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ELF > � @ @ UH��}��E�H�H��H ]�UH��}��E�H�H�� ]� arithmetic 十进制计算 计算十进制 $\sqrt $ 或 $^n\sqrt $ 十进制 $x^n$ 的值 函数的十进制值 因数整数 在某一点数值计算 π 的十进制值 e 的十进制值 计算函数值 数值分解多项式 精确计算伯努利数 精确计算欧拉数 十进制转分数 表示为平方 表示为立方 表示为 ?-次幂 表示为 ? 的幂 将整数写为 a^n x = ? + (x-?) $i^2 = -1$ i^(4n) = 1 i^(4n+1) = i i^(4n+2) = -1 i^(4n+3) = -i 复数算术 复数的幂 复数算术和幂 复数十进制计算 整数的整数因数 整数的复数因数 分解 n+mi (n 不为零) 取消双重负号 $-(-a)=a$ 推送负号 -(a+b) = -a-b -a-b = -(a+b) 重组项 将项按顺序排列 去掉零项 x+0 = x 取消 $\pm $ 项 收集 $\pm $ 项（一次） 收集和中的所有 $\pm $ 项 a+b = b+a a(b-c) = -a(c-b) -ab = a(-b) -abc = ab(-c) a(-b)c = ab(-c) $x\times 0 = 0\times x = 0$ $x\times 1 = 1\times x = x$ a(-b) = -ab a(-b-c) = -a(b+c) (-a-b)c = -(a+b)c 重组因子 收集数字 排列因子 收集幂 a(b+c)=ab+ac $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ ab = ba 乘开和的积 乘开分子 乘开分母 $na = a +...+ a$ $0/a = 0$ $a/1 = a$ $a(1/a) = 1$ 分数相乘 $(a/c)(b/d)=ab/cd$ $a(b/c) = ab/c$ 取消 ab/ac = b/c 分数相加 $a/c \pm b/c=(a\pm b)/c$ 分离 $(a \pm b)/c = a/c \pm b/c$ 分离并取消 $(ac\pm b)/c = a\pm b/c$ 多项式除法 通过多项式除法取消 $au/bv=(a/b)(u/v)$ (整数 a,b) $a/b = (1/b) a$ $au/b=(a/b)u$ (实数 $a,b$) $ab/cd = (a/c)(b/d)$ $ab/c = (a/c) b$ 取消负号 $(-a)/(-b) = a/b$ $-(a/b) = (-a)/b$ $-(a/b) = a/(-b)$ $(-a)/b = -(a/b)$ $a/(-b)= -a/b$ $(-a-b)/c = -(a+b)/c$ $a/(-b-c) = -a/(b+c)$ $a/(b-c) = -a/(c-b)$ $-a/(-b-c) = a/(b+c)$ $-a/(b-c) = a/(c-b)$ $-(-a-b)/c = (a+b)/c$ $$(a-b)/(c-d) = (b-a)/(d-c)$$ $ab/c = a (b/c)$ $a/bc = (1/b) (a/c)$ $(a/c)/(b/c) = a/b$ $a/(b/c)=ac/b$ (反转并相乘) $1/(a/b) = b/a$ $(a/b)/c = a/(bc)$ $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$ $(a/b)c/d = ac/bd$ 因数分母 分数中的公分母 寻找公分母 寻找公分母（仅分数） 分数相乘 (a/b)(c/d)=ac/bd 分数相乘 a(c/d)= ac/d 分数相加 $a/c \pm b/c=(a \pm b)/c$ 公分母 公分母（仅分数） 公分母并简化分子 公分母并简化（仅分数） 分子和分母乘以 ? a^0 = 1 (a 不为零) a^1 = a 0^b = 0 如果 b > 0 1^b = 1 $(-1)^n = \pm 1$ (n 偶数或奇数) (a^b)^c = a^(bc) 如果 a>0 或 $c\in Z$ $(-a)^n = (-1)^na^n$ $(a/b)^n = a^n/b^n$ $(ab)^n = a^nb^n$ $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ 通过二项式定理展开 a^(b+c) = a^b a^c $a^n/b^n = (a/b)^n$ b^n/b^m = b^(n-m) ab^n/b^m = a/b^(m-n) a^2 = aa a^3 = aaa a^n = aaa...(n 次) a^n = a^?a^(n-?) $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 a^(bc) = (a^b)^c 如果 $a>0$ 或 $c\in Z$ a^(bc) = (a^c)^b 如果 $a>0$ 或 $c\in Z$ $$a^(b?) = (a^b)^?$$ $1/a^n = (1/a)^n$ a^(-n) = $1/a^n$ (n 常数) $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ (n 常数) a^(-1) = 1/a $a^(-n) = 1/a^n$ $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ a/b^(-n) = ab^n $a/b^n = ab^(-n)$ a/b = ab^(-1) $(a/b)^(-n) = (b/a)^n$ a^(b-c) = a^b/a^c $\sqrt x\sqrt y = \sqrt (xy)$ $\sqrt (xy) = \sqrt x\sqrt y$ $\sqrt (x^2y) = x\sqrt y$ 或 $|x|\sqrt y$ $\sqrt (x^2)=x$ 如果 $x\ge 0$ $\sqrt (x^2)=|x|$ 整数 x 的因数在 $\sqrt x$ $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$ $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$ $\sqrt x/\sqrt y = \sqrt (x/y)$ $x/\sqrt x = \sqrt x$ $\sqrt x/x = 1/\sqrt x$ $(\sqrt x)^2^n = x^n$ 如果 $x\ge 0$ $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$ 计算 $\sqrt $ 为有理数 计算 $\sqrt $ 为十进制 简单算术 在 $\sqrt u/\sqrt v$ 中显示公因数 在 $\sqrt $ 下分解多项式 有理化分母 有理化分子 $\sqrt (x^2)=|x|$ 或 $\sqrt (x^2^n)=|x|^n$ 取消 $\sqrt $: $\sqrt (xy)/\sqrt y = \sqrt x$ 在 $\sqrt $ 下展开 $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$ $^2\sqrt u = \sqrt u$ $\sqrt u = ^2^n\sqrt u^n$ $\sqrt u = (^2^n\sqrt u)^n$ $\sqrt (u^2^n) = u^n$ 如果 $u^n\ge 0$ $\sqrt (u^(2n+1)) = u^n\sqrt u$ 如果 $u^n\ge 0$ $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$ 如果 $a\ge 0$ 有理化分母并简化 $a ^ (\onehalf) = \sqrt a$ $$a^(n/2) = sqrt (a^n)$$ $$a^(b/n) = root(n,a^b)$$ $\sqrt a = a ^(\onehalf) $ $$root(n,a)= a^(1/n)$$ $$root(n,a^m) = a^(m/n)$$ $$root(n,a)^m = a^(m/n)$$ $$(sqrt a)^m = a^(m/2)$$ $$1/(sqrt a) = a^(-(1/2))$$ $$1/root(n,a)= a^(-1/n)$$ evaluate $$(-1)^(p/q)$$ factor integer a in$$a^(p/q)$$ $$a/b^(p/q) = (a^q/b^p)^(1/q)$$ $$a^(p/q)/b = (a^p/b^q)^(1/q)$$ $$a^(n/2) = (sqrt a)^n$$ $$a^(m/n) = (root(n,a))^m$$ $$root(n,x) root(n,y) = root(n,xy)$$ $$root(n,xy) = root(n,x) root(n,y)$$ $$root(n,x^m) = (root(n,x))^m$$ 如果 $x\ge 0$ 或 n 为奇数 $$root(n,x^n y) = x root(n,y)$$ 或 $|x|^n\sqrt y$ $$root(n,x^n) = x$$ 如果 $x\ge 0$ 或 n 为奇数 $$root(n,x^(nm))=x^m$$ 如果 $x\ge 0$ 或 n 为奇数 $$root(2n,x^n) = sqrt x$$ $$root(nm, x^m) = root(n,x)$$ $$root(n,a)^n = x$$ $$root(n,a)^m = root(n,a^m)$$ $$root(n,a)^(qn+r) = a^q root(n,a^r)$$ 整数 x 的因数在 $^n\sqrt x$ $$root(n,-a) = -root(n,a)$$ (n 为奇数) 计算为有理数 在 $$root(n,x)$$ 下分解多项式 在 $^n\sqrt $ 下展开 $\sqrt (\sqrt x) = ^4\sqrt x$ $\sqrt (^n\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (^m\sqrt x) = ^n^m\sqrt x$ $^n\sqrt (x/y) = ^n\sqrt x/^n\sqrt y$ $^n\sqrt x/^n\sqrt y = ^n\sqrt (x/y)$ $x/^n\sqrt x = (^n\sqrt x)^(n-1)$ $^n\sqrt x/x = 1/(^n\sqrt x)^(n-1)$ 在 $^n\sqrt : ^n\sqrt (ab)/^n\sqrt (bc)=^n\sqrt a/^n\sqrt b$ 下取消 取消 $^n\sqrt $: $^n\sqrt (xy)/^n\sqrt y = ^n\sqrt x$ 在 $^n\sqrt u/^n\sqrt v$ 中显示公因数 $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ 如果 n 为奇数 $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ 如果 $a\ge 0$ $-^n\sqrt a = ^n\sqrt (-a)$ 如果 n 为奇数 $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ (n 为奇数或 $a\ge 0$) $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (n 为奇数或 $b>0$) $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ 如果 $b>0$ $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ 如果 $a\ge 0$ $(^m^n\sqrt a)^n = ^m\sqrt a$ $(^2^n\sqrt a)^n = \sqrt a$ 1/i = -i a/i = -ai a/(bi) = -ai/b $\sqrt (-1) = i$ $\sqrt (-a) = i\sqrt a$ 如果 $a\ge 0$ 清除 i 的分母 $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$ $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ (u+vi)/w = u/w + (v/w)i 写成 u+vi 形式 $\sqrt(bi)= \sqrt(b/2)+\sqrt(b/2)i$, 如果 b >= 0 $\sqrt(-bi)= \sqrt(b/2)-\sqrt(b/2)i$, 如果 b >= 0 $\sqrt(a+bi)= \sqrt((a+c)/2)+\sqrt((a-c)/2)i$, 如果 b \ge 0 并且 $c^2=a^2+b^2$ $\sqrt(a-bi)= \sqrt((a+c)/2)-\sqrt((a-c)/2)i$, 如果 b \ge 0 并且 $c^2=a^2+b^2$ 提取因数 清除数值分母 ab + ac = a(b+c) 提取最高幂 $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ 因式分解二次三项式 使用二次公式 $a^2^n = (a^n)^2$ $a^nb^n = (ab)^n$ 因式分解整数系数 因式分解整数 进行替换, u = ? 消除已定义的变量 将变量视为常数 将其写为 ? 的函数 将其写为 ? 和 ? 的函数 a^(3n) = (a^n)^3 $$a^(?n) = (a^n)^?$$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $a^n-b^n = (a-b)(a^(n-1)+...+b^(n-1))$ $a^n-b^n = (a+b)(a^(n-1)-...-b^(n-1))$ (n 为偶数) $a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-...+b^(n-1))$ (n 为奇数) $x^4+a^4=(x^2-\sqrt 2ax+a^2)(x^2+\sqrt 2ax+a^2)$ $x^4+(2p-q^2)x^2+p^2=(x^2-qx+p)(x^2+qx+p)$ 计算机进行替换 猜一个因数 搜索线性因数 通过分组因式分解 将其写为 ? 的多项式 交换两边 两边变号 两边加 ? 两边减 ? 从左到右移项 ? 从右到左移项 ? 两边乘以 ? 两边除以 ? 两边平方 从两边消去 $\pm $ 项 消去两边的公因数 减去以形成 u=0 的形式 方程恒等成立 a=-b 变为 $a^2=-b^2$ 如果 $a,b\ge 0$ a=-b 变为 a=0 如果 $a,b\ge 0$ a=-b 变为 b=0 如果 $a,b\ge 0$ 如果 ab=0 则 a=0 或 b=0 二次公式 $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ 完成平方 两边取平方根 交叉相乘 $b^2-4ac < 0 意味着没有实根$ [p=a,p=-a] 变为 p=|a| (对于 $p\ge 0$) 数值求解 交叉相乘 (a/b=c/d => ad=bc) 如果 u=v 则 $u^n=v^n$ 两边取 $\sqrt $ 两边取 $^n\sqrt $ 两边应用函数 ? 如果 ab=ac 则 a=0 或 b=c 仅显示所选方程 再次显示所有方程 收集多个解 拒绝不可解的方程 在原方程中检查根 立即求解线性方程 u=x+b/3 in ax^3+bx^2+cx+d=0 计算判别式 再次显示三次方程 维埃塔替换 x=y-a/3cy in cx^3+ax+b=0 三次公式，一个实根 三次公式，三个实根 三次公式，复数根 替换 x = f(u) 替换 n = ?-k 精确求根 简化 如果 u=v 则 a^u = a^v 如果 ln u = v 则 u = e^v 如果 log u = v 则 u = 10^v 如果 $$log(b,u) = v$$ 则 $u = b^v$ 如果 a^u = a^v 则 u=v 两边取 log 两边取 ln 拒绝方程——不可能的 log 或 ln 克莱姆法则 计算行列式 变量左边，常数右边 收集类似项 对齐变量 两方程相加 两方程相减 方程 ? 乘以 ? 方程 ? 除以 ? 选定方程的倍数加到方程 ? 选定方程的倍数减去方程 ? 交换两方程 将解方程按顺序排列 删除恒等式 发生矛盾：无解 a|b| = |ab| 如果 $0 \le a$ |b|/c = |b/c| 如果 0 < c a|b|/c = |ab/c| 如果 0 <a/c 求解 ? 将选定方程加到方程 ? 从方程 ? 减去选定方程 选定方程乘以 ? 选定方程除以 ? 将选定方程与方程 ? 交换 选定方程求解 ? 将选定行加到行 ? 从行 ? 减去选定行 选定行乘以 ? 选定行除以 ? 选定行的倍数加到行 ? 选定行的倍数减去行 ? 将选定行与行 ? 交换 A = IA 解方程 ? 的 ? 简化方程 从两边取消项 方程 ? 两边加 ? 方程 ? 两边减 ? 替换变量 矛盾在手：无解 写成矩阵形式 交换两行 两行相加 从一行减去另一行 行乘以常数 行除以常数 一行的倍数加到另一行 一行的倍数减去另一行 矩阵相乘 删除零列 删除零行 删除重复行 转换为方程组 AX = B 变为 X = A^(-1)B 使用 2x2 逆矩阵公式 计算精确矩阵逆 计算十进制矩阵逆 |u| = u 如果 $u\ge 0$ 假设 $u\ge 0$ 并设 |u| = u |u| = -u 如果 $u\le 0$ |cu| = c|u| 如果 $c\ge 0$ |u/c| = |u|/c 如果 c>0 |u||v| = |uv| |uv| = |u||v| |u/v| = |u| / |v| |u| / |v| = |u/v| $|u|^2^n=u^2^n$ 如果 u 是实数 $|u^n|=|u|^n$ 如果 n 是实数 $|\sqrt u| = \sqrt |u|$ $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$ |ab|/|ac| = |b|/|c| |ab|/|a| = |b| 在 |u|/|v| 中显示公因数 |u|=c 当且仅当 u=c 或 u = -c ($c\ge 0$) |u|/u = c 当且仅当 c = $\pm $1 |u| < v 当且仅当 -v < u < v $|u| \le v$ 当且仅当 $-v \le u \le v$ u < |v| 当且仅当 v < -u 或 u < v $u \le |v|$ 当且仅当 $v \le -u$ 或 $u \le v$ |u| = u 当且仅当 $0 \le u$ |u| = -u 当且仅当 $u \le 0$ $0 \le |u|$ 是真 |u| < 0 是假 $-c \le |u|$ 是真 ($c\ge 0$) -c < |u| 是真 (c>0) |u| < -c 是假 ($c\ge 0$) $|u| \le -c$ 是假 (c>0) $|u| \le -c$ 当且仅当 u=0 假设 $c\ge 0$ |u| = -c 当且仅当 u=0 假设 $c\ge 0$ v > |u| 当且仅当 -v < u < v $v \ge |u|$ 当且仅当 $-v \le u \le v$ |v| > u 当且仅当 v < -u 或 v > u $|v| \ge u$ 当且仅当 $v \le -u$ 或 $v \ge u$ $|u| \ge 0$ 是真 0 > |u| 是假 -c > |u| 是假 ($c\ge 0$) $-c \ge |u|$ 是假 (c>0) $-c \ge |u|$ 当且仅当 u=0 假设 c=0 |u| > -c 是真 (c>0) $|u| \ge -c$ 是真 ($c\ge 0$) $-v \le u \le v$ 当且仅当 $|u| \le v$ v < -u 或 u < v 当且仅当 u < |v| $u^(2n) = |u|^(2n)$ 如果 u 是实数 $|u|^n = |u^n|$ 如果 n 是实数 将 u < v 变为 v > u 将 -u < -v 变为 v < u 将 -u < -v 变为 u > v 两边乘以 ?^2 评估数值不等式 $a < x^2^n$ 是真 如果 $a < 0$ $x^2^n < a$ 是假 如果 $a \le 0$ 平方双方 (非负) 平方，如果一边是 $\ge $ 0 u < v 或 u = v 当且仅当 $u \le v$ 组合区间 使用假设 将 x > y 变为 y < x 将 -u > -v 变为 u < v 将 -u > -v 变为 v > u $x^2^n > a$ 是真 如果 $a < 0$ $a > x^2^n$ 是假 如果 $a \le 0$ u > v 或 u = v 当且仅当 $u \ge v$ 将 $x \le y$ 变为 $y \ge x$ 将 $-u \le -v$ 变为 $v \le u$ 将 $-u \le -v$ 变为 $u \ge v$ $a \le x^2^n$ 是真 如果 $a \le 0$ $x^2^n \le a$ 是假 如果 $a < 0$ 平方双方 $u \le v$ 当且仅当 $u^2 \le v^2$ 或 $u \le 0$ 假设 $0 \le v$ 将 $x \ge y$ 变为 $y \le x$ 将 $-u \ge -v$ 变为 $u \le v$ 将 $-u \ge -v$ 变为 $v \ge u$ $x^2^n \ge a$ 是真 如果 $a \le 0$ $a \ge x^2^n$ 是假 如果 $a < 0$ $v \ge u$ 当且仅当 $v^2 \ge u^2$ 或 $u \le 0$ 假设 $0 \le v$ $u^2 < a$ 当且仅当 $|u| < \sqrt a$ $u^2 < a$ 当且仅当 $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $a < v^2$ 当且仅当 $\sqrt a < |v|$ 假设 $0\le a$ $a < u^2$ 当且仅当 $u < -\sqrt a$ 或 $\sqrt a < u$ $a < u^2 < b$ 当且仅当 $-\sqrt b<u<-\sqrt a$ 或 $\sqrt a<u<\sqrt b$ $-a < u^2 < b$ 当且仅当 $u^2 < b$ 假设 0<a $-a < u^2 \le b$ 当且仅当 $u^2 \le b$ 假设 0<a $\sqrt u < v$ 当且仅当 $0 \le u < v^2$ $0 \le a\sqrt u < v$ 当且仅当 $0 \le a^2u < v^2$ $a < \sqrt v$ 当且仅当 $a^2 < v$ 假设 $0\le a$ $0 \le u < v$ 当且仅当 $\sqrt u < \sqrt v$ $a < x^2$ 是真 如果 $a < 0$ $x^2 < a$ 是假 如果 $a \le 0$ $a < \sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u$ 假设 $a < 0$ $u^2 \le a$ 当且仅当 $|u| \le \sqrt a$ $u^2 \le a$ 当且仅当 $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $a \le v^2$ 当且仅当 $\sqrt a \le |v|$ 假设 $0\le a$ $a \le u^2$ 当且仅当 $u \le -\sqrt a$ 或 $\sqrt a \le u$ $a \le u^2 \le b$ 当且仅当 $-\sqrt b\le u\le -\sqrt a$ 或 $\sqrt a\le u\le \sqrt b$ $-a \le u^2 \le b$ 当且仅当 $u^2 \le b$ 假设 $0\le a$ $-a \le u^2 < b$ 当且仅当 $u^2 < b$ 假设 $0\le a$ $\sqrt u \le v$ 当且仅当 $0 \le u \le v^2$ $0 \le a\sqrt u \le v$ 当且仅当 $0 \le a^2u \le v^2$ $a \le \sqrt v$ 当且仅当 $a^2 \le v$ 假设 $0\le a$ $0 \le u \le v$ 当且仅当 $\sqrt u \le \sqrt v$ $x^2 > a$ 是真 如果 $a < 0$ $a > x^2$ 是假 如果 $a \le 0$ $a \le \sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u$ 假设 $a \le 0$ 两边取倒数 a < 1/x < b 当且仅当 1/b < x < 1/a, 对于 a,b > 0 $a < 1/x \le b$ 当且仅当 $1/b \le x < 1/a$, 对于 a,b > 0 -a < 1/x < -b 当且仅当 -1/b < x < -1/a, 对于 a,b > 0 $-a < 1/x \le -b$ 当且仅当 $-1/b \le x < -1/a$, 对于 a,b > 0 -a < 1/x < b 当且仅当 x < - 1/a 或 1/b < x, 对于 a,b > 0 $-a < 1/x \le b$ 当且仅当 x < -1/a 或 $1/b \le x$, 对于 a,b > 0 $a \le 1/x < b$ 当且仅当 $1/b < x \le 1/a$, 对于 a,b > 0 $a \le 1/x \le b$ 当且仅当 $1/b \le x < 1/a$, 对于 a,b > 0 $-a \le 1/x < -b$ 当且仅当 $-1/b < x \le -1/a$, 对于 a,b > 0 $-a \le 1/x \le -b$ 当且仅当 $-1/b \le x \le -1/a$, 对于 a,b > 0 $-a \le 1/x < b$ 当且仅当 $x \le - 1/a$ 或 1/b < x, 对于 a,b > 0 $-a \le 1/x \le b$ 当且仅当 $x \le -1/a$ 或 $1/b \le x$, 对于 a,b > 0 u < v 当且仅当 $^n\sqrt u < ^n\sqrt v$ (n 为奇数) $u^2^n < a$ 当且仅当 $|u| < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n < a$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $0 \le a < u^2^n$ 当且仅当 $^2^n\sqrt a < |u|$ $a < u^2^n$ 当且仅当 $u < -^2^n\sqrt a$ 或 $^2^n\sqrt a < u$ $a<u^2^n<b$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt b<u<-^2^n\sqrt a$ 或 $^2^n\sqrt a<u<^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u < v$ 当且仅当 $0 \le u < v^2^n$ $^n\sqrt u < v$ 当且仅当 $u < v^n$ (n 为奇数或 $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) < v$ 当且仅当 $a^nu < v^n$ 假设 $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u < ^n\sqrt v$ 当且仅当 $u^n < v$ 假设 $0 \le u$ $u < v$ 当且仅当 $u^n < v^n$ (n 为奇数, n>0) u < v 当且仅当 $u^n < v^n$ (n > 0 且 $0 \le u$) $a < ^2^n\sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u$ 假设 $a < 0$ $u \le v$ 当且仅当 $^n\sqrt u \le ^n\sqrt v$ (n 为奇数) $u^2^n \le a$ 当且仅当 $|u| \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \le a$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $0 \le a \le u^2^n$ 当且仅当 $^2^n\sqrt a \le |u|$ $a \le u^2^n$ 当且仅当 $u \le -^2^n\sqrt a$ 或 $^2^n\sqrt a \le u$ $a\le u^2^n\le b$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt b\le u\le -^2^n\sqrt a$ 或 $^2^n\sqrt a\le u\le ^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u \le v$ 当且仅当 $0 \le u \le v^2^n$ $^n\sqrt u \le v$ 当且仅当 $u \le v^n$ (n 为奇数或 $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) \le v$ 当且仅当 $a^nu \le v^n$ 假设 $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u \le ^n\sqrt v$ 当且仅当 $u^n \le v$ 假设 $0 \le u$ $u \le v$ 当且仅当 $u^n \le v^n$ (n 为奇数, $n \ge 0$) $u \le v$ 当且仅当 $u^n \le v^n$ (n > 0 且 $0 \le u$) $a \le ^2^n\sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u$ 假设 $a \le 0$ 去掉正因数 0 < u/v 当且仅当 0 < v 假设 u > 0 将 $0 < u/\sqrt v$ 变为 0 < uv 0 < u/v 当且仅当 0 < uv 将 $u/\sqrt v < 0$ 变为 uv < 0 u/v < 0 当且仅当 uv < 0 $ax \pm b < 0$ 当且仅当 $a(x\pm b/a) < 0$ (x-a)(x-b) < 0 当且仅当 a<x<b (a<b 时) 0 < (x-a)(x-b) 当且仅当 x<a 或 b<x (a<b 时) $0 \le u/v$ 当且仅当 $0 \le v$ 假设 $u \ge 0$ $0 \le u/\sqrt v$ 当且仅当 $0 \le uv$ $0 \le u/v$ 当且仅当 0 < uv 或 u = 0 $u/\sqrt v \le 0$ 当且仅当 $uv \le 0$ $u/v \le 0$ 当且仅当 uv < 0 或 u = 0 $ax \pm b \le 0$ 当且仅当 $a(x\pm b/a) \le 0$ 将 $u \le v$ 变为 $v \ge u$ $(x-a)(x-b) \le 0$ 当且仅当 $a\le x\le b$ ($a\le b$ 时) $0\le (x-a)(x-b)$ 当且仅当 $x\le a$ 或 $b\le x$ ($a\le b$ 时) $a > u^2$ 当且仅当 $\sqrt a > |u|$ $a > u^2$ 当且仅当 $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $v^2 > a$ 当且仅当 $|v| > \sqrt a$ 假设 $a\ge 0$ $u^2 > a$ 当且仅当 $u < -\sqrt a$ 或 $u > \sqrt a$ $v > \sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u < v^2$ $v>a\sqrt u$ 当且仅当 $0\le a^2u<v^2$ 假设 $0\le a$ $\sqrt v > a$ 当且仅当 $v > a^2$ 假设 $0\le a$ v > u 当且仅当 $\sqrt v > \sqrt u$ 假设 $u\ge 0$ $\sqrt u > a$ 当且仅当 $u \ge 0$ 假设 $a < 0$ $a \ge u^2$ 当且仅当 $6\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2$ 当且仅当 $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $v^2 \ge a$ 当且仅当 $|v| \ge \sqrt a$ 假设 $0\le a$ $u^2 \ge a$ 当且仅当 $u \le -\sqrt a$ 或 $\sqrt a \le u$ $v \ge \sqrt u$ 当且仅当 $60 \le u \le v^2$ $v \ge a\sqrt u$ 当且仅当 $0\le a^2u\le v^2$ 假设 $0\le a$ $\sqrt v \ge a$ 当且仅当 $v \ge a^2$ 假设 $0\le a$ $v \ge u$ 当且仅当 $\sqrt v \ge \sqrt u$ 假设 $u\ge 0$ $x^2 \ge a$ 是真 如果 $a \le 0$ $a \ge x^2$ 是假 如果 $a < 0$ $\sqrt u \ge a$ 当且仅当 $u \ge 0$ 假设 $a \le 0$ $u > v$ 当且仅当 $^n\sqrt u > ^n\sqrt v$ (n 为奇数) $a > u^2^n$ 当且仅当 $^2^n\sqrt a > |u|$ $a > u^2^n$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n > a$ 当且仅当 $|u| > ^2^n\sqrt a$ 假设 $a\ge 0$ $u^2^n > a$ 当且仅当 $u < -^2^n\sqrt a$ 或 $u > ^2^n\sqrt a$ $v > ^2^n\sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u < v^2^n$ $v > ^n\sqrt u$ 当且仅当 $v^n> u$ (n 为奇数或 $u\ge 0$) $v > a(^n\sqrt u)$ 当且仅当 $v^n > a^nu$ 假设 $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v > a$ 当且仅当 $v > a^n$ 假设 $a\ge 0$ u > v 当且仅当 $u^n > v^n$ (n 为奇数, n>0) u > v 当且仅当 $u^n > v^n$ (n > 0 且 $0 \le u$) $^2^n\sqrt u > a$ 当且仅当 $u \ge 0$ 假设 $a < 0$ $u \ge v$ 当且仅当 $^n\sqrt u \ge ^n\sqrt v$ (n 为奇数) $a \ge u^2^n$ 当且仅当 $^2^n\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2^n$ 当且仅当 $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \ge a$ 当且仅当 $|u| \ge ^2^n\sqrt a$ 假设 $a\ge 0$ $u^2^n \ge a$ 当且仅当 $u \le -^2^n\sqrt a$ 或 $u \ge ^2^n\sqrt a$ $v \ge ^2^n\sqrt u$ 当且仅当 $0 \le u \le v^2^n$ $v \ge ^n\sqrt u$ 当且仅当 $v^n \ge u$ (n 为奇数或 $u\ge 0$) $v \ge a(^n\sqrt u)$ 当且仅当 $v^n \ge a^nu$ 假设 $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v \ge a$ 当且仅当 $a^n \le v$ 假设 $a \ge 0$ $u \ge v$ 当且仅当 $u^n \ge v^n$ (n 为奇数, $n \ge 0$) $u \ge v$ 当且仅当 $u^n \ge v^n$ (n > 0 且 $0 \le u$) $^2^n\sqrt u \ge a$ 当且仅当 $u \ge 0$ 假设 $a \le 0$ u/v > 0 当且仅当 v > 0 假设 u > 0 将 $u/\sqrt v > 0$ 变为 uv > 0 u/v > 0 当且仅当 uv > 0 将 $0 > u/\sqrt v$ 变为 0 > uv 0 > u/v 当且仅当 0 > uv $0 > ax \pm b$ 当且仅当 $0 > a(x\pm b/a)$ 0 > (x-a)(x-b) 当且仅当 a<x<b (a<b 时) (x-a)(x-b) > 0 当且仅当 x<a 或 x>b (a<b 时) $u/v \ge 0$ 当且仅当 $v \ge 0$ 假设 $u \ge 0$ $u/\sqrt v \ge 0$ 当且仅当 $uv \ge 0$ $u/v \ge 0$ 当且仅当 uv > 0 或 u = 0 $0 \ge u/\sqrt v$ 当且仅当 $0 \ge uv$ $0 \ge u/v$ 当且仅当 0 > uv 或 u = 0 $0 \ge ax \pm b$ 当且仅当 $0 \ge a(x\pm b/a)$ $0 \ge (x-a)(x-b)$ 当且仅当 $a\le x\le b$ ($a\le b$ 时) $(x-a)(x-b)\ge 0$ 当且仅当 $x\le a$ 或 $b\le x$ ($a\le b$ 时) 按二项式定理展开 带有 (n k) 的二项式定理 $$binomial(n,k) = factorial(n)/ factorial(k) * factorial(n-k)$$ n! = n(n-1)(n-2)...1 计算阶乘 计算二项式系数 展开 $\sum $ 符号 计算 $\sum $ 为有理数 n! = n (n-1)! n!/n = (n-1)! n!/(n-1)! = n n!/k! = n(n-1)...(n-k+1) n/n! = 1/(n-1)! (n-1)!/n! = 1/n k!/n! =1/(n(n-1)...(n-k+1)) a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3 a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3 a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = (a+b)^4 a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 = (a-b)^4 a^n+na^(n-1)b+...b^n = (a+b)^n a^n-na^(n-1)b+...b^n = (a-b)^n 因式分解二次方程并显示步骤 $\sum $ 1 = 项数 $\sum $ -u = -$\sum $ u $\sum $ cu = c$\sum $ u (c 常数) $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$ 按 + 展开 $\sum $ 1+2+..+n = n(n+1)/2 $1^2+..+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ $1+x+..+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)$ 分离前几个项 计算带参数的 $\sum $ 为有理数 计算带参数的 $\sum $ 为小数 计算数值 $\sum $ 为有理数 计算数值 $\sum $ 为小数 将求和项表示为多项式 望远镜求和 平移求和上下限 重命名索引变量 $(\sum u)(\sum v) = \sum \sum uv$ 分离最后一项 $1^3+..+n^3 = n^2(n+1)^2/4$ $1^4+..+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+2n-1)/30$ $d/dx \sum u = \sum du/dx$ $\sum du/dx = d/dx \sum u$ $\int \sum u dx = \sum \int u dx$ $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ $c\sum u = \sum cu$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,0,b)-sum(t,i,0,a-1)$$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,c,b)-sum(t,i,c,a-1)$$ 选择归纳变量 开始基例 开始归纳步 使用归纳假设 因此如所愿 $|sin u| \le 1$ $|cos u| \le 1$ $sin u \le u$ 若 $u\ge 0$ $1 - u^2/2 \le cos u$ $|arctan u| \le \pi /2$ $arctan u \le u$ 若 $u\ge 0$ $u \le tan u$ 若 $0\le u\le \pi /2$ 取两边的自然对数 取两边的对数 u < ln v 当且仅当 e^u < v ln u < v 当且仅当 u < e^v u < log v 当且仅当 10^u < v log u < v 当且仅当 u < 10^v u < v 当且仅当 ?^u < ?^v $u \le ln v$ 当且仅当 $e^u \le v$ $ln u \le v$ 当且仅当 $u \le e^v$ $u \le log v$ 当且仅当 $10^u \le v$ $log u \le v$ 当且仅当 $u \le 10^v$ $u \le v$ 当且仅当 $?^u \le ?^v$ ln u > v 当且仅当 u > e^v u > ln v 当且仅当 e^u > v log u > v 当且仅当 u > 10^v u > log v 当且仅当 10^u > v u > v 当且仅当 ?^u > ?^v $ln u \ge v$ 当且仅当 $u \ge e^v$ $u \ge ln v$ 当且仅当 $e^u \ge v$ $log u \ge v$ 当且仅当 $u \ge 10^v$ $u \ge log v$ 当且仅当 $10^u \ge v$ $u \ge v$ 当且仅当 $?^u \ge ?^v$ 指数函数支配多项式 代数函数支配对数函数 $$10^(log a) = a$$ $log 10^n = n$ ($n$ 实数) log 1 = 0 log 10 = 1 $log a = (ln a)/(ln 10)$ $$u^v = 10^(v log u)$$ 完全分解数 提取10的幂 $$10^(n log a) = a^n$$ log(a/b) = -log(b/a) log(b,a/c) = -log(b,c/a) $log a^n = n log a$ $log ab = log a + log b$ $log 1/a = -log a$ $log a/b = log a - log b$ $log a + log b = log ab$ $log a - log b = log a/b$ $log a + log b - log c =log ab/c$ $n log a = log a^n (n 实数)$ $log \sqrt a = \onehalf log a$ $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$ 提取底数的幂 $log u = (1/?) log u^?$ 数值计算对数 $$e^(ln a) = a$$ ln e = 1 ln 1 = 0 ln e^n = n (n 实数) $$u^v = e^(v ln u)$$ $$e^((ln c) a) = c^a$$ ln a^n = n ln a $ln ab = ln a + ln b$ ln 1/a = -ln a $ln a/b = ln a - ln b$ $ln a + ln b = ln ab$ $ln a - ln b = ln a/b$ $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$ $n ln a = ln a^n (n 实数)$ $ln \sqrt a = \onehalf ln a$ $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$ ln u = (1/?) ln u^? ln(a/b) = -ln(b/a) sin u cos v + cos u sin v = sin(u+v) sin u cos v - cos u sin v = sin(u-v) cos u cos v - sin u sin v = cos(u+v) cos u cos v + sin u sin v = cos(u-v) (sin u)/(1+cos u) = tan(u/2) (1-cos u)/sin u = tan(u/2) (1+cos u)/(sin u) = cot(u/2) sin u/(1-cos u) = cot(u/2) (tan u+tan v)/(1-tan u tan v) = tan(u+v) (tan u-tan v)/(1+tan u tan v) = tan(u-v) (cot u cot v-1)/(cot u+cot v) = cot(u+v) (1+cot u cot v)/(cot v-cot u) = cot(u-v) 1-cos u = 2 sin^2(u/2) 极坐标形式 $$r e^(i theta ) = r (cos theta + i sin theta )$$ $$ abs(e^(i theta )) = 1$$ $$abs(re^(i theta )) =r$$ 假设 $r\ge 0$ $$abs(re^(i theta )) = abs(r)$$ $$-a = ae^(pi i)$$ $$root(n,-a) = e^(pi i/n) root(n,a)$$ 假设 $a\ge 0$ $$a/(ce^(ti)) = ae^(-ti)/c$$ de Moivre定理 代入具体整数 $$b^(log(b,a)) = a$$ $$b^(n log(b,a)) = a^n$$ log(b,b) = 1 log(b,b^n) = n log xy = log x + log y log (1/x) = -log x log x/y = log x-log y log(b,1) = 0 分解底数: log(4,x)=log(2^2,x) $$log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$$ log x^n = n log x log x + log y = log xy log x - log y = log x/y log x + log y - log z =log xy/z n log x = log x^n (n 实数) $$log(b,x) = (ln x) / ln b$$ $$log(b,x) = (log x) / log b$$ $$log(b,x) = log(a,x) / log(a,b)$$ $$log(10,x) = log x$$ $$log(e,x) = ln x$$ log x = (ln x) / ln 10 ln x = (log x) / log e $$u^v = b^(v log(b,u))$$ sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 $sin k\pi = 0$ $cos 2k\pi = 1$ $tan k\pi = 0$ 找到小于 $360\deg $ 的同终角 找到小于 $2\pi $ 的同终角 角度是 $90\deg $ 的倍数 使用 1-2-$\sqrt 3$ 三角形 使用 1-1-$\sqrt 2$ 三角形 将弧度转换为度数 将度数转换为弧度 角度 = $a 30\deg + b 45\deg $ 等等 数值计算 tan u = sin u / cos u cot u = 1 / tan u cot u = cos u / sin u sec u = 1 / cos u csc u = 1 / sin u sin u / cos u = tan u cos u / sin u = cot u cot u = csc u / sec u 1 / sin u = csc u 1 / cos u = sec u 1 / tan u = cot u 1 / tan u = cos u / sin u 1 / cot u = tan u 1 / cot u = sin u / cos u 1 / sec u = cos u 1 / csc u = sin u sin u = 1 / csc u cos u = 1 / sec u tan u = 1 / cot u $sin^2 u + cos^2 u = 1$ $1 - sin^2 u = cos^2 u$ $1 - cos^2 u = sin^2 u$ $sin^2 u = 1 - cos^2 u$ $cos^2 u = 1 - sin^2 u$ $sec^2 u - tan^2 u = 1$ $tan^2 u + 1 = sec^2 u$ $sec^2 u - 1 = tan^2 u$ $sec^2 u = tan^2 u + 1$ $tan^2 u = sec^2 u - 1$ $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ (1-cos t)^n(1+cos t)^n = sin^(2n) t (1-sin t)^n(1+sin t)^n = cos^(2n) t $csc^2 u - cot^2 u = 1$ $cot^2 u + 1 = csc^2 u$ $csc^2 u - 1 = cot^2 u$ $csc^2 u = cot^2 u + 1$ $cot^2 u = csc^2 u - 1$ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ sin(u+v)= sin u cos v + cos u sin v sin(u-v)= sin u cos v - cos u sin v cos(u+v)= cos u cos v - sin u sin v cos(u-v)= cos u cos v + sin u sin v tan(u+v)=(tan u+tan v)/(1-tan u tan v) tan(u-v)=(tan u-tan v)/(1+tan u tan v) cot(u+v)=(cot u cot v-1)/(cot u+cot v) cot(u-v)=(1+cot u cot v)/(cot v-cot u) $sin 2\theta = 2 sin \theta cos \theta $ $cos 2\theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 1 - 2 sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 2 cos^2 \theta - 1$ $cos 2\theta + 1 = 2cos^2 \theta $ $cos 2\theta - 1 = - 2 sin^2 \theta $ $tan 2\theta = 2 tan \theta /(1 - tan^2 \theta )$ $cot 2\theta = (cot^2 \theta -1) / (2 cot \theta )$ $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ $cos^2 \theta - sin^2 \theta = cos 2\theta $ $1 - 2 sin^2 \theta = cos 2\theta $ $2 cos^2 \theta - 1 = cos 2\theta $ $n\theta = (n-1)\theta + \theta $ $n\theta = ?\theta +(n-?)\theta $ $sin 3\theta = 3 sin \theta - 4 sin^3 \theta $ $cos 3\theta = -3 cos \theta + 4 cos^3 \theta $ 展开 $sin n\theta $ 在 $sin \theta $, $cos \theta $ 展开 $cos n\theta $ 在 $sin \theta $, $cos \theta $ 切换两边 将 ? 从左移到右 将 ? 从右移到左 两边消去项 两边同时乘幂 两边同时开平方 两边同时开根号 两边同时应用函数 数值检查 做替换, u = ? $sin(u)=\onehalf$ 当且仅当 $u=\pi /6$ 或 $5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=-\onehalf$ 当且仅当 $u=-\pi /6$ 或 $-5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=\sqrt 3/2$ 当且仅当 $u=\pi /3$ 或 $2\pi /3+2n\pi $ $sin(u)=-\sqrt 3/2$ 当且仅当 $4u=-\pi /3$ 或 $-2\pi /3+2n\pi $ $cos(u)=\sqrt 3/2$ 当且仅当 $u=\pm \pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=-\sqrt 3/2$ 当且仅当 $u=\pm 5\pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=\onehalf$ 当且仅当 $u=\pm \pi /3+2n\pi $ $cos(u)=-\onehalf$ 当且仅当 $u=\pm 2\pi /3+2n\pi $ $tan(u)=1/\sqrt 3$ 当且仅当 $u= \pi /6 + n\pi $ $tan(u)=-1/\sqrt 3$ 当且仅当 $u= -\pi /6 + n\pi $ $tan(u)=\sqrt 3$ 当且仅当 $u= \pi /3 + n\pi $ $tan(u)=-\sqrt 3$ 当且仅当 $u= 2\pi /3 + n\pi $ $sin u = 1/\sqrt 2$ 若 $u=\pi /4$ 或 $3\pi /4 + 2n\pi $ $sin u=-1/\sqrt 2$ 若 $u=5\pi /4$ 或 $7\pi /4 + 2n\pi $2 $cos u = 1/\sqrt 2$ 若 $u=\pi /4$ 或 $7\pi /4 + 2n\pi $ $cos u=-1/\sqrt 2$ 若 $u=3\pi /4$ 或 $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = 1 若 $u= \pi /4$ 或 $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = -1 若 $u=3\pi /4$ 或 $7\pi /4 + 2n\pi $ sin u = 0 当且仅当 $u = n\pi $ sin u = 1 当且仅当 $u = \pi /2+2n\pi $ sin u = -1 当且仅当 $u = 3\pi /2+2n\pi $ cos u = 0 当且仅当 $u = (2n+1)\pi /2$ cos u = 1 当且仅当 $u = 2n\pi $ cos u = -1 当且仅当 $u = (2n+1)\pi $ tan u = 0 当且仅当 sin u = 0 cot u = 0 当且仅当 cos u = 0 sin u=c 当且仅当 $u= (-1)^narcsin c+n\pi $ sin u=c 当且仅当 $u=arcsin(c)+2n\pi $ 或 $2n\pi +\pi -arcsin(c)$ cos u=c 当且仅当 $u=\pm arccos c+2n\pi $ tan u=c 当且仅当 $u=arctan c+n\pi $ 准确求值 arcsin 准确求值 arccos 准确求值 arctan arccot x = arctan (1/x) arcsec x = arccos (1/x) arccsc x = arcsin (1/x) arcsin(-x) = -arcsin x $arccos(-x) = \pi -arccos x$ arctan(-x) = -arctan x 将解写成周期形式 若 |c|>1 则舍弃 sin u = c 若 |c|>1 则舍弃 cos u = c $tan(arcsin x) = x/\sqrt (1-x^2)$ $tan(arccos x) = \sqrt (1-x^2)/x$ tan(arctan x) = x sin(arcsin x) = x $sin(arccos x) = \sqrt (1-x^2)$ $sin(arctan x) = x/\sqrt (x^2+1)$ $cos(arcsin x) = \sqrt (1-x^2)$ cos(arccos x) = x $cos(arctan x) = 1/\sqrt (x^2+1)$ $sec(arcsin x) = 1/\sqrt (1-x^2)$ $sec(arccos x) = 1/x$ $sec(arctan x) = \sqrt (x^2+1)$ $arctan(tan \theta ) = \theta $6 if $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta ) = \theta $ if $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta ) = \theta $ if $0\le \theta \le \pi $ arctan(tan x) = x + c1 arcsin x + arccos x = $\pi /2$ $arctan x + arctan 1/x = \pi x/2|x|$ $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $ $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $ $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $ $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $ $sin \theta = cos(\pi /2-\theta )$ $cos \theta = sin(\pi /2-\theta )$ $tan \theta = cot(\pi /2-\theta )$ $cot \theta = tan(\pi /2-\theta )$ $sec \theta = csc(\pi /2-\theta )$ $csc \theta = sec(\pi /2-\theta )$ $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $ $cos(90\deg -\theta ) = sin \theta $ $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $ $cot(90\deg -\theta ) = tan \theta $ $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $ $csc(90\deg -\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(90\deg -\theta )$ $cos \theta = sin(90\deg -\theta )$ $tan \theta = cot(90\deg -\theta )$ $cot \theta = tan(90\deg -\theta )$ $sec \theta = csc(90\deg -\theta )$ $csc \theta = sec(90\deg -\theta )$ $a\deg + b\deg = (a+b)\deg $ $ca\deg = (ca)\deg $ $a\deg /c = (a/c)\deg $ sin(-u) = - sin u cos(-u) = cos u tan(-u) = - tan u cot(-u) = - cot u sec(-u) = sec u csc(-u) = - csc u $sin^2(-u) = sin^2 u$ $cos^2(-u) = cos^2 u$ $tan^2(-u) = tan^2 u$ $cot^2(-u) = cot^2 u$ $sec^2(-u) = sec^2 u$ $csc^2(-u) = csc^2 u$ $sin(u+2\pi ) = sin u$ $cos(u+2\pi ) = cos u$ $tan(u+\pi ) = tan u$ $sec(u+2\pi ) = sec u$ $csc(u+2\pi ) = csc u$ $cot(u+\pi ) = cot u$ $sin^2(u+\pi ) = sin^2 u$ $cos^2(u+\pi ) = cos^2 u$ $sec^2(u+\pi ) = sec^2 u$ $csc^2(u+\pi ) = csc^2 u$ $sin u = -sin(u-\pi )$ $sin u = sin(\pi -u)$ $cos u = -cos(u-\pi )$ $cos u = -cos(\pi -u)$ $sin^2(\theta /2) = (1-cos \theta )/2$ $cos^2(\theta /2) = (1+cos \theta )/2$ $sin^2(\theta ) = (1-cos 2\theta )/2$ $cos^2(\theta ) = (1+cos 2\theta )/2$ $tan(\theta /2) = (sin \theta )/(1+cos \theta )$ $tan(\theta /2) = (1-cos \theta )/sin \theta $ $cot(\theta /2) = (1+cos \theta )/(sin \theta )$ $cot(\theta /2) = sin \theta /(1-cos \theta )$ $sin(\theta /2) = \sqrt ((1-cos \theta )/2)$ if $sin(\theta /2)\ge 0$ $sin(\theta /2) = -\sqrt ((1-cos \theta )/2)$ if $sin(\theta /2)\le 0$ $cos(\theta /2) = \sqrt ((1+cos \theta )/2)$ if $cos(\theta /2)\ge 0$ $cos(\theta /2) = -\sqrt ((1+cos \theta )/2)$ if $cos(\theta /2)\le 0$ $\theta = 2(\theta /2)$ $sin x cos x = \onehalf sin 2x$ $sin x cos y = \onehalf [sin(x+y)+sin(x-y)]$ $cos x sin y = \onehalf [sin(x+y)-sin(x-y)]$ $sin x sin y = \onehalf [cos(x-y)-cos(x+y)]$ $cos x cos y = \onehalf [cos(x+y)+cos(x-y)]$ $sin x + sin y = 2 sin \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $sin x - sin y = 2 sin \onehalf (x-y) cos \onehalf (x+y)$ $cos x + cos y = 2 cos \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $cos x - cos y = -2 sin \onehalf (x+y) sin \onehalf (x-y)$ 在三角函数中用u,v代替表达式 数值试验 $lim u\pm v = lim u \pm lim v$ $lim u-v = lim u - lim v$ $$lim(t->a,c) = c$$ (c 为常数) $$lim(t->a,t) = a$$ lim cu=c lim u (c 为常数) lim -u = -lim u lim uv = lim u lim v $lim u^n = (lim u)^n$ lim c^v=c^(\lim v) (c 为常数 > 0) lim u^v=(lim u)^(\lim v) $lim \sqrt u=\sqrt (lim u)$ 如果 lim u>0 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ 如果 n 为奇数 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ 如果 lim u > 0 $$lim(t->a,f(t))=f(a)$$ (多项式 f) lim |u| = |lim u| lim cu/v = c lim u/v (c 为常数) lim c/v = c/lim v (c 为常数) lim u/v = lim u/lim v 在 x \to a 的极限中提出 (x-a)^n 有理函数的极限 有理化分数 提出非零有限极限 提出常数 分子和分母乘以？ 分子和分母除以？ lim u/v = lim (u/？) / lim (v/？) (ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ 如果 b>0 $\sqrt a/b = -\sqrt (a/b^2)$ 如果 b<0 $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (b>0 或 n 为奇数) $^n\sqrt a/b = -^n\sqrt (a/b^n)$ (b<0, n 为偶数) $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ 如果 $a\ge 0$ $a/\sqrt b = -\sqrt (a^2/b)$ 如果 $a\le 0$ $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\ge 0$ 或 n 为奇数) $a/^n\sqrt b = -^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\le 0$, n 为偶数) 洛必达法则 一步求导 lim u ln v = lim (ln v)/(1/u) $lim u (ln v)^n = lim (ln v)^n/(1/u)$ $lim x^(-n) u = lim u/x^n$ lim u e^x = lim u/e^(-x) 将三角函数移至分母 lim ?v = lim v/(1/?) 通分并简化分子 (sin t)/t \to 1 当 t\to 0 (tan t)/t \to 1 当 t\to 0 (1-cos t)/t \to 0 当 t\to 0 $(1-cos t)/t^2\to \onehalf $ 当 t\to 0 $$lim(t->0,(1+t)^(1/t)) = e$$ $(ln(1\pm t))/t \to \pm 1$ 当 t\to 0 (e^t-1)/t \to 1 当 t\to 0 (e^(-t)-1)/t \to -1 当 t\to 0 $lim(t\to 0,t^nln |t|)=0 (n > 0)$ $$lim(t->0,cos(1/t))$$ 未定义 $$lim(t-> 0,sin(1/t))$$ 未定义 $$lim(t-> 0,tan(1/t))$$ 未定义 $lim(t-> \pm \infty, cos t)$ 未定义 $lim(t-> \pm \infty, sin t)$ 未定义 $lim(t-> \pm \infty, tan t)$ 未定义 (sinh t)/t \to 1 当 t\to 0 (tanh t)/t \to 1 当 t\to 0 (cosh t - 1)/t \to 0 当 t\to 0 (cosh t - 1)/t^2\to \onehalf 当 t\to 0 lim ln u=ln lim u (如果 lim u > 0) lim f(u)=f(lim u), f 连续 改变极限变量 一步求极限 $$lim(t->a, u^v) = lim(t->a, e^(v ln u))$$ 由于定义域未定义极限 $$lim(t->a,u) = e^(lim(t->a, ln u))$$ 挤压定理: uv\to 0 如果 v\to 0 且 $|u|\le c$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/(\sqrt u+v)$ lim u/v = 主要项的极限 主要项: lim(u+a)=lim(u) 如果 a/u\to 0 用主要项代替和 f(未定义) = 未定义 $$lim(t->a,e^u) = e^(lim(t->a, u))$$ lim(ln u) = ln(lim u) $$lim(t->0+,t ln t) = 0$$ $$lim(t->0+,t^n ln t) = 0$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->0+,t (ln t)^n) = 0$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->0+,t^k (ln t)^n) = 0$$ 如果 $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)/t) = 0$$ $$lim(t->infinity ,ln(t)^n/t) = 0$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)/t^n) = 0$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,ln(t)^k/t^n) = 0$$ 如果 $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t/ln(t)) = infinity $$ $$lim(t->infinity ,t/ln(t)^n) = infinity$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t^n/ln(t)) = infinity$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,t^n/ln(t)^k) = infinity$$ 如果 $k,n\ge 1$ $$lim(t->infinity ,1/t^n) = 0$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity,t^n) = infinity$$ 如果 $n\ge 1$ $$lim(t->infinity,e^t) = infinity$$ $$lim(t->-infinity,e^t) = 0$$ $$lim(t->infinity,ln t) = infinity $$ $$lim(t->infinity,\sqrt t) = infinity $$ $$lim(t->infinity,t^n\sqrt t) = infinity $$ $lim(t\to\pm \infty ,arctan t) = \pm \pi /2$ $$lim(t->infinity,arccot t) = 0$$ $$lim(t->-infinity,arccot t) = pi $$ $lim(t\to\pm \infty ,tanh t) = \pm 1$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ lim sin u = sin(lim u) lim cos u = cos(lim u) 将 $\infty $ 处的极限转化为 0 处的极限 lim u/v = 主项极限 $$lim(u->0, 1/u^(2n)) = infinity $$ $lim(1/u^n)$ 未定义 如果 $u\to0$ 且 $n$ 是奇数 $$lim(t->a+,1/u^n) = infinity $$ 如果 $u\to0$ $$lim(t->a-,1/u^n)=-infinity $$ 如果 $u\to0$ 且 $n$ 是奇数 $lim u/v$ 未定义 如果 $lim v =0$ 且 $lim u \neq 0$ $$lim(t-> 0+,ln t) = -infinity $$ $lim(t\to(2n+1)\pi /2\pm ,tan t) = \pm \infty $ $lim(t\to n\pi \pm ,cot t) = \pm \infty $ $lim(t\to(2n+1)\pi /2\pm ,sec t) = \pm \infty $ $lim(t\to n\pi \pm ,csc t) = \pm \infty $ $lim(uv) = lim(u/?) lim(?v)$ $lim(uv) = lim(?u) lim(v/?)$ $\pm \infty $/正数 = $\pm \infty $ 非零/$\pm \infty $ = 0 正数$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty $ + 有限值 = $\pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $$u^infty = infty $$ 如果 u > 1 $$u^infty = 0$$ 如果 0 < u < 1 $$u^(-infty ) = 0$$ 如果 u > 1 $$u^(-infty ) = infty $$ 如果 0 < u < 1 $\infty ^n = \infty $ 如果 n > 0 $\infty - \infty =$ 未定义 $a/0+ = \infty $ 如果 $a>0$ $a/0- = -\infty $ 如果 $a>0$ a/0 = 未定义 $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0$ = 未定义 $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty $ 如果 $a > 0$ $a/0^2 = -\infty $ 如果 $a < 0$ $a/0^2^n = \infty $ 如果 $a > 0$ $a/0^2^n = -\infty $ 如果 $a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ 在 $\infty $ 的三角极限未定义 $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ dc/dx=0 (c 不依赖于 x) dx/dx = 1 $d/dx (u \pm v) = du/dx \pm dv/dx$ d/dx (-u) = -du/dx d/dx(cu)=c du/dx (c 不依赖于 x) d/dx x^n = n x^(n-1) 微分多项式 f'(x) = d/dx f(x) $$diff(f,x) = lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)$$ d/dx (cu) = c du/dx (c 不依赖于 x) d/dx (u/c)=(1/c)du/dx (c 不依赖于 x) d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) d/dx (1/v) = -(dv/dx)/v^2 d/dx (u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/v^2 $d/dx \sqrt x = 1/(2\sqrt x)$ $$diff(root(n,x),x)= diff( x^(1/n),x)$$ $$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$ d/dx |x| = x/|x| d/dx sin x = cos x d/dx cos x = - sin x d/dx tan x = sec^2 x d/dx sec x = sec x tan x d/dx cot x = - csc^2 x d/dx csc x = - csc x cot x d/dx e^x = e^x d/dx c^x = (ln c) c^x, c 常量 $$diff(u^v,x) = diff(e^(v ln u),x)$$ d/dx ln x = 1/x d/dx ln |x| = 1/x dy/dx = y (d/dx) ln y d/dx e^u = e^u du/dx d/dx c^u=(ln c)c^u du/dx, c 常量 d/dx ln u = (1/u)(du/dx) d/dx ln |u| = (1/u) du/dx d/dx ln(cos x) = -tan x d/dx ln(sin x) = cot x $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ d/dx u^n = nu^(n-1) du/dx $d/dx \sqrt u = (du/dx)/(2\sqrt u)$ d/dx sin u = (cos u) du/dx d/dx cos u = -(sin u) du/dx $d/dx tan u = (sec^2 u) du/dx$ d/dx sec u=(sec u tan u) du/dx $d/dx cot u = -(csc^2 u) du/dx$ d/dx csc u=-(csc u cot u) du/dx d/dx |u| = (u du/dx)/|u| d/dx f(u) = f'(u) du/dx 进行替换, $u = ?$ 消除已定义变量 数值实验 考虑 f'(x)=0 的点 考虑区间的端点 f'(x) 未定义的点 考虑开放端点的极限 拒绝区间外的点 制作 y 值的十进制表 制作 y 值的精确表 选择最大值 选择最小值 一步计算导数 解决简单方程 一步计算极限 消除整数参数 函数是常数 计算导数 微分方程 通过替换消除导数 简化和乘积 消除复合分数 公分母和简化 提取公因数 因式分解表达式（非整数） 乘积并简化 在 u/v 中显示公因数 写成多项式（在 ? 中） 表达为多项式 使首项系数为 1 $x^(\onehalf) = \sqrt x$ 将分数指数转换为根号 将根号转换为分数指数 u=v => du/dx = dv/dx $d^2u/dx^2 = (d/dx)(du/dx)$ $d^nu/dx^n= d/dx d^(n-1)u/dx^(n-1)$ $d/dx du/dx = d^2u/dx^2$ $d/dx d^nu/dx^n = d^(n+1)/dx^(n+1)$ 在一点处数值计算 $\int 1 dt = t$ $\int c dt = ct$ (c 为常数) $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt$ (c 为常数) $\int (-u)dt = -\int u dt$ $\int u+v dt = \int u dt + \int v dt$ $\int u-v dt = \int u dt - \int v dt$ $\int au\pm bv dt = a\int u dt \pm b\int v dt$ $$ integral( t^n,t)=t^(n+1)/(n+1)$$ (n \neq -1) $$integral( 1/t^(n+1),t)= -1/(nt^n)$$ (n \neq 0) 积分多项式 $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ 将被积函数展开 展开被积函数中的 $(a+b)^n$ $\int |t| dt = t|t|/2$ $\int sin t dt = -cos t$ $\int cos t dt = sin t$ $\int tan t dt = -ln |cos t|$ $\int cot t dt = ln |sin t|$ $\int sec t dt = ln |sec t + tan t|$ $\int csc t dt = ln |csc t - cot t|$ $\int sec^2 t dt = tan t$ $\int csc^2 t dt = -cot t$ $\int tan^2 t dt = tan t - t$ $\int cot^2 t dt = -cot t - t$ $\int sec t tan t dt = sec t$ $\int csc t cot t dt = -csc t$ $\int sin ct dt = -(1/c) cos ct$ $\int cos ct dt = (1/c) sin ct$ $\int tan ct dt = -(1/c) ln |cos ct|$ $\int cot ct dt = (1/c) ln |sin ct|$ $\int sec ct dt = (1/c) ln |sec ct + tan ct|$ $\int csc ct dt = (1/c) ln |csc ct - cot ct|$ $\int sec^2 ct dt = (1/c) tan ct$ $\int csc^2 ct dt = -(1/c) cot ct$ $\int tan^2 ct dt = (1/c) tan ct - t$ $\int cot^2 ct dt = -(1/c) cot ct - t$ $\int sec ct tan ct dt = (1/c) sec ct$ $\int csc ct cot ct dt = -(1/c) csc ct$ $\int e^t dt = e^t$ $\int e^(ct) dt =(1/c) e^(ct)$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-ct)dt = -(1/c) e^(-ct)$ $$integral( e^(t/c),t) = c e^(t/c)$$ $\int c^t dt = (1/ln c) c^t$ $$ integral(u^v,t) = integral (e^(v ln u),t)$$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral(e^(-t^2),t) = sqrt(pi)/2 Erf(t)$$ 选择代换 u = ? 计算机选择代换 u 求方程的导数 再次显示积分 被积函数 = $f(u) \times du/dx$ $\int f(u) (du/dx) dx = \int f(u) du$ 消去定义的变量 用代换积分 (u = ?) 用代换法积分 用代换法积分并展示步骤 $\int u dv = uv - \int v du (u = ?)$ $\int u dv = uv - \int v du$ 设置当前行为原始 将原始积分移至左侧 使用换元法积分 (u = ?) 通过换元法积分 计算简单积分 通过换元积分并显示步骤 $$integral(f'(x),x,a,b)=f(b)-f(a)$$ $$diff(integral(f(t),t,a,x),x) = f(x)$$ $$eval(f(t),t,a,b) = f(b) - f(a)$$ $$eval(ln f(t),t,a,b) = ln(f(b)/f(a))$$ $$integral(u,t,a,b) = - integral(u,t,b,a)$$ $$integral(u,t,a,b) + integral(u,t,b,c) = integral(u,t,a,c)$$ $$integral(u,t,a,c) = integral(u,t,a,?) + integral(u,t,?,c)$$ 将 $\int |f(t)| dt$ 在 f 的零点处分开 通过数值方法计算带参数的积分 数值计算积分 $$integral(u,t,a,a) = 0$$ $$integral(u,x,a,infinity) = lim(t->infinity,integral(u,x,a,t))$$ $$integral(u,x,-infinity,b) = lim(t->-infinity,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->a+,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->b-,integral(u,x,a,t))$$ 被积函数在 $\infty $ 处的极限不为零 被积函数在 $-\infty $ 处的极限不为零 $$integral(u,t,-a,a) = 0$$ (u 为奇函数) $$integral(u,t,-a,a) = 2 integral(u,t,0,a)$$ (u 为偶函数) $x = a sin \theta$ 用于 $\sqrt (a^2-x^2)$ $x = a tan \theta$ 用于 $\sqrt (a^2+x^2)$ $x = a sec \theta$ 用于 $\sqrt (x^2-a^2)$ $x = a sinh \theta$ 用于 $\sqrt (a^2+x^2)$ $x = a cosh \theta$ 用于 $\sqrt (x^2-a^2)$ $x = a tanh \theta$ 用于 $\sqrt (a^2-x^2)$ 定义逆代换 x = ? 求导数 一步完成简单积分 $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ 在积分中 $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ 在积分中 u=cos x 使用 $sin^2=1-cos^2$ 后 u=sin x 使用 $cos^2=1-sin^2$ 后 u=tan x 使用 $sec^2=1+tan^2$ 后 u=cot x 使用 $csc^2=1+cot^2$ 后 u=sec x 使用 $tan^2=sec^2-1$ 后 u=csc x 使用 $cot^2=csc^2-1$ 后 $tan^2 x = sec^2 x - 1$ 在被积式中 $2cot^2 x = csc^2 x - 1$ 在被积式中 简化 $\int sec^n x dx$ 简化 $\int csc^n x dx$ u = tan(x/2) (Weierstrass 代换) 分子和分母乘以 1+cos x 分子和分母乘以 1-cos x 分子和分母乘以 1+sin x 分子和分母乘以 1-sin x 分子和分母乘以 sin x+cos x 分子和分母乘以 cos x-sin x 分母因式分解 (如果容易) 显示 u/v 中的公因子 无平方因子分解 展开成部分分数 $\int 1/(ct\pm b) dt = (1/c) ln |ct\pm b|$ $\int 1/(ct\pm b)^(n+1) dt = -1/nc(ct\pm b)^n$ $\int 1/(t^2+a^2)dt=(1/a)arctan(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/a)arccoth(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/2a)ln|(t-a)/(t+a)|$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/a)arctanh(t/a)$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/2a)ln|(t+a)/(a-t)|$ $\int 1/\sqrt (a^2-t^2)dt = arcsin(t/a)$ $\int 1/\sqrt (t^2\pm a^2)dt)=ln|t+\sqrt (t^2\pm a^2)|$ $\int 1/(t\sqrt (t^2-a^2))dt=(1/a)arccos(t/a)$ 进行有理化替换 $\int arcsin z dz = z arcsin z + \sqrt (1-z^2)$ $\int arccos z dz = z arccos z - \sqrt (1-z^2)$ $\int arctan z dz = z arctan z - \onehalf ln(1+z^2)$ $\int arccot z dz = z arccot z + \onehalf ln(1+z^2)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ 通分并简化 提取公因式 展开并简化 显示 u/v 中的公因式 通过替换改变积分 一步求简单积分 吸收常数中的数字 $\int sinh u du = cosh u$ $\int cosh u du = sinh u$ $\int tanh u du = ln cosh u$ $\int coth u du = ln sinh u$ $\int csch u du = ln tanh(u/2)$ $\int sech u du = arctan (sinh u)$ $$1/(1-x) = sum(x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...x^n...$ $$1/(1+x) = sum((-1)^n x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...(-1)^nx^n...$ $$sum(x^n,n,0,infinity)=1/(1-x)$$ $1+x+x^2+... = 1/(1-x)$ $1+x+x^2+...x^n...= 1/(1-x)$ $$sum((-1)^n x^n,n,0,infinity) = 1/(1+x)$$ $1-x+x^2+... = 1/(1+x)$ $1-x+x^2+...(-1)^nx^n... = 1/(1+x)$ $$x/(1-x) = sum(x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1-x) = x+x^2+x^3+...$ $x/(1-x) = x+x^2+...x^n...$ $$x/(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1+x) = x-x^2+x^3+...$ $x/(1+x) = x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...$ $$sum(x^n,n,1,infinity)=x/(1-x)$$ $x+x^2+x^3+...=x/(1-x)$ $x+x^2+...x^n...=x/(1-x)$ $$sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)=x/(1+x) $$ $x-x^2+x^3+...=x/(1+x) $ $x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...=x/(1+x) $ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1-x^k)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1+x^k)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,2)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1-x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1+x)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity) = -ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)=-ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,2)=-ln(1-x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1+x)$$ $$ sin x = sum( (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity)$$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+...$ $$cos x = sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity)$$ $cos x = 1-\onehalf x^2+x^4/4! + ...$ $cos x = 1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+...$ $$sum((-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity) = sin x$$ $x-x^3/3!+x^5/5!+... = sin x$ $x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+... = sin x$ $$sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity) = cos x$$ $1-\onehalf x^2+x^4/4! + ... = cos x$ $1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+... = cos x$ $$e^x = sum(x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^x = 1+x+x^2/2!+...$ $e^x = 1+x+...+x^n/n!...$ $$sum(x^n/n!,n,0,infinity)= e^x$$ $1+x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^x$ $1+x+...+x^n/n!... = e^x$ $$e^(-x) = sum((-x)^n x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^(-x) = 1-x+x^2/2!+...$ $e^(-x) = 1-x+...(-1)^nx^n/n!...$ $$sum((-1)^nx^n/n!,n,0,infinity)= e^(-x)$$ $1-x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^(-x)$ $1-x+...+(-1)^nx^n/n!... = e^(-x)$ $$arctan x = sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity)$$ $arctan x = x -x^3/3 + x^5/5 ...$ $arctan x = x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...$ $$sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity) = arctan x$$ $x -x^3/3 + x^5/5 ...=arctan x$ $x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...=arctan x$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)= (1+x)^alpha$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$sec x = sum( (-1)^n (eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-3)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-2)$$ $$sum((-1)^n/n,n,1,infinity) = ln 2$$ 将级数表示为 $a_0 + a_1 + ...$ 将级数表示为 $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ 使用...和通项表示级数 使用求和符号表示级数 在...之前显示另一项 在...之前显示 ? 项 显示已计算阶乘的项 不要计算项中的阶乘 以小数形式显示系数 不要以小数形式显示系数 望远镜级数 乘以级数 乘以幂级数 用多项式除以幂级数 用幂级数除以多项式 除以幂级数 级数平方 幂级数平方 将 $(\sum a_k x^k)^n$ 表示为级数 加级数 减级数 拆分前几项 通过减去项来降低下限 将 ? 加到索引变量 从索引变量中减去 ? $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ 逐项微分幂级数 $\sum du/dx = d/dx \sum u$ 逐项积分幂级数 $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ 计算前几项的和 $$u = integral(diff(u,x),x)$$ $$u = integral(diff(u,t),t,0,x) + u0$$ $$u = diff(integral(u,x),x)$$ 求解积分常数 $\sum a_k = \sum a_(2k) + \sum a_(2k+1)$ $\sum u$ 如果 $lim u$ 不为零则发散 积分测试 比值测试 根测试 收敛比较测试 发散比较测试 极限比较测试 冷凝测试 完成发散测试 完成积分测试 完成比值测试 完成根测试 完成比较测试 完成极限比较测试 完成冷凝测试 比较测试的正结果 比较测试的负结果 $$sum(1/k,k,1,infinity) = infinity$$ $$sum(1/k^2,k,1,infinity) = pi^2/6$$ $$sum(1/k^s,k,1,infinity) = zeta(s)$$ $$zeta(2k) = (2^(2k-1) abs(bernoulli(2k)) pi^(2k))/factorial(2k)$$ $$ln(u+iv) = ln(re^(i theta ))$$ $$ln(re^(i theta ))=ln r + i theta$$ $(-\pi <\theta \le \pi )$ $ln i = i\pi /2$ $ln(-1) = i\pi $ $ln(-a) = ln a + i\pi (a > 0)$ $$cos theta = (e^(i theta ) + e^(-i theta ))/2$$ $$sin theta = (e^(i theta ) - e^(-i theta ))/(2i)$$ $$sqrt(re^(i theta))=sqrt(r) e^(i theta/2)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$root(n,re^(i theta))=root(n,r) e^(i theta/n)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$e^(i theta ) = cos theta + i sin theta $$ $$e^(x+iy) = e^x cos y + i e^x sin y$$ $$e^(i pi ) = -1$$ $$e^(-ipi ) = -1$$ $$e^(2n pi i) = 1$$ $$e^((2n pi + theta )i) = e^(i theta )$$ sin(it) = i sinh t cos(it) = cosh t cosh(it) = cos t sinh(it) = i sin t tan(it) = i tanh t cot(it) = -i coth t tanh(it) = i tan t coth(it) = -i cot t cos t + i sin t = e^(it) cos t - i sin t = e^(-it) $$(e^(i theta ) + e^(-i theta ))/2 = cos theta $$ $$(e^(i theta ) - e^(-i theta ))/2i = sin theta $$ $$e^(i theta ) + e^(-i theta ) = 2 cos theta $$ $$e^(i theta ) - e^(-i theta ) = 2i sin theta $$ cosh u = (e^u+e^(-u))/2 e^u + e^-u = 2 cosh u sinh u = (e^u-e^(-u))/2 e^u-e^(-u) = 2 sinh u [e^u + e^-u]/2 = cosh u [e^u-e^(-u)]/2 = sinh u cosh(-u) = cosh u sinh(-u) = -sinh u cosh u + sinh u = e^u cosh u - sinh u = e^(-u) cosh 0 = 1 sinh 0 = 0 $$e^x = cosh x + sinh x$$ $$e^(-x) = cosh x - sinh x$$ $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ $1 - tan^2u = sech^2u$ $1 - sech^2u = tan^2u$ tanh u = sinh u / cosh u sinh u / cosh u = tanh u coth u = cosh u / sinh u cosh u / sinh u = coth u sech u = 1 / cosh u 1 / cosh u = sech u csch u = 1 / sinh u 1 / sinh u = csch u $tanh^2 u + sech^2 u = 1$ $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$ $sech^2 u = 1 - tanh^2 u $ $sinh(u\pm v)=sinh u cosh v \pm cosh u sinh v$ $cosh(u\pm v)=cosh u cosh v \pm sinh u sinh v$ sinh 2u = 2 sinh u cosh u $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ $tanh(ln u) = (1-u^2)/(1+u^2)$ $arcsinh x = ln(x + \sqrt (x^2+1))$ $arccosh x = ln(x + \sqrt (x^2-1))$ $arctanh x = \onehalf ln((1+x)/(1-x))$ $sinh(asinh x) = x$ $cosh(acosh x) = x$ $tanh(atanh x) = x$ $coth(acoth x) = x$ $sech(asech x) = x$ $csch(acsch x) = x$ d/du sinh u = cosh u d/du cosh u = sinh u $d/du tanh u = sech^2 u$ $d/du coth u = -csch^2 u$ d/du sech u = -sech u tanh u d/du csch u = -csch u coth u d/du ln sinh u = coth u d/du ln cosh u = tanh u $d/du arcsinh u = 1/\sqrt (u^2+1)$ $d/du arccosh u = 1/\sqrt (u^2-1)$ $d/du arctanh u = 1/(1-u^2)$ $d/du arccoth u = 1/(1-u^2)$ $d/du arcsech u= -1/(u\sqrt (1-u^2))$ $d/du arccsch u= -1/(|u|\sqrt (u^2+1))$ sg(x) = 1 if x > 0 sg(x) = -1 if x < 0 sg(0) = 0 sg(-x) = -sg(x) -sg(x) = sg(-x) sg(x) = |x|/x (x 非零) sg(x) = x/|x| (x 非零) abs(x) = x sg(x) $sg(x)^(2n) = 1$ sg(x)^(2n+1) = sg(x) 1/sg(x) = sg(x) d/dx sg(u) = 0 (u 非零) $\int sg(x) = x sg(x)$ $\int sg(u)v dx = sg(u)\int v dx$ (u 非零) sg(x) = 1 假设 x > 0 sg(x) = -1 假设 x < 0 $sg(au) = sg(u)$ 如果 $a > 0$ $sg(au) = -sg(u)$ 如果 $a < 0$ sg(au/b) = sg(u) 如果 $a/b > 0$ sg(au/b) = - sg(u) 如果 $a/b < 0$ sg(x^(2n+1)) = sg(x) sg(1/u) = sg(u) sg(c/u) = sg(u) 如果 $c > 0$ u sg(u) = |u| |u| sg(u) = u $$diff(J(0,x),x) = -J(1,x)$$ $$diff(J(1,x),x) = J(0,x) - J(1,x)/x$$ $$diff(J(n,x),x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x)$$ $$diff(Y(0,x),x) = -Y(1,x)$$ $$diff(Y(1,x),x) = Y(0,x) - Y(1,x)/x$$ $$diff( Y(n,x),x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$$ $$diff(I(0,x),x) = -I(1,x)$$ $$diff(I(1,x),x) = I0(x) - I1(x)/x$$ $$diff(I(n,x),x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$$ $$diff( K(0,x),x) = -K1(x)$$ $$diff(K(1,x),x) = -K0(x) - K1(x)/x$$ $$diff(K(n,x),x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$$ expand multiply if cancels cancel square roots 以不同形式表示数字 复数运算 简化和 简化乘积 展开 分数 有符号分数 复合分数 指数 展开幂 负指数 平方根 高级平方根 分数指数 n次方根 根的根 根和分数 复数 因式分解 高级因式分解 解方程 二次方程 数值研究方程 高级方程 三次方程 对数或指数方程 多线性方程 仅选择模式 按项选择线性方程 代入法解方程 矩阵方法 高级矩阵方法 绝对值 绝对值不等式 严格不等式 不等式 涉及平方的不等式 涉及倒数的不等式 根和幂的不等式 一侧为零的不等式 二项式定理 因式分解二项式展开 Σ符号 高级Σ符号 归纳法证明 三角不等式 对数和幂的不等式 以10为底的对数 对数 自然对数和e 自然对数 反三角和公式 复数极坐标形式 任意底的对数 对数换底 计算三角函数 基础三角函数 三角函数的倒数 三角函数的平方恒等式 余割和余切恒等式 三角和公式 二倍角公式 展开sin(nx)或cos(nx) 验证恒等式 30-60-90解法 45-45-90解法 三角函数的零点 反三角函数 简化反三角函数 加反三角函数 互补三角函数 度数中的互补角 奇偶三角函数 三角函数的周期性 半角恒等式 乘积和因子恒等式 极限 商的极限 根的商的极限 特殊极限 双曲函数的极限 高级极限 对数极限 无穷处的极限 无穷极限 无穷 零分母 无穷处的函数 多项式的导数 导数 三角函数的导数 指数和对数的导数 反三角函数的导数 链式法则 极大值和极小值 隐函数求导 相关率 高阶导数 基本积分 三角函数积分 三角函数的ct积分 指数和对数的积分 代换积分 分部积分 基本定理 定积分 广义积分 奇偶被积函数 反代换 简化三角积分 有理函数积分 积分含有分母的平方根 积分反三角函数 双曲函数积分 几何级数 几何级数2 几何级数3 几何级数4 几何级数5 对数的幂级数 正弦和余弦的幂级数 指数函数的幂级数 反正切的幂级数 正切和余切的幂级数 级数的外观 级数的代数运算 处理无穷级数 收敛性测试 完成收敛性测试 复数函数 复数函数恒等式 双曲正弦和余弦 双曲三角恒等式 双曲函数 反双曲函数 双曲函数的导数 反双曲函数的导数 符号函数 简化符号函数 贝塞尔函数 修正贝塞尔函数 用户定义的函数 不可见 也是不可见 < . 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