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<title>"MathXpert: Imparare la matematica nel 21<sup>o</sup> secolo </title>
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<div class=Section1>
<p><b>MathXpert: Imparare la Matematica nel 21<sup>o</sup> <span class=GramE>Secolo</span><o:p></o:p></b></p>
<p><i>Michael Beeson<br>
Department of Mathematics and Computer Science<br>
San Jose <span class=GramE>State</span> University<br>
San Jose, California 95192<br>
USA </i></p>
<p><a href="mailto:beeson@cs.sjsu.edu">beeson@cs.sjsu.edu</a></p>
<p>SOMMARIO: MathXpert � un programma di calcolo<span
style='mso-spacerun:yes'>� </span>di supporto agli studenti per l�apprendimento
dell�algebra, la trigonometria, e calcoli in una variabile. Le sue funzionalit�
vanno dalla manipolazione algebrica ai pi� complicati limiti e integrali
normalmente incontrati nelle classi universitarie. E� in grado di generare
soluzioni complete, passo passo, a problemi matematici, ma normalmente <span
class=GramE>viene</span> utilizzato dagli studenti come strumento di aiuto allo
svolgimento dei loro stessi problemi passo a passo. La progettazione di
MathXpert segue principi che sono dettato dallo scopo per il quale lo strumento
� effettivamente utilizzato, <span class=GramE>cio�</span> come strumento di
apprendimento; questi principi e il modo in cui questi influenzino la progettazione
di MathXpert sono di seguito discussi. L�articolo <span class=GramE>conclude</span>
la discussione dell�uso attuale e futuro della tecnologia in genere, e di
MathXpert in particolare, nell�ambito dell�insegnamento della matematica.</p>
<p>PAROLE CHIAVE: apprendimento della matematica, computer algebra, <span
class=GramE>calcolo</span></p>
<p class=MsoNormal><b>1. Introduzione</b></p>
<p>MathXpert � un sistema che permette <span class=GramE>a</span> una persona
di esercitarsi nella matematica attraverso lo schermo di un computer in una
modalit� che � molto simile a quella tradizionale dell�uso di carta e penna, ma
che apporta alcune importanti differenze: </p>
<p>(1) <i>Non � possibile commettere un errore<span class=GramE>..</span></i> </p>
<p>(2) <i>Se non sai cosa fare, MathXpert ti pu� aiutare<span class=GramE>..</span></i></p>
<p>Queste funzionalit� di MathXpert dovrebbero essere confrontate con quelle
che le persone incontrano nell�apprendimento della matematica:</p>
<ol start=1 type=1>
<li class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto;
mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list .5in'><em>Devi essere <span
class=GramE>estremamente</span> cauto quando svolgi un compito di
matematica, poich� un piccolo errore pu� portarti a dei risultati
completamente erronei.</em></li>
<li class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto;
mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list .5in'><em>La matematica �
integrativa. Devi conoscere ogni aspetto di un argomento prima di passare <span
class=GramE>al successivo argomento</span>.</em></li>
</ol>
<p>Maria Montessori, l�insegnante italiana, ha sviluppato l�idea che il
materiale didattico dovrebbe essere autocorrettivo (<i>self-correctin) </i><span
style='mso-spacerun:yes'>�</span>[MON 17, pp. 74-75]. Questo significa che lo
studente dovrebbe essere capace di distinguere, dalla formulazione dell�esercizio
stesso, quando il compito p stato correttamente completato, senza richiedere la
conferma dell�insegnante. <span class=GramE>Ella</span> ha progettato molto
materiale didattico per giovani studenti con questo principio in mente. Ma nell�uso
comune dell�insegnamento dell�algebra e del calcolo, il rivolgersi all�insegnante
per avere conferma della correttezza del risultato � la <span class=GramE>modalit�</span>
comune degli studenti � per esempio attraverso la consultazione della risposta
alla fine del libro. Peggio ancora, pu� non esserci affatto alcuna risposta.
Spesso, gli studenti fanno un errore gi� al terzo passaggio di un problema, e
inconsapevoli di ci�, spendono una <span class=GramE>grande</span> quantit� di
energia e di tempo a lavorare a qualcosa che � completamente inutile. Peggio,
possono essere incapaci di trovare i loro stessi errori. E questo produce
frustrazione, che se ripetuta con regolarit� pu� provocare una sensazione <span
class=GramE>di </span>incapacit� spesso conosciuta come �fobia della matematica�.</p>
<p><span style='mso-spacerun:yes'>�</span>MathXpert � progettato per fornire
uno strumento <span class=GramE>di </span>autocorrezione per l�apprendimento
della matematica. Per esempio, si supponga di pensare (erroneamente) che ln(<i>x+y</i>)
= ln <i>x </i>+ ln <i>y.</i> Non si saremmo in grado di applicare questa
formula errata in MathXpert, perch� solamente le giuste relazioni sono inserite
nel menu a scelta. <span class=GramE>Qualora</span> si pensi di utilizzare una
relazione scorretta, si apprende qualcosa dalla sua non disponibilit�. Potresti
certamente chiedere all�insegnante la ragione di tale assenza. MathXpert �
pensato per sostituire la lavagna e il compito a casa (e le calcolatrici) ma
non l�insegnante, tantomeno i libri. (Non credo che sia auspicabile di
sostituire insegnanti e libri con i calcolatori � vedi la sezione sulle
implicazioni sociali pi� avanti in questo stesso articolo.)</p>
<p><b>2. Trasparenza: MathXpert mostra <span class=GramE>ogni passaggio</span><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Il primo e pi� importante principio secondo cui �
stato concepito MathXpert � quello della "scatola di vetro" ossia della "trasparenza".
Senza dubbio, questo principio concorda con l'idea secondo cui � progettato MathXpert:
l'utente sceglie i passaggi e quindi controlla lo sviluppo del calcolo, mentre il computer
porta avanti i dettagli di basso livello.
<span
class=GramE>Vi mostro due esempi sull'uso di MathXpert, uno sull'algebra e
l'altro relativo agli argomenti del secondo semestre del corso di calcolo, e come tutto
questo funziona</span> in pratica.
<p><b>2.1. <i>Sviluppo di un calcolo con <span class=GramE>MathXpert</span></i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Cominciamo facendo finta che sia il primo giorno di
lezione di algebra in classe.</span> Lo studente impara come risolvere semplici
equazioni lineari come per esempio 3<i>x</i> + 2 = 11. Dopo aver inserito il problema (o
averlo selezionato dall'insieme dei problemi predefiniti da MathXpert), l'utente osserva lo scherma
e vede questo:</p>
<p><img border=0 width=564 height=101 id="_x0000_i1025" src=Image112.gif></p>
<p> </p>
<p><span class=GramE>Ignoriamo i pulsanti per adesso, supponiamo che si sappia come
risolvere questo problema sul foglio di carta, vediamo allora come usare MathXpert</span>.
Vogliamo sottrarre 2 da entrambe le parti dell'equazione. Quindi utilizziamo il mouse
per selezionare 2, proprio come faremmo per selezionare parte del testo <span class=GramE>in un</span>
processore di testo:
</p>
<p><img border=0 width=567 height=97 id="_x0000_i1026" src=Image113.gif></p>
<p>Non appena si rilascia il pulsante del mouse vedremo un men� a comparsa
che mostra le operazioni che possono essere eseguite sull'espressione selezionata:
</p>
<p><img border=0 width=568 height=109 id="_x0000_i1027" src=Image114.gif></p>
<p>Nel menu, il punto interrogativo sta per l'espressione selezionata.<span
class=GramE>Vediamo l'operazione che vogliamo, <i>Sottrai ? da ambo le parti</i></span><i>.</i>
Selezionando l'operazione si arriva alla successiva linea della soluzione:</p>
<p><img border=0 width=567 height=140 id="_x0000_i1028" src=Image115.gif></p>
<p><span class=GramE>Il "-2" � mostrato in rosso, il che indica le parti
modificate dell'equazione</span>. Siamo entrati dentro questo problema
" equazioni lineari (principianti)". Se avessimo scelto
"equazioni lineari (esercizi)" invece, il risultato dell'operazione sarebbe
stato quest'altro:</p>
<p><img border=0 width=564 height=143 id="_x0000_i1029" src=Image116.gif></p>
<p>Questo mostra come MathXpert pu� produrre risultati pi� o meno dettagliati
a seconda di quale sia il livello dello studente.<span class=GramE>
Il primo giorno di studio delle equazioni lineari, lo studente ha bisogno di vedere
3<i>x</i>+2-2, ma successivamente questo livello di dettaglio darebbe fastidio
</span>. </p>
<p>Continuando in questa maniera, si pu� generare <span class=GramE> in </span> pochi
passi la soluzione completa:</p>
<p><img border=0 width=567 height=270 id="_x0000_i1030" src=Image117.gif></p>
<p><span class=GramE>Non sarebbe stato possibile, per esempio, sottrarre 2
da una parte dell'equazione e non dall'altra</span>. <span
class=GramE>Viceversa, ogni operazione che � matematicamente corretta
pu� essere svolta
</span>. Per esempio, potremmo aggiungere 2 al primo passo a entrambi i membri,
o scrivere 11 come 5 + 6, o dividere l'intera equazione per 3 senza sottrarre
2 all'inizio, etc.
</p>
<p><b>2.2 <i>Non pi� di un singolo click per ottenere un grafico
</i><o:p></o:p></b></p>
<p>Cliccando il pulsante Grafico vediamo una rappresentazione grafica della
soluzione dell'equazione lineare:
</p>
<p><img border=0 width=568 height=427 id="_x0000_i1031" src=Image118.gif></p>
<p>La linea diagonale � rossa e rappresenta <i>y</i> = 3<i>x</i> + 2. La
linea orizzontale � grigia e rappresenta <i>y </i>= 11. <span class=GramE>
Le formule vengono mostrate di colori che corrispondono alle linee analoghe.</span>.
La soluzione si trova all'intersezione delle 2 linee. <span class=GramE>
Lo strumento Pendenza pu� essere selezionato per mezzo di uno dei pulsanti alla sinistra
e usato per vedere le coordinate numeriche del punto di intersezione
</span> (non viene mostrato qui).</p>
<p><b>2.3 <i>MathXpert fornisce suggerimenti o aiuto nel portare
avanti passaggi quando <span
class=GramE>richiesto</span></i><o:p></o:p> dall'utente</b></p>
<p>MathXpert pu� utilizzare questa capacit� di risolvere problemi matematici in molti
differenti modi per consigliare lo studente.
<span class=GramE>Proviamo a immaginare che, come studente d'algebra, si parta dalla
formulazione del problema mostrato sopra, e </span> non si abbia idea di come procedere.
Quindi, clicchiamo il pulsante <i>Suggerimento </i> e riceviamo un messaggio chiaro e coerente con lo stadio della soluzione
raggiunto:
</p>
<p><img border=0 width=566 height=358 id="_x0000_i1032" src=Image119.gif></p>
<p>Supponiamo che per qualche ragione non si sia in grado di capire e seguiamo il consiglio.
<span class=GramE>Possiamo allora cliccare il pulsante <i>Mostra passaggio</i> </span>.
Il cursore si muove da solo e
<span class=GramE>illustra</span> come dovremmo selezionare il "2";
Il men� a comparsa delle possibili operazioni appare, il cursore si muove verso la scelta corretta,
e questa viene sottolineata, ma non applicata. <span class=GramE>
L'utente dovr� solamente leggere il men� e cliccare nell'elemento selezionato per avanzare al
passo successivo della soluzione.</span>
</p>
<p><span class=GramE>Per avanzare di un passo verso la soluzione si pu� semplicemente
utilizzare il pulsante <i>Passo Avanti </i></span>.
<span class=GramE> Questo pu� essere utile per portare avanti passaggi meccanicamente
consolidati e compresi in maniera spedita</span>. <span class=GramE>Ma <i> Mostra Passaggio</i>
non soltanto mostra il risultato del passaggio successivo,
mostra anche quale operazione si pu� applicare per ottenerlo, e quale termine si
deve </span>selezionare per eseguirlo.</p>
<p><span class=GramE>Il pulsante<i> Completamento Automatico</i> comporta lo
svolgimento dell'intera soluzione del problema da parte di MathXpert, quanti
che siano i passaggi da svolgere</span>. Ogni passaggio viene mostrato con la sua
giustificazione.
<span class=GramE>Alcuni insegnanti talvolta temono che i propri studenti possano
semplicemente premere il pulsante
<i>Completamento Automatico</i> su ciascun problema per completare i compiti a
casa nel pi� breve tempo </span>possibile.
Questo non � quasi mai vero. <span class=GramE>Gli studenti mostrano
piacere nello sviluppare le loro soluzioni e sono orgogliosi di ci�</span>.
Caso mai, usano troppo poco il pulsante <i>Passo Avanti</i>.
</p>
<p><span class=GramE>Si noti che <i>Completamento Automatico</i> prosegue da qualunque
punto si sia raggiunto -- non riprende l'esercizio da capo</span>.
<span class=GramE>La soluzione generata da <i>Completamento Automatico</i>
iniziando dalla formulazione originale del problema viene chiamata
"Modalit� di soluzione automatica"</span>.
Nonostante MathXpert generi una unica soluzione automatica per ogni problema,
esso supporta "percorsi risolutivi multipli" per il fatto che uno studente
pu� sviluppare una qualunque soluzione corretta. Spesso ne esiste pi� di una di
soluzioni corrette per <span
class=GramE> risolvere </span> un problema. <span class=GramE>
Qualche volta � sufficiente eseguire il primo passo di una soluzione alternativa,
affinch� <i>Completamento Automatico</i> completi la soluzione alternativa </span>a quella
che avrebbe generato al problema partendo dalla formulazione originale.</p>
<p><span class=GramE>In accordo con il principio che un utente ha il controllo
di quel che fa, MathXpert non "interviene" mai per fornire un aiuto non richiesto</span>.
<span
class=GramE>L'utente � libero di "esplorare" eseguendo passaggi matematici
corretti, che portino o meno a una soluzione "ideale" </span>del problema.
Qualora si sia ottenuta una soluzione contorta, l'utente pu� scegliere di confrontarla con
la soluzione automatica di <span class=GramE>MathXpert</span>
--ma questa � una scelta dell'utente. <span class=GramE>Non ci sar� mai una
voce apprensiva che dice allo studente di fare qualcosa di diverso</span>.
</p>
<p><b>2.4 <i>Un esempio in Calcolo</i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Abbiamo visto che MathXpert pu� dare un suggerimento preciso
in algebra</span>. Adesso vediamo che le possibilit� di
<span class=GramE>MathXpert</span> si estendono a tecniche di integrazione
avanzata:</p>
<p><img border=0 width=565 height=390 id="_x0000_i1033" src=Image120.gif></p>
<p><span class=GramE>Notare che la scomposizione in frazioni parziali � stata
eseguita in un singolo passo</span>. <span class=GramE>
Le manipolazioni algebriche necessarie per trovare la scomposizione in frazioni parziali
sono motivo di distrazione per uno studente che sta imparando tecniche di integrazione
</span>. <span class=GramE>Ecco un caso in cui � utile avere un computer per portare
a termine certi dettagli</span>. <span class=GramE>Cio� abbiamo una operazione eseguita
a basso livello in una "scatola nera" racchiusa in una "scatola di vetro"
(che mostra tutti i passi) nella quale si risolve il problema di integrazione</span>.
</p>
<p><b>2.5 <i>Ambito di MathXpert: 3 anni di Matematica</i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>MathXpert offre un supporto che comprende tutti gli argomenti
di principianti, intermedi, e avanzati di algebra, trigonometria, funzioni esponenziali e logaritmiche
notazione sigma, numeri complessi (incluse equazioni quadratiche complesse, forme polari,
e il teorema di De Moivre's), calcolo di base che include "derivazione a partire
dalla definizione", valutazione dei limiti, integrazione e sostituzione per parti.
<span class=GramE>Calcolo 2 include tutte le tecniche standard di integrazione, comprese
le frazioni parziali, sostituzioni trigonometriche, etc. Sono incluse soluzioni grafiche </span>
di equazioni differenziali ma non nella forma simbolica. Le serie non sono supportate
dalla versione commerciale di MathXpert.</p>
<p><b>3. L'algebra computazionale di MathXpert � <span class=GramE>esatta</span><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Uno dei principi di MathXpert � che tu
non puoi mai ottenere una risposta sbagliata.</span>. Molte persone tendono a credere che questo
i computer non commettano mai alcun errore in algebra, ma in realt� questo
"principio di correttezza" � violato da tutti i sistemi di computer algebra,
ed � stato difficile fare programmare MathXpert in maniera che rispettasse questo principio.
Per esempio, nella maggior parte dei sistemi di computer algebra, puoi partire con
l'equazione <i>b= </i>0, e dividere ambo i membri per <i>b</i>. Alla sinistra
otterrai <i>b/b = </i>1, e alla destra avrai 0/<i>b</i> = 0. <span
class=GramE>Quindi hai ottenuto una equazione non equivalente alla precedente 1=0</span>
Il problema � che gli altri sistemi non tengono traccia delle assunzioni e
delle <i>condizioni al contorno</i>. <span class=GramE>
La maggior parte delle volte in matematica, la validit� dell'equazione corrente dipende
da alcune ipotesi certe, e l'applicabilit� di <span> una operazione matematica </span> (come
la divisione di ambo i membri per <i>b</i> depende dalla verit� di certe <i>condizioni al contorno</i>
(come <i>b</i> non uguale a zero). <span class=GramE>Per portare avanti l'operazione correttamente,
la verit� delle condizioni al contorno deve seguire dalle ipotesi correnti</span>.
Nell'esempio, che certamente non � appropriato, <span class=GramE>La condizione al contorno
che <i>b non debba essere uguale a 0</i></span> � infatti contraria alla prima linea,
<i>b = 0</i></span>. Se provi questo con MathXpert, otterrai un messaggio che non puoi dividere
per zero, e l'operazione rimane bloccata.</p>
<p>Le condizioni al contorno certe operazioni possono essere piuttosto complicate. <span
class=GramE> Per esempio, se proviamo a integrare 1/<i>x</i> tra -1 e 1, molti
sistemi di computer algebra faranno semplicemente l'integrale indefinito 1/|<i>x</i>|
e lo valuteranno tra <span class=GramE>-1 e e 1, producento come risposta zero, dimenticando di notare che
l'integrale � indefinito per via della singolarit� nell'origine.</span>
<span class=GramE>La condizione al contorno che la funzione debba essere
continua nell'intervallo chiuso di integrazione non � verificata</span>. </p>
<p><span class=GramE>Qualcuna potrebbe sperare che gli scienziati e gli ingegneri
saranno capaci di giudicare la correttezza delle risposte che ricevono dai sistemi
di computer algebra</span>.<span class=GramE>
Qualunque cosa si pensi di questo, chiaramente le risposte sbagliate non sono
accettabili in un programma educativo</span>.</p>
<p>Per fare in modo che MathXper soddisfi il principio di correttezza,
<span class=GramE>ho</span> dovuto costruire un programma che tenga traccia di tutte le ipotesi
e delle condizioni al contorno. <span class=GramE>Un programma logico di questo
tipo appartiene alla branca di ricerca conosciuta come "deduzione automatizzata",
nel quale lo scopo � di fare in modo che il computer faccia <span>
deduzioni logiche in maniera automatica.
<span class=GramE>Questa parte di MathXpert, la sua
"dimostrabilit�", � stata una delle pi� difficili parti da programmare</span>
<span class=GramE><b>Affichage |
Hypoth�sis </b>dai menus</span>. </p>
<span
class=GramE>
Essa funziona in maniera per lo pi� invisibile, poich� nell'educazione non �
buon costume mostrare le ipotesi in maniera esplicita</span>.
<b>Affichage |
Hypoth�sis </b>dai menu</span>. </p>
<p>cosa succede se il dimostratore non pu� inferire le condizioni al contorno?
Considera <span class=GramE>l'operazione</span></p>
<p><img border=0 width=84 height=36 id="_x0000_i1034" src=Image121.gif></p>
<p>La condizione al contorno <i>x</i><i><span style='font-size:10.0pt;font-family:
Symbol'>�</span> </i>0.
Se si prova ad applicare questa condizione al contorno con <i>x</i>=2,
funzioner�, perch� il dimostratore � capace di inferire che 2 � <span class=GramE>positive</span>.
<span class=GramE>
Se lo proviamo con una variabile per <i>x</i>, funzioner� (in alcuni tipi di problemi),
ma la condizione al contorno diventer� una nuova ipotesi</span>.
Cio�, <i>x</i><i><span
style='font-size:10.0pt;font-family:Symbol'>�</span></i>0<i> </i>verr� supposto come prerequisito.
D'altronde, se noi stiamo risolvendo l'equazione per <i>x</i>, questo non � appropriato, poich�
perederemmo alcune soluzioni negative. Ma se la variabile � soltanto un parametro nell'equazione,
allora � buono fare ipotesi come richiesto</span>.
Ad esempio, volessimo risolvere <i>ax = 1</i> in <i>x</i>, ottenendo <i>x = 1/a</i>, generando
l'ipotesi che <span class=GramE><i>a</i></span> non � zero.</p>
Si consideri <span class=GramE>l'operazione</span></p>
<p><img border=0 width=84 height=36 id="_x0000_i1034" src=Image121.gif></p>
<p>La condizione al contorno <i>x</i><i><span style='font-size:10.0pt;font-family:
Symbol'>�</span> </i>0. Se proviamo ad applicare questa operazione con <i>x</i>=2,
funzioner�, perch� il programma � capace di inferire che 2 � <span class=GramE>positivo</span>.
<span class=GramE>Se lo proviamo con <i>x </i>= -2, non funzioner�, perch� il programma
� capace di rifiutare la condizione al contorno.</span>. <span class=GramE> Se proviamo
con una variabile in <i>x</i>, funzioner� (in alcune tipologie di problemi), ma la condizione
al contorno diventer� una nuova ipotesi</span>.
Cio�, <i>x</i><i><span
style='font-size:10.0pt;font-family:Symbol'>�</span></i>0<i> </i>verr� assunto.
D'altra parte, se stiamo risolvendo un'equazione in <i>x</i>, questa non �
<span class=GramE>appropriata</span>, poich� perderemmo alcune soluzioni negative.
<p><b>4. MathXpert come insegnante<o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Sebbene MathXpert � pensato per sostituire lavagne e compiti a casa,
ma non insegnanti e libri, tuttavia esso fornisce informazioni (come </span>i libri)
e aiuta (come gli insegnanti) in alcuni casi. <span class=GramE>Abbiamo visto che �
capace di usare il suo "motore" di calcolo simbolico; per dare suggerimenti, per consigliare
il passaggio successivo (o tutti i passaggi), e per </span>"mostrare
il passaggio successivo", completando con la selezione dei termini e la scelta dei menu. <span
class=GramE>Inoltre, i passaggi che MathXpert svolge possono essere diversi, a seconda del livello
di conoscenza della matematica dello studente.</span>. Per i neofiti, MathXpert fornisce
molti passaggi dettagliati. Per i non principianti, questo sarebbe fastidioso, e MathXpert fornisce
passaggi di una difficolt� appropriata o in altre parole "con la giusta granularit�".
In questa sessione i discutiamo i principi che sottindendono il progetto di MathXpert's.</span></p>
<p><b>4.1<i> L'utente mantiene il controllo</i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>MathXpert non prova mai a controllare l'interazione con l'utente--
esso risponde sempre alle richieste di chi lo usa</span>. <span class=GramE>
Esso non prova neanche a "intervenire" quando i suoi modelli del comportamento dell'utente
indicano che si � perso, o che non sta perseguento un buon </span> percorso di soluzione.
<span class=GramE>MathXpert permette all'utente di prendere un qualsiasi passaggio matematico legale,
indifferentemente se questo sia "produttivo" o "per uno scopo mirato" o meno</span>.
<span class=GramE>Non valuta il lavoro dell'utente se questo � a un punto intermedio</span>.
Solamente quando l'utente richiede la valutazione nel momento in cui preme il pulsante <span
class=GramE><i>Termin�</i></span></p> o quando l'utente richiede esplicitamente un suggerimento,
o un Passo Avanti, allora MathXpert valuta il lavoro. <span
class=GramE>Non controlla se l'utente sta seguendo qualche "percorso risolutivo" ideale
o se sta inventando una nuovo percorso risolutivo e creativo, o se � completamente </span> perso. </p>
<p>In questo modo, MathXpert � nella categoria dei programmi di insegnamento intelligenti,
come riportato da [A-K 00], che <span class=GramE> afferma</span> che </p>
<p style='margin-left:.5in'><span class=GramE>il</span> sistema dovrebbe lasciare che siano
gli studenti a controllare e organizzare il loro processo di apprendimento; il sistema dovrebbe
intervenire il meno possibile, e l'aiuto dovrebbe essere dato solo su richiesta. <span
class=GramE>L'ipotesi sottostante � che lo stesso studente o studentessa giudichi meglio
quando necessita di un aiuto dal sistema, che non ha molti divieti</span> sull'accesso
al pensiero degli studenti, e pu� non avere un modello abbastanza completo per
per tenere conto di tutte le strategie osservate.</p>
<p><span class=GramE>L'articolo da cui questa citazione � riportato mette in evidenza
che in un particolare tutore, gli studenti spesso aspettano troppo </span> prima di
richiedere aiuto, nel senso che essi hanno gi� commesso una moltitudine di errori.
<span class=GramE>Questa accorta osservazione ricercata � consistente con la mia
osservazione informale degli studenti che usano MathXpert</span>.
Gli autori citati attribuiscono questo alla scarsa attitudine degli <span class=GramE>studenti </span>verso
"livelli metacognitivi"--ossia, essi non si rendono conto che hanno bisogno di aiuto quando
commettono errori multipli, essi mostrano il loro coraggio e la loro determinazione continuando
contro tutte le avversit�, fino a che la dispe</span>razione li conduce a richiedere aiuto.
<span class=GramE>Un comprensione chiara di questi problemi pu� abilitarcia migliorare il progetto
del software, non soltanto di MathXpert ma anche di altri autori</span>. Mentre questo punto � interessante,
non � comunque vitale, come lo sono altri numerosi inutili passi che possono essere provati velocemente, e
smontati, e nessun passo pu� essere fatto che non sia di fatto scorretto, quindi anche il pi�
determinato e indipendente degli studenti non pu� andare completamente fuori traccia prima di mollare tutto e
chiedere aiuto.</p>
<p><b>4.2 <i>Le istruzioni sono ritagliate sulla misura del livello degli studenti</i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>E' stato per tanto tempo uno degli scopi dell'applicazione dell'intelligenza
artificiale fornire "tutori intelligenti"</span>. <span
class=GramE>Questi sarebbero dei programmi di computer che mantengono modelli interni
sia dello studente sia del problema in questione, e usano questi modelli per contr</span>ollare
la loro interazione con gli studenti. Quando per la prima volta lessi il lavoro di J.S. Brown
e di altri autori nella modellazione dei malintesi degli<span class=GramE>studenti</span> fui
enormemente impressionato, e cercai di costruire una sorta "di modello dell'utente"
dentro MathXpert. Certamente, MathXpert contiene ancora una sorta di "modello dell'utente".
<span class=GramE> Questo consiste nella registrazione, di ciascuna di qualcosa come 1600 operazioni
matematiche, comunque sia questa operazione al momento: <i>ben nota, nota,
in fase di apprendimento</i></span><i>, </i>o <i>sconosciuta</i>. <span class=GramE>
E' questo modello dell'utente che controlla il livello di dettaglio mostrato nella soluzione
in modalit� automatica</span>. <span class=GramE>Per esempio, nelle equazioni lineari mostrate
nell'introduzione, quando si somma qualcosa ad ambo i membri si sta <i>imparando</i>, esso
non semplifica il </span>risultato, ma quando esso � <i>conosciuto </i> o <i>ben conosciuto</i>,
esso semplifica il risultato. <span class=GramE>Quindi abbiamo 11-2 nel primo caso e 9 nel secondo</span>.
Se questo problema fosse entrato in un argomento di algebra avanzata, sarebbe potuto essere risolto
in un singolo passo con la dicitura <i>Risolvi l'equazione lineare</i>. <span class=GramE> Questa
soluzione in un singolo passo non � utilizzata nell'algebra dei principianti � classificata come
<i>sconosciuta</i></span>. Questi esempi illustrano come MathXpert adatta il suo risultato:
monta un <i>modello ideale dell'utente</i> sulla base delle scelte iniziali degli argomenti.
<span class=GramE>Se l'argomento � elementare, l'utente utilizzer� pi� operazioni nella modalit�
<i>apprendimento</i> o <i>sconosciuta</i></span>. <span class=GramE>Se invece � avanzata,
alcune potenti operazioni che non sono utilizzate quando si lavora con argomenti elementari
diventano disponibili.</span></p>
<p>Il piano originale [BEES 89] chiamato per il modello utente da personalizzare
allo studente individuale e riflette il suo o la sua attuale <span class=GramE>grado</span>
di conoscenza. <span class=GramE>Verrebbe aggiornato da MathXpert sulla capacit� e bravura dello
studente, o dalla studentessa stessa, o dall'insegnante</span>.
Tuttavia, la sperimentazione con gli studenti attuali rivela che questa non � stata una buona idea
come � apparso in un primo momento. <span class=GramE>I modelli dell'utente tendono a diventare
"sbilanciati", e questo comporta delle difficili soluzioni, che contenessero uno o due
"grossi" passi mescolati con alcuni passi </span>dettagliati. <span
class=GramE>Dopo una riflessione, si � realizzato che quando un insegnante presenta un nuovo
argomento a una classe di studenti, egli o ella insegna a uno <i>studente ideale</i> che
� preparato per l'argomento conoscendo gli argomenti propedeutici, ma che non conosce ancora questi
argomenti, o alcuni pi� avanzati. <span class=GramE>Quindi il progetto finale del modello utente
di MathXper � emerso: non modella uno <i>specifico</i> studente, ma soltanto uno <i>studente</i>
ideale che � preparato </span> per imparare l'argomento scelto.</p>
<p><span class=GramE>Quindi il titolo della sezione � <i>L'istruzione �
ritagliata sulla misura del livello dello studente</i>, non <i>L'istruzione
� ritagliata sullo studente</i></span><i>.</i>
</p>
<p><span class=GramE>Per vedere un concreto esempio addizionale di come questo
lavora, consideriamo il problema di denominatore comune 1/<i>a </i>+ 1/<i>b</i></span>.
<span class=GramE>In una argomento di algebra sufficientemente avanzata, la modalit�
automatica cambierebbe in (<i>a</i>+<i>b</i>) / <i>ab</i> in un unico passo, con la
giustificazione <i> del denominatore comune</i></span>. Ma, se l'argomento selezionato
era <i>Denominatori Comuni</i> (<i>Mises au m�me d�nominateur �l�mentaires</i>) allora
una soluzione in cinque passi viene generata:</p>
<p><img border=0 width=564 height=408 id="_x0000_i1035" src=Image122.gif></p>
<p><b>5. MathXpert disegna i grafici correttamente<o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>La maggior parte degli altri strumenti di grafica, compresi
i calcolatori grafici utilizzati nella maggioranza delle classi di calcolo degli Stati Uniti,
disegnano molti grafici in maniera non corretta</span>. <span class=GramE>Questo �
un risultato del semplice calcolo di un valore numerico di <i>y</i> per ogni valore di <i>x</i>
corrispondente a una colonna di punti e quindi giocando a "connetterli".
Molte cose possono andare storte. <span class=GramE>Se i punti convergono nell'intorno di una singolarit�
della funzione, otterrai una falsa linea verticale</span>.
Questo succede per funzioni razionali e funzioni trigonometriche che involvono tan<i> x</i>.
Alcuni calcolatori grafici hanno previsto i casi pi� comuni, come la stessa funzione tan<i> x</i>,
ma questa � una misura <span class=GramE><i>ad</i></span><i> hoc</i> poich�
tan <span style='font-size:10.0pt;font-family:Symbol'>�</span><i>x</i> ha sempre una
linea verticale. I libri alcune volte dicono agli studenti che "il calcolatore disegna gli asintoti",
ma se fai il grafico di tan<i> x</i> su una scala sufficientemente larga, succede qualcosa
di non corretto: i punti vicini ad ogni lato della singolarit� continuano ad essere presenti
sullo schermo, quindi non ottieni linee verticali, invece ottieni punti di minimo e di
massimo, uniti da una linea che attraversa la singolarit�. Il grafico � completamente
sbagliato. In maniera simile, quando viene disegnato il grafico di qualcosa come
sin(<i>44 x</i>), dove le oscillazioni sono ravvicinate tra loro, il grafico pu� non
disegnare alcuni punti di massimo e di minimo, e alcuni erronei punti di massimo e di minimo
appaiono, <span class=GramE>in un</span> inviluppo regolare. Di nuovo il grafico non
ha una corrispondenza con la realt�. <span class=GramE>Un altro esempio ben noto
(che ogni insegnante digita su MathXpert quando lo prova per la prima volta) �
<i>y = </i>sin( 1/<i>x</i>)</span>. <span class=GramE>Certamente, essendoci un numero infinito
di dettagli in questo grafico, non pu� essere rappresentato perfettamente nello schermo di
un computer con un numero finito </span> di punti -- ma MathXpert per lo meno ci va vicino.</p>
<p>MathXpert, come qualsiasi altro software, usa il suo modulo algebrico e il suo
dimostratore per calcolare internamente le singolarit� di una funzione prima di
tracciarne il grafico. Ecco un esempio:</p>
<p style='margin-left:1.0in'><img border=0 width=391 height=387
id="_x0000_i1036" src=Image123.gif></p>
<p><span class=GramE>Notare che non ci sono linee verticali errate nelle singolarit�,
perfino se la forma del denominatore non rende evidente quali </span> siano le singolarit�-
Si pu� scegliere <i>Mostra | Singolarit�</i> per vedere la <span class=GramE>formula</span>
che MathXpert ha calcolato per le singolarit� (qui non � mostrata). </p>
<p><span class=GramE>Di certo, pu� succedere che per una formula sufficientemente complicata,
MathXpert non possa calcolare le singolarit�</span>. <span
class=GramE>Ma in quel caso, l'utente otterr� un messaggio che lo avverte che il grafico
pu� non essere corretto</span>. <span class=GramE>Tu puoi ottere o un grafico corretto,
o un avvertimento e un grafico non necessariamente corretto</span>. <span
class=GramE>Pu� essere provato che � impossibile per ogni programma di calcolo mostrare
graficamente le singolarit� di una funzione arbitraria nella classe </span> delle
funzioni normalmente considerate nel calcolo. <span class=GramE>Premessa l'impossibilit�
di raggiungere la perfezione in questo aspetto, MathXpert � piuttosto efficiente
nel disegnare il grafico della maggioranza delle funzioni incontrate dagli</span> studenti.
</p>
<p><b>6. MathXpert rende facile fare i grafici che gli studenti hanno bisogno <span
class=GramE>di vedere</span><o:p></o:p></b></p>
<p>MathXpert pu� fare un grande variet� di diversi tipi di grafici. Le varie tipologie
di funzioni <i>y = f</i>(<i>x</i>) che possono essere disegnate includono il confronto
di grafici di due o pi� funzioni, sia nello stesso asse, sia su assi differenti. Si pu�
inoltre fare il grafico di una relazione <i>f</i>(<i>x<span class=GramE>,</span>y</i>) = <i>g</i>(<i>x,y</i>). <span
class=GramE> Si possono disegnare grafici di disuguaglianze, sia nella forma funzionale o
in forma relazionale, e si possono disegnare curve in forma parametrica o polare</span>.
Si pu� scegliere quale tipo di grafico tu voglia fare da il seguente menu illustrato
(mostrato in forma ridotta):</p>
<p><img border=0 width=569 height=376 id="_x0000_i1037" src=Image124.gif></p>
<p><span class=GramE>In tutti questi tipi di grafici, puoi digitare una formula con un parametro
(per esempio, </span></p>
<p><span class=GramE><i>y</i></span><i> </i>= sin <i>ax</i>, or <i>y</i> = x<sup>3</sup><i>-ax.</i>
Inoltre la tua barra di strumenti grafici (la riga dei pulsanti che hai alla
sinistra del grafico) avr� i pulsanti che ti permetto di incrementare o decrementare il valore
di <i>a</i>, o di accedere una finestra di dialogo che ti permetta di digitare <span class=GramE> un </span>
nuovo valore di <i>a.</i> I nuovi grafici saranno disegnati immediatamente, quindi con una serie di
click vedrai rapidamente una nuova serie di grafici. <span class=GramE>Puoi dire
a MathXpert di cancellare i vecchi grafici, o di lasciarli nello schermo, come preferisci.</span></p>
<p><span class=GramE>Altri strumenti nella barra dei grafici ti permettono di cliccare e
ingrandire o rimpicciolire, o selezionare un rettangolo del grafico e ridisegnare
quella parte </span> riempiendo la finestra.</p>
<p><span class=GramE>Ecco un esempio di un esercizio che potrebbe essere usato
da un insegnante per usare la funzione di ingrandimento e la possibilit� di cambiare
i parametri velocemente e con facilit�</span>. <span
class=GramE> Lo scopo di questo esercizio � di imparare la differenza tra
una divergenza polinomiale e una esponenziale</span>. L'utente sceglie
<i>Confronta grafici (stesso asse)</i> e digita e <i>x<sup>n</sup></i> come funzioni
. <span class=GramE>La variabile <i>n </i> diventa un parametro e pu� essere incrementata
mediante un singolo click</span>. L'utente incrementa <i>n</i> fintanto che
<i>x<sup>n </sup></i> <span class=GramE>sovrasta </span> 2<i><sup>x</sup></i>. <span class=GramE>
Quindi, l'utente ingrandisce il grafico alcune volte, e mostra che un'altra volta, e vede
ancora una volta che l'esponenziale domina sul polinomio. <span class=GramE>Dopo questo
esercizio, lo studente comprender� la vera relazione che c'� tra una crescita polinomiale
e una esponenziale.</span></p>
<p><img border=0 width=243 height=190 id="_x0000_i1038" src=Image125.gif>
<img border=0 width=192 height=191 id="_x0000_i1039" src=Image126.gif></p>
<p> </p>
<p><span class=GramE>Lo strumento pendenza ti permette di far scorrere un
"cursore" lungo il grafico, mostrando le coordinate e la pendenza
nel punto dove il cursore � posizionato</span>. </p>
<p><span class=GramE>Tutti questi strumenti ti permettono di esplorare graficamente
il significato matematico dei concetti</span>. <span class=GramE> Considera il concetto
di derivata, come il limite delle pendenze di due linee tra loro secanti.</span></p>
<p>Scegliendo l'argomento <i>Mostra due grafici (stesso asse)</i>, puoi confrontare
i grafici di una funzione e di una linea secante, dove la linea secante ha un parametro
che pu� essere cambiato cliccando e rendendolo sempre pi� vicino alla tangente.
Potresti addirittura manipolarlo in maniera che un secondo parametro controlli il punto
di tangenza. <span class=GramE>Clickando il pulsante che incrementa il parametro,
puoi mostrare la linea secante che converge verso la linea tangente</span>.
<span class=GramE>Clickando sui pulsanti degli altri parametri, puoi muovere il punto
lungo la curva</span>. <span class=GramE>Utilizzando lo strumento Pendenza, vedere
come cambia numericamente la pendenza durante questo processo di movimento lungo la curva.</span></p>
<p>L'argomento di approssimazione integrata � particolarmente adatto a un trattamento
grafico, e MathXpert rende veramente facile <span class=GramE>creare</span>
grafici di somme di Riemann, e variare il numero di intervalli con un singolo click:</p>
<p><img border=0 width=469 height=337 id="_x0000_i1040" src=Image127.gif></p>
<p><span class=GramE>E' possibile disegnare grafici di somme di Riemann utilizzando il
valore della funzione alla sinistra o al centro di ogni intervallo, invece che alla
destra come mostrato </span>qui. Notare che MathXpert calcola inoltre l'area totale dei
rettangoli mostrati, quindi lo studente pu� mostrare come l'integrale converge man mano
che gli intervalli diventano pi� estesi. Lo studente pu� <i>clicare<span class=GramE>,</span>click,click</i>
e guardare il numero di intervalli cambiare. Qui il numero di intervalli � stato
inserito come 2<sup>n</sup>, quindi esso raddoppier� ad ogni click del pulsante che incrementa
il parametro <i>n</i>. <sub> </sub>Grafici simili possono essere fatti utilizzando la regola
dei trapezi o la regola di <span class=GramE>Simpson</span>.</p>
<p><b>7.0 <em>Come dovrebbe essere usato MathXpert?</em><o:p></o:p></b></p>
<p><b>7.1 <em>MathXpert insegna mediante esempi e <span class=GramE>assistenza</span></em><o:p></o:p></b></p>
<p>MathXpert non d� "lezioni" o materiale didattico esplicito. Invece, aiuta
lo studente o la studentessa <span class=GramE>a fare</span> il suo compito per
casa. <span class=GramE>In questo senso, � pi� un tutore che un insegnante</span>. Esso
non predispone il curriculum. <span class=GramE>Lo studente (o l'insegnante) propone
i problemi</span>. (Certamente, MathXpert fornisce una selezione di circa 50 problemi per
ogni argomento, e ci sono circa 135 simboli <span class=GramE> ,</span> che sono, non grafici,
argomenti, che se lo studente vuole inserire problemi su MathXpert, essi sono disponibili.) In questo
contesto, MathXpert assiste lo studente nella prevenzione degli sbagli, nel fornire suggerimenti, o
nel mostrare allo studente come procedere quando egli o ella � perduto o perduta. Questo � esattamente
ci� che dovrebbe fare un buon tutore. </p>
<p><span class=GramE>Come ho detto nell'introduzione, MathXpert � progettato per sostituire
lavagne e compiti a casa, ma non insegnanti e libri di testo</span>. Potrebbe essere possibile
imparare la matematica da MathXpert senza insegnante, ma richiederebbe uno studente veramente motivato,
e non � ci� che <span class=GramE> io </span> consiglio. Invece, <span class=GramE> io </span>
consiglio di usare MathXpert insieme insegnanti e studenti nello studio di esempi di educazione matematica. </p>
<p>Le istruzioni matematiche sono strutturate in maniera differente nei diversi paesi.
Il resto di questa sezione descrive l'esperienza americana, ma credo che molti di questi
problemi che gli insegnanti e gli studenti incontrano nello studio della matematica non
sono specifici di un particolare paese, e <span class=GramE> io </span> spero che MathXpert
aiuter� gli studenti e gli insegnanti in giro per il mondo. </p>
<p><b>7.2 <em>MathXpert supporta entrambi i <span
class=GramE>curricula</span></em><o:p></o:p></b></p> tradizionali e " riformati "
<p><span class=GramE>Potendo MathXpert aiutare lo studente a lavorare in ogni tipo di problema,
esso pu� essere usato con ogni approccio alla materia</span>. <span class=GramE> Gli insegnanti
"di calcolo della riforma" negli Stati Uniti favoriscono il lavoro di gruppo e l'istruzione
centrata sui "progetti" basati su alcune situazione pratiche</span>.
Questi progetti richiedono l'uso di differenziazione, limiti e integrazione.
<span class=GramE>Nel punto in cui questi strumenti di calcolo sono necessari, gli studenti possono
usare MathXpert per portare avanti i calcoli necessari</span>.
MathXpert lavora con problemi formulati simbolicamente, quindi se il problema � formulato a parole,
allora l'insegnanti e lo studente si rivolge a MathXpert solo quando il problema �
formulato simbolicamente e il calcolo risulta richiesto. <span class=GramE>A
questo punto, MathXpert pu� supportare i loro apprendimento nelle maniere discusse di sopra </span>.
Viceversa, agli studenti <span class=GramE> di un </span> corso tradizionale possono
semplicemente essere dati esercizi da risolvere con MathXpert. <span class=GramE>(L'insegnante
pu� preparare un "file di problemi" che MathXpert pu� leggere, quindi liberando
lo studente dal dover digitare i problemi direttamente.) </span></p>
<p><b>7.3 <em>Utilizzare MathXpert fuori della classe. <span class=GramE>L'esperimento</span></em><o:p></o:p> estone</b></p>
<p>Un possibile approccio all'uso di MathXpert � quello di
renderlo disponibile agli studenti <span class=GramE>in un</span> laboratorio di computer (o a casa)
e dare soltanto accesso ad esso per fare i loro compito a casa. Questo approccio
<span class=GramE> non </span> richiede alcun cambiamento a qualunque cosa succeda in classe.</p>
<p>Un esperiemnto controllato � stato condotto lungo queste linee <span
class=GramE>in una</span> scuola superiore in Estonia. Quattro sezioni di calcolo sono
coinvolte. Due di queste sezioni hanno accesso a MathXpert dopo la scuola <span
class=GramE>in un</span> laboratorio di computer. Alle altre due sezioni viene negato l'accesso.
<span class=GramE>Tutte e quattro le sezioni hanno ricevuto lo stesso esame, le stesse lezioni,
e gli stessi compiti a casa.</span></p>
<p><span class=GramE>I risultati sono i seguenti: il pi� basso punteggio finale nella
sezione di MathXpert � stato di 79%</span>. <span class=GramE>
Il pi� basso punteggio nelle altre sezioni � stato del 12%, e ci sono stati molti punteggi bassi --
come � normale che sia nel corso</span>. I punteggi della sezione di MathXpert sono stati fuori della norma.
<span class=GramE>Nelle sezioni di MathXpert, <i>ogni</i> studente ha ottenuto un buon punteggio</span>. In
altre parole: <span class=GramE>in un </span> corso dove normalmente molti studenti falliscono, l'uso di MathXpert
ha portato <em>ognuno</em> fino ad un livello pari almeno a B. </p>
<p><span class=GramE>Sfortunatamente, questo risultato non � stati possibile pubblicarlo per la seguente ragione:
gli studenti non erano stati assegnati a caso alle sezioni</span>.
Gli sperimentatori hanno soltato preso le sezione cos� come le hanno trovate. Sei un insegnante? Vorrei
aiutare a replicare l'esperimento sotto condizioni controllate? <span
class=GramE> Allora contatta l'autore di MathXpert all'indirizzo email dato all'inizio di questo articolo</span>. </p>
<p><b>7.4 <em>Utilizzare i grafici di <span class=GramE>MathXpert </span> in classe</em><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Ho</span> sentito molti aneddoti sul fatto che MathXpert venga utilizzato
per proiettare grafici negli schermi delle scuole superiori. La correttezza matematica dei grafici,
il fatto che essi usino colori e mostrino la <span class=GramE>formula</span> di cui stiamo tracciando
il grafico, la facilit� con cui si pu� ingrandire o cambiare il valore di un parametro la rendono
idonea per un utilizzo in classe, molto meglio del gesso o delle proiezioni di un calcolatore grafico.</p>
<p><b>7.5 <i>Utilizzare i calcoli di <span class=GramE>MathXpert </span>in classe</i><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Ho</span> avuto esperienze personali al riguardo, infatti ho insegnato
sia la trigonometria sia il calcolo utilizzando MathXpert nel periodo di tempo in cui ho sviluppato
il programma. Quando insegnavo trigonometria, gli studenti non avevano accesso al programma, e
<span class=GramE> io </span> lo utilizzavo solamente in classe. Questo permetteva agli studenti
di capire molto bene l'idea della soluzione <span class=GramE>passo passo</span> con ogni passaggio
giustificato. <span class=GramE> Io ricevetti le soluzioni dei compiti a casa (fatte a mano) che
somigliavano alle eleganti soluzioni di MathXpert, le soluzioni di studenti modello</span>. Ricevetti
queste soluzioni praticamente da ogni studente. <span class=GramE> Essendo ripetutamente
stimolati con un menu di scelta delle possibili operazioni matematiche applicabili, essi impararono
sia le identit� specifiche della trigonometria, e </span> le pi� basilari operazioni di algebra--
molti di loro erano piuttosto ignoranti riguardo all'algebra che era tuttavia un prerequisito del corso.
<span class=GramE> Perfino senza un accesso personale al programma, la sola esposizione dello stesso
ebbe un effetto notevole. .</span></p>
<p><b>7.6 <em>Utilizzare MathXpert per un intervento di recupero <span class=GramE>un intervento di recupero</span>
personalizzato</em><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>Nella mia universit�, tutti gli studenti che vogliano
iscriversi al primo semestre di calcolo devono passare un esame di selezione</span>.
Solo dopo aver passato questo esame possono iscriversi al semestre di calcolo -- un basso punteggio
li rediger� <span class=GramE>verso </span> un corso di "pre-calcolo".
<span class=GramE> Comunque, la percentuale dei "passati" � del 70%, e gli esami
stessi testano primariamente l'algebra, mentre � un po' debole la verifica di trigonometria</span>. <span
class=GramE> Quindi molti studenti della classe di calcolo hanno grosse deficienze nelle
negli argomenti di algebra e specialmente nella conoscenza della trigonometria</span>. <span class=GramE>
Un semestre, tabulai alcuni degli errori commessi all'esame e trovai che l'80% degli errori
commessi erano dovuti ad errori di algebra e trigonometria, piuttosto che nel </span>
materiale didattico insegnato nel corso di calcolo. <span class=GramE>Tradizionalmente,
non ci sono molti studenti capaci di fare questo esame</span>. Gli studenti normalmente non
hanno il tempo o la motivazione per perseguire uno studio sistematico dell'algebra, e d'altra
parte, essi pensano di saperla, avendo gi� superato il corso, spesso con un bel voto. <span class=GramE>
MathXpert offre un chiaro percorso per rimediare: assegnare ad essi alcune ore da spendere nella
soluzione di problemi con MathXpert su specifici argomenti sui quali</span> hanno commesso errori
nel test di preselezione.</p>
<p><b>7.7 <i>Utilizzare MathXpert per interventi di recupero per molte persone</i><o:p></o:p></b></p>
<p>Of course, <span class=GramE>Io</span> non sono il primo che suggerisce
l'utilizzo di calcolatori per interventi di recupero in matematica.
<span class=GramE>Per quanto ne so, nessuna universit� ha mai avuto successo
nell'utilizzo di calcolatori per fornire un qualche tipo di corso di recupero
in matematica </span> a tutti gli studenti che ne hanno bisogno. <span class=GramE>
In California, e negli Stati Uniti in genere, molti studenti arrivano all'universit�
non preparati in matematica.</span>. <span class=GramE> Non solo, quando questi studenti
affrontano corsi di recupero, c'� un gran tasso di insuccesso e come risultato, molti
studenti vengono riammessi </span> al corso di recupero in matematica una seconda volta.
Una efficace istruzione della matematica, supportata dall'utilizzo di parte del tempo
<span class=GramE>in un</span> laboratorio di computer utilizzando MathXpert, dovrebbe
quindi dimostrarsi efficace nella riduzione dei costi, riducendo il tasso di ripetizione
dei corsi.</p>
<p>Il mio punto di vista qui non � la efficacia della riduzione del costo, ma semplicemente
l'efficacia. Questo metodo porterebbe gli studenti a <span class=GramE>fare</span>
veramente matematica, e le loro attitudini verso se stessi e verso la scienza e la tecnologia
sarebbero migliorate dal successo ottenuto con MathXpert. <span class=GramE>Molti
di loro che altrimenti non sarebbero istruiti da un college otterrebbero successo e diventerebbero
persone produttive inserite nella societ� in lavori che non sarebbero stati </span>
offerti loro se avessero fallito nell'intervento di recupero in matematica.</p>
<p><b>7.8 <em>L'insegnante che si esercita con MathXpert</em><o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>L'esperienza con MathXpert sarebbe di beneficio
come una parte del corso di aggiornamento per i futuri insegnanti di matematica
e sarebbe utile </span> come seminario "in-service " (questi insegnanti
frequenterebbero corsi di aggiornamento per mantenere le referenze). In California,
l'insegnanti di alcune scuole superiori non hanno referenze ufficiali ("subject
authorization") in matematica. <span class=GramE>Questi insegnanti potrebbero
essere particolarmente interessati in MathXpert</span>. </p>
<p>Sebbene <span class=GramE>io</span> suggerisca l'utilizzo della tecnologia per
aiutare nell'apprendimento della matematica, voglio esplicitare una cosa ovvia:
se vogliamo che i nostri studenti imparino la matematica, il primo passo dovrebbe
essere quello di fornire a <i> tutti </i> loro insegnanti che sappiano la matematica. </p>
<p><b>7.9 <em>Utilizzare MathXpert come tutore basato sul Web<span class=GramE>material</span></em><o:p></o:p></b></p>
<p>Sebbene MathXpert sia progettato per sostituire compiti a casa e lavagne, ma non
insegnanti e libri, l'interesse � continuamente mostrato per <span class=GramE>un sistema </span>
"completo", che fornirebbe materiale didattico accessibile dal computer integrato
con esercizi accessibili dal computer. <span class=GramE>Ci sono perfino voci che vorrebbero
(o che per lo meno predicono) la sostituzione (o almeno l'accompagnamento) degli insegnanti
da tutori "in</span>intelligenti" computerizzati. MathXpert � stato ingegnerizzato per
supportare la creazione di materiale didattico da qualunque insegnante che desideri
<span class=GramE>creare</span> detto materiale. <span class=GramE>Nessuna competenza
� richiesta se non la conoscenza di base della letteratura sui computer e certamente,
la conoscenza della materia, dell'insegnamento e della esperienza in scrittura che
sarebbe </span> richiesta per preparare un libro di testo. </p>
Although MathXpert is designed to replace homework and blackboards, but not
teachers and books, interest is repeatedly expressed <span class=GramE>in a</span>
"complete" system, which would provide computer-accessible tutorial
material integrated with computer-accessible exercises. <span class=GramE>There
are even voices calling for (or at least predicting) the replacement (or at
least the supplementation) of teachers by computerized "in</span>telligent
tutors". MathXpert has been engineered to support the creation of
Web-based tutorial material by any teacher who desires to <span class=GramE>create</span>
such materials. <span class=GramE>No skills are required beyond basic computer
literacy and of course, the subject knowledge and teaching and writing
expertise that would be </span>required to prepare a paper textbook. </p>
<p>Lo studente vede una guida introduttiva in una pagina web. <span class=GramE>La pagina
include le immagini dei grafici di MathXpert e/o i calcoli, con istruzioni su cosa
fare</span>. Per esempio, allo studente potrebbe essere richiesto di <span class=GramE>risolvere
</span> una certa equazione aggiustando i parametri di un grafico in MathXpert,
o eseguire calcoli simbolici in MathXpert. <span class=GramE>Quando l'utente clicca
nel grafico o nel calcolo, MathXpert (nel computer dello studente) carica quel grafico
per lo studente in maniera che lo manipoli</span>. <span class=GramE>Quando
questa parte dell'esercizio � completata, lo studente chiude MathXpert e continua
con la guida introduttiva.</span></p>
<p><span class=GramE>Ecco uno sketch del processo usato per preparare queste pagine Web:
L'insegnante prepara le pagine Web della guida introduttiva in Microsoft Word</span>.
La lezione incorpora grafici e calcoli da MathXpert. <span
class=GramE>L'insegnante prepara questi grafici (completi o parziali) e i calcoli
in MathXpert e li salva, utilizzando <i>File|Salva</i></span>. <span
class=GramE>Egli o ella salva anche un'immagine del grafico o del calcolo utilizzando
<i>File|Salva come bitmap</i>, che � fornita con le versioni pi� nuove di MathXpert
</span> proprio per questo scopo. Successivamente le immagini sono copiate nel documento
Word, e il comando <span class=GramE>Word's</span> <i>Insert | Hyperlink</i> viene utilizzato
per creare un link al file salvato con MathXpert. <span class=GramE>Quando il comando di Word<i>Salva come HTML
</i> viene eseguio, le immagini vengono convertite a files .gif e l'intero documento
sar� pronto per l'uso. In questo sketch <span class=GramE>io</span> non ho discusso il
problema di mostrare formule matematiche in una pagina Web, poich� quel problema non �
relativo alle guide introduttive o a MathXpert. <span class=GramE>Le istruzioni complete, inclusa
una soluzione al problema di mostrare le formule, sono disponibili a [BEES 00].</span></p>
<p><span class=GramE>Ovviamente, l'insegnante/autore ha conoscenze anche di altri
strumenti per la preparazione di pagine Web, esse possono essere usate alternativamente.</span>
<span class=GramE>Non appena qualcuno inizia a preparare queste guide introduttive, ella o egli
spera che questi appaiano pi� professionali</span>. <span class=GramE>Essi hanno bisogno di
grafica professionale, di animazione, etc. L'approccio a singolo autore qui descritto pu� essere
adatto per guide introduttive su un singolo argomento</span>, ma proprio come la preparazione di
un libro di testo coinvolge una squadra, le pubblicazioni di contenuti Web dovrebbero fare altrettanto.
Un gruppo dovrebbe includere un artista grafico, un esperto di produzione di pagine Web, a un insegnante
di matematica. <span class=GramE>Un siddetto gruppo dovrebbe essere composto per implementare
un corso completo di algebra "Web-and-MathXpert-based"</span> <span class=GramE> Un
corso cos� fatto, a sua volta, potrebbe essere di grande aiuto nel fornire un rimedio per l'istruzione
che sia efficace ed economicamente accessibile.</span></p>
<p><b>8. La societ� e l'apprendimento della matematica<o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>In questa sezione, prender� in esame diversi argomenti che vanno
fuori dalla tecnologia di MathXpert e hanno a che fare con i rapporti con
</span> l'apprendimento della matematica. </p>
<p><b>8.1<i> La regina delle scienze avr� pi� principesse</i>. <o:p></o:p></b></p>
<p><span class=GramE>La matematica, la "Regina delle Scienze", � la base
della tecnologia delle piramidi</span>. <span class=GramE>La fisica poggia sulla matematica;
l'ingegneria sulla fisica; e la tecnologia sull'ingegneria.</span> <span class=GramE>Data l'importanza
della tecnologia nel mondo di oggi, e l'aspettativa crescente della tecnologia nel 21-esimo secolo, ci
c'�</span> una spinta da parte della societ� per gli studenti di imparare meglio la matematica. <span class=GramE>
In California, per esempio il governo dice che prima del 2003 ogni studente di scuola superiore dovr�
superare l'esame di algebra [HSEE 00]</span>. <span class=GramE>In passato soltanto una
piccola minoranza degli studenti di scuola superiore sceglievano e passavano l'esame di
algebra</span>. Perfino senza provare a insegnare a tutti gli studenti, i nostri sforzi
odierni per insegnare l'algebra sono lontanto dall'avere successo: Questo anno il 45%
dei ragazzi (studenti del primo anno) ammessi al sistema dell'Universit� dello <span class=GramE> Stato </span>
della California richiedevano interventi di recupero nell'istruzione della matematica per
raggiungere i requisiti richiesti per un "entrance-level mathematics" [CSU 00].</p>
<p><span class=GramE>Nel passato, la matematica veniva insegnata soltanto ai pochi che
potevano superare le difficolt� menzionate sopra. </span>. <span class=GramE>Se la societ�
intende insegnare la matematica a un pi� largo segmento della popolazione, allora siamo
nella posizione di guida nello spazio in rot</span>ta di collisione con un grande asteroide:
abbiamo un problema. Se non possiamo perfino insegnare algebra con successo agli studenti
che sono ammessi al college, come faremo a insegnarla ad ogni studente di scuola superiore?</p>
<p><b>8.2 <em>Abilit� vs concetti</em><o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal><span class=GramE>Una soluzione spesso suggerita nelle due
decadi passate � che dovremmo porre molta pi� enfasi nell'insegnamento dei concetti
di matematica, e </span> molta meno enfasi nel calcolo. Questo ha portato a una grande
controversia, incluso per esempio "California Math
Wars" che ha portato a molte <span class=GramE>revisioni</span> negli
Standard di Matematica della California, con la versione finale decisa dalla
legislatura di stato, affrontata con contestazioni e contraddizioni. In un altro
esempio, <p><span class=GramE>la</span> controversia che � nata, nel dipartimento
di formazione degli Stati Uniti, si richiedeva molti sistemi di educazione alla matematica
come "esempio", ma duecento professori delle Universit� di Matematica scrissero
pubblicamente una lettera di protesta e opposizione, esprimendo la loro opinione che questi
programmi erano ben lontani dall'essere di esempio, e chiesero al Dipartimento di Educazione
di ritirare la circolare [KLEIN 99]. <span class=GramE>Per esempio, uno dei programmi di
"esempio" non insegna mai ai bambini come fare le divisioni su numeri lughi</span>.
Un consulente del Dipartimento di Educazione ha prese le difese nel seguente modo:
" Questi programmi non insegnano ai ragazzi a fare le divisioni lunghe di numeri a 5
cifre per numeri a 3 cifre. Invece, insegnano a tutti i ragazzi, non soltanto una piccola parte,
quando e come le persone hanno bisogno di dividere. <span class=GramE>"</span>
[COLV 99]. <span class=GramE>Presumibilmente questi studenti avranno calcolatrici nei
loro cellulari, che saranno sempre nelle loro tasche e mai con la batteria scarica</span>.
La stessa idea � venuta fuori in diversi sistemi orientati ai concetti per l'insegnamento
dell'algebra e/o il calcolo, con i sistemi di computer algebra che sostituiscono calcolatori
per lo svolgimento di calcoli avanzati. </p>
<p>Ci son due considerazioni separate in questo caso: � vero che alcuni studenti spesso
non catturano i concetti che stanno alla base della matematica nelsenso che possono non
riconoscere quando la matematica � applicabile ad una situazione data, o come analizzare
la situazione utilizzando la matematica appropriata. Non credo che qualcuno si opponga
al miglioramento delle abilit� <span class=GramE>degli studenti</span> su queste cose
fornendo loro esempi di situazione che loro possano analizzare, possibilmente in gruppi
come spesso � in voga. <span class=GramE>La controversia nasce quando le persone vogliono
<i>sostituire</i> i sistemi computazionali tradizionali con lavori concettuali.</span></p>
<p><span class=GramE>Una delle ragioni per cui le persone fanno queste osservazioni �
che vogliono vedere gli studenti avere successo in matematica</span>.
One of the reasons that people make such suggestions is <span
class=GramE>Vogliono interrompere il ciclo di frustrazione che porta a una
ridotta determinazione, che porta a un ridotto sforzo, che porta al fallimento.</span>
<span class=GramE>Gli studenti saranno entusiasti perch� capiranno, e avranno
aumentato la loro determinazione, lavoreranno di pi�, e avranno maggior successo.</span></p>
<p><span class=GramE>Il punto che vorrei mettere in evidenza sulla questione � il seguente:
noi possiamo avere il nostro dolce e mangiarlo anche, se facciamo uso di MathXpert</span>.
<span class=GramE>Gli studenti che usano MathXpert per portare avanti calcoli impareranno
come vengono fatti questi calcoli</span>. Siccome non possono fare errori, essi avranno
successo, non falliranno. <span class=GramE>La frustrazione per la matematica sar� una
cosa del passato</span>. Se l'insegnante desidera <span class=GramE> cos� </span>, gli studenti
potranno usare MathXpert insieme in un progetto di gruppo pensato per aumentare la
loro comprensione concettuale. Ma essi ancora porteranno avanti tutti i passi del calcolo
(piuttosto che usare un sistema di computer algebra che d� <span class=GramE>una</span>
risposta su una sola riga in uno stile a scatola nera). Essi impareranno come calcolare
utilizzando MathXpert, mentre gli insegnanti struttureranno il lavoro <span class=GramE>cos�</span>
da insegnare i concetti desiderati sul come e quando applicare la matematica. </p>
<p><span class=GramE>Il punto di vista descritto nel precedente paragrafo deve essere
pensato al momento come una ipotesi pedagogica</span>. <span class=GramE>Dovrebbe
essere soggetto a interesse scientifico, per rivelare se �, o non �, eccessivamente
ottimistico.</span>. L'affermazione � testabile per principio. </p>
<p><b>8.3 <i>Matematica per le masse</i><o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal><span class=GramE>Abbassare il livello di frustrazione � la chiave
per l'insegnamento della matematica a una pi� grande porzione della popolazione</span>.
<span class=GramE>Io suggerisco con rispetto, come autore di MathXpert, che MathXpert
possa essere la soluzione</span>. <span class=GramE>Nella prossima sezione descriver�
questo concetto in maggiore dettaglio</span>. Qui <span class=GramE>io</span> descriver�
il problema a grandi linee.</p>
<p>Come menzionato sopra, nell'Universit� dello <span class=GramE>Stato</span> della California,
il 45% dei giovani ha bisogno di fare corsi di recupero in matematica. <span class=GramE>
(E' adesso nominato "sviluppo della matematica" per evitare la parola
"recupero".) Una percentuale significativa di questi studenti ha bisogno
di una ripetizione</span> del corso di recupero per riuscire a superare l'esame di matematica
al livello di ingresso. <span class=GramE>Alcuni non riescono mai a superarlo.
Nell'anno appena iniziato, � stata introdotta una nuova regola: essi lo devono passare
nel corso dei primi due anni di studio. <span class=GramE>A meno che i piani attuali non
cambino, l'Universit� non offrir� corsi di recupero dopo il 2003, e non accetter�
studenti che hanno bisono </span> di un corso di recupero. <span class=GramE> Si spera che questa
decisione incoragger� le scuole superiori a fare un lavoro migliore nell'insegnamento della
matematica</span>. <span class=GramE>Se questa si dimostrer� una speranza vana, il
risultato sar� che gli interventi di recupero verranno girati alla comunit� dei college</span>.
Questi sono college della durata di due anni, locati in ogni citt� di dimensioni medie in
<span class=GramE>California--ci</span> sono centinaia di queste istituzioni, e esse
devono accettare ogni diplomato di scuola superiore che si candida per l'ammissione.
Fornire corsi di recupero in matematica � un problema di primo ordine in California,
e rimarr� tale almeno per i prossimi anni, perfino se le varie istituzioni per
l'educazione faranno il gioco della "patata bollente" per fare in modo che
altri istituti si prendano la responsabilit�. </p>
<p>Nello stesso tempo, lo Stato della California pianifica di istituire un
"esame di uscita" dalla scuola superiore che dovrebbe essere superato
per <span class=GramE>ottenere il diploma</span> dalla scuola. <span class=GramE>
Il livello di matematica richiesto in questo esame � descritto in maggiore dettaglio
in [HSEE 01]</span>. <span class=GramE>L'esame � gi� stato istituito, ma la classe del 2003
� la prima che dovr� passarlo ai candidati all'ottenimento del diploma</span>.
Questa data � stata rimandata per la paura che una gran parte degli studenti
falliscano l'esame di matematica. <span class=GramE>Se questo provvedimento
passer�, la responsabilit� dei corsi di recupero rimarr� nelle scuole superiori</span>.
<span class=GramE>Nel frattempo, maggiore enfasi nella standardizzazione dei test
nelle scuole elementari e medie sta causando frenesia e preoccupazione </span>
circa la preparazione degli studenti per i loro futuri corsi di matematica
nelle scuole superiori. </p>
<p><b>Riferimenti bibliografici<o:p></o:p></b></p>
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students know when they need help? <span class=GramE>i</span>n Gauthier, G.,
Frasson, C., and van Lehn, K. <span class=GramE>(eds.), <i>Intelligent Tutoring
Systems</i>, <i>5<sup>th</sup> International Conference, ITS 2000</i>, pp.
292-303, Lecture Notes in Computer Science <b>1839, </b>Springer-</span>Verlag,
Berlin Heidelberg New York (2000).</p>
<p>[BEES 89] Beeson, M., The user model in Mathpert: an expert system for
learning mathematics, in Bierman, D., Brueker, J., and Sandberg, J. <span
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Amsterdam (1989)</span>. </p>
<p>[BEES 92] Beeson, M., Mathpert, Computer support for learning algebra,
trigonometry, and calculus, in: A. Voronkov (ed.), <i>Logic Programming and
Automated Reasoning</i>, Lecture Notes in Artificial Intelligence <b>624</b>,
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<p>[BEES 00] Beeson, M., Making Web pages with Mathpert, <a
href="http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/beeson/mathweb/Instructions.html">http://www.cs.sjsu.edu/faculty/beeson/mathweb/Instructions.html</a>.</p>
<p><span class=GramE>[CBE 01] California Basic Educational Data System,
California Board of Education, <a href="http://www.cde.ca.gov/demographics">http://w</a></span><span
class=MsoHyperlink>ww.cde.ca.gov/demographic</span></p>
<span style='font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman";mso-fareast-font-family:
"Times New Roman";mso-ansi-language:IT;mso-fareast-language:IT;mso-bidi-language:
AR-SA'>. </span>
<p><a href="http://www.cde.ca.gov/demographics"><span style='color:windowtext;
text-decoration:none;text-underline:none'>[COLV 99] Colvin, R., Experts attack
math teaching programs, <i>Los Angeles Times, </i>Sept. 17, 1999, page A3. <span
class=GramE>The text is also available at <span style='mso-field-code:" HYPERLINK \0022http\:\/\/mathematicallycorrect\.com\/experts\.htm\0022 "'><u><span
style='color:blue'>http://mathematicallycorrect.com/experts.htm</span></u></span></span></span></a></p>
<p><a href="http://mathematicallycorrect.com/experts.htm"><span
style='color:windowtext;text-decoration:none;text-underline:none'>[CSU 00]
California <span class=GramE>State</span> University, Fall 2000 Regularly
Admitted First-Time Freshman Remediation, Campus and Systemwide. <span
style='mso-field-code:" HYPERLINK \0022http\:\/\/www\.asd\.calstate\.edu\/remediation00\0022 "'><u><span
style='color:blue'>http://www.asd.calstate.edu/remediation00</span></u></span>.</span></a></p>
<p><a href="http://www.asd.calstate.edu/remediation00"><span class=GramE><span
style='color:windowtext;text-decoration:none;text-underline:none'>[HSEE 00]
California Department of Education, HSEE Mathematics Blueprint, <span
style='mso-field-code:" HYPERLINK \0022http\:\/\/www\.cde\.ca\.gov\/statetests\/hsee\/HSEEMathBlueprint\.pdf\0022 "'><u><span
style='color:blue'>http://www.cde.ca.gov/statetests/hsee/HSEEMathBlueprint.pdf</span></u></span></span></span><span
style='color:windowtext;text-decoration:none;text-underline:none'>. </span></a></p>
<p><a href="http://www.cde.ca.gov/statetests/hsee/HSEEMathBlueprint.pdf"><span
style='color:windowtext;text-decoration:none;text-underline:none'>[KLEIN 99]
Klein, D., and 200 co-signers, An open letter to United States Secretary of
Education, Richard Riley. <i>Washington Post, </i>Nov. 18, 1999. <span
class=GramE>The text of the letter is available at <span style='mso-field-code:
" HYPERLINK \0022http\:\/\/www\.mathematicallycorrect\.com\/riley\.htm\0022 "'><u><span
style='color:blue'>http://www.mathematicallycorrect.com/ri</span></u><u><span
style='color:blue'>ley.htm</span></u></span></span>.</span></a></p>
<p><a href="http://www.mathematicallycorrect.com/riley.htm"><span
style='color:windowtext;text-decoration:none;text-underline:none'>[MON 17]
Montessori, M., <i>Spontaneous Activity in Education</i>, 1917. Reprinted 1965
by Schocken,<i> </i>New York. </span></a></p>
</div>
</body>
</html>
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