Sindbad~EG File Manager
ELF > X� @ @ UH��H�� �}��E�a �E�;E�}�E�H�H��H �/�}� ~� �G � � � �E�+E���� �� Evaluates expressions using exact rational arithmetic only. Voert decimale rekenkunde uit (die niet exact is). Voorbeeld: $\sqrt 2 = 1.414214$ Voorbeeld: 2^(1/2) = 1.414214 Voorbeeld: ln 2.0 = 0.69315. Evalueert ook sin, tan, enz. Factoriseer een geheel getal (minder dan 4 miljard). Voorbeeld: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$. U wordt gevraagd een waarde voor de variabele(n) in te voeren Vervang $\pi $ door een benaderde decimale waarde, 3.14159235... Vervang $e$ door een benaderde decimale waarde, 2.718281828... Bereken een numerieke waarde van een functie met behulp van de definitie van de functie. Voorbeeld: x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878) Evalueer een Bernoulli-getal naar een rationeel getal Evalueer een Euler-getal naar een rationeel getal Verander sommige decimalen naar breuken. Wees voorzichtig met benaderde waarden. Voorbeeld: 64 = 8^2 Voorbeeld: 1000 = 10^3 Voorbeeld: 256 = 4^4. U wordt gevraagd de exponent in te voeren. Voorbeeld: 256 = 4^4. U wordt gevraagd de basis in te voeren. Voorbeelden: 36 = 6^2, of 256 = 2^8. Voorbeeld: 3 is geselecteerd, u voert 2 in, het resultaat is 2 + 1. Dit is de belangrijkste eigenschap van het complexe getal i. Voorbeelden: i^4 = 1, i^8 = 1, i^12 = 1 Voorbeelden: i^5 = i, i^9 = i, i^(-3) = i Voorbeeld: i^6 = -1 Voorbeeld: i^7 = -i Voer exacte rekenkunde uit (maar geen exponentiatie) op complexe getallen. Voorbeeld, $(1+i)^2 = \sqrt 2 i$. Voer exacte rekenkunde uit (inclusief exponentiatie) op complexe getallen. Voer bij benadering decimale rekenkunde uit met complexe getallen. Factoriseer een geheel getal in Gaussische priemmacht factoren, bijv. 5 = (1+2i)(1-2i) Voorbeeld: -3+4i = (1+2i)^2 Voorbeeld: $\sqrt $i = 0.707168 + 0.707168 i Voorbeeld, i^(1/2) = 0.707168 + 0.707168 i Voorbeeld, cos i = 1.543080635 Toon de waarde van een uitdrukking nadat u waarden voor de variabelen hebt ingevoerd. Laat dubbele mintekens vallen. Voorbeeld: -(x^2 - 2x + 1) wordt x^2 + 2x - 1 Voorbeeld: -x-5 wordt -(x+5) Gebruik de associatieve wet. Voorbeeld: (a+b) + (c+d) = a+b+c+d Brengt termen van een som in standaardvolgorde. Voorbeeld: y+x = x+y Voorbeeld: x^2 + 0 + 5 = x^2 + 5 Voorbeeld: x^2 + x + sin x - x = x^2 + sin x Voorbeeld: x^2 + 3x + 2x = x^2 + 5x Voorbeeld: x^2 + 3x + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 5x Commutatieve wet: keer de volgorde van optelling in de geselecteerde term om. Voorbeeld: 5(1-x) wordt -5(x-1) Voorbeeld: -5x wordt 5(-x) Voorbeeld: -5xy wordt 5x(-y) Voorbeeld: 5x(-y)z wordt 5xy(-z) Voorbeeld: $2^100\times 0$ wordt 0 Laat factoren van 1 vallen. Trek mintekens naar de voorkant van een product. Gebruik de associatieve wet. Voorbeeld: (3x^2)(yz) = 3x^2yz Voorbeeld: $2x\times 3y$ = 6xy Zet factoren in een product in standaardvolgorde. Voorbeeld: yx = xy Gebruik de wet x^n x^m = x^(n+m). Voorbeeld: x^2x^3 = x^5. Distributieve wet. Voorbeeld: x(x^2 + 1) = x^3 + x. Voorbeeld: (x-2)(x+2) = x^2-4 Voorbeeld: (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 Voorbeeld: (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 Voorbeeld: (x-1)(x^2+2x+1) = x^3-1 Voorbeeld: (x+1)(x^2-2x+1) = x^3+1 Commutatieve wet: keer de volgorde van termen in een product om Voorbeeld: (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 Vermenigvuldig producten van sommen in de teller uit, maar niet in de noemer. Vermenigvuldig producten van sommen in de noemer uit, maar niet in de teller. Voorbeeld: 3x = x + x + x Nul gedeeld door iets niet-nul is nul. Iets gedeeld door 1 is ongewijzigd. Definitie van reciproke. Voorbeeld, $2 \times (1/2) = 1$ Voorbeeld, (3/4)(x/y) = 3x/(4y) Voorbeeld, 3(x/2) = 3x/2 Voorbeeld: x^2 y / x = xy Tel breuken met dezelfde noemer op door de tellers op te tellen. Breek een breuk waarvan de teller een som is in twee of meer breuken. Breek $(a\pm b)/c$ als een van de resulterende breuken zal annuleren. Voorbeeld: (x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x+1 + 1/(x+1) Annuleer de grootste gemene deler van teller en noemer. Voorbeeld: 2x/3y = (2/3)(x/y) Voorbeeld: $(x^2 + y^2)/\sqrt 2 = (1/\sqrt 2) x^2 + y^2$ Voorbeeld: $3e^(it)/\sqrt 2 = (3/\sqrt 2) e^(it)$ Voorbeeld: ax/(2y) = (a/2)(x/y) Voorbeeld: $\sqrt 3x/2 = (\sqrt 3/2)x$ Annuleer een minteken van teller en noemer. Duw een minteken in de teller. Duw een minteken in de noemer. Trek een minteken uit de teller. Trek een minteken uit de noemer. Trek mintekens uit een som in de teller. Trek mintekens uit een som in de noemer. Verander de volgorde van termen in de noemer en pas het teken aan. Voorbeeld: (1-x)/(3-x) = (x-1)/(x-3) Voorbeeld: 2x/3 = 2(x/3) Voorbeeld: 1/(x(1-x^2)) = (1/x)(1/(1-x^2) Voorbeeld: x/2 /(y/2) = x/y Voorbeeld: 3/(2/x) = 3x/2 Voorbeeld: 1/(2/x) = x/2 Voorbeeld: (3/2)/x = 3/(2x) Voorbeeld: (2/3)/x = (2/3)(1/x) Voorbeeld: (2/3)x/y = 2x/3y Voorbeeld: 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1)^2 Gebruik gemeenschappelijke noemers op een som van breuken in een grotere breuk. Voorbeeld: 1/x + 1/y = 1/x(y/y) + (1/y)(x/x) Hetzelfde als gemeenschappelijke noemer vinden, maar negeert niet-breukdelen in een som. Voorbeeld: (x/2)(y/3) = xy/6 Voorbeeld: 2(x/y) = 2x/y Zet factoren van een product in standaardvolgorde. Voorbeeld: yx = xy Voorbeeld: 1/x + 1/y + 1 = (y+x+xy)/(xy) Voorbeeld: 1/x + 1/y + 1 = (y+x)/(xy) + 1 Voorbeeld: y/x + x/y = (x^2+y^2)/xy Negeert niet-breukdelen in de som, werkt alleen aan de breuken. U geeft op waarmee te vermenigvuldigen. Voorbeeld, x/y = x^2/xy als u x invoert. Iets tot de nul macht is 1; behalve 0^0 is ongedefinieerd. De eerste macht van x is gewoon x. Nul tot elke positieve macht is nul. 1 verheven tot elke macht is 1. Voorbeelden: (-1)^4 = 1 en (-1)^3 = -1 $c\in Z$ betekent dat c een geheel getal is. Hier moet het getal $a$ positief zijn. Mits de nieuwe teller en noemer gedefinieerd zijn. Voorbeeld: (2x)^2 = 4x^2 Voorbeeld: (x+1)^2 = x^2+2x+1 Voorbeeld: (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 Voorbeeld: x^2x^3 = x^5 Voorbeeld: $$3^(2+x) = 3^2 3^x$$ Voorbeeld: a^2/b^2 = (a/b)^2 Voorbeeld: x^5/x^3 = x^2 Voorbeeld: x^3/x^5 = 1/x^2 Voorbeeld: (x+1)^2 = (x+1)(x+1) Voorbeeld: (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1) Voorbeeld: (x+1)^4 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) Voorbeeld: x^5 = x^2 x^3. U voert de 2 in wanneer daarom gevraagd wordt. Voorbeeld: (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 Voorbeeld: (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 Voorbeeld: 2^(2n)=(2^2)^n Voorbeeld: 2^(2n)=(2^n)^2 Voorbeeld: 2^(2nm) = 2^(2n)^m Voorbeeld: 1/2^n = (1/2)^n Elimineer een constante negatieve exponent Elimineer een negatieve exponent. Elimineer een negatieve exponent. Voorbeeld: x^(-2) = 1/x^2 Elimineer een negatieve exponent. Voorbeeld: x^(-2)/3 = 1/(3x^2) Elimineer een negatieve exponent in de noemer. Voorbeeld: 1/x^(-2) = x^2 Elimineer een negatieve exponent in de noemer. Voorbeeld: 3/x^(-2) = 3x^2 Voorbeeld: 2/x = 2x^(-1) Voorbeeld: (2/x)^(-2) = (x/2)^2 Voorbeeld: x^(n-2) = x^n/x^2 Mits beide zijden gedefinieerd zijn. Voorbeeld: $\sqrt 2\sqrt x = \sqrt (2x)$ Mits beide zijden gedefinieerd zijn. Voorbeeld: $\sqrt (2x) = \sqrt 2\sqrt x$ Voorbeeld: $\sqrt (4y) = 2\sqrt y$ Kwadraat en vierkantswortel zijn inversen, zolang x niet-negatief is. Als je het teken van x niet kent, heb je het absolute waarde teken nodig. Voorbeeld: $\sqrt 8 = \sqrt 2^3$ Mits beide zijden gedefinieerd zijn. Voorbeeld: $\sqrt (x/2) = \sqrt x/\sqrt 2$ Wanneer de tekens van x en y niet bekend zijn, heb je het absolute waarde teken nodig. Mits beide zijden gedefinieerd zijn. Voorbeeld $\sqrt x/\sqrt 2 = \sqrt (x/2)$ Omdat $\sqrt x \sqrt x = x$ per definitie van $\sqrt $. Uiteraard moet x niet-negatief zijn. Voorbeeld, $(\sqrt x)^6 = x^3$ Voorbeeld, $(\sqrt x)^5 = x^2\sqrt x$ Bereken vierkantswortels als de waarde een rationeel getal is. Voorbeeld, $\sqrt 16 = 4$ Bereken benaderde decimale waarden van vierkantswortels. Voorbeeld, $\sqrt 2$ = 1.41416... Berekent geen vierkantswortels of wortels; voert (andere) rekenkunde uit. Voorbeeld: $\sqrt (x^2+2x+1)/\sqrt (x^2-1) = \sqrt (x+1)^2/\sqrt (x-1)(x+1)$ Voorbeeld: $\sqrt (x^2+2x+1) = \sqrt (x+1)^2$ Voorbeeld: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/((1-\sqrt x)(1+\sqrt x))$ en dus later naar $(1+\sqrt x)/(1-x)$ Voorbeeld: $(1-\sqrt x)/(1+\sqrt x) = (1-\sqrt x)(1+\sqrt x)/(1+\sqrt x)^2$ en dus later naar $(1-x)/(1+\sqrt x)^2$ Als je het teken van x niet kent, is het absolute waarde teken noodzakelijk. Voorbeeld: $\sqrt (2x)/\sqrt 2 = \sqrt x$ Vermenigvuldig producten van sommen die binnen een vierkantswortel voorkomen uit. De bewerking a^2-b^2 = (a-b)(a+b) creëert geen nieuwe wortel; deze wel. $^2\sqrt $ en $\sqrt $ zijn twee symbolen met dezelfde betekenis. Voorbeeld: $\sqrt x = ^4\sqrt x^2$. U wordt gevraagd n in te voeren. Voorbeeld: $\sqrt x = (^4\sqrt x)^2$. U wordt gevraagd n in te voeren. Voorbeeld: $\sqrt x^4 = x^2$ Voorbeeld: $\sqrt x^5 = x^2 \sqrt x$ De factor buiten de wortel moet niet-negatief zijn. Voorbeeld: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/(1-x)$ Druk een gebroken exponent van $\onehalf $ uit als een vierkantswortel. Voorbeeld: $a^(5/2) = \sqrt (a^5)$ Voorbeeld: $a^(5/3) = ^3\sqrt (a^5)$ Druk een vierkantswortel uit met behulp van een exponent van $\onehalf $ Druk een wortel uit met behulp van een gebroken exponent. Voorbeeld: $^3\sqrt x^2 = x^(2/3)$ Voorbeeld: $(^3\sqrt x)^2 = x^(2/3)$ Voorbeeld: $(\sqrt x)^3 = x^(3/2)$ Druk $1/\sqrt x$ uit met behulp van een negatieve gebroken exponent. Druk de omgekeerde van een wortel uit met behulp van een negatieve gebroken exponent Voorbeeld: (-1)^(5/3) = -1. Gebruikt geen complexe wortels. Voorbeeld: 8^(2/3) = (2^3)^(2/3) Voorbeeld: x/x^(1/3) = (x^3/x)^(1/3) Voorbeeld: x^(1/3)/x = (x/x^3)^(1/3) Voorbeeld: $$x^(n/2) = (sqrt x)^n$$ Voorbeeld: $$x^(n/3) = root(3,x)^n$$ Voorbeeld: $^3\sqrt 5^3\sqrt x = ^3\sqrt (5x)$ Voorbeeld: $^3\sqrt (2x) = ^3\sqrt 2 ^3\sqrt x$ Voorbeeld: $^3\sqrt x^2 = (^3\sqrt x)^2$ Voorbeeld $^3\sqrt x^5 = x ^3\sqrt x^2$ Voorbeeld: $^3\sqrt (x^3) = x$ Voorbeeld: $^3\sqrt x^6 =x^2$ Voorbeeld: $^6\sqrt x^3 = \sqrt x$ Voorbeeld: $^9\sqrt x^3) = ^3\sqrt x$ Voorbeeld: $(^3\sqrt x)^3 = x$ Voorbeeld: $(^3\sqrt a)^2 = ^3\sqrt (a^2)$ Voorbeeld $(^3\sqrt a)^8 = a^2 ^n\sqrt a^2$ Voorbeeld: $^3\sqrt 12 = ^3\sqrt (2^2\times 3)$ Voorbeeld: $^3\sqrt (-a) = -^3\sqrt a$, n oneven Voer rekenkunde uit, evalueer wortels naar rationale waarden indien mogelijk. Voorbeeld: $^3\sqrt (x^3+3x^2+3x+1) = ^3\sqrt (x+1)^3$ Vermenigvuldig sommen van producten onder een wortelteken uit. Voorbeeld: $\sqrt (\sqrt 2) = ^4\sqrt 2$ Voorbeeld: $\sqrt (^3\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$ Voorbeeld: $^3\sqrt (\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$ Voorbeeld: $^3\sqrt (^4\sqrt 2) = ^(12)\sqrt 2$ Schrijf een wortel van een quotiënt als een quotiënt van wortels Schrijf een quotiënt van wortels als een wortel van quotiënten Voorbeeld: $x/^3\sqrt x = (^3\sqrt x)^2$ Voorbeeld: $^3\sqrt x/x = 1/(^3\sqrt x)^2$ Voorbeeld: $^3\sqrt (2x)/^3\sqrt (2y) = ^3\sqrt x/^3\sqrt y$ Voorbeeld: $^n\sqrt (2a)/^n\sqrt a = ^n\sqrt 2$ Vind de grootste gemene deler van u en v en factor deze uit u en v Voorbeeld: $x^3\sqrt y = ^3\sqrt (x^3y)$ Voorbeeld: $x^2(^4\sqrt y) = ^4\sqrt (x^8y)$ Voorbeeld: $-^3\sqrt 2 = ^3\sqrt (-2)$ Voorbeeld: $x/^3\sqrt x = ^3\sqrt (x^3/x)$ Voorbeeld: $^3\sqrt x/x = ^3\sqrt (x/x^3)$ Voorbeeld: $x^2/\sqrt x = \sqrt (x^4/x)$ Voorbeeld: $\sqrt x/x^2 = \sqrt (x/x^4)$ Voorbeeld: $(^6\sqrt x)^2 = ^3\sqrt x$ Voorbeeld: $(^4\sqrt x)^2 = \sqrt x$ Omdat i^2 = -1, hebben we 1/i = -i Omdat i^2 = -1, hebben we a/i = -ai Omdat i^2 = -1, hebben we a/(bi) = -ai/b Per definitie is i $\sqrt (-1)$ Voorbeeld: $\sqrt (-3) = i\sqrt 3$ Voorbeeld: $1/i^3 = i$ Voorbeeld: $(x-i)(x+i) = x^2+1$ Factor een som van kwadraten met behulp van complexe factoren. Dit is eigenlijk gewoon de stelling van Pythagoras. Dit is de definitie van absolute waarde van een complex getal. Voorbeeld: $(3 + 5i)/2 = (3/2) + (5/2)i$ Breng een complex getal naar de standaardvorm $u+vi$ Voorbeeld: $\sqrt i = \sqrt(1/2) + \sqrt(1/2) i$ Voorbeeld: $\sqrt(-i) = \sqrt(1/2) - \sqrt(1/2) i$ Voorbeeld: $\sqrt(3+4i) = \sqrt((5+3)/2) + \sqrt((5-3)/2) i$ Voorbeeld: $\sqrt(3-4i) = \sqrt((5+3)/2) - \sqrt((5-3)/2) i$ Voorbeeld: 2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1) Voorbeeld: x^2 + x + 1/4 = (1/4) (4x^2+ 4x + 1) Voorbeeld: x^3y^2-x^3 = x^3(y^2-1) Voorbeeld: x^5 - x^3 = x^3(x^2-1) Voorbeeld: x^2+2x+1 = (x+1)^2 Voorbeeld: x^2-2x+1 = (x-1)^2 Voorbeeld: x^2-1 = (x-1)(x+1) Voorbeeld: x^2-3x+1 = (x-2)(x-1) Voorbeeld: $x^2-x-1 = (x-1/2-\sqrt 5/2)(x-1/2+\sqrt 5/2)$ Voorbeeld: x^8 = (x^4)^2 Voorbeeld: $a^2b^2 = (ab)^2$ Voorbeeld: $4x^2 + 6x + 9 = 2^2x^2 + 2\times 3x + 3^2$ Factor een geheel getal (minder dan 4 miljard). Voorbeeld: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$ Introduceer een nieuwe letter door een definitie, om de uitdrukking te vereenvoudigen. Vervang een gedefinieerde variabele door zijn oorspronkelijke definitie door de hele regel. Wanneer vergelijkingen worden opgelost, worden constanten anders behandeld dan variabelen. Geen nieuwe variabele zal worden gebruikt. Voorbeeld: x^12 = (x^4)^3 Voorbeeld: x^12 = (x^3)^4. U voert de 4 in wanneer daarom gevraagd wordt. Factor een verschil van derde machten. Voorbeeld: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ Factor een som van derde machten. Voorbeeld: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ Voorbeeld: x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) Voorbeeld: x^4-1 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1) Voorbeeld: x^5+1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) Voorbeeld: $x^4+1 =(x^2-\sqrt 2x+1)(x^2+\sqrt 2x+1)$ Voorbeeld (met p=5, q=3): $x^4+x^2+25=(x^2-3x+5)(x^2+3x+5)$ U selecteert geen term, maar laat MathXpert proberen een goede substitutie te vinden. U voert een factor in, en MathXpert krijgt de andere factor door polynoomdeling. Probeert systematisch alle mogelijke lineaire factoren met gehele coëfficiënten. Breek de som in twee groepen en factor hun grootste gemene deler uit. Schrijf het als een polynoom in de geselecteerde term. Voorbeeld: 3=x wordt x=3 Voorbeeld: -x = -3 wordt x = 3 Voorbeeld: x-3 = 2 wordt x = 5 Voorbeeld: x+3 = 5 wordt x = 2 Voorbeeld: x-3 = 5 wordt x = 8 Voorbeeld: x^2 = x-1 wordt x^2-x+1 = 0 Voorbeeld: x/2 = x + 1 wordt x = 2x + 2 Voorbeeld: 2x = 4 wordt x = 2 Voorbeeld: $\sqrt x = 3$ wordt x = 9 Voorbeeld: x+y = 3+y wordt x = 3 Voorbeeld: 2x^2 = 2 wordt x^2 = 1 Voorbeeld: 3x = 3x wordt 'waar' Voorbeeld: $\sqrt x = -\sqrt x$ wordt x = -x Voorbeeld: $\sqrt x = -\sqrt x$ wordt $\sqrt x = 0$ Voorbeeld: $-\sqrt x = \sqrt x$ wordt $\sqrt x = 0$ als ab=0 dan a=0 of b=0 kwadratische formule $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ kwadraat aanvullen neem de vierkantswortel van beide zijden kruis vermenigvuldigen b^2-4ac < 0 => geen reële wortels Gebruik dit wanneer het teken van $a$ niet kan worden bepaald. Voer een waarde van de onbekende in en zie de waarden van de twee zijden. Er wordt u gevraagd om twee waarden in te voeren die een wortel insluiten. Voorbeeld: x/3 = (x-1)/4 wordt 4x = 3(x-1) Verhoog beide kanten naar een macht. De nieuwe vergelijking kan extra wortels hebben. Voorbeeld: x^2 = 9 wordt [x = 3, x = -3] Voorbeeld: x^3 = 8 wordt x = 2 U wordt gevraagd welke functie op beide zijden moet worden toegepast. Breng sommen met breuken over een gemeenschappelijke noemer. Voorbeeld: (x^2-1)(x-2) = 0 wordt [x^2-1=0, x=2] Voorbeeld: ax^2=ax wordt [a=0, x^2=x] De andere vergelijkingen worden verborgen terwijl u aan de geselecteerde werkt. De vergelijkingen die u enige tijd geleden hebt verborgen, worden weer getoond. Dubbele oplossingen kunnen worden gecombineerd. Het werkt als de voorgestelde substitutie een oude variabele elimineert. Vervang een variabele door zijn oorspronkelijke definitie door de hele regel. Voorbeeld: $x = \sqrt -3$ bij het zoeken naar reële oplossingen. Sommige bewerkingen hebben mogelijk extra wortels geïntroduceerd die niet kloppen. Voorbeeld: 3x-1 = x+1 wordt x=1 Deze substitutie zal de kwadratische term elimineren. De discriminant van een kubieke vergelijking cx^3+ax+b is $D = b^2/4c + a^3/27c^3$. Herhaalt de kubieke vergelijking zodat u er verder aan kunt werken. Deze substitutie zal de vergelijking kwadratisch in y^3 maken. in cx^3+ax+b=0: $x=^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D)$ waar D = b^2/4c + a^3/27c^3. in cx^3-ax+b=0: $x=[2\sqrt (a/3)cos(t/3),2\sqrt (a/3)cos(t+2pi/3),2\sqrt (a/3)cos(t+4pi/3)]$ waar $cos t = -b/(2c)\sqrt (27/a^3)$. in cx^3+ax+b=0: $x=[^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D),(1/2)^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D) \pm (\sqrt 3/2)(^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)-^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D)]$ Maak een substitutie $x = f(u)$ waar $x$ een oude variabele is en $u$ nieuw. Elimineer een gedefinieerde variabele met behulp van zijn definitie. Voorbeeld, verander $n$ naar $1-k$. Equivalent aangezien $1-k$ alle gehele waarden neemt. Evalueer vierkante en $n$-de wortels als het antwoord een rationeel getal is. Evalueer numerieke hoeveelheden met behulp van benaderde decimale waarden. Voer algebraïsche vereenvoudiging uit. Voorbeeld: $ln x = 2$ wordt $x = e^2$ Voorbeeld: $log x = 2$ wordt $x = 100$ Voorbeeld: $log(3,x) = 2$ wordt $x = 9$ Voorbeeld: $10^(x+1) = 10^(2x)$ wordt $x+1 = 2x$ Voorbeeld: $10^x = 3$ wordt $x = log 3$ Voorbeeld: $e^x = 3$ wordt $x = ln 3$ Logaritmen van negatieve getallen zijn niet gedefinieerd. Cramers regel Evalueer een numerieke determinant, of een symbolische van dimensie 2 of 3. Voorbeeld: $x-1 = 2+y$ wordt $x - y = 1$ Voorbeeld: $2x + 3 + x = 5$ wordt $3x + 3 = 5$ Lijn de termen in dezelfde variabele uit in dezelfde kolom. U wordt gevraagd naar de nummers van de twee vergelijkingen. U wordt gevraagd naar het nummer van de vergelijking en waarmee te vermenigvuldigen. U wordt gevraagd naar het nummer van de vergelijking en waardoor te delen. U wordt gevraagd naar de nummers van de vergelijkingen en de vermenigvuldiger. U wordt gevraagd naar de nummers van de twee vergelijkingen Voorbeeld: $y=1$, $x=2$ wordt veranderd in $x=2, y=1$. Elimineer een vergelijking die is vereenvoudigd tot een identiteit, zoals 2=2. U selecteert een variabele, die vervolgens als constante wordt behandeld. Voorbeeld: als u hebt afgeleid $x = 5$, $x = 2$, kunnen de vergelijkingen niet worden voldaan. Druk een niet-negatieve hoeveelheid binnen absolute waarde uit. Druk een niet-negatieve noemer binnen absolute waarde uit. Druk een niet-negatieve breuk binnen absolute waarde uit. Los een lineaire vergelijking op voor de geselecteerde variabele. U wordt gevraagd naar het nummer van de vergelijking die zal veranderen. U wordt gevraagd wat de geselecteerde vergelijking met te vermenigvuldigen. U wordt gevraagd wat de geselecteerde vergelijking door te delen. U wordt gevraagd naar de vermenigvuldiger en het doelvergelijking. U wordt gevraagd naar het nummer van de andere vergelijking. U wordt gevraagd om een variabele te selecteren. U wordt gevraagd naar het nummer van de rij die zal veranderen. U wordt gevraagd naar de vermenigvuldiger. U wordt gevraagd naar de deler. U wordt gevraagd naar de vermenigvuldiger en het andere rijnummer. U wordt gevraagd naar het nummer van de andere rij. Voeg een identiteitsmatrix in aan de rechterkant (voor het berekenen van de matrixinversie). Voorbeeld: $2x + 3y + x = 5$ wordt $3x + 3y = 5$. U wordt gevraagd om een vergelijkingsnummer te kiezen en vervolgens een variabele. Voer algebraïsche vereenvoudigingen uit. Voorbeeld, $x + y = x + 2$ wordt $y = 2$ U wordt gevraagd om een vergelijking te kiezen en vervolgens wat toe te voegen. U wordt gevraagd om een vergelijking te kiezen en vervolgens wat af te trekken. U wordt gevraagd om een vergelijking te kiezen en vervolgens de deler in te voeren. Wanneer één vergelijking is opgelost, kunt u deze gebruiken om te substitueren in andere vergelijkingen. Voorbeeld: als u hebt afgeleid $x=2$ en $x=5$, kunnen de vergelijkingen niet worden voldaan. schrijf in matrixvorm U wordt gevraagd welke twee rijen te wisselen. U wordt gevraagd naar de nummers van de twee rijen. U wordt gevraagd naar het nummer van de rij en de vermenigvuldiger. U wordt gevraagd naar het nummer van de rij en de deler. U wordt gevraagd naar twee rijnummers en de vermenigvuldiger. Voer matrixvermenigvuldiging uit. Gebruik dit als u alle nullen in één kolom heeft. Gebruik dit als u alle nullen in één rij heeft. Gebruik dit als twee rijen precies hetzelfde zijn. Gebruik dit als twee rijen aan de linkerkant hetzelfde zijn, maar niet aan de rechterkant. Converteer een vergelijking van één-kolom matrices naar een systeem van vergelijkingen. Voer matrixvermenigvuldiging uit De matrixinversie wordt nog niet berekend, alleen symbolisch geïntroduceerd. Bereken de matrixinversie van een 2 bij 2 matrix. Gebruikt exacte rekenkunde en symbolische algebra. Als het werkt, is het antwoord exact. Werkt op een numerieke matrix, met behulp van decimale rekenkunde met beperkte nauwkeurigheid. Verwijder absolute waarde tekens rond een niet-negatieve hoeveelheid. Voorbeeld: $ |x-2| = x-2$, met een nieuwe aanname $x\ge 2$. Voorbeeld: |-2| = 2 Voorbeeld: |2u| = 2|u| Voorbeeld: |u/2| = |u|/2 Voorbeeld: |x-1||x+1| = |(x-1)(x+1| Voorbeeld: |(x-1)(x+1)| = |x-1||x+1| Voorbeeld: |(x-1)/x| = |x-1| / |x| Voorbeeld: |x^2-1| / |x-1| = |(x^2-1)/(x-1)| Voorbeeld: |x|^4 =x^4 Voorbeeld: |u^3|=|u|^3 Als u reëel is, is het absolute waarde teken aan de rechterkant onnodig. Voorbeeld: $|^3\sqrt u| = ^3\sqrt |u|$ Annuleer, zonder rekening te houden met absolute waarde tekens. Factoriseer de grootste gemene deler van teller en noemer uit. Voorbeeld: |x|=2 wordt [x = 2, x = -2] Voorbeelden: |x|/x = x-2 wordt [x-2 = 1, x-2 = -1] Voorbeeld: |x| < 2 wordt -2 < u < 2 Voorbeeld: $|x| \le 2$ wordt $-2 \le u \le 2$ Voorbeeld: $|x| \ge 2$ als $x \le -2$ of $2 \le x$ Voorbeeld: |x-1| = x-1 wordt $0 \le x-1$ Voorbeeld: |x-1| = 1-x wordt $x-1 \le 0$ Voorbeeld: $0 \le |x^2+1|$ is altijd waar. Voorbeeld: $-5 \le |x^2+1|$ is altijd waar. Voorbeeld: $-5 < |x^2+1|$ is altijd waar. Voorbeeld: |x^2+1| < 0 heeft geen oplossing. Voorbeeld: |x| < -5 heeft geen oplossing. Voorbeeld: $|x| \le -5$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $|x^3-x| \le -x^2$ wordt x^3-x = 0, en x=0 zal worden aangenomen. Voorbeeld: |x^3-x| = -x^2 wordt x^3-x = 0, en x=0 zal worden aangenomen. Voorbeeld: 2 > |x| wordt -2 < x < 2 Voorbeeld: $2 \ge |x|$ wordt $-2 \le x \le 2$ Voorbeeld: |x| > 2 als -2 > x of x > 2 Voorbeeld: $|x| \ge 2$ als $-2 \ge x$ of $x \ge 2$ Voorbeeld: $|x^2-1| \ge 0$ is waar. Voorbeeld: 0 > |x^2-1| heeft geen oplossing. Voorbeeld: -5 > |x| heeft geen oplossing. Voorbeeld: $-5 \ge |x|$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $-x^2 \ge |x^3-x|$ wordt x^3-x = 0, en x=0 zal worden aangenomen. Voorbeeld: |x| > -5 is waar Voorbeeld: $|x| \ge -5$ is waar Voorbeeld: $-2 \le u \le 2$ wordt $|x| \le 2$ Voorbeeld: x < -2 of 2 < x als 2 < |x| Voorbeeld: x^4 = |x|^4 Voorbeeld: |u|^3 = |u^3| Voorbeeld: 2 < x wordt x > 2 Voorbeeld: x-2 < 5 wordt x<7. Selecteer de 2. Voorbeeld: x+2 < 5 wordt x=3. Selecteer de 2. Voorbeeld: -2 < -x wordt x < 2. Voorbeeld: -x < - 2 wordt x > 2. Voorbeeld: x/3 < 1 wordt x < 3. Selecteer de 3. x/(x-1) < 2 wordt x(x-1) < 2(x-1)^2 wanneer u x-1 selecteert. Voorbeeld: 5x < 10 wordt x < 2. Selecteer de 5. Produceert 'Geen oplossing' of 'waar', wanneer de gelijkheid alleen getallen bevat. Vereenvoudig een ongelijkheid van de genoemde vorm tot 'waar'. Vereenvoudig een ongelijkheid van de genoemde vorm tot 'Geen oplossing'. u < v wordt u^2 < v^2 mits u niet-negatief is. $0\le v$ zal worden afgeleid of aangenomen. u < v wordt [u^2 < v^2, u<=0]. Gebruik dit als u negatieve waarden kan aannemen. Voorbeeld: x<4 of x=4 wordt $x\le 4$. Het "of" is impliciet in haakjesnotatie. Voorbeeld: 1<x of 2<x wordt 1<x Gebruik aannames om oplossingen af te wijzen of te verbeteren om te voldoen aan de oorspronkelijke ongelijkheid. Voorbeeld: 2 > x wordt x < 2 Voorbeeld: -x > -2 wordt x < 2 Voorbeeld: -2 > -x wordt x > 2 Voorbeeld: x^2 > -1 is waar Voorbeeld: -1 > x^2 is onwaar Voorbeeld: 2 > x wordt [4 > x^2, x < 0] Voorbeeld: [x > 2, x = 2] wordt $x \ge 2$ Voorbeeld: $x \le 2$ wordt $2 \ge x$ Voorbeeld: $x-2 \le 5$ wordt $x\le 7$. Selecteer de 2. Voorbeeld: $x+2 \le 5$ wordt x=3. Selecteer de 2. Voorbeeld: $-2 \le -x$ wordt $x \le 2$. Voorbeeld: $x \le -2$ wordt $x \ge 2$. Voorbeeld: $x/3 \le 1$ wordt $x \le 3$. Selecteer de 3. Voorbeeld: $x/(x-1) \le 2$ wordt $x(x-1) \le 2(x-1)^2$. Selecteer x-1 Voorbeeld: $x/5 \le 10$ wordt $x \le 2$. Selecteer de 5. Levert 'Geen oplossing' of 'waar', wanneer de gelijkheid alleen nummers omvat. $u \le v$ wordt $u^2 \le v^2$ mits u niet-negatief is. $0\le v$ zal worden afgeleid of aangenomen. $u \le v$ wordt $u^2 \le v^2$ of $u\le 0$. Gebruik dit als u negatieve waarden kan aannemen. Voorbeeld: $1\le x$ of $2\le x$ wordt $1\le x$ Voorbeeld: $2 \ge x$ wordt $x \le 2$ Voorbeeld: $-x \ge -2$ wordt $x \le 2$ Voorbeeld: $-2 \ge -x$ wordt $x \ge 2$ Voorbeeld: $x^2 \ge -1$ is waar Voorbeeld: $-1 \ge x^2$ is onwaar Voorbeeld: $2 \ge x$ wordt $[4 \ge x^2, x \le 0]$ Voorbeeld: x^2 < 4 wordt |x| < 2 Voorbeeld: x^2 < 4 wordt -2 < x < 2 Voorbeeld: 4 < x^2 wordt 2 < |x| Voorbeeld: 4 < x^2 wordt [x < -2, 2 < x] Voorbeeld: 4 < x^2 < 9 wordt [-3 < x < -2, 2 < x < 3] Voorbeeld: -2 < x^2 < 9 wordt x^2 < 9 Voorbeeld: $-2 < x^2 \le 9$ wordt $x^2 \le 9$ Voorbeeld: $\sqrt x < 2$ wordt $0 \le x < 4$ Voorbeeld: $2\sqrt x < 2$ wordt $0 \le 4x < 4$ Voorbeeld: $2 < \sqrt x$ wordt 4 < x Voorbeeld: $x^2 < a => x < \sqrt a$ als $0\le x$ al is aangenomen. Voorbeeld: $-1 < x^2$ is altijd waar. Voorbeeld: $x^2 < -1$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $-1 < \sqrt (x^2 - 1)$ wordt $0 \le x^2 -1$ Voorbeeld: $x^2 \le 4$ wordt $|x| \le 2$ Voorbeeld: $x^2 \le 4$ wordt $-2 \le x \le 2$ Voorbeeld: $4 \le x^2$ wordt $2 \le |x|$ Voorbeeld: $4 \le x^2$ wordt $[x \le -2, 2 \le x]$ Voorbeeld: $4 \le x^2 \le 9$ wordt $[-3 \le x \le -2, 2 \le x \le 3]$ Voorbeeld: $-2 \le x^2 \le 9$ wordt $x^2 \le 9$ Voorbeeld: $-2 \le x^2 < 9$ wordt $x^2 < 9$ Voorbeeld: $\sqrt x \le 2$ wordt $0 \le x \le 4$ Voorbeeld: $2\sqrt x \le 2$ wordt $0 \le 4x \le 4$ Voorbeeld: $2 \le \sqrt x$ wordt $4 \le x$ Voorbeeld: $x^2 \le a => x \le \sqrt a$ als $0\le x$ al is aangenomen. Voorbeeld: $-1 \le x^2$ is altijd waar. Voorbeeld: $x^2 \le -1$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $-1 \le sqrt(x^2 - 1)$ wordt $0 \le x^2 -1$ $1/x < a$ als $x < 0$ of $1/a < x$, mits $a > 0$ $a < 1/x$ als $0 < x < 1/a$ mits $a > 0$ $1/x < -a$ als $-1/a < x < 0$ mits $a > 0$ $-a < 1/x$ als $x < -1/a$ of $0 < x$ mits $a > 0$ Voorbeeld: $1 < x < 2$ wordt $1/2 < x < 1$ Voorbeeld: $1 < x \le 2$ wordt $1/2 \le x < 1$ Voorbeeld: $-2 < 1/x < -1$ wordt $-1 < x < -1/2$ Voorbeeld: $-2 < 1/x \le -1$ wordt $-1 \le x < -1/2$ Voorbeeld: -2 < 1/x < 3 wordt [x < -1/2, 1/3 < x] Voorbeeld: $-2 < 1/x \le 3$ wordt $[x < -1/2, 1/3 \le x]$ $1/x \le a$ als x < 0 of $1/a \le x$, mits $a > 0$ $a \le 1/x$ als $0 < x \le 1/a$ mits $a > 0$ $1/x \le -a$ als $-1/a \le x < 0$ mits $a > 0$ $-a \le 1/x$ als $x \le -1/a$ of 0 < x mits $a > 0$ Voorbeeld: $1 \le 1/x < 2$ wordt $1/2 < x \le 1$ Voorbeeld: $1 \le 1/x \le 2$ wordt $1/2 \le x \le 1$ Voorbeeld: $-2 \le 1/x < -1$ wordt $-1 < x \le -1/2$ Voorbeeld: $-2 \le 1/x \le -1$ wordt $-1 \le x \le -1/2$ Voorbeeld: $-2 \le 1/x < 3$ wordt $[x \le -1/2, 1/3 < x]$ Voorbeeld: $-2 \le 1/x \le 3$ wordt $[x \le -1/2, 1/3 \le x]$ Voorbeeld: x^3 < 27 wordt x < 3 Voorbeeld: x^4 < 16 wordt |x| < 2 Voorbeeld: x^4 < 16 wordt -2 < x < 2 Voorbeeld: 16 < x^4 wordt 2 < |x| Voorbeeld: 16 < x^4 wordt [x < -2, 2 < x] Voorbeeld: 16 < x^4 < 81 wordt [-3 < x < -2, 2 < x < 3] Voorbeeld: $^4\sqrt x < 16$ wordt $0 \le x < 2$ Voorbeeld: $^3\sqrt x < 2$ wordt x < 8 Voorbeeld: $2 ^3\sqrt x < 1$ wordt 8x < 1 Voorbeeld: $2 < ^3\sqrt x$ wordt 8 < x Voorbeeld: x^4 < a wordt $x < ^4\sqrt a$ als $0\le x$ al is aangenomen. Voorbeeld: $-1 < ^4\sqrt (x^2 - 1)$ wordt $0 \le x^2 -1$ Voorbeeld: $x^3 \le 27$ wordt $x \le 3$ Voorbeeld: $x^4 \le 16$ wordt $|x| \le 2$ Voorbeeld: $x^4 \le 16$ wordt $-2 \le x \le 2$ Voorbeeld: $16 \le x^4$ wordt $2 \le |x|$ Voorbeeld: $16 \le x^4$ wordt $[x \le -2, 2 \le x]$ Voorbeeld: $16 \le x^4 < 81$ wordt $[-3 \le x \le -2, 2 \le x \le 3]$ Voorbeeld: $^4\sqrt x \le 16$ als $0 \le x \le 2$ Voorbeeld: $^3\sqrt x \le 2$ wordt $x \le 8$ Voorbeeld: $2 ^3\sqrt x \le 1$ wordt $8x \le 1$ Voorbeeld: $2 \le ^3\sqrt x$ wordt $8 \le x$ Voorbeeld: $x^4 \le a$ wordt $x \le ^4\sqrt a$ als $0\le x$ al wordt aangenomen. Voorbeeld: $-1 \le ^4\sqrt (x^2 - 1)$ wordt $0 \le x^2 -1$ Voorbeeld: 0 < x(x^2+1) wordt 0 < x Voorbeeld: $0 < 1/\sqrt x$ wordt $0 < \sqrt x$ Voorbeeld: $0 < x/\sqrt (x-1)$ wordt 0 < x(x-1) Voorbeeld: 0 < (x-1)/(x-2) wordt 0 < (x-1)(x-2) Voorbeeld: $1/\sqrt x < 0$ wordt $\sqrt x < 0$ Voorbeeld: $x/\sqrt (x-1) < 0$ wordt $x(x-1) < 0$ $ax \pm b < 0$ als $a(x\pm b/a) < 0$ u < v => v > u Voorbeeld: (x-1)(x+1) < 0 als -1 < x < 1. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: 0 < (x-1)(x+1) als x < -1 of 1 < x. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: $0 \le x(x^2+1)$ wordt $0 \le x$ Voorbeeld: $0 \le 1/\sqrt x$ wordt $0 \le \sqrt x$ Voorbeeld: $0 \le x/\sqrt (x-1)$ wordt $0 \le x(x-1)$ Voorbeeld: $0 \le (x-1)/(x-2)$ wordt $0 \le (x-1)(x-2)$ Voorbeeld: $1/\sqrt x \le 0$ wordt $\sqrt x \le 0$ Voorbeeld: $x/\sqrt (x-1) \le 0 $wordt $x(x-1) \le 0$ $ax \pm b \le 0$ als $a(x\pm b/a) \le 0$ $u \le v => v \le u$ Voorbeeld: $(x-1)(x+1) \le 0$ als $-1 \le x \le 1$. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: $0 \le (x-1)(x+1)$ als $x \le -1 of 1 \le x$. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: 4 > x^2 wordt 2 > |x| Voorbeeld: 4 > x^2 wordt -2 < x < 2 Voorbeeld: x^2 > 4 wordt |x| > 2 Voorbeeld: x^2 > 4 wordt [x < -2, x > 2] Voorbeeld: $2 > \sqrt x$ wordt $0 \le x < 4$ Voorbeeld: $2 > 2\sqrt x < 2$ wordt $0 \le 4x < 4$ Voorbeeld: $\sqrt x > 2$ wordt x > 4 Voorbeeld: 4 > x^2 wordt 2 > x als $0\le x$ al wordt aangenomen. Voorbeeld: $x^2 > -1$ is altijd waar. Voorbeeld: $-1 > x^2$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $\sqrt (x^2-1) > -1$ wordt $x^2-1 \ge 0$ Voorbeeld: $4 \ge x^2$ wordt $2 \ge |x|$ Voorbeeld: $4 \ge x^2$ wordt $-2 \le x \le 2$ Voorbeeld: $x^2 \ge 4$ wordt $|x| \ge 2$ Voorbeeld: $x^2 \ge 4$ wordt $[-2 \ge x, x \ge 2]$ Voorbeeld: $2 \ge \sqrt x$ wordt $0 \le x \le 4$ Voorbeeld: $2 \ge 2\sqrt x$ wordt $0 \le 4x \le 4$ Voorbeeld: $\sqrt x \ge 2$ wordt $x \ge 4$ Voorbeeld: $4 \ge x^2$ => $2 \ge x$ als $0\le x$ al wordt aangenomen. Voorbeeld: $x^2 \ge -1$ is altijd waar. Voorbeeld: $-1 \ge x^2$ heeft geen oplossing. Voorbeeld: $\sqrt (x^2-1) \ge -1$ wordt $x^2-1 \ge 0$ a > 1/x als x<0 of x > 1/a, mits $a > 0$ $1/x > a$ als $0 < x < 1/a$, mits $a > 0$ $-a > 1/x$ als $-1/a < x < 0$, mits $a > 0$ $1/x > -a$ als $x < -1/a$ of $x > 0$, mits $a > 0$ $a \ge 1/x$ als x<0 of $x \ge 1/a$, mits a > 0 $1/x \ge a$ als $0 < x \le 1/a$, mits a > 0 $-a \ge 1/x$ als $-1/a \le x < 0$, mits a > 0 $1/x \ge -a$ als $x \le -1/a$ of x > 0, mits a > 0 Voorbeeld: 27 > x^3 wordt $3 > x$ Voorbeeld: 16 > x^4 wordt $2 > |x|$ Voorbeeld: 16 > x^4 wordt $-2 < x < 2$ Voorbeeld: x^4 > 16 wordt |x| > 2 Voorbeeld: x^4 > 16 wordt [-2 > x, x > 2] Voorbeeld: $2 > ^3\sqrt x$ wordt 8 > x Voorbeeld: $1 > 2 ^3\sqrt x$ wordt 1 > 8x Voorbeeld: $^3\sqrt x > 2$ wordt x > 8 Voorbeeld: $2 > ^3\sqrt x$ wordt 8 > x Voorbeeld: $a > x^4$ wordt $^4\sqrt a > x$ als $0\le x$ al wordt aangenomen. Voorbeeld: $^4\sqrt (x^2 - 1) > -1$ wordt $x^2 -1 \ge 0$ Voorbeeld: $27 \ge x^3$ wordt $3 \ge x$ Voorbeeld: $16 \ge x^4$ wordt $2 \ge |x|$ Voorbeeld: $16 \ge x^4$ wordt $-2 \le x \le 2$ Voorbeeld: $x^4 \ge 16$ wordt $|x| \ge 2$ Voorbeeld: $x^4 \ge 16$ wordt $[-2 \ge x, x \ge 2]$ Voorbeeld: $2 \ge ^3\sqrt x$ wordt $8 \ge x$ Voorbeeld: $1 \ge 2 ^3\sqrt x$ wordt $1 \ge 8x$ Voorbeeld: $^3\sqrt x \ge 2$ wordt $x \ge 8$ Voorbeeld: $^4\sqrt (x^2 - 1) \ge -1$ wordt $x^2 -1 \ge 0$ Voorbeeld: $1/\sqrt x > 0$ wordt $\sqrt x > 0$ Voorbeeld: $x/\sqrt (x-1) > 0$ wordt x(x-1) > 0 Voorbeeld: (x-1)/(x-2) > 0 wordt (x-1)(x-2) > 0 Voorbeeld: $0 > 1/\sqrt x$ wordt $0 > \sqrt x$ Voorbeeld: $0 > x/\sqrt (x-1)$ wordt 0 > x(x-1) $0 > ax \pm b$ als $0 > a(x\pm b/a)$ Voorbeeld: 0 > (x-1)(x+1) als -1 < x < 1. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: (x-1)(x+1) > 0 als x < -1 of 1 < x. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: $1/\sqrt x \ge 0$ wordt $\sqrt x \ge 0$ Voorbeeld: $x/\sqrt (x-1) \ge 0$ wordt $x(x-1) \ge 0$ Voorbeeld: $(x-1)/(x-2) \ge 0$ wordt $(x-1)(x-2) \ge 0$ Voorbeeld: $0 \ge 1/\sqrt x$ wordt $0 \ge \sqrt x$ Voorbeeld: $0 \ge x/\sqrt (x-1)$ wordt $0 \ge x(x-1)$ $0 \ge ax \pm b$ als $0 \ge a(x\pm b/a)$ Voorbeeld: $0 \ge (x-1)(x+1)$ als $-1 \le x \le 1$. Behandelt ook meer factoren. Voorbeeld: $(x-1)(x+1) \ge 0$ als $x \le -1$ of $1 \le x$. Behandelt ook meer factoren. Expandeert volledig, gebruikt geen sigma-notatie. Kan termen creëren. Expandeert met gebruik van sigma-notatie en binomiale coëfficiënten. Drukt binomiale coëfficiënten uit met behulp van faculteiten. Gebruikt de definitie van faculteit als een product. Vermenigvuldigt het niet uit. Berekent de waarde van een faculteit. Voorbeeld: 6! = 720. Evalueert een specifieke binomiale coëfficiënt. Voorbeeld: (4 2) = 6 Drukt $\sum $ uit met +. De som moet een constant aantal termen hebben. Als elke term een getal is, evalueer dan met exacte rationele rekenkunde. Voorbeeld: $7! = 7\times 6!$ Voorbeeld: $7!/7 = 6!$ Voorbeeld: $7!/6! = 7$ Voorbeeld: $n!/(n-2)! = n(n-1)$ Voorbeeld: $7/7! = 1/6!$ Voorbeeld: $6!/7! = 1/7$ Voorbeeld: $(n-2)!/n! = 1/(n(n-1))$ Factoriseert de derde macht van een som. Factoriseert de derde macht van een verschil. Factoriseert de vierde macht van een som. Factoriseert de vierde macht van een verschil. Factoriseert een macht van een som. Factoriseert een macht van een verschil. Voorbeeld: de som van 1 van 1 tot 10 is 10. Trekt een minteken uit een geïndexeerde som. Trekt een constante uit een geïndexeerde som. Breekt een geïndexeerde som in twee (of meer) sommen. Voorbeeld: de som van $i$ voor $i = 1$ tot 100 is 100(101)/2 = 5050. Formule voor de som van de eerste n perfecte kwadraten. De som van x^i voor $i=0$ tot n heeft deze elegante gesloten vorm. Je wordt gevraagd hoeveel termen expliciet uitgeschreven moeten worden. Specificeer een parameterwaarde en evalueer met exacte rationele rekenkunde. Specificeer een parameterwaarde en evalueer met (bij benadering) decimale rekenkunde. Evalueer een numerieke som met exacte rekenkunde. Geen parameters toegestaan. Evalueer een numerieke som met decimale rekenkunde. Geen parameters toegestaan. Drukt de sommand uit als een polynoom in de indexvariabele, indien mogelijk. Voorbeeld: de som van 1/(k+1) - 1/k van 1 tot n wordt 1/(n+1) - 1 Voorbeeld: verander een som van k=0 tot n in een som van k = 1 tot n+1 Voordat je een product van sommen uitwerkt, moet je mogelijk een variabele hernoemen. Zet een product van sommen om in een dubbele som met gebruik van de distributieve wet. Voorbeeld: Verander een som van 1 tot n+1 in een som van 1 tot n, plus de laatste term. De formule voor de som van de eerste n kubussen De formule voor de som van de eerste n vierde machten Druk een afgeleide in een geïndexeerde som Haal een afgeleide uit een geïndexeerde som Druk een integraal in een geïndexeerde som Haal een integraal uit een geïndexeerde som Druk een constante in een geïndexeerde som of reeks. Schrijf een geïndexeerde som als een verschil van twee sommen met nul als startindex van de sommatie. Schrijf een geïndexeerde som als een verschil van twee sommen met een nieuwe, gespecificeerde startindex. Je wordt gevraagd de inductievariabele te kiezen. Je wordt gevraagd om de startwaarde van de inductievariabele. Neem de inductiehypothese aan en stel wat bewezen moet worden. Gebruik de inductiehypothese om de huidige regel te vereenvoudigen. Gebruik dit wanneer de inductiestap is voltooid, om de definitieve conclusie te trekken. Vereenvoudig een ongelijkheid van de vermelde vorm tot waar. Vereenvoudig een ongelijkheid van de vermelde vorm tot waar. Voorbeeld: $sin x^2 \le x^2$. u < v als en slechts als ln u < ln v, op voorwaarde dat u > 0. u < v als en slechts als log u < log v, op voorwaarde dat u > 0. Voorbeeld: 2 < ln x wordt e^2 < x Voorbeeld: ln x < 2 wordt x < e^2 Voorbeeld: 2 < log x wordt 10^2 < x Voorbeeld: log x < 2 wordt x < 10^2 Je zult het nummer ? specificeren om als basis van exponenten te gebruiken. $u \le v$ als en slechts als $ln u \le ln v$, op voorwaarde dat u > 0. $u \le v$ als en slechts als $log u \le log v$, op voorwaarde dat u >0. Voorbeeld: $2 \le ln x$ wordt $e^2 \le x$ Voorbeeld: $ln x \le 2$ wordt $x \le e^2$. Voorbeeld: $2 \le log x$ wordt $10^2 \le x$. Voorbeeld: $log x \le 2$ wordt $x \le 10^2$. u > v als en slechts als ln u > ln v, op voorwaarde dat u > 0. u > v als en slechts als log u > log v, op voorwaarde dat u > 0. Voorbeeld: ln x > 2 wordt x > e^2. Voorbeeld: 2 > ln x wordt e^2 > x. Voorbeeld: log x > 2 wordt x > 10^2. Voorbeeld: 2 > log x wordt 10^2 > x. $u \ge v$ als en slechts als $ln u \ge ln v$, op voorwaarde dat u > 0 $u \ge v$ als en slechts als $log u \ge log v$, op voorwaarde dat u >0 Voorbeeld: $ln x \ge 2$ wordt $x \ge e^2$. Voorbeeld: $2 \ge ln x$ wordt $e^2 \ge x$. Voorbeeld: $log x \ge 2$ wordt $x \ge 10^2$. Voorbeeld: $2 \ge log x$ wordt $10^2 \ge x$. Voorbeeld: $n < 2^n$ voor $n > M$, voor een specifiek maar ongespecificeerd getal $M$ Voorbeeld: $ln n < \sqrt n$ voor $n > M$, voor een specifiek maar ongespecificeerd getal $M$ Voorbeeld: $10^(\log 3x)$ wordt 3x. Voorbeeld: log 100 wordt 2 De log van 1 is nul aangezien 10^0 = 1. De log van 10 is 1, aangezien 10^1 = 1. Zet logaritmen basis 10 om naar natuurlijke logaritmen. Druk een macht uit met basis 10 en een log in de exponent. Voorbeeld: $400 = 10^2\times 4$. Factoriseert niet volledig, haalt alleen tienen eruit. Voorbeeld: $10^(2 \log x)$ wordt x^2. Voorbeeld: $log (4/5) = - log (5/4)$ Voorbeeld: $log(3,4/5) = - log(3, 5/4)$ Voorbeeld: log x^3 = 3 log x Voorbeeld: log 3x = log 3 + log x Voorbeeld: log 1/2 = -log 2 Voorbeeld: log x/2 = log x - log 2 Voorbeeld: log 2 + log x = log 2x Voorbeeld: log x - log 2 = log x/2 Voorbeeld: log x + log 2 - log 3 =log 2x/3 Voorbeeld: 2 log x = log x^2 Voorbeeld: $log \sqrt 3 = \onehalf log 3$ Voorbeeld: $log ^3\sqrt x = (1/3) log x$ De log van 1 is 0 aangezien 10^0 = 1. Je wordt gevraagd a in te voeren. Voorbeeld: log x = $\onehalf log u^2$ Evalueer logaritmen met behulp van decimale benaderingen. Deze fundamentele wet verbindt natuurlijke logaritmen en de exponentiële functie. In woorden: e is de basis van natuurlijke logaritmen. De natuurlijke log van 1 is 0, aangezien e^0 = 1. Voorbeeld: ln e^2 = 2 Druk een willekeurige macht uit met een macht van $e$ en een natuurlijke logaritme. Elimineer een natuurlijke log in een exponent van $e$. Voorbeeld: ln x^2 = 2 ln x Voorbeeld: ln 2x = ln 2 + ln x Voorbeeld: ln 1/2 = -ln 2 Voorbeeld: ln x/2 = ln x - ln 2 Voorbeeld: ln (x-1) + ln (x+1) = ln (x-1)(x+1) Voorbeeld: ln x - ln 2 = ln x/2 Voorbeeld: ln x + ln 2 - ln 3 = ln (2x/3) Voorbeeld: 2 ln x = ln x^2 Voorbeeld: $ln \sqrt 3 = \onehalf ln 3$ Voorbeeld: $ln ^3\sqrt x = (1/3) ln x$ Je wordt gevraagd a in te voeren. Voorbeeld: ln (1 + 1/n) = 1/n ln(1+1/n)^n Evalueer natuurlijke logaritmen met behulp van decimale benaderingen. Voorbeeld: $ln (4/5) = - ln (5/4)$ Voorbeeld: $sin x cos(\pi /2) + cos x sin(\pi /2) = sin(x+\pi /2)$ Voorbeeld: $sin x cos(\pi /2) - cos x sin(\pi /2) = sin(x-\pi /2)$ Voorbeeld: $cos x cos(\pi /2) - sin x sin(\pi /2) = cos(x+\pi /2)$ Voorbeeld: $cos x cos(\pi /2) + sin x sin(\pi /2) = cos(x-\pi /2)$ Voorbeeld: (sin 4u)/(1+cos 4u) = tan 2u Voorbeeld: (1-cos 4u)/sin 4u = tan 2u Voorbeeld: (1+cos 4u)/sin 4u = cot 2u Voorbeeld: (sin 4u)/(1-cos 4u) = cot 2u Voorbeeld: $(tan x + tan \pi /2)/(1-tan x tan \pi /2) = tan(x+\pi /2)$ Voorbeeld: $(tan x - tan \pi /2)/(1+tan x tan \pi /2) = tan(x-\pi /2)$ Voorbeeld: $(cot x cot(\pi /4) - 1)/(cot x + cot \pi /4) = cot(x+\pi /4)$ Voorbeeld: $(1 + cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4 - cot x) = cot(x-\pi /4)$ Voorbeeld: $1-cos(\pi /3)$ wordt $2sin^2 \pi /6$ Zet x + iy om naar poolvorm $r e^(i\theta )$. Druk een complex exponentieel uit in termen van cosinus en sinus. Aangezien $e^(i\theta )$ op de eenheidscirkel ligt, is de absolute waarde 1. Aangezien $Re^(i\theta )$ op de cirkel met straal R ligt, is de absolute waarde R. Als het teken van R onbekend is, heb je de absolute waarde aan de rechterkant nodig. Voorbeeld: $-2 = 2e^(i\pi )$ Voorbeeld: $$root(3,-2) = e^(pi i/3) root(3,2)$$ Voorbeeld: 2/(3e^t) = 2e^(-t)/3 Voorbeeld: x^3 = 1 wordt $$x = e^(2k pi i/3)$$ Voorbeeld: $$x = e^(2k pi i/3)$$ wordt $$[x=1, x=e^(2 pi i/3), x=e^(4 pi i/3)]$$ Voorbeeld: $$2^(log(2,3)) = 3$$ Voorbeeld: $$5^(2 log(5,x))=x^2$$ De logaritme met basis b van b is 1. Voorbeeld: $$log(2,2^5) = 5$$ Voorbeeld: log 2x = log 2 + log x Voorbeeld: $log (\onehalf ) = -log 2$ De logaritme met elke basis van 1 is nul, aangezien b^0 = 1. Voorbeeld: $$log(6,x)=log(2*3,x)$$ Voorbeeld: $$log(3^2,x) = (1/2) log (3,x)$$ Voorbeeld: log x^2 = 2 log x Voorbeeld: $log(2, 84) = log(2,2^2 21)$ Voorbeeld: log x + log 2 - log 3 = log 2x/3 Converteer logaritmen basis b naar natuurlijke logaritmen Converteer logaritmen basis b naar logaritmen basis 10 Converteer logaritmen basis b naar logaritmen basis a Voorbeeld: log(3^2,x) = (1/2) log (3,x) Definitie van log Converteer logaritmen basis 10 naar natuurlijke logaritmen. Converteer natuurlijke logaritmen naar logaritmen basis 10. Voorbeeld: x^5 wordt 3^5 log(3,x) sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 Sinus is nul bij veelvouden van $\pi $. Cosinus is 1 bij even veelvouden van $2\pi $. Tangens is nul bij veelvouden van $\pi $. Voorbeeld: $sin 370\deg = sin 10\deg $ Voorbeeld: $sin 9\pi /4 = sin \pi /4$ Voorbeelden: $sin 3\pi /2 = -1; cos 180\deg = -1; cot 90\deg = 0$. Voorbeelden: $sin 30\deg = 1/2; cos \pi /3 = 1/2; tan 2\pi /3 = -\sqrt 3$. Voorbeelden: $sin 45\deg = 1/\sqrt 2; tan 3\pi /4 = -1$. $\pi $ radialen = 180 graden = helft van een cirkelboog 180 graden = $\pi $ radialen = helft van een cirkelboog Voorbeeld: $15\deg = 45\deg - 30\deg $. Gebruik dit om $sin 15\deg $ exact te evalueren. Evalueer trig functies met behulp van decimale benaderingen. Druk tan uit in termen van sin en cos Druk cot uit in termen van tan Druk cot uit in termen van sin en cos Definitie van sec Definitie van csc Definitie van tan Definitie van cot De reciproke van sinus is de cosecans. De reciproke van cosinus is de secans De reciproke van de tangens is de cotangens De reciproke van de tangens kan worden uitgedrukt in termen van sin en cos. De reciproke van de cotangens is de tangens De reciproke van de cotangens kan worden uitgedrukt in termen van sin en cos. De reciproke van de secans is de cosinus De reciproke van de cosecans is de sinus. De reciproke van de sinus is de cosecans Druk tan uit in termen van cot Deze fundamentele identiteit is de stelling van Pythagoras in vermomming. Gebruik deze vorm van $sin^2 u + cos^2 u = 1$ om $1 - sin^2 u$ te vereenvoudigen. Gebruik deze vorm van $sin^2 u + cos^2 u = 1$ om $1 - cos^2 u$ te vereenvoudigen. Druk $sin^2$ uit in termen van $cos^2$. Druk $cos^2$ uit in termen van $sin^2$. Om deze identiteit te onthouden, deel $sin^2 + cos^2 = 1$ door $cos^2$. Gebruik dit om $tan^2 u + 1$ te vereenvoudigen. Gebruik dit om $sec^2 u - 1$ te vereenvoudigen. Druk $sec^2$ uit in termen van $tan^2$. Druk $tan^2$ uit in termen van $sec^2$. Voorbeeld: $sin^5 t = sin t (1-cos^2 t)^2$ Voorbeeld: $cos^5 t = cos t (1-sin^2 t)^2$ Voorbeeld: $tan^5 t = tan (sec^2 t-1)^2$ Voorbeeld: $sec^5 t = sec t (tan^2 t+1)^2$ Voorbeeld: (1-cos t)^2(1+cos t)^2 = sin^4 t Voorbeeld: (1-sin t)^2(1+sin t)^2 = cos^4 t Om deze identiteit te onthouden, deel $sin^2 + cos^2 = 1 door sin^2$. Gebruik dit om $cot^2 u + 1$ te vereenvoudigen. Gebruik dit om $csc^2 u - 1$ te vereenvoudigen. Druk $csc^2$ uit in termen van $cot^2$. Druk $cot^2$ uit in termen van $csc^2$. Voorbeeld: $csc \pi /6 = sec \pi /3$ Voorbeeld: $cot \pi /6 = tan \pi /3$ Voorbeeld: $cot^5 t = cot (csc^2 t-1)^2$ Voorbeeld: $csc^5 t = csc t (cot^2 t+1)^2$ Voorbeeld: $sin(x+\pi /4)= sin x cos \pi /4 + cos x sin \pi /4$ Voorbeeld: $sin(x-\pi /4)= sin x cos \pi /4 - cos x sin \pi /4$ Voorbeeld: $cos(x+\pi /4)= cos x cos \pi /4 - sin x sin \pi /4$ Voorbeeld: $cos(x-\pi /4)= cos x cos \pi /4 + sin x sin \pi /4$ Voorbeeld: $tan(x+\pi /4)=(tan x+tan \pi /4)/(1-tan x tan \pi /4)$ Voorbeeld: $tan(x-\pi /4)=(tan x-tan \pi /4)/(1+tan x tan \pi /4)$ Voorbeeld: $cot(x+\pi /4)=(cot x cot \pi /4-1)/(cot x+cot \pi /4)$ Voorbeeld: $cot(x-\pi /4)=(1+cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4-cot x)$ Voorbeelden: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x; $sin 40\deg = 2 sin 20\deg sin 20\deg $ Voorbeelden: cos 4x = cos^2 x - sin^2 x; $cos 40\deg = cos^2 20\deg - sin^2 20\deg $ Druk $cos 2\theta $ uit in termen van $sin^2 \theta $. Druk $cos 2\theta $ uit in termen van $cos^2 \theta $. Druk $tan 2\theta $ uit in termen van $tan \theta $. Druk $cot 2\theta $ uit in termen van $cot \theta $. Druk $sin \theta cos \theta $ uit in termen van $sin 2\theta $ Druk $2 sin \theta cos \theta $ uit in termen van $sin 2\theta $ Druk $cos^2 \theta - sin^2 \theta $ uit als een enkele trig functie, $cos(2\theta )$ Gebruik dit om van $sin^2$ af te komen ten gunste van een enkele trig functie. Gebruik dit om van $cos^2$ af te komen ten gunste van een enkele trig functie. Voorbeeld: $3\theta = 2\theta + \theta $ Voorbeeld: $7\theta = 3\theta + 4\theta $; je voert de 3 in wanneer je ernaar wordt gevraagd. Deze drievoudige hoekformule kan je meerdere stappen besparen. Voorbeeld: $sin 7\theta = -sin^7 \theta + 21 cos^2 \theta sin^5 \theta + ...$ Voorbeeld: $cos 7\theta = cos^7 \theta - 21 cos^5 \theta sin^2 \theta + ...$ Voorbeeld: x/3 = 3/4 wordt 4x = 9 Voorbeeld: 3 = x wordt x = 3 De gespecificeerde term wordt van de linkerkant naar de rechterkant verplaatst. De gespecificeerde term wordt van de rechterkant naar de linkerkant verplaatst. Voeg een gespecificeerde term toe aan beide kanten Trek een gespecificeerde term af van beide kanten Vermenigvuldig beide zijden met een gespecificeerde term. Voorbeeld: $1 - sin^2 x + tan x = tan x + cos^2 x$ wordt $1-sin^2 x = cos^2 x$. Voorbeeld: $\sqrt (1-sin^2 x) = cos x$ wordt $1-sin^2 x = cos^2 x$. Voorbeeld: tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x wordt tan x = sin x / cos x Voorbeeld: tan^3 x = sin^3 x / cos^3 x wordt tan x = sin x / cos x Je wordt gevraagd welke functie toe te passen. Gebruik dit om een valse identiteit te weerleggen of om er een te testen die je niet kunt verifiëren. Deze hoeken zijn $30\deg $ boven de plus- en min-x-assen. Deze hoeken zijn $30\deg $ onder de plus- en min-x-assen. Deze hoeken zijn de veelvouden van $60\deg $ boven de x-as. Deze hoeken zijn de veelvouden van $60\deg $ onder de x-as. Dat wil zeggen, plus of min $30\deg $. Dat wil zeggen, plus of min $30\deg $ vanaf de negatieve x-as. Dat wil zeggen, plus of min $60\deg $. Dat wil zeggen, plus of min $120\deg $. Dat wil zeggen, $30\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $210\deg $ is inbegrepen). Dat wil zeggen, $-30\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $150\deg $ is inbegrepen). Dat wil zeggen, $60\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $240\deg $ is inbegrepen). Dat wil zeggen, $-60\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $120\deg $ is inbegrepen). Deze hoeken zijn $45\deg $ omhoog vanaf de plus- en min-x-assen. Deze hoeken zijn $45\deg $ omlaag vanaf de plus- en min-x-assen. Deze hoeken zijn $45\deg $ rechts vanaf de plus- en min-y-assen. Deze hoeken zijn $45\deg $ links vanaf de plus- en min-y-assen. Dat wil zeggen, $45\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $225\deg $ is inbegrepen). Dat wil zeggen, $-45\deg $ plus veelvouden van $\pi $ (niet $2\pi $, let op $135\deg $ is inbegrepen). sin u is nul bij veelvouden van $\pi $. sin u is 1 wanneer u $\pi /2$ plus een veelvoud van $2\pi $ is. sin u is -1 wanneer u $3\pi /2$ plus een veelvoud van $2\pi $ is. cos u is 0 wanneer u een oneven veelvoud van $\pi /2$ is. cos u = 1 wanneer u een veelvoud van $2\pi $ is. cos u = -1 wanneer u een oneven veelvoud van $\pi $ is. Voorbeeld: $tan x^2 = 0$ wordt $sin x^2 = 0$. Voorbeeld: $cot x^2 = 0$ wordt $cos x^2 = 0$. Voorbeeld: sin x = 3/4 wordt $x = (-1)^n arcsin 3/4 + n\pi $ Voorbeeld: sin x = 3/4 wordt $[x = arcsin 3/4 + 2n\pi , x = -arcsin 3/4 + (2n+1)\pi ]$ Voorbeeld: cos x = 3/4 wordt $[x = arccos 3/4+2n\pi , x = -arccos 3/4 + 2n\pi ]$ Voorbeeld: tan x = 3 wordt $x = arctan 3 + n\pi $ Voorbeeld: $arcsin(\onehalf ) = \pi /6$. Slechts een paar waarden zullen exact evalueren. Voorbeeld: $arccos(\onehalf ) = \pi /3$. Slechts een paar waarden zullen exact evalueren. Voorbeeld: $arctan 1 = \pi /4$. Slechts een paar waarden zullen exact evalueren. Als cot z = x dan tan z = 1/x. Als sec z = x dan cos z = 1/x. Als csc z = x dan sin z = 1/x. arcsin is een oneven functie arccos is niet helemaal oneven maar volgt deze vergelijkbare identiteit. arctan is een oneven functie. Zet de oplossingen in de vorm $c + 2n\pi $, als $2\pi $ de periode is. Voorbeeld: sin u = 2 heeft geen oplossing. Voorbeeld: cos u = 2 heeft geen oplossing. Als $sin \theta = x$ dan $tan \theta = x/\sqrt (1-x^2)$. Als $cos \theta = x$ dan $tan \theta = \sqrt (1-x^2)/x$. De definiërende eigenschap van arctan. De definiërende eigenschap van arcsin. Als $cos \theta = x$ dan $sin \theta = \sqrt (1-x^2)$. Als $tan \theta = x$ dan $sin \theta = x/\sqrt (x^2+1)$. Als $sin \theta = x$ dan $cos \theta = \sqrt (1-x^2)$ De definiërende eigenschap van arccos Als $tan \theta = x$ dan $cos \theta = 1/\sqrt (x^2+1)$ Als $sin \theta = x$ dan $sec \theta = 1/\sqrt (1-x^2)$ Als $cos \theta = x$ dan $sec \theta = 1/x$ Als $tan \theta = x$ dan $sec \theta = \sqrt (x^2+1)$ Voorbeeld: $arctan (tan \pi /3) = \pi /3$ Voorbeeld: $arcsin(sin \pi /3) = \pi /3$ Voorbeeld: $arccos(cos \pi /5) = \pi /5$ c1 is constant op intervallen waar tan x is gedefinieerd, een integratieconstante. De hoek waarvan de sin x is en de hoek waarvan de cosinus x is, zijn complementair. Dat wil zeggen, de som is $\pm \pi /2$, afhankelijk van het teken van x. Cosinus is de sinus van het complement. Sinus is de cosinus van het complement. Cotangens is de tangens van het complement. Tangens is de cotangens van het complement. Cosecans is de secans van het complement. Secans is de cosecans van het complement. Voorbeeld: $sin (\pi /3) = cos (\pi /6)$ Voorbeeld: $cos (\pi /3) = sin (\pi /6)$ Voorbeeld: $tan (\pi /3) = sin (\pi /6)$ Voorbeeld: $cot (\pi /3) = tan (\pi /6)$ Voorbeeld: $sec (\pi /3) = csc (\pi /6)$ Voorbeeld: $csc (\pi /3) = sec (\pi /6)$ Voorbeeld: $sin (30\deg ) = cos (60\deg )$ Voorbeeld: $cos (30\deg ) = sin (60\deg )$ Voorbeeld: $tan (30\deg ) = sin (60\deg )$ Voorbeeld: $cot (30\deg ) = tan (60\deg )$ Voorbeeld: $sec (30\deg ) = csc (60\deg )$ Voorbeeld: $csc (30\deg ) = sec (60\deg )$ Voorbeeld: $15\deg +10\deg = (15+10)\deg = 25\deg $. Alleen getallen kunnen direct worden opgeteld. Voorbeeld: $2\times 30\deg = (2\times 30)\deg = 60\deg $ Voorbeeld: $60\deg /2 = (30)\deg $ sin is een oneven functie. cos is een even functie. tan is een oneven functie. cot is een oneven functie. sec is een even functie. csc is een oneven functie. sin^2 is een even functie. cos^2 is een even functie. tan^2 is een even functie. cot^2 is een even functie. sec^2 is een even functie. csc^2 is een even functie. sin is periodiek met periode $2\pi $. Voorbeeld: $sin (9\pi /4) = sin (\pi /4)$ cos is periodiek met periode $2\pi $. Voorbeeld: $cos (9\pi /4) = cos (\pi /4)$ tan is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $tan (3\pi /4) = tan (\pi /4)$ sec is periodiek met periode $2\pi $. Voorbeeld: $sec (9\pi /4) = sec (\pi /4)$ csc is periodiek met periode $2\pi $. Voorbeeld: $csc (9\pi /4) = csc (\pi /4)$ cot is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $cot (3\pi /4) = cot (\pi /4)$ sin^2 is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $sin^2 (3\pi /4) = sin^2 (\pi /4)$ cos^2 is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $cos^2 (3\pi /4) = cos^2 (\pi /4)$ sec^2 is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $sec^2 (3\pi /4) = sec^2 (\pi /4)$ csc^2 is periodiek met periode $\pi $. Voorbeeld: $csc^2 (3\pi /4) = csc^2 (\pi /4)$ Voorbeeld: $sin 200\deg = -sin 20\deg $ Voorbeeld: $sin 160\deg = sin 20\deg $ Voorbeeld: $cos 200\deg = -cos 20\deg $ Voorbeeld: $cos 160\deg = -cos 20\deg $ Druk $sin^2$ uit in termen van een enkele trig-functie in plaats van een macht. Druk $cos^2$ uit in termen van een enkele trig-functie in plaats van een macht. Verander een product van trig-functies in een enkele trig-functie. Er zijn twee formules voor $tan (\theta /2)$. Kies de beste afhankelijk van de context. Er zijn twee formules voor $cot (\theta /2)$. Kies de beste afhankelijk van de context. Druk $sin(\theta /2)$ uit in termen van $cos \theta $ Druk $cos(\theta /2)$ uit in termen van $cos \theta $ Voorbeeld: $60\deg = 2\times 30\deg $. Het omgekeerde van de formule voor dubbele hoek. Voorbeeld: $sin (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [sin(2x)+sin(\pi /2)]$ Voorbeeld: $cos (x+\pi /4) sin (x-\pi /4) = \onehalf [sin(2x)-sin(\pi /2)]$ Voorbeeld: $sin (x+\pi /4) sin (x-\pi /4) = \onehalf [cos(\pi /2)-cos(2x)]$ Voorbeeld: $cos (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [cos(2x)+cos(\pi /2)]$ Schrijf een som van sinussen als een product van een sinus en een cosinus. Schrijf een verschil van sinussen als een product van een sinus en een cosinus. Schrijf een som van cosinussen als een product van een sinus en een cosinus. Schrijf een verschil van cosinussen als een product van een sinus en een cosinus. Vervang twee nieuwe variabelen voor de twee verschillende uitdrukkingen binnen de trig-functies. 0 Localizer/dutch/dutch_ophelp1.c Dutch_ophelp L \ X E J ; 5 Q E � � J `J X r � � � �
int M� � � � � 7� \ �:
n 7 � �\ B� �l J X J J : I ! I/ $ > I & I 4 :!; 9 I !I % .?: ; 9 'I<
$ > .?: ; 9 '�< .?: ;9 'I@|
: ;9 I 4 : ;9 I 4 I4 , \ u @ �
�
�u
��
�� GNU C17 13.2.0 -mtune=generic -march=x86-64 -g unsigned int long unsigned int nitems __func__ arithhelp ophelp1 __assert Dutch_ophelp2 char Dutch_ophelp /home/beeson/MathXpert Localizer/dutch/dutch_ophelp1.c /home/beeson/MathXpert Localizer/dutch . /usr/include dutch_ophelp1.c dutch_ophelp1.c english1.h assert.h GCC: (FreeBSD Ports Collection) 13.2.0 zR x � \ A�C
W � < �0 # `�
. \ ; D dutch_ophelp1.c arithhelp ophelp1 __func__.0 Dutch_ophelp __assert Dutch_ophelp2 % 5
9� ?
@� D
`� I ��������V �������� @ x � � ( � 0 X 8 � @ � H P � X � ` � � 0 � � � � � � � � � 8 � ` � � : N ( h 0 � 8 � @ 0 H � P x X � ` � h p P x p � � � � � � � @ � � � � � � � � H � x � � � � �
� (
P
u
�
�
�
( �
0 8 0 @ x H � P � X ` 8 h ` p � x � � � �
� h
� �
�
�
` � ( � 0 � 8 @ H H � P � X ` h ` p � x � � � � � 8 � X � � � � � � � � � � � � � P � u � � � � � ( ( H 0 h 8 � � h � � � � i � � � � � � � � � � H � p � � H p � � ( � 0 8 8 @ k H � P � X � ` � h p . x G � h � � � � � � � 0 � � � X � � � � � � � � � � H � ( � 0 8 j @ � H . P G X � � � � � h � � � � � ( � P � � � � � H � H � � � � � � � P � � P � � `! ( �! 0 �! 8 8" @ �" H �" P # X _# ` �# h �# p �# � $ � X$ � �$ � �$ � �$ � 8% � `% � �% � �% � �% � P& � �& � �& � �& � ' � 0' X' �' �' �' ( ( 7( 0 X( 8 �( @ �( H �( P �( X () ` X) h �) p �) x * � X* � �* � �* � �* + `+ �+ �+ , ( H, 0 x, 8 �, @ �, H - P H- X x- ` �- h �- p . x 0. � X. � �. � �. � �. � �. � / � 8/ � X/ � �/ � �/ � 0 � @0 � x0 � �0 � �0 � (1
h1
�1
�1
�1
2 (
@2 0
`2 8
�2 @
�2 H
�2 P
�2 X
3 `
X3 h
�3 p
4 x
p4 �
�4 �
�4 �
�4 �
5 �
h5 �
�5 �
6 �
86 �
h6 �
�6 �
�6 �
7 �
p7 �
�7 �
8 �
h8 �8 �8 �8 9 9 ( @9 0 h9 8 �9 @ �9 H �9 P : X @9 ` (: h P: p �: x �: � �: � ; � ; � D; � X; � �; � �; � �; � < P< � �< � �< � (= � X= � x= � �= � > � 8> � `> � �> � ? � 0? � �? � �? � @ � p@
�@
�@
(A
pA
�A (
B 0
�B 8
`C @
�C H
�C P
XD X
�D `
�D �
E �
E �
HE �
pE �
�E �
�E �
�E �
F ZF hF � �F � �F � G � XG � XG � �G � �G � @H � @H � �H � �H � I � XI � �I J HJ �J �J � K � K � `K � �K � �K � �K � @L � �L � �L � �L � �L � (M � HM � HM � �M � �M (N `N �N �N O ( hO 0 �O 8 P @ �P � �P � �M � �P � (Q � (Q � `Q � �Q � �Q � �Q � (R � PR � �R � �R � �R � XS �S �S 0T hT �T � (U � pU � �U � �U � �U � �U � V � HV � pV � �V � �V � �V � W � HW � HW � �W �W �W (X PX �X ( �X 0 �X 8 Y @ HY H xY P �Y X �Y ` Z h 8Z p �Z � �Z � [ � 8[ � `[ � �[ � �[ � �[ � \ � P\ � �\ � �\ � �\ � ] � G] � ^] w] �] �] �] ^ ( @^ 0 x^ 8 �^ @ �^ H @_ P �_ X �_ ` 0` h �` p �` x a � ya � �a � �a � �a � �a � b � @b pb �b �b c 8c ( hc 0 �c 8 �c @ 0d H @_ P �_ X �d ` �d h He p a � xe � �e � �e � f � (f � Pf �f �f �f g 0g ( hg 0 �g 8 �g @ �g H h P Hh X �h ` �h h �h � i � Pi � �i � �i � �i � @j � xj � �j � �j � k � Hk � �k � �k � �k 8l pl �l �l m ( 8m 0 pm 8 �m @ �m H n � Xn � �n � �n � �n � 0o � ho � �o � �o � p � `p �p �p �p q @q ( pq 0 �q 8 �q @ r H 8r P �q X `r ` �r � �r � s � Hs � �s � �s � �s � 8t � pt � �t � �t � pt � u � `u �u �u v 0v `v ( �v 0 �v 8 �v @ w H Hw � �w � �w � x � 8x � xx � �x � �x � y � 0y � �y �y z 8z `z �z ( �z 0 �z 8 { @ h{ H �{ P �{ � �{ � (| � `| � �| � �| � } � 8} � h} � �} � �} � ~ P~ �~ �~ �~ � � P � � � � � � 8� `� �� ( pq 0 �� 8 � @ � H 8� P `� X �� � � � � � P� � �� � �� � �s � � � � � X� � pt � u � �� ȃ �� (� X� �� ( �� 0 � 8 (� � x� � �� � � � (� � `� � �� � Ȇ � � �� ȇ � P� �� ( 0 � 8 0� @ x� H P ߉ X �� ` � h 0� p I� x h� � �� � �� � � � � � P� � x� �� ؋ � 8� 8� ( 0� 0 p� 8 �� @ � H 8� P �� X Ѝ ` (� h x� p Ȏ x � � `� � �� � � � X� � �� � � � � � H� � x� � �� � ؑ � � � x� � � `� �� � � H� � H� � �� � H� � H� � H� � H� � (� p� �� �� ( � 0 � � `� � �� � � � � � P� � �� � � ! �� ! � ! 8� ! `� ! �� (! �� 0! � �! ؘ �! � �! h� �! �� �! ș �! �� �! � �! (� �! �� " � " � " � " H� " p� (" �� 0" � 8" � @" @� H" h� P" �� �" �� �" �" �� �" � �" @� �" h� �" �� �" �� �" ؝ �" � �" 8� �" � �" � �" `� �" �� �" p� # � # @� # x� # �� # �� (# � �# O� �# p� �# �� �# �� �# x� �# � �# Р �# � �# � �# J� �# h� �# �� �# �� �# � �# P� $ x� $ �� $ � $ P� $ �� ($ �� 0$ � 8$ � @$ 8� H$ �� P$ Ȥ X$ � `$ h� �$ �� �$ Х �$ � �$ h� �$ �� �$ � �$ 8� �$ p� �$ �� �$ �� % � % 8� % `� % �� % �� (% Ш 0% � 8% �� @% 8� H% `� P% �� X% �� `% @� h% h� p% � x% �� �% � �% P� �% �� �% �� �% � �% @� �% � �% @� �% �� & �� & �� & �� & �� & � (& � 0& H� 8& p� @& �� H& � P& 0� X& p� `& �� h& � p& @� �& �� �& �� �& Ȯ �& � �& � �& � �& $� ' 8� ' `� ' �� ' �� ' � (' 8� 0' �� 8' �� @' � H' � P' � �' 8� �' �� �' � �' 8� �' `� �' �� �' в �' � �' 0� �' X� �' �� �' �� �' � �' � �' @� �' p� ( �� ( � ( � ( H� ( p� (( �� 0( �� 8( � @( � �( H� �( �� �( ȶ �( � �( H� �( �� �( ط �( � ) h� ) �� ) � ) P� ) P� () � 0) �� 8) �� @) �� H) @� P) �� X) � `) 0� �) �� �) �� �) � �) � �) P� �) �� * � * (� * H� * �� * � (* � 0* X� 8* �� @* � H* 8� P* �� X* ȿ `* h* �� p* �3 �* `� �* �� �* � �* � �* `� �* �� �* � �* � �* � �* �� �* �� �* P� + �� + � + H� + �� + �� (+ 8� �+ �� �+ �� �+ � �+ P� �+ �� �+ �� �+ � �+ 0� , `� , �� , �� , P� , �� (, �� 0, H� 8, �� @, �� H, �� P, �� X, � `, i� h, �� p, �� x, � �, 0� �, p� �, �� �, �� �, � �, @� �, �� �, �� �, �� �, � �, `� �, �� �, �� �, � �, 0� �, `� - �� - � �- `� �- �� �- �� �- �� �- � �- @� �- p� �- �� �- �� �- � �- 0� �- `� . `� . �� . �� . �� . � (. @� 0. �� 8. �� @. �� H. � P. P� X. �� `. �� h. � p. X� �. {� �. �� �. �� �. �� �. �� �. �� �. � �. 4� �. O� �. j� �. �� �. �� / �� / � / p� / �� / � (/ p� 0/ �� 8/ � @/ p� H/ �� P/ � X/ P� `/ x� h/ �� �/ �� �/ (� �/ �� �/ (� �/ x� �/ �� �/ �� �/ � �/ � �/ �� �/ �� �/ �� �/ �� �/ �� 0 � 0 P� 0 �� 0 �� 0 @� (0 �� 00 �� 80 0� @0 �� H0 ��
*
1
/ M
< T
� ^
^ j �
h � �
y �
p �
� �
N '
U 1 `�
"
7 &
N *
^ .
` 8
m =
} B
� G
� Q .symtab .strtab .shstrtab .rela.text .rela.data .bss .rodata .rela.debug_info .debug_abbrev .rela.debug_aranges .rela.debug_line .debug_str .debug_line_str .comment .note.GNU-stack .rela.eh_frame @ \ @ � � + � �0 & @ p g 1 1 6 1 m� C � P > @ �} � O � � b � 0 ] @ p 0
v � y q @ � � � 0 g � � 0 � � 0 � ( � � � � 8 � @ x� �
� R �� �
Sindbad File Manager Version 1.0, Coded By Sindbad EG ~ The Terrorists