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ELF > H� @ @ UH��}��u��E�H��U�Hc�H��H�H�� ]� Faltan algunas operaciones aritméticas. dummy Reemplazar $1 / sin$ por csc Reemplazar $1 / cos$ por sec Reemplazar $1 / tan$ por cot Reemplazar $1 / tan$ por $cos / sin$ Reemplazar $1 / cot$ por tan Reemplazar $1 / cot$ por $sin / cos$ Reemplazar $1 / sec$ por cos Reemplazar $1 / csc$ por sin Expresar la función seno en términos de csc Expresar cos en términos de sec Expresar tan en términos de cot Usar la igualdad $sin^2 u + cos^2 u = 1$. Destacar una expresión concordante con $1 - sin^2 u$. Destacar una expresión concordante con $1 - cos^2 u$ Intentar escribiendo $sin^2$ como $1 - cos^2$ Intentar escribiendo $cos^2$ como $1 - sin^2$ Usar la igualdad $sec^2 u - tan^2 u = 1$. Destacar una expresión concordante con $tan^2 u + 1$. Destacar una expresión concordante con $sec^2 u - 1$. Intentar escribiendo $sec^2$ como $tan^2 + 1$ Intentar escribiendo $tan^2$ como $sec^2 u - 1$ Eliminar todas las potencias de $sin$ usando $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ Eliminar todas las potencias de $cos$ usando $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ Eliminar todas las potencias de $tan$ usando $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ Eliminar todas las potencias de $sec$ usando $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ Reagrupar las potencias de $(1-cos t)$ y las de $(1+cos t)$ en una potencia de $sin^2 t$ Reagrupar las potencias de $(1-sin t)$ y las de $(1+sin t)$ en una potencia de $cos^2 t$ Destacar una expresión concordante con $csc^2 u - cot^2 u$ Destacar una expresión concordante con $cot^2 u + 1$ Destacar una expresión concordante con $csc^2 u - 1$ Intentar escribiendo $csc^2$ como $cot^2 + 1$ Intentar escribiendo $cot^2$ como $csc^2 - 1$ Expresar $csc(\pi /2-\theta )$ en términos de $sec \theta $ Expresar $cot(\pi /2-\theta )$ en términos de of $tan \theta $ Eliminar todas las potencias de $cot$ usando $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ Eliminar todas las potencias de $csc$ usando $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ Usar la fórmula para $sin(u+v)$ Usar la fórmula para $sin(u-v)$ Usar la fórmula para $cos(u+v)$ Usar la fórmula para $cos(u-v)$ Usar la fórmula para $tan(u+v)$ Usar la fórmula para $tan(u-v)$ Usar la fórmula para $cot(u+v)$ Usar la fórmula para $cot(u-v)$ Usar la fórmula de duplicación del seno para la expresión del seno de un ángulo doble Dada la fórmula $cos(2\theta )$, cabe analizar cuál de las tres fórmulas usuales de duplicación del coseno elegir (según lo que se vaya a hacer a continuación). Seleccionar la sumatoria conteniendo $cos(2\theta )+1$. Seleccionar la sumatoria conteniendo $cos(2\theta )-1$. Usar la fórmula de ángulo doble para la tangente Usar la fórmula ángulo doble para la cotangente Un producto de seno por coseno puede simplificarse con una única función trigonométrica: $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ Un producto de seno por coseno puede simplificarse con una única función trigonométrica: $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ Reagrupar algunos términos para obtener el coseno de un ángulo doble. Desarrollar una función trigonométrica escribiendo $n\theta $ as $(n-1)\theta + \theta $ y usando la fórmula de la suma. Existe una fórmula para desarrollar $sin(3\theta )$. Existe una fórmula para desarrollar $cos(3\theta )$. Se puede desarrollar $sin n\theta $ como polinomio en $sin \theta $ y $cos \theta $. Se puede desarrollar $cos n\theta $ como polinomio en $sin \theta $ y $cos \theta $. Se puede efectuar la multiplicación cruzada. Se pueden intercambiar los dos miembros. Pasar el término adecuado de izquierda a derecha. Pasar el término adecuado de derecha a izquierda. Sumar el mismo término en ambos miembros. Restar el mismo término en ambos miembros. Multiplicar ambos miembros por el mismo término. Eliminar un término en ambos miembros. Elevar ambos miembros a la misma potencia. Extraer la raíz cuadrada en ambos miembros. Extraer la raíz e$n$-ésima en ambos miembros. Aplicar una función en ambos miembros. Quizá esta no sea una verdadera igualdad. Se podría verificar numéricamente. De no ser una igualdad, rápidamente se encontraría un número que evidencie que el valor de ambos miembros es diferente. Efectuar una sustitución. Indicar cuándo es $sin(u) = 1/2$ Indicar cuándo es $sin(u) = -1/2$ Indicar cuándo es $sin(u) = \sqrt 3/2$ Indicar cuándo es $sin(u) = -\sqrt 3/2$ Indicar cuándo es $cos(u) = \sqrt 3/2$ Indicar cuándo es $cos(u) = -\sqrt 3/2$ Indicar cuándo es $cos(u) = 1/2$ Indicar cuándo es $cos(u) = -1/2$ Indicar cuándo es $tan(u) = 1/\sqrt 3$ Indicar cuándo es $tan(u) = -1/\sqrt 3$ Indicar cuándo es $tan(u) = \sqrt 3$ Indicar cuándo es $tan(u) = -\sqrt 3$ ? Indicar cuándo es $sin(u) = 1/\sqrt 2$ Indicar cuándo es $sin(u) = -1/\sqrt 2$ Indicar cuándo es $cos(u) = 1/\sqrt 2$ Indicar cuándo es $cos(u) = -1/\sqrt 2$ Indicar cuándo es $tan(u) = 1$ Indicar cuándo es $tan(u) = -1$ Indicar cuándo es $sin u = 0$ Indicar cuándo es $sin u = 1$ Indicar cuándo es $sin u = -1$ Indicar cuándo es $cos u = 0$ Indicar cuándo es $cos u = 1$ Indicar cuándo es $cos u = -1$ Indicar cuándo es $tan u = 0$ Indicar cuándo es $cot u = 0$ Se puede eliminar el seno extrayendo el arcoseno, pero podría haber múltiples soluciones. Se puede eliminar del coseno extrayendo el arcocoseno, pero podría haber múltiples soluciones. Intentar sacar la arcotangente para eliminar la tangente. Evaluar exactamente el arcoseno. Evaluar exactamente el arcocoseno. Evaluar exactamente el arcotangente. Eliminar el arcocotangente, usando la igualdad $arccot x = arctan (1/x)$ Eliminar el arcosecante, usando la igualdad $arcsec x = arccos (1/x)$ Eliminar el arcocosecante, usando la igualdad $arccsc x = arcsin (1/x)$ Arcoseno es una función impar. Pese a que arcocoseno no es una función impar ni par, satisface la igualdad $arccos(-x) = \pi -arccos x$ Arcotangente es una función impar Al intervenir un parámetro entero, son infinitas las soluciones. Si la ecuación fuera la de una función periódica, con período $2\pi $, las soluciones deben escribirse de esta forma $c + 2n\pi $. Así, bastará con verificar las soluciones en el intervalo correspondiente a un período. Debe recordarse que los valores del seno están entre $-1$ y 1. Debe recordarse que los valores del coseno están entre $-1$ y 1. $x -> tan(arcsin x)$ es una función algebraica de $]-1,1[$ en $R$, es decir, una función f tal que existe un polinomio $P$ con dos indeterminados tal que, para todo elemento $x$ del dominio de definición de $f$, debe ser $P(x,f(x))=0$. $tan(arccos x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. Para todo real $x$, debe ser $tan(arctan x)=x$. Para todo real $x$, debe ser $sin(arcsin x)=x$. $sin(arccos x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. $sin(arctan x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. $cos(arcsin x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. Para todo real $x$, debe ser $cos(arccos x)=x$. $cos(arctan x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. $sec(arcsin x)$ es efectivamente una función algebraica de $x$. Para todo real $x$, debe ser $sec(arccos x)=x$. $sec(arctan x)$ es efectivamente una función algebraica del $x$. $arctan(tan \theta )$ es justamente $\theta $, si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta )$ es justamente $\theta $, si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta )$ es justamente $\theta $, si $0\le \theta \le \pi $ $arctan(tan x)$ en general no es igual a $x$, pero es $x$ menos un cierto múltiplo de $pi$, por lo que puede expresarse como $x + c1$ donde $c1$ es constante en el intervalo en que $tan x$ está definido. Para todo real $x$ entre $[-1,1]$, se cumple la igualdad de los ángulos complementarios: $arcsin x + arccos x = \pi /2$. Para todo real $x$ no nulo, se cumple una igualdad propia de ángulos complementarios: $arctan x + arctan 1/x = sgn(x) \pi /2$, donde $sgn$ es la función signo,definida por $sgn(x) = +1$ si $x>0$, $sgn(x) = -1$ si $x<0$. Recordar que cos significa seno del complemento. Así, el coseno del complemento es el seno. Esto es, $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Recordar que cos significa seno del complemento. Esto es, $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $. Recordar que cot significa tangente del complemento. Así, la cotangente del complemento es la tangente. Esto es, $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $. Recordar que cot significa tangente del complemento. Esto es, $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $. Recordar que csc significa cosecante del complemento. Así, la cosecante del complemento es la secante. Esto es, $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $. Recordar que csc significa secante del complemento. Esto es, $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $. Reformular el seno como coseno del complemento. Reformular el coseno como seno del complemento. Reformular la tangente como cotangente del complemento. Reformular la cotangente como tangente del complemento. Reformular la secante como cosecante del complemento. Reformular la cosecante como secante del complemento. Recordar que cotangente significa tangente del complemento. Así, cotangente del complemento es la tangente. Esto es, $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $. Recordar que cotangente significa tangente del complemento. Esto es, $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $. Recordar que csc significa secante del complemento. Así, la cosecante del complemento es la secante. Esto es, $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $. Recordar que csc significa secante del complemento. Esto es, $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $. Reformular la secante como csc del complemento. Reunir los ángulos expresados en grados. Recordar que cos significa seno del complemento. Así, coseno del complemento es el seno. Esto es, $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Recordar que cos significa seno del complemento. Esto es, $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $. La función seno es impar. La función coseno es par. La función tangente es impar. La función cotangente es impar. La función secante, definida por $sec \theta = 1/cos \theta $, es par. La función cosecante, definida por $csc \theta = 1/sin \theta $, es impar. La función $x -> sin^2 x$ es par. La función $x -> cos^2 x$ es par. La función $x -> tan^2 x$ es par. La función $x -> cot^2 x$ es par. La función secante, expresada como $sec \theta = 1/cos \theta $; la fonction $x -> sec^2 x$, es par. La función cosecante, expresada como $csc \theta = 1/sin \theta $; la fonction $x -> csc^2 x$, es par. La función seno es periódica; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función coseno es periódica; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función tangente es periódica; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función secante es periódica; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función cosecante; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función cotangente es periódica; usar la fórmula que exprese esta propiedad. La función $x -> sin^2 x$ es periódica de período $\pi $, aunque el período del seno es $2\pi .$ La función $x -> cos^2 x$ es periódica de período $\pi $, aunque el período del coseno es $2\pi .$ La función $x -> sec^2 x$ es periódica de período $\pi $, aunque el período de la secante es $2\pi .$ La función $x -> csc^2 x$ es periódica de período $\pi $, aunque el período de la cosecante es $2\pi .$ Reducir el ángulo usando la igualdad $sin u = -sin(u-\pi )$ Reducir el ángulo usando la igualdad $sin u = sin(\pi -u)$ Reducir el ángulo usando la igualdad $cos u = -cos(u-\pi )$ Reducir el ángulo usando la igualdad $cos u = -cos(\pi -u)$ Eliminar $sin^2$ usando la fórmula del doble del argumento angular. Eliminar $cos^2$ usando la fórmula del doble del argumento angular. El producto de seno y coseno puede simplificarse usando la igualdad: $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ Usar una igualdad en que interviene el ángulo doble Escribir $\theta $ como $2(\theta /2)$; esta operación está disponible gracias a las igualdades en que interviene ángulos dobles y semi-ángulos. Se puede expresar $sin x cos x$ como $\onehalf sin 2x$ Se puede expresar $sin x cos y$ como sumatoria de los senos cuyas frecuencias son la suma y diferencia de $x$ y $y$ Se puede expresar $cos x sin y$ como diferencia de los senos cuyas frecuencias son la suma y diferencia de $x$ y $y$ Se puede expresar $sin x sin y$ como diferencia de los cosenos cuyas frecuencias son la suma y diferencia de $x$ and $y$ Se puede expresar $cos x cos y$ como suma de cosenos cuyas frecuencias son la suma y diferencia de $x$ y $y$ Se puede expresar $sin x + sin y$ como producto de senos y cosenos cuyas frecuencias son la suma y diferencia de $x$ e $y$ Se puede expresar $sin x - sin y$ como producto de senos y cosenos cuyas frecuencias son la suma y la diferencia de $x$ e $y$ Se puede expresar $cos x + cos y$ como producto de cosenos cuyas frecuencias son la suma y la diferencia de $x$ y $y$ Se puede expresar $cos x - cos y$ como producto de senos cuyas frecuencias son la suma y la diferencia de $x$ y $y$ Reemplazar u y v por las expresiones, en términos de funciones trigonométricas. Experimentar numéricamente. El límite de la suma es la suma de los límites, si los límites existiesen. El límite de la diferencia es la diferencia de los límites, si los límites existiesen. Todo límite de una función constante es igual al valor de la función. El límite de $x$ cuando $x$ tiende a $c$ es igual a $c$. Se puede extraer una constante de la operación del límite. Se puede extraer el signo menos de la operación del límite. Si dos o más funciones tienen límites, su producto tiene un límite que es el producto de los límites. El límite de una variable elevada a potencia constante $v^c$ es consistente con la potencia del límite de la variable. El límite de una constante elevada a una potencia variable $c^v$ es igual a la constante $c$ elevada al límite de la variable $lim v$. Si v y $u>0$ tienen un límite, el de $u^v$ es acorde a la siguiente igualdad: $$lim(t->a,u^v)= lim(t->a, u)^lim(t->a, v)$$ Si $u\ge 0$ tiene un límite, la raíz cuadrada de $u$ tiene un límite que es la raíz cuadrada del límite de $u$. Si $n$ es impar y $u$ tiene un límite, la raíz e$n$ésima de $u$ tiene como límite la raíz e$n$ésima del límite de $u$. Si $u$ es positivo y tiene un límite, la raíz e$n$ésima de $u$ tiene como límite la raíz e$n$ésima del límite de $u$. Se puede usar MathXpert para calcular directamente el límite de una expresión polinómica. Se puede incorporar el límite dentro del símbolo de valor absoluto. Se puede extraer una constante no nula de un numerador. Siendo c un real no nulo, $cu/v$ tiene un límite que responde a la siguiente igualdad $lim cu/v = c lim u/v$ si y sólo lo tiene $u/v$. Si un término $v$ no es nulo y admite un límite distinto de cero, su inverso $1/v$ tiene un límite que es el inverso. En términos más generales, si $c$ es un real distinto de cero $lim c/v = c/lim v$. Si el numerador y el denominador de un cociente admiten límites, no siendo nulo el del denominador, límite del cociente es el cociente de los límites. Para estudiar el límite de una expresión cuando $x$ tiende a $a$, conviene factorizarla acorde a las potencias de $(x-a)$. Se puede usar MathXpert para calcular directamente, el límite de una función racional. Suele ser útil escribir $a^n/b^n$ acorde a la forme $(a/b)^n$. Para eliminar los radicales de un denominador, cabe apelar a técnicas de racionalización de fracciones, buscando en el menú, las operaciones sobre cocientes. Simplificar el límite considerado extrayendo un factor simple de límite finito no nulo. Esto implica expresar $lim uv$ como $lim u lim v$, siendo $lim u$ finito y no nulo. Por ejemplo, se puede extraer $sin(x)/x$ del límite de $sin^2(x) /x$ con $x$ tendiendo a 0. Factorizar una constante. Multiplicar numerador y denominador por el mismo término. El propósito es obtener un límite no nulo del denominador. Dividir numerador y denominador por el mismo término. El propósito es obtener un límite no nulo del denominador. Dividir numerador y denominador por el mismo término para poder determinar el límite del numerador y del denominador respectivamente. La elección del divisor debe ser tal que sea no nulo el límite del denominador. Puede ser útil en las operaciones con límites de cocientes la siguiente fórmula algebraica: $$(ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q$$ Basta con elevarlo al cuadrado para que el denominador quede dentro de la raíz. Basta con elevarlo al cuadrado para que el denominador quede dentro de la raíz y solo es preciso considerar el signo. Basta con elevarlo a la correspondiente potencia para que el denominador quede dentro de la raíz e$n$ésima. Basta con elevarlo a la correspondiente potencia para que el denominador quede dentro de la raíz e$n$ésima; solo es preciso considerar el signo Basta con elevarlo al cuadrado para que el numerador quede dentro de la raíz. Basta con elevarlo al cuadrado para que el numerador quede dentro de la raíz y solo es preciso considerar el signo. Basta con elevarlo a la correspondiente potencia para que el numerador quede dentro de la raíz e$n$ésima. Basta con elevarlo a la correspondiente potencia para que el numerador quede dentro de la raíz e$n$ésima; solo es preciso considerar el signo Usar la regla de L'Hospital. Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo directo de la derivada. Colocar todo, salvo el logaritmo, en el denominador y usar la regla de L'Hospital. Con ese propósito, es preciso seleccionar toda la expresión cuyo límite se quiera evaluar. Colocar en el denominador, con exponente positivo, el término de exponente negativo y usar la regla de L'Hospital. Pasar la función exponencial al denominador y usar la regla del L'Hospital's. Pasar la función trigonométrica al denominador (usando una igualdad trigonométricas) para usar la regla del L'Hospital. Convertir el producto en una fracción compuesta, pasando uno o más factores al denominador. Ubicar las fracciones sobre un denominador común y simplificar. Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $t -> (sin t)/t$. Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(tan t)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(1-cos t)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(1-cos t)/t^2$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(1+t)^(1/t)$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(ln(1+t))/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(e^t-1)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $(e^(-t)-1)/t$ La singularidad en el origen de $ln$ es tan lenta que el producto por cualquier funciói de potencia de exponente estrictamente positivo la supera. MathXpert puede tratar tal límite en un solo paso pero también es posible pasar al denominador la función de potencia y usar luego la regla de L'Hospital. La función $t -> cos(1/t)$ oscila una infinidad de veces entre -1 y 1 a medida que $t$ tiende a 0. La función $t -> sin(1/t)$ oscila una infinidad de veces entre -1 y 1 a medida que $t$ tiende a 0. En el entorno de 0, la función $t -> tan(1/t)$ tiene un comportamiento sumamente caótico. La función $t -> cos t$ oscila una infinidad de veces entre -1 y 1 a medida que $t$ tiende a infinito. La función $t -> sin t$ oscila una infinidad de veces entre -1 y 1 a medida que $t$ tiende a infinito. La imagen de todo intervalo de longitud $\pi $ para la función $tan$ es el conjunto completo de los reales $R$, por lo que esta función no tiene límite para $t$ tendiendo a $+$ infinito. Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $t -> (sinh t)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $t -> (tanh t)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $t -> (cosh t -1)/t$ Existe una fórmula específica que da el valor del límite en cero de $t -> (cosh t - 1)/t^2$ Si una función tiene un límite estrictamente positivo, el de su logaritmo es el logaritmo del límite de la función. Por definición de continuidad, si $f$ es continua y si $u$ tiene un límite, entonces $f(u)$ tiene un límite, es $lim f(u)=f(lim u)$. Cuando existen, los límites son compatibles con la composición de funciones: $$lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))$$ Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo de un límite elemental en un solo paso. Para calcular el límiite de una función de potencia, conviene empezar por pasar a notación exponencial con una base constante, usando la regla $$lim(t->a, u^v) = lim(t->a, e^(v ln u))$$ Si el límite del producto parece indeterminado, al reescribirlo según $uv = v/(1/u)$, se puede intentar con la igualdad: $lim uv = lim v/(1/u)$. En ocasiones, el límite de un cociente puede ser más fácil de calcular. Un límite queda indefinido si la función cuyo límite quiere evaluarse, está indefinida en el entorno del punto. Intentar esta fórmula: $$lim(t->a, u) = e^(lim(t->a, ln u))$$. Quizá pueda eliminarse el término que crea problemas, acaso un factor oscilante, usando el llamado Teorema del Emparedado. Pese a no serlo, se puede transformar la expresión en cociente y eliminar los radicales del numerador apelando a la siguiente igualdad: $$lim(t->a, sqrt(u)-v)=lim(t->a, (sqrt(u)-v)(sqrt(u)+v)/(sqrt(u)+v))$$. Se pueden mantener solo los términos más significativos en el numerador y denominador, despreciando los restantes. Un límite complicado puede reducirse al de la función que solo conserva los términos más significativo. Al buscar el límite en una suma, es preciso distinguir los términos que pueden despreciarse por su incidencia nula, respecto de la de los significativos, en el entorno correspondiente. Una expresión está definida sólo si lo están todos los términos que la componen. Teniendo límite $u$, lo tiene $e^u$ siendo $$lim(t->a,e^u) = e^(lim(t->a, u))$$ Siendo $u>0$ y teniendo $u$ un límite estrictamente positivo, lo tiene $ln u$ siendo el $lim(ln u) = ln(lim u)$. En 0, la función $ln $ tiende a $- 4 $ tan lentamente que la supera cualquier potencia estrictamente positiva de $t$(t-> 1/ t) MathXpert puede tratar tal límite en un solo paso pero también es posible pasar una potencia al denominador y usar luego la regla de L'Hospital. En 0, la función $ln x$ tiende a $- 4 $ tan lentamente que la supera cualquier potencia estrictamente positiva de $t$(t-> 1/ t) MathXpert puede tratar tal límite en un solo paso pero también es posible pasar una potencia al denominador y usar luego la regla de L'Hospital. Una función algebraica supera siempre a un logaritmo. Por $t$ grande, $t^n$ también es grande, así que $1/t^n$ es pequeño. Por $t$ grande, $t^n$ también es grande. Por $t$ grande, $e^t$ también es grande. Por $t$ grande y negativo, $e^t$ es muy pequeño. Por $t$ grande, $ln t$ también es grande. Por $t$ grande, $\sqrt t$ también es grande. Por $t$ grande, $^n\sqrt t$ también es grande. Por $|t|$ grande, $arctan t$ está cerca de $\pi/2$ o $-\pi/2$ El arccot de un número positivo grande está cerca de cero. El arccot de un número negativo grande está cerca de $\pi$. Para $|t|$ grande, $tanh t$ está cerca de 1 o -1. $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ $lim(sin u) = sin(lim u)$ si el límite es finito. $lim(cos u) = cos(lim u)$ si el límite es finito. Los límites en el infinito pueden transformarse en límites en cero si $f(t)$ es reemplazada por $f(1/t)$. Puedes ignorar todos los términos excepto los principales en el numerador y el denominador. Cuando $u$ tiende a cero, $1/u^2^n$ tiende a infinito en tanto sea $(n>0)$. Cuando $u$ tiende a cero, el valor absoluto de $1/u^n$ tiende a infinito con signo opuesto al de $u$ cuando $n$ es impar. Por eso hay que distinguir uno y otro de los límites laterales cuando $u$ tienda a cero. Cuando $u$ tiende a cero desde valores positivos, $1/u^n$ tiende a infinito. Cuando $u$ tiende a cero desde valores negativos, $1/u^n$ tiende a menos infinito si $n$ es impar y a infinito, si $n$ es par. Si el denominador de una fracción tiende a cero y no así el numerador, el límite queda indefinido para esta fracción: no admite límite real (es decir, finito). Cuando $t$ tiende a cer, para valores estrictamente positivos, $ln t$ tiende a menos infinito. La función tangente tiene una asíntota vertical para todos los múltiplos impares de $\pi /2$. Pero en tales puntos, el límite izquierdo de la tangente es infinito, mientras que el derecho es menos infinito . La función cotangente tiene una asíntota vertical para todos los múltiplos de $\pi $. Pero en tales puntos, el límite es infinito, con signo opuesto a izquierda y a derecha. La función secante, definida como $sec x := 1/(cos x)$, tiene una asíntota vertical para todos los múltiplos impares de $\pi /2$. Pero en tales puntos, el límite es infinito, con signo opuesto a izquierda y a derecha. La función cosecante, definida como $csc x := 1/(sin x)$, tiene una asíntota vertical para todos los múltiplos de $\pi $. Pero en tales puntos, el límite es infinito, con signo opuesto a izquierda y a derecha. Multiplicar un factor y dividir el otro por el mismo término de forma tal que los límites puedan ser evaluados. $\pm \infty /$positive = $\pm \infty $ (términos no nulos)$/\pm \infty = 0$ (términos estructamente positivos)$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty +$ finite$ = \pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $ si $u > 1$ $u^\infty = 0$ si $0 < u < 1$ $$u^(-infinity ) = 0$$ si $u > 1$ $$u^(-infinity ) = infinity$$ si $0 < u < 1$ $\infty ^n = \infty $ si $n > 0$ Siendo esta, una suma de infinitos términos de signos opuestos, involucra una forma indeterminada. $a/0+ = \infty $ si $a>0$ $a/0- = -\infty $ si $a>0$ $a/0 =$ indefinida $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0 = $ indefinida $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty if a > 0$ $a/0^2 = -\infty if a < 0$ $a/0^2^n = \infty if a > 0$ $a/0^2^n = -\infty if a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ límites trigonométricos en $\infty $ están indefinidos, porque la función trigonométrica oscila (o presenta un comportamiento más indefinido aun) $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ La derivada de una función constante es la función nula. Cabe aclarar que es 'constante' la que presenta una expresión independiente de la variable respecto de la cual se está diferenciando. Es 1 el valor de la expresión que en notación diferencial tradicional se escribe como $dx/dx$. La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Puesto que la derivación es lineal, se puede sacar el signo menos fuera del de la derivada Puesto que la derivación es lineal, se puede sacar fuera de la derivada, todo factor constante del término a derivar. Para derivar una potencia, se puede aplicar la fórmula correspondiente. Se puede usar MathXpert para diferenciar una función polinómica en un único paso. Por definición, la notación diferencial tradicional la expresa como $f'(x) = d/dx f(x)$. Usar la fórmula que define la derivada como un límite, accesible para someterla a cualquiera de las restantes operaciones de derivadas. Se puede dejar a cargo de MathXpert la diferenciación directo de un polinomio, en un único paso. La derivada de una suma (o la diferencia) es la suma (o la diferencia) de las derivadas. La constante del denominador puede extraerse gracias a la linealidad de la dérivación que se expresa, en notación de MathXpert por la fórmula $$diff(u/c,x)=(1/c)diff(u,x)$$. Otro tanto para el numerador. Para derivar una potencia, basta con aplicar la fórmula correspondiente. Usar la regla de derivación de un producto. Con la notación de MathXpert, fórmula de la derivación de la inversa de una función se escribe $$diff(1/v,x) = -diff(v,x)/v^2$$. Es conveniente registrar este caso particular de la regla de derivación de un cociente. Usar la regla de derivación de un cociente. Hay una fórmula directa para expresar la derivada de la raíz cuadrada de una función. Suele ser más sencillo que convertirla en en términos de un exponente fraccionario para aplicar luego la regla de derivación de potencias. Para diferenciar una raíz e$n$èsima, conviene convertirla primero em una función positiva de la raíz (en el caso de $n$ impar), luego expresarla como una potencia fraccionaria. Para derivar la potencia en el denominador, no es necesario expresarla como una potencia negativa. Es mejor utilizar la regla de derivación que, en notación de MathXpert, se expresa así: $$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$ La función de valor absoluto es derivable en todo el conjunto de los reales no nulos, de derivada igual a -1 en un real estrictamente negativo, a 1 en un real positivo, que en la notación diferencial tradicional se escribe como $d/dx |x| = x/|x|$ Por definición, en notación diferencial tradicional, $f'(x) = d/dx f(x)$. La función derivada de seno es coseno. La función derivada de coseno es $-sin$. La función derivada de tangente, que se expresa como tan, es $sec^2$, por definición igual a $1/cos^2$. La función derivada de secante, por definición $sec = 1/cos$ es la función tangente, que se expresa como tan. La función derivada de cotangente, que se expresa como cot, es $-csc^2$, por definición igual a $-1/sin^2$. La función derivada de cosecante, que se expresa como csc, definición igual a $csc = 1/sin$, es le producto - csc cot. La función $x -> e^x$ es igual a su derivada. Salvo por alguna constante, las funciones exponenciales son iguales a su derivada, lo que se puede escribir en notación diferencial tradicional, $ d/dx c^x = (ln c) c^x$. Para calcular la derivada de una potencia de exponente no constante, conviene pasar a la notación exponencial apelando a la fórmula $$u^v = e^(v ln u)$$. La derivada de $ln$ es la función $x -> 1/x, x>0$. La derivada de $x -> ln |x|$ es la función $x -> 1/x$. Intentar la derivada logarítmica, escribiendo $dy/dx$ acorde a la siguiente igualdad $dy/dx = y (d/dx) ln y$. Usar la fórmula: $d/dx e^u = e^u du/dx$ Para diferenciar una función de la forma $c^u$, en la que $c$ es una constante real, conviene usar la fórmula: $$diff(c^u,x)=(ln c)c^u diff(u,x)$$ Para calcular la derivada del logaritmo natural de una función estrictamente positiva, conviene usar la fórmula: $(ln u)' = u'/u$, es decir, $$diff(ln u,x) = (1/u)(diff(u,x))$$. Para calcular la derivada del logaritmo natural del valor absoluto de una función no nula, conviene usar la fórmula $(ln|u|)' = u'/u$, es decir, $$diff(ln abs(u),x) = (1/u) diff(u,x)$$. Hay una fórmula para calcular directamente la derivada de $x -> ln(cos x)$. Hay una fórmula para calcular directamente la derivada de $x -> ln(sin x)$. $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ Usar la fórmula de la cadena para potencias $$(u^n)' = n u^(n-1) u'$$ cuya derivación es: $$diff(u^n,x) = nu^(n-1) diff(u,x)$$ Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a raíces cuadradas: $$diff(sqrt(u),x) = diff(u,x)/(2 sqrt(u))$$ Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función seno Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función coseno Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función tangente Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función secante Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función cotangente Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función cosecante Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas aplicada a la función valor absoluto Usar la fórmula de derivación de funciones compuestas escrita de la siguiente forma $$diff(f(u),x) = f'(u) diff(u,x)$$ Hacer un cambio de variable para componer una función gracias a esa sustitución. Ahora, eliminar la variable definida. Considerar los puntos críticos, es decir aquellos en que $f'(x)=0$ Considerar los puntos extremos del intervalo Indicar si hay puntos en que $f$ no es derivable (no está definida $f'(x)$) Determinar los límites en los extremos abiertos del intervalo. Descartar cualquier punto que no pertenezca al intervalo Confeccionar una tabla con los valores numéricos que toma la función, valores-de-$y$ Confeccionar una tabla con los valores exactos que toma la función, valores-de-$y$ Extraer el valor máximo de la tabla. Extraer el valor mínimo de la tabla. Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo directo de la derivada, en un solo paso. Ahora, resolver la ecuación. Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo directo de un límite simple, en un solo paso. Eliminar del parámetro entero. Esta función es constante, de modo tal que el máximo iguala al mínimo. Calcular la derivada. Simplificar la expresión. Resolver la ecuación. Diferenciar la ecuación. Eliminar la derivada de la variable, sustituyéndola por una expresión. Eliminar las fracciones compuestas. Sacarle a las fracciones un denominador común y simplificar. Factorizar un término común. Intentar factorizar. Multiplicar y simplificar. Hay un factor común en el numerador y en el denominador? Expresar como una expresión polinómica. Expresar una expresión en forma polinómica. Igualar a 1 al coeficiente principal de un polinomio. Expresar las raíces cuadradas como términos elevados a la potencia fraccionaria igual a 1/2. Convertir los exponentes fraccionarios a raíces e$n$ésimas. Convertir las raíces e$n$ésimas y le raíces cuadradas en forma de exponentes fraccionarios. Diferenciar la igualdad siguiendo la siguiente regla: $u=v => du/dx = dv/dx$. Expresar la derivada segunda usando la fórmula $$diff(u,x,2) = (diff(diff(u,x),x))$$ $$diff(u,x,n) = diff(diff(u,x,n-1),x)$$ La derivada de la derivada es la derivada segunda. Diferenciar una derivada $n$-th produce una derivada $n+1$. Se puede dejar a cargo de MathXpert la derivación directa, en un solo paso. Calcular el valor numérico en un punto. $\int 1 dt = t$ Si $c$ es una constante real, una primitiva en el intervalo de $(t -> c)$ es $(t -> ct)$, o en notación de MathXpert, $$integral(c,t) = ct$$. $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt (c constant)$ El signo menos encabezará la integral apelando a la fórmula $$integral(-u,t) = -integral(u,t)$$ Si el integrando es una suma, se puede apelar a la propiedad lineal de la integral: $$integral(u+v,t) = integral(u,t) + integral(v,t) $$ Si el integrando es una diferencia, se puede apelar a la propiedad lineal de la integral: $$integral(u-v,t) = integral(u,t) - integral(v,t) $$ Si el integrando es una suma o una diferencia, se puede apelar a la propiedad lineal de la integral: $$integral(au+bv,t) = a integral(u,t) + b integral(v,t) $$ Esto también opera con eñ signo menos, o con una mezcla de signos más y menos. $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n \ne -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n \ne 0)$ La función a integrar es un polinomio. Se puede dejar a cargo de MathXpert la tarea de integración directa, en un solo pasoh. $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Distribuir la multiplicación en el integrando, para obtener una suma de términos más simples. Desarrollar $(a+b)^n$ en el integrando $\int |t| dt = t|t|/2$ Integrar el seno. Integrar el coseno. Integrar la tangente. Integrar la cotangente. Integrar la secante. Integrar la cosecante. Integrar el cuadrado de la secante. Integrar el cuadrado de la cosecante. Hay una fórmula para la integral del $tan^2 t$, o se la puede integrar por partes. Hay una fórmula para la integral del $cot^2 t$, o se la puede integrar por partes. No se necesitan cálculos para determinar una primitiva de $(t -> sec t tan t)$, ya que es simplemente la derivada de $sec$. No se necesitan cálculos para determinar una primitiva de $(t -> csc t cot t)$, ya que es simplemente la derivada de $csc$. La función exponencial es su propia primitiva, tal como se puede expresar en la notación de MathXpert : $$integral(e^t,t) = e^t$$ La primitiva de $(t -> e^at)$ es $(t -> (1/a) e^at$. La función exponencial es su propia primitiva, incluyendo la eventual constante del exponente: $\int e^at dt =(1/a) e^at$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-at)dt = -(1/a) e^(-at)$ $$integral( e^(t/a),t) = a e^(t/a)$$ La función exponencial es proporcional a una de sus primitivas y cuando la base no es $e$, el factor de proporcionalidad ya no es 1. $$integral( u^v, t) = integral(e^(v ln u),t)$$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral( e^(-t^2),t) = (sqrt pi) /2 Erf(t)$$ Intentar la integración por sustitución Derivar $du/dx$ Calcular la derivada Recuperar la integral original mediante la opción 'mostrar nuevamente la integral' Expresar el integrando como una función de una nueva variable, eligiendo: integrando = $f(u) \times du/dx$ Ahora, eliminar completamente la 'variable de integración' original. Ahora, eliminat la variable definida. Integrar vía una sustitución que lleve a cambiar la variable. Intentar con la integración por partes. Igualar la linea actual al problema original, obteniendo una ecuación. Aislar la integral original en el miembro izquierdo de la ecuación. Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo de la integral simple, en un solo paso. Usar el teorema fundamental del cálculo que aúna los conceptos de primitiva e integral. Quitar la barra de evaluación de funciones. Invertir los límites de integración, introduciendo un signo menos. Aunar en una sola integral, dos integrales definidas de una misma función en dos intervalos contiguos. Puede ser conveniente partir la integral definida en dos o más integrales delimitadas por los adecuados puntos intermedios de cada nueva integración. Para eliminar los valores absolutos en el integrando, basta con partir la integral en las requeridas para que queden delimitadas por los respectivos ceros del integrando. Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo numérico del valor de una integral, si lo tuviera. Notar que coinciden los límites de integración superior e inferior. Expresar una integral impropia como límite de integrales ordinarias. Una función monótona que no tiende a cero en $+\infinity $, no es integrable en un intervalo $[c,\infinity [$. Una función monótona que no tiende a cero en $-\infinity $, no es integrable en un intervalo $[-\infinity,c [$. La integral de una función impar en un intervalo con punto medio en el origen, debe ser cero. La integral de una función par en un intervalo con punto medio en el origen, es dos veces la calculada para la parte positiva del intervalo. Hacer un cambio de variable a través de una función trigonométrica Hacer un cambio de variable vía una sustitución por función trigonométrica inversa Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo directo de una integral simple, en un solo paso. Linealizar el término $sin^2$ del integrando, usando: $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$. Esta fórmula se encuentra en la lista de las de trigonometría y en la de las fórmulas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Linealizar el término $cos^2$ del integrando, usando: $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$. Esta fórmula se encuentra en la lista de las de trigonometría y en la de las fórmulas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función coseno, lo que lleve a poner a $u=cos x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función seno, lo que lleve a poner a $u=sin x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función tangente, lo que lleve a poner a $u=tan x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función cotangente, lo que lleve a poner a $u=cot x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función secante, lo que lleve a poner a $u=sec x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Hacer un cambio de variable para hacer aparecer una composición para la función cosecante, lo que lleve a poner a $u=csc x$ a prueba de verificación de hipótesis. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Usar la igualdad $tan^2 x = sec^2 x - 1$ en el integrando. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Usar la igualdad $cot^2 x = csc^2 x - 1$ en el integrando. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Usar la fórmula de reducción para pasar a una integral similar, pero de menor potencia de la secante. Usar la fórmula de reducción para pasar a una integral similar, pero de menor potencia de la cosecante. Hacer un cambio de variable usando la sustitución de Weierstrass: $u = tan(x/2)$. Seleccionar toda la integral para activar esa opción. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $1+cos x$. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $1-cos x$. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $1+sin x$. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $1-sin x$. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $sin x + cos x$. Multiplicar ambos, numerador y denominador por $cos x - sin x$. Realizar la división polinómica del numerador de la fracción racional por el denominador y sacar la parte entera. Quedará una fracción cuyo numerador sea de grado inferior al del denominador. Factorizar el denominador de ser posible. Indicar si hay un factor común en el numerador y en el denominador Se puede dejar a cargo de MathXpert la factorización 'libre de cuadrados', que permitirá eliminar posibles faactores repetidos. Esta operación recurre a un algoritmo poco usual en libros de texto. Se puede dejar a cargo de MathXpert la factorización numérica del polinomio. Será útil la aproximación decimal a las raíces. Desarrollar la integral en fracciones parciales. Completar el cuadrado en el denominador. La primitiva de la inversa de una función afín, es un logaritmo. Más allá del coeficiente, la primitiva de la inversa de una potencia superior a 1 de la función afín resulta, en el intervalo en el que está definida, una función tal como la dada. La primitiva de la inversa de una función de suma de cuadrados, $(t -> 1/(a^2 + t^2))$, es una función arctangente. La primitiva de la inversa de una función de diferencia de cuadrados, $(t -> 1/(a^2 - t^2))$, es una función arccoth, arctanh o un logaritmo. Completar el cuadrado en el denominador La primitiva de la inversa de una función de raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados, $(t -> 1/\sqrt (a^2 - t^2))$, es una función arcsin. La primitiva de la inversa de una función de raíz cuadrada de una suma de cuadrados, $(t -> 1/\sqrt (a^2 - t^2))$, es una función logaritmo. La primitiva de la inversa de una función de raíz cuadrada en el denominador de la forma $(t -> 1/(t\sqrt (t^2 \pm a^2)))$, es una función arccos. Efectuar una racionalización por sustitución. Hay una fórmula de integración del arcsin Hay una fórmula de integración del arccos Hay una fórmula de integración del arctan Hay una fórmula de integración del arccot Atención: El dominio de definición de la función arccsc conforma dos intervalos disjuntos con dos fórmulas en que cada primitiva de arccsc en los intervalos de definición de esta función. Atención: El dominio de definición de la función arcsec conforma dos intervalos disjuntos con dos fórmulas en que cada primitiva de arccsc en los intervalos de definición de esta función. Intentar con factorizar Desarrollar el producto y simplificar. Indicar si existe un factor común entra numerador y denominador Calcular el límite Cambiar la integral por sustitución Se puede dejar a cargo de MathXpert, el cálculo de una integral simple en un solo paso. Absorber los nùmeros en la costante de integración. La integral del sinh es cosh. La integral del cosh es sinh. La integral del tanh es ln cosh. La integral del coth es ln sinh. La integral del csch es $ln tanh(u/2)$. La integral del $sech u$ es $arctan (sinh u)$. Desarrollar $(x -> 1/(1-x))$ en serie de potencias. Desarrollar $(x -> 1/(1+x))$ en serie de potencias. Calcular la suma del desarrollo en serie de $1/(1-x)$. Calcular la suma del desarrollo en serie de $1/(1+x)$. Desarrollar $(x -> 1/(1+x))$ en serie de potencias. Desarrollar $1/(1-x^k)$ en serie de potencias. Desarrollar $x^m/(1-x^k)$ en serie de potencias. Calcular la suma del desarrollo en serie de $1/(1-x^k)$. Calcular la suma del desarrollo en serie de $x^m/(1-x^k)$. Desarrollar $1/(1+x^k)$ en serie de potencias. Desarrollar $x^m/(1+x^k)$ en serie de potencias. Calcular la suma del desarrollo en serie de $1/(1+x^k)$. Calcular la suma del desarrollo en serie de $x^m/(1+x^k)$. Se puede desarrollar $x^k/(1-x)$ como serie geométrica Se puede desarrollar $x^k/(1+x)$ como serie geométrica Sumar la serie geométrica. Desarrollar $(x -> ln(1-x)$ en serie de potencias. Desarrollar $(x -> ln(1+x)$ en serie de potencias. Desarrollar $x -> ln(1+x)$ en serie de potencias. Calcular la suma del desarrollo en serie de $ln(1-x)$. Calcular la suma del desarrollo en serie de $ln(1+x)$. Desarrollar $sin x$ en serie de potencias. Desarrollar $cos x$ en serie de potencias. Sumar la serie por $sin x$. Sumar la serie por $cos x$. Desarrollar $e^x$ en serie de potencias. Sumar la serie por $e^x$. Desarrollar $e^-x$ en serie de potencias. Sumar la serie por $e^-x$. Desarrollar $arctan x$ en serie de potencias. Sumar la serie por arctan. Usar la serie binomial para desarrollar la potencia de una suma. Sumar la serie binomial Desarrollar $tan x$ en serie de potencias. Desarrollar $cot x$ o $x cot x$ en serie de potencias. Desarrollar $x/(e^x-1)$ en serie de potencias. Desarrollar $sec x$ o $1/cos x$ en serie de potencias. Desarrollar $\zeta(s)$ en serie de potencias. La serie armónica alterna tiene una suma conocida. Se puede expresar la serie en la forma $a_0 + a_1 + ... $ Se puede expresar la serie en la forma $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ Se puede expresar la serie usando ... en lugar de la notación sigma. Expresar la serie usando la notación sigma. Mostrar otro término antes del ... Mostrar más términos antes del ... Se está operando con una serie telescópica. Multiplicar la serie Dos series enteras se pueden multiplicar para producir una nueva serie entera. Una serie de potencias se puede dividir por un polinomio, gracias al proceso de división larga. Un polinomio se puede dividir por una serie, gracias al proceso de división larga. Una serie entera se puede dividir por otra serie entera, gracias al proceso de división larga. Se puede escribir el cuadrado de una serie como una serie doble. Se puede escribir el cuadrado de una serie entera como otra serie entera. La potencia de una serie de potencias se puede expresar como otra serie de potencias. Reagrupar la suma de dos series en una única serie. Reagrupar la diferencia de dos series en una única serie. Explicitar los primeros términos de la serie infinita. Quizá reduciendo el límite inferior de la serie (restando los nuevos términos) se pueda ofrecer la serie en forma estándar. Sumar el mismo término a la variable índice para poner la serie en una forma más manipulable. Restar el mismo término a la variable índice para poner la serie en una forma más manipulable. Renombrar la variable índice Descomponer la serie $\sum (a+b)$ en una suma de series $\sum a + \sum b$. Diferenciar término por término. Extraer la derivada fuera de la serie. Integrar término por término. Extraer la integral fuera de la serie. Calcular los primeros términos. Escribir la función como integral de la derivada. Así, se puede desarrollar la derivada en una serie y integrar término por término. Escribir la función como integral definida de su derivada. Así, se puede desarrollar la serie e integrarla término por término. Escribir la función como derivada de su integral. Así, se puede desarrollar la integral en una serie y diferenciar término por término. Resolver la constante de integración para eliminarla. Separar los términos con índice par e impar, obteniendo dos series. Se puede evidenciar que una serie es divergente mostrando que el término general no tiende a cero. Usar el test integral (de comparación de una serie con una integral). Usar el test de la razón, basado en el criterio de D'Alembert. Usar el test de la raíz, basado en el criterio de Cauchy. Con el test de comparación se prueba la convergencia; hallando una serie convergente del mayor término general. Con el test de comparación se prueba la divergencia; hallando una serie divergente del menor término general. Usar el test de comparación. Usar el test de condensaciones. Completar el test integral (de comparación de una serie con una integral). Completar el test de la raíz. Completar el test de la razón. Completar el test de la divergencia. Completar el test del comparación. Completar el test del comparación al límite. Completar el test del condensación. Se ha terminado de mostrar la convergencia de la serie de comparación. Ahora, debiera mostrarse el resultado positivo respecto de la convergencia de la serie original. Para mostrar esta opción, se debe seleccionar la línea corriente completa. Se ha terminado de mostrar la divergencia de la serie de comparación. Ahora, debiera mostrarse el resultado negativo respecto de la convergencia de la serie original. Para mostrar esta opción, se debe seleccionar la línea corriente completa. La serie armónica $$sum(1/k,k,1,infinity)$$ es divergente, porque la suma parcial hasta el término $n$ es aproximadamente $ln n$. Hay una fórmula para $$sum(1/k^2,k,1,infinity)$$ La suma dei términos $1/k^s$ converge y se denomina $\zeta (s) $. Los valores de la función $\zeta$ en números enteros puede calcolarse en términos de números de Bernoulli. Expresar un número complejo en forma polar para calcular su logaritmo, usando la igualdad $$ln(u+iv) = ln(r e^(i theta))$$ Usar la fórmula para logaritmos complejos $$ln(re^(i theta))=ln r + i theta$$ El detalle para aplicar esta regla, es que si $\theta $ no está entre $-\pi $ y $\pi $, quedará reducida a ese intervalo. Il logaritmo natural de i es $i\pi /2$, porque $\pi /2$ es el argumento de i Il logaritmo natural de -1 es $i\pi $, porque $-1 = e^(i\pi )$ Il logaritmo natural de -a es $ln a + i\pi $, porque $-1 = e^(i\pi )$. Esta fórmula asume que $a$ sea positiva. Desarrollar cos en términos de exponenciales complejas. Desarrollar sin en términos de exponenciales complejas. Para extraer una raíz compleja, se toma la raíz cuadrada del módulo y la mitad de la fase. Para extraer la raíz e$n$-èsima, se toma la raíz $n$-esima del módulo y dividir la fase por $n$. Desarrollar la exponencial compleja usando cos y sin Usar la famosa igualdad del Euler: $$e^(i pi) = -1 $$ Usar la famosa igualdad del Euler: $$e^(-i pi) = -1 $$ $$e^(2n pi i) = 1$$, porque mientras $\theta $ cambia, $e^i\theta $ traza una circunferencia unitaria. Mentre $\theta $ cambiar, $e^i\theta $ traza la circunferencia unitaria. Así, se pueden eliminar los múltiplos de $2 pi i$ en el exponente. Reformular la exponencial compleja en modo que tenga base $e$, usando la igualdad $$u^v = e^(v ln u)$$ $sin(it)$ se puede expresar usando el seno hiperbólico, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejos. $cos(it)$ se puede expresar usando el coseno hiperbólico, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejos. $sinh(it)$ se puede expresar como $i sin t$, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejas. $cosh(it)$ se puede expresar como $cos t$, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejas. $tan(it)$ se puede expresar usando la tangente hiperbólica, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejas. $cot(it)$ se puede expresar usando la cotangente hiperbólica, en lugar de desarrollarlo en exponenciales complejas. $tanh(it)$ se puede expresar como $i tan t$, en lugar de desarrollarlo su exponenciales. $coth(it)$ se puede expresar como $-i cot t$, en lugar de desarrollarlo su exponenciales. Usar un exponencial complejo por expresar $cos t + i sin t$ Usar un exponencial por expresar $cos t - i sin t$ Simplificar un expresión de los exponenciales complejos en un coseno. Simplificar un expresión de los exponenciales complejos en un seno. Usar la definición del cosh Reagrupar exponenciales en un término cosh Usar la definición del sinh Reagrupar exponenciales en un término sinh cosh es una función par sinh es una función impar Reagrupar el cosh y sinh usando los términos: $cosh u + sinh u = e^u$ Reagrupar el cosh y sinh usando los términos: $cosh u - sinh u = e^(-u)$ Ricorda $cosh 0 = 1$ Ricorda $sinh 0 = 0$ Expresar $e^x$ en términos de funciones hiperbólicas Expresar $e^(-x)$ en términos de funciones hiperbólicas Usar la igualdad $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ Usar la igualdad $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ Usar la igualdad $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ Usar la igualdad $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ Usar la igualdad $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ Usar la igualdad $1 - tan^2u = sech^2u$ Usar la igualdad $1 - sech^2u = tan^2u$ Expresar tanh en términos de sinh y cosh. Reagrupar sinh y cosh en tanh. Expresar coth en términos de cosh y sinh Reagrupar cosh y sinh en coth Expresar sech como inverso del cosh El inverso del cosh es sech Expresar csch como el inverso del sinh El inverso del sinh es csch Usar la fórmula $tanh^2 u + sech^2 u = 1$. Usar la fórmula $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$. Usar la fórmula $sech^2 u = 1 - tanh^2 u$. Usar la fórmula para sinh de una suma o de una diferencia Usar la fórmula para cosh de una suma o de una diferencia Usar la fórmula de duplicación de los ángulos: $sinh 2u = 2 sinh u cosh u$ Usar la fórmula de duplicación de los ángulos: $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ Hay una fórmula para simplificar $tanh(ln u)$. Existe una fórmula por expresar arcsinh en términos de logaritmos. Existe una fórmula por expresar arccosh en términos de logaritmos. Existe una fórmula por expresar arctanh en términos de logaritmos. $sinh(arcsinh x)$ es precisamente $x$. $cosh(arccosh x)$ es precisamente $x$. $tanh(arctanh x)$ es precisamente $x$. $coth(arccoth x)$ es precisamente $x$. $sech(arcsech x)$ es precisamente $x$. $csch(arccsch x)$ es precisamente $x$. La derivada del sinh es cosh La derivada del cosh es sinh La derivada del tanh es $sech^2$ La derivada del coth es $-csch^2$ La derivada del sech es $- sech tanh$ La derivada del csch es $- csch coth$ La derivada del ln sinh es coth La derivada del ln cosh es tanh La derivada del arcsinh es efectivamente una función algebraica La derivada del arccosh es efectivamente una función algebraica La derivada del arctanh es efectivamente una función algebraica La derivada del arccoth es efectivamente una función algebraica La derivada del arcsech es efectivamente una función algebraica La derivada del arccsch es efectivamente una función algebraica Eliminar la función sgn, porque su argumento es positivo. Eliminar la función sgn, porque su argumento es negativo. Eliminar la función sgn, porque su argumento es cero. sgn es una función impar Expresar sgn en términos de valor absoluto Expresar $|x|$ como $x sgn(x)$ Una potencia par es siempre positiva Una potencia impar del mismo signo de su base, cuando $sgn(x)$ elevato a una potencia impar $sgn(x)$ Porta sg al numerador usando $1/sgn(x) = sgn(x)$ sgn(x) es constante cuando x es no nulo, en este caso la derivada es nula. sgn(x) se puede integrar directamente. sgn(x) se puede sacar fuera del signo de la integral si el integrando no es nulo. sgn(x) se usa para reagrupar los casos de $x$ positivo y $x$ negativo, pero en ocasiones, deben ser tratados por separado. Incorporar los factores positivos dentro de la función sgn. Incorporar los factores negativos dentro de la función sgn, colocando un signo menos delante. Il signo de una potencia impar de $x$ es igual al signo del $x$. $1/x$ tiene el mismo signo $x$. $c/x$ la el mismo signo que $x$, si $x$ es positivo. Expresar $x sgn(x)$ como $|x|$. Expresar $|x| sgn(x)$ como $x$. La derivada del $J0$ es $-J1$ $d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x$ $d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x)$ La derivada del $Y0$ is $-Y1$ $d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x$ $d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$ La derivada del $I0$ is $-I1$ $d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x$ $d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$ La derivada del $K0$ is $-K1$ $d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x$ $d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$ Usar una función definida Distribuir productos en la suma y ordenar los términos resultantes. Multiplicar $a(b+c) = ab+ac$, y luego hacer una simplificación. Poner los factores en orden. Las fracciones deben tener un denominador común antes de calcular el límite. Empezar factorizando los denominadores si fuera necesario. Las fracciones deben tener un denominador común antes de calcular el límite. Las fracciones deben tener un denominador común antes de calcular el límite. Empezar eliminando el exponente negativo. Expresar la raíz cuadrada usando exponentes fraccionarios. Desarrollar el coseno de un ángulo doble. Eliminar $sin^2 t$ expresándolo en términos de $cos^2 t$. Eliminar $cos^2 t$ expresándolo en términos de $sin^2 t$. Eliminar $tan^2 t$ expresándola en términos de $sec^2 t$. Eliminar $sec^2 t$ expresándola en términos de $tan^2 t$. Multiplicar los coeficientes Calcular una raíz cuadrada simple. Sumar o restar el mismo término en ambos miembros. Factorizar uno de los sumandos para establecer un factor común explícito. Despuès se puede evidenciar el factor común. Efectuar una sustitución Multiplicar usando $a(b+c) = ab+ac$, y luego hacer una simplificación. Reformular funciones trigonométricas en términos de sin y cos de manera que los denominadores comunes se puedan sacar. Usar $ab+ac = a(b+c)$ para crear un término intermedio de una expresión cuadrática. Factorizar uno o ambos miembros de la igualdad si el resultado permite una simplificación. Un miembro es un cuadrado perfecto (u otra potencia). Factorizarlo. Efectuar de modo que todos los logaritmos tengan el mismo argumento usando la igualdad de los logaritmos de una potencia. Efectuar in modo que todos los logaritmos tengan el mismo argumento usando la igualdad de los logaritmos de una potencia. ficticio � & E > > ( E
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