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ELF > �> @ @ UH��}��E�H�H��H ]� arithmétique $sin 2\theta = 2 sin \theta cos \theta $ $cos 2\theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 1 - 2 sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 2 cos^2 \theta - 1$ $cos 2\theta + 1 = 2cos^2 \theta $ $cos 2\theta - 1 = - 2 sin^2 \theta $ $tan 2\theta = 2 tan \theta /(1 - tan^2 \theta )$ $cot 2\theta = (cot^2 \theta -1) / (2 cot \theta )$ $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ $cos^2 \theta - sin^2 \theta = cos 2\theta $ $1 - 2 sin^2 \theta = cos 2\theta $ $2 cos^2 \theta - 1 = cos 2\theta $ $n\theta = (n-1)\theta + \theta $ $n\theta = ?\theta +(n-?)\theta $ $sin 3\theta = 3 sin \theta - 4 sin^3 \theta $ $cos 3\theta = -3 cos \theta + 4 cos^3 \theta $ Développement de $sin n\theta $ en $sin \theta$, $cos \theta $ Développement de $cos n\theta $ en $sin \theta$, $cos \theta $ Multiplication en croix Permutation des deux membres Déplacement de ? de gauche à droite Déplacement de ? de droite à gauche Addition de ? aux deux membres Soustraction de ? des deux membres Multiplication des deux membres par ? Simplification d'un terme présent dans les deux membres Elévation des deux membres à une même puissance Composition des deux membres par la fonction racine carrée Composition des deux membres par une fonction racine Composition des deux membres par une même fonction Vérification numérique Procêde à un changement de variable de la forme u = ? $sin(u)=1/2$ si et seulement si $u=\pi /6$ ou $5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=-1/2$ si et seulement si $u=-\pi /6$ ou $-5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=\sqrt 3/2$ si et seulement si $u=\pi /3$ ou $2\pi /3+2n\pi $ $sin(u)=-\sqrt 3/2$ si et seulement si $4u=-\pi /3$ ou $-2\pi /3+2n\pi $ $cos(u)=\sqrt 3/2$ si et seulement si $u=\pm \pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=-\sqrt 3/2$ si et seulement si $u=\pm 5\pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=1/2$ si et seulement si $u=\pm \pi /3+2n\pi $ $cos(u)=-1/2$ si et seulement si $u=\pm 2\pi /3+2n\pi $ $tan(u)=1/\sqrt 3$ si et seulement si $u= \pi /6 + n\pi $ $tan(u)=-1/\sqrt 3$ si et seulement si $u= -\pi /6 + n\pi $ $tan(u)=\sqrt 3$ si et seulement si $u= \pi /3 + n\pi $ $tan(u)=-\sqrt 3$ si et seulement si $u= 2\pi /3 + n\pi $ $sin u = 1/\sqrt 2$ si $u=\pi /4$ ou $3\pi /4 + 2n\pi $ $sin u=-1/\sqrt 2$ si $u=5\pi /4$ ou $7\pi /4 + 2n\pi $2 $cos u = 1/\sqrt 2$ si $u=\pi /4$ ou $7\pi /4 + 2n\pi $ $cos u=-1/\sqrt 2$ si $u=3\pi /4$ ou $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = 1 si $u= \pi /4$ ou $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = -1 si $u=3\pi /4$ ou $7\pi /4 + 2n\pi $ sin u = 0 si et seulement si $u = n\pi $ sin u = 1 si et seulement si $u = \pi /2+2n\pi $ sin u = -1 si et seulement si $u = 3\pi /2+2n\pi $ cos u = 0 si et seulement si $u = (2n+1)\pi /2$ cos u = 1 si et seulement si $u = 2n\pi $ cos u = -1 si et seulement si $u = (2n+1)\pi $ tan u = 0 si et seulement si sin u = 0 cot u = 0 si et seulement si cos u = 0 sin u=c si et seulement si $u= (-1)^narcsin c+n\pi $ sin u=c si et seulement si $u=arcsin(c)+2n\pi $ or $2n\pi +\pi -arcsin(c)$ cos u=c si et seulement si $u=\pm arccos c+2n\pi $ tan u=c si et seulement si $u=arctan c+n\pi $ Calcul exact du l'arcsin Calcul exact de l'arccos Calcul exact de l'arctan arccot x = arctan (1/x) arcsec x = arccos (1/x) arccsc x = arcsin (1/x) arcsin(-x) = -arcsin x $arccos(-x) = \pi -arccos x$ arctan(-x) = -arctan x Exprime les solutions sous forme périodique Si |c|>1, il n'existe pas de u tel que sin u = c Si |c|>1, il n'existe pas de u tel que cos u = c $tan(arcsin x) = x/\sqrt (1-x^2)$ $tan(arccos x) = \sqrt (1-x^2)/x$ tan(arctan x) = x sin(arcsin x) = x $sin(arccos x) = \sqrt (1-x^2)$ $sin(arctan x) = x/\sqrt (x^2+1)$ $cos(arcsin x) = \sqrt (1-x^2)$ cos(arccos x) = x $cos(arctan x) = 1/\sqrt (x^2+1)$ $sec(arcsin x) = 1/\sqrt (1-x^2)$ $sec(arccos x) = 1/x$ $sec(arctan x) = \sqrt (x^2+1)$ $arctan(tan \theta ) = \theta $6 si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta ) = \theta $ si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta ) = \theta $ si $0\le \theta \le \pi $ arctan(tan x) = x + c1 arcsin x + arccos x = $\pi /2$ $arctan x + arctan 1/x = \pi x/2|x|$ $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $ $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $ $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(\pi /2-\theta )$ $cos \theta = sin(\pi /2-\theta )$ $tan \theta = cot(\pi /2-\theta )$ $cot \theta = tan(\pi /2-\theta )$ $sec \theta = csc(\pi /2-\theta )$ $csc \theta = sec(\pi /2-\theta )$ $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $ $cos(90\deg -\theta ) = sin \theta $ $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $ $cot(90\deg -\theta ) = tan \theta $ $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $ $csc(90\deg -\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(90\deg -\theta )$ $cos \theta = sin(90\deg -\theta )$ $tan \theta = cot(90\deg -\theta )$ $cot \theta = tan(90\deg -\theta )$ $sec \theta = csc(90\deg -\theta )$ $csc \theta = sec(90\deg -\theta )$ $a\deg + b\deg = (a+b)\deg $ $ca\deg = (ca)\deg $ $a\deg /c = (a/c)\deg $ sin(-u) = - sin u cos(-u) = cos u tan(-u) = - tan u cot(-u) = - cot u sec(-u) = sec u csc(-u) = - csc u $sin^2(-u) = sin^2 u$ $cos^2(-u) = cos^2 u$ $tan^2(-u) = tan^2 u$ $cot^2(-u) = cot^2 u$ $sec^2(-u) = sec^2 u$ $csc^2(-u) = csc^2 u$ $sin(u+2\pi ) = sin u$ $cos(u+2\pi ) = cos u$ $tan(u+\pi ) = tan u$ $sec(u+2\pi ) = sec u$ $csc(u+2\pi ) = csc u$ $cot(u+\pi ) = cot u$ $sin^2(u+\pi ) = sin^2 u$ $cos^2(u+\pi ) = cos^2 u$ $sec^2(u+\pi ) = sec^2 u$ $csc^2(u+\pi ) = csc^2 u$ $sin u = -sin(u-\pi )$ $sin u = sin(\pi -u)$ $cos u = -cos(u-\pi )$ $cos u = -cos(\pi -u)$ $sin^2(\theta /2) = (1-cos \theta )/2$ $cos^2(\theta /2) = (1+cos \theta )/2$ $sin^2(\theta ) = (1-cos 2\theta )/2$ $cos^2(\theta ) = (1+cos 2\theta )/2$ $tan(\theta /2) = (sin \theta )/(1+cos \theta )$ $tan(\theta /2) = (1-cos \theta )/sin \theta $ $cot(\theta /2) = (1+cos \theta )/(sin \theta )$ $cot(\theta /2) = sin \theta /(1-cos \theta )$ $sin(\theta /2) = \sqrt ((1-cos \theta )/2)$ si $sin(\theta /2)\ge 0$ $sin(\theta /2) = -\sqrt ((1-cos \theta )/2)$ si $sin(\theta /2)\le 0$ $cos(\theta /2) = \sqrt ((1+cos \theta )/2)$ si $cos(\theta /2)\ge 0$ $cos(\theta /2) = -\sqrt ((1+cos \theta )/2)$ si $cos(\theta /2)\le 0$ $\theta = 2(\theta /2)$ $sin x cos x = \onehalf sin 2x$ $sin x cos y = \onehalf [sin(x+y)+sin(x-y)]$ $cos x sin y = \onehalf [sin(x+y)-sin(x-y)]$ $sin x sin y = \onehalf [cos(x-y)-cos(x+y)]$ $cos x cos y = \onehalf [cos(x+y)+cos(x-y)]$ $sin x + sin y = 2 sin \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $sin x - sin y = 2 sin \onehalf (x-y) cos \onehalf (x+y)$ $cos x + cos y = 2 cos \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $cos x - cos y = -2 sin \onehalf (x+y) sin \onehalf (x-y)$ Remplacer $u,v$ dans fonctions trig. Expérimentation numérique $lim u\pm v = lim u \pm lim v$ $lim u-v = lim u - lim v$ $$lim(t->a,c) = c$$ (c constante) $$lim(t->a,t) = a$$ lim cu=c lim u (c constante) lim -u = -lim u lim uv = lim u lim v $lim u^n = (lim u)^n$ lim c^v=c^(\lim v) (c constante > 0) lim u^v=(lim u)^(\lim v) $lim \sqrt u=\sqrt (lim u)$ si lim u>0 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ si n est impair $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ si lim u > 0 $$lim(t->a,f(t))=f(a)$$ (f polynôme) lim |u| = |lim u| lim cu/v = c lim u/v (c const) lim c/v = c/lim v (c const) lim u/v = lim u/lim v Mise en facteur de (x-a)^n dans l'étude de la limite lorsque x tend vers a Limite d'une fonction rationnelle $a^n/b^n = (a/b)^n$ Rationalisation de la fonction Séparation des termes ayant une limite finie non nulle Mise en facteur des constantes Multiplication du numérateur et du dénominateur par ? Division du numérateur et du dénominateur par ? lim u/v = lim (u/?) / lim (v/?) (ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ si b>0 $\sqrt a/b = -\sqrt (a/b^2)$ si b<0 $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (b>0 ou n impair) $^n\sqrt a/b = -^n\sqrt (a/b^n)$ (b<0, n pair) $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ si $a\ge 0$ $a/\sqrt b = -\sqrt (a^2/b)$ si $a\le 0$ $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\ge 0$ ou n impair) $a/^n\sqrt b = -^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\le 0$, n pair) Rêgle de l'Hospital Évaluation de la dérivée en une seule étape lim u ln v = lim (ln v)/(1/u) $lim u (ln v)^n = lim (ln v)^n/(1/u)$ $lim x^(-n) u = lim u/x^n$ lim u e^x = lim u/e^(-x) Déplacement des fonctions trigonométriques au dénominateur lim ?v = lim v/(1/?) Mise au même dénominateur et simplification du numérateur (sin t)/t \to 1 lorsque t\to 0 (tan t)/t \to 1 lorsque t\to 0 (1-cos t)/t \to 0 lorsque t\to 0 $(1-cos t)/t^2\to \onehalf $ lorsque t\to 0 $$lim(t->0,(1+t)^(1/t)) = e$$ $(ln(1\pm t))/t \to \pm 1$ lorsque t\to 0 (e^t-1)/t \to 1 lorsque t\to 0 (e^(-t)-1)/t \to -1 lorsque t\to 0 $lim(t\to 0,t^nln |t|)=0 (n > 0)$ lim(t\to 0,cos(1/t)) n'existe pas lim(t\to 0,sin(1/t)) n'existe pas lim(t\to 0,tan(1/t)) n'existe pas lim(t\to \pm \infty cos t) n'existe pas lim(t\to \pm \infty sin t) n'existe pas lim(t\to \pm \infty tan t) n'existe pas (sinh t)/t \to 1 lorsque t\to 0 (tanh t)/t \to 1 lorsque t\to 0 (cosh t - 1)/t \to 0 lorsque t\to 0 (cosh t - 1)/t^2\to 1/2 lorsque t\to 0 lim ln u=ln lim u (si lim u > 0) Si f est continue, lim f(u)=f(lim u) Changement de variable dans la limite Calcul de la limite en une seule étape $$lim(t->a, u^v) = lim(t->a, e^(v ln u))$$ Domaine ne permettant pas l'existence de la limite $$lim(t->a,u) = e^(lim(t->a, ln u))$$ Théorême d'absorption: uv\to 0 if v\to 0 et $|u|\le c$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/(\sqrt u+v)$ lim u/v = limit des termes dominants Terme dominant: lim(u+a) = lim(u) si a/u\to 0 Remplacement de la somme par son terme dominant f(non-défini) = non-défini $$lim(t->a,e^u) = e^(lim(t->a, u))$$ lim(ln u) = ln(lim u) $$lim(t->0+,t ln t) = 0$$ $$lim(t->0+,t^n ln t) = 0$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->0+,t (ln t)^n) = 0$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->0+,t^k (ln t)^n) = 0$$ si $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)/t) = 0$$ $$lim(t->infinity ,ln(t)^n/t) = 0$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)/t^n) = 0$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)^k/t^n) = 0$$ si $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t/ln(t)) = infinity $$ $$lim(t->infinity ,t/ln(t)^n) = infinity$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t^n/ln(t)) = infinity$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t^n/ln(t)^k) = infinity$$ si $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,1/t^n) = 0$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity,t^n) = infinity$$ si $n\ge 1$ $$lim(t->infinity,e^t) = infinity$$ $$lim(t->-infinity,e^t) = 0$$ $$lim(t->infinity,ln t) = infinity $$ $$lim(t->infinity,\sqrt t) = infinity $$ $$lim(t->infinity,t^n\sqrt t) = infinity $$ $lim(t\to\pm \infty ,arctan t) = \pm \pi /2$ $$lim(t->infinity,arccot t) = 0$$ $$lim(t->-infinity,arccot t) = pi $$ $lim(t\to\pm \infty ,tanh t) = \pm 1$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ lim sin u = sin(lim u) lim cos u = cos(lim u) Transformer une limite à $\infty $ en une limite à 0 lim u/v = limite des termes principaux $$lim(u->0, 1/u^(2n)) = infinity $$ $lim(1/u^n)$ est indéfini si $u\to0$ et $n$ est impair $$lim(t->a+,1/u^n) = infinity $$ si $u\to0$ $$lim(t->a-,1/u^n)=-infinity $$ si $u\to0$ et $n$ est impair $lim u/v$ est indéfini si $lim v =0$ et $lim u \neq 0$ $$lim(t-> 0+,ln t) = -infinity $$ $lim(t\to(2n+1)\pi /2\pm ,tan t) = \pm \infty $ $lim(t\to n\pi \pm ,cot t) = \pm \infty $ $lim(t\to(2n+1)\pi /2\pm ,sec t) = \pm \infty $ $lim(t\to n\pi \pm ,csc t) = \pm \infty $ $lim(uv) = lim(u/?) lim(?v)$ $lim(uv) = lim(?u) lim(v/?)$ $\pm \infty $/(strictement positif) = $\pm \infty $ nonnul/$\pm \infty $ = 0 (strictement positif)$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty $ + fini = $\pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $$u^infty = infty $$ si $u > 1$ $$u^infty = 0$$ si $0 < u < 1$ $$u^(-infty ) = 0$$ si $u > 1$ $$u^(-infty ) = infty $$ si $0 < u < 1$ $\infty ^n = infty $ si $n > 0$ $\infty - \infty =$ est une forme indéterminée $a/0+ = \infty $ si a>0 $a/0- = -\infty $ si a>0 a/0 est une forme indéterminée $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0$ est une forme indéterminée $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty $ si a > 0 $a/0^2 = -\infty $ si a < 0 $a/0^2^n = \infty $ si a > 0 $a/0^2^n = -\infty $ si a < 0 $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ Les fonctions trigonométriques usuelles n'ont pas de limite en $+?$. $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ Si c est une constante, dc/dx=0 dx/dx = 1 $d/dx (u \pm v) = du/dx \pm dv/dx$ d/dx (-u) = -du/dx d/dx(cu)=c du/dx (c indep of x) d/dx x^n = n x^(n-1) Dérivation de polynôme f'(x) = d/dx f(x) $$diff(f,x) = lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)$$ d/dx (cu) = c du/dx (c constante) d/dx (u/c)=(1/c)du/dx (c constante) d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) d/dx (1/v) = -(dv/dx)/v^2 d/dx (u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/v^2 $d/dx \sqrt x = 1/(2\sqrt x)$ $$diff(root(n,x),x)= diff( x^(1/n),x)$$ $$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$ d/dx |x| = x/|x| d/dx sin x = cos x d/dx cos x = - sin x d/dx tan x = sec^2 x d/dx sec x = sec x tan x d/dx cot x = - csc^2 x d/dx csc x = - csc x cot x d/dx e^x = e^x d/dx c^x = (ln c) c^x, c constante $$diff(u^v,x)= diff( e^(v ln u),x)$$ d/dx ln x = 1/x d/dx ln |x| = 1/x dy/dx = y (d/dx) ln y d/dx e^u = e^u du/dx d/dx c^u=(ln c)c^u du/dx, c const d/dx ln u = (1/u)(du/dx) d/dx ln |u| = (1/u) du/dx d/dx ln(cos x) = -tan x d/dx ln(sin x) = cot x $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ d/dx u^n = nu^(n-1) du/dx $d/dx \sqrt u = (du/dx)/(2\sqrt u)$ d/dx sin u = (cos u) du/dx d/dx cos u = -(sin u) du/dx $d/dx tan u = (sec^2 u) du/dx$ d/dx sec u=(sec u tan u) du/dx $d/dx cot u = -(csc^2 u) du/dx$ d/dx csc u=-(csc u cot u) du/dx d/dx |u| = (u du/dx)/|u| d/dx f(u) = f'(u) du/dx changement de variable de la forme u = ? Elimination d'une variable ayant été définie Etude des points d'annulation de la dérivée Etude des bornes de l'intervalle d'étude Etude des points de non dérivabilité Détermination de slimites de la fonction aux bornes de l'intervalle Rejet des points situés en dehors de l'intervalle d'étude Etablissement d'une table donnant pour chaque point candidat la valeur décimale de la fonction en ce point Etablissement d'une table donnant pour chaque point candidat la valeur exacte de la fonction en ce point Choix de la borne supérieure Choix d ela borne inférieure Calcul d ela dérivée en une seule étape Résolution d'une équation élémentaire Détermination de la limite en une seule étape Elimination de paramêtres entiers La fonction est constante Calcul de la dérivée Simplification Différentiation de l'équation Calcul de la dérivée en une seule étape Elimination de la dérivée grâce à un changement de variable Simplification des sommes et produits Elimination des fractions composées Mise au même dénominateur et simplification Mise en facteur du terme commun Factorisation de l'expression Développement des produits et simplification Mise en évidence du facteur commun dans u/v Ecriture sous forme polynomiale (en ?) Ecriture comme un polynôme Remise à 1 du coefficient dominant $x^(\onehalf) = \sqrt x$ Conversion des exposants rationnels en racines Conversion en racines des exposants rationnels u=v => du/dx = dv/dx $d^2u/dx^2 = (d/dx)(du/dx)$ $d^nu/dx^n= d/dx d^(n-1)u/dx^(n-1)$ $d/dx du/dx = d^2u/dx^2$ $d/dx d^nu/dx^n = d^(n+1)/dx^(n+1)$ Évaluation d'une dérivée en une seule étape Évaluation numérique en un point $\int 1 dt = t$ $\int c dt = ct$ (c constante) $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt$ (c constante) $\int (-u)dt = -\int u dt$ $\int u+v dt = \int u dt + \int v dt$ $\int u-v dt = \int u dt - \int v dt$ $\int au\pm bv dt = a\int u dt \pm b\int v dt$ $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n \ne -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n \ne 0)$ Intégration ou primitivation de polynômes $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Développement des produits dans l'intégrande Développement de $(a+b)^n$ dans l'intégrande $\int |t| dt = t|t|/2$ $\int sin t dt = -cos t$ $\int cos t dt = sin t$ $\int tan t dt = -ln |cos t|$ $\int cot t dt = ln |sin t|$ $\int sec t dt = ln |sec t + tan t|$ $\int csc t dt = ln |csc t - cot t|$ $\int sec^2 t dt = tan t$ $\int csc^2 t dt = -cot t$ $\int tan^2 t dt = tan t - t$ $\int cot^2 t dt = -cot t - t$ $\int sec t tan t dt = sec t$ $\int csc t cot t dt = -csc t$ $\int sin ct dt = -(1/c) cos ct$ $\int cos ct dt = (1/c) sin ct$ $\int tan ct dt = -(1/c) ln |cos ct|$ $\int cot ct dt = (1/c) ln |sin ct|$ $\int sec ct dt = (1/c) ln |sec ct + tan ct|$ $\int csc ct dt = (1/c) ln |csc ct - cot ct|$ $\int sec^2 ct dt = (1/c) tan ct$ $\int csc^2 ct dt = -(1/c) cot ct$ $\int tan^2 ct dt = (1/c) tan ct - t$ $\int cot^2 ct dt = -(1/c) cot ct - t$ $\int sec ct tan ct dt = (1/c) sec ct$ $\int csc ct cot ct dt = -(1/c) csc ct$ $\int e^t dt = e^t$ $\int e^ct dt =(1/c) e^(ct)$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-ct)dt = -(1/c) e^(-ct)$ $$integral( e^(t/c),t) = c e^(t/c)$$ $\int c^t dt = (1/ln c) c^t$ $$ integral(u^v,t) = integral (e^(v ln u),t)$$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral(e^(-t^2),t) = sqrt(pi)/2 Erf(t)$$ Choix de la fonction pour le changement de variable, u = ? Chix par l'ordinateur de la fonction u utilisée dans le changement de variable Dérivation de l'équation Ré-affichage de l'intégrale Intégrande = $f(u) \times du/dx$ $\int f(u) (du/dx) dx = \int f(u) du$ Élimination d'une variable ayant été définie Intégration par changement de variable (u = ?) Intégration par changement de variable Intégrer par substitution et afficher les étapes $\int u dv = uv - \int v du (u = ?)$ $\int u dv = uv - \int v du$ Ligne courante désormais considérée comme ligne d'origine Déplacement dans le membre de gauche de l'intégrale d'origine Évaluation d'une intégrale simple $$integral(f'(x),x,a,b)=f(b)-f(a)$$ $$diff(integral(f(t),t,a,x),x) = f(x)$$ $$eval(f(t),t,a,b) = f(b) - f(a)$$ $$eval(ln f(t),t,a,b) = ln(f(b)/f(a))$$ $$integral(u,t,a,b) = - integral(u,t,b,a)$$ $$integral(u,t,a,b) + integral(u,t,b,c) = integral(u,t,a,c)$$ $$integral(u,t,a,c) = integral(u,t,a,?) + integral(u,t,?,c)$$ Coupe l'intégrale $\int |f(t)| dt$ aux zéros de f Calcul numérique de l'intégrale avec paramêtre Calcul numérique de l'intégrale $$integral(u,t,a,a) = 0$$ $$integral(u,x,a,infinity) = lim(t->infinity,integral(u,x,a,t))$$ $$integral(u,x,-infinity,b) = lim(t->-infinity,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->a+,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->b-,integral(u,x,a,t))$$ Lintégrande ne tend pas vers 0 en $\infty $ Lintégrande ne tend pas vers 0 en $-\infty $ $$integral(u,t,-a,a) = 0$$ (u impair) $$integral(u,t,-a,a) = 2 integral(u,t,0,a)$$ (u pair) $x = a sin \theta pour \sqrt (a^2-x^2)$ $x = a tan \theta pour \sqrt (a^2+x^2)$ $x = a sec \theta pour \sqrt (x^2-a^2)$ $x = a sinh \theta pour \sqrt (a^2+x^2)$ $x = a cosh \theta pour \sqrt (x^2-a^2)$ $x = a tanh \theta pour \sqrt (a^2-x^2)$ Définition de la fonction réciproque pour le changement de variable, x = ? Intégration élémentaire en une seule étape $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ dans l'intégrale $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ dans l'intégrale u=cos x aprês avoir utilisé $sin^2=1-cos^2$ u=sin x aprês avoir utilisé $cos^2=1-sin^2$ u=tan x aprês avoir utilisé $sec^2=1+tan^2$ u=cot x aprês avoir utilisé $csc^2=1+cot^2$ u=sec x aprês avoir utilisé $tan^2=sec^2-1$ u=csc x aprês avoir utilisé $cot^2=csc^2-1$ $tan^2 x = sec^2 x - 1$ dans l'intégrande $2cot^2 x = csc^2 x - 1$ dans l'intégrande Reduction de $\int sec^n x dx$ Réduction de $\int csc^n x dx$ u = tan(x/2) (Changement de variable de Weierstrass) Multiplication du numérateur et du dénominateur par 1+cos x Multiplication du numérateur et du dénominateur par 1-cos x Multiplication du numérateur et du dénominateur par 1+sin x Multiplication du numérateur et du dénominateur par 1-sin x Multiplication du numérateur et du dénominateur par sin x+cos x Multiplication du numérateur et du dénominateur par cos x-sin x Division polynomiale Factorisation du dénominateur (si facile) Factorisation sans carrés Factorisation numérique du polynôme Décomposition en éléments simples Forme canonique $\int 1/(ct\pm b) dt = (1/c) ln |ct\pm b|$ $\int 1/(ct\pm b)^(n+1) dt = -1/nc(ct\pm b)^n$ $\int 1/(t^2+a^2)dt=(1/a)arctan(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/a)arccoth(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/2a)ln|(t-a)/(t+a)|$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/a)arctanh(t/a)$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/2a)ln|(t+a)/(a-t)|$ $\int 1/\sqrt (a^2-t^2)dt = arcsin(t/a)$ $\int 1/\sqrt (t^2\pm a^2)dt)=ln|t+\sqrt (t^2\pm a^2)|$ $\int 1/(t\sqrt (t^2-a^2))dt=(1/a)arccos(t/a)$ Changement de variable amenant à une fraction rationnelle $\int arcsin z dz = z arcsin z + \sqrt (1-z^2)$ $\int arccos z dz = z arccos z - \sqrt (1-z^2)$ $\int arctan z dz = z arctan z - (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccot z dz = z arccot z + (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ Élimination des fractions composées Factorisation de l'expression (non entiêre) Miseen évidence du facteur commun dans u/v Résolution d'une équation simple Évaluation d'une limite en une seule étape Modification de l'intégrale grâce à un changement de variable Absorption du nombre dans la constante de primitivation $\int sinh u du = cosh u$ $\int cosh u du = sinh u$ $\int tanh u du = ln cosh u$ $\int coth u du = ln sinh u$ $\int csch u du = ln tanh(u/2)$ $\int sech u du = arctan (sinh u)$ $$1/(1-x) = sum(x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...x^n...$ $$1/(1+x) = sum((-1)^n x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...(-1)^nx^n...$ $$sum(x^n,n,0,infinity)=1/(1-x)$$ $1+x+x^2+... = 1/(1-x)$ $1+x+x^2+...x^n...= 1/(1-x)$ $$sum((-1)^n x^n,n,0,infinity) = 1/(1+x)$$ $1-x+x^2+... = 1/(1+x)$ $1-x+x^2+...(-1)^nx^n... = 1/(1+x)$ $$x/(1-x) = sum(x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1-x) = x+x^2+x^3+...$ $x/(1-x) = x+x^2+...x^n...$ $$x/(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1+x) = x-x^2+x^3+...$ $x/(1+x) = x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...$ $$sum(x^n,n,1,infinity)=x/(1-x)$$ $x+x^2+x^3+...=x/(1-x)$ $x+x^2+...x^n...=x/(1-x)$ $$sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)=x/(1+x) $$ $x-x^2+x^3+...=x/(1+x) $ $x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...=x/(1+x) $ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1-x^k)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1+x^k)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,2)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1-x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1+x)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1-x) =- sum(x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity) = -ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)=-ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,2)=-ln(1-x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1+x)$$ $$ sin x = sum( (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity)$$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+...$ $$cos x = sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity)$$ $cos x = 1-\onehalf x^2+x^4/4! + ...$ $cos x = 1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+...$ $$sum((-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity) = sin x$$ $x-x^3/3!+x^5/5!+... = sin x$ $x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+... = sin x$ $$sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity) = cos x$$ $1-\onehalf x^2+x^4/4! + ... = cos x$ $1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+... = cos x$ $$e^x = sum(x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^x = 1+x+x^2/2!+...$ $e^x = 1+x+...+x^n/n!...$ $$sum(x^n/n!,n,0,infinity)= e^x$$ $1+x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^x$ $1+x+...+x^n/n!... = e^x$ $$e^(-x) = sum((-x)^n x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^(-x) = 1-x+x^2/2!+...$ $e^(-x) = 1-x+...(-1)^nx^n/n!...$ $$sum((-1)^nx^n/n!,n,0,infinity)= e^(-x)$$ $1-x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^(-x)$ $1-x+...+(-1)^nx^n/n!... = e^(-x)$ $$arctan x = sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity)$$ $arctan x = x -x^3/3 + x^5/5 ...$ $arctan x = x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...$ $$sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity) = arctan x$$ $x -x^3/3 + x^5/5 ...=arctan x$ $x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...=arctan x$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)= (1+x)^alpha$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$sec x = sum( (-1)^n (eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-3)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-2)$$ $$sum((-1)^n/n,n,1,infinity) = ln 2$$ Ecriture de la série sou la forme $a_0 + a_1 + ...$ Ecriture de la série sous la forme $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ Ecriture de la série à l'aide de ... et du terme général Ecriture de la série à l'aide de la notation sigma Ecriture d'un autre terme avant ... Ecriture de ? termes suplémentaires avant ... Ecriture des termes après calcul des factorielles. Absence d'évaluation des factorielles dans les termes Ecriture décimale des coefficients Absence d'utilisation de l'écriture décimale pour les coefficients Série amalgamante Multiplication de séries Multiplication de séries entières Division d'une série entière par un polynôme Division d'un polynôme par une série entière Division de séries entières Carré d'une série Carré d'une série entière Ecriture de $(\sum a_k x^k)^n$ comme une série addition de séries Soustraction de séries Affichage des premiers termes Abaissement de la borne inférieure par soustraction de termes Addition de ? à la variable d'indice Soustraction de ? de la variable d'indice Changement de nom de la variable d'indexation $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ Dérivation terme à terme de la série entière $\sum du/dx = d/dx \sum u$ Intégration terme à terme de la série entière $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ Calcul de la somme des tous premiers termes $$u = integral(diff(u,x),x)$$ $$u = integral(diff(u,t),t,0,x) + u0$$ $$u = diff(integral(u,x),x)$$ Détermination de la constante de primitivation $\sum a_k = \sum a_(2k) + \sum a_(2k+1)$ $\sum u$ diverge si u ne tend pas vers zéro Rêgle de comparaison avec une intégrale Rêgle de D'Alembert Rêgle de Cauchy Rêgle de comparaison pour convergence Rêgle de comparaison pour divergence Rêgle des équivalents Rêgle de condensation de Cauchy Fin du test de la divergence Achêvement de la comparaison avec une intégrale Achêvement de la mise en ouvre de la rêgle de D'Alembert Achêvement de la mise en ouvre de la rêgle de Cauchy Achêvement de la comparaison Achêvement de la comparaison par équivalents Achêvement de la mise en ouvre de la rêgle de condensation de Cauchy Resultat de la règle de comparaison. $$sum(1/k,k,1,infinity) = infinity$$ $$sum(1/k^2,k,1,infinity) = pi^2/6$$ $$sum(1/k^s,k,1,infinity) = zeta(s)$$ $$zeta(2k) = (2^(2k-1) abs(bernoulli(2k)) pi^(2k))/factorial(2k)$$ $$ln(u+iv) = ln(re^(i theta ))$$ $$ln(re^(i theta ))=ln r + i theta$$ $(-\pi <\theta \le \pi )$ $ln i = i\pi /2$ $ln(-1) = i\pi $ $ln(-a) = ln a + i\pi (a > 0)$ $$cos theta = (e^(i theta ) + e^(-i theta ))/2$$ $$sin theta = (e^(i theta ) - e^(-i theta ))/(2i)$$ $$sqrt(re^(i theta))=sqrt(r) e^(i theta/2)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$root(n,re^(i theta))=root(n,r) e^(i theta/n)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$e^(i theta ) = cos theta + i sin theta $$ $$e^(x+iy) = e^x cos y + i e^x sin y$$ $$e^(i pi ) = -1$$ $$e^(-ipi ) = -1$$ $$e^(2n pi i) = 1$$ $$e^((2n pi + theta )i) = e^(i theta )$$ $$u^v = e^(v ln u)$$ sin(it) = i sinh t cos(it) = cosh t cosh(it) = cos t sinh(it) = i sin t tan(it) = i tanh t cot(it) = -i coth t tanh(it) = i tan t coth(it) = -i cot t cos t + i sin t = e^(it) cos t - i sin t = e^(-it) $$(e^(i theta ) + e^(-i theta ))/2 = cos theta $$ $$(e^(i theta ) - e^(-i theta ))/2i = sin theta $$ $$e^(i theta ) + e^(-i theta ) = 2 cos theta $$ $$e^(i theta ) - e^(-i theta ) = 2i sin theta $$ cosh u = (e^u+e^(-u))/2 e^u + e^-u = 2 cosh u sinh u = (e^u-e^(-u))/2 e^u-e^(-u) = 2 sinh u [e^u + e^-u]/2 = cosh u [e^u-e^(-u)]/2 = sinh u cosh(-u) = cosh u sinh(-u) = -sinh u cosh u + sinh u = e^u cosh u - sinh u = e^(-u) cosh 0 = 1 sinh 0 = 0 e^x = cosh x + sinh x e^(-x) = cosh x - sinh x $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ $1 - tan^2u = sech^2u$ $1 - sech^2u = tan^2u$ tanh u = sinh u / cosh u sinh u / cosh u = tanh u coth u = cosh u / sinh u cosh u / sinh u = coth u sech u = 1 / cosh u 1 / cosh u = sech u csch u = 1 / sinh u 1 / sinh u = csch u $tanh^2 u + sech^2 u = 1$ $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$ $sech^2 u = 1 - tanh^2 u $ $sinh(u\pm v)=sinh u cosh v \pm cosh u sinh v$ $cosh(u\pm v)=cosh u cosh v \pm sinh u sinh v$ sinh 2u = 2 sinh u cosh u $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ $tanh(ln u) = (1-u^2)/(1+u^2)$ $arcsinh x = ln(x + \sqrt (x^2+1))$ $arccosh x = ln(x + \sqrt (x^2-1))$ $arctanh x = (1/2) ln((1+x)/(1-x))$ $sinh(asinh x) = x$ $cosh(acosh x) = x$ $tanh(atanh x) = x$ $coth(acoth x) = x$ $sech(asech x) = x$ $csch(acsch x) = x$ $d/du sinh u = cosh u$ $d/du cosh u = sinh u$ $d/du tanh u = sech^2 u$ $d/du coth u = -csch^2 u$ $d/du sech u = -sech u tanh u$ $d/du csch u = -csch u coth u$ $d/du ln sinh u = coth u$ $d/du ln cosh u = tanh u$ $d/du arcsinh u = 1/\sqrt (u^2+1)$ $d/du arccosh u = 1/\sqrt (u^2-1)$ $d/du arctanh u = 1/(1-u^2)$ $d/du arccoth u = 1/(1-u^2)$ $d/du arcsech u= -1/(u\sqrt (1-u^2))$ $d/du arccsch u= -1/(|u|\sqrt (u^2+1))$ sgn(x) = 1 si x > 0 sgn(x) = -1 si x < 0 sgn(0) = 0 sgn(-x) = -sgn(x) -sgn(x) = sgn(-x) sgn(x) = |x|/x (x non nul) sgn(x) = x/|x| (x non nul) abs(x) = x sgn(x) $sgn(x)^(2n)? = 1$ sgn(x)^(2n+1) = sgn(x) 1/sgn(x) = sgn(x) d/dx sgn(u) = 0 (u non nul) $\int sgn(x) = x sgn(x)$ $\int sgn(u)v dx = sgn(u)\int v dx$ (u non-nul) sgn(x) = 1 lorsque x > 0 sgn(x) = -1 lorsque x < 0 sgn(au) = sgn(u) si a > 0 sgn(au) = -sgn(u) si a < 0 sgn(au/b) = sgn(u) si a/b > 0 sgn(au/b) = - sgn(u) si a/b < 0 sgn(x^(2n+1)) = sgn(x) sg(1/u) = sg(u) sg(c/u) = sg(u) si c > 0 u sg(u) = |u| |u| sg(u) = u $$diff(J(0,x),x) = -J(1,x)$$ $$diff(J(1,x),x) = J(0,x) - J(1,x)/x$$ $$diff(J(n,x),x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x)$$ $$diff(Y(0,x),x) = -Y(1,x)$$ $$diff(Y(1,x),x) = Y(0,x) - Y(1,x)/x$$ $$diff( Y(n,x),x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$$ $$diff(I(0,x),x) = -I(1,x)$$ $$diff(I(1,x),x) = I0(x) - I1(x)/x$$ $$diff(I(n,x),x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$$ $$diff( K(0,x),x) = -K1(x)$$ $$diff(K(1,x),x) = -K0(x) - K1(x)/x$$ $$diff(K(n,x),x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$$ Développement Multiplication si annulations Suppression des racines carrées � X E J
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