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ELF > `< @ @ UH��}��u��E�H��U�Hc�H��H�H�� ]� 需要进行一些算术运算。 dummy 将$1 / sin$转换为csc 将$1 / cos$转换为sec 将$1 / tan$转换为cot 将$1 / tan$转换为$cos / sin$ 将$1 / cot$转换为tan 将$1 / cot$转换为$sin / cos$ 将$1 / sec$转换为cos 将$1 / csc$转换为sin 用csc表示sin 用sec表示cos 用cot表示tan 使用公式$sin^2 u + cos^2 u = 1$。 注意一个与$1 - sin^2 u$匹配的表达式。 注意一个与$1 - cos^2 u$匹配的表达式。 尝试将$sin^2$重写为$1 - cos^2$。 尝试将$cos^2$重写为$1 - sin^2$。 使用公式$sec^2 u - tan^2 u = 1$。 注意一个与$tan^2 u + 1$匹配的表达式。 注意一个与$sec^2 u - 1$匹配的表达式。 尝试将$sec^2$重写为$tan^2 + 1$。 尝试将$tan^2$重写为$sec^2 u - 1$。 使用$sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$消除所有的$sin$幂。 使用$cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$消除所有的$cos$幂。 使用$tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$消除所有的$tan$幂。 使用$sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$消除所有的$sec$幂。 将$(1-cos t)$的幂和$(1+cos t)$的幂组合为$sin^2 t$的幂。 将$(1-sin t)$的幂和$(1+sin t)$的幂组合为$cos^2 t$的幂。 注意一个与$csc^2 u - cot^2 u$匹配的表达式。 注意一个与$cot^2 u + 1$匹配的表达式。 注意一个与$csc^2 u - 1$匹配的表达式。 尝试将$csc^2$重写为$cot^2 + 1$。 尝试将$cot^2$重写为$csc^2 - 1$。 用$sec \theta$表示$csc(\pi /2-\theta )$。 用$tan \theta$表示$cot(\pi /2-\theta )$。 使用$cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$消除所有的$cot$幂。 使用$csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$消除所有的$csc$幂。 使用$sin(u+v)$的公式。 使用$sin(u-v)$的公式。 使用$cos(u+v)$的公式。 使用$cos(u-v)$的公式。 使用$tan(u+v)$的公式。 使用$tan(u-v)$的公式。 使用$cot(u+v)$的公式。 使用$cot(u-v)$的公式。 使用正弦的倍角公式。 你有一个$cos(2\theta )$形式的公式。倍角公式有三种以$cos(2\theta )$开头的选择。请仔细选择，考虑接下来的步骤。 选择包含$cos(2\theta )+1$的和。 选择包含$cos(2\theta )-1$的和。 使用正切的倍角公式。 使用余切的倍角公式。 使用以下公式将$sin \theta cos \theta$的乘积简化为单个三角函数：$sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta$。 使用以下公式将$2 sin \theta cos \theta$的乘积简化为单个三角函数：$2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta$。 组合一些项以得到双角的余弦。 通过将$n\theta$写为$(n-1)\theta + \theta$并使用和公式展开三角函数。 有一个展开$sin(3\theta)$的公式。 有一个展开$cos(3\theta)$的公式。 你可以将$sin n\theta$展开为$sin \theta$和$cos \theta$的多项式。 你可以将$cos n\theta$展开为$sin \theta$和$cos \theta$的多项式。 你可以交叉相乘。 你可以交换两边。 将适当的项从左边移到右边。 将适当的项从右边移到左边。 两边加一些东西。 两边减一些东西。 两边乘以某个值。 从两边消去一项。 将两边提升到相同的幂。 对两边取平方根。 对两边取$n$次根。 对两边应用一个函数。 也许这甚至不是一个真正的恒等式。通过数值检查它。如果这不是恒等式，你应该很快找到一个使两边不相等的数值。 做一个替代。 什么时候 $sin(u) = 1/2$？ 什么时候 $sin(u) = -1/2$？ 什么时候 $sin(u) = \sqrt 3/2$？ 什么时候 $sin(u) = -\sqrt 3/2$？ 什么时候 $cos(u) = \sqrt 3/2$？ 什么时候 $cos(u) = -\sqrt 3/2$？ 什么时候 $cos(u) = 1/2$？ 什么时候 $cos(u) = -1/2$？ 什么时候 $tan(u) = 1/\sqrt 3$？ 什么时候 $tan(u) = -1/\sqrt 3$？ 什么时候 $tan(u) = \sqrt 3$？ 什么时候 $tan(u) = -\sqrt 3$？ 什么时候 $sin(u) = 1/\sqrt 2$？ 什么时候 $sin(u) = -1/\sqrt 2$？ 什么时候 $cos(u) = 1/\sqrt 2$？ 什么时候 $cos(u) = -1/\sqrt 2$？ 什么时候 $tan(u) = 1$？ 什么时候 $tan(u) = -1$？ 什么时候 $sin u = 0$？ 什么时候 $sin u = 1$？ 什么时候 $sin u = -1$？ 什么时候 $cos u = 0$？ 什么时候 $cos u = 1$？ 什么时候 $cos u = -1$？ 什么时候 $tan u = 0$？ 什么时候 $cot u = 0$？ 你可以通过取反正弦来消去正弦，但会有多个解。 你可以通过取反余弦来消去余弦，但会有多个解。 尝试取反正切来消去正切。 精确地计算反正弦。 精确地计算反余弦。 精确地计算反正切。 使用公式 $arccot x = arctan (1/x)$消去反余切。 使用公式 $arcsec x = arccos (1/x)$消去反正割。 使用公式 $arccsc x = arcsin (1/x)$消去反余割。 arcsin是一个奇函数。 虽然arccos既不是奇函数也不是偶函数，但它满足公式$arccos(-x) = \pi -arccos x$。 arctan是一个奇函数。 你的解涉及一个整数参数，因此有无数个解。如果原始方程是周期为$2\pi$的周期函数，你应该将解重写为$c + 2n\pi$的形式。这样你只需要检查一个周期内的解。 记住正弦的值都在$-1$和$1$之间。 记住余弦的值都在$-1$和$1$之间。 $tan(arcsin x)$实际上是$x$的代数函数。 $tan(arccos x)$实际上是$x$的代数函数。 $tan(arctan x)$就是$x$。 $sin(arcsin x)$就是$x$。 $sin(arccos x)$实际上是$x$的代数函数。 $sin(arctan x)$实际上是$x$的代数函数。 $cos(arcsin x)$实际上是$x$的代数函数。 $cos(arccos x)$就是$x$。 $cos(arctan x)$实际上是$x$的代数函数。 $sec(arcsin x)$实际上是$x$的代数函数。 $sec(arccos x)$就是$1/x$。 $sec(arctan x)$实际上是$x$的代数函数。 $arctan(tan \theta )$就是$\theta$，如果$-\pi /2\le \theta \le \pi /2$。 $arcsin(sin \theta )$就是$\theta$，如果$-\pi /2\le \theta \le \pi /2$。 $arccos(cos \theta )$就是$\theta$，如果$0\le \theta \le \pi$。 $arctan(tan x)$通常不等于$x$，而是$x$减去某个$\pi$的倍数，因此可以表示为$x + c1$，其中$c1$在$tan x$定义的区间内是常数。 $arcsin x$ 和$arccos x$ 是余角。 $arctan x$ 和$arctan 1/x$ 是余角，但如果$x$是负数，请注意符号。 记住cos表示余弦，所以余角的余弦是正弦。也就是说，$cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta$。 记住cos表示余弦。也就是说，$sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta$。 记住cot表示余切，所以余角的余切是正切。也就是说，$cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta$。 记住cot表示余切。也就是说，$tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta$。 记住csc表示余割，所以余角的余割是正割。也就是说，$csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta$。 记住csc表示余割。也就是说，$sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta$。 将正弦重写为余弦的余角。 将余弦重写为正弦的余角。 将正切重写为余切的余角。 将余切重写为正切的余角。 将正割重写为余割的余角。 将余割重写为正割的余角。 记住cos表示余弦。也就是说，$sin(90\deg -\theta ) = cos \theta$。 记住cot表示余切。也就是说，$tan(90\deg -\theta ) = cot \theta$。 记住csc表示余割。也就是说，$sec(90\deg -\theta ) = csc \theta$。 将度数组合成单个表达式。 $sin$ 是一个奇函数。 $cos$ 是一个偶函数。 $tan$ 是一个奇函数。 $cot$ 是一个奇函数。 $sec$ 是一个偶函数。 $csc$ 是一个奇函数。 $sin^2$ 是一个偶函数。 $cos^2$ 是一个偶函数。 $tan^2$ 是一个偶函数。 $cot^2$ 是一个偶函数。 $sec^2$ 是一个偶函数。 $csc^2$ 是一个偶函数。 sin 是周期函数；使用表达此事实的公式。 cos 是周期函数；使用表达此事实的公式。 tan 是周期函数；使用表达此事实的公式。 sec 是周期函数；使用表达此事实的公式。 csc 是周期函数；使用表达此事实的公式。 cot 是周期函数；使用表达此事实的公式。 $sin^2$ 的周期是 $\pi $，即使 sin 的周期是 $2\pi$。 $cos^2$ 的周期是 $\pi $，即使 cos 的周期是 $2\pi$。 $sec^2$ 的周期是 $\pi $，即使 sec 的周期是 $2\pi$。 $csc^2$ 的周期是 $\pi $，即使 csc 的周期是 $2\pi$。 使用 $sin u = -sin(u-\pi )$ 化简角度。 使用 $sin u = sin(\pi -u)$ 化简角度。 使用 $cos u = -cos(u-\pi )$ 化简角度。 使用 $cos u = -cos(\pi -u)$ 化简角度。 使用半角恒等式消去 $sin^2$。 使用半角恒等式消去 $cos^2$。 sin 和 cos 的积可以使用公式 $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ 简化。 使用半角恒等式。 将 $\theta $ 写成 $2(\theta /2)$；可以使用半角恒等式进行此操作。 你可以将 $sin x cos x$ 表示为 $\onehalf sin 2x$ 你可以将 $sin x cos y$ 写成 $x$ 和 $y$ 和差频率的正弦和。 你可以将 $cos x sin y$ 写成 $x$ 和 $y$ 和差频率的正弦差。 你可以将 $sin x sin y$ 写成 $x$ 和 $y$ 和差频率的余弦差。 你可以将 $cos x cos y$ 写成 $x$ 和 $y$ 和差频率的余弦和。 你可以将 $sin x + sin y$ 写成包含 $x$ 和 $y$ 和差频率的正弦和余弦的乘积。 你可以将 $sin x - sin y$ 写成包含 $x$ 和 $y$ 和差频率的正弦和余弦的乘积。 你可以将 $cos x + cos y$ 写成包含 $x$ 和 $y$ 和差频率的余弦乘积。 你可以将 $cos x - cos y$ 写成包含 $x$ 和 $y$ 和差频率的正弦乘积。 用 u,v 替代三角函数中的表达式。 进行数值实验。 一个和的极限是各项极限的和，前提是各项极限存在。 一个差的极限是各项极限的差，前提是各项极限存在。 一个常数的极限就是该常数。 当 $x$ 趋于 $c$ 时，$x$ 的极限就是 $c$ 本身。 你可以将常数拉出极限。 你可以将负号拉出极限。 一个乘积的极限是各项极限的乘积，前提是各项极限存在。 一个（常数）幂的极限是极限的幂。 $c^v$ 的极限是 $c$ 的 $lim v$ 次幂，当 $c$ 为常数时。 $$lim(t->a, u^v)= lim(t->a, u)^lim(t->a, v)$$ 一个平方根的极限是极限的平方根，前提是它为正。 一个奇数次根的极限是极限的该次根。 一个根的极限是极限的该次根，前提是它为正。 你可以使用 MathXpert 一步计算多项式的极限。 将极限推入绝对值符号。 你可以将一个常数从分子中拉出，使用 $lim cu/v = c lim u/v$ 一个倒数的极限是极限的倒数；更一般地，对于常数 $c$，我们有 $lim c/v = c/lim v$ 一个商的极限是各项极限的商，前提是分母的极限非零。 将 $(x-a)$ 的幂因子分解出来，在 $x$ 接近 $a$ 的极限中。 你可以使用 MathXpert 一步计算有理函数的极限。 有时将 $a^n/b^n$ 写成 $(a/b)^n$ 会有所帮助。 将分式有理化。使用分式极限操作寻找该操作。 通过分离出一个具有有限非零极限的简单部分，简化你的极限。这意味着将 $lim uv$ 表示为 $lim u lim v$，其中 $lim u$ 是有限非零的。例如，你可以从 $sin^2(x)/x$ 的极限中分离出 $sin(x)/x$，在 $x$ 接近 0 时。 分解出一个常数。 分子和分母都乘以某物。目的是使分母的极限非零。 分子和分母都除以某物。目的是使分母的极限非零。 分子和分母都除以某物，然后将极限推入分子和分母中。选择要除以的量，使分母具有非零极限。 在分式极限操作中，你会找到一个代数公式，这可能会有所帮助：$$(ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q$$ 你可以将分母移入平方根（平方它）。 你可以将分母移到平方根下（平方它），但要注意符号。 你可以将分母移到根号下。 你可以将分母移到根号下，但要注意符号。 你可以将分子移入平方根（平方它）。 你可以将分子移到平方根下（平方它），但要注意符号。 你可以将分子移到根号下。 你可以将分子移到根号下，但要注意符号。 使用洛必达法则。 你可以让 MathXpert 一步计算导数。 将除了对数以外的所有内容移到分母中，然后使用洛必达法则。选择整个极限项以找到正确的操作。 将负指数作为正指数移到分母中，然后使用洛必达法则。 将指数函数移到分母中，然后使用洛必达法则。 将三角函数移到分母中（使用三角恒等式），然后使用洛必达法则。 通过将一个或多个因子移到分母中，将乘积转换为分式，形成复合分式。 将分式放在共同分母上并简化。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(sin t)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(tan t)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(1-cos t)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(1-cos t)/t^2$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(1+t)^(1/t)$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(ln(1+t))/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(e^t-1)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(e^(-t)-1)/t$。 $ln x$ 在原点的奇异性非常弱，任何正幂的 $t$ 都能压制它。MathXpert 提供了一步处理此类极限的操作，或者你可以将幂移到分母中并使用洛必达法则。 函数 $cos(1/t)$ 在 $t$ 接近 0 时会在 -1 和 1 之间进行无限次振荡。 函数 $sin(1/t)$ 在 $t$ 接近 0 时会在 -1 和 1 之间进行无限次振荡。 函数 $tan(1/t)$ 在 $t$ 接近 0 时表现得非常狂野。 函数 $cos t$ 在 $t$ 趋于无穷大时会在 -1 和 1 之间进行无限次振荡。 函数 $sin t$ 在 $t$ 趋于无穷大时会在 -1 和 1 之间进行无限次振荡。 函数 $tan t$ 对于任意大的 $t$ 都能取到所有实数值，因此在 $t$ 趋于无穷大时它不能趋于任何极限。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(sinh t)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(tanh t)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(cosh t -1)/t$。 存在一个特殊的极限公式，涉及 $(cosh t - 1)/t^2$。 ln 的极限是极限的 ln，但前提是其值为正。 连续函数的极限可以通过 $lim f(u)=f(lim u)$ 计算。这实际上是连续性的定义。 你可以使用函数复合的公式改变极限变量，即 $$lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))$$。 你可以让 MathXpert 一步计算简单的极限。 为了计算非常数幂的极限，首先使基数为常数，使用公式 $$lim(t->a, u^v) = lim(t->a, e^(v ln u))$$。 如果乘积的极限看起来是不定形式，可以尝试公式：$lim uv = lim v/(1/u)$。有时所得商的极限可以计算。 如果被求极限的函数在极限点附近未定义，则该极限未定义。 尝试公式：$$lim(t->a, u) = e^(lim(t->a, ln u))$$ 你可以使用夹逼定理去掉可能引起问题的项，比如振荡因子。 你可以尝试一些类似于分母有理化的方法，即使没有分母：$$lim(t->a, sqrt(u)-v)=lim(t->a, (sqrt(u)-v)(sqrt(u)+v)/(sqrt(u)+v))$$。 你可以忽略分子和分母中除主项以外的所有项。 复杂的极限可以被其主项的极限代替。 在某些条件下，你可以用主项代替求和中的其他项，但并非总是如此。你必须确保主项不会相互抵消为零，从而丢失真实答案。 包含未定义部分的表达式本身是未定义的。 $$lim(t->a,e^u) = e^(lim(t->a, u))$$ $lim(ln u) = ln(lim u)$ $ln x$ 在原点的奇异性非常弱，任何正幂的 $t$ 都会消除它。MathXpert 提供了一步计算此类极限的操作，或者你可以将幂放入分母并使用 L'Hospital 法则。 代数函数总是优于对数函数。 对于 $t$ 足够大，$t^n$ 也足够大，所以 $1/t^n$ 很小。 对于 $t$ 足够大，$t^n$ 也足够大。 对于 $t$ 足够大，$e^t$ 也足够大。 对于 $t$ 足够大且为负值，$e^t$ 非常小。 对于 $t$ 足够大，$ln t$ 也足够大。 对于 $t$ 足够大，$\sqrt t$ 也足够大。 对于 $t$ 足够大，$^n\sqrt t$ 也足够大。 对于 $|t|$ 足够大，$arctan t$ 接近 $\pi/2$ 或 $-\pi/2$。 一个很大的正数的 arccot 接近零。 一个很大的负数的 arccot 接近 $\pi$。 对于 $|t|$ 足够大，$tanh t$ 接近 1 或 -1。 $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$。 $lim(sin u) = sin(lim u)$，如果极限是有限的。 $lim(cos u) = cos(lim u)$，如果极限是有限的。 无穷处的极限可以通过将 $f(t)$ 替换为 $f(1/t)$ 转换为零处的极限。 对于 $u$ 很小时，$1/u^2^n$ 很大。 对于 $u$ 很小时，$1/u^n$ 很大，但如果 $n$ 是奇数，对于 $u$ 为正和 $u$ 为负，它具有相反的符号，这对当 $u$ 趋近于零时的双边极限会造成麻烦。 对于 $u$ 很小且为正时，$1/u^n$ 很大。 对于 $u$ 很小且为负时，$1/u^n$ 很大且（如果 $n$ 是奇数）为负。 如果分母趋近于零而分子不趋近于零，则极限未定义。 对于 $t$ 很小且为正时，$ln t$ 很大且为负。 $tan t$ 在 $\pi /2$ 的奇数倍处有奇点，但从左侧和右侧接近奇点的符号不同。 $cot t$ 在 $\pi$ 的整数倍处有奇点，但从左侧和右侧接近奇点的符号不同。 $sec t$ 在 $\pi /2$ 的奇数倍处有奇点，但从左侧和右侧接近奇点的符号不同。 $csc t$ 在 $\pi$ 的整数倍处有奇点，但从左侧和右侧接近奇点的符号不同。 通过选择合适的因子相乘或相除，使得可以计算极限。 $\pm \infty /$ 正数 = $\pm \infty$ 非零 $/\pm \infty = 0$ 正数 $\times \pm \infty = \pm \infty$ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty$ $\pm \infty +$ 有限值 = $\pm \infty$ $\infty + \infty = \infty$ $u^\infty = \infty$ 如果 $u > 1$ $u^\infty = 0$ 如果 $0 < u < 1$ $$u^(-infinity ) = 0$$ 如果 $u > 1$ $$u^(-infinity ) = infinity$$ 如果 $0 < u < 1$ $\infty ^n = \infty$ 如果 $n > 0$ 包含不同符号的无穷值的和是未定义的。 $a/0+ = \infty$ 如果 $a>0$ $a/0- = -\infty$ 如果 $a>0$ $a/0 =$ 未定义 $\infty /0+ = \infty$ $\infty /0- = -\infty$ $\infty /0 = $ 未定义 $\infty /0^2 = \infty$ $\infty /0^2^n = \infty$ $a/0^2 = \infty$ 如果 $a > 0$ $a/0^2 = -\infty$ 如果 $a < 0$ $a/0^2^n = \infty$ 如果 $a > 0$ $a/0^2^n = -\infty$ 如果 $a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty$ $\sqrt \infty = \infty$ $^n\sqrt \infty = \infty$ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi$ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ 在 $\infty$ 处的三角极限未定义，因为三角函数会振荡（或更糟）。 $cosh \pm \infty = \infty$ $sinh \pm \infty = \pm \infty$ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty$ 常数的导数为零。这里的“常数”是指任何不依赖于您所微分变量的值。 您有一个表达式 $dx/dx$。此表达式应等于 1。 一个和的导数等于各项导数之和。 负号可以提到导数符号外。 常数可以提到导数符号外。 使用“幂法则”来对幂函数求导。 您可以使用 MathXpert 一步求解多项式的导数。 根据定义，$f'(x) = d/dx f(x)$。 使用定义导数的公式，即某种极限。该公式与其他导数操作放在一起。 一个和（或差）的导数等于各项导数之和（或差）。 如果分母中有常数，可以将其提到外面，使用公式：$$diff(u/c,x)=(1/c)diff(u,x)$$。分子中的任何常数也会提出来。 使用“乘积法则”来求导。 有一个关于倒数求导的简单公式：$$diff(1/v,x) = -diff(v,x)/v^2$$。这是商法则的一个值得记忆的特例。 使用“商法则”来求导。 求平方根的导数有一个公式。通常，直接对平方根求导比将其转化为分数指数再使用幂法则更简单。 为了对根式求导，先将其转化为分数指数形式。 对于分母中的幂进行求导，不需要像许多学生那样先将其转换为负指数。您可以直接使用幂法则的形式：$$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$。 绝对值求导有一个简单公式：$d/dx |x| = x/|x|$。如果您的教材省略了这个公式，可以通过分别考虑 $x$ 为正和负的情况自行验证。当然，当 $x=0$ 时，该公式两侧均未定义。 sin 的导数是 cos。 cos 的导数是 $-sin$。 tan 的导数是 $sec^2$。 sec 的导数是 sec tan。 cot 的导数是 $-csc^2$。 csc 的导数是 $-csc cot$。 $e^x$ 的导数是其本身。 指数函数的导数是其本身，但会多一个常数因子：$d/dx c^x = (ln c) c^x$。 为了对具有非常数指数的幂求导，请使用以下公式使底数成为常数：$$diff(u^v,x) = diff(e^(v ln u),x)$$。 $ln x$ 的导数是 $1/x$。 $ln |x|$ 的导数是 $1/x$。 尝试将 $dy/dx$ 写为 $y (d/dx) ln y$。 使用公式：$d/dx e^u = e^u du/dx$。 为了对具有常数底数的幂求导，使用公式：$$diff(c^u,x)=(ln c)c^u diff(u,x)$$。 为了对对数求导，使用公式：$$diff(ln u,x) = (1/u)(diff(u,x))$$。 使用公式：$$diff(ln abs(u),x) = (1/u) diff(u,x)$$。 有一个公式可以一步求解 $ln(cos x)$ 的导数。 有一个公式可以一步求解 $ln(sin x)$ 的导数。 $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ 使用链式法则的幂法则形式：$$diff(u^n,x) = nu^(n-1) diff(u,x)$$ 结合平方根求导公式使用链式法则：$$diff(sqrt(u),x) = diff(u,x)/(2 sqrt(u))$$ 结合 sin 求导公式使用链式法则。 结合 cos 求导公式使用链式法则。 结合 tan 求导公式使用链式法则。 结合 sec 求导公式使用链式法则。 结合 cot 求导公式使用链式法则。 结合 csc 求导公式使用链式法则。 结合绝对值求导公式使用链式法则。 以形式 $$diff(f(u),x) = f'(u) diff(u,x)$$ 使用链式法则。 进行变量替换。 现在消除定义的变量。 通过数值实验探索。 考虑 $f'(x)=0$ 的点。 考虑区间的端点。 是否存在 $f'(x)$ 未定义的点？ 考虑区间开端的极限。 排除区间外的点。 制作小数 $y$ 值的表格。 制作精确 $y$ 值的表格。 从表格中选择最大值。 从表格中选择最小值。 您可以使用 MathXpert 一步计算导数。 现在求解方程。 您可以使用 MathXpert 一步计算简单极限。 消除整数参数。 此函数为常数，所以最大值等于最小值等于该值。 计算导数。 简化表达式。 求解方程。 对方程进行求导。 通过替换消除某个变量的导数。 消除复合分数。 将分数放到一个公共分母上并简化。 提取公因子。 尝试因式分解。 展开并简化。 分子和分母中是否存在公因子？ 将其写成某变量或表达式的多项式形式。 将某些表达式写成多项式形式。 使某多项式的首项系数为1。 将分数指数为1/2转换为平方根。 将分数指数转换为根式。 用分数指数替换根式和平方根。 利用定律 $u=v => du/dx = dv/dx$ 对等式求导。 使用公式 $$diff(u,x,2) = diff(diff(u,x),x)$$ 表示二阶导数。 $$diff(u,x,n) = diff(diff(u,x,n-1),x)$$ 导数的导数是二阶导数。 对 $n$ 阶导数求导得到 $n+1$ 阶导数。 在某一点进行数值求值。 $\int 1 dt = t$ 积分是一个常数，因此使用定律 $$integral(c,t) = ct$$ $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt (c 为常数)$ 使用公式 $$integral(-u,t) = -integral(u,t)$$ 将负号移出积分符号。 被积函数是一个和，因此您可以使用积分的线性性质：$$integral(u+v,t) = integral(u,t) + integral(v,t) $$ 被积函数是一个差，因此您可以使用积分的线性性质：$$integral(u-v,t) = integral(u,t) - integral(v,t) $$ 被积函数是一个和或差，因此您可以使用积分的线性性质：$$integral(au+bv,t) = a integral(u,t) + b integral(v,t) $$ 此性质也适用于减号或加减号的混合。 $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n \ne -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n \ne 0)$ 被积函数是一个多项式。您可以使用 MathXpert 一步积分。 $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ 将被积函数展开，得到更简单的项之和。 展开被积函数中的 $(a+b)^n$ $\int |t| dt = t|t|/2$ 积分正弦函数。 积分余弦函数。 积分正切函数。 积分余切函数。 积分正割函数。 积分余割函数。 积分正割平方。 积分余割平方。 有 $tan^2 t$ 的积分公式，或者您可以通过分部积分完成。 有 $cot^2 t$ 的积分公式，或者您可以通过分部积分完成。 $sec t tan t$ 可以直接积分，因为它是 $sec t$ 的导数。 $csc t cot t$ 可以直接积分，因为它是 $csc t$ 的导数。 指数函数是它自己的积分：$$integral(e^t,t) = e^t$$ 指数函数是它自己的积分，但如果指数包含一个常数，则积分会有一个相应的因子：$\int e^at dt =(1/a) e^at$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-at)dt = -(1/a) e^(-at)$ $$integral( e^(t/a),t) = a e^(t/a)$$ 指数函数是它自己的积分，除了当底数不是 $e$ 时，需要引入一个常数因子。 $$integral( u^v, t) = integral(e^(v ln u),t)$$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral( e^(-t^2),t) = (sqrt pi) /2 Erf(t)$$ 尝试通过代换积分。 计算 $du/dx$。 求导。 使用“再次显示积分”找回原始积分。 将被积函数表示为新变量的函数，选择：被积函数 = $f(u) \times du/dx$。 现在完全消除原始积分变量。 通过代换积分。 尝试分部积分。 将当前行设置为原始问题，得到一个方程。 将原始积分隔离到方程左侧。 您可以要求 MathXpert 一步计算简单积分。 使用微积分基本定理。 去掉用于函数求值的横线。 交换积分上下限，引入一个负号。 将两个具有相同被积函数的定积分合并为一个积分，如果它们表示在同一区间的不同部分上积分。 将定积分分解为两个（或多个）积分，引入一个（或多个）中间点作为新的积分上下限可能会有所帮助。 将积分分解为两个或多个积分，其端点是被积函数的零点。这样您就可以消除绝对值。 如果积分有数值，您可以要求 MathXpert 计算积分的数值。 注意积分的上下限是相同的。 将广义积分表示为正则积分的极限。 如果被积函数在 $\infty $ 处不趋于零，则广义积分发散。 如果被积函数在 $-\infty $ 处不趋于零，则广义积分发散。 在以原点为中点的区间上，奇函数的积分必为零。 在以原点为中点的区间上，偶函数的积分是该区间正半部分积分的两倍。 使用三角代换。 使用反代换。 在积分中使用 $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ 消去被积函数中的 $sin^2$ 项。 在积分中使用 $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ 消去被积函数中的 $cos^2$ 项。 在使用 $sin^2=1-cos^2$ 后，做一个代换 $u=cos x$。选择整个积分以查看此选项。 在使用 $cos^2=1-sin^2$ 后，做一个代换 $u=sin x$。选择整个积分以查看此选项。 在使用 $sec^2=1+tan^2$ 后，做一个代换 $u=tan x$。选择整个积分以查看此选项。 在使用 $csc^2=1+cot^2$ 后，做一个代换 $u=cot x$。选择整个积分以查看此选项。 在使用 $tan^2=sec^2-1$ 后，做一个代换 $u=sec x$。选择整个积分以查看此选项。 在使用 $cot^2=csc^2-1$ 后，做一个代换 $u=csc x$。选择整个积分以查看此选项。 在被积函数中使用恒等式 $tan^2 x = sec^2 x - 1$。选择整个积分以查看此选项。 在被积函数中使用恒等式 $cot^2 x = csc^2 x - 1$。选择整个积分以查看此选项。 使用降阶公式将其化简为一个类似的积分，但 sec 的幂次较低。 使用降阶公式将其化简为一个类似的积分，但 csc 的幂次较低。 使用 Weierstrass 代换：$u = tan(x/2)$。选择整个积分以查看此选项。 同时将分子和分母乘以 $1+cos x$。 同时将分子和分母乘以 $1-cos x$。 同时将分子和分母乘以 $1+sin x$。 同时将分子和分母乘以 $1-sin x$。 同时将分子和分母乘以 $sin x + cos x$。 同时将分子和分母乘以 $cos x - sin x$。 使用多项式除法将积分化简为分子次数低于分母的情况。 如果可能，因式分解分母。 分子和分母中是否有任何公因子？ 您可以要求 MathXpert 执行“平方因子分解”，这将找到任何重复因子。此操作使用的算法通常不在教科书中教授。 您可以使用 MathXpert 以数值方式因式分解多项式。接近根的十进制近似值将被使用。 将被积函数展开为部分分式。 完成分母的平方。 线性函数的倒数积分为对数函数。 线性函数幂次的倒数积分为另一个类似函数。您可以通过代换将积分化简为变量的幂次，但最好一步完成。 平方和的倒数积分为反正切函数。 平方差的倒数积分为反双曲余切、反双曲正切或对数函数。 平方差的平方根倒数积分为反正弦函数。 平方和的平方根倒数积分为对数函数。 在菜单中查找分母中有平方根的积分。 做一个有理化的代换。 有一个反正弦（arcsin）的积分公式。 有一个反余弦（arccos）的积分公式。 有一个反正切（arctan）的积分公式。 有一个反余切（arccot）的积分公式。 反余弦正割（arccsc）有两个积分公式，请小心。 反正割（arcsec）有两个积分公式，请小心。 将分数化为公共分母并简化。 提取一个公因子。 分子和分母中是否有共同因子？ 解方程。 计算极限。 通过代换改变积分。 您可以要求 MathXpert 一步计算简单的积分。 将数字吸收到积分常数中。 sinh 的积分是 cosh。 cosh 的积分是 sinh。 tanh 的积分是 ln cosh。 coth 的积分是 ln sinh。 csch 的积分是 $ln tanh(u/2)$。 $sech u$ 的积分是 $arctan (sinh u)$。 将 $1/(1-x)$ 展开为幂级数。 将 $1/(1+x)$ 展开为幂级数。 求 $1/(1-x)$ 的级数和。 求 $1/(1+x)$ 的级数和。 将 $x/(1-x)$ 展开为幂级数。 将 $x/(1+x)$ 展开为幂级数。 求 $x/(1-x)$ 的级数和。 求 $x/(1+x)$ 的级数和。 将 $1/(1-x^k)$ 展开为幂级数。 将 $x^m/(1-x^k)$ 展开为幂级数。 求 $1/(1-x^k)$ 的级数和。 求 $x^m/(1-x^k)$ 的级数和。 将 $1/(1+x^k)$ 展开为幂级数。 将 $x^m/(1+x^k)$ 展开为幂级数。 求 $1/(1+x^k)$ 的级数和。 求 $x^m/(1+x^k)$ 的级数和。 您可以将 $x^k/(1-x)$ 展开为几何级数。 您可以将 $x^k/(1+x)$ 展开为几何级数。 求几何级数的和。 将 $ln(1-x)$ 展开为幂级数。 将 $ln(1+x)$ 展开为幂级数。 求 $ln(1-x)$ 的幂级数和。 求 $ln(1+x)$ 的幂级数和。 将 $sin x$ 展开为幂级数。 将 $cos x$ 展开为幂级数。 求 $sin x$ 的级数和。 求 $cos x$ 的级数和。 将 $e^x$ 展开为幂级数。 求 $e^x$ 的级数和。 将 $e^(-x)$ 展开为幂级数。 求 $e^(-x)$ 的级数和。 将 $arctan x$ 展开为幂级数。 求 $arctan$ 的级数和。 使用二项式级数展开一个和的幂。 求二项式级数的和。 将 $tan x$ 展开为幂级数。 将 $cot x$ 或 $x cot x$ 展开为幂级数。 将 $x/(e^x-1)$ 展开为幂级数。 将 $sec x$ 或 $1/cos x$ 展开为幂级数。 将 $\zeta(s)$ 展开为幂级数。 交替调和级数有一个已知的和。 您可能希望将级数表达为 $a_0 + a_1 + ... $ 的形式。 您可能希望将级数表达为 $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ 的形式。 您可能希望使用 ... 而不是 sigma 符号表示级数。 使用 sigma 符号表示级数。 显示 ... 之前的另一项。 显示 ... 之前的更多项。 您有一个望远镜级数。 乘以级数。 两个幂级数可以相乘以生成一个新的幂级数。 幂级数可以通过一个多项式除法，用类似长除法的过程进行。 一个多项式可以通过幂级数除法，用类似长除法的过程进行。 两个幂级数可以通过长除法除法。 级数的平方可以写成双重级数。 幂级数的平方可以写成另一个幂级数。 幂级数的幂可以表达为另一个幂级数。 将两个级数的和合并为一个单独的级数。 将两个级数的差合并为一个单独的级数。 拆分无限级数的前几项。 通过减少级数的下限（减去新的项），您可以将级数变为标准形式。 在索引变量上加点东西，使级数更易于处理。 在索引变量上减点东西，使级数更易于处理。 重命名索引变量。 将级数 $\sum (a+b)$ 分解为两个级数 $\sum a + \sum b$。 逐项求导。 将导数拉出级数。 逐项积分。 将积分拉出级数。 计算前几项。 将函数表示为其导数的积分。然后将导数展开为级数并逐项积分。 将函数表示为其导数的定积分。然后将导数展开为级数并逐项积分。 将函数表示为其积分的导数。然后将积分展开为级数并逐项求导。 求积分常数以消除它。 将偶数和奇数索引的项分开，得到两个新级数。 通过证明其通项不趋于零，您可以证明级数是发散的。 使用积分测试。 使用比值测试。 使用根测试。 使用比较测试证明收敛性。找到一个具有较大通项的收敛级数。 使用比较测试证明发散性。找到一个具有较小通项的发散级数。 使用极限比较测试。 使用浓缩测试。 完成发散测试。 完成积分测试。 完成根测试。 完成比值测试。 完成比较测试。 完成极限比较测试。 完成浓缩测试。 您已完成显示比较级数的收敛性。现在陈述关于原始级数收敛性的正面结果。要查看此选项，请选择整个当前行。 您已完成显示比较级数的发散性。现在陈述关于原始级数收敛性的负面结果。要查看此选项，请选择整个当前行。 调和级数 $$sum(1/k,k,1,infinity)$$ 是发散的，因为它的前 $n$ 项部分和大约是 $ln n$。 $$sum(1/k^2,k,1,infinity)$$ 有一个公式。 项 $1/k^s$ 的和是收敛的，称为 $\zeta(s)$。 $\zeta$ 函数在偶整数处的值可以用伯努利数计算。 用极坐标形式表达复数以计算其对数，使用公式 $$ln(u+iv) = ln(r e^(i theta))$$ 使用复数对数公式：$$ln(re^(i theta))=ln r + i theta$$。这里有一个细微之处：在应用此公式时，如果 $\theta $ 不在 $-\pi $ 和 $\pi $ 之间，它将被缩减到该范围内。 i 的自然对数是 $i\pi /2$，因为 $\pi /2$ 是 i 的辐角。 -1 的自然对数是 $i\pi $，因为 $-1 = e^(i\pi )$。 -a 的自然对数是 $ln a + i\pi $，因为 $-1 = e^(i\pi )$。该公式假设 $a$ 为正。 用复指数展开 cos。 用复指数展开 sin。 要取复数平方根，请取半径的平方根并将辐角减半。 要取复数的 $n$ 次根，请取半径的 $n$ 次根，并将辐角除以 $n$。 用 cos 和 sin 展开复指数。 使用欧拉著名公式：$$e^(i pi) = -1 $$ 使用欧拉著名公式：$$e^(-i pi) = -1 $$ $$e^(2n pi i) = 1$$，因为当 $\theta $ 变化时，$e^(i\theta)$ 描绘单位圆。 当 $\theta $ 变化时，$e^i\theta $ 描绘单位圆。因此，您可以去掉指数中的 $2 pi i$ 的倍数。 根据公式 $$u^v = e^(v ln u)$$ 将复指数重写为以 $e$ 为底。 $sin(it)$ 可以用双曲正弦表示，而不是展开为复指数。 $cos(it)$ 可以用双曲余弦表示，而不是展开为复指数。 $sinh(it)$ 可以表示为 $i sin t$，而不是展开为指数形式。 $cosh(it)$ 可以表示为 $cos t$，而不是展开为指数形式。 $tan(it)$ 可以用双曲正切表示，而不是展开为复指数。 $cot(it)$ 可以用双曲余切表示，而不是展开为复指数。 $tanh(it)$ 可以表示为 $i tan t$，而不是展开为指数形式。 $coth(it)$ 可以表示为 $-i cot t$，而不是展开为指数形式。 用复指数表达 $cos t + i sin t$。 用复指数表达 $cos t - i sin t$。 将复指数表达式简化为余弦。 将复指数表达式简化为正弦。 使用 cosh 的定义。 将指数合并为一个 cosh 项。 使用 sinh 的定义。 将指数合并为一个 sinh 项。 cosh 是偶函数。 sinh 是奇函数。 用公式 $cosh u + sinh u = e^u$ 合并 cosh 和 sinh 项。 用公式 $cosh u - sinh u = e^(-u)$ 合并 cosh 和 sinh 项。 记住 $cosh 0 = 1$。 记住 $sinh 0 = 0$。 用双曲函数表达 $e^x$。 用双曲函数表达 $e^(-x)$。 使用恒等式 $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ 使用恒等式 $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ 使用恒等式 $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ 使用恒等式 $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ 使用恒等式 $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ 使用恒等式 $1 - tan^2u = sech^2u$ 使用恒等式 $1 - sech^2u = tan^2u$ 用 sinh 和 cosh 表达 tanh。 将 sinh 和 cosh 合并为 tanh。 用 cosh 和 sinh 表达 coth。 将 cosh 和 sinh 合并为 coth。 用 cosh 的倒数表达 sech。 cosh 的倒数是 sech。 用 sinh 的倒数表达 csch。 sinh 的倒数是 csch。 使用公式 $tanh^2 u + sech^2 u = 1$。 使用公式 $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$。 使用公式 $sech^2 u = 1 - tanh^2 u$。 使用 sinh 的和或差的公式。 使用 cosh 的和或差的公式。 使用双角公式：$sinh 2u = 2 sinh u cosh u$。 使用双角公式：$cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$。 有一个公式可以简化 $tanh(ln u)$。 有一个公式可以用对数表达 arcsinh。 有一个公式可以用对数表达 arccosh。 有一个公式可以用对数表达 arctanh。 $sinh(arcsinh x)$ 就是 $x$。 $cosh(arccosh x)$ 就是 $x$。 $tanh(arctanh x)$ 就是 $x$。 $coth(arccoth x)$ 就是 $x$。 $sech(arcsech x)$ 就是 $x$。 $csch(arccsch x)$ 就是 $x$。 sinh 的导数是 cosh。 cosh 的导数是 sinh。 tanh 的导数是 $sech^2$。 coth 的导数是 $-csch^2$。 sech 的导数是 $- sech tanh$。 csch 的导数是 $- csch coth$。 $ln sinh$ 的导数是 coth。 $ln cosh$ 的导数是 tanh。 arcsinh 的导数实际上是一个代数函数。 arccosh 的导数实际上是一个代数函数。 arctanh 的导数实际上是一个代数函数。 arccoth 的导数实际上是一个代数函数。 arcsech 的导数实际上是一个代数函数。 arccsch 的导数实际上是一个代数函数。 消除 sgn 函数，因为其参数为正。 消除 sgn 函数，因为其参数为负。 消除 sgn 函数，因为其参数为零。 sgn 是一个奇函数。 用绝对值表达 sgn。 用 $|x|$ 表示为 $x sgn(x)$。 偶次幂始终为正。 奇次幂的符号与其基数相同，因此 $sgn(x)$ 的奇次幂为 $sgn(x)$。 通过公式 $1/sgn(x) = sgn(x)$ 将 sgn 移至分子。 当 x 非零时，sgn(x) 是常数，此时其导数为零。 sgn(x) 可以直接积分。 如果被积函数非零，sgn(x) 可以通过积分号。 sgn(x) 用于组合 $x$ 为正和 $x$ 为负的情况，但有时需要分别处理。 去掉 sgn 函数内的正因子。 去掉 sgn 函数内的负因子，并在前面加一个负号。 奇次幂的符号与 $x$ 的符号相同。 $1/x$ 的符号与 $x$ 的符号相同。 如果 $c$ 为正数，则 $c/x$ 的符号与 $x$ 的符号相同。 用 $x sgn(x)$ 表示 $|x|$。 用 $|x| sgn(x)$ 表示 $x$。 $J0$ 的导数是 $-J1$。 $d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x$。 $d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x)$。 $Y0$ 的导数是 $-Y1$。 $d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x$。 $d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$。 $I0$ 的导数是 $-I1$。 $d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x$。 $d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$。 $K0$ 的导数是 $-K1$。 $d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x$。 $d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$。 使用已定义的函数。 将多项式的乘积展开并收集结果项。 使用 $a(b+c) = ab+ac$ 展开，然后进行约简。 将因子按顺序排列。 在计算极限之前，先将分数化为同分母。如果需要，先分解分母。 在计算极限之前，先将分数化为同分母。 在计算极限之前，先将分数化为同分母。先消除负指数。 使用分数指数表达平方根。 展开双角余弦。 通过表达 $sin^2 t$ 为 $cos^2 t$ 来消除 $sin^2 t$。 通过表达 $cos^2 t$ 为 $sin^2 t$ 来消除 $cos^2 t$。 通过表达 $tan^2 t$ 为 $sec^2 t$ 来消除 $tan^2 t$。 通过表达 $sec^2 t$ 为 $tan^2 t$ 来消除 $sec^2 t$。 进行代换。 相乘系数。 计算简单的平方根。 在两边加或减某个值。 对其中一个加数进行因式分解以显式化公因子。之后可以提取公因子。 将三角函数重写为 $sin$ 和 $cos$ 以便找到公分母。 使用 $ab+ac = a(b+c)$ 创建二次表达式的中间项。 如果某一边是一个完全平方（或其他次幂），对其进行因式分解以允许约简。其中一边是一个完全平方（或其他幂），对其因式分解以允许约简。 通过使用对幂的对数公式，使所有对数具有相同的参数。 通过使用对积的对数公式，使所有对数具有相同的参数。 dummy � & E > > ! 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