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ELF > � @ @ UH��}��E�H�H��H ]� 在极限点附近计算函数值，您将指定这些值。 和的极限是极限的和（如果定义）。 差的极限是极限的差（如果定义）。 示例：$lim(t->3,\pi ) = \pi $ 示例：lim(t->3,t) = 3 将常数移出极限符号。 将负号移出极限符号。 积的极限是极限的积（如果定义）。 （常数）幂的极限是极限的幂。 示例：lim(x->3,2^x) = 2^lim(x->3,x) 幂的极限是极限的幂（如果定义）。 注意当极限为零的情况。如果 $u\ge 0$，它仍然适用。 奇数次根的极限是极限的根。 在一个步骤中计算极限变量的多项式的极限。 示例：lim(x->0,|x^3|) = |lim(x->0,x^3| 将常数从极限符号移出到分子和分母中。 仅适用于分子是常数的情况。 如果 lim u 和 lim v 都为零或无穷，则不起作用。 如果可能，从分子和分母中提取 (x-a) 的幂。 在一个步骤中计算多项式商的极限。 使用该规则准备将极限推到幂中。 示例：这将分子和分母乘以 $(x-1)/(\sqrt x-1)$ 的 $\sqrt x+1$。 示例：在极限 $(x-1)^2 sin x/ tan x$ 中，当 x->0 时提取 lim (x-1)^2。 $ab + ac = a(b+c)$，其中 $a$ 不依赖于极限变量。 您将被要求乘以分子和分母。 您将得到复合分数的极限，而不是极限的商。 您将得到极限的商，而不是复合分数的极限。 示例：在 $(sin x cos h + cos x sin h - sin x)/h$ 上使用此方法 示例：$\sqrt x/2 = \sqrt (x/4)$ 示例：$\sqrt x/(-2) = -\sqrt (x/4)$ 示例：$^3\sqrt a/2 = ^3\sqrt (a/8)$ 示例：$^4\sqrt x/(-2) = -^4\sqrt (x/16) (b<0, n even)$ 示例：$2/\sqrt x = \sqrt (4/x)$ 示例：$(x-1)/\sqrt x = -\sqrt ((x-1)^2/x)$ 当 $x\le 1$ 示例：$2/+^3\sqrt x = ^3\sqrt (8/x)$ 示例：$(x-1)/^3\sqrt x = -^3\sqrt (x-1)^n/x)$ 当 $x\le 1$ 将不定式的商的极限替换为导数的极限。 使用所有关于导数的规则一步得到答案。 示例：lim x ln x = lim (ln x)/(1/x)。然后使用 L'Hospital 法则。 示例：$lim x (ln x)^2 = lim (ln x)^2/(1/x)$。然后使用 L'Hospital 法则。 示例：lim x^(-3) e^x = lim e^x/x^3。 示例：lim x^3 e^x = lim x^3/e^(-x)。然后使用 L'Hospital 法则。 示例：$lim f(x) tan x = lim f(x)/cot x$； $lim f(x) sin x = lim f(x)/csc x$。 您将被询问要移动到分母的因子。 将分数放到公共分母并简化。 对于小 t，sin t 近似为 t。 对于小 t，tan t 近似为 t。 cos t 快速趋向于 1，比 t 趋近于 0 快。 当 t 趋于 0 时，cos t 以类似于 t^2 的形式趋于 1，系数为 $\onehalf$。 例如，(1+ .001)^1000 非常接近 e。 对于小 t，ln(1+t) 近似为 t。 对于小 t，e^t-1 近似为 t。 t 的任何幂，甚至分数幂，都可以消除 ln 中的奇异性。 当 t->0 时，cos (1/t) 在 -1 和 1 之间无限多次振荡。 当 t->0 时，sin (1/t) 在 -1 和 1 之间无限多次振荡。 tan (1/t) 有大幅振荡，在 t=0 附近并非处处定义。 当 t->$\infty$ 时，cos t 在 -1 和 1 之间无限多次振荡。 当 t->$\infty$ 时，sin t 在 -1 和 1 之间无限多次振荡。 当 t->$\infty$ 时，tan t 有大幅振荡，在该区域并非处处定义。 对于小 t，sinh t 近似为 t。 对于小 t，tanh t 近似为 t。 cosh t 快速趋向于 1，比 t 趋近于 0 快。 当 t 趋于 0 时，cosh t 类似于 t^2 趋向 1，系数为 $\onehalf$。 将极限推进到 ln 内。 示例：lim sin x^2 = sin lim x^2 lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u)) 如果在 MathXpert 的能力范围内，一步求极限。 示例：$$lim(x->0, x^x) = lim(x->0,e^(x ln x))$$ 示例，当 x->0 时 $\sqrt x$ 的极限未定义，因为 $\sqrt x$ 在 x < 0 时未定义。 示例：$$lim(x->0, x^x) = e^(lim(x->0, ln x^x))$$ 示例：lim x sin(1/x) as x->0 = 0，因为 $|sin(1/x)| \le 1$。 分子有理化，尽管没有初始分数存在。 丢弃被其他项支配的分子和分母中的项。 示例：lim (x + x^2 sin x) = lim x as x->0，因为 (x^2 sin x)/x ->0 将 u+v 替换为 u 如果 v/u->0。 示例：$sin(undefined) = undefined$ 示例：$lim e^(1/x) = e^(\lim 1/x)$ 将极限推进到 ln 内 t 的任何幂，即使是分数幂，也会消除 ln 中的奇异性。 对于大的 t，1/t^n 很小。 对于大的 t，t^n 很大。 对于大的 t，e^t 很大。 对于大的负 t，e^t 很小。 对于大的 t，ln t 很大。 对于大的 t，$\sqrt t$ 很大。 对于大的 t，$^n\sqrt t$ 很大。 大正数（或负数）的 arctan 接近 $\pi /2$（或 $-\pi /2$）。 大正数的 arccot 接近 0。 大负数的 arccot 接近 $\pi$。 大正数（或负数）的 tanh 接近 1（或 -1）。 将极限推进到 sin 内。 将极限推进到 cos 内。 $lim(t->\infty,f(t))=lim(t->0+,f(1/t))$ 示例：$lim 1/t^4 ->\infty $ 当 t->0 示例：双侧极限 lim 1/t^3 当 t->0 时未定义。 示例：右侧极限 lim 1/t^3 当 t->0+ 时为 $\infty$。 示例：左侧极限 lim 1/t^3 当 t->0- 时为 $-\infty$。 示例：当 t->0 时，lim 1/t 未定义。 该单侧极限为 $-\infty$，但双侧极限未定义。 给定的单侧极限为 $\pm \infty$，但双侧极限未定义。 示例：$lim(t->0, ln(1+t) e^t)$ 转换为 $lim(t->0, ln(1+t)/t) lim(t->0,te^t)$。 示例：$lim(t->0,t ln(1+t))$ 转换为 $lim(t->0, t^2) lim(t->0,ln(1+t)/t)$。 示例：$\infty /2 = \infty$ 示例：$1/\infty = 0$ 示例：$2\times \infty = \infty$ 该规则是 $lim uv = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$ 且 $lim v = \infty$。 示例：$\infty + 2 = \infty$ 该规则是 $lim u+v = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$ 且 $lim v = \infty$。 示例：$e^\infty = \infty$ 示例：$(\onehalf)^\infty = 0$ 示例：$e^(-\infty) = 0$ 示例：$(\onehalf)^(-\infty) = \infty$ 示例：$\infty^3 = \infty$ 您不能消除 $\infty -\infty$。此表达式未定义。 0+ 表示 0 来自极限点附近为正的项。 0- 表示 0 来自极限点附近为负的项。 如果极限点附近分母的符号交替或未知。 这是 $lim u/v^2 = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$ 且 lim v = 0。 这是 $lim u/v^2^n = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$ 且 lim v = 0。 这是 $lim a/u^2 = \infty$ 的简写，当 a>0 且 lim u = 0。 这是 $lim a/u^2 = -\infty$ 的简写，当 a<0 且 lim u = 0。 这是 $lim a/u^2^n = \infty$ 的简写，当 a>0 且 lim u = 0。 这是 $lim a/u^2^n = -\infty$ 的简写，当 a<0 且 lim u = 0。 这是 $lim ln u = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$。 这是 $lim \sqrt u = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$。 这是 $lim ^n\sqrt u = \infty$ 的简写，当 $lim u = \infty$。 大数的 arcsec 接近 $\pi /2$。 大数的 arccsc 接近 0。 sin、cos、tan、sec、csc、tan 在 $\infty$ 处均无极限。 大数 x 的 cosh 近似为 e^x/2，这是一个大值。 大数 x 的 sinh 近似为 e^x/2，这是一个大值。 大数 x 的 tanh 近似为 1，因为 cosh 和 sinh 都近似为 e^x。 这是 $lim ln u = -\infty$ 的简写，当 $lim u = 0$ 且 $0 < u$。 常数的导数为零。 x 相对于 x 的导数为 1。 和的导数是导数的和。 将负号移出导数。 将常数移出导数。 这称为幂法则。 一步计算多项式的导数。 使用 d/dx 表示导数的 f'(x)。 这是导数作为极限的定义。 将常数从分母中移出。 这称为乘积法则。 尽管这是商法则的特殊情况，但要单独记住。 这称为商法则。 在 $\sqrt$ 上使用此规则，而不是始终转换为分数指数。 将根号转换为分数指数以便求导。 使用此规则，而不是转换为负指数再转换回来。 使用此规则，而不是通过分段展开 |x|。 正弦的导数是余弦。 余弦的导数是负正弦。 正切的导数是正切平方。 正割的导数是正割正切。 余切的导数是余割平方。 余割的导数是余割余切。 指数函数的导数就是它本身。 除一个常数 ln c 外，每个指数函数的导数就是它本身。 使用此规则求一个具有非常数底数和指数的幂的导数。 $ln x$ 的导数是 $1/x$。 $ln |x|$ 与 $ln x$ 的导数相同，但也在负 $x$ 上定义。 使用此公式称为对数微分。 示例：$d/dx e^(\sin x) = e^(\sin x) d/dx sin x$ 示例：$d/dx 2^(\sin x)=(ln 2)2^(\sin x) d/dx sin x$ 示例：$d/dx ln sin x = (1/sin x)(d/dx sin x)$ 示例：$d/dx ln |x^3| = (1/x^3) d/dx x^3$ 当 $d/dx ln(cos x)$ 出现时，此规则一步完成。 当 $d/dx ln(sin x)$ 出现时，此规则一步完成。 如果忘记了此点，请对 x = tan y 求导并解 dy/dx。 如果忘记了此点，请对 x = sin y 求导并解 dy/dx。 如果忘记了此点，请对 x = cos y 求导并解 dy/dx。 如果忘记了此点，请对 x = cot y 求导并解 dy/dx。 如果忘记了此点，请对 x = sec y 求导并解 dy/dx。 如果忘记了此点，请对 x = csc y 求导并解 dy/dx。 示例：d/dx arctan x^2 = d/dx(x^2)/(1+x^4) 示例：$d/dx arcsin x^2 = d/dx(x^2)/\sqrt (1-x^4)$ 示例：$d/dx arccos x^2 = -d/dx(x^2)/\sqrt (1-x^4)$ 示例：$d/dx arccot x^2 = -d/dx(x^2)/(1+x^4)$ 示例：$d/dx arcsec x^2 = d/dx(x^2)/(|x^2|\sqrt (x^4-1))$ 示例：$d/dx arccsc x^2 = -d/dx(x^2)/(|x^2|\sqrt (x^4-1))$ 示例：d/dx (1+x^2)^100 = 100(1+x^2)^99 d/dx x^2 示例：$d/dx \sqrt (1+x^2) = (d/dx x^2)/(2\sqrt (1+x^2))$ 示例：d/dx sin x^2 = (cos x^2) d/dx x^2 示例：d/dx cos x^2 = -(sin x^2) d/dx x^2 示例：d/dx tan x^2 = (sec^2 x^2) d/dx x^2 示例：d/dx sec x^2 = (sec x^2 tan x^2) d/dx x^2 示例：cot x^2 = -(csc^2 x^2) d/dx x^2 示例：csc x^2 = -(csc x^2 cot x^2) d/dx x^2 示例：d/dx |sin x| = (sin x d/dx sin x)/|sin x| 链式法则适用于任何函数 f，无论是否有定义。 引入一个新字母表示所选项。 将定义的变量替换为在整个行中的定义。 进行数值实验 将 $f'(x)=0$ 的点加入考虑的点列表中。 将区间的端点加入考虑的点列表中。 将 $f'(x)$ 未定义的点加入考虑的点列表中。 考虑在开端点的极限 拒绝在区间外的点 为列出的 $x$ 值制作 $y$ 值的十进制表。 为列出的 $x$ 值制作 $y$ 值的精确表。 从表中选择最大值。 从表中选择最小值。 一步求导。 求解简单方程。 一步求极限。 消除整数参数。 对于常数函数，最大值和最小值相等。 进行代数简化。 一步求解方程。对于复杂方程可能会失败。 对一些区间上对所有 $t$ 都有效的等式的两边求导。 MathXpert 将计算导数。 通过替代已知相等的表达式来消除一个导数。 进行代数简化，包括收集、消除、排序等。 使用各种法则一步消除复合分数。 将包含分数的和放在一个公分母上并简化。 $ab+ac = a(b+c)$；提取最大的显式公因子。 使用简单的分解恒等式一步尽可能地分解。 展开乘积和的乘积，然后收集和/或消除项。 提取分子和分母的最大公因子。 一步求解方程。复杂方程可能会失败。 示例：将 $(x+1)^2 -2x$ 写为 x+1 的多项式，得到 $(x+1)^2-2(x+1) + 2$。 以主要变量的标准多项式形式表示。 示例：3x^2 - 2x + 1 变为 3(x^2 - 2/3 x + 1/3)。 在所选表达式中将 $x^\onehalf $ 更改为 $\sqrt x$。 在所选表达式中将分数指数更改为根式。 在所选表达式中将根式更改为分数指数。 求一个恒等式的导数。 二阶导数是导数的导数。 示例：d^3u/dx^3= d/dx d^2u/dx^2。 导数的导数是二阶导数。 第 n 阶导数的导数是 n+1 阶导数。 一步计算导数。 计算当前行在指定点的值。 1 关于 t 的积分就是 t。 常数 c 的积分是 ct。 如果我们认为 t 是 t 的一次幂，则是幂法则的特殊情况。 将常数移出积分。 将负号移出积分。 这称为积分的加法性。 差的积分是积分的差。 这称为积分的线性性。 这是积分的幂法则。 使用此规则，而不是始终转换为负指数。 一步积分多项式。 不要忘记绝对值；ln |t| 比 ln t 是更自然的函数。 展开被积表达式中和的乘积。 示例：$\int (t+1)^2 dt = \int t^2+2t+1 dt$。 使用此公式而不是通过分段展开 |t|。 正弦的积分是负余弦。 余弦的积分是正弦。 正切的积分是 -ln 余弦，但不要忘记绝对值。 余切的积分是 ln 正弦，但不要忘记绝对值。 这个惊人的公式归功于欧拉。 此公式几乎与正割的积分相同，但符号不同。 正切的导数是正割平方。 余切的导数是负余割平方。 如果忘记了，请记得将 $tan^2$ 写为 $sec^2 - 1$。 如果忘记了，请记得将 $cot^2$ 写为 $csc^2 - 1$。 余割的导数是负余割余切。 示例：$\int sin 2t dt = -(1/2) cos 2t$。 示例：$\int cos 2t dt = (1/2) sin 2t$。 示例：$\int tan 2t dt = -(1/2) ln |cos 2t|$。 示例：$\int cot 2t dt = (1/2) ln |sin 2t|$。 示例：$\int sec 2t dt = (1/2) ln |sec 2t + tan 2t|$。 示例：$\int csc 2t dt = (1/2) ln |csc 2t - cot 2t|$。 示例：$\int sec^2 2t dt = (1/2) tan 2t$。 示例：$\int csc^2 2t dt = -(1/2) cot 2t$。 示例：$\int tan^2 2t dt = (1/2) tan 2t - t$。 示例：$\int cot^2 2t dt = -(1/2) cot 2t - t$。 示例：$\int sec 2t tan 2t dt = (1/2) sec 2t$。 示例：$\int csc 2t cot 2t dt = -(1/2) csc 2t$。 指数函数是它自身的积分，也是它的导数。 示例：$\int e^(2t) dt =(1/2) e^(2t)$。 函数 e^(-t) 是它自身的负积分。 示例：$\int e^(-2t)dt = -(1/2) e^(-2t)$。 示例： $$integral(e^(t/2),t) = 2e^(t/2)$$ 示例：$\int 3^t dt = (1/ln 3) 3^t$ 示例： $$integral(t^t,t) = integral(e^t ln t,t)$$ 如果忘记了，请分部积分，将部分分为 $ln t$ 和 1。 这是误差函数的定义；该积分没有更简单的形式。 为指定的表达式引入一个新的字母。 MathXpert 将尝试找到适用的替换。 将其应用于定义新变量的等式。 当你计算了 du/dx 时，使用它来恢复原始积分。 从被积表达式中分离出 du/dx，并将其余部分写为 u 的函数。 这是替换规则的本质，你已经为此做了准备。 用定义的变量替换当前行中的定义。 使用指定表达式一步完成替换积分。 一步通过替换积分；让 MathXpert 选择替换。 使用选定的项作为 u 分部积分。 通过分部积分，让 MathXpert 选择分部。 这会创建一个可以求解积分的等式。 将积分转移到左侧以求解。 一步通过替换积分，使用选定项定义 u。 一步通过替换积分，让 MathXpert 选择替换。 如果不太复杂，一步评估积分。 这是微积分基本定理的导数形式。 这是微积分基本定理的积分形式。 这是左侧符号的定义。 这通常比 ln f(b) - ln f(a) 更简单。 如果交换积分的上下限，积分会变号。 你将被要求指定积分分解的点。 示例：确定积分 $\int |(t-1)(t+1)| dt$ 应在 -1 和 1 处分解。 指定参数值，然后使用近似数值积分。 使用近似数值积分获取十进制答案。 当上下限相同时，定积分为零。 将不定积分转换为有界积分的极限。 如果 $u$ 在 $t->\infty $ 时不趋向于 0，则从 c 到 $\infty $ 的 $\int u dt$ 发散。 如果 $u$ 在 $t->-\infty $ 时不趋向于 0，则从 $-\infty $ 到 c 的 $\int u dt$ 发散。 奇函数在对称区间上的积分为零。 偶函数在正负 x 上对积分有相等的贡献。 示例：用 $x = sin \theta $ 替换以积分 $\sqrt (1-x^2)$。 示例：用 $x = tan \theta $ 替换以积分 $\sqrt (1+x^2)$。 示例：用 $x = sec \theta $ 替换以积分 $\sqrt (x^2-1)$。 示例：用 $x = sinh \theta $ 替换以积分 $\sqrt (1+x^2)$。 示例：用 $x = a cosh \theta $ 替换以积分 $\sqrt (x^2-1)$。 示例：用 $x = a tanh \theta $ 替换以积分 $\sqrt (1-x^2)$。 你将被要求输入 x 的定义，以一个新变量表示。 使用此法消除积分中的 $sin^2 t$。 使用此法消除积分中的 $cos^2 t$。 使用此法积分 sin x 的奇次幂（也有 cos 的幂）。 使用此法积分 cos x 的奇次幂（也有 sin 的幂）。 使用此法积分 sec x 的偶次幂（也有 tan 的幂）。 使用此法积分 csc x 的偶次幂（也有 cot 的幂）。 使用此法积分 tan x 的奇次幂（也有 sec 的幂）。 使用此法积分 cot x 的奇次幂（也有 csc 的幂）。 将 $tan^2 x$ 表示为 $sec^2 x$ 以准备 u = sec x。 将 $cot^2 x$ 表示为 $csc^2 x$ 以准备 u = csc x。 $\int sec^n x dx = -1/(n-1) sec^n x tan x + (n-2)/(n-1)\int sec^(n-2) x dx$。 $\int csc^n x dx = -1/(n-1) csc^n x cot x + (n-2)/(n-1)\int csc^(n-2) x dx$。 这适用于任何三角积分，但其他方法可能更简单。 使用此法消除分母中的 1-cos x。 使用此法消除分母中的 1+cos x。 使用此法消除分母中的 1-sin x。 使用此法消除分母中的 1+sin x。 使用此法消除分母中的 sin x - cos x。 使用此法消除分母中的 cos x + sin x。 示例：$(x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x + 1 + 1/(x+1)$。 使用所有适用的分解规则来分解分母。 提取所有重复因子（u 和 u' 的最大公因子）。 示例：$x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878)$。 示例：$2x/(x^2-1) = 1/(x-1) + 1/(x+1)$。 示例：$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$。 示例：$\int 1/(3t-1) dt = (1/3) ln |3t-1|$。 示例：$\int 1/(3t+1)^3 dt = -1/6 (3t+1)^2$。 示例：$\int 1/(t^2+4)dt=(1/2)arctan(t/2)$。 示例：$\int 1/(t^2-4)dt=(1/2)arccoth(t/2)$。 示例：$\int 1/(t^2-4)dt=(1/4)ln|(t-2)/(t+2)|$。 示例：$\int 1/(4-t^2)dt=(1/2)arctanh(t/2)$。 示例：$\int 1/(4-t^2)dt=(1/4)ln|(t+2)/(2-t)|$。 示例：$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$ 示例：$\int 1/\sqrt (4-t^2)dt = arcsin(t/2)$ 示例：$\int 1/\sqrt (t^2-3)dt=ln|t+\sqrt (t^2-3)|$ 示例：$\int 1/(t\sqrt (t^2-4))dt=(1/2)arccos(t/2)$ 即通过替换积分。你将指定替换内容。 如果忘记了此方法，通过分部积分推导它。 执行代数简化。 使用各种分数法则一步消除复合分数。 将包含分数的和放在公分母上并简化。 ab+ac = a(b+c)。提取最大的显式公因子。 示例：$x^3 + 2x^2 + x$ 变为 $x(x+1)^2$。 展开和的乘积并收集或取消结果项。 一步解方程，如果不太复杂。 如果 MathXpert 可以完成，则一步计算极限。 通过替换积分。你将被要求提供替换。 一步求积分，如果不太复杂。 示例：$3 + c_1$ 变为 $c_2$。 求 sinh 的积分是 cosh。 求 cosh 的积分是 sinh。 求 tanh 的积分是 ln cosh。 求 coth 的积分是 ln sinh。 求 csch 的积分是 ln tanh，但实际是 ln tanh(u/2)，而非 ln tanh u。 求 sech 的积分是 sinh 的 arctan。 当 |x|<1 时收敛。 展开 $x^k/(1-x)$ 为几何级数。 展开 $x^k/(1+x)$ 为几何级数。 任意项开始的几何级数求和公式。 对所有 x 收敛。 这被称为二项式级数。它在 |x|<1 时收敛。 当 |x|<\pi/2 时收敛。 当 |x|< \pi/2 时收敛。 当 |s|>1 时收敛。 这被称为交错调和级数。 用前两项和…表示一个无穷级数。 用前三项和…表示一个无穷级数。 示例: $1 + x + ... + x^n + ...$ 将…符号替换为求和符号。 将多显示一项级数。 输入要显示的额外项数。 显示级数中可见部分的阶乘计算结果。 显示级数中可见部分，不计算阶乘。 显示级数中可见部分，使用十进制系数。 不要将系数化为十进制形式。 (a_1-a_0) + (a_2-a_1) + ...= - a_0。 结果是一个双重求和：$(\sum a_n)(\sum b_m) = \sum \sum a_nb_m$ 结果是一个幂级数，其系数由有限和给出。 除法将一步完成。 结果是一个双重求和：$(\sum a_n)^2 = \sum \sum a_na_m$ 结果是一个系数由递归关系定义的级数。 当求和限相同时，$\sum u + \sum v = \sum (u + v)$。 当求和限相同时，$\sum u - \sum v = \sum (u - v)$。 将级数分为有限和加一个新的级数。 示例：将下限从1改为0并减去多余项。 示例：在涉及 $x^(n-1)$ 的求和中，给指数变量加1。 示例：在涉及 $x^(n+1)$ 的求和中，给指数变量减1。 索引变量可以重命名，不改变级数的值。 此法则仅在生成的所有级数都收敛时有效。 幂级数和其他一些级数可以逐项求导。 幂级数和其他一些级数可以逐项积分。 用十进制算术计算指定项数的和。 如果可以将导数展开为级数，这是很有用的。 使用定积分可以省去积分常数的求解。 如果可以将积分展开为级数，这是很有用的。 代入零（或其他值）并求解常数。 将偶数和奇数索引的项分成两个不同的级数。 示例: $\sum (n-1)/n$ 发散，因为 $lim(n->\infty ,(n-1)/n) = 1$ 如果 $u$ 为正且递减，则 $\sum u$ 收敛当且仅当 $\int u dx$ 收敛。 连续项之比的极限（若不为1）决定收敛性。 第 $n$ 项的 $n$ 次方根的极限（若不为1）决定收敛性。 示例: $\sum |sin n|/2^n$ 收敛，因为 $\sum 1/2^n$ 收敛且 $|sin n|< 1$。 示例: $\sum ln(n)/n$ 发散，因为 $\sum 1/n$ 发散且 $ln(n)/n < 1/n $。 如果 $lim a_n/b_n > 0$ 且 $a_n>0$ 且 $b_n>0$，则 $\sum a$ 收敛当且仅当 $\sum b$ 收敛。 将递减级数的第 $n$ 项替换为第 $2^n$ 项乘以 $2^n$。 陈述收敛性或发散性测试的结果。 将比较级数设为当前表达式，以便可以操作。 陈述比较测试的结果作为对原始级数的界限 陈述比较测试的结果：原始级数是发散的。 调和级数发散到无穷大。 平方倒数之和为 $\pi^2/6$。 此无穷级数定义了 $\zeta$ 函数。 偶整数处的 $\zeta$ 值由此公式给出。 取复数的自然对数时，首先转换为极坐标形式。 复数的自然对数为模的自然对数加上 i 乘以辐角。 因为 i 的辐角（其极坐标形式的角度）是 $\pi /2$。 因为 -1 的辐角（其极坐标形式的角度）是 $\pi $。 因为负数的辐角是 $\pi $。 这个著名的公式将三角函数和复指数函数联系起来。 将辐角减半并取模的平方根。 将辐角除以 n 并取模的 n 次方根。 这个公式由欧拉提出，联系了几个基本常数。 复指数函数是周期性的，周期为 $2\pi i$。 要计算复数幂，将其表示为指数函数的形式。 用双曲正弦表示复数正弦 用双曲余弦表示复数余弦 用余弦表示复数双曲余弦 用正弦表示复数双曲正弦 用双曲正切表示复数正切 用双曲余切表示复数余切 用正切表示复数双曲正切 用余切表示复数双曲余切 复指数函数和三角函数之间的基本关系 复数余弦的定义，反向使用 复数正弦的定义，反向使用 此公式定义了双曲余弦函数。 双曲余弦的定义，反向使用。 此公式定义了双曲正弦函数。 双曲正弦的定义，反向使用。 双曲余弦是偶函数。 双曲正弦是奇函数。 双曲余弦与双曲正弦的和简化为指数。 双曲余弦与双曲正弦的差简化为指数。 这也是双曲余弦的最小值。 双曲正弦图像经过原点，因为它是奇函数。 用双曲函数表示 e^x。 用双曲函数表示 e^(-x)。 此恒等式类似于 $sin^2 + cos^2 = 1$，但注意不同的符号。 此恒等式类似于 $sin^2 + cos^2 = 1$，但注意符号是负号。 此恒等式类似于 $cos^2 = 1 - sin^2$，但注意不同的符号。 此恒等式类似于 $sin^2 = 1 - cos^2$，但注意不同的符号。 此恒等式类似于 $1 + tan^2 = sec^2$，但注意不同的符号。 此恒等式类似于 $sec^2 - 1 = tan^2$，但注意不同的符号。 双曲正切的定义。 tanh 的定义反向使用。 双曲余切的定义。 coth 的定义反向使用。 双曲正割的定义。 sech 的定义反向使用。 双曲余割的定义。 csch 的定义反向使用。 类似于 $sec^2 - tan^2 = 1$，但注意不同的符号。 类似于 $tan^2 = sec^2 - 1$，但注意不同的符号。 类似于 $sec^2 = 1 + tan^2$，但注意不同的符号。 类似于 $sin(u+v)$ 的公式，但符号不同。 类似于 $cos(u+v)$ 的公式，但符号不同。 类似于 $sin 2u$ 的公式。 类似于 $cos 2u$ 的公式，但符号不同。 惊喜：tanh(ln u) 并不像它看起来那么复杂。 arcsinh 是代数函数的对数。 arccosh 是代数函数的对数。 arctanh 是有理函数的对数。 arcsinh 的定义性质。 arccosh 的定义性质。 arctanh 的定义性质。 arccoth 的定义性质。 arcsech 的定义性质。 arccsch 的定义性质。 sinh 的导数是 cosh。 cosh 的导数是 sinh。 tanh 的导数是 sech^2。 coth 的导数是 -csch^2。 sech u 的导数是 -sech tanh。 csch 的导数是 -csch coth。 ln sinh 的导数是 coth。 ln cosh 的导数是 tanh。 类似于 arcsin 导数的公式，但符号变化。 类似于 arccos 导数的公式，但符号变化。 类似于 arctan 导数的公式，但符号变化。 类似于 arccot 导数的公式，但符号变化。 类似于 arcsec 导数的公式，但符号变化。 类似于 arccsc 导数的公式，但符号变化。 sg(x) 表示 x 的符号，x 为正则 sg(x) 为 1，x 为负则 sg(x) 为 -1。 sg 是奇函数。 sg 可以用绝对值表示。 如果被积函数不为零，在积分中使用此方法。 同样适用于分数指数（偶/奇）。 同样适用于分数指数（奇/奇）。 用于将 sgn 移入分子。 sg 在零处不可导，但在其他地方是常数。 可以直接使用此公式对 sgn 积分。 此定律仅在被积函数不为零时有效。 如有必要，分别处理正负符号的情况。 示例：sg(3x) = sg(x) 示例：sg(ax) = sg(x) 如果已假设 a<0。 示例：sg(2x/3) = sg(x) 示例：sg(x/a) = sg(x) 如果已假设 a<0。 示例：sg(x^3) = sg(x) 示例：sg(1/c) = sg(c) 示例：sg(3/c) = sg(c) 示例：a sg(a) = |a| 示例：|a| sg(a) = a J_0 的导数是 -J_1。 J_1 的导数用 J_0 和 J_1 表示。 J_n 的导数用 J_(n-1) 和 J_n 表示。 Y_0 的导数是 -Y_1。 Y_1 的导数用 Y_0 和 Y_1 表示。 Y_n 的导数用 Y_(n-1) 和 Y_n 表示。 I_0 的导数是 -J_1。 I_1 的导数用 I_0 和 I_1 表示。 I_n 的导数用 I_(n-1) 和 I_n 表示。 K_0 的导数是 -K_1。 K_1 的导数用 K_0 和 K_1 表示。 K_n 的导数用 K_(n-1) 和 K_n 表示。 应用用户定义的函数。 � R K K �K ^ W 5 �� �� n �"� �l R
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