�)�j���������������<$�����1���w�feEW�	(֍2�j�x�j���������8�(5)�����+��?�@when����R��t���^��2��C�����x����0�@.�������7����Z��l�����'������?�@Pr��}'o�of���:���As���ab�Go���v�e,�w�e�could�re-scale�b�y�a�factor�of��t���^��2��|s�,�and�then�assume��t���=�1.����?Ho���w�ev�er,�fit�b�is�not�dicult�to�retain�the�factors�of��t�,�and�w���e�do�retain�them�for����?the���b�Genet�of�an���y�readers�who�ma�y�doubt�that�it�is�sucien�t�to�assume��t��=�1.����?Dene��C܍��v� �[ٲ(�x�)��:=�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍3������	ln������<$���ϸj�z�p��j��DA�w�fe�t�	(֍�R��t���r�2�������	n��?�for�Ӵ��R��t���^��2��C�����x����������33�R�	,t����r�2���33��&�fe�؟�������e����3������b>�.�F�Then�� �[ٲ(�x�)�increases�monotonically�from�0�to�1�o���v�er�that����?in���terv��q�al,�UUand��'j��˾�j� ��[ٟ���0��*�(�x�)�j�������<$��	���1���K�w�feEW�	(֍3�j�x�j�����rյ:����?�The���maxim���um�v��q�alue�of�� ��[ٟ�^��0���is�at�the�righ�t-hand�end�of�this�in�terv��q�al,��namely����?�x���=���R��t���^��2��|s�=e���^��3���,�UUand�hence��g��������j� ��[ٟ���0��*�j������Ac���������<$�����e���^��3����;��w�fe�u�	(֍�3�R��t���r�2������3\�:������8�(6)�����⍑?Extend��Ƶ �	��to�b�Ge�dened�for�all��x��b���y�making�� �[ٲ(�x�)��=�0���for��x�����R��t���^��2��*9�and��Ƶ ��(�x�)�=�1����?for�i%��R��t���^��2��|s�=e���^��3��d�����x����R�t�.��8Then�i%for��R�t�����x����(1�F+��t�)�R�t�,�n� �[ٲ(�x�)�i%decreases�from�1�to����?0.��hOn�g�this�in���terv��q�al�a�linear�decrease�will�suce,�l�as�w�e�do�not�need�the�sharp�Ger����?b�Gound�UUon�� ��[ٟ�^��0��g�that�w���ould�result�from�a�logarithmic�decrease.����NThen�rw���e�could�tak�e������1��sz�=��� ���except�for�the�fact�that�� ��is�not�smo�Goth�at�the����?\corners",�~Եx�S��=���R��t���^��2���Ȳand�CU�x��=���R�t���^��2��|s�=e���^��3���.�;�W��*�e�CUwill�dene������1���Ȳb���y�\rounding�o����?the�]�corners"�of�� �[ٲ,�_�so�as�to�mak���e������1���.�a��C�����^��n��	�U�function.���Sp�Gecically�w�e�dene������1���.�as����?a���con���v�olution�in�tegral�with�a�\mollier"�.��nDene��to�b�Ge�a�p�ositiv���e�smo�oth����?function�UUwith�supp�Gort�in�[��t���^��3��|s�;���t���^��3���],�UUand�in���tegral�1,�and�dene��y����ݵ����1��|s�(�x�)��=����c��Z��q��(�x�8����uDz)� �[ٲ(���)����d�:���A��?�The�^limits�of�in���tegration�are�unimp�Gortan�t�b�Gecause�b�oth�� �y7�and��ha���v�e�^b�ounded����?supp�Gort;�0w���e�s<ma�y�tak�e�the�limits�of�in�tegration�to�b�Ge���1�and�1�for�example.����?W��*�e���can�dieren���tiate�this�equation,�]dieren�tiating�under�the�in�tegral�sign�on�the����?righ���t�UUand�then�in�tegrating�b�y�parts�to�obtain���@���z��������0���፱1���|s�(�x�)��=����c��Z��q��(�x�8����uDz)� ��[ٟ���0��*�(���)����d�:��q΍�?�Hence�������К�j�������0���፱1���|s�(�x�)�j������N����������۲sup���q�����j�x���=�j�t����3����V��j� ��[ٟ���0��*�(��uDz)�j����������N�����������sup�����ظj� ��[ٟ���0��*�j������?�That�UUpro���v�es�(3),�since��j� ��[ٟ�^��0��*�j����e���^��3��|s�=�3�R��t���^��2���Ȳb���y�(6).������8����	i��l�����'������N�F��*�or�UU�x��b�Get���w�een�UU��R��t���^��2���S��8�t���^��3���Ȳand���R�t���^��2��|s�=e���^��3���S��8�t���^��3���,�UUw���e�ha�v�e��E`�������j�������0���፱1���|s�(�x�)�j������������c޵ ��[ٟ���0��*�(�x�8�+��t�����3��|s�)�����������=���������<$��b�1����w�fe$��	(֍�j�3�x�8�+��t���r�3��|s�j����������������=���������<$��b�1����w�fe$��	(֍3�j�x�j�8���t���r�3�����������������������<$���9��1����w�feEW�	(֍2�j�x�j��������B��?�F��*�or�UU�x��within��t���^��3���Ȳof���R��t���^��2��|s�=e���^��3���,�UUw���e�ha�v�e���������j�������0���፱1���|s�(�x�)�����վ:����������<$���e���^��3���踋�w�fe�u�	(֍�3�R��t���r�2��������������վ:�=���������<$���i�1��踋�w�feb?�
\�3�������33�R�	,t����2���33��&�fe�؟�������e����3�������������������վ:����������<$��?�1��踋�w�fe<
(�	(֍3(�j�x�j�8�+��O�G�(�t���r�3��|s�))������������վ:���������<$���[6�1��踋�w�feEW�	(֍2�j�x�j�������%���?�for�'sucien���tly�small��t�.�b[Th�us�w�e�ha�v�e�established�the�desired�b�Gound�on�����^���0��l��1������for��x����?�b�Get���w�een�ʨ��R��t���^��2�������t���^��3��G�and���R�t���^��2��|s�=e���^��3����+���t���^��3���.��But�ʨoutside�these�regions,��for�negativ���e����?�x�,�#ŵ����1���Բis�aconstan���t;�,so�the�b�Gound�is�established�for�negativ�e��x�.�]!Then������1���Բdecreases����?in�ʶthe�in���terv��q�al�[�R��t;����(1�� +��t�)�R�t�].���Here�ʶw���e�do�not�need�a�p�Goin�t�wise�b�Gound,��and�a����?(mollied)�@dlinear�decrease�from�1�to�0�w���ould�suce,�{'but�the�shortest�w�a�y�to����?nish�ܙthe�pro�Gof�is�simply�to�let������1��Y�on�this�in���terv��q�al�of�length��R��ǟ�^��2��lӲb�e�dened�as����?a�.�re
ection�and�translation�of������1�����on�the�in���terv��q�al�[��R��t���^��2��|s�;����0];�;ysince�re
ections�and����?translations���preserv���e�the�magnitude�of�the�deriv��q�ativ�e,���the�b�Gounds�w�e�established����?on�UU[��R��t���^��2��|s�;����0]�apply�to������1���Ȳso�dened.����NThe�VLfunction������1��ҿ�is�as�man���y�times�dieren�tiable�as�;�V�in�particular�it�is��C�����^��n��(��.��
c���?W��*�e�
�do�not�claim�that������:��(�n�)���l�1����O�is�giv���en�b�y�con�v�olution�of�� ��[ٟ�^��(�n�)��(�with�,�b�Gecause�after����?the�16rst�deriv��q�ativ���e�there�ma�y�b�Ge�b�oundary�terms�if�w���e�in�tegrate�b�y�parts,�8psince����?� ��[ٟ�^��0��(^�is��Lnot�con���tin�uous.�T�But��Lw�e�do�not�need�to�in�tegrate�b�y�parts�to�establish�that����?�����1��Ҥ�is�V1in��C�����^��n��(��,�Vhand�w���e�do�not�need�an�explicit�b�Gound�on�an�y�deriv��q�ativ�e�ab�Go�v�e�the����?rst;�.Iw���e��only�need�the��O�G�(�t���^���2�n����)�b�ound�giv���en�in�(4).�^AThis�completes�the�pro�of�of����?the�UUlemma.����NW��*�e�UUdene���x䍑3�~������X���g�(�t;���x�)��:=��Eg��������<$��n�]1��n�]�w�fe�	(֍2������u(�Re������r���^����萵����1���'��c��Z�����i��'�x��@���U�0���ڨ�A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+������2���'��c��Z�����i��'�x��@���U�0���ڨ�A�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx����^�������Eh��?�and��nally�w���e�dene���i�~����u���s�(�t;�����)�to�b�Ge�the�harmonic�extension�of�the�b�oundary�v��q�alues����?(���x䍑�:~�����X���	Ʋ(�t;�����))�@.to�the�parameter�domain�of��u�.����B~���f�u����is�a�one-parameter�family�of�harmonic������9����
v6�l�����'������?�surfaces��b�Gounded�b���y�.�_�The�fact�that�for�eac�h�xed�p�Gositiv�e�(sucien�tly�small)����?�t�,����P~���Lt�u���P.�tak���es�J<the�b�Goundary�monotonically��*�,�Ltwill�b�e�established�in�Lemma�10�b�elo���w.����?Note��that�when��t��c�=�0��w���e�ha�v�e������1��S��iden�tically�zero�and������2��S��iden�tically�1,���and���z�~����u������?�then�UUcoincides�with��u�.����?�@R��}'emark�.���Originally��^it�seemed�natural�to�mak���e������1��	KѲan�ev�en�function,�-�taking����?the��Iv��q�alue�1�on�the�in���terv�al�[��R��t;���R�t�],���but��Ithen�the�family���_%~����u���
0�do�Ges�not�tak���e�the����?b�Goundary��Vmonotonically�on�b�oth�sides�of�the�origin.�RsIt�is�necessary�to�mak���e�the����?v��q�ariation��[essen���tially�only�on�one�side�of�the�origin,��\b�y�letting������1��Mβb�Ge�1�only�on����?[0�;���R��t�].��W��*�e��elet������1��Vزreturn�to�zero�as�near�the�origin�as�p�Gossible�for�negativ���e��x�.����?This�
�w���orks�against�monotonicit�y��*�,�80but�not�enough�to�destro�y�monotonicit�y��*�,�80as����?there���are�other�terms�that�out���w�eigh���the�con���tribution�from�this�in�terv��q�al�of�length����?only�UU�t���^��2��|s�R�Dz.�� �&��?�Geometric�ffb�s3ounds�on�the�index�������?�ATheorem��T1���z�D�Geometric�15b�Gounds�on�the�index�@.��qL��}'et�^0�u��@have�a�b�oundary�br�anch����?p��}'oint��8of�or�der��M��S�@and�index��k����@on�a�r�e�al-analytic�b�oundary�se�gment����@p�ar�ametrize�d����?as������^��0���Q�=��(1�;���C����1��|s���!ǟ�^��q���<�+��8�:�:�:���/;�C����2�����!ǟ�^��p�����+��8�:�:�:��
ㇲ)�@.���Then���k������(�M�O��+�8�1)�p�@.��k���?R��}'emark���:�
�Wienholtz��7has�sho���wn�(priv��q�ate�comm�unication)�that�this�b�Gound�is�b�est-����?p�Gossible,�+�b���y��constructing�examples�of�branc�h�p�Goin�ts�b�Gounded�b�y�real�analytic����?arcs�UUusing�the�solution�of�Bjorling's�problem�giv���en�in�[�8��].����?�@Pr��}'o�of���:���W��*�e��Zha���v�e��f���(�z�p��)�v=������P��XY�e����i��TL�z����^��i��O=�and��Z�g�[ٲ(�z��)�=������P��XY�c����i��TL�z����^��i����.��Note��Zthat�the�rst�nonzero����?�e����i��&��is��8�a����M���\�,��qwhere��M��S�is�the�order�of�the�branc���h�p�Goin�t.��qIf��u��is�monotonic�on�the����?b�Goundary��*�,��as���is�the�case�in�Plateau's�problem,�then��M�
�m���ust�b�Ge�ev�en,��and�w�e����?ha���v�e�TO�M��(�=�p
2�m�;���but�it�is�not�necessary�to�assume�that�in�this�section,��so�w���e����?con���tin�ue�&�to�write��M�=��for�the�order.��]W��*�e�ha���v�e�&�dened����j�and����}�in�the�previous����?section.����NW��*�e�UUha���v�e��k����������!Dz(�z�p��)��������=��������X���(�z�p��)����y�������=��������Re������<$����h1����h�w�fe�	(֍2������ڠD��c��Z���J�f�Lo��8�f��g��[ٟ���2���L�dz������������޲=���������<$����-�a����M�����/�w�fe��	(֍�M�O��+�8�1�������*�Re���Ny�z��p�����M��,�+1���ֲ+�8�O�G�(�z��p�����M��,�+2��p��)�������?Plugging�UUthis�in���to�the�equation�for����^��0��#��ab�Go�v�e,�w�e�ha�v�e�for�real��z�p��:�� X#����}�������0���9�(��!Dz(�z�p��))������+p=���������Z����2������4�����kǍ��ȝ:�1���z����ȝ:�C����1��|s�a���1ɍ�q�����M����\�z��p���^��(�M��,�+1)�q���m�+�8�O�G�(�z��p���^��(�M��,�+1)�q�@L�+1��'���)������ȝ:�C����2��|s�a���1ɍ�p�����M����\�z��p���^��(�M��,�+1)�p�� 	*�+�8�O�G�(�z��p���^��(�M��,�+1)�p�+1��'�M�)�������Z��R^\�3����R^\5������� �\��N�W��*�e���ha���v�e��u�(�z�p��)���=�(��!Dz(�z��))���for�real��z��.�X�T��*�o�emphasize�that�w���e�are�considering����?real���z�
��w���e�write��x��instead�of��z�p��.�3VDieren�tiating�with�resp�Gect�to��x��w�e�ha�v�e��du=dx���=�������10�����u�l�����'������?����^��0���9�(��!Dz(�x�))�����^��0����(�x�).�q�Since�UU���(�z�p��)��=��X���(�z��)�UUw���e�ha�v�e�������du=dx���=������0���9�(�X���(�x�))�dX��=dx����N�W��*�riting��out�the�third�comp�Gonen���t�of�this�v�ector�equation,�+`w�e�ha�v�e�(on�the����?real�UUaxis)������v;
�d��q�Z�(�=dz������)F�=�������d�d��q�Z�(�=dx���=��Re��ꦵf��g���������)F�=�������d(�C����2��|s�a���1ɍ�p�����M����\�z��p�����(�M��,�+1)�p�� 	*�+��8�:���:�:��
ㇲ)�dX��=dz����QX�����)F�=�������d(�C����2��|s�a���1ɍ�p�����M����\�z��p�����(�M��,�+1)�p�� 	*�+��8�:���:�:��
ㇲ)(�a����M���z��p�����M���Ӳ+�8�O�G�(�z��p�����M��,�+1��p��))���������)F=�������d�C����2��|s�a���1ɍ�p�+1������M����U�z��p�����(�M��,�+1)�p�+�M��.��+��8�:���:�:�������?�W��*�orking��@no���w�on�the�left-hand�side,���the�real�part�of��f��g�4�b�Gegins�either�with�the����?term�}in��z��p���^��M��,�+�k�+B�+�����,�vor�with�the�term��z��p���^��M��,�+�k�+B�+���}l�,�dep�Gending�on�whic���h�is�smaller,���p`�or����?�����;���or�{�conceiv��q�ably��*�,��these�t���w�o�{�terms�could�cancel�and�the�rst�term�w���ould�b�Ge�an����?ev���en���higher�p�Go�w�er�of��z�p��.�n�If�one�of���
��or���L��is�not�dened�b�Gecause�the�co�ecien���ts����?of�p��f���are�all�real�or�those�of��g��Y�are�all�imaginary��*�,�wKthen�the�real�part�of��f��g��b�Gegins����?with���whic���hev�er�term�do�Ges�exist.�TITh�us�w�e�ha�v�e�one�of�the�follo�wing�alternativ�es:����?Either������%(�M�O��+�8�1)�p���=��k��w�+������?�or�����#�(�M�O��+�8�1)�p���=��k��w�+������?�or�¿��j�=����#��and��k�dL�+����<���(�M�*в+�1)�p�.�@�Note�¿that�if�all�the�co�Gecien���ts�of��f��N�are�real,��so������?�is��not�dened,���only�the�second�alternativ���e�is�p�Gossible,�while�if�all�the�co�Gecien���ts����?of��^�g�7�are�imaginary��*�,�� only�the�rst�alternativ���e�is�p�Gossible.���In�all�three�cases,�w���e����?ha���v�e�UUthe�desired�conclusion��k������(�M�O��+�8�1)�p�.��!č�?�Another�ffgeometric�lemma�����?�Recall�gthat�the�n���um�b�Ger�g���]�is�the�least�exp�onen���t�suc�h�that�the�co�Gecien�t��E���of����?�z��p���^��2�m�+����H�in��Jthe�W��*�eierstrass�function��f��ٲof��u��has�a�nonzero�imaginary�part.��Also����?recall�C,the�denition�of���`�:�h��c����k�+B�+����x���^��k�+B�+���5IJis�the�rst�term�in��g���whose�co�Gecien���t�has�a����?nonzero�UUreal�part.�q�(It�is�p�Gossible��@a���priori��that���'��=��0.)������?�ALemma��T3���r��@L��}'et���u��@b�e�a�minimal�surfac�e�p�ar�ametrize�d�in�the�upp�er�half�plane,���with����?a��tb��}'oundary�br�anch�p�oint�at�origin.�[?Supp�ose�that��u��@sp�ans�a��C�����^��2��	�@Jor�dan�curve������?�@such�Vthat�at�the�br��}'anch�p�oint,�6����@p�asses�thr�ough�the�origin�tangent�to�the��X����@-axis.����?Supp��}'ose�that�ne�ar�the�origin����@has�a�p�ar�ametrization�as�discusse�d�ab�ove,�4	so�that����?����^��0���9�(��!Dz)�/=��h�0�;���C����1��|s�����^��q���\�;�C����2��|s�����^��p����i�Z��@for�some��p��@and��q�[��@.��Then�with������@as�dene��}'d�ab�ove,��Cwe����?have����j>���1�@.��������11�������l�����'������?�@Pr��}'o�of�.�q�W��*�e�UUha���v�e�b�y�the�W��*�eierstrass�represen�tation,�for�real��x�,�������wП���2��{�C�u����x�������N��=������ø��Im����(�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ���2���L�)���������N�=������õE���x�����2�m�+���kG�+�8�E�x�����2�m�+2�k�+B�+���&�ڲ+��O�G�(�x�����2�m�+�k�+B�+��� +6�)�+���:���:�:����������N��=������õE���x�����2�m�+���kG�+�8�O�G�(�x�����2�m�+2�k�+B�+���$'��)�+���:���:�:�������?�where���:���:�:�����stands�for�terms�in���v�olving�higher�p�Go���w�ers�of��x��than�those�sho���wn.�VWSup-����?p�Gose�UUthat���j�=��1.�q�Then�w���e�ha�v�e������������2���Y�u����x�������໲=�������ٵE���x�����2�m�+1����+�8�O�G�(�x�����2�m�+2�k�+B�+���$'��)�+���:���:�:����������໲=�������ٵE���x�����2�m�+1����+�8�O�G�(�x�����2�m�+2����)������8�(7)������?On�D�the�other�hand,�H9from�the�parametrization�of��and�the�fact�that��u��spans�,����?w���e�UUha�v�e��絍�����u����2��C��=�����<$���K�C����2��|s�s���^��q�@L�+1����K�w�feܻ�	(֍�h��q����+�8�1�����&C+�8�O�G�(�s�����q�@L�+2�����)������?Therefore���������П���2���C�u����x����=��[�C����2��|s�s�����q���u�+�8�O�G�(�s�����q�@L�+1�����)]�s����x�������?�Arc�UUlength��s��is�giv���en�b�y��'j���7�s���=�����<$��^%1���K�w�fe+Ƕ�	(֍2(2�m�8�+�1)�����0�4�x�����2�m�+1����+�8�O�G�(�x�����2�m�+2����)��MЍ�?and���substituting�this�expression�in���to�the�previous�equation,�Qw�e�ha�v�e,�Qwith��C����6��C��=����?�C����2��|s�=�(4(2(2�m�8�+�1))���^��q��j��),��������N���2����W�u����x����������=������T�[2�C����6��|s�x�����(2�m�+1)�q��"��+�8�O�G�(�x�����(2�m�+1)�q�@L�+1��)���)]�s����x�������������=������T׵C����6��|s�x�����(2�m�+1)�q��ߨ�x�����2�m��
��+�8�O�G�(�x�����(2�m�+1)�q�@L�+2�m�+1��;8I�)�����������=������T׵C����6��|s�x�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��1��<��+�8�O�G�(�x�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)������?Comparing��kthis�with�(7),��1w���e�nd�2�m����+�1���=�(2�m����+�1)(�q��r�+�1)����1.��Subtracting����?(2�m�)��3from�b�Goth�sides�w���e�nd�1���=�(2�m��ɲ+�1)�q�[ٲ,��whic�h��3is�imp�Gossible�since��q�����޲1����?and�UU�m�����1.�q�Since���j���1�b���y�denition,�that�completes�the�pro�Gof�of�the�lemma.��!č�?�A�ffp�s3oten���tial-theoretic�lemma�����?�W��*�e�T2will�need�to�b�Gound�the�normal�deriv��q�ativ���es����^��2����	t��~���Х�u����y�����ܲand����^��3����	t��~���Х�u����y����X��,���or�at�least�their����?dierences�afrom����^��2��ݎ�u����y��/��and����^��3���u����y��·�,�d
in�terms�of�the�b�Goundary�v��q�alues�of����~����u���	��.��Let��h��b�e�a����?harmonic��function�in�the�unit�disk.�\IIt�is�w���ell-kno�wn��(and�easily�pro���v�ed,�!�see��e.g.����?[�9��],��Zp.��16)���that��r�h��is�b�Gounded�b���y���[�=�����P�p���UW���P�fe�E���3����0Jtimes�a�b�ound�for��d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)�=d����^��2���.��W��*�e����?apply�UUthat�theorem�to�pro���v�e�UUthe�follo���wing�lemma.�������12����
���l�����'��������?�ALemma��T4���r��@Supp��}'ose���that�for�some�function��K���(�t�)��@we�have����pH��j�����i�����(�~���TL�u����xx�����r���8���i���,�u����xx��	�ȸj����K���(�t�)��q��@on����(1�8�+��t�)�R��t�����x����(1�8�+��t�)�R�t����:����?�@Then��?�j���^��i�����(�~���TL�u����y����ZG���}���^��i���B�u����y��·�j�s���C����7��|s�K���(�t�)��@for�al���l��x�@,�for�some�c��}'onstant��C����7��o��@dep�ending�only�on����?�R���@,���and�al���l�suciently�smal�l��t�@.����?Pr��}'o�of�.�A�Let�Ġ�����b�Ge�a�conformal�mapping�from�the�unit�disk�to�the�upp�er�half�plane.����?Dene�{�h�(�z�p��)��=����^��i�����@�~���d�u�����(����(�z��))��_�����^��i��ث�u�(����(�z��)).�)Since����~���{�u���4��(�x�)��=��u�(�x�)�{for�real��x��outside�[��tR��;���tR��],����?w���e�UUha�v�e��d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)�=d��G��^��2�����=��0�outside������^���1��yW�([��tR��;���tR��]).�q�W��*�e�dene�����z<�H���(�x�)��=������i�����@�~���d�u�����(�x�)�8�������i���,�u�(�x�)�:����?�W��*�e��need�to�c���hec�k��that�a�b�Gound�on�the�second�deriv��q�ativ���e��H����xx��
�c�translates�to�a����?b�Gound�-�on�the�second�deriv��q�ativ���e��d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)�=d����^��2��Ð�.�d�F��*�or�this�computation�w���e�need�an����?explicit�UUexpression�for�����(�z�p��).�q�W��*�e�can�tak���e���>���'����(�z�p��)��=��i�����<$��33z��w�+�8�i��33�w�fe��	(֍z��w��8�i�����(V:��1^��?�Observ���e��Bthat�����(��i�)�N=�0,��~���(�i�)�=��1�,��~and��B���(1)�=���i�(1�\(���i�)�=�(1�+��i�)�N=���1;���since��B�����?�is��a�linear�fractional�transformation,��it�tak���es�circles�on�to�circles�or�lines,��so�it����?tak���es�>�the�unit�circle�on�to�the��x�-axis.�jQSince�it�tak�es�0�to��i�,�Clit�tak�es�the�unit�disk����?on���to�UUthe�upp�Ger�half-plane.�q�W��*�e�ha�v�e��3�������<$��JN��d���(�e���^��i��Z��)��JN��w�fe��	(֍�	�ѵd��������s�Ȳ=���������<$���UP2�ie���^��i������w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�2����������W��������<$��CU��d���^��2���@�F�w�fe�ɟ	(֍�d��G��r�2������P�B����(�e�����i��Z��)�����s��=���������<$���*���2�e���^��i������w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�2��������������<$��,�2�ie���^��2�i���l�w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�4���������C���������<$��B���d���^��2���@33�w�fe�ɟ	(֍�d��G��r�2������P/�h�(�e�����i��Z��)�����s��=���������<$�����d���^��2������w�fe�ɟ	(֍�d��G��r�2�������t�H���(����(�e�����i��Z��))����W����s��=���������<$�����d�����w�fe
-V�	(֍d���������J���^�����h�H�������7�(����(�e�����i��Z��))�����<$��33�d��(�e���^��i���)��33�w�fe��	(֍�	�ѵd������ �^���^��������L����s�Ȳ=������c�H�����7���n�(����(�e�����i��Z��))��������^�������<$��
:O�d��(�e���^��i���)��
:O�w�fe��	(֍�	�ѵd������)�z���^�����0���7��2��7�A�+�8�H�������7�(���(�e�����i���))�����<$�����d���^��2���33�w�fe�ɟ	(֍�d��G��r�2������/���(�e�����i���)��������s��=������c�H�����7���n�(����(�e�����i��Z��))��������^�������<$�����2�ie���^��i���
:O�w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�2�������3^i���^�����:�ݟ�7��2��Ap0�+�8�H�������7�(���(�e�����i���))��������^�������<$������2�e���^��i���$��w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�2������3�������<$��,�2�ie���^��2�i���l�w�fe'��	(֍�(�e���r�i��	�c��8�i�)���r�4�������,�-���^��������z��?�No���w,��ufor��ո�R��t�(����x����R�t�,��uassuming��յt�<��1�=R����and��x��=�����(�e���^��i��Z��),��uw���e�ha�v�e��e���^��i��
�X�in�the����?lo���w�er�UUhalf-plane,�and�hence��j�e���^��i��	�c��8�i�j����1.�q�Hence���N���������X�������X������X������X��������<$����I�d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)����I�w�fe#=~�	(֍�
Iڵd��G��r�2������������Q�������Q������Q������Q������ng����4�����sup���c��j�H�������00���p�j�8�+�4�j�H�������0���7�j�:��������13�����=�l�����'������?�Since�N�H��L�is�nonzero�only�on�[��(1���+��t�)�R��t;����(1�+��t�)�R�t�],�(��H���������is�Nb�Gounded�b���y�4�R�t��times����?an���y�gub�Gound�for��H�����7���n�.��)W��*�e�ha�v�e�assumed��j�H�����7���n�(�x�)�j��N��K���(�t�).��)Putting�guin�the�b�Gounds����?for�UUthe�deriv��q�ativ���es�of��H���,�w�e�ha�v�e��3���������Լ������Լ�����Լ�����Լ�������<$���]D�d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)���]D�w�fe#=~�	(֍�
Iڵd��G��r�2��������������������������������������b����4�K���(�t�)�8�+�16�R��tK��(�t�)��qύ�?F��*�or�UUsucien���tly�small��t�,�the�second�term�is�dominated�b�y�the�rst�and�w�e�ha�v�e�����������v�������v������v������v��������<$���}�d���^��2��|s�h�(�e���^��i��Z��)���}�w�fe#=~�	(֍�
Iڵd��G��r�2������������p.������p.�����p.�����p.�����������8�K�(�:����?�No���w�Gw�e�are�in�a�p�Gosition�to�apply�the�theorem�cited�at�the�b�eginning�of�the����?section.�.It��yields�the�desired�conclusion�of�the�lemma,���with��C����7���,�=�/�8����[ٟ��P�p����0���P�fe�E���3����
�1.�That����?completes�UUthe�pro�Gof�of�the�lemma.��!č�?�The�ffreal�and�imaginary�parts�of��N��g�ffcmmi12�NA����=�2������?W��*�e�Fdene��w��F�=�Xc�z�p�=t�.�DMost�of�our�calculations�will�tak���e�place�in�the��w�D�-plane.����?Recall�1that��A�(�t;���z�p��)��0=��A����0��|s�(�z��)��������Q�����ލ�q�m��%��qi�=0������(�z�"�����a����i��TL�(�t�))�1and�that��a����i���(�t�)��0=��t����i��i�+���t���^��2��|s�i���$��^���a����i�����|�.��\W��*�e����?dene��������x䍒��z~��������A�����0������]�(�w�D�)������'=�������;�A����0��|s�(�tw�D�)����������x䍒��~������r\�A�����]�(�w�D�)������'=�������;�A�(�tw�D�)����������@��AA�(�w�D�)������'=�������������m�������ӟ���Y����t����;�i�=0����⊲(�w�}ø�8�����i��TL�)�����t���?Observ���e�UUthat��������A������=�������=�t�����m�����AA�8�+��O�G�(�t�)�����%�����ou���c��Z�����i��yu��x��@��uʱ0����)�A�����2��|s�dx�������=�������=�t�����2�m�+1���_���c��Z�����i��!_��w��@����0���)���AA�����2��|s�dw�}ò+�8�O�G�(�t�����2�m�+2����)����QM������x䍑~�|~�����{��A����0������_�(�w�D�)������=�������=1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�)�+��iE���t��������ɵw��D�����w��+��Im����O��(�t������wi�+1��̵w��D����wi�+1��^��)��������?�ALemma��T5���r��@We���have,�for�r��}'e�al���w�D��@,�������`��Re��pL;�A�����2�������H��=������͵t�����2�m����AA�����2���S�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1����w��D���2�m��2�N��,�)����Ȍ�����`ƋIm��pL;�A�����2�������H��=������͸�4�t�����2�m�+1����AA�����2�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�(�w�}ø��8�Re��������i��TL�)��v��w�fe=')�	(֍�
��j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������X	��+�8�O�G�(�t�����2�m�+2���w��D���2�m��2�N��,�)�����;��?�@wher��}'e���ther�e�ar�e��N���@p�airs�of�non-r�e�al,�c�omplex-c�onjugate������i��TL�@.��������14�������l�����'������?�@Pr��}'o�of�.��Without�h�loss�of�generalit���y�w�e�ma�y�supp�Gose�that�the�nonzero������i���
�with����?p�Gositiv���e��mimaginary�part�are������1��|s�;����:�:�:����;�������N�����,��and�that������������i����#�=��������N��,�+�i��_��for��i��=�1�;����:�:�:����;���N��.����?That�s	is,��vthe�complex�conjugates�of������1��|s�;����:�:�:����;�������N����are������N��,�+1�����;��:�:�:����;�����2�N���$�.���The�rst����?imaginary���term�in��A���^���2��l�0���9!�is�the��z��p���^����	'�term,�քand�the�imaginary�part�of�its�co�Gecien���t����?has�UUalready�b�Geen�giv���en�the�name��E����.�q�Th�us�for�real��w��8�w�e�ha�v�e������bA�A������2����0�������x>g�=�������1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�)�+��iE���t��������ɵw��D�����w��+��O��(�t������wi�+1��̵w��D����wi�+1��^��)���������bA�A�����2������x>g�=��������A������2����0��������	��m������=�����Y����t��'�i�=1���j�(�z��w��8�a����i��TL�(�t�))�����2�����������x>g�=������������b����01�(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�+��iE���t��������ɵw��D�����w��+��O��(�t������wi�+1��̵w��D����wi�+1��^��)����b����A7��t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����Ȑ������������N�����������Y����t�����i�=1�������|�[���k�(�w�}ø�8�����i���,���i���$��^���a����i�����|�t�)(�w�����7����������i����+����i���$��^���a����N��,�+�i����ֽ�t�)�]����-������2������;��?�Since���y�^���UU�a����i������=����^�����a����N��,�+�i�����*�w���e�UUha�v�e������bA�A�����2������x>g�=������������b����01�(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�+��iE���t��������ɵw��D�����w��+��O��(�t������wi�+1��̵w��D����wi�+1��^��)����b����A7��t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����Ȑ������������N�����������Y����t�����i�=1�������|�[���k�(�w�}ø�8�����i���,���i���$��^���a����i�����|�t�)(�w�����7����������i����+����i���$��^���a����i�����|�t�)�]���� KP����2�����Lt��?�The�UUterms�in�the�indexed�pro�Gduct�can�b�e�simplied�as�follo���ws�(for�real��w�D�):��	��������.d[�����(�w�}ø�8�����i���,���i���$��^���a����i�����|�t�)(�w�����7����������i����+����i���$��^���a����i�����|�t�)�]�����8����2�����-ύ����gF�=��������.d���b����Y�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����2���S����]x�^����a����i����
�\�t�(�w��������i���,�+��w�����7����������i�����ϲ)�����]x�^����a����i����
�\�t�����2���|s���b�����K����	�2�����-Ӎ����gF�=��������.d���b����Y�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����2���S���2���$�^���a����i�����|�t�(�w�����Re��\n�����i��TL�)�����]x�^����a����i����
�\�t�����2���|s���b�����5�����	�2�����#ݍ����gF�=������.d�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���4�i���$��^���a����i�����|�j�w��������i��TL�j�����2��|s�(�w�����Re��\n�����i��TL�)�+��O�G�(�t�����2��|s�)������?Putting�UUthis�expression�in���to�the�indexed�pro�Gduct�again�w�e�obtain������bA�A�����2������x>g�=������������b����01�(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�+��iE���t��������ɵw��D�����w��+��O��(�t������wi�+1��̵w��D����wi�+1��^��)����b����A7��t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����Ȑ������������N�����������Y����t�����i�=1�������|���b�����(�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���4�i���$��^���a����i�����|�j�w��������i��TL�j�����2��|s�(�w�����Re��\n�����i��TL�)�+��O�G�(�t�����2��|s�)����b���������8�(8)�����;��?T��*�aking�UUthe�real�part,�w���e�nd��qˍ����eͰRe��t�>�A�����2��������=��������(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����־����Y������-H����b��1s0�j�w�}ø������i��TL�j�����4���S�+��O��(�t�����2��|s�)����b�������������=�������еt�����2�m����w��D���2�m��2�N�����־����Y����-H��j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S�+��O�G�(�t�����2�m�+1����w��D���2�m��2�N��,�)����i�������=�������еt�����2�m����AA�����2���S�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1����w��D���2�m��2�N��,�)������?for�UUreal��w�D�.�q�This�is�the�rst�form���ula�claimed�in�the�lemma.�������15�����<�l�����'������N�No���w�UUtak�e�the�imaginary�part�of�(8).�q�W��*�e�ha�v�e���&�����l-oIm��{t��A�����2�������q�=������8(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����,���b�����!VµE���t��������ɵw��D���������T����Y����[�j�w�}ø������i��TL�j�����4�����Ȑ�����8��4����������Y����qƲ(�w�}ø�8�����i��TL�)�����4�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�t�(�w�����Re��\n�����i��TL�)��v��w�fe@�	�	(֍����j�w��������i��TL�j���r�2���������Y.����b���������t��"��?�Since�UU��j>���1�b���y�Lemma�3,�w�e�can�drop�the�term�in��t���^�����ɲ.�q�W��*�e�then�ha�v�e��u�����K�PIm��Z�n�A�����2������p��=���������4(1�8�+��Re��\n�O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��2�N�����־����Y����+�ܲ(�w�}ø������i��TL�)�����4�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�t�(�w�����Re��\n�����i��TL�)��v��w�fe@�	�	(֍����j�w��������i��TL�j���r�2���������#����p��=���������4�t�����2�m�+1����w��D���2�m��2�N�����־����Y����+�ܲ(�w�}ø�8�����i��TL�)�����4�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�(�w�����Re��\n�����i��TL�)��v��w�fe<藟	(֍�
���j�w��������i��TL�j���r�2������������������+�UU�O�G�(�t�����2�m�+2����w��D���2�m��2�N��,�)����Ȍ����p��=���������4�t�����2�m�+1����AA�����2�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�t�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��v��w�fe@�	�	(֍����j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������[g۲+�8�O�G�(�t�����2�m�+2���w��D���2�m��2�N��,�)�����]��NThat�UUcompletes�the�pro�Gof�of�the�lemma.�� Wt��?�The�ffcase��Nm����>X�Qffcmr12�=�1�����?�The�case��m���=�1�requires�a�dieren���t�treatmen�t,��since�there�are�only��m��of�the������i��TL�,����?so��in�case��m��=�1��there�is�only�one�of�them,�5�so�w���e�cannot�ha�v�e�t�w�o������i��]I�whic�h����?are���complex�conjugates.�S�Instead�w���e�will�split��A���^��2��w9�as�a�whole,��instead�of�splitting����?only�f��A�.���Recall�that�the�W��*�eierstrass�function��f���(�z�p��)�of�the�original�surface,�j�giv���en����?b���y��ڵf���(�z�p��)���=�(�d=dz��)(���^��1��|s�u��8�����^��2����u�),��;is��ڵA���^���2��l�0����z��p���^��2�m����.��WW��*�e�c���ho�Gose�a�complex�n�um�b�Ger���	z�,��;and�a����?real�q|n���um�b�Ger����^����a������,�x�whic�h�will�b�Ge�1�or���1;��w�e�will�sp�Gecify�the�sign�of����^����a���,(�later.��<F��*�or��z����?�real�UUand��w���=���z�p�=t��w���e�ha�v�e���"�����Pm�A����2�������L�:=��������A������2����0���|s�(�z��w��8��	zt��5���i����@�^������a�����t�����2���)(�z��w����7�����������t����i����@�^������a�����t�����2���)�����������AA����2�������L�:=�������(�w�}ø�8��	z�)(�w�����7������������)����������o=��������j�w��D���2���6�+�8��	z�j�����2�����������o�=��������w��D���2���6��8�2�Re���9(��	z�)�+��j���j�����2�������?�Of�h�course,�m�if�w���e�w�ere�to�use�this�form�ula�in�the�W��*�eierstrass�represen�tation�of�a����?minimal��6surface,���w���e�w�ould�b�Ge�in�tro�Gducing��g�[ٲ(�z�p��)��:=��������p����������fe��wv��A�����v���#�2����,���whic�h��6is�not�analytic,����?since���A����2��}�has�a�zero�at��it��so�there�is�a�branc���h�cut�of�the�square�ro�Got�function����?in��Kthe�parameter�domain.��But,��w���e�will�not�in�tro�Gduce��A����2��^��in�to�the�W��*�eierstrass����?represen���tation.�RhW��*�e��5use��A����2����only�to�dene���x䍑~o~������X������,���and�w�e�dene,���as�b�Gefore,���V�~����u���
��to�b�Ge����?the�UUharmonic�extension�of��8����x䍑�~������X���J��.�q�Sp�Gecically�UUw���e�tak�e�������x䍒��b~������(�X������=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�������'��c��Z�����i���(�x��@��fa�0������A����2��|s�(�x�)�8�+��B���q����2����(�x�)�dx��������16�����Ѡl�����'������?�where�p�as�b�Gefore��B���q��^��2��m��do�es�not�dep�end�on��t��but�is�just�the���f��g��[ٟ�^��2��H�of�the�giv���en�surface����?�u�.���This�aNdenes�a�one-parameter�family�of�harmonic�surfaces�join���tly�analytic�in����?�t�UU�and��z�p��.��������?�ALemma��T6���r��@Supp��}'ose���m���=�1��@and��A����2��Z�@is�as�dene��}'d�ab�ove.���We�have,�for�r�e�al��w�D��@,��������Xk�Re������A����2����������=������~�t�����2��|s�AA����2���S�+�8�O�G�(�t�����4���)�����܍�����4�Im������A����2����������=������~��2�t�����3��|s�AA����2������<$�����>�^������a���
�ֲ(�w�}ø��8�Re��(��	z�)�����w�fe6׳�	(֍�	[��j�w�}ø�8��	z�j���r�2������?�l�+�8�O�G�(�t�����4���)����`��?�@R��}'emark���.�٭This�w�is�the�same�form���ula�as�in�the�previous�lemma,���with��AA����2���j�in�place����?of�UU�AA���^��2��|s�,�and��m���=��N��3�=�1.����?�@Pr��}'o�of���.���������t�A����2���������=������n�A������2����0���|s�(�z��w��8��	zt��5���i����@�^������a�����t�����2���)(�z��w����7�����������t����i����@�^������a�����t�����2���)�����������=������n(1�8�+��O�G�(�z�p��))(�w�D�t�����	zt����i����@�^������a�����t�����2��|s�)(�w�t�����7�����������t����i����@�^������a�����t�����2��|s�)���������r1�Re���t�A����2���������=������n�t�����2��|s�(1�8�+��O�G�(�tw�D�))(�w������2���6�+�8�j��	z�j�����2���S����]x�^����a�����2�������t�����2���))�����������=������n�t�����2��|s�(�w��D���2���6��8�2�Re���9(��	z�)�+��j���j�����2��|s�)�+��O�G�(�t�����4���)������?pro���ving�UUthe�rst�part�of�the�lemma.����NThe�UUrst�term�with�nonzero�imaginary�part�in��A���^���2��l�0����Ȳ(for�real��z�p��)�is��E���z����^����j`�.�������C�=Im��Q0��A����2������g-"�=������x�@Im������A����0��|s�t�����2���(�Re��
x�A����2���S�+�8�O�G�(�t�))�+��Re�����A����0��|s�t�����2����Im��n<((�w�}ø�8��BZ���i����@�^������a�����t�)(�w�����7���������
�ݸ��i���$��^���a���I0t�))��������g-"=�����x�@�t�����2��|s�(�E���z��p������wi�+2���C�+�8�O�G�(�z��p������wi�+3���c�))�Re���9(�AA����2���)��������x�@+�UU�t�����2��|s�(1�8�+��O�G�(�z�p��))�Im����((�w�}ø���BZ���i����@�^������a�����t�)(�w�����7���������
�ݸ��i���$��^���a���I0t�))��������g-"=�����x�@�t�����2��|s�(1�8�+��O�G�(�z�p��))��������b����T�O��(�z������3���
�)�8�+��Im��*�((�w�}ø���BZ���i����@�^������a�����t�)(�w�����7���������
�ݸ��i���$��^���a���I0t�))����b�������#ݍ���g-"�=�����x�@�t�����2��|s�(1�8�+��O�G�(�tw�D�))��������b����T�O��(�t�����3���w��D���3���V�)�8���2�t�(�w�}ø���Re��(��	z�)���$�^���a�������t�����2������^����a�����2�����B���b�����������g-"�=�����x�@�t�����3��|s�(1�8�+��O�G�(�tw�D�))��������b����T�O��(�t�����2���w��D���3���V�)�8���2(�w�}ø���Re��(��	z�)���$�^���a�������t���$��^���a�����2�����	ţ���b�����������g-"�=�����x�@��2�t�����3����'�[���8(�w�}ø��8�Re��(��	z�)���$�^���a�����+�8�O�G�(�t�)�]���dJ(+�8�O�G�(�t�����4��|s�w��D���2���V�)��������g-"=�����x�@��2�t�����2��|s�(�w�}ø��8�Re��(��	z�)���$�^���a���I0�)�8�+��O�G�(�t�����4���)�����܍���g-"=�����x�@��2�t�����2��|s�AA����2������<$�����>�^������a���
�ֲ(�w�}ø��8�Re��(��	z�))�����w�fe:�B�	(֍�M|�j�w�}ø�8��	z�j���r�2������C��+�8�O�G�(�t�����4���)����5r��?in�UUview�of��AA����2��C��=���j�w�}ø�8��	z�j���^��2��|s�.�q�That�completes�the�pro�Gof�of�the�lemma.����?�@R��}'emark���:���Nothing�]�prev���en�ts�us�from�using�this�metho�Gd�when��m��>��1.�<In�particular����?when��t�m��is�o�Gdd,���if�w���e�w�an�ted�to�a�v�oid�ha�ving������i��d�=��0,���w�e�could�split�the�last�zero����?of�UU�f�h�as�w���e�ha�v�e�done�here�for��m���=�1.�� ����?�Calculation�ffof�the�Diric���hlet�In�tegral�����?�The�UUDiric���hlet�in�tegral�is�giv�en�b�y��CЍ����aյE����[�u�]�����Ȟ�=���������<$��ۙ21��ۙ2�w�fe�	(֍2�������w��c��Z����!���c�Z����`�jr�u�j�����2��'�dx���dy����������17�����(�l�����'���'%����Ȟ�=�������e���c��Z�����i���f�1��@����9�0����u���u����y��y/�dx����@��?�The�нlast�form���ula�can�obtained�b�y�conformal�transformation�bac�k�to�a�disk,��Bthen����?in���tegrating��Ob�y�parts�in�the�disk�and�then�transforming�bac�k�to�the�half�plane,����?whic���h��[is�easier�than�in�tegrating�o�v�er�a�semicircle�of�large�radius�and�w�orrying����?ab�Gout�UUthe�in���tegral�on�the�circular�part.����NW��*�e�edivide�this�in���tegral�in�to�pieces�as�follo�ws:��9�j�x�j�����R��t�e�is�the�rst�piece;����?�R��t����j�x�j���(1���+��t�)�R�t�1�are�the�second�t���w�o�1pieces;�+=and�(1���+��t�)�R�t����j�x�1�are�the�third����?and�UUfourth�pieces.�q�The�rst�piece�includes�the�branc���h�p�Goin�t�when��t���=�0.����NBefore�[calculating��E����[�����~���u����~�],��w���e�b�Gegin�b�y�calculating��E����[�u�].�W�On���(1���+��t�)�R��t�����x������?�(1�8�+��t�)�R��t�,�UUw���e�ha�v�e��"h���mb�u����}r�=���������Z���㐫2������4������d�����������o�1����o��&�fe�s����2���������Re����i����īR����I�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ�^��2����dx���h�����������o�1����o��&�fe�s����2���������Im���������īR����ٵf�Lo��8�f��g��[ٟ�^��2����dx���������<�Re�������īR���\p�f��g��dx�������Z���A�3�����A5�������+u����}r�=���������X���㐫2��������6��fi����4�����
����������{��1����o��&�feq�����2(2�m�+1)������f(�x���^��2�m�+1����+��8�:���:�:����
�H�����������(�E����o��&�fe*ߟ����2(2�m�+��wi�+1)��������x���^��2�m�+��wi�+1��"�J�+�������A��1��l��&�fe#������2�m�+2�k�+B�+������(F�x���^��2�m�+2�k�+B�+���&`��+��8�:���:�:����������������G����o��&�fe)�9�����2�m�+�k�+B�+��@��+1�����ƿ۵x���^��2�m�+�k�+B�+��@��+1��,��+��8�:���:�:��������X��f>�3������f>7��fi��f>5�������Ua����h�m�u����y������}r�=������㐸��Im��G�u����z�����xO����}r�=������㐸��Im������Z��
�q�2����
�q4������퍍�������zP�1��zP��&�fe�s����2��������(�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ�^��2���L�)���+V���������c�i��zP��&�fe�s�����2��������(�f�Lo��8�f��g��[ٟ�^��2���L�)������G�f��g�������Z��N9�3����N95�������)4����}r�=������㐸�����Z�����2������4�����C������������E������&�feAm�����"}�2������'�x���^��2�m�+���kG�+�����&h��l�G��]��Im��
�(�c����k��_�)��l��ʉfe>֟����
�12�����#��x���^��2�m�+2�k�+B�+���&`��+��8�:���:�:����h������������1������&�fe�s����2������-�x���^��2�m��
��+��8�:���:�:��������
UT�Im��G(�c����k��됲)�x���^��2�m�+�k��]�+��8�:���:�:��������Z�����3������5�������"]��?�W��*�e�UUnote�for�future�reference�the�rst�comp�Gonen���t�of�this�last�equation:��5��������]����1���еu����y��������ղ=������n������<$��33�E��33�w�fe�T�	(֍�z��2�����
[��x�����2�m�+���kG������<$��l�G�����Im��
�q(�c����k��됲)��l�w�fe&Ɵ	(֍���2�����+�x�����2�m�+2�k�+B�+���&`��+��8�:���:�:�������8�(9)����\	��?Con���tin�uing�UUwith�the�calculation�of��E����[�u�],�w���e�ha�v�e������d��uu����y������~F~�=������
��C����3��|s�x�����4�m�+��wi�+1��"�J�+�8�C����4���x�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��0���+��C����8���x�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��0���+���:���:�:���������~F~�=������
��C����3��|s�x�����4�m�+��wi�+1��"�J�+�8�C����5���x�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��0���+���:���:�:�������?�where�A�the��C����i���ײare�constan���ts�whose�exact�v��q�alue�do�Ges�not�matter.�6jInciden�tally��*�,����?�C����3��C��6�=��0,�UUsince��������Ӈ�C����3��C��=�����<$��ɲ�E���K�w�fe=�"�	(֍�4(2�m�8�+����ֲ+�1)�����D��������<$��UD�E��l�w�fe+Ƕ�	(֍�4(2�m�8�+�1)���������8�(10)�����	��?but��+w���e�do�not�need�this�fact�(and�in�the�non-analytic�b�Goundary�case,��gw�e�will�not����?necessarily�b�ha���v�e�suc�h�ne�con�trol�o�v�er�this�term).��When�w�e�substitute��x��u�=��tw�D�,�������18�������l�����'������?�w���e�UUget������j�uu����y�������Zv�=������!��C����3��|s�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�w��D���4�m�+��wi�+1��"�-�+�8�C����8���t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��.G��w��D���4�m�+2�k�+B�+��@��+1�������8߲(11)���������!�+�UU�O�G�(�t�����4�m�+��wi�+2�� Rj�)�8�+��O��(�t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+2��.G��)������?v��q�alid�UUin�the�region��j�w�D�j����R�Dz.����NNo���w�UUw�e�turn�from��u��to����1~����u���	Ӳ.�q�W��*�e�ha�v�e�������G�~������u������v�~����]��u����y��������=�������1�����g�~���C��u�����	����1����X�~���y|�u����y����:a�+��8���2����Y/�~����S�u����nџ���2����� �~����D�u����y�����)�+��8���3����Y/�~����S�u����nџ���3����� �~����D�u����y�������?�and���the�plan�is�to�compute�eac���h�of�the�three�terms�separately�(on�the�real�axis),����?then�UUadd�them�up�and�in���tegrate.�q�W��*�e�ha�v�e,�for��m��>��1,��썍�����ӟ���1�����"�~����wF�u��������0IJ=���������Re����pß�c��Z�����i���pĴx��@�����0����$P�A�����2���S�+�8�B���q����2�����dz����C������0IJ=���������Re����pß�c��Z�����i���pĴx��@�����0����$P�A�����2��'�dz��w�+��8�Re�������c��Z�����i���´x��@��?��0��� eN�B���q����2�����dz����@R��?�F��*�or��<�m���=�1,��w���e�m�ust�write��A����2��d��in�place�of��A���^��2��|s�.�*}Otherwise�the�same�argumen�ts����?will�Y�apply��*�.�(W�e�could�in���tro�Gduce�a�new�letter,�Z�for�example��A����3��|s�,�to�stand�for��A���^��2���=�if����?�m��>��1�K�and��A����2���T�if��m���=�1,�M�but�K�it�seems�less�confusing�to�simply�ask�the�reader�to����?remem���b�Ger�oPthat�when��m��f�=�1,�uϵA���^��2���òmeans�oP�A����2��|s�.���Note�that��AA��nev�er�o�Gccurs�b�y�itself����?b�Gelo���w,�UUbut�only�in�the�con�text��AA���^��2��|s�.����NW��*�e��$transform�to�the��w�D�-plane,��c���hanging��A���^��2��C��to��AA���^��2��|s�.��5The�factor��A����0���b�Gecomes����?1���+��O�G�(�t�)�ײand�disapp�ears.���The��B���q��^��2��Ԗ�term�starts�with�a�higher�p�o���w�er�ײof��t��and�is����?absorb�Ged�UUin���to�the��O��(�t�)�term.�q�On�the�real�axis,��AA���^��2���Ȳis�real,�so�w���e�can�drop��Re��#�.���%������㡟���1������~����`�u����������=������వt�����2�m�+1����(1�8�+��O�G�(�t�))������c��Z�����i�����w��@��8�0���΂�AA�����2��|s�dw������8�(12)����@��?Dieren���tiating,�UUw�e�ha�v�e�������g$�����1����lD��~���k��u����y���������)"�=�������@���Im���G����1����gm�~���Ñ�u����z�������������)"�=�������@���Im������<$���d��zQ�w�fe
K��	(֍dz����������c��Z�����i��'���z��@��#1��0���-�A�����2���S�+�8�B���q����2�����dz�����R�����)"�=�������@���Im��G(�A�����2���S�+�8�B���q����2����)���������)"=�������@���Im��G�A�����2���S�+�8�O�G�(�z��p�����2�m�+2�k���8�)����Ȍ�����)"=�������@��4�t�����2�m�+1����AA�����2�������	�'�N������'����X����t���شi�=1�������<$�����W�^���v��a����i���� ;�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��v��w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������W�i�+�8�O�G�(�t�����2�m�+2���w��D���2�m��2�N��,�)�����t���?b���y�4�Lemma�5�if��m��>��1.�f�In�4�case��m���=�1,�;Vw�e�4�tak�e��N��3�=��1,�;Vso�the�sum�con�tains�only����?one��term,�1and�app�Geal�to�Lemma�6�to�justify�the�last�step.�L�The�error�term�in�������19������l�����'������?�Lemma��q6�is�also�correct,���namely��O�G�(�t���^��4��|s�),�whic���h�is�what�results�in�the�last�equation����?with�UU�N��3�=��1�and��m��=�1.�q�Multiplying�this�b���y�(12)�w�e�nd�(for�real��w�D�)������D�0����1����I��~���I/��u����N�!����1����T	p�~���Se��u����y����`���=����t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw�����^������	K����X��������<$�����;�^������a����i����#9�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)�����w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2�������X�m���^����bL��+�8�O�G�(�t�����4�m�+3���w��D���2�m��2�N��,�)�����8�(13)�����ፑNNo���w�Vw�e�turn�to�the�calculation�of����^��2����	?��~����ɵu���UG�,�Q�whic�h�is�the�harmonic�extension�of����?����2��|s�(���x䍑�:~�����X���	Ʋ).�q�On�UUthe�real�axis�w���e�ha�v�e��x�����������2�����
>�~����ib�u��������"�=���������<$���1�C����1����x䍑Z��~�����|s�X����^��q�@L�+1������1�w�fe#>��	(֍��|�q����+�8�1��������+�8�O�G�(���x䍑�:~�����X������q�@L�+2�����^�)�������?Substituting���x䍑3�~�����UU�X���.3�=��������K�1���K��&�fe�s����2������
ԙ���īR��)�A���^��2���S�+�8�B���q��^��2����dx���=��������K�1���K��&�fe�s����2�����	)�t���^��2�m�+1���_����īR����AA���^��2��|s�dw�}ò+��O�G�(�t���^��2�m�+2����)�UUw���e�ha�v�e���ȍ����hh�����2����m��~���l��u�������|���=���������<$�����C����1��|s�t���^��(2�m�+1)(�q�@L�+1)������w�fe?~B�	(֍���(�q����+�8�1)2���r�q�@L�+1������������^�����Qq��c�Z����AA�����2��|s�dw��D���^�����(ٟ�۴q�@L�+1���Q�+�8�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+1��:_��)������8�(14)�����	����|��=������e��O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)������8�(15)������?since�UU�q�"����1.����NSimilarly�UUw���e�can�calculate����^��3����u��~����ȵu���
�F�:���w�����h�����3����m9Ҳ~���l���u�������|Ot�=���������<$���IŵC����1����x䍑Z��~�����|s�X����^��p�+1������Işw�fe#s>�	(֍��/�p�8�+�1��������W͍���|Ot=���������<$���IŵC����2��|s�t���^��(2�m�+1)(�p�+1)����Işw�fe?���	(֍��ֲ(�p�8�+�1)2���r�p�+1���������ڟ���^�����7��c�Z�����AA�����2��|s�dw��D���^�����{��۴p�+1����+�8�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+1��:�m�)������8�(16)��������|Ot=��������O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)��0tj�)������8�(17)��������?�ALemma��T7���r��@On���j�z�p��j����R��t��@we�have�������)��j�����2���� O�~���|s�u����y����=X���8���2���S�u����y��·�j�������=������%�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���)����=q�����)��j�����3���� O�~���|s�u����y����=X���8���3���S�u����y��·�j�������=������%�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p��1)+4�m��A�y�)������?�@Pr��}'o�of�.�q�W��*�e�UUha���v�e���|�����xܖ����2����}��~���}Y	�u����������=���������<$���صC����2��|s�s���^��q�@L�+1����؟w�feܻ�	(֍�h��q����+�8�1������U�+�8�O�G�(�s�����q�@L�+2�����)����q������sӲ����2����x��~���xP%�u����x�����������=������٥�C����2��|s�s�����q��j��s����x��AIJ+�8�O�G�(�s�����q�@L�+1�����)�s����x����������oJΟ���2����tk�~���s�A�u����xx�����������=������٥�C����2��|s�q�[�s�����q�@L��1���	�s������2���፴x���AIJ+�8�C����2���s�����q��j��s����xx��ʨ�+��O�G�(�s�����q���)�s������2���፴x���AIJ+��O�G�(�s�����q�@L�+1�����)�s����xx������%���~b��s�������=���������<$����1���؟w�fe�	(֍2�������괟�c��Z�����i���굴x��@���x�0����H�j�A�����2��|s�j�8�+��j�B���q����2����j����dx����R����yY�s����x���������=���������<$����1���؟w�fe�	(֍2������@(�j�A�����2��|s�j�8�+��j�B���q����2����j�)��=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�t�����2�m����AA�����2���S�+��O�G�(�t�����2�m�+1����)���������20�����l�����'���������tп�s����xx���������=���������<$����1���؟w�fe�	(֍2������@�A�����2�������	Ӳ�m������'����X����t���شi�=1�������<$��'�A�2��v��w�fe%��	(֍�x�8���a����i��TL�(�t�)�����@��+�8�O�G�(�z��p�����2�m�+2�k�+B��1��$ͬ�)����!P������=������٥�A�����2�������	Ӳ�m������'����X����t���شi�=1�������<$��'�A�1��v��w�fe%��	(֍�x�8���a����i��TL�(�t�)�����@��+�8�O�G�(�z��p�����2�m�+2�k�+B��1��$ͬ�)�����ȍ�?Changing����z�!S�to��tw�D�,��and�adding�the�pairs�of�terms�in�the�sum�corresp�Gonding����?to��Acomplex-conjugate�pairs������i����and������N��,�+�i�����,��and�noting�that�the�terms�for�whic���h����?�����i���²=�1v0��\all�ha���v�e��\a�factor�of��w�
?�in�the�denominator,�%so�they�can�b�Ge�group�ed����?together,�UUw���e�ha�v�e���͍��N��s����\ǹ�=���������<$��o�
1��o�
�w�fe�	(֍2�����u�>�t�����2�m�+1���_���c��Z��#
b�AA�����2��'�dw�}ò+�8�O�G�(�t�����2�m�+2����)���������D��s����xx������\ǹ�=�����n�׵t�����2�m��1��т�AA�����2����'���\�"������<$��
/��m�8���N��
/��w�fe ��	(֍�Yxw�����.�K�+�8�2������X��N������������X����t��ie�i�=1�������<$���L�w�}ø���Re��\n�����i����L�w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø������i��TL�j���r�2�������@�|���\�#����{��+�8�O�G�(�t�����2�m����)����pM�����?����2����D O�~���C|s�u����xx��������\ǹ�=�����n�׵C����2��|s�q�[�s�����q�@L��1���	�s������2���፴x���AIJ+�8�C����2���s�����q��j��s����xx��ʨ�+��O�G�(�s�����q���)�s������2���፴x���AIJ+��O�G�(�s�����q�@L�+1�����)�s����xx�����	�����\ǹ�=�����n�׵C����2��|s�q�[�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)����2Ɵ��^�������<$��:�m�1��:�m�w�fe�	(֍2������BtI��c��Z�����i��LtJ�w��@��H��0���T�#�AA�����2���dw��D���^�����u���۴q�@L��1������<$���IƵt���^��4�m����AA���^��4����IƟw�fe_��	(֍��۲4���������#����n��+�UU�C����2��|s�t�����(2�m�+1)�q����!�P���^�������<$��*��1��*��w�fe�	(֍2������1�ӟ�c��Z�����i��;�Ա2��@��7�
0���B��AA�����2���dw��D���^�����cK����s�q��i`�t�����2�m��1��т�AA�����2����'���^�������<$���l�m�8���N���l�w�fe ��	(֍�Yxw�����..�+�8�2����������X��������<$���L�w�}ø���Re��\n�����i����L�w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø������i��TL�j���r�2�������@�|���^��������	����n�ײ+�UU�O�G�(�t�����(2�m�+1)�q��ߨ�)�O��(�t�����4�m����)�8�+��O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)�O��(�t�����2�m��1��т�)�����%�����?����2����D O�~���C|s�u����xx��������\ǹ�=���������<$��qL�C����2��|s�q��o�
�w�fe���	(֍�2���r�q�@L�+1�������ֵt�����(2�m�+1)(�q�@L��1)��0\�(���c��Z�����i��
�w��@���:�0���#��AA�����2��|s�dw�D�)�����q�@L��1���	�t�����4�m����AA�����4�����e����n�ײ+�����<$�����C����2���33�w�fe�x�	(֍��q�2���r�q������]޵t�����(2�m�+1)�q����!�P���^����(�ğ�c�Z�����i��2�ű2��@��.t�0���9
��AA�����2��|s�dw��D���^�����Z:����s�q��`Oܵt�����2�m��1��т�AA�����2����'���\�"������<$��
/��m�8���N��
/��w�fe ��	(֍�Yxw�����.�K�+�8�2������X��N������������X����t��ie�i�=1�������<$���L�w�}ø���Re��\n�����i����L�w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø������i��TL�j���r�2�������@�|���\�#������-u����n�ײ+�UU�O�G�(�t�����(2�m�+1)�q�@L�+4�m��1F�)����	�����\ǹ=���������<$��o�
�C����2���o�
�w�fe�#�	(֍�Ʋ2���r�q������|�`�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m����C?d���^����J�؟�c�Z�����i��T�ٴw��@��P*�0���\���AA�����2��|s�dw��D���^�����}�q��۴q�@L��1�����Ȕ����n���AA�����2����'���\�"������<$��
/��q�[��AA���^��2���
/��w�fe�	(֍��p�2�����"��+��8��c��Z�����i��8�w��@����0���\��AA�����2��|s�dw�����\�"������<$����m�8���N����w�fe ��	(֍�Yxw�����*���+�8�2������X��N������������X����t��ie�i�=1�������<$���L�w�}ø���Re��\n�����i����L�w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø������i��TL�j���r�2�������@�|���\�#���������\#����������n�ײ+�UU�O�G�(�t�����(2�m�+1)�q�@L�+4�m��1F�)����*���?and�UUtherefore,�for�some�constan���t��C����15���;�dep�Gending�only�on��R�Dz,�w�e�ha�v�e�������~�j�����2���� O�~���|s�u����xx����ǹ�j����C����15��x�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m������8�(18)������?W��*�e�UUcan�mak���e�a�similar�calculation�for��u��instead�of����1~����u���	Ӳ:��B�����I�����2��M��u�����]E��=���������<$��p?�C����2��|s�s���^��q�@L�+1���p?�w�feܻ�	(֍�h��q����+�8�1��������+�8�O�G�(�s�����q�@L�+2�����)���������21����(t�l�����'���������D�����2��H�-�u����x������]E��=�����o��C����2��|s�s�����q��j��s����x��AIJ+�8�O�G�(�s�����q�@L�+1�����)�s����x����������?}֟���2��C�I�u����xx������]E��=�����o��C����2��|s�q�[�s�����q�@L��1���	�s������2���፴x���AIJ+�8�C����2���s�����q��j��s����xx��ʨ�+��O�G�(�s�����q���)�s������2���፴x���AIJ+��O�G�(�s�����q�@L�+1�����)�s����xx������%���N���s����]E��=���������<$��p?�1��p?�w�fe�	(֍2������x���c��Z�����i�����x��@��}���0�����I�f�Lo��8�f��g��[ٟ���2���L�dx����R����]E��=���������<$�����1��p?�w�fe+Ƕ�	(֍2(2�m�8�+�1)������:ɵt�����2�m�+1����w��D���2�m�+1��2Բ+�8�O�G�(�t�����2�m�+2���w��D���2�m�+2����)����������I���s����x������]E��=���������<$��p?�1��p?�w�fe�	(֍2�����vs�x�����2�m��
��+�8�O�G�(�x�����2�m�+1����)��=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�t�����2�m����w��D���2�m��Ѳ+��O��(�t�����2�m�+1����)����⍍��Eǵs����xx������]E��=�����o��mx�����2�m��1��
b�+�8�O�G�(�x�����2�m��2��т�)��������]E�=�����o��mt�����2�m��1��т�w��D���2�m��1��OE�+�8�O�G�(�t�����2�m��2���)����0�����?}֟���2��C�I�u����xx������]E��=���������<$����z�C����2���p?�w�feH�W�	(֍�2���r�q�@L�+1�����(2�m�8�+�1)���r�q�@L��1�������lj�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)��0\�w��D���(2�m�+1)(�q�@L��1)��0��t�����4�m����w��D���4�m������9����o��+�����<$����mC����2������w�fe4��	(֍�2���r�q��j��(2�m�8�+�1)���r�q������:X��t�����(2�m�+1)�q��ߨ�w��D���(2�m�+1)�q�� $��t�����2�m��1��т�w��D���2�m��1������
����o��+�UU�O�G�(�t�����(2�m�+1)�q�@L�+4�m��1F�)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��1��K���)����������]E�=���������<$���4�m�8�+�1��p?�w�fe>��	(֍2���r�q�@L�+1�����(2�m�8�+�1)���r�q�������/��C����2��|s�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���w��D���(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��D�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1)�q�@L�+4�m��-�E�)�����?��?and�UUtherefore,�for�some�constan���t��C����16���;�dep�Gending�only�on��R�Dz,�w�e�ha�v�e���o�����~�j�����2��|s�u����xx��	�ȸj����C����16��x�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m������8�(19)������?�@R��}'emark���:��nBoth�H�second�deriv��q�ativ���es�(of��u����2����and����~����u����2����~��)�ha�v�e�the�same�asymptotic�p�Go�w�er����?of�&ĵt�,�[but�a�dieren���t�function�of��w�k��as�co�Gecien�t�of�that�p�Go�w�er.��A�&�calculation����?can��pb�Ge�made�directly�from�the�W��*�eierstrass�represen���tation�of��u�,�8but�this�in�v�olv�es����?the�Bunkno���wn�p�Go�w�ers�����and���`�.�k]These�p�Go�w�ers�can�b�Ge�connected�to�the�geometric����?n���um�b�Gers�	F�p��and��q�e�b���y�a�Lewy-st�yle�analysis,�|as�ab�Go�v�e,�|but�this�directly�geometric����?analysis��ois�b�Getter�for�our�purp�ose�(namely��*�,��7getting�rid�of�the�terms�in�Diric���hlet's����?in���tegral�UUarising�from��u����2���Ȳand��u����3��|s�).������NBy�UU(18),(19)�and�the�triangle�inequalit���y��*�,�w�e�ha�v�e���o����[�j�����2���� O�~���|s�u����xx��������8���2���S�u����xx��	�ȸj����(�C����15��
�Ʋ+�8�C����16��x�)�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���:����?�Applying�UULemma�4,�w���e�ha�v�e�for�some�constan�t��C����17���;�dep�Gending�only�on��R�Dz,�����!�j�����2���� O�~���|s�u����y����=X���8���2���S�u����y��·�j����C����17��x�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���;����?�whic���h�]�pro�v�es�the�rst�claim�of�the�lemma.���The�b�Gound�on��j���^��3���� O�~���|s�u����y����C���>���^��3����u����y��·�j��is�pro�v�ed����?b���y���the�same�calculation,�Ҋc�hanging����^��2��.J�u��to����^��3���u��and��q�
��to��p�.�;IThat�completes�the�pro�Gof����?of�UUthe�lemma.���o����?�ALemma��T8���r��@F��;�or���j�w�D�j����(1�8�+��t�)�R����@we�have�������J�j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j�8�+��j�����3���� O�~����u����
5���3����V@�~����d�u����y����sI�������3���S�u�����3���u����y��·�j����=q�����<,�=������J�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k�+B��1��Vx��)���������22����:K�l�����'������?�@Pr��}'o�of�.�q�Consider������Ś����2�������~����B
�u����������2�����ڲ~����w��u����y�����8���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�:���D��?�Adding�UUand�subtracting����^��2����u��~����ȵu����
�F��^��2����u����y��#ܲw���e�nd���Ǎ����~Q�����2�����q߲~������u�����������2������в~�����u����y������ٸ��8���2���S�u�����2��|s�u����y�������@�=�������^(�����2���� O�~���|s�u����y����=X���8���2���S�u����y��·�)�����2���� O�~���|s�u���nѲ+�8�(�����2���� O�~���|s�u����������2���S�u�)�����2��|s�u����y�������?�Using�UUthe�triangle�inequalit���y��*�,�w�e�ha�v�e������x5�j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j������q������8%j�����2���� O�~���|s�u����y����=X���8���2���S�u����y��·�jj�����2���� O�~���|s�u���
5�j�8�+��j�����2���� O�~���|s�u���nѸ������2���u�jj�����2��|s�u����y��·�j������?�By�UULemma�7�w���e�ha�v�e������e��j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j������������Ű�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���)�j�����2���� O�~���|s�u���
5�j�8�+��j�����2���� O�~���|s�u���nѸ������2���S�u�jj�����2��|s�u����y��·�j������?�By�UU(15)�w���e�ha�v�e��j���^��2���� O�~���|s�u���
5�j���=��O�G�(�t���^��(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��).�q�Hence������Kɠ�j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j�������������̨�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L��1)+4�m��A���)�O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)�8�+��j�����2���� O�~���|s�u���nѸ������2���S�u�jj�����2��|s�u����y��·�j����=q������������̨�O�G�(�t�����2�q�@L�(2�m�+1)+4�m��5��)�8�+��j�����2���� O�~���|s�u���nѸ������2���S�u�jj�����2��|s�u����y��·�j������8߲(20)������?Next�Bww���e�estimate��j���^��2���� O�~���|s�u���I���$��^��2�����u�j�.�k}Let�����~����s���4�b�Ge�arc�length�along�the�real�axis�for����S~����u������,�F=and��s����?�b�Ge�UUarc�length�for��u�.�q�Then��6������bE�����2����geҲ~���f���u���n�T���8���2���S�u�������C�=���������<$���G�C����2����䔟w�fe��	(֍�q����+�8�1������#P(���f:~���s�����q�@L�+1����sx��8�s�����q�@L�+1�����)�+��O�G�(���f:~���s�����q�@L�+2����:��)�+��O��(�s�����q�@L�+2�����)����Mٍ�����C=���������<$���G�C����2����䔟w�fe��	(֍�q����+�8�1������#P�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)����1�U���\�"��7���(�����^����\t��c�Z�����i��\u�w��@��ꮱ0����N�AA�����2��|s�dw��D���^�����:�
��۴q�@L�+1��Kp�������<$��[�w��D�^��2�m�+1���l�w�fe��	(֍�2�m�8�+�1������#�ݟ��\�#�������������a�+�UU�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+2)��0?��)����������C=�������a�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)������?Putting�UUthis�result�in���to�(20)�w�e�ha�v�e������e#�j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j������_	������&'�O�G�(�t�����2�q�@L�(2�m�+1)+4�m��5��)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)�j�����2��|s�u����y��·�j������8�(21)������?The���term����^��2��]�u����y��Yq�can�b�Ge�explicitly�computed�from�the�W��*�eierstrass�represen���tation.����?W��*�e�UUha���v�e������������2���3a�u����y��������f�=�����Ђ����Im���G����2��Ñ�u����z�����\w������f�=�����Ђ����Im����
�q���^�������<$����i��,�w�fe�	(֍�2�����_L(�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ���2���L�)����^���������������f�=�����Ђ�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2������fgRe��4�(�f�Lo�+�8�f��g��[ٟ���2���L�)�����������f=�����Ђ�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2������fgRe��4�(�A�����2���S��8�B���q����2����)����������f=�����Ђ�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2�����fg�t�����2�m����AA�����2���S�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1����)����⍍����f=�����Ђ��O�G�(�t�����2�m����)���������23����K,�l�����'������?�Putting�UUthis�result�in���to�(21)�w�e�ha�v�e��{����_�@�j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j������8*�������H�O�G�(�t�����2�q�@L�(2�m�+1)+4�m��5��)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)�O��(�t�����2�m����)����=q�����8*��������H�O�G�(�t�����2�q�@L�(2�m�+1)+4�m��5��)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)������?The��rst�term�has�a�larger�exp�Gonen���t�than�the�second,�ֱso�w�e�can�drop�it,�ֱarriving����?at���������j�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��·�j������X��=��������O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)������8�(22)������?W��*�e���m���ust�no�w�mak�e�a�similar�calculation�for�the�third�comp�Gonen�ts����^��3�����8�~���B\�u����òand����^��3��B\�u�.����?The�'*rst�part�of�the�calculation�is�exactly�the�same,�[�except�for�c���hanging�the����?co�Gordinate�UUindex�from�2�to�3�and�c���hanging��q��.�to��p�.�q�In�this�w�a�y�w�e�arriv�e�at������f~b�j�����3���� O�~���|s�u����
5���3����V@�~����d�u����y����sI���8���3���S�u�����3��|s�u����y��·�j�������L�����Ɓj�O�G�(�t�����2�p�(2�m�+1)+4�m��5Iv�)�8�+��O��(�t�����2�m�+1)(�p�+1)��-Ti�)�j�����3��|s�u����y��·�j������8߲(23)������?The���term����^��3��]�u����y��Yq�can�b�Ge�explicitly�computed�from�the�W��*�eierstrass�represen���tation.����?W��*�e�UUha���v�e��������{H����3������u����y���������=������F޸��Im���G����3��Ñ�u����z������������=������F޸��Im����(�f��g�[ٲ)����������=������F޸��Im����(�c����k��됲)�z��p�����2�m�+�k��ͥ�+�8�O�G�(�z��p�����2�m�+�k�+B�+1�� �Ȳ)����������=������F޵O�G�(�t�����2�m�+�k��$.�)����{��?Putting�UUthis�result�in���to�(23)�w�e�ha�v�e������\�j�����3���� O�~���|s�u����
5���3����V@�~����d�u����y����sI���8���3���S�u�����3��|s�u����y��·�j������K���������O�G�(�t�����2�p�(2�m�+1)+4�m��5Iv�)�8�+��O��(�t�����2�m�+1)(�p�+1)��-Ti�)�O��(�t�����2�m�+�k��$.�)����=q�����Kݸ��������O�G�(�t�����2�p�(2�m�+1)+4�m��5Iv�)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k��L<(�)������?The�aexp�Gonen���t�of�the�second�term�can�b�e�compared�to�the�exp�onen���t�of�the�rst����?term�UUusing�the�b�Gound��k������(2�m�8�+�1)�p�UU�deriv���ed�in�Theorem�1.�q�W��*�e�ha�v�e������Y��(2�m�8�+�1)(�p��+�1)�+�2�m��+��k������wA�������>_�(2�m�8�+�1)(�p��+�1)�+�2�m��+�(2�m��+�1)�p���������wA�������>_�(2�m�8�+�1)(2�p��+�1)�+�2�m���������wA�������>_�2�p�(2�m�8�+�1)�+�4�m��+�1����{��?whic���h��is�one�more�than�the�exp�Gonen�t�of�the�rst�term.�K�Therefore,��if�w�e�decrease����?the�)}exp�Gonen���t�of�the�second�term�b�y�one,�2Bw�e�can�drop�the�rst�term,�2Barriving�at��������}�j�����3���� O�~���|s�u����
5���3����V@�~����d�u����y����sI���8���3���S�u�����3��|s�u����y��·�j�������g�����柅�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k�+B��1��Vx��)������8�(24)������?Com���bining�UUequations�(22)�and�(24),�w�e�ha�v�e��������J����2�����#��~������u�����9;����2�����Y��~�������u����y�����v����8���2���S�u�����2��|s�u����y��g�+��8���3����Y/�~����u����nџ���3����� �~����D�u����y�����)���8���3���u�����3���u����y�������8߲(25)����=q�����<,=������J�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k�+B��1��Vx��)������8�(26)������?on�UU�j�w�D�j����(1�8�+��t�)�R�Dz.�q�That�completes�the�pro�Gof�of�the�lemma.�������24����[?�l�����'����]㍍��?�ALemma��T9����r����īR����j���y1��R�	,t��	#���w?��R�	,t������c,�~�����P�u��������~����xεu����y������{�dx�����������īR����j���
c��R�	,t��	#���q߷�R�	,t����@�uu����y��y/�dx�
D�=��ct���^��4�m�+3��ϲ+�S��O�G�(�t���^��4�m�+4����)�@,��@wher��}'e���the�sign�of����?�c����@c��}'an�b�e�made�p�ositive�or�ne�gative�by�cho�osing�the�signs�of�the�����^����a����i����1c�@.����?Pr��}'o�of�.��������^��~���]���u�����dX�~���c�)�u����y����pu��8�uu����y����������=�������}�����1��������~����� �u�����������1�������~����0�u����y��������8���1���S�u�����1��|s�u����y�������8߲(27)���������}�+�����2���� O�~���|s�u����
5���2����V@�~����d�u����y����sI���8���2���S�u�����2��|s�u����y��g�+��8���3���u�����3���u����y��g���8���3���u�����3���u����y�������������=�������}�����1��������~����� �u�����������1�������~����0�u����y��������8���1���S�u�����1��|s�u����y�������8߲(28)����=q�����}�+�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k�+B��1��Vx��)������8�(29)������?b���y�UULemma�8.�q�W��*�e�no�w�w�ork�on�the�terms�from����^��1����u��~����ȵu����and����^��1���ȵu�.�q�By�(13),�w�e�ha�v�e��䏍����G����1����MD�~���Lah�u����R���1����W;5�~���V�Y�u����y��������k^�=�����|�|��t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw�����\�"�������r�N����������X����t�����i�=1�������<$����9�^�����a����i����!��(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)����w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2�������W0P���\�#���_>��+�8�O�G�(�t�����4�m�+3���w��D���2�m��2�N��,�)����hw��?and�UUb���y�(11)�w�e�ha�v�e������j�uu����y�������Zv�=������!��C����3��|s�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�w��D���4�m�+��wi�+1��"�-�+�8�C����5���t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��.G��w��D���4�m�+2�k�+B�+��@��+1����������!��+�UU�O�G�(�t�����4�m�+��wi�+2�� Rj�)�8�+��O��(�t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+2��.G��)������?Subtracting�UUthe�last�t���w�o�UUequations�w���e�ha�v�e��VV�����K;p����1����P[��~���O��u����Uqa����1����Z���~���Y�Եu����y����f�����8���1���S�u�����1��|s�u����y�������� �=�������>��t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw�����\�"�������r�N����������X����t�����i�=1�������<$����9�^�����a����i����!��(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)����w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2�������W0P���\�#���������������+�O�G�(�t�����4�m�+3����w��D���2�m��2�N��,�)����������>��UU�C����3��|s�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�w��D���4�m�+��wi�+1��"�-��8�C����5���t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��.G��w��D���4�m�+2�k�+B�+��@��+1�����������>�+�UU�O�G�(�t�����4�m�+��wi�+2�� Rj�)�8�+��O��(�t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+2��.G��)����Ȍ������ =�������>��t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw���������N���������X����t���H�i�=1�������<$����cDz^���?/�a����i����ܫ�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��?/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2����������捍����>�+�UU�O�G�(�t�����4�m�+3����w��D���2�m��2�N��,�)�8�+��O��(�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�)�+��O��(�t�����4�m�+2�k�+B�+��@��+1��.G��)������?By�UULemma�3,�w���e�ha�v�e���j>���1;�and�w�e�also�ha�v�e�2�k��w�+�8���ò+�1�����3.�q�W��*�e�UUarriv�e�at��VV�����M+����1����RKb�~���Q���u����Wa����1����\�S�~���[�w�u����y����h�\���8���1���S�u�����1��|s�u����y��������ò=���������t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw���������N���������X����t���H�i�=1�������<$����cDz^���?/�a����i����ܫ�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��?/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������S�ٲ+�8�O�G�(�t�����4�m�+3���)����hw��?Substituting�UUthis�in���to�equation�(29)�w�e�ha�v�e��䏍�����D�~���C^�u�����I�]�~���I��u����y����U�f��8�uu����y������z�=���������t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw���������N���������X����t���H�i�=1�������<$����cDz^���?/�a����i����ܫ�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��?/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2���������-u�������+�O�G�(�t�����4�m�+3����)�8�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)�+��O��(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m�+�k�+B��1��Vx��)���������25����i��l�����'������?�W��*�e���w���an�t�to�absorb�b�Goth�the�last�t�w�o�error�terms�in�to�the��O�G�(�t���^��4�m�+3����)�term.��VT��*�o����?do�that�w���e�m�ust�sho�w�that�(2�m����+�1)(�q���+�1)�+�2�m�軸��4�m����+�3�and�that�(2�m����+����?1)(�p�8�+�1)�+�2�m��+��k��w���1�����4�m�8�+�3.�q�F��*�rom�UU�q�"����1�w���e�ha�v�e���:�����ά(2�m�8�+�1)(�q����+�1)�+�2�m�����i�������0��6�m�8�+�2��������i�������0��4�m�8�+�4������?and�UUfrom��p�����1�UUw���e�ha�v�e������hY(2�m�8�+�1)(�p��+�1)�+�2�m��+��k��w���1������ o������獲2(2�m�8�+�1)�+�2�m��+��k��w���1��������� o������獲6�m�8�+��k��w�+�1��������� o������獲4�m�8�+��k��w�+�3��������� o������獲4�m�8�+�3������?Hence���the�t���w�o���last�error�terms�in�question�can�indeed�b�Ge�absorb�ed�in���to�the����?�AO�(�t���^��4�m�+3����)�UUterm.�q�W��*�e�th���us�ha�v�e���ƍ�����V��~���V#��u�����\�S�~���[�w�u����y����h�\��8�uu����y��������ݲ=����������t�����4�m�+2����AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�dw���������N���������X����t���H�i�=1�������<$����cDz^���?/�a����i����ܫ�(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)��?/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������S�ٲ+�8�O�G�(�t�����4�m�+3���)������8�(30)�����u��?In���tegrating�UUalong�the��x�-axis�from���R��t��to��R�t��w���e�nd���!�����^?"��c��Z�����i��h?#�R�	,t��@��c�\��R�	,t�����u�~���uL��u�����{��~���{;�u����y������ ��8�uu����y��y/�dx���� :[����Lx�=�����^?"��t�����4�m�+2���_���c��Z�����i��!_��R�	,t��@�����R�	,t���.mT�AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�(����)�d��������N������g�����X����t��&H�i�=1�������<$�����Dz^����/�a����i����T��(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)���/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������Q��)�dx�8�+����c��Z�����i��8�R�	,t��@�����R�	,t���F{�O�G�(�t�����4�m�+3����)�dx�����u��?�Changing�UU�dx��to��t���dw�D�,�w���e�pic�k�up�an�extra�factor�of��t�:�������O��=�����a���t�����4�m�+3���_���c��Z�����i��!_��R��@�����R���+g��AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�(����)�d��������N������g�����X����t��&H�i�=1�������<$�����Dz^����/�a����i����T��(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)���/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������Q��dw�}ò+��8��c��Z�����i��8�R��@�����R���A%�O�G�(�t�����4�m�+4����)�dw����#����O���=�����a���t�����4�m�+3���_���c��Z�����i��!_��R��@�����R���+g��AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�(����)�d��������N������g�����X����t��&H�i�=1�������<$�����Dz^����/�a����i����T��(�w�}ø��8�Re��\n�����i��TL�)���/�w�fe<藟	(֍�
���j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������Q��dw�}ò+�8�O�G�(�t�����4�m�+4����)��������O��=�����a���t�����4�m�+3�������
ŴN������_�����X����t��v�i�=1�����'�²^���'|*�a����i������1�N���\�"���7����c�Z�����i��A���R��@��='߷�R���K���AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�(����)�d�����<$���w�}ø��8�Re��\n�����i�����w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������/�F�dw��D���\�#���Ԝ�+�8�O�G�(�t�����4�m�+4����)�����u��?The�`�summands�are�not�zero,��spro���vided��R�tg�w�as�c�hosen�large�enough,��ssince�the����?in���tegrand�`is�asymptotic�to��w��D�^��4�m��:�for�large��j�w�D�j�.��	Sp�Gecically��*�,�b�w�e�ha�v�e�to�c�ho�Gose��R����?�so�UUlarge�that�for�at�least�one��i��w���e�ha�v�e���!�������֟�c��Z�����i����״R��@���i��R������AA�����2���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��AA�����2��|s�(����)�d�����<$���w�}ø��8�Re��\n�����i�����w�fe,���	(֍��p�j�w�}ø�8�����i��TL�j���r�2������/�F�dw��>���0������8�(31)���������26����{�l�����'������?�No���w��fw�e�dene�����^����a����i�����H�to�b�Ge�1�or���1,���with�the�sign�c�hosen�so�that�the�con�tribution����?of��the��i�-th�term�in�the�sum�is�negativ���e.�RThat�completes�the�pro�Gof�of�the�lemma.����?�@R��}'emarks��!�:���(1)��2if�w���e�c�ho�Gose��R����so�large�that�the�terms�men�tioned�ab�Go�v�e�are��@al���l����?�p�Gositiv���e,�y}w�e�?can�tak���e�all�the���c�^����a����i������to�ha�v�e�the�same�sign.�.�(2)�W��*�e�could�just�as����?w���ell�Շmak�e�Diric�hlet's�in�tegral�increase�as�decrease,���b�y�c�ho�Gosing����^����a����i����H��to�ha�v�e�the����?opp�Gosite�UUsign.��Hq����?�ALemma��T10�����x��~���xG	�u�����n�@takes���the�b��}'oundary�monotonic�al���ly.����?Pr��}'o�of�.�q�Recall�UUthat����1~����u���d(�is�the�harmonic�extension�of�(���x䍑�:~�����X���	Ʋ(�t;���x�)),�where���x䍑3�~������X���g�(�t;�x�)��=��Hx���Y�$Re����gp���^���l�#�����1��|s�(�x�)������c��Z�����i�����x��@��8�0���^5�A�����2���(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+������2��|s�(�x�)����c��Z�����i�����x��@��8�0���^5�A�����2���(0�;�x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx����^������M��?�It�UUsuces�to�sho���w���x䍑3�~������X����x����n5����0�on�the�real�axis.�q�W��*�e�ha�v�e�������x䍑aE^~�����^g$�X����x�������u��=�������
�����1���'�Re���T(�A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�))�+������2���'�Re��(�A�����2��|s�(0�;���x�)�+��B���q����2����(�x�))����y������
+�UU�������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+��������0���፱2����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx������8�(32)����ֲ��?Since�UU�u��tak���es�the�b�Goundary�monotonically��*�,�w�e�ha�v�e������H�u����x����=���Re���Q(�A�����2��|s�(0�;���x�)�8�+��B���q����2����(0�;�x�))�����0�;����?�so��the�second�term�in�(32)�(whic���h�is�the�only�nonzero�term�for��x�����(1��d+��t�)�R��t�)��is����?nonnegativ���e.�׌W��*�e�̖next�consider�the�rst�term,��gwhic�h�is�the�only�nonzero�term����?for�UU0�����x����R��t�.�q�W��*�e�will�pro���v�e��Hq�������Re����(�A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�))�����l������#4�0�:������8�(33)������?By�UUthe�denitions�of��AA��and��N�lp�w���e�ha�v�e���ɍ���=�AA������IJ=����������ԣ��m��������z����Y����t��ѵ�i�=1���ު1�(�w�}ø�8�����i��TL�)����#�������=�����ѵ�w��D���m��2�N�������ɚN����������Y����t���K�i�=1���)yB�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����2��������?�Squaring,�UUw���e�ha�v�e���č������AA�����2�������.IJ=�������w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4������W��?�W��*�e�UUha���v�e��B���q��^��2����(�x�)��=��O�G�(�z��p���^��2�m�+2�k���8�)�=��O��(�t���^��2�m�+2����w��D�^��2�m�+2����).�q�By�UULemma�5�w���e�then�ha�v�e�������_	+Re��j�d(�A�����2���S�+�8�B���q����2����)������f�=������-��t�����2�m����AA�����2���S�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1����w��D���2�m��2�N��,�)����Ȍ�����f�=������-��t�����2�m����w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S�+��O�G�(�t�����2�m�+1����w��D���2�m��4�N��,�)���������27�������l�����'���H�������9��������W�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�w�}ø������i��TL�j�����4�������8߲(34)����>;������9�������W�0���z��?for����t��sucien���tly�small.�-�T��*�o�treat��m���=�1,���w�e���only�ha�v�e�to�replace��A���^��2��4�b�y�the�sp�Gecial����?function�*f�A����2���ٲused�in�the�denition�of����B~����u���J�for��m�*3�=�1.��The�*fab�Go���v�e�pro�Gof�remains����?v��q�alid,���app�Gealing��dto�Lemma�6�in�place�of�Lemma�5�for�the�form���ula�for��Re��}�(�A����2��|s�).����?That�UUcompletes�the�pro�Gof�of�(33).����NOn���the�in���terv��q�al���R��t�n����w��h���0���w�e�shall�need�a�somewhat�sharp�Ger�estimate,����?as��the�p�Gositiv���e�con�tribution�of�this�term�is�needed�to�out�w�eigh�a�negativ�e�con-����?tribution��rfrom�another�term.�M|Since�w���e�ha�v�e�assumed��Re����(�����i��TL�)�����0,��:it��rfollo�ws�that����?when�UU�w������0�w���e�ha�v�e�����Vb�j�w�}ø�8�����i��TL�j���j�����i���j�:���㍑?�(If�^Nthis�is�not�geometrically�eviden���t,���one�can�quote�the�la�w�of�cosines�in�the����?triangle�k�formed�b���y��w�D�,�qz�����i��TL�,�and�k�the�origin�to�pro�v�e�it.)��TIt�then�follo�ws�from�(34)����?that�UUfor��w��8�in�[��R��t;����0],��������}�Re���L(�A�����2���S�+�8�B���q����2����)�������$������ӢB�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�����i��TL�j�����4�������8�(35)��������?�@R��}'emark���:��^If�� none�of�the������i���l�are�real,��then��X����x����is�nev���er�zero�on�the�b�Goundary��*�,�so������?��~���?�u���G��is�
�in�that�case�a�path�through�harmonic�surfaces�taking�the�b�Goundary�strictly����?monotonically��*�.�4Otherwise,���,��^��1�����{�~���=��u����?�will��"v��q�anish�at�the�real������i��TL�.�That�is�OK���as�far�as�the����?presen���t��dpro�Gof�go�es,��hbut�if�w���e�needed�strict�monotonicit�y��*�,��hw�e�could�just�c�ho�Gose����?the�UUnonzero������i�����not�to�b�Ge�real.����NOutside�s�the�in���terv��q�als�[��R��t;����0]�and�[�R�t;����(1���+��t�)�R�t�],��jw���e�s�ha�v�e�����^���0��l��1���	 ��=�������^���0��l��2����=�0,����?and���since�b�Goth������1��.�and������2���are�nonnegativ���e,���w�e���ha�v�e�pro�v�ed���x䍑��~������X����x����f���b`�0�there.��KW��*�e����?therefore�)kcan�assume�that��x��lies�in�one�of�these�t���w�o�)kin�terv��q�als.�c$First�assume��x��is����?in�UU[�R��t;����(1�8�+��t�)�R�t�].�q�Dene���������c���=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�R��ǟ���2�m��4�N�������!��N�������:����Y����t�����i�=1���-D��j�R�L���8�����i��TL�j�����4���L?�and��9recall�that�w���e�ha�v�e�assumed��R����y>�2�j�����i��TL�j�,���whic�h�mak�es��j�R�����"�����i��TL�j�y>��R��=�2��9and����?hence�UU�c�����R��ǟ�^��2�m���յ=�2���^��4�N��,�+1���'�.�q�Then�b���y�(34)�w�e�ha�v�e��z�������Re�����(�A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�))�������������G��ct�����2�m�����g�����������������<$��z�t���^��2�m����R��ǟ�^��2�m���z�w�fe"r�	(֍���2���r�4�N��,�+1������8 B�:������8�(36)����W��?Similarly�UUw���e�ha�v�e�for�the�second�term�in���x䍑3�~������X����x�����r�that��'䍍����JgRe����(�A�����2��|s�(0�;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�))����������������<$��G�1��G�w�fe�	(֍2�����C{�R��ǟ���2�m���յt�����2�m�����þ���������������<$��G�t���^��2�m����R��ǟ�^��2�m���G�w�fe"r�	(֍���2���r�4�N��,�+1�����������8߲(37)���������28�����!�l�����'������?�and�UUhence,�adding�(36)�(37),�w���e�ha�v�e�(for��x��in�[�R��t;����(1�8�+��t�)�R�t�])��x����[������1���|s�Re��J�(�A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�))�+������2����Re��J�(�A�����2���(0�;���x�)�+��B���q����2����(�x�))��������<$���K�t���^��2�m����R��ǟ�^��2�m����K�w�fe"r�	(֍��2���r�4�N�����������8�(38)��������?in�UUview�of������1���S�+�8�����2��C��=��1.����NW��*�e��9no���w�estimate�the�t�w�o�terms�in�v�olving�the�deriv��q�ativ�es�of�the������i��TL�,��qin�case����?�m��>��1.�q�Note�UUthat������1���S�+�8�����2��C��=��1,�so�����^���0��l��1����+�8����^���0��l��2���C��=��0.�q�W��*�e�ha���v�e��Χ����x"��������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+��������0���፱2����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx����8󍍍�f[��=�����x"��������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+��������0���፱2����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx��������f[��=�����x"��������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)��dx�8�+��������0���፱2����'��c��Z���A�����2��|s�(0�;���x�)��dx�8�+�(�������0���፱1����S�+��������0���፱2����)������c��Z��
UQ�B���q����2����(�x�)����dx��������f[��=�����x"��������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)��dx�8�+��������0���፱2����'��c��Z���A�����2��|s�(0�;���x�)��dx����w��N�Adding�UUand�subtracting�����^���0��l��1����'���īR��|n�A���^��2��|s�(0�;���x�)�dx��w���e�ha�v�e��ay����Z��������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)��dx�8���������0���፱1����'��c��Z���A�����2��|s�(0�;���x�)��dx�8�+��������0���፱1����'��c��Z���A�����2��|s�(0�;���x�)��dx�8�+��������0���፱2����'��c��Z���A�����2��|s�(0�;���x�)��dx��������I�=�����Z��������0���፱1����'��c��Z�����ğ��b���p�A�����2��|s�(�t;���x�)�8���A�����2���(0�;���x�)����b����n*��dx�8�+�(�������0���፱1����S�+��������0���፱2���|s�)������c��Z��
UQ�A�����2���dx��������I�=�����Z��������0���፱1����'��c��Z�����ğ��b���p�A�����2��|s�(�t;���x�)�8���A�����2���(0�;���x�)����b����n*��dx������n�(39)���������I=�����Z��������0���፱1���|s�t�����2�m�+1���_���c��Z�����i��!_��w��@����0�����)�����\�"��/X�w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���2�m��Ѳ+��O�G�(�tw��D���2�m�+1����)����\�#����o��dw����#����I�=�����Z��������0���፱1���|s�t�����2�m�+1����_����\� ���Je��c�Z�����i��)Jf�w��@��$؟�0�����1n?���\�"��7C��w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���2�m�������\�#�����[�dw�}ò+�8�O�G�(�tw��D���2�m�+2����)����\�!����������I�=�����Z��������0���፱1���|s�t�����2�m�+1����_����\� ���Je��c�Z�����i��)Jf�w��@��$؟�0���1n?�w��D���2�m��4�N����־���\�"�������'�d�N������$­����Y����t��$��i�=1���3K�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���4�N�������\�#����s�dw�}ò+�8�O�G�(�tw��D���2�m�+2����)����\�!����������I�=�����Z��t�����2�m�+1����������0���፱1�����'���\� ���ǟ�c�Z�����i��ȴw��@����0��� 5��w��D���2�m��4�N����־���\�"�������'�d�N������$­����Y����t��$��i�=1���3K�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���4�N�������\�#����s�dw�}ò+�8�O�G�(�tw��D���2�m�+2����)����\�!������t���?�The�pin���tegrand�is�a�p�Golynomial�of�degree�at�most�2�m������1,�Q�so�pthe�in�tegral�is�a����?p�Golynomial���of�degree�at�most�2�m�.��Hence�for�small��w����it�is��O��(�w��D�^��2�m����),���and�hence����?large�^�compared�to�the�error�term��O�G�(�tw��D�^��2�m�+2����).���No���w�the�argumen�t�splits�in�to����?cases.��?Case�b}1:���w��`�lies�in�[�R��;����(1�A�+��t�)�R��],�e�and�b}Case�2:���w��`�lies�in�[��R�t;����0].��?These�are����?the��"only�cases�w���e�need�consider,�ϕsince�these�are�the�only�in�terv��q�als�where�����^���0��l��1���3��is����?nonzero.�������29�������l�����'������N�Case��N1:�8�supp�Gose��w�(1�lies�in�[�R��;����(1�T�+��t�)�R��].�K�By��NLemma�1,��the�in���tegral�is�negativ�e����?for��q�w������R�Dz.�H�Since�����^���0��l��1���C����0�for�p�Gositiv���e��w�D�,��the�pro�duct�of�the�t���w�o��qnegativ�e�terms�is����?non-negativ���e,��as���desired.�W�W��*�e�can�therefore�obtain�a�non-negativ�e�lo�w�er�b�Gound����?on�<Rthe�expression�in�question�v��q�alid�for�sucien���tly�small��t�,�ASb�y�deleting�the�error����?term�UUand�putting�in�a�factor�of�1�=�2.�q�The�result�is���X�����e_�������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+��������0���፱2����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx���������t�A����������<$������1������w�fe�	(֍2�������Ƶt�����2�m�+1����������0���፱1����'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��w��D���2�m��4�N����־���\�"�������'�d�N������$­����Y����t��$��i�=1���3K�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���4�N�������\�#����s�dw����0��?�That�UUcompletes�the�pro�Gof�in�case�1,�for��m��>��1.����NCase�UU2:�q�Supp�Gose��w��8�lies�in�[��R��t;����0].�By�(35)�w���e�ha�v�e��:k�����}�Re���L(�A�����2���S�+�8�B���q����2����)�������$������ӢB�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�����i��TL�j�����4������㍑?�and��Fhence�it�suces�to�sho���w�that�the�terms�in�v�olving�����^���0��l��1���.��and�����^���0��l��2����ha���v�e��Fmagnitude����?b�Gounded�UUab�o���v�e�b�y�this�quan�tit�y��*�.�q�In�sym�b�Gols,�w�e�ha�v�e���ˍ����x䍑]Lx~�����Zn>�X����x�������q����������$�Re�����UZ���b������A�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(0�;�x�)����b�����(�+�8�������0���፱1����'��c��Z�����i��'�x��@���U�0�����ڨ���b���T�A�����2��|s�(�t;���x�)����A�����2���(0�;���x�)����b����q�ߵdx����e����q���������$�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m����w��D���2�m��4�N�������!�
N�������V����Y����t��־�i�=1���-u��j�����i��TL�j�����4�����#������$�+�UU�t�����2�m�+1����������0���፱1����'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��w��D���2�m��4�N����־���\�"�������'�d�N������$­����Y����t��$��i�=1���3K�j�w�}ø�8�����i��TL�j�����4���S���w��D���4�N���+��O�G�(�t�)����\�#������dw����b,��?�The���indexed�pro�Gduct�is�a�p�olynomial�in��w�D�,���whose�constan���t�term�is������Q��
�S�j�����i��TL�j���^��4��|s�.�+�Since����?w���e��Kare�concerned�here�with�small��w�&.�w�e�write�this�p�Golynomial�as������Q��
���j�����i��TL�j���^��4���?�+�P̵O��(�w�D�).����?Putting�UUthis�expression�in���to�the�in�tegrand�w�e�ha�v�e���2����d��X����x������{R~���������(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m�������/N������
VN����Y����t��
?��i�=1���ޭ�j�����i��TL�j�����4��|s�w��D���2�m��4�N�����#�������+�UU�t�����2�m�+1����������0���፱1����'��c��Z�����i��'�2��@���U0���N7�w��D���2�m��4�N����־���\�"�������'�d�N������$­����Y����t��$��i�=1���3K�j�����i��TL�j�����4���S�+�8�O�G�(�w�D�)�+��O��(�t�)����\�#����iW�dw�����S��?�No���w�ˤw�e�in�tegrate�the�p�Golynomial;��note�that�since�the��O��(�w�D�)�term�represen���ts�a����?p�Golynomial,�UUin���tegrating�it�pro�duces�an�error�term�of�one�higher�degree.������Q畵X����x������i9]������{{�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m�������/N������
VN����Y����t��
?��i�=1���ޭ�j�����i��TL�j�����4��|s�w��D���2�m��4�N�����"L}����{{�+�UU�������0���፱1�����'���\�"���r�t�����2�m�+1����w��D���2�m��4�N��,�+1����������/X����Q�����ލ�8s!�N��%��8s!i�=1���G��j�����i��TL�j���^��4���(L����fe9Yt�	(֍�2�m�8���4�N�O��+�1�����eD�+�8�O�G�(�t�����2�m�+1���w��D���2�m��4�N��,�+2��'L�)����\�#������������30�������l�����'������?�Since��w���e�ha�v�e�assumed��w�F��is�in�[��R��t;����0],�,�w�e�ha�v�e�����^���0��l��1���b���}�0,�,�and�it�is�m�ultiplied����?b���y���an�o�Gdd�p�o���w�er���of��w�D�,��whic���h�will�b�e�negativ���e�on�this�in�terv��q�al.�STherefore�the����?second��1term�is�negativ���e.�C�W��*�e�can�therefore�replace�it�b�y�the�negativ�e�of�an�upp�Ger����?b�Gound�UUfor�its�magnitude.�q�W��*�e�ha���v�e�UUthe�estimate��'j���%w�j�������0���፱1���|s�j�������<$��	L��1���K�w�fe�Y�	(֍2�j�z�p��j�������=�����<$��Fr1���K�w�fe�O�	(֍2�t�j�w�D�j��������?�from�UULemma�2.�q�Putting�this�in�for�����^���0��l��1����Ȳw���e�obtain�������G���X����x������^�v������p���(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2�m�������/N������
VN����Y����t��
?��i�=1���ޭ�j�����i��TL�j�����4��|s�w��D���2�m��4�N�����"L}����p��������<$��ԯ�1�����w�fe�O�	(֍2�t�j�w�D�j������������\�"��"�	�t�����2�m�+1����j�w�D�j�����2�m��4�N��,�+1����������.�u����Q�����ލ�8.>�N��%��8.>i�=1���GM5�j�����i��TL�j���^��4���(:i����fe9Yt�	(֍�2�m�8���4�N�O��+�1�����d��+�8�O�G�(�t�����2�m�+1���w������2�m��4�N��,�+2��'L�)����\�#������"Ȗ����^�v������p���t�����2�m�������/N������
VN����Y����t��
?��i�=1���ޭ�j�����i��TL�j�����4��|s�w��D���2�m��4�N����־���^���$ܲ1�8������<$��#�\�1��l�w�feF ��	(֍2(2�m����4�N�O��+�1)�����L��+��O�G�(�t�)�+��O��(�w�D�)����^��������t���?�Since��!on�the�in���terv��q�al���R��t�|l���w��O���0��!w�e�ha�v�e��w��O�=�|l�O�G�(�t�),��Tw�e�can�drop�the��O�G�(�w�D�)����?term:��H�����hjǵX����x������������������t�����2�m�������/N������
VN����Y����t��
?��i�=1���ޭ�j�����i��TL�j�����4��|s�w��D���2�m��4�N����־���^���$ܲ1�8������<$��#�\�1��l�w�feF ��	(֍2(2�m����4�N�O��+�1)�����L��+��O�G�(�t�)����^�������Lt��?�Since�
�2�m��t���4�N����+�1�����1,��the�expression�in�brac���k�ets�is�at�least�1�=�2�for�sucien�tly����?small�UU�t�;�in�particular�it�is�p�Gositiv���e.�q�That�completes�the�pro�of�for��m��>��1.����NW��*�e�Τno���w�tak�e�up�the�case��m��F�=�1,��and�Τexamine�the�terms�in�v�olving�����^���0��l��1���K�and����?����^���0��l��2���|s�.�q�First�UUsupp�Gose��R��t�����w�����(1�8�+��t�)�R�t�.�q�Then��y�����e_�������0���፱1����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)��dx��+��������0���፱2����'��c��Z���ĵA�����2��|s�(0�;�x�)�+��B���q����2����(�x�)��dx���������t�A�=������e_�������0���፱1���|s�t�����3����'���^����n9��c�Z�����i��n:�w��@���s�0�����j�w�}ø�8��	z�j�����2���S���w��D���2��k��dw��+��O�G�(�tw��D���4���V�)����^�����������t�A�=������e_�������0���፱1���|s�t�����3����'���^����n9��c�Z�����i��n:�w��@���s�0������2�Re���9(��	z�)�w�}ò+�8�j���j�����2��'�dw��+�8�O�G�(�tw��D���4���V�)����^�������#ፍ��t�A�=������e_�������0���፱1���|s�t�����3����'���b���
QDz(���Re���9(��	z�)�w��D���2���6�+�8�j���j�����2���w�D�)�8�+��O�G�(�tw������4���V�)����b����������?�If�x>w���e�c�ho�Gose��Re��Fw(��	z�)���>��0,��vthen�x>the�leading�term�of�the�p�olynomial�in��w��!�is�negativ���e,����?and��dominates�the�error�term��O�G�(�tw��D�^��4���V�),���so�for�sucien���tly�small��t�,�and�p�Gositiv���e��w�D�.����?the�P�en���tire�expression�is�nonnegativ�e,�Q�as�desired.�pIThat�tak�es�care�of�the�in�terv��q�al����?�R��߸���w�����(1�8�+��t�)�R�Dz.�������31���� Ȗ�l�����'������N�No���w�UUsupp�Gose��w��8�lies�in�[��R��t;����0].�q�With��A����2���Ȳin�place�of��A���^��2��|s�,�w�e�ha�v�e���������x䍑]ڳ~�����Z�y�X����x�������rNA��������_�Re�����㕟��b����A�A����2��|s�(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(0�;�x�)����b�����<�+�8�������0���፱1����'��c��Z�����i��'�x��@���U�0�����ڨ�]���ŵA����2��|s�(�t;���x�)����A����2���(0�;���x�)�]���pli�dx����f���?�W��*�e�UUha���v�e��X|������ݵA����2��������Q�=�������o(�x�8����	zt��+��O�G�(�t�����2��|s�))(�x�����7�����������t��+��O��(�t�����2��|s�))����������Q=�������o�t�����2��|s�j�w�}ø�8��	z�j�����2���S�+��O�G�(�t�����3���)����������Q��������o�(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2�������?�Since�UU�B���q��^��2����(0�;���x�)��=��t���^��2�m�+2�k�� ��AB���^��2��|s�(�w�D�),�it�is��O�G�(�t���^��3���),�and�w���e�ha�v�e��������[��X����x������s߸��������(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S�+��O��(�t�����3��|s�)�+��������0���፱1����'��c��Z�����i��'�x��@���U�0�����ڨ�[���ŵA����2���(�t;���x�)����A����2���(0�;���x�)�]���pli�dx����C�����s߸��������(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S�+��������0���፱1����t�����3���'��c��Z�����i��'�w��@���U�0���J��j�w�}ø���	z�j�����2���S���w��D���2��k��dw��+��O�G�(�t�����3��|s�)�����R����s߸��������(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S�+��������0���፱1����t�����3����'���b���
QǸ��Re���9(��	z�)�w��D���2���6�+��j���j�����2��|s�w��D��b����b�D�+��O�G�(�t�����3���)����#ݍ���s߸��������(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S�+��������0���፱1����t�����3����'���b���
QǸj��	z�j�����2���w�}ò+��O�G�(�w��D���2���V�)����b����Pn��+��O�G�(�t�����3���)�������?No���w�
since��w�Q��is�negativ�e,�;and�����^���0��l��1������is�p�Gositiv�e,�;w�e�ma�y�replace�����^���0��l��1������b�y�the�upp�Ger����?b�Gound�UUgiv���en�in�Lemma�2:��捍���x䍑o�K~�����l��X����x��������Fٸ������
��(1�8�+��O�G�(�t�))�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S���t�����3������<$��
�Ͳ1�����w�fe�O�	(֍2�t�j�w�D�j�������%П��b���"P|�j�w�D�j��+��O��(�w��D���2���V�)����b����]�Dz+��O��(�t�����3��|s�)����������Fٸ������
��t�����2��|s�j��	z�j�����2����'���^���n9�1�8������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2������'+��O�G�(�w��D���2���V�)����^����S_`�+�8�O�G�(�t�����3���)�����������Fٸ���������<$���A*�1���A*�w�fe�	(֍2������t^�t�����2��|s�j��	z�j�����2���S�+�8�O�G�(�t�����3���)�������?where���w���e�ha�v�e�dropp�Ged�the��O��(�t���^��2��|s�w��D�^��2���V�)�term�since��w��-�=�HJ�O��(�t�)�in�this�in���terv��q�al.�ZVF��*�or����?sucien���tly�UUsmall��t��w�e�ha�v�e��捍���x䍒��<~�������X����x��������Hʸ���������<$���C�1���C�w�fe�	(֍3������vO�t�����2��|s�j��	z�j�����2�����&L��?�This�UUcompletes�the�pro�Gof�of�the�monotonicit���y�lemma.������?�ATheorem��T2���z�D�@L��}'et�sg���@b�e�a�r�e�al-analytic�Jor�dan�curve.���L�et��u��@b�e�a�minimal�surfac�e����?b��}'ounde�d�yby���@,�&�of�the�top��}'olo�gic�al�ytyp�e�of�the�disk,�&�with�a�b�oundary�br�anch�p�oint�of����?or��}'der��c�2�m��@on���@,���and�supp�ose��n��Ƹ��m�@.��Then��cwe�c�an�c�onstruct�a��C�����^��n��(��@-smo�oth�one-����?p��}'ar�ameter� Zfamily����6�~����u���
�2�@of�minimal�surfac��}'es�b�ounde�d�by���@,�Cwc�ontaining�the�original����?surfac��}'e��µu�@,���and�c�onver�ging�to��u��@in�the��C�����^��n��	�\�@norm,���such�that�the�Dirichlet�inte�gr�al����?�E����[�����~���u����~�]���@is�less�than��E��[�u�]�@;�ȱinde��}'e�d���E��[�u�]�R`���E��[�����~���u����~�]�ٸ��ct���^��4�m�+3��l)�@for��some�p��}'ositive�c�onstant����?�c�@.��������32����!�ܠl�����'��������?�ACorollary��T1���|���@If�\��u��@is�a��C�����^��1��	�$�@r��}'elative�minimum�of�ar�e�a�(in�p�articular�if�it�is�an����?absolute�}minimum�of�ar��}'e�a)�}among�disk-typ��}'e�surfac�es�b�ounde�d�by�a�r�e�al-analytic����?Jor��}'dan���curve���@,�then��u��@has�no�b�oundary�br�anch�p�oints.���&��?Pr��}'o�of�.�	��The��family�����~����u����j�has�b�Geen�dened�ab�o���v�e��as�the�harmonic�extension�of����?(����8���q�~��1ȍ(���㏵X���(�t;���x�)),�UUwhere���x䍑3�~������X���g�(�t;�x�)��=���-���[��Re����i����^���na˵����1��|s�(�x�)������c��Z�����i�����x��@��8�0���^5�A�����2���(�t;���x�)�8�+��B���q����2����(�x�)�dx��+������2��|s�(�x�)����c��Z�����i�����x��@��8�0���^5�A�����2���(0�;�x�)�8�+��B���q����2����(�x�)�dx����^�����n���?�W��*�e�UUha���v�e�computed���
������ߵE����1���������:=�������cT��c��Z�����i���cU�R�	,t��@����0������F��~���袵�u�������~����\3�u����y�������8�uu����y��·�dx�����R�����8��=������cT��ct�����4�m�+3����+�8�O�G�(�t�����4�m�+4����)�����&��?for�}some�constan���t��c�	G>��0,���and�}w�e�m�ust�no�w�sho�w�that�in�tegrals�o�v�er�the�rest�of����?the�
�real�line�can�b�Ge�con���trolled,�<so�as�not�to�sw�amp�the�con�tribution�near�the����?origin.�q�Sp�Gecically�UUw���e�ha�v�e�������7o�E����[�����1���� O�~���|s�u���
5�]�8���E��[�u�]��=��E����1���S�+�8�E����2���+��E����3�������8߲(40)������?where��`�����c��E����2������x��:=��������*��c��Z�����i����+�0��@���d��R�	,t����2������}���1������4�~�����X�u������֟���1������%�~����0I�u����y������.���8���1���S�u�����1��|s�u����y��y/�dx�8�+����c��Z�����i��8�(1+�t�)�R�	,t��@���R�	,t����*ݜ����1����/��~���/Z�u����5�����1����:3ܲ~���9��u����y����FP�������1���u�����1��|s�u����y��y/�dx����R׍���c�E����3������x��:=��������*��c��Z�����i����+��R�	,t����r�2���@���d�1�����ײַ���1�������~����l�u�����%�����1�����E�~������u����y�����b����8���1���S�u�����1��|s�u����y��y/�dx�8�+����c��Z�����i��8�1��@����(1+�t�)�R�	,t����&k՟���1����+�$�~���*�H�u����0�Ɵ���1����5��~���59�u����y����A��������1���u�����1��|s�u����y��y/�dx�����x��?�W��*�e�UUwill�estimate��E����2���Ȳand��E����3���to�b�Ge��O��(�t���^��4�m�+4����).�q�The�estimates�w���e�used������yv����i�����q��~�����µu����ׇ@����i�����h�~����ی�u����y�����q���8���i���,�u�����i��TL�u����y�����?�for�ݳ�i��_�=�2�and��i��=�3�w���ere�v��q�alid�for�the�en�tire�b�Goundary��*�,���since�they�w�ere�based����?on���the�global�estimate�for�the�gradien���t�of�a�harmonic�function�in�terms�of�the����?b�Goundary�UUv��q�alues�of�the�second�deriv�ativ���e.�q�Sp�Gecically�w�e�ha�v�e�as�in�(25),��������������2��������~����
"�u�����à����2�������~����@�u����y���������8���2���S�u�����2��|s�u����y���·�dy�������ɲ=������y�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)����=q����������3�����%h�~�������u�����;
����3�����[Y�~�����}�u����y�����xb���8���3���S�u�����3��|s�u����y�������ɲ=������y�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m��A��)������?with��@these�equations�v��q�alid�for�all��x�.�*�The�error�terms�are�uniform�in���/]�after�a����?conformal�UUmapping�of�the�half-plane�to�the�unit�disk,�so�that�w���e�ha�v�e���������e��c��Z�����i����f�1��@����1�����w-����2������|�~�����u����������2������m�~����)��u����y������v��8�u����2���|s���2����u����y��y/�dx�������=�������1�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)������8�(41)����􍍍����e��c��Z�����i����f�1��@����1�����w-����3������|�~�����u����������3������m�~����)��u����y������v���8���3���S�u�����3��|s�u����y��y/�dx�������=�������1�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)+2�m��A��)������8�(42)���������33����"�S�l�����'������?�W��*�e�UUtak���e�up,�for��i���=�2�UUand��i���=�3,��U^�������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@���1UR�	,t���������i�����꧲~����F˵u�����I����i�����q�~����T��u����y�����z���8���i���,�u�����i��TL�u����y��y/�dx:��QM��?�Let��us�dene��v�x��to�b�Ge�the�harmonic�extension�of��Ǭ����x䍑��~������X���
�r�.�^�This��is�the�form���ula�used����?to�UUdene����1~����u���d(�for�0�����z�7����R��t�,�UUso�w���e�ha�v�e�������ې~����7��u�����2�(�x�)��=������1��|s�(�x�)�v�[ٲ(�x�)�8�+������2���(�x�)�u�(�x�)����?where�Ŕ�����1��B�and������2���are�a�partition�of�unit���y�whose�prop�Gerties�ha�v�e�b�Geen�listed�when������?��~���?�u���HM�w���as��pdened.�/Then�the�v��q�arious�estimates�w�e�deriv�ed�for���8L~����u����^�on�0�0E���w�u(���R��7�are����?v��q�alid�UUfor��v��.�on��j�w�D�j����(1�8�+��t�)�R�Dz.�������j �����1����o@��~���n��u����tV�����1����yv�~���x��u����y����������8���1���S�u�����1��|s�u����y��������\�=�����ĕz(�����1���|s���1����v����+�8�����2���|s���1���u�)(�����1���|s���1���v����y��g�+������2���|s���1���u����y��·�)��������1���S�u�����1��|s�u����y�����������\�=�����ĕz(�������2����1�����ȟ��1��N;�v����+�8�����1��|s�����2������1����u�)�����1���v����y��g�+�(�������2����2����S���1)�����1���u�����1���u����y���������ĕz�+�UU�����1��|s�����2������1����v��[ٟ���1���L�u����y�������8�(43)������?W��*�e�UUha���v�e�b�y�(11)�that��������0V����1����ɵu�����1��|s�u����y�������j��=������1ݵO�G�(�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�)���������j�=������1ݵO�G�(�t�����4�m�+3����)������?since�UU��j>���1�b���y�Lemma�3.�q�W��*�e�ha�v�e������N*����1���ʝ�v������8���1���S�v����y�����=���O�G�(�t�����4�m�+2����)����?b���y�UU(30).�q�W��*�e�ha�v�e��y����3����1������u���=����c��Z��q��f�Lo��8�f��g��[ٟ���2����dx��=��t�����2�m�+1���_���c��Z��#
b�AA�����2��|s�dw�}ò+��O�G�(�t�����2�m�+2����)���A��?and�UUhence������֙����1���S�u���=��O�G�(�t�����2�m�+1����)�:����?�W��*�e�UUha���v�e������C1����1��Ϳ��v����y�����=���O�G�(�t�����2�m�+1����)����?b���y�UU(12).�q�W��*�e�ha�v�e����^��1���ȵu���=��O�G�(�t���^��2�m�+1����),�UUso������Ī����1���A�u�����1��|s�v����y�����=���O�G�(�t�����4�m�+2����)�:����?�W��*�e�UUha���v�e������|�����1�����v�"�=���O�G�(�t�����2�m�+1����)�������34����#���l�����'������?�and�UUfrom�(9)�w���e�ha�v�e��/������d1�����1��h��u����y������}6�=���������<$���0a�E���0a�w�fe�T�	(֍�z��2������X�x�����2�m�+���kG�+�����<$��l�G�����Im��
�q(�c����k��됲)��l�w�fe&Ɵ	(֍���2�����+�x�����2�m�+2�k�+B�+���&`��+��8�:���:�:�����卍��}6�=���������<$���0a�E���0a�w�fe�T�	(֍�z��2������X�t�����2�m�+���2g�w��D���2�m�+����*�+�����<$��l�G�����Im��
�q(�c����k��됲)��l�w�fe&Ɵ	(֍���2�����+�t�����2�m�+2�k�+B�+���$'��w��D���2�m�+2�k�+B�+���&�l�+��8�:���:�:������{����}6�=�������.�O�G�(�t�����2�m�+���2g�)�8�+��O��(�t�����2�m�+2�k�+B�+���$'��)��������}6=�������.�O�G�(�t�����2�m�+2����)����l#��?since�UU��j>���1.����NPutting�UUthese�estimates�in���to�equation�(43)�w�e�ha�v�e�������Z�(����1����_�w�~���_9��u����d�����1����jh�~���io��u����y����v0q���8���1���S�u�����1��|s�u����y�������jز=������1��O�G�(�t�����4�m�+2����)�8�+��O��(�t�����4�m�+��wi�+1�� Rj�)�+��O��(�t�����2�m�+1����)�O��(�t�����2�m�+2���)���������j�=������1��O�G�(�t�����4�m�+2����)������?No���w�UUw�e�in�tegrate:�������������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@���)>R�	,t������h����1�����
��~����f۵u����� Y����1�����@��~�����̵u����y�����]����8���1���S�u�����1��|s�u����y��#׵dx�������=�������R��t�����2��|s�O�G�(�t�����4�m�+2����)�����R�����=�������O�G�(�t�����4�m�+4����)������?and��0the�same�estimate�is�v��q�alid�for�the�in���tegral�from���R��t���^��2��	u��to�0,�b&since�that����?in���terv��q�al�|�is�also�of�length��R��t���^��2��|s�.��dBy�(41)�and�(42),��the�terms�arising�from�the����?second�Mand�third�comp�Gonen���ts�of����)~����u�����and��u��add�only��O��(�t���^��(2�m�+1)(�q�@L�+1)+2�m��AxK�)�and����?�O�G�(�t���^��(2�m�+1)(�p�+1)+2�m��A��).�q�W��*�e�UUha���v�e��l#���ܣ(2�m�8�+�1)(�q����+�1)�+�2�m�����2(2�m�8�+�1)�+�2�����4�m�8�+�4����?and��similarly�with��p��instead�of��q�[ٲ,��*so�these�terms�are��O�G�(�t���^��4�m�+4����).�>When�in���tegrated����?o���v�er�UUan�in���terv��q�al�of�length��R��t���^��2��|s�,�they�add�only��O�G�(�t���^��4�m�+6����).�q�Therefore��O�������v$��c��Z�����i���v%�(1+�t�)�R�	,t��@���^R�	,t������id�~����ň�u������"�~�����u����y�����?��8�uu����y��#׵dx������J�=������h�O�G�(�t�����4�m�+4����)�����u��?This�\�is�smaller�than�the��t���^��4�m�+3����term�w���e�found�for�the�in�tegral�from���R��t��to��R�t�,����?whose�tsign�w���e�can�con�trol.�s&Again,�+<the�same�estimate�is�v��q�alid�for�the�in�tegral����?from�UU��R��t���^��2���Ȳto�0.����NNo���w��w�e�tak�e�up�the�in�tegral��E����3��|s�.���Let��S��<�b�Ge�the�union�of�the�t�w�o�in�terv��q�als����?(�1�;�����R��t���^��2��|s�)��mand�(�R�t�(1�f�+��t�)�;����1�),���so��mthat��E����3���can�b�Ge�written�as�an�in���tegral�o�v�er����?�S����.�q�Here�UUw���e�ha�v�e����1~����u�����=���u�,�so�the�in�tegral�in�question�is���c�����]H�E����3�������;��=����������c��Z���Ӑڟ	y�S�����u�(�����~���u����y�������8�u����y��·�)����dx�����򍍍��;��=����������c��Z���Ӑڟ	y�S���������1��߂��u�(�����1���� O�~���|s�u����y����=X���8���1���S�u����y��·�)����dx����������35����$9�l�����'�����y�������+������c��Z���
�7�	y�S������2���Y�u�(�����2���� O�~���|s�u����y����=X���8���2���S�u����y��·�)����dx�����򍍍����+������c��Z���
�7�	y�S������3���Y�u�(�����3���� O�~���|s�u����y����=X���8���3���S�u����y��·�)����dx����Υ��?�T��*�o�yJanalyze�the�second�and�third�terms,��Mit�will�b�Ge�con���v�enien�t�yJto�mak���e�a�conformal����?mapping�Iibac���k�to�the�disk,�K�where�w�e�started�at�the�b�Geginning�of�the�pap�er.�m�Let����?��βb�Ge�R�the�mapping�from�the�disk�to�the�upp�er�half-plane�dened�earlier.�j�Let����?�U��(�z�p��)��@=��u�(����(�z��))��nand���x䍑�
~������U����r�(�z��)��@=���.~����u���	C��(����(�z��)),��so��nthat��U�ቲand���x䍑�
~������U����are�dened�in�the�disk.����?Dene�����E��T�*��:=����������1��yW�(�S����)�:������?�The�UUin���tegral�in�question�b�Gecomes��N�����e�Y�E����3������{{��=�������B���c��Z������	y�T����I�U��(�e�����i��Z��)(���x䍑��~�����U����r����A��(�e�����i���)�8���U����r��m��(�e�����i��Z��))����d�����򍍍�{{��=�������B���c��Z������	y�T�����I����1���D��U��(�e�����i��Z��)(�����1����x䍑9�~�����|s�U����r�����޸��8���1���S�U����r��m��)����d����������B���c��Z������	y�T����I�U����2��|s�(�e�����i��Z��)(�����2����x䍑9�~������U����r�����޸��8���2���S�U����r��m��)����d���+��8��c��Z�����	y�T���x�U����2���(�e�����i���)(�����3���U����r�������8���3���S�U����r��m��)����d����Υ��?�W��*�e�+�ha���v�e�already�discussed�the�con�tributions�from�the�second�and�third�comp�Go-����?nen���ts,�?eand�9�found�that�the�t�w�o�in�tegrands�are��O�G�(�t���^��4�m�+4����);�C
this�term�is�uniform�in����?��G�,�^;i.e.,�the�\sin���tegrand�is�b�ounded�b���y�a�constan�t�times��t���^��4�m�+4����indep�Genden�tly�of���G�.����?Up�Gon��in���tegrating�o�v�er�the�unit�circle�w�e�still�ha�v�e��O�G�(�t���^��4�m�+4����).�JWGetting�this�result����?is��Nthe�only�reason�for�going�bac���k�to�the�unit�disk,��so�w�e�no�w�return�to�the�upp�Ger����?half�UUplane:��N�����ip��E����3������Nʲ=���������c��Z�����"�	y�S����џ���1����D�u�(�����1���� O�~���|s�u����y����=X���8���1���S�u����y��·�)����dx�8�+��O�G�(�t�����4�m�+4����)���������N�=���������c��Z�����i����1��@����"1����������1����#�u�(�����1���� O�~���|s�u����y����=X���8���1���S�u����y��·�)����dx�8�����c��Z�����i��8�(1+�t�)�R�	,t��@�����R�	,t����2�����*ݜ����1��/Z�u�(�����1���� O�~���|s�u����y�����������1���S�u����y��·�)����dx��������?�In���tegrating�8wb�y�parts,�>=and�noting�that�the�terms�at�innit�y�cancel�out�since��is����?a�UUJordan�curv���e,�w�e�ha�v�e��Í���[3��E����3������q�=�������	�������c��Z�����i�����1��@��8�1����G����1��Ë�u����y��·�(�����1���� O�~���|s�u���nѸ��8���1���S�u�)����dx�8�����c��Z�����i��8�(1+�t�)�R�	,t��@�����R�	,t����2�����,�D����1��1��u�(�����1���� O�~���|s�u����y����=X�������1���u����y��·�)����dx����Uf����q�=�������	�������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��(1+�t�)�R�	,t����-�F����1��2D��u����y��·�(�����1���� O�~���|s�u���nѸ��8���1���S�u�)����dx�8�����c��Z�����i��8�(1+�t�)�R�	,t��@�����R�	,t����2�����,�D����1��1��u�(�����1���� O�~���|s�u����y����=X�������1���u����y��·�)����dx��������?�since�]�for��z�F�2��j�S����,�`w���e�ha�v�e����^��1����~;�~����_�u���iG�=���j��^��1��Qݵu�.���Com�bining�the�in�tegrals�and�m�ultiplying�out����?the�UUin���tegrands,�w�e�ha�v�e��Í���s�ٵE����3�������k�=������21�������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��R�	,t����2�����*Od����1��.�׵u����y���·����1����	�ֲ~���	J��u���=X���8���1���S�u����y���·����1��	J��u�8�������1���u�����1���� O�~���|s�u����y����=X�+������1���u�����1��|s�u����y��y/�dx����������36����%
��l�����'���c������k�=������21�������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��R�	,t����2�����*Od����1��.�׵u����y���·����1����	�ֲ~���	J��u���=X���8���1���S�u�����1���� O�~���|s�u����y����� �dx����Uf�����k�=������21�������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��R�	,t����2�����*Od����1��.�׵u����y���·����1����	�ֲ~���	J��u���xdx�8�����c��Z�����i��8�(1+�t�)�R�	,t��@�����(1+�t�)�R�	,t����,�֟���1��1(I�u�����1���� O�~���|s�u����y����� �dx����4���?�In���tegrating���the�second�term�b�y�parts�one�more�time,�	�it�b�Gecomes�iden�tical�to�the����?rst�UUterm,�and�w���e�ha�v�e���������9õE����3���������=���������2������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��R�	,t����2�����*Od����1��.�׵u����y���·����1����	�ֲ~���	J��u���� dx������8�(44)�����*��?Recall�UUfrom�equation�(9)�that��������tXi����1��x�ܵu����y�������\�=���������<$���W2�E���W2�w�fe�T�	(֍�z��2��������x�����2�m�+���kG�+�����<$��l�G��l�w�fe�̟	(֍�ne�2�����|�x�����2�m�+2�k�+B�+���&`��+��8�:���:�:�����u9�����\�=���������<$���W2�E���W2�w�fe�T�	(֍�z��2��������t�����2�m�+���2g�w��D���2�m�+����*�+�����<$��l�G��l�w�fe�̟	(֍�ne�2�����|�t�����2�m�+2�k�+B�+���$'��w��D���2�m�+2�k�+B�+���&�l�+��8�:���:�:�����4+��?�Since�UUb���y�Lemma�3�w�e�ha�v�e���j>���1,�w�e�ha�v�e��f[������������1���o�u����y������ڞt�=������e��O�G�(�t�����2�m�+2����)������8�(45)������?Recall�UUthat��ԍ������@����1�����ɏ�~����%��u���������1�=�����æO�t�����2�m�+1���_���c��Z��#
b�AA�����2��|s�dw�}ò+�8�O�G�(�t�����2�m�+2����)����@S������1=�����æO�O�G�(�t�����2�m�+1����)������?Substituting�UUthis�result�and�(45)�in���to�equation�(44)�w�e�ha�v�e��I򍍍��!��E����3��������ٲ=���������2������c��Z�����i�����(1+�t�)�R�	,t��@��8��R�	,t����2����*Od�O�G�(�t�����2�m�+2����)�O��(�t�����2�m�+1���)������8�(46)�������������=��������O�G�(�t�����4�m�+4����)������8�(47)������?since��the�in���tegrand�is��O�G�(�t���^��4�m�+3����)�and�the�in�terv��q�al�of�in�tegration�is�of�length��O�G�(�t�).����?W��*�e�UUno���w�ha�v�e�pro�v�ed�������Zm�E����2�������8��=������ŵO�G�(�t�����4�m�+4����)���������Zm�E����3�������8��=������ŵO�G�(�t�����4�m�+4����)���������Zm�E����1�������8��=������Ÿ�ct�����4�m�+3����+�8�O�G�(�t�����4�m�+4����)����f[��?and�UUit�follo���ws�that������i�E����[�����~���u����~�]�8���E��[�u�]��=���ct�����4�m�+3����+�8�O�G�(�t�����4�m�+4����)�:����N�W��*�e���still�ha���v�e���to�study�the�smo�Gothness�of�the�family���9�~����u���OM�.�1�Of�course�the�function������?��~���?�u���H�βis�+Pas�smo�Goth�as�the�in���terp�olation�functions������1���òand������2��|s�,�`�but�what�has�to�b�e�������37����&��l�����'������?�studied�aEis�ho���w�the�higher�deriv��q�ativ�es�of���!~����u���
B����u��with�resp�Gect�to��x��con�v�erge�to����?zero.�j4In�>�the�region�0���<�z�7����R��t�,�C(the�>�function����x~����u���6��is�analytic�in��z��3�and��t�,�so�there�is����?no���problem�there.���In�the�regions��z��y��e�(1�xd+��t�)�R��t����and��z���e��R��t���^��2��|s�,��mw���e�ha�v�e���Xx~����u����~��xd�u����?�iden���tically��zero�(on�the�b�Goundary),�1�so�there�is�no�problem�there.���The�rest�of����?our�j�discussion�will�fo�Gcus�on�the�regions��R��t����z�[����(1�G8+��t�)�R�t�jڲand���R�t���^��2��gi���z�[����0.����?W��*�e�UUha���v�e�from�the�W��*�eierstrass�represen�tation,���|�����jc�����1��n�3�v������8���1���S�u���������=���������<$���~1���~�w�fe�	(֍2�������D�t�����2�m�+1����_����^�����ן�c�Z�����i��&�شw��@��"5�0���.ʱ�AA�����2��|s�(����)�d��ø�����<$��[�w��D�^��2�m�+1���l�w�fe��	(֍�2�m�8�+�1������#�ݟ��^�����N�+�8�O�G�(�t�����2�m�+2����)����#ፍ�����=������JݵO�G�(�t�����2�m�+1����)������?since�Joon�the�region�in�question,����w��R�sta���ys�b�Gounded�as��t��go�es�to�zero.�Q(This�is����?no�}�b�Getter�b�ound�than�w���e�ha�v�e�individually�on��v�ى�and��u��in�this�region.)���F��*�or�the����?other�UUt���w�o�comp�Gonen�ts,�w�e�ha�v�e�from�the�geometry�of�,��������������2���(��v������8���2���S�u������̊�=�����瓨�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�q�@L�+1)��0?��)����������������3���(��v������8���3���S�u������̊�=�����瓨�O�G�(�t�����(2�m�+1)(�p�+1)��0tj�)�������?Hence��������Ŗ�~�����ӵu�����1��8�u�����枭�=������e˵O�G�(�t�����2�m�+1����)����5���������<$���w�d���^��n�����v�w�fe]�	(֍�dx���r�n�������+��(�����~���u����^��8�u�)�����枭=������e˵O�G�(�t�����2�m�+1��n�� 搲)����\	��?Recall�UUfrom�(4)�that�w���e�constructed������1���Ȳto�satisfy��5�������<$���iD�d���^��n��q~�����1����iD�w�fe��	(֍�]V�dx���r�n�������{H�=���O�G�(�t������2�n����)�:���Ѝ�?�The�UU�n�-th�deriv��q�ativ���e�of����1~����u���G���8�u��is�giv�en�b�y��uX��������<$����d���^��n���|���w�fe]�	(֍�dx���r�n�������Pʲ(�����~���u����^��8�u�)��������=�����������K�n������Ɋ���X����t���I��i�=0������٧Q���^�����<$���ŵn��
�卒�Ki�����_���^��������{���`h����_�����:��(�i�)���l�1�����
8*�~���	�N�u�����(�n��i�)����&Ly�+�8�����:��(�i�)���l�2�����
8*�~���	�N�u�����(�n��i�)�����$����`�i������!P������²=�����������K�n������Ɋ���X����t���I��i�=0���٧Q�O�G�(�t������2�i��
���)�O��(�t�����2�m�+1��(�n��i�)��0:߲)�����������=�����������K�n������Ɋ���X����t���I��i�=0���٧Q�O�G�(�t�����2�m�+1��n��i��)�ݲ)����pM�������=�����Ɋ�O�G�(�t�����2�m�+1��2�n��$��)������?Hence��Nthe����*~����u�����con���v�erges��Nto��u��in�the��C�����^��n��	�norm�only�for��n�����m�,�Pbut��Nfor�those�v��q�alues����?of�UU�n��it�do�Ges�con���v�erge.�q�That�UUcompletes�the�pro�of�of�the�theorem.�������38����')�l�����'������?�The�ffcase�of�smo�s3oth�but�not�analytic�b�oundary�����?�In��hthis�section�w���e�in�v�estigate�ho�w�far�the�assumption�that��is�real-analytic�can����?b�Ge�UUrelaxed.��;�����?�ADenition��T3���sz�@The��}Jor��}'dan�curve����@is�c�al���le�d��Ano��9where���planar��@if�at�every�p�oint����?e��}'ach���c�omp�onent�of����@has�a�nonzer�o��n�@-th�derivative�for�some��n�@.����?�If��p�is�no���where�planar,���then�if��P��is�an�y�p�Goin�t�on�,���after�a�rigid�motion�whic�h����?brings�͓�P�1"�to�the�origin�and�mak���es��tangen�t�to�the��X���-axis�at�origin,��w�e�will�ha�v�e����?the�<�represen���tation�of����^��0��
�in�terms�of��p��and��q����whic�h�is�basic�to�our�argumen�t,�A�for����?some�UU�p��and��q�[ٲ.����NW��*�e�Mreview�the�kno���wn�facts�ab�Gout�the�b�eha���vior�of�a�minimal�surface�at�a����?b�Goundary�UUbranc���h�p�oin���t�on�a��C�����^��2�;��ť�Jordan�arc.����?(i)�UUthe�surface�itself�is��C�����^��2�;��ť�up�to�the�b�Goundary�(see�[�9��],�p.�q�33).����?(ii)��With�the�branc���h�p�Goin�t�at�origin,���w�e�ha�v�e�the�follo�wing�asymptotic�represen-����?tation�UU(see�[�9��],�Theorem�2�on�p.�q�121):��ʒ����ʵu����z��b��=���Az��p�����M���Ӳ+�8�o�(�j�z�p��j�����M���\�)����?for�Lsome�in���teger��M��,�M�the�order�of�the�branc�h�p�Goin�t.�n�If�the�b�Goundary�is�tak�en�on����?monotonically�e�near�the�branc���h�p�Goin�t�then��M�|��m�ust�b�Ge�ev�en,�jsa�y��M��IJ=��2�m�.��fThe����?complex�UUv���ector��A��satises��A���^��2��C��=��0.����?(iii)��the�unit�normal�extends�con���tin�uously��to�the�branc���h�p�Goin�t.�1�Orien�ting�the����?surface�h�so�that�the�normal�p�Goin���ts�up�at�the�branc�h�p�Goin�t,�mgw�e�then�ha�v�e��g�[ٲ(�z�p��)��0=����?�o�(1)�UUand�����������3�����u����z��b��=���f���(�z�p��)�g�[ٲ(�z��)�=��o�(�j�z��j�����2�m����)�:������N�In��"the�analytic�case�w���e�w�ould�ha�v�e��g�[ٲ(�z�p��)��=��z����^��k��"��+��}�O�G�(�z����^��k�+B�+1��|*�)��"for�some��k�P��,��-the�index����?of��the�branc���h�p�Goin�t.�>�In�the��C�����^��2�;��_E�case,�\w�e�do�not�kno�w�that�the��g�Jβhas�T��*�a�ylor����?co�Gecien���ts�b�b�ey�ond�b�the�2�m�-th.���Therefore,�fRw�e�dene�the�index��k����to�b�Ge�the�least����?in���teger�\�suc�h�that�w�e�do�not�ha�v�e��j�g�[ٲ(�z�p��)�j�Ӧ�=��o�(�j�z��j���^��k��됲).��aIf�\�suc���h�an�in�teger��k��t�do�Ges�not����?exist��then��j�g�[ٲ(�z�p��)�j��&�=��o�(�j�z��j���^��k��됲)��for�ev���ery��k�P��;�Iin�suc�h�a�case�w�e�sa�y�the�branc�h�p�Goin�t����?has�UUinnite�index.�q�Since��g�[ٲ(�z�p��)��=��o�(1)�UUw���e�ha�v�e��k������1.����NW��*�e��Yneed�the�follo���wing�more�thorough�analysis�of�the�situation�regarding�the����?denition�&Uof�the�index�of�a�branc���h�p�Goin�t�and�the�b�Geha�vior�of�the�Gauss�map����?near�UUa�branc���h�p�Goin�t�on�a��C�����^��2�;��ť�b�Goundary��*�.��ʒ����?�ALemma��T11���xG	�@L��}'et�&��u��@b�e�a�minimal�surfac�e�with�a�b�oundary�br�anch�p�oint�at�origin,����?b��}'ounde�d��by�a��C�����^��2�;��I_�@Jor��}'dan�ar�c,�*Yand�oriente�d�so�the�normal�p�oints�up�at�the����?br��}'anch���p�oint.���Then�ther�e�exists�an�inte�ger��k��~�@such�that���������f��g��[ٟ���2���L�(�z�p��)�������=������Ϯ�cz��p�����2�m�+2�k����+�8�o�(�z��p�����2�m�+2�k���8�)���������	q�g�[ٲ(�z�p��)�������=������Ϯ�cz��p�����k����+�8�o�(�z��p�����k��\'�)������������g����z���������=������Ϯ�ck�P�z��p�����k�+B��1���{�+�8�o�(�z��p�����k�+B��1�����)������?�@In���p��}'articular�the�br�anch�p�oint�has�nite�index�and��g����z��/x�@is�b�ounde�d.��������39����(5��l�����'������?�.����?�@Pr��}'o�of�.�h�W��*�e�:Iha���v�e��f��g��[ٟ�^��2���d�=�����^��2��C��u����z���Y���ȟ�^��1��;�u����z�����,�?�so��f�g��[ٟ�^��2����is��C�����^��2�;�����up�to�the�b�Goundary��*�,�?�b���y�(i).�h�By����?(ii)�UUw���e�ha�v�e������f��g��[ٟ���2���L�(�z�p��)��=��o�(�z������2�m����)�����?when���the�normal�at�the�branc���h�p�Goin�t�p�Goin�ts�up.�i5Since�the�real�and�imaginary����?parts�l
of��f��g��[ٟ�^��2��DV�are�harmonic,�q�and�it�is��C�����^��1�����at�the�b�Goundary��*�,�it�satises�h���yp�Gothesis����?(2)���on�page�142�of�[�9��],�Дand�hence�h���yp�Gothesis�(A2)�on�the�next�page.���If�the����?minimal���surface�do�Ges�not�lie�in�a�plane,� �then��f��g��[ٟ�^��2��	�'�is�not�constan���t.��[W��*�e�can����?therefore��apply�Theorem�2�on�page�143�of�[�9��],��pwith���e��in�the�theorem�equal�to����?2�m�UU�here,�and��X����=���f��g��[ٟ�^��2���L�.�q�The�conclusion�is�that��j�����"�lim��-�����z�I{�!�0����Ǭ�z��p������2�m��E��(�f��g��[ٟ���2���L�)����z������exists����t��?and��there�is�a�least�nonnegativ���e�in�teger��j�x��suc�h�that�w�e�do�not�ha�v�e��f��g��[ٟ�^��2���L�(�z�p��)��9=����?�o�(�j�z�p��j���^��j��6��),�UUand�for�that��j���w���e�ha�v�e�������)lim��-����d�z�I{�!�0������z��p������j�g��+1��G�(�f��g��[ٟ���2���L�)����z������exists�UUand�is�not�zero��uMc�:���b��?�W��*�e�<`ha���v�e��j�Y��=��2�m���+�2�k����b���y�the�denition�of��k��ab�Go���v�e,�A^and�the�asymptotic�form�ula����?�f���(�z�p��)��=��z����^��2�m��
�#�+�~�o�(�z����^��2�m����).�R�More���precisely��*�,�.w���e�ha�v�e�pro�v�ed�that��k�I;�exists,�.i.e.�R�the�case����?of�UUinnite�index�is�imp�Gossible.�q�W��*�e�ha���v�e�������f��g��[ٟ���2���L�(�z�p��)��=��cz������2�m�+2�k����+�8�o�(�z������2�m�+2�k���8�)����?and�UUhence������0�g�[ٲ(�z�p��)��=��cz������k����+�8�o�(�z������k��\'�)�:�����?�W��*�e�UUha���v�e�asymptotic�expansions�of��f���,��f�g��[ٟ�^��2���L�,�and��f�g�[ٲ,�since�these�are�dened�b���y������Ǿ�f�������=�������Ÿ���1���5�u����z���q��8�i�����2��|s�u����z����������*h�f��g��[ٟ���2���������=�������Ÿ���1���5�u����z���q�+�8�i�����2��|s�u����z���������æ۵f��g��������=�������Ÿ���3���5�u����z�������?�and��as�ab�Go���v�e,��these��functions�are��C�����^��1��	��up�to�the�b�oundary�b���y�(i)�and�then�the����?theorem��
on�page�143�of�[�9��]�yields�the�desired�asymptotic�expansions.���No���w�w�e����?compute�UU�g����z�����.�q�W��*�e�ha���v�e������VuI(�f��g��[ٟ���2���L�)����z������|n4�=������5R�f����z�����g��[ٟ���2��,�+�8�2�f��g�[�g����z�����g�����i
��g����z������|n4�=���������<$���h�(�f��g��[ٟ�^��2���L�)����z���q��8�f����z�����g��[ٟ�^��2����h��w�fe;P�	(֍���2�f��g��������������|n4�=���������<$���h�(�f��g��[ٟ�^��2���L�)����z����h��w�fe��	(֍�2�f��g������̓������<$��l�f����z�����g��[ٟ�^��2���l�w�fe>�	(֍��:�2�f��g������������|n4�=���������<$���h�(2�m�8�+�2�k�P��)�c���^��2��|s�z��p���^��2�m�+2�k�+B��1��'��+��o�(�z��p���^��2�m�+2�k�+B��1��$ͬ�)���h��w�fe�ޟ�	(֍�&�2�cz��p���r�2�m�+�k��ͥ�+�8�o�(�z��p���r�m�+�k���R�)�������������40����)D_�l�����'���AN�����5R������<$�����(2�mz��p���^��2�m��1��z��+�8�o�(�z��p���^��2�m��1��B�))(�c���^��2��|s�z��p���^��2�k���z�+��o�(�z��p���^��2�k��	X��))�����w�fe����	(֍�*�Q2�cz��p���r�2�m�+�k��ͥ�+�8�o�(�z��p���r�m�+�k���R�)��������Y{����|n4=������5R(�m�8�+��k�P��)�cz��p�����k�+B��1���{�+��o�(�z��p�����k�+B��1�����)����(�mz��p������1��
e�+��o�(�z��p������1��-�))(�cz��p�����k����+��o�(�z��p�����k��\'�)��������|n4=������5R�k�P�cz��p�����k�+B��1���{�+�8�o�(�z��p�����k�+B��1�����)������?Hence��W�g����z��h�also�has�the�desired�asymptotic�b�Geha���vior.���That�completes�the�pro�of����?of�UUthe�lemma.����?�@R��}'emark���:���W��*�e�	Ucould�not�apply�the�theorem�from�[�9��]�directly�to��g�[ٲ,�6Usince�w���e�do����?not�UUkno���w��@a���priori��that��g��.�extends�in��C�����^��1����fashion�to�the�b�Goundary��*�.����NThe�/,in���tegers����"�and�����cannot�b�Ge�dened�as�in�the�analytic-b�oundary�case,����?since��the�requisite�p�Go���w�er��series�ma���y�not�exist.��Instead�w�e�mak�e�the�follo�wing����?denition.������?�ADenition��T4���sz��6��@is���the�le��}'ast�inte�ger�such�that�for�smal���l�r�e�al��x��@we�do�not�have��������Im��ʔ�(�j�f���(�x�)�j�)��=��o�(�j�x�j��������ɲ)�:����?����@is���the�le��}'ast�inte�ger�such�that�we�do�not�have������l�Re���:E(�j�g�[ٲ(�x�)�j�)��=��o�(�j�x�j�������cx�)�:������?�ATheorem��T3���z�D�@L��}'et�����@b�e�a��C�����^��N�Q�;���>�@Jor�dan�curve,���wher�e��N������3��@and���>��0�@.��Supp��}'ose����?���*�@is�nowher��}'e�planar�(as�dene�d�ab�ove).��aL�et��u��@b�e�a�minimal�surfac�e�of�the����?top��}'olo�gic�al�'�typ�e�of�the�disk,�=�b�ounde�d�by���@,�=�with�a�b�oundary�br�anch�p�oint�of�or�der����?�2�m��|�@on���@,�1"and�supp��}'ose��n�����m��|�@and��n�����N��@.�yWThen��|we�c�an�c�onstruct�a��C�����^��n��(��@-����?smo��}'oth�>one-p�ar�ameter�family����߲~����u���5��@of�minimal�surfac�es�b�ounde�d�by���@,�h�c�ontaining����?the��woriginal�tsurfac��}'e��u�@,�L�and�c�onver�ging�to��u��@in�the��C�����^��n���@norm,�L�such�that�the����?Dirichlet���inte��}'gr�al��E����[�����~���u����~�]��@is�less�than��E��[�u�]�@;���inde��}'e�d��E����[�u�]�A����E��[�����~���u����~�]�ܨ���ct���^��4�m�+3��T��@for���some����?p��}'ositive���c�onstant��c�@.������?�ACorollary��T2���|���@L��}'et��۲��@b�e�a��C�����^��N�Q�;���0�@Jor�dan�curve,��Xwher�e��N�����2��@and���>��0�@.��sSupp��}'ose����?����@is�nowher��}'e�planar�(as�dene�d�ab�ove).�!,If��u��@is�a��C�����^��1����@r�elative�minimum�of�ar�e�a����?(in�R�p��}'articular�if�it�is�an�absolute�minimum�of�ar�e�a)�among�disk-typ�e�surfac�es����?b��}'ounde�d���by���@,�then��u��@has�no�b��}'oundary�br�anch�p�oints.����?Pr��}'o�of�.�c�By�*�the�kno���wn�b�Goundary�regularit�y�results�([�9��],�3p.�c�33),��u�*��is�of�class��C�����^��N�Q�;�����?�at��|the�b�Goundary��*�,���in�particular�of�class��C�����^��N��LͲ.�;�This�is�needed�only�at�the�end,�when����?w���e�#�pro�v�e�the�con�v�ergence�in��C�����^��n��
Lu�norm�of���Ƿ~����u���4�to��u�.��YIn�the�rest�of�the�pro�Gof�w�e����?nev���er�}to�Gok�more�than�t�w�o�deriv��q�ativ�es�of��u�.�^�Dene�
����0��|s�(�t���^��i��TL�)�to�mean�a�term�whic�h����?is�3/�o�(�t���^��j��6��)�for�ev���ery��j�Y�<��i�.�feSuc�h�a�term�migh�t�b�Ge��o�(�t���^��i��TL�)�or�ev�en�zero.�feT��*�o�imply�that����?the��term�is�denitely�not��o�(�t���^��i��TL�)�w���e�write�
����1��|s�(�t���^��i���).���W��*�e�no���w�list�the�c�hanges�that����?need�UUto�b�Ge�made�to�the�pro�of�giv���en�ab�o���v�e�UUfor�the�analytic�case:����N(i)�UUReplace�ev���ery�term�in�v�olving��E���t���^���wi�+�j��)Z�for�some��j���can�b�Ge�b�y�
����1��|s�(�t���^���wi�+�j����).����N(ii)�UUReplace�ev���ery�term�in�v�olving��Gt���^���@��+�j���	�for�some��j���b�y�
����1��|s�(�t���^���@��+�j��=��).�������41����*Qʠl�����'������N�(iii)�UUReplace�ev���ery�term�in�v�olving��t���^��k�+B�+�j��!�b�y�
����0��|s�(�t���^��k�+B�+�j���̲).����N(iv)���Replace�ev���ery�term�with�an�anon�ymous�constan�t��C����i��K�and�an�exp�Gonen�t�of����?�t�UU�in���v�olving���`�,������,�or��k���b�y�an�
����0���Ȳterm�with�the�same�exp�Gonen�t�of��t�.����N(v)�UUReplace�ev���ery�error�term��O�G�(�t���^��j�g��+1��V��)�with��o�(�t���^��j��6��).���ˍ�NAfter��'these�replacemen���ts,��the�pro�Gof�is�still�v��q�alid.��?This�has�to�b�e�v���eried�b�y����?a�.$detailed�reading�of�the�pro�Gof,�dWbut�is�routine�except�for�the�follo���wing�p�oin���t.����?When���computing��s����xx��	�Ȳ;��7w���e�m�ust�dieren�tiate��B���q��^��2��&��=�)ڵf��g��[ٟ�^��2��h�and�get��o�(�z��p���^��2�m����).�#�By�the����?lemma�seab�Go���v�e,�z�(�f��g��[ٟ�^��2���L�)����z����has�an�asymptotic�expansion�at�the�branc�h�p�Goin�t,�z�so��f��g��[ٟ�^��2�����?�can�UUb�Ge�dieren���tiated�as�in�the�analytic�case.�q�Similarly�for��f�h�and��f��g�[ٲ.�� �j��?�References���捍��D�[1]���S�<Alt,��H.��W.,�V��*�erzw���eigungspunkte�v�on�H-Fl����ac�hen�I.��@Math.�Zeitschrift��A127�,����S�<333-362�UU(1972).���̍���D[2]���S�<Alt,�l�H.�hW.,�V��*�erzw���eigungspunkte�v�on�H-Fl����ac�hen�I�GI.��@Math.��0A���nn��A201�,�l�33-55����S�<(1973).������D[3]���S�<Barb�Gosa,�|J.��tL.,�and�do�Carmo,�M.,�Stable�minimal�surfaces,��@Bul���l.�#�A���mer.����S�<Math.���So��}'c.�UU�A80��(1974)�581-583.������D[4]���S�<Barb�Gosa,�=0J.�7'L.,�and�do�Carmo,�M.,�On�the�size�of�a�stable�minimal�surface����S�<in�UU�R��ǟ�^��3���:�,��@A���mer.���J.�Math.�UU�A98��(1976),�515-528.������D[5]���S�<Beeson,���M.,�Some��results�on�niteness�in�Plateau's�problem,���P���art�I,��@Math����S�<Zeitschrift�UU�A175��(1980)�103-123.������D[6]���S�<Beeson,�s�M.�m�Some�results�on�niteness�in�Plateau's�problem,�P���art�I�GI,��@Math����S�<Zeitschrift�UU�A181��(1982)�1-30.������D[7]���S�<On��"in���terior�branc�h�p�Goin�ts�of�minimal�surfaces,���@Math�8�Zeitschrift��A171��(1980)����S�<133-154.������D[8]���S�<Dierk���es,��oU.,�Hildebran�t,�S.,�K�G����uster,�A.,�W��*�ohlrab,�O.,��@Minimal���Surfac��}'es�I:����S�<Boundary���V��;�alue�Pr��}'oblems�,��xSpringer-V��*�erlag,�Berlin�]qHeidelb�Gerg�New�Y�ork����S�<(1992).������D[9]���S�<Dierk���es,�P�U.,�Hildebran�t,�S.,�K�G����uster,�A.,�W��*�ohlrab,�O.,��@Minimal���Surfac��}'es�II:����S�<Boundary�/_R��}'e�gularity�,���Springer-V��*�erlag,�Berlin��Heidelb�Gerg�New�Y�ork�(1992).������?[10]���S�<Gulliv���er,��bR.��eA��?minimal�surface�with�an�at�ypical�b�Goundary�branc�h�p�Goin�t,��bin:����S�<B.���La���wson�and�K.�T��*�enen�blat�(eds.),�۸�@Dier��}'ential���Ge�ometry:�_ha�Symp�osium����S�<in�-�honor�of�Manfr��}'e�do�-�P.�do�Carmo�,���pp.��a211-228,�Longman,�Harlo���w�(1991).������?[11]���S�<Regularit���y���of�minimizing�surfaces�with�prescrib�Ged�mean�curv��q�ature�v�ector,����S�<�@A���nn.���Math.�UU�A97�,�275-305�(1973).�������42����+a͠l�����'��������?�[12]���S�<Gulliv���er,�z�R.,�and�s>Lesley��*�,�F.�D.,�On�b�Goundary�branc���h�p�oin���ts�of�minimizing����S�<surfaces,�UU�@A���r��}'ch.���R�ation.�Me�ch.�A���nal.�UU�A52�,�20-25�(1973).������?[13]���S�<Gulliv���er,��R.,�Osserman,�R.,�and��ERo�yden,�H.��EL.,�A��5theory�of�branc���hed�im-����S�<mersions�UUof�srufaces,��@A���m.���J.�Math�UU�A95�,�750-812�(1973).������?[14]���S�<Kreyszig,�o�E.,��@Dier��}'ential�c�Ge�ometry�,�o�Do���v�er,�New�70Y��*�ork�(1991).�Originally����S�<published:�q�Univ���ersit�y�UUof�T��*�oron���to�Press,�T�oron���to�(1959).������?[15]���S�<Lewy��*�,��H.�QOn�the�b�Goundary�b�eha���viour�of�minimal�surfaces,��Pro�c.�Natl.�Acad.����S�<Sci.�UUUSA��A37�,�102-110�(1951).������?[16]���S�<Morrey��*�,�y1C.,�Jr.,��@Multiple��KInte��}'gr�als�in�the�Calculus�of�V��;�ariations�,�y1Springer-����S�<V��*�erlag,�UUBerlin/Heidelb�Gerg/New�Y�ork�(1966).������?[17]���S�<,��TNitsc���he,�J.�iUC.�C.,�@L��}'e�ctur�es���on�Minimal�Surfac��}'es,��MV��;�olume�1�,��TCam�bridge����S�<Univ���ersit�y�UUPress,�Cam���bridge�(1988).������?[18]���S�<Osserman,��$R.,��@A��OSurvey�ɞof�Minimal�Surfac��}'es�,��$Do���v�er���Publications,�New����S�<Y��*�ork�UU(1986).������?[19]���S�<Osserman,��uR.,�A��[pro�Gof��}of�the�regularit���y�ev�erywhere�of�the�classical�solution����S�<to�UUPlateau's�problem,��@A���nn.���Math��(2)��A91�,�550-569�(1970).������?[20]���S�<Protter,�6	M.,�and���W��*�ein���burger,�H.,��@Maximum��Principles�in�Dier��}'ential����S�<Equations�,�UUPren���tice-Hall,�Englew�o�Go�d�UUClis,�New�Jersey�(1967).������?[21]���S�<T��*�omi,���F.,�On���the�lo�Gcal�uniqueness�of�the�problem�of�least�area,���Arc���h.�Ra-����S�<tion.�UUMec���h.�Anal.��A52�,�12-381�(1978).������?[22]���S�<T��*�omi,���F.,�and���T�rom���ba,�A.���J.,�On�the�structure�of�the�set�of�curv���es�b�Gounding����S�<minimal��surfaces�of�prescrib�Ged�degeneracy��*�,���J.�f�G����ur�die�reine�und�angew���andte����S�<Mathematik�UU�A316��(1980)�31-43.������?[23]���S�<T��*�rom���ba,��A.��J.,�On�the�n���um�b�Ger�of�simply�connected�minimal�surfaces�span-����S�<ning�UUa�curv���e,�Mem.�Am.�Math.�So�Gc.�No.�194,��A12��(1977).�������43����n���;�l�+�N��g�ffcmmi12�A�"V

cmbx10�@�':

cmti10�?��N�ffcmbx12�>X�Qffcmr12�0����		cmsy9�/5��"		cmmi9�.t�:		cmbx9�-o���		cmr9�;�cmmi6��Aa�cmr6�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10�w�������

Sindbad File Manager Version 1.0, Coded By Sindbad EG ~ The Terrorists