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� __cstring __TEXT � � � __const __TEXT �� ; �� __data __DATA �� �0 �� h& M __debug_abbrev __DWARF h � `! __debug_info __DWARF � � �! �H __debug_str __DWARF � > �" __apple_names __DWARF t $ __apple_objc __DWARF � $ |$ __apple_namespac__DWARF � $ �$ __apple_types __DWARF � � �$ __compact_unwind__LD X P% �H __debug_line __DWARF x � p% �H 2
I �� �, P �� �{��C �� �( �R� ��@��@� k
T ��� � � �� � �@��qK T � � �! ����R �c � ��@��@� k �� � �@��{A��� ��_�Spanish_ophelp spanish_ophelp1.c 0 Estimar aritméticos aproximaciones decimales. Ejemplo: $\sqrt 2 = 1.414214$ Ejemplo: 2^(1/2) = 1.414214 Ejemplo: ln 2.0 = 0.69315. Calcular también sin, tan, etc. Factorizar un entero (menor a 4 mil millones). Ejemplo: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$. Se solicitará asignarle valor a la variable (o variables) Reemplazar $\pi $ por su valor decimal aproximado, 3.14159235... Reemplazar $e$ por su valor decimal aproximado, 2.718281828... Calcular, usando la definición de función, su valor numérico. Ejemplo: x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878) Evaluar el número de Bernoulli para un racional Evaluar el número de Euler para un racional Convertir decimales a fracciones con resguardo de los valores aproximados. Ejemplo: 64 = 8^2 Ejemplo: 1000 = 10^3 Ejemplo: 256 = 4^4. Se solicitará que se ingrese el exponente. Ejemplo: 256 = 4^4. Se solicitará que se ingrese la base. Ejemplo: 36 = 6^2, or 256 = 2^8. Ejemplo: 3 es seleccionado y 2 es ingresado, el resultado es 2 + 1. Esta es la propiedad más importante del número complejo i. Ejemplo: i^4 = 1, i^8 = 1, i^12 = 1 Ejemplo: i^5 = i, i^9 = i, i^(-3) = i Ejemplo: i^6 = -1 Ejemplo: i^7 = -i Aplicar operaciones aritméticas exactas (salvo la potenciación) a números complejos. Ejemplo, $(1+i)^2 = \sqrt 2 i$. Aplicar operaciones aritméticas exactas, incluso la potenciación, a números complejos. Aplicar a números complejos, operaciones aritméticas decimales aproximadas. Factorizar un entero (menor a 4 mil millones). Ejemplo: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$. Factorizar un entero en productos de primos de Gauss. Ejemplo: 5 = (1+2i)(1-2i) Ejemplo: -3+4i = (1+2i)^2 Ejemplo: $\sqrt $i = 0.707168 + 0.707168 i Ejemplo, i^(1/2) = 0.707168 + 0.707168 i Ejemplo, cos i = 1.543080635 Mostrar el valor de una expresión después de haberle asignado valores a las variables. Suprimir el doble signo menos. Ejemplo: -(x^2 - 2x + 1) se convierte en x^2 + 2x - 1 Ejemplo: -x-5 se convierte en -(x+5) Aplicar la propiedad asociativa. Ejemplo: (a+b) + (c+d) = a+b+c+d Organizar los términos de una suma en orden estándar. Ejemplo: y+x = x+y Ejemplo: x^2 + 0 + 5 = x^2 + 5 Ejemplo: x^2 + x + sin x - x = x^2 + sin x Ejemplo: x^2 + 3x + 2x = x^2 + 5x Ejemplo: x^2 + 3x + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 5x Aplicar la propiedad conmutativa: invertir el orden de los sumandos en el término seleccionado. Ejemplo: 5(1-x) se convierte en -5(x-1) Ejemplo: -5x se convierte en 5(-x) Ejemplo: -5xy se convierte en 5x(-y) Ejemplo: 5x(-y)z se convierte en 5xy(-z) Ejemplo: $2^100\times 0$ se convierte en 0 Suprimir los factores iguales a 1. Colocar el signo menos encabezando el producto. Aplicar la propiedad asociativa. Ejemplo: (3x^2)(yz) = 3x^2yz Ejemplo: $2x\times 3y$ = 6xy Organizar los factores del producto en orden estándar. Ejemplo: yx = xy Aplicar la regla x^n x^m = x^(n+m). Ejemplo: x^2x^3 = x^5. Aplicar la propiedad distributiva. Ejemplo: x(x^2 + 1) = x^3 + x. Ejemplo: (x-2)(x+2) = x^2-4 Ejemplo: (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 Ejemplo: (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 Ejemplo: (x-1)(x^2+2x+1) = x^3-1 Ejemplo: (x+1)(x^2-2x+1) = x^3+1 Aplicar la propiedad conmutativa: invertir el orden de los términos del producto Ejemplo: (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 Desarrollar los productos de sumas del numerador, sin tocar el denominador. Desarrollar los productos de sumas del denominador, sin tocar el numerador. Ejemplo: 3x = x + x + x Cero dividido por cualquier divisor, excepto cero, da cero. Todo número dividido por 1, resulta invariante. Aplicar la definición de la inversa. Ejemplo, $2 \times (1/2) = 1$ Ejemplo, (3/4)(x/y) = 3x/(4y) Ejemplo, 3(x/2) = 3x/2 Ejemplo: x^2 y / x = xy Sumar los numeradores de las fracciones de denominador común. Descomponer una fracción cuyo numerador es una suma, en dos o más fracciones. Descomponer $(a\pm b)/c$ si una de las fracciones resultantes se puede cancelar. Ejemplo: (x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x+1 + 1/(x+1) Simplificar por el máximo común divisor, el numerador y el denominador. Ejemplo: 2x/3y = (2/3)(x/y) Ejemplo: $(x^2 + y^2)/\sqrt 2 = (1/\sqrt 2) x^2 + y^2$ Ejemplo: $3e^(it)/\sqrt 2 = (3/\sqrt 2) e^(it)$ Ejemplo: ax/(2y) = (a/2)(x/y) Ejemplo: $\sqrt 3x/2 = (\sqrt 3/2)x$ Simplificar los signos menos en numerador y denominador. Colocar un signo menos en el numerador. Colocar un signo menos en el denominador. Extraer un signo menos del numerador. Extraer un signo menos del denominador. Extraer un signo menos de la suma del numerador. Extraer el signo menos de la suma del denominador. Reordenar los términos del denominador y ajustar el signo. Extraer el signo menos de la suma en el denominador. Extraer el signo menos de la suma en el numerador. Ejemplo: (1-x)/(3-x) = (x-1)/(x-3) Ejemplo: 2x/3 = 2(x/3) Ejemplo: 1/(x(1-x^2)) = (1/x)(1/(1-x^2) Ejemplo: x/2 /(y/2) = x/y Ejemplo: 3/(2/x) = 3x/2 Ejemplo: 1/(2/x) = x/2 Ejemplo: (3/2)/x = 3/(2x) Ejemplo: (2/3)/x = (2/3)(1/x) Ejemplo: (2/3)x/y = 2x/3y Ejemplo: 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1)^2 Reunir bajo el mismo denominador a las fracciones de una suma que conforman una mayor. Ejemplo: 1/x + 1/y = 1/x(y/y) + (1/y)(x/x) Obviando los no fraccionarios, sacar denominador común de los demás términos. Ejemplo: (x/2)(y/3) = xy/6 Ejemplo: 2(x/y) = 2x/y Organizar en el orden estándar, a los factores de un producto. Ejemplo: yx = xy Sumar los numeradores de las fracciones con el mismo denominador. Ejemplo: 1/x + 1/y + 1 = (y+x+xy)/(xy) Ejemplo: 1/x + 1/y + 1 = (y+x)/(xy) + 1 Ejemplo: y/x + x/y = (x^2+y^2)/xy Obviando los no fraccionarios, operar con los demás términos. Especificar por cuánto o por qué se multiplicará. Ejemplo, x/y = x^2/xy se anotará x. Por definición, si x no es cero, $x^0=1$. La fórmula $0^0$ no está definida. Para todo x real, $x^1=x$. Para todo x real, rigurosamente positivo, $0^x=0$. Para todo x real, $1^x=1$. Ejemplo: (-1)^4 = 1 y (-1)^3 = -1 $c\in Z$ significa que c es un entero. La condición es que número $a$ sea aquí, rigurosamente positivo. La condición es que ambos miembros estén definidos. Ejemplo: (2x)^2 = 4x^2 Ejemplo: (x+1)^2 = x^2+2x+1 Ejemplo: (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 Usar la fórmula x^n x^m = x^(n+m). Ejemplo: x^2x^3 = x^5. Ejemplo: 3^(2+x) = 3^2 3^x Ejemplo: a^2/b^2 = (a/b)^2 Ejemplo: x^5/x^3 = x^2 Ejemplo: x^3/x^5 = 1/x^2 Ejemplo: (x+1)^2 = (x+1)(x+1) Ejemplo: (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1) Ejemplo: (x+1)^4 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) Ejemplo: x^5 = x^2 x^3. El 2 fue ingresado al solicitarse un valor. Ejemplo: (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 Ejemplo: (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 Ejemplo: 2^(2n)=(2^2)^n Ejemplo: 2^(2n)=(2^n)^2 Ejemplo: 2^(2nm) = 2^(2n)^m Ejemplo: 1/2^n = (1/2)^n Eliminar un exponente constante, rigurosamente negativo. Eliminar un exponente rigurosamente negativo, constante Eliminar un exponente rigurosamente negativo Eliminar un exponente rigurosamente negativo. Ejemplo: x^(-2) = 1/x^2 Eliminar un exponente rigurosamente negativo. Ejemplo: x^(-2)/3 = 1/(3x^2) Eliminar un exponente rigurosamente negativo del denominador. Ejemplo: 1/x^(-2) = x^2 Eliminar un exponente rigurosamente negativo del denominador. Ejemplo: 3/x^(-2) = 3x^2 Ejemplo: 2/x = 2x^(-1) Ejemplo: (2/x)^(-2) = (x/2)^2 Ejemplo: x^(n-2) = x^n/x^2 La condición es que ambos miembros estén definidos. Ejemplo: $\sqrt 2\sqrt x = \sqrt (2x)$ La condición es que ambos miembros estén definidos. Ejemplo: $\sqrt (2x) = \sqrt 2\sqrt x$ Ejemplo: $\sqrt (4y) = 2\sqrt y$ En el conjunto de reales positivos, las funciones cuadrado y raíz cuadrada son inversas entre sí. De no conocerse el signo de $x$, se debe operar con su valor absoluto. Ejemplo: $\sqrt 8 = \sqrt 2^3$ La condición es que ambos miembros estén definidos. Ejemplo: $\sqrt (x/2) = \sqrt x/\sqrt 2$ De no conocerse el signo de $x$ y el de $y$, se debe operar con sus valores absolutos. La condición es que ambos miembros estén definidos. Ejemplo $\sqrt x/\sqrt 2 = \sqrt (x/2)$ Por definición de la función raíz cuadrada, para todo x real positivo, $\sqrt x \sqrt x = x$. Ejemplo, $(\sqrt x)^6 = x^3$ Ejemplo, $(\sqrt x)^5 = x^2\sqrt x$ Calcular las raíces cuadradas cuyo valor sea un número racional. Ejemplo, $\sqrt 16 = 4$ Calcular los valores decimales aproximados de raíces cuadradas. Por ejemplo, $\sqrt 2$ = 1.41416... No evaluar las raíces cuadradas o las raíces e$n$-ésimas. Realizar otras operaciones. Ejemplo: $\sqrt (x^2+2x+1)/\sqrt (x^2-1) = \sqrt (x+1)^2/\sqrt (x-1)(x+1)$ Ejemplo: $\sqrt (x^2+2x+1) = \sqrt (x+1)^2$ Ejemplo: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/((1-\sqrt x)(1+\sqrt x))$ y también es válido para $(1+\sqrt x)/(1-x)$ Ejemplo: $(1-\sqrt x)/(1+\sqrt x) = (1-\sqrt x)(1+\sqrt x)/(1+\sqrt x)^2$ y también es válido para $(1-x)/(1+\sqrt x)^2$ De no conocerse el signo de $x$, conviene recurrir al valor absoluto. Ejemplo: $\sqrt (2x)/\sqrt 2 = \sqrt x$ Desarrollar los productos de sumas bajo la raíz cuadrada. Esta operación establece nuevas raíces, lo que no hace la igualdad a^2-b^2 = (a-b)(a+b). $^2\sqrt $ y $\sqrt son dos notaciones diferentes para la misma función. Ejemplo: $\sqrt x = ^4\sqrt x^2$. Se solicitará el ingreso de n. Ejemplo: $\sqrt x = (^4\sqrt x)^2$. Se solicitará el ingreso de n. Ejemplo: $\sqrt x^4 = x^2$ Ejemplo: $\sqrt x^5 = x^2 \sqrt x$ El factor externo a la raíz debe ser rigurosamente positivo. Ejemplo: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/(1-x)$ Expresar como raíz cuadrada, la potencia del siguiente exponente fraccionario: $\onehalf $ . Ejemplo: $a^(5/2) = \sqrt (a^5)$ Ejemplo: $a^(5/3) = ^3\sqrt (a^5)$ Expresar la raíz cuadrada de un término no nulo como una potencia de exponente $\onehalf $ Expresar una raíz e$n$-ésima como una potencia de exponente fraccionario. Ejemplo: $^3\sqrt x^2 = x^(2/3)$ Ejemplo: $(^3\sqrt x)^2 = x^(2/3)$ Ejemplo: $(\sqrt x)^3 = x^(3/2)$ Expresar $1/\sqrt x$ como una potencia de exponente fraccionario negativo. Expresar la inversa de una raíz usando un exponente fraccionario negativo. Ejemplo: (-1)^(5/3) = -1. No usar raíces complejas. Ejemplo: 8^(2/3) = (2^3)^(2/3) Ejemplo: x/x^(1/3) = (x^3/x)^(1/3) Ejemplo: x^(1/3)/x = (x/x^3)^(1/3) Ejemplo: x^(n/2) = (\sqrt x)^n Ejemplo: x^(n/3) = (^3\root x)^n Ejemplo: $^3\sqrt 5^3\sqrt x = ^3\sqrt (5x)$ Ejemplo: $^3\sqrt (2x) = ^3\sqrt 2 ^3\sqrt x$ Ejemplo: $^3\sqrt x^2 = (^3\sqrt x)^2$ Ejemplo $^3\sqrt x^5 = x ^3\sqrt x^2$ Ejemplo: $^3\sqrt (x^3) = x$ Ejemplo: $^3\sqrt x^6 =x^2$ Ejemplo: $^6\sqrt x^3 = \sqrt x$ Ejemplo: $^9\sqrt x^3) = ^3\sqrt x$ Ejemplo: $(^3\sqrt x)^3 = x$ Ejemplo: $(^3\sqrt a)^2 = ^3\sqrt (a^2)$ Ejemplo $(^3\sqrt a)^8 = a^2 ^n\sqrt a^2$ Ejemplo: $^3\sqrt 12 = ^3\sqrt (2^2\times 3)$ Ejemplo: $^3\sqrt (-a) = -^3\sqrt a$, n impar Con operatoria aritmética y algebraica, pasar las raíces a valores racionales, de ser posible. Ejemplo: $^3\sqrt (x^3+3x^2+3x+1) = ^3\sqrt (x+1)^3$ Desarrollar la suma de productos bajo el signo de raíz. Ejemplo: $\sqrt (\sqrt 2) = ^4\sqrt 2$ Ejemplo: $\sqrt (^3\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$ Ejemplo: $^3\sqrt (\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$ Ejemplo: $^3\sqrt (^4\sqrt 2) = ^(12)\sqrt 2$ Expresar la raíz de un cociente como un cociente de raíces Expresar un cociente de raíces como raíz de un cociente Ejemplo: $x/^3\sqrt x = (^3\sqrt x)^2$ Ejemplo: $^3\sqrt x/x = 1/(^3\sqrt x)^2$ Ejemplo: $^3\sqrt (2x)/^3\sqrt (2y) = ^3\sqrt x/^3\sqrt y$ Ejemplo: $^n\sqrt (2a)/^n\sqrt a = ^n\sqrt 2$ Determinar el máximo común divisor de u y v y factorizar, sacándolo como factor común de u y de v. Ejemplo: $x^3\sqrt y = ^3\sqrt (x^3y)$ Ejemplo: $x^2(^4\sqrt y) = ^4\sqrt (x^8y)$ Ejemplo: $-^3\sqrt 2 = ^3\sqrt (-2)$ Ejemplo: $x/^3\sqrt x = ^3\sqrt (x^3/x)$ Ejemplo: $^3\sqrt x/x = ^3\sqrt (x/x^3)$ Ejemplo: $x^2/\sqrt x = \sqrt (x^4/x)$ Ejemplo: $\sqrt x/x^2 = \sqrt (x/x^4)$ Ejemplo: $(^6\sqrt x)^2 = ^3\sqrt x$ Ejemplo: $(^4\sqrt x)^2 = \sqrt x$ Siendo i^2 = -1, resulta 1/i = -i Siendo i^2 = -1, resulta a/i = -ai Siendo i^2 = -1, resulta a/(bi) = -ai/b Por definición, i es $\sqrt (-1)$ Ejemplo: $\sqrt (-3) = i\sqrt 3$ Ejemplo: $1/i^3 = i$ Ejemplo: $(x-i)(x+i) = x^2+1$ Factorizar una suma de cuadrados usando factores complejos. Esto es, simplemente, el teorema de Pitágoras. Esta es la definición de valor absoluto de un número complejo. Ejemplo: $(3 + 5i)/2 = (3/2) + (5/2)i$ Pasar un número complejo en la forma estándar $u+vi$ Ejemplo: $\sqrt i = sqrt(1/2) + sqrt(1/2) i$ Ejemplo: $\sqrt(-i) = sqrt(1/2) - sqrt(1/2) i$ Ejemplo: $\sqrt(3+4i) = sqrt((5+3)/2) + sqrt((5-3)/2) i$ Ejemplo: $\sqrt(3-4i) = sqrt((5+3)/2) - sqrt((5-3)/2) i$ Ejemplo: 2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1) Ejemplo: x^2 + x + 1/4 = (1/4) (4x^2+ 4x + 1) Ejemplo: x^3y^2-x^3 = x^3(y^2-1) Ejemplo: x^5 - x^3 = x^3(x^2-1) Ejemplo: x^2+2x+1 = (x+1)^2 Ejemplo: x^2-2x+1 = (x-1)^2 Ejemplo: x^2-1 = (x-1)(x+1) Ejemplo: x^2-3x+1 = (x-2)(x-1) Ejemplo: $x^2-x-1 = (x-1/2-\sqrt 5/2)(x-1/2+\sqrt 5/2)$ Ejemplo: x^8 = (x^4)^2 Ejemplo: $a^2b^2 = (ab)^2$ Ejemplo: $4x^2 + 6x + 9 = 2^2x^2 + 2\times 3x + 3^2$ Factorizar un entero (menor a 4 mil millones). Ejemplo: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$ Introducir una nueva letra asociándola a un término, para simplificar una expresión. Reemplazar el término designado para la letra, para la expresión inicial. Al resolver ecuaciones, los parámetros se consideran constantes, no variables. No se utilizará variable nueva alguna. Ejemplo: x^12 = (x^4)^3 Ejemplo: x^12 = (x^3)^4. El número 4 es ingresado cuando se lo solicita. Factorizar una diferencia de cubos. Ejemplo: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ Factorizar una suma de cubos. Ejemplo: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ Ejemplo: x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) Ejemplo: x^4-1 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1) Ejemplo: x^5+1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) Ejemplo: $x^4+1 =(x^2-\sqrt 2x+1)(x^2+\sqrt 2x+1)$ Ejemplo (con p=5, q=3): $x^4+x^2+25=(x^2-3x+5)(x^2+3x+5)$ En lugar de seleccionar un término, queda a cargo de MathXpert la sustitución. Tras ingresar un factor, MathXpert procurará el otro mediante una división polinomial. Probar sistemáticamente todos posible factor de primer grado y sus coeficientes enteros. Descomponer la suma en dos; determinar el máximo común divisor ambos y factorizar, sacando cada factor común. Escribirlo como un polinomio del término seleccionado. Ejemplo: 3=x se convierte en x=3 Ejemplo: -x = -3 se convierte en x = 3 Ejemplo: x-3 = 2 se convierte en x = 5 Ejemplo: x+3 = 5 se convierte en x = 2 Ejemplo: x-3 = 5 se convierte en x = 8 Ejemplo: x^2 = x-1 se convierte en x^2-x+1 = 0 Ejemplo: x/2 = x + 1 se convierte en x = 2x + 2 Ejemplo: 2x = 4 se convierte en x = 2 Ejemplo: $\sqrt x = 3$ se convierte en x = 9 Ejemplo: x+y = 3+y se convierte en x = 3 Ejemplo: 2x^2 = 2 se convierte en x^2 = 1 Ejemplo: 3x = 3x se convierte en 'true' Ejemplo: $\sqrt x = -\sqrt x$ se convierte en x = -x Ejemplo: $\sqrt x = -\sqrt x$ se convierte en $\sqrt x = 0$ Ejemplo: $-\sqrt x = \sqrt x$ se convierte en $\sqrt x = 0$ Si ab=0 entonces a=0 o b=0 Fórmula de resolución de ecuaciones cuadráticas. $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ Completar el cuadrado Extraer las raíces cuadradas de ambos miembros Realizar el producto cruz. b^2-4ac < 0 => ninguna raíz real Efectuarlo cuando el signo de $a$ no pueda ser determinado. Al darle un valor a la incógnita, pueden controlarse los valores en ambos miembros. Serán solicitados dos valores en el entorno de una raíz. Ejemplo: x/3 = (x-1)/4 se convierte en 4x = 3(x-1) Elevar ambos miembros a la misma potencia. La nueva ecuación puede tener raíces adicionales. Ejemplo: x^2 = 9 se convierte en [x = 3, x = -3] Ejemplo: x^3 = 8 se convierte en x = 2 Se solicitará se indique qué función se aplicará en ambos miembros. Sacarle denominador común a las fracciones de las sumas. Ejemplo: (x^2-1)(x-2) = 0 se convierte en [x^2-1=0, x=2] Ejemplo: ax^2=ax se convierte en [a=0, x^2=x] Se ocultarán las otras ecuaciones mientras se opera sobre la seleccionada. Las ecuaciones que se hubieran ocultado, se mostrarán nuevamente. Las soluciones múltiples se pueden combinar. Funcionará si la sustitución propuesta permite eliminar una variable anterior. Restituirle a la variable que le fuera asignada a un término, la expresión original de ese término. Ejemplo: $x = \sqrt -3$ en la búsqueda de soluciones reales. Ciertas operaciones pueden introducir raíces adicionales que no verifiquen la ecuación inicial. Ejemplo: 3x-1 = x+1 se convierte en x=1 Esta sustitución elimina el término cuadrático. El discriminante de una ecuación cúbica es cx^3+ax+b es $D = b^2/4c + a^3/27c^3$. Repetir la ecuación cúbica si se quisiera seguir trabajando en ella. Este cambio de variable dará lugar a una ecuación de segundo grado en y^3. en cx^3+ax+b=0: $x=^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D)$ donde es D = b^2/4c + a^3/27c^3. en cx^3-ax+b=0: $x=[2\sqrt (a/3)cos(t/3),2\sqrt (a/3)cos(t+2pi/3),2\sqrt (a/3)cos(t+4pi/3)]$ donde $cos t = -b/(2c)\sqrt (27/a^3)$. en cx^3+ax+b=0: $x=[^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D),(1/2)^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D) \pm (\sqrt 3/2)(^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)-^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D)]$ Cambiar la variable en una composición $x = f(u)$ de la función f, siendo $x$ la variable previa y $u$, la nueva. Se despeja un símbolo, asignado a un término, reemplazándolo por la expresión inicial del término. Por ejemplo, cambiar $n$ por $1-k$ equivale a hacer que 1-k describa a todo el conjunto de los enteros. Calcular las raíces cuadradas y las raíces e$n$-ésimas si su vaalor fuera un número racional. Calcular cantidades numéricas usando valores decimales aproximados. Realizar simplificaciones algebraicas. Ejemplo: $ln x = 2$ se convierte en $x = e^2$ Ejemplo: $log x = 2$ se convierte en $x = 100$ Ejemplo: $log(3,x) = 2$ se convierte en $x = 9$ Ejemplo: $10^(x+1) = 10^(2x)$ se convierte en $x+1 = 2x$ Ejemplo: $10^x = 3$ se convierte en $x = log 3$ Ejemplo: $e^x = 3$ se convierte en $x = ln 3$ Los logaritmos de números negativos no están definidos. Regla de Cramer Calcular numéricamente el determinante, o uno simbólico de dimensión 2 o 3. Ejemplo: $x-1 = 2+y$ se convierte en $x - y = 1$ Ejemplo: $2x + 3 + x = 5$ se convierte en $3x + 3 = 5$ Alinear los términos correspondientes a la misma variable en la misma columna. Se solicitará que se indiquen los números de las dos ecuaciones. Se solicitará que se indiquen el número de la ecuación y por cuanto se multiplicará. Se solicitará que se indiquen el número de la ecuación y por cuanto se dividirá. Se solicitará que se indiquen los números de la ecuación y del multiplicando. Se solicitará que se indiquen los números de las dos ecuaciones Ejemplo: $y=1$, $x=2$ se reemplazará por $x=2, y=1$. Eliminar una ecuación que se reduce en una igualdad trivial, como 2=2. Se deberá seleccionar una variable, que pasará a ser considerada un parámetro, constante. Por ejemplo, si se llegara a $x = 5$, $x = 2$, las ecuaciones resultarían incompatibles. Colocar una cantidad positiva dentro del valor absoluto. Colocar un denominador no negativo dentro del valor absoluto. Colocar una fracción no negativa dentro del valor absoluto. Resolver una ecuación lineal para la variable seleccionada. Se solicitará se indique el número de la ecuación que cambiará. Se solicitará se indique por cuánto se multiplicará la ecuación seleccionada. Se solicitará se indique por cuánto se dividirá la ecuación seleccionada. Se solicitará se indique el multiplicando para la ecuación objetivo. Se solicitará se indique el número del la otra ecuación. Se solicitará que se seleccione una variable. Se solicitará se indique el número de la fila que cambiará. Se solicitará se indique el multiplicando. Se solicitará se indique el divisor. Se solicitará se indique el multiplicando y el número de la otra fila. Se solicitará se indique el número de la otra fila. Colocar la matriz identidad a derecha (para calcular la matriz inversa). Ejemplo: $2x + 3y + x = 5$ se convierte en $3x + 3y = 5$. Se solicitará qse indique, el número de la ecuación seleccionada y una variable. Ejemplo, $x + y = x + 2$ se convierte en $y = 2$ Debe indicarse el número de la ecuación seleccionada y el término a sumar. Debe indicarse el número de la ecuación seleccionada y el término a restar. Debe indicarse el número de la ecuación seleccionada y el divisor. Una ecuación resuelta puede sustituir, en las otras, su valor en las expresiones que correspondan. Por ejemplo: de obtenerse $x=2$ y $x=5$, la incompatibilidad implica que las ecuaciones no pueden satisfacerse. Escribirla en forma matricial Colocar una matriz identidad a la derecha de la matriz a invertir. Debe indicarse el par de filas permutar. Deben indicarse los números de las dos filas. Debe indicarse el número de la fila y el multiplicando. Debe indicarse el número de la fila y el divisor. Deben indicarse los dos números de fila y el del multiplicando. Deben indicarse los dos números de fila y el multiplicando. Realizar un producto de matrices. Efectuarlo si se tiene toda una columna de ceros. Efectuarlo si se tiene toda una fila de ceros. Efectuarlo si dos filas son idénticas. Efectuarlo si dos filas son idénticas a izquierda, pero no a derecha. Transformar una ecuación articulada a matrices columnas, en un sistema de ecuaciones. Efectuar un producto de matrices. La matriz inversa, sin calcularse, será introducida formal y simbólicamente. Calcular la matriz inversa de una matriz de 2x2. Obrar sobre cálculos simbólicamente. De prosperar, el resultado será exacto en lugar de aproximado. Operar sobre una matriz numérica y realizar los cálculos con decimales según la precisión fijada. Eliminar el signo de valor absoluto en torno a un término no negativa. Ejemplo: $ |x-2| = x-2$, con una nueva hipótesis $x\ge 2$. Ejemplo: |-2| = 2 Ejemplo: |2u| = 2|u| Ejemplo: |u/2| = |u|/2 Ejemplo: |x-1||x+1| = |(x-1)(x+1| Ejemplo: |(x-1)(x+1)| = |x-1||x+1| Ejemplo: |(x-1)/x| = |x-1| / |x| Ejemplo: |x^2-1| / |x-1| = |(x^2-1)/(x-1)| Ejemplo: |x|^4 =x^4 Ejemplo: |u^3|=|u|^3 Si u es real, el valor absoluto a derecha no es necesario. Ejemplo: $|^3\sqrt u| = ^3\sqrt |u|$ Eliminar, sin considerar los signos en los valores absolutos. Factorizar el máximo común divisor del numerador y del denominador. Ejemplo: |x|=2 se convierte en [x = 2, x = -2] Ejemplo: |x|/x = x-2 se convierte en [x-2 = 1, x-2 = -1] Ejemplo: |x| < 2 se convierte en -2 < u < 2 Ejemplo: $|x| \le 2$ se convierte en $-2 \le u \le 2$ Ejemplo: 2 < |x| si y solo si x < -2 or 2 < x Ejemplo: $2 \le |x|$ si y solo si $x \le -2$ o $2 \le x$ Ejemplo: |x-1| = x-1 se convierte en $0 \le x-1$ Ejemplo: |x-1| = 1-x se convierte en $x-1 \le 0$ Ejemplo: $0 \le |x^2+1|$ es siempre cierto. Ejemplo: $-5 \le |x^2+1|$ es siempre cierto. Ejemplo: $-5 < |x^2+1|$ es siempre cierto. Ejemplo: |x^2+1| < 0 no tiene solución. Ejemplo: |x| < -5 no tiene solución. Ejemplo: $|x| \le -5$ no tiene solución. Ejemplo: $|x^3-x| \le -x^2$ se convierte en x^3-x = 0, y luego se supondrá x=0. Ejemplo: |x^3-x| = -x^2 se convierte en x^3-x = 0, y luego se supondrá x=0. Ejemplo: 2 > |x| se convierte en -2 < x < 2 Ejemplo: $2 \ge |x|$ se convierte en $-2 \le x \le 2$ Ejemplo: |x| > 2 si y solo si -2 > x o x > 2 Ejemplo: $|x| \ge 2$ si y solo si $-2 \ge x$ o $x \ge 2$ Ejemplo: $|x^2-1| \ge 0$ es cierto. Ejemplo: 0 > |x^2-1| no tiene solución. Ejemplo: -5 > |x| no tiene solución. Ejemplo: $-5 \ge |x|$ no tiene solución. Ejemplo: $-x^2 \ge |x^3-x|$ se convierte en x^3-x = 0, y luego se supondrá x=0. Ejemplo: |x| > -5 es cierto Ejemplo: $|x| \ge -5$ es cierto Ejemplo: $-2 \le u \le 2$ se convierte en $|x| \le 2$ Ejemplo: x < -2 o 2 < x si y solo si 2 < |x| Ejemplo: x^4 = |x|^4 Ejemplo: |u|^3 = |u^3| Ejemplo: 2 < x se convierte en x > 2 Ejemplo: x-2 < 5 se convierte en x<7. Elegir el 2. Ejemplo: x+2 < 5 se convierte en x<3. Elegir el 2. Ejemplo: -2 < -x se convierte en x<2. Ejemplo: -x < - 2 se convierte en x>2. Ejemplo: x/3 < 1 se convierte en x < 3. Elegir el 3. x/(x-1) < 2 se convierte en x(x-1) < 2(x-1)^2 cuando se elige x-1. Ejemplo: 5x < 10 se convierte en x < 2. Elegir el 5. Cuando la igualdad contiene sólo números, la conclusión es 'Ninguna solución' o 'cierto'. Simplificar una inecuación de la forma mencionada en la búsqueda de 'cierto'. Simplificar una inecuación de la forma mencionada a 'Ninguna solución'. u < v se convierte en [u^2 < v^2, u<=0]. Usarlo si u pudiera tomar valores negativos. u < v se convierte en u^2 < v^2 siempre que u sea positivo. La desigualdad $0\le v$ se deduce o es asumida como hipòtesis. Ejemplo: x<4 o x=4 se convierte en $x\le 4$. En MathXpert, el "o" está implícito en la notación entre crochetes. Ejemplo: 1<x o 2<x se convierte en 1<x Aplicar las hipótesis para distinguir, entre las posibles soluciones, las que satisfacen la inecuación inicial. Ejemplo: 2 > x se convierte en x < 2 Ejemplo: -x > -2 se convierte en x < 2 Ejemplo: -2 > -x se convierte en x > 2 Ejemplo: x^2 > -1 es cierto Ejemplo: -1 > x^2 es falso Ejemplo: 2 > x se convierte en [4 > x^2, x < 0] Ejemplo: [x > 2, x = 2] se convierte en $x \ge 2$ Ejemplo: $x \le 2$ se convierte en $2 \ge x$ Ejemplo: $x-2 \le 5$ se convierte en $x\le 7$. Elegir el 2. Ejemplo: $x+2 \le 5$ se convierte en x=3. Elegir el 2. Ejemplo: $-2 \le -x$ se convierte en $x \le 2$. Ejemplo: $x \le -2$ se convierte en $x \ge 2$. Ejemplo: $x/3 \le 1$ se convierte en $x \le 3$. Elegir el 3. Ejemplo: $x/(x-1) \le 2$ se convierte en $x(x-1) \le 2(x-1)^2$. Elegir x-1 Ejemplo: $x/5 \le 10$ se convierte en $x \le 2$. Elegir el 5. Cuando la inecuación contiene sólo números, la conclusión es 'Ninguna solución' o 'cierto'. Simplificar una desigualdad de la forma mencionada en la búsqueda de 'cierto'. Simplificar una desigualdad de la forma mencionada en la búsqueda de 'Ninguna solución'. $u \le v$ se convierte en $u^2 \le v^2$ siempre que u sea positivo. $0\le v$ se deduce o se asume como hipótesis. $u \le v$ se convierte en $u^2 \le v^2$ o $u\le 0$ si u pudiera tomar valores negativos. Ejemplo: $1\le x$ o $2\le x$ se convierte en $1\le x$ Ejemplo: $2 \ge x$ se convierte en $x \le 2$ Ejemplo: $-x \ge -2$ se convierte en $x \le 2$ Ejemplo: $-2 \ge -x$ se convierte en $x \ge 2$ Ejemplo: $x^2 \ge -1$ es cierto Ejemplo: $-1 \ge x^2$ es falso Ejemplo: $2 \ge x$ se convierte en $[4 \ge x^2, x \le 0]$ Ejemplo: x^2 < 4 se convierte en |x| < 2 Ejemplo: x^2 < 4 se convierte en -2 < x < 2 Ejemplo: 4 < x^2 se convierte en 2 < |x| Ejemplo: 4 < x^2 se convierte en [x < -2, 2 < x] Ejemplo: 4 < x^2 < 9 se convierte en [-3 < x < -2, 2 < x < 3] Ejemplo: -2 < x^2 < 9 se convierte en x^2 < 9 Ejemplo: $-2 < x^2 \le 9$ se convierte en $x^2 \le 9$ Ejemplo: $\sqrt x < 2$ se convierte en $0 \le x < 4$ Ejemplo: $2\sqrt x < 2$ se convierte en $0 \le 4x < 4$ Ejemplo: $2 < \sqrt x$ se convierte en 4 < x Ejemplo: $x^2 < a => x < \sqrt a$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $-1 < x^2$ es siempre cierta. Ejemplo: $x^2 < -1$ no tiene solución. Ejemplo: $-1 < \sqrt (x^2 - 1)$ se convierte en $0 \le x^2 -1$ Ejemplo: $x^2 \le 4$ se convierte en $|x| \le 2$ Ejemplo: $x^2 \le 4$ se convierte en $-2 \le x \le 2$ Ejemplo: $4 \le x^2$ se convierte en $2 \le |x|$ Ejemplo: $4 \le x^2$ se convierte en $[x \le -2, 2 \le x]$ Ejemplo: $4 \le x^2 \le 9$ se convierte en $[-3 \le x \le -2, 2 \le x \le 3]$ Ejemplo: $-2 \le x^2 \le 9$ se convierte en $x^2 \le 9$ Ejemplo: $-2 \le x^2 < 9$ se convierte en $x^2 < 9$ Ejemplo: $\sqrt x \le 2$ se convierte en $0 \le x \le 4$ Ejemplo: $2\sqrt x \le 2$ se convierte en $0 \le 4x \le 4$ Ejemplo: $2 \le \sqrt x$ se convierte en $4 \le x$ Ejemplo: $x^2 \le a => x \le \sqrt a$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $-1 \le x^2$ es siempre cierta. Ejemplo: $x^2 \le -1$ no tiene solución. Ejemplo: $-1 \le sqrt(x^2 - 1)$ se convierte en $0 \le x^2 -1$ $1/x < a$ si y solo si $x < 0$ o $1/a < x$, siempre que $a > 0$ $a < 1/x$ si y solo si $0 < x < 1/a$ siempre que $a > 0$ $1/x < -a$ si y solo si $-1/a < x < 0$ siempre que $a > 0$ $-a < 1/x$ si y solo si $x < -1/a$ o $0 < x$ siempre que $a > 0$ Ejemplo: $1 < x < 2$ se convierte en $1/2 < x < 1$ Ejemplo: $1 < x \le 2$ se convierte en $1/2 \le x < 1$ Ejemplo: $-2 < 1/x < -1$ se convierte en $-1 < x < -1/2$ Ejemplo: $-2 < 1/x \le -1$ se convierte en $-1 \le x < -1/2$ Ejemplo: -2 < 1/x < 3 se convierte en [x < -1/2, 1/3 < x] Ejemplo: $-2 < 1/x \le 3$ se convierte en $[x < -1/2, 1/3 \le x]$ $1/x \le a$ si y solo si x < 0 or $1/a \le x$, siempre que $a > 0$ $a \le 1/x$ si y solo si $0 < x \le 1/a$ siempre que $a > 0$ $1/x \le -a$ si y solo si $-1/a \le x < 0$ siempre que $a > 0$ $-a \le 1/x$ si y solo si $x \le -1/a$ or 0 < x siempre que $a > 0$ Ejemplo: $1 \le 1/x < 2$ se convierte en $1/2 < x \le 1$ Ejemplo: $1 \le 1/x \le 2$ se convierte en $1/2 \le x \le 1$ Ejemplo: $-2 \le 1/x < -1$ se convierte en $-1 < x \le -1/2$ Ejemplo: $-2 \le 1/x \le -1$ se convierte en $-1 \le x \le -1/2$ Ejemplo: $-2 \le 1/x < 3$ se convierte en $[x \le -1/2, 1/3 < x]$ Ejemplo: $-2 \le 1/x \le 3$ se convierte en $[x \le -1/2, 1/3 \le x]$ Ejemplo: x^3 < 27 se convierte en x < 3 Ejemplo: x^4 < 16 se convierte en |x| < 2 Ejemplo: x^4 < 16 se convierte en -2 < x < 2 Ejemplo: 16 < x^4 se convierte en 2 < |x| Ejemplo: 16 < x^4 se convierte en [x < -2, 2 < x] Ejemplo: 16 < x^4 < 81 se convierte en [-3 < x < -2, 2 < x < 3] Ejemplo: $^4\sqrt x < 16$ se convierte en $0 \le x < 2$ Ejemplo: $^3\sqrt x < 2$ se convierte en x < 8 Ejemplo: $2 ^3\sqrt x < 1$ se convierte en 8x < 1 Ejemplo: $2 < ^3\sqrt x$ se convierte en 8 < x Ejemplo: x^4 < a se convierte en $x < ^4\sqrt a$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejempio: $-1 < ^4\sqrt (x^2 - 1)$ se convierte en $0 \le x^2 -1$ Ejemplo: $x^3 \le 27$ se convierte en $x \le 3$ Ejemplo: $x^4 \le 16$ se convierte en $|x| \le 2$ Ejemplo: $x^4 \le 16$ se convierte en $-2 \le x \le 2$ Ejemplo: $16 \le x^4$ se convierte en $2 \le |x|$ Ejemplo: $16 \le x^4$ se convierte en $[x \le -2, 2 \le x]$ Ejemplo: $16 \le x^4 < 81$ se convierte en $[-3 \le x \le -2, 2 \le x \le 3]$ Ejemplo: $^4\sqrt x \le 16$ si y solo si $0 \le x \le 2$ Ejemplo: $^3\sqrt x \le 2$ se convierte en $x \le 8$ Ejemplo: $2 ^3\sqrt x \le 1$ se convierte en $8x \le 1$ Ejemplo: $2 \le ^3\sqrt x$ se convierte en $8 \le x$ Ejemplo: $x^4 \le a$ se convierte en $x \le ^4\sqrt a$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $-1 \le ^4\sqrt (x^2 - 1)$ se convierte en $0 \le x^2 -1$ Ejemplo: 0 < x(x^2+1) se convierte en 0 < x Ejemplo: $0 < 1/\sqrt x$ se convierte en $0 < \sqrt x$ Ejemplo: $0 < x/\sqrt (x-1)$ se convierte en 0 < x(x-1) Ejemplo: 0 < (x-1)/(x-2) se convierte en 0 < (x-1)(x-2) Ejemplo: $1/\sqrt x < 0$ se convierte en $\sqrt x < 0$ Ejemplo: $x/\sqrt (x-1) < 0$ se convierte en $x(x-1) < 0$ $ax \pm b < 0$ si y solo si $a(x\pm b/a) < 0$ u < v => v > u Ejemplo: (x-1)(x+1) < 0 si y solo si -1 < x < 1. Admite incluso más factores. Ejemplo: 0 < (x-1)(x+1) si y solo si x < -1 o 1 < x. Admite incluso más factores. Ejemplo: $0 \le x(x^2+1)$ se convierte en $0 \le x$ Ejemplo: $0 \le 1/\sqrt x$ se convierte en $0 \le \sqrt x$ Ejemplo: $0 \le x/\sqrt (x-1)$ se convierte en $0 \le x(x-1)$ Ejemplo: $0 \le (x-1)/(x-2)$ se convierte en $0 \le (x-1)(x-2)$ Ejemplo: $1/\sqrt x \le 0$ se convierte en $\sqrt x \le 0$ Ejemplo: $x/\sqrt (x-1) \le 0 $ se convierte en $x(x-1) \le 0$ $ax \pm b \le 0$ si y solo si $a(x\pm b/a) \le 0$ $u \le v => v \le u$ Ejemplo: $(x-1)(x+1) \le 0$ si y solo si $-1 \le x \le 1$. Admite, incluso más factores. Ejemplo: $0 \le (x-1)(x+1)$ si y solo si $x \le -1 or 1 \le x$. Admite, incluso más factores. Ejemplo: 4 > x^2 se convierte en 2 > |x| Ejemplo: 4 > x^2 se convierte en -2 < x < 2 Ejemplo: x^2 > 4 se convierte en |x| > 2 Ejemplo: x^2 > 4 se convierte en [x < -2, x > 2] Ejemplo: $2 > \sqrt x$ se convierte en $0 \le x < 4$ Ejemplo: $2 > 2\sqrt x < 2$ se convierte en $0 \le 4x < 4$ Ejemplo: $\sqrt x > 2$ se convierte en x > 4 Ejemplo: 4 > x^2 se convierte en 2 > x si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $x^2 > -1$ es siempre cierta. Ejemplo: $-1 > x^2$ no tiene solución. Ejemplo: $\sqrt (x^2-1) > -1$ se convierte en $x^2-1 \ge 0$ Ejemplo: $4 \ge x^2$ se convierte en $2 \ge |x|$ Ejemplo: $4 \ge x^2$ se convierte en $-2 \le x \le 2$ Ejemplo: $x^2 \ge 4$ se convierte en $|x| \ge 2$ Ejemplo: $x^2 \ge 4$ se convierte en $[x \le -2, 2 \le x]$ Ejemplo: $2 \ge \sqrt x$ se convierte en $0 \le x \le 4$ Ejemplo: $2 \ge 2\sqrt x$ se convierte en $0 \le 4x \le 4$ Ejemplo: $\sqrt x \ge 2$ se convierte en $x \ge 4$ Ejemplo: $4 \ge x^2$ => $2 \ge x$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $x^2 \ge -1$ es siempre cierta. Ejemplo: $-1 \ge x^2$ no tiene solución. Ejemplo: $\sqrt (x^2-1) \ge -1$ se convierte en $x^2-1 \ge 0$ a > 1/x si y solo si x<0 or x > 1/a, siempre que $a > 0$ $1/x > a$ si y solo si $0 < x < 1/a$, siempre que $a > 0$ $-a > 1/x$ si y solo si $-1/a < x < 0$, siempre que $a > 0$ $1/x > -a$ si y solo si $x < -1/a$ o $x > 0$, siempre que $a > 0$ $a \ge 1/x$ si y solo si x<0 or $x \ge 1/a$, siempre que a > 0 $1/x \ge a$ si y solo si $0 < x \le 1/a$, siempre que a > 0 $-a \ge 1/x$ si y solo si $-1/a \le x < 0$, siempre que a > 0 $1/x \ge -a$ si y solo si $x \le -1/a$ or x > 0, siempre que a > 0 Ejemplo: 27 > x^3 se convierte en $3 > x$ Ejemplo: 16 > x^4 se convierte en $2 > |x|$ Ejemplo: 16 > x^4 se convierte en $-2 < x < 2$ Ejemplo: x^4 > 16 se convierte en |x| > 2 Ejemplo: x^4 > 16 se convierte en [-2 > x, x > 2] Ejemplo: $2 > ^3\sqrt x$ se convierte en 8 > x Ejemplo: $1 > 2 ^3\sqrt x$ se convierte en 1 > 8x Ejemplo: $^3\sqrt x > 2$ se convierte en x > 8 Ejemplo: $2 > ^3\sqrt x$ se convierte en 8 > x Ejemplo: $a > x^4$ se convierte en $^4\sqrt a > x$ si $0\le x$ si es que ya fuera establecida como hipótesis. Ejemplo: $^4\sqrt (x^2 - 1) > -1$ se convierte en $x^2 -1 \ge 0$ Ejemplo: $27 \ge x^3$ se convierte en $3 \ge x$ Ejemplo: $16 \ge x^4$ se convierte en $2 \ge |x|$ Ejemplo: $16 \ge x^4$ se convierte en $-2 \le x \le 2$ Ejemplo: $x^4 \ge 16$ se convierte en $|x| \ge 2$ Ejemplo: $x^4 \ge 16$ se convierte en $[-2 \ge x, x \ge 2]$ Ejemplo: $2 \ge ^3\sqrt x$ se convierte en $8 \ge x$ Ejemplo: $1 \ge 2 ^3\sqrt x$ se convierte en $1 \ge 8x$ Ejemplo: $^3\sqrt x \ge 2$ se convierte en $x \ge 8$ Ejemplo: $^4\sqrt (x^2 - 1) \ge -1$ se convierte en $x^2 -1 \ge 0$ Ejemplo: $1/\sqrt x > 0$ se convierte en $\sqrt x > 0$ Ejemplo: $x/\sqrt (x-1) > 0$ se convierte en x(x-1) > 0 Ejemplo: (x-1)/(x-2) > 0 se convierte en (x-1)(x-2) > 0 Ejemplo: $0 > 1/\sqrt x$ se convierte en $0 > \sqrt x$ Ejemplo: $0 > x/\sqrt (x-1)$ se convierte en 0 > x(x-1) $0 > ax \pm b$ si y solo si $0 > a(x\pm b/a)$ Ejemplo: 0 > (x-1)(x+1) si y solo si -1 < x < 1. Admite incluso más factores. Ejemplo: (x-1)(x+1) > 0 si y solo si x < -1 or 1 < x. Admite incluso más factores. Ejemplo: $1/\sqrt x \ge 0$ se convierte en $\sqrt x \ge 0$ Ejemplo: $x/\sqrt (x-1) \ge 0$ se convierte en $x(x-1) \ge 0$ Ejemplo: $(x-1)/(x-2) \ge 0$ se convierte en $(x-1)(x-2) \ge 0$ Ejemplo: $0 \ge 1/\sqrt x$ se convierte en $0 \ge \sqrt x$ Ejemplo: $0 \ge x/\sqrt (x-1)$ se convierte en $0 \ge x(x-1)$ $0 \ge ax \pm b$ si y solo si $0 \ge a(x\pm b/a)$ Ejemplo: $0 \ge (x-1)(x+1)$ si y solo si $-1 \le x \le 1$. Admite incluso más factores. Ejemplo: $(x-1)(x+1) \ge 0$ si y solo si $x \le -1$ o $1 \le x$. Admite incluso más factores. Desarrollar por completo, sin usar la notación sumatoria, sigma. Esto puede desencadenar extensas expresiones. Desarrollar usando la notación sumatorial sigma y los coeficientes binomiales. Expresar los coeficientes binomiales usando factoriales. Usar la definición de factorial como producto, sin realizar la multiplicación. Calcular el valor de un factorial. Ejemplo: 6! = 720. Calcular un coeficiente binomial específico. Ejemplo: (4 2) = 6 Desarrollar usando el signo + y un número constante de términos, una suma expresada en notación $\sum $. Si todos los términos fueran números racionales, realizar el cálculo exacto. Ejemplo: $7! = 7\times 6!$ Ejemplo: $7!/7 = 6!$ Ejemplo: $7!/6! = 7$ Ejemplo: $n!/(n-2)! = n(n-1)$ Ejemplo: $7/7! = 1/6!$ Ejemplo: $6!/7! = 1/7$ Ejemplo: $(n-2)!/n! = 1/(n(n-1))$ Factorizar el cubo de una suma. Factorizar el cubo de una diferencia. Factorizar la cuarta potencia de una suma. Factorizar la cuarta potencia de una diferencia. Factorizar la potencia de una suma. Factorizar la potencia de una diferencia. Ejemplo: la suma de 1 desde 1 hasta 10 es 10. Extraer un signo menos de la sumatoria. Extraer una constante de la sumatoria. Descomponer la sumatoria en dos sumas, o más. Expresar $\sum $ usando +. La suma debe tener un número constante de términos. Ejemplo: la suma de $i$ para $i = 1$ hasta 100 es 100(101)/2 = 5050. Fórmula que expresa la suma de los n primeros cuadrados perfectos. Existe una fórmula elegante que expresa la suma de x^i de i = 0 hasta n, siempre que x no sea igual a 1. Deberá indicarse el número de términos a aparecer explícitamente anotados. Deberá indicarse el valor de un parámetro para realizar, luego, un cálculo exacto en números racionales. Deberá indicarse el valor de un parámetro para luego realizar un cálculo aproximado de los números decimales. Efectuar una suma mediante un cálculo exacto, sin incluir parámetro alguno. Efectuar una suma mediante un cálculo aproximado en números decimales sin incluir parámetro alguno. Expresar, de ser posible, el término general de un polinomio como el de una suma indexada. Ejemplo: la suma de 1/(k+1) - 1/k de 1 hasta n se convierte en 1/(n+1) - 1 Ejemplo: cambiar una suma de k=0 hasta n en una de k = 1 hasta n+1 Antes de desarrollar el producto de una suma, puede ser conveniente cambiarle el nombre a una variable. Convertir un producto de sumas en una suma doble apelando a la propiedad distributiva. Ejemplo: Aislar el último término de una suma indexada de 1 hasta n+1, convirtiéndola en una suma de 1 hasta n, más ese último término. Señalar la fórmula que expresa la suma de los primeros n cubos Señalar la fórmula que expresa la suma de las primeras n potencias cuartas. Aplicar la linealidad de la derivación para distribuirla, a través de su signo, al interior de una sumatoria indexada. Siendo la derivación lineal en el intervalo, se la puede extraer, encabezada por su signo, de la sumatoria indexada. Aplicar la linealidad de la integración en un intervalo para distribuirla, a través de su signo, al interior de una sumatoria indexada. Siendo la integración lineal en el intervalo, se la puede extraer, encabezada por su signo, de la sumatoria indexada. Aplicar la linealidad de la suma para distribuir una constante al interior de una serie de sumatoria indexada. Expresar una sumatoria como diferencia de dos sumas, con cero como valor mínimo del índice. Expresar una sumatoria como diferencia de dos sumas, con un nuevo valor mínimo del índice de la suma indexada. Se solicitará la elección de la variable de inducción. Se solicitará la elección del valor inicial de la variable de inducción. Asumir la hipótesis de inducción y enunciar lo que se va a probar. Aplicar la hipótesis de inducción para simplificar la línea en curso. Aplicar, para formular la conclusión, cuando se hubiera efectuado la recurrencia. Simplificar la inecuación una vez dado por 'cierto' su valor de verdad. Simplificar la inecuación una vez dado por 'cierto' su valor de verdad. Ejemplo: $sin x^2 \le x^2$ Si u > 0, u < v si y solo si ln u < ln v. Si u > 0, u < v si y solo si log u < log v. Ejemplo: 2 < ln x se convierte en e^2 < x Ejemplo: ln x < 2 se convierte en x < e^2 Ejemplo: 2 < log x se convierte en 10^2 < x Ejemplo: log x < 2 se convierte en x < 10^2 Se deberá indicar el número a usar como base de exponenciación. Si u > 0, entonces $u \le v$ si y solo si $ln u \le ln v$. Si u > 0, entonces $u \le v$ si y solo si $log u \le log v$. Ejemplo: $2 \le ln x$ se convierte en $e^2 \le x$ Ejemplo: $ln x \le 2$ se convierte en $x \le e^2$. Ejemplo: $2 \le log x$ se convierte en $10^2 \le x$. Ejemplo: $log x \le 2$ se convierte en $x \le 10^2$. Si u > 0, entonces u > v si y solo si ln u > ln v. Si u > 0, entonces u > v si y solo si log u > log v. Ejemplo: ln x > 2 se convierte en x > e^2. Ejemplo: 2 > ln x se convierte en e^2 > x. Ejemplo: log x > 2 se convierte en x > 10^2. Ejemplo: 2 > log x se convierte en 10^2 > x. Si u > 0, entonces $u \ge v$ si y solo si $ln u \ge ln v$. Si u >0, entonces $u \ge v$ si y solo si $log u \ge log v$. Ejemplo: $ln x \ge 2$ se convierte en $x \ge e^2$. Ejemplo: $2 \ge ln x$ se convierte en $e^2 \ge x$. Ejemplo: $log x \ge 2$ se convierte en $x \ge 10^2$. Ejemplo: $2 \ge log x$ se convierte en $10^2 \ge x$. Ejemplo: $ n <2 ^ n $ para $ n> M $, para un número $ M $ específico pero sin especificar. Ejemplo: $ln n < \sqrt n$ para $n > M$, para un número $ M $ específico pero sin especificar. Ejemplo: 10^(log 3x) se convierte en 3x. Ejemplo: log 100 se convierte en 2 Por definición, el log de 1 es cero en tanto 10^0 = 1. Por definición, el log de 10 es 1, en tanto 10^1 = 10. Convertir logaritmos en base 10 en logaritmos naturales. Expresar una potencia como una potencia de 10, con un logaritmo en el exponente. Ejemplo: $400 = 10^2\times 4$. No factorizar por completo, sino solamente los factores 10. Ejemplo: 10^(2 log x) se convierte en x^2. Ejemplo: $log (4/5) = - log (5/4)$ Ejemplo: $log(3,4/5) = - log(3, 5/4)$ Ejemplo: log x^3 = 3 log x Ejemplo: log 3x = log 3 + log x Ejemplo: log 1/2 = -log 2 Ejemplo: log x/2 = log x - log 2 Ejemplo: log 2 + log x = log 2x Ejemplo: log x - log 2 = log a/2 Ejemplo: log x + log 2 - log 3 =log 2x/3 Ejemplo: 2 log x = log x^2 Ejemplo: $log \sqrt 3 = \onehalf log 3$ Ejemplo: $log ^3\sqrt x = (1/3) log x$ Por definición, el logaritmo de 1 es cero en tanto 10^0 = 1. Ejemplo: $400 = 10^2\times 4$. No factorizar completamente, dedicarse solamente a los factores 10. Se solicitará se ingrese a. Ejemplo: log x = $\onehalf log u^2$ Calcular los logaritmos usando aproximaciones decimales. Convertir logaritmos en base 10 a logaritmos naturales. La ley fundamental conecta a la función exponencial con su recíproca, la logarítmica. e es la base de los logaritmos naturales. Por definición, el logaritmo natural de 1 es cero en tanto e^0 = 1. Ejemplo: ln e^2 = 2 Expresar cualquier potencia como una potencia de $e$, con intervención de los logaritmos naturales. Eliminar el logaritmo natural en el exponente de $e$. Ejemplo: ln x^2 = 2 ln x Ejemplo: ln 2x = ln 2 + ln x Ejemplo: ln 1/2 = -ln 2 Ejemplo: ln x/2 = ln x - ln 2 Ejemplo: ln (x-1) + ln (x+1) = ln (x-1)(x+1) Ejemplo: ln x - ln 2 = ln x/2 Ejemplo: ln x + ln 2 - ln 3 = ln (2x/3) Ejemplo: 2 ln x = ln x^2 Ejemplo: $ln \sqrt 3 = \onehalf ln 3$ Ejemplo: $ln ^3\sqrt x = (1/3) ln x$ Se solicitará se ingrese a. Ejemplo: ln (1 + 1/n) = 1/n ln(1+1/n)^n Calcular los logaritmos naturales usando aproximaciones decimales. Ejemplo: $ln (4/5) = - ln (5/4)$ Ejemplo: $sin x cos(\pi /2) + cos x sin(\pi /2) = sin(x+\pi /2)$ Ejemplo: $sin x cos(\pi /2) - cos x sin(\pi /2) = sin(x-\pi /2)$ Ejemplo: $cos x cos(\pi /2) - sin x sin(\pi /2) = cos(x+\pi /2)$ Ejemplo: $cos x cos(\pi /2) + sin x sin(\pi /2) = cos(x-\pi /2)$ Ejemplo: (sin 4u)/(1+cos 4u) = tan 2u Ejemplo: (1-cos 4u)/sin 4u = tan 2u Ejemplo: (1+cos 4u)/sin 4u = cot 2u Ejemplo: (sin 4u)/(1-cos 4u) = cot 2u Ejemplo: $(tan x + tan \pi /2)/(1-tan x tan \pi /2) = tan(x+\pi /2)$ Ejemplo: $(tan x - tan \pi /2)/(1+tan x tan \pi /2) = tan(x-\pi /2)$ Ejemplo: $(cot x cot(\pi /4) - 1)/(cot x + cot \pi /4) = cot(x+\pi /4)$ Ejemplo: $(1 + cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4 - cot x) = cot(x-\pi /4)$ Ejemplo: $1-cos(\pi /3)$ se convierte en $2sin^2 \pi /6$ Escribir en forma polar $r e^(i\theta )$ un número complejo inicialmente escrito en forma cartesiana x + iy. Expresar un exponencial complejo en términos de seno y de coseno. Siendo $e^(i\theta )$ un número complejo de módulo 1, está sobre la circunferencia unitaria. Siendo $Re^(i\theta )$ un número complejo de módulo R, está sobre la circunferencia de centro 0 y radio R. De no conocerse el signo de R, se debe poner el valor absoluto a la derecha. Ejemplo: $-2 = 2e^(i\pi )$ Ejemplo: $^3\sqrt (-2) = e^(\pi i/3) ^3\sqrt 2$ Ejemplo: 2/(3e^t) = 2e^(-t)/3 Ejemplo: x^3 = 1 se convierte en $x = e^(2k\pi i/3)$ Ejemplo: $x = e^(2k\pi i/3)$ se convierte en $[x=1, x=e^(2\pi i/3), x=e^(4\pi i/3)]$ Ejemplo: 2^(log(2,3)) = 3 Por definición, el logaritmo en base b de b es 1. Por definición, el logaritmo en base b de b^n es n. Ejemplo: log 2x = log 2 + log x Ejemplo: $log (\onehalf ) = -log 2$ Sea cual fuera la base, por definición, el logaritmo de 1 es cero como lo expresa la siguiente igualdad: b^0 = 1. Tras haberlo aplicado, se puede cambiar la base del logaritmo. Ejemplo: $log(3^2,x) = \onehalf log (3,x)$ Ejemplo: log x^2 = 2 log x Ejemplo: $log(2, 84) = log(2,2^2\times 21)$ Ejemplo: log x - log 2 = log x/2 Ejemplo: 5^(2 log(5,x)) se convierte en x^2 Convertir logaritmos en base b en logaritmos naturales Convertir logaritmos en base b en logaritmos en base 10 Convertir logaritmos en base b en logaritmos en base a Ejemplo: log(3^2,x) = (1/2) log (3,x) Definición de logaritmo. Convertir logaritmos naturales en logaritmos decimales. Ejemplo: x^5 se convierte en 3^5 log(3,x) sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 Los ceros de la función seno son los múltiplos de $\pi $. El conjunto de los reales donde la función coseno toma el valor 1 es el de los números de la forma $\pi $ más múltiplos pares de $2\pi $. Los ceros de la función tangente son los múltiplos de $\pi $. Ejemplo: $sin 370\deg = sin 10\deg $ Ejemplo: $sin 9\pi /4 = sin \pi /4$ Ejemplos: $sin 3\pi /2 = -1; cos 180\deg = -1; cot 90\deg = 0$. Ejemplos: $sin 30\deg = 1/2; cos \pi /3 = 1/2; tan 2\pi /3 = -\sqrt 3$. Ejemplos: $sin 45\deg = 1/\sqrt 2; tan 3\pi /4 = -1$. $\pi $ radianes = 180 grados = ángulo llano = medio arco de circunferencia 180 grados = $\pi $ radianes = ángulo llano = medio arco de circunferencia Ejemplo: $15\deg = 45\deg - 30\deg $. Aplicarlo para deducir el valor exacto de $sin 15\deg $. Calcular las aproximaciones decimales de las funciones trigonométricas. Expresar tan en términos de seno y de coseno Expresar cot en términos de tan Expresar cot en términos de seno y de coseno Definición de la sec Definición de la csc Definición de la tan Definición de la cot Por definición, la inversa del seno es la cosecante. Por definición, la inversa del coseno es la secante Por definición, la inversa de la tangente es la cotangente Por definición, la inversa de la tangente se puede expresar en términos de seno y de coseno. Por definición, la inversa de la cotangente es la tangente Por definición, la inversa de la cotangente se puede expresar en términos de seno y de coseno. Por definición, la inversa de la secante es el coseno Por definición, la inversa de la cosecante es el seno. Por definición, la inversa del seno es la cosecante Definición de la función secante, cuya notación es sec. Expresar tan en términos de cot Esta igualdad fundamental es una forma de expresar el teorema de Pitagoras. Usar esta forma de la igualdad $sin^2 u + cos^2 u = 1$ para simplificar $1 - sin^2 u$. Usar esta forma de la igualdad $sin^2 u + cos^2 u = 1$ para simplificar $1 - cos^2 u$. Expresar $sin^2$ en términos de $cos^2$. Expresar $cos^2$ en términos de $sin^2$. A partir de una igualdad, surgen otras. Como al dividir $sin^2 + cos^2 = 1$ por $cos^2$. A partir de una igualdad, surgen otras. Como $tan^2 u + 1$ al dividir $sin^2 + cos^2 = 1$ por $cos^2$. A partir de una igualdad, surgen otras. Como $sec^2 u - 1$ a partir de $sin^2 + cos^2 = 1$. Expresar $sec^2$ en términos de $tan^2$. Expresar $tan^2$ en términos de $sec^2$. Ejemplo: $sin^5 t = sin t (1-cos^2 t)^2$ Ejemplo: $cos^5 t = cos t (1-sin^2 t)^2$ Ejemplo: $tan^5 t = tan (sec^2 t-1)^2$ Ejemplo: $sec^5 t = sec t (tan^2 t+1)^2$ Ejemplo: (1-cos t)^2(1+cos t)^2 = sin^4 t Ejemplo: (1-sin t)^2(1+sin t)^2 = cos^4 t A partir de una igualdad, se establecen otras. Como $cot^2 u + 1 = 1$ al dividir $sin^2 + cos^2 = 1$ por $sin^2$. A partir de una igualdad, se establecen otras. Como $cot^2 u + 1$ operando con $sin^2 + cos^2 = 1$. A partir de una igualdad, se establecen otras. Como $csc^2 u - 1$ operando con $sin^2 + cos^2 = 1$. Expresar $csc^2$ en términos de $cot^2$. Expresar $cot^2$ en términos de $csc^2$. Ejemplo: $csc \pi /6 = sec \pi /3$ Ejemplo: $cot \pi /6 = tan \pi /3$ Ejemplo: $cot^5 t = cot (csc^2 t-1)^2$ Ejemplo: $csc^5 t = csc t (cot^2 t+1)^2$ Ejemplo: $sin(x+\pi /4)= sin x cos \pi /4 + cos x sin \pi /4$ Ejemplo: $sin(x-\pi /4)= sin x cos \pi /4 - cos x sin \pi /4$ Ejemplo: $cos(x+\pi /4)= cos x cos \pi /4 - sin x sin \pi /4$ Ejemplo: $cos(x-\pi /4)= cos x cos \pi /4 + sin x sin \pi /4$ Ejemplo: $tan(x+\pi /4)=(tan x+tan \pi /4)/(1-tan x tan \pi /4)$ Ejemplo: $tan(x-\pi /4)=(tan x-tan \pi /4)/(1+tan x tan \pi /4)$ Ejemplo: $cot(x+\pi /4)=(cot x cot \pi /4-1)/(cot x+cot \pi /4)$ Ejemplo: $cot(x-\pi /4)=(1+cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4-cot x)$ Ejemplos: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x; $sin 40\deg = 2 sin 20\deg sin 20\deg $ Ejemplos: cos 4x = cos^2 x - sin^2 x; $cos 40\deg = cos^2 20\deg - sin^2 20\deg $ Expresar $cos 2\theta $ en términos de $sin^2 \theta $. Expresar $cos 2\theta $ en términos de $cos^2 \theta $. Expresar $tan 2\theta $ en términos de $tan \theta $. Expresar $cot 2\theta $ en términos de $cot \theta $. Expresar $sin \theta cos \theta $ en términos de $sin 2\theta $ Expresar $2 sin \theta cos \theta $ en términos de $sin 2\theta $ Expresar $cos^2 \theta - sin^2 \theta $ como una sola función trigonométrica, $cos(2\theta )$ Aplicarlo para deshacerse de los $sin^2$ y tener sólo una función trigonométrica. Aplicarlo para deshacerse de los $cos^2$ y tener sólo una función trigonométrica. Ejemplo: $3\theta = 2\theta + \theta $ Ejemplo: $7\theta = 3\theta + 4\theta $; habiendo ingresado 3 cuando fue requerido. Esta fórmula de triple ángulo permite economisar una secuencia de pasos. Esta fórmula de triple ángulo permite economizar una secuencia de pasos. Ejemplo: $sin 7\theta = -sin^7 \theta + 21 cos^2 \theta sin^5 \theta + ...$ Ejemplo: $cos 7\theta = cos^7 \theta - 21 cos^5 \theta sin^2 \theta + ...$ Ejemplo: x/3 = 3/4 se convierte en 4x = 9 Ejemplo: 3 = x se convierte en x = 3 El término indicado será desplazado de izquierda a derecha. El término indicado será desplazado de derecha a izquierda. Sumar el término indicado en ambos miembros Restar el término indicado en ambos miembros Multiplicar ambos miembros por el término indicado. Ejemplo: $1 - sin^2 x + tan x = tan x + cos^2 x$ se convierte en $1-sin^2 x = cos^2 x$. Ejemplo: $\sqrt (1-sin^2 x) = cos x$ se convierte en $1-sin^2 x = cos^2 x$. Ejemplo: tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x se convierte en tan x = sin x / cos x Ejemplo: tan^3 x = sin^3 x / cos^3 x se convierte en tan x = sin x / cos x Se solicitará se indique la función a aplicar. Aplicarlo para refutar una falsa igualdad o para testear una que no se hubiera podido verificar. Asignarle una letra a un término para simplificar su expresión. Estos ángulos están formados por líneas rectas situadas a $30\deg $ a cada lado del eje de las x positivas y negativas. Estos ángulos están formados por líneas rectas situadas a $30\deg $ bajo el eje de las x positivas y negativas. Estos ángulos son múltiplos de $60\deg $ contados a partir del eje x en una dirección en sentido trigonométrico. Estos ángulos son múltiplos de $60\deg $ contados a partir del eje x en una dirección en sentido antitrigonométrico. Es decir, más o menos $30\deg $. Es decir, más o menos $30\deg $ a partir del semieje de las x negativas. Es decir, más o menos $60\deg $. Es decir, más o menos $120\deg $. Es decir, $30\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $210\deg $ está incluido). Es decir, $-30\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $150\deg $ está incluido). Es decir, $60\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $240\deg $ está incluido). Es decir, $-60\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $120\deg $ está incluido). Estos ángulos están formados por dos semi-rectas situadas a $45\deg $ por encima del eje x. Estos ángulos están formados por líneas rectas situadas a $45\deg $ por debajo del eje x. Estos ángulos están formados por dos semi-rectas situadas a $45\deg $ a la derecha del eje y. Estos ángulos están formados por dos semi-rectas situadas a $45\deg $ a la izquierda del eje y. Es decir $45\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $225\deg $ está incluido). Es decir $-45\deg $ más los múltiplos de $\pi $ (no de $2\pi $; cabe advertir que $135\deg $ está incluido). Los ceros de seno son los múltiplos de $\pi $. El conjunto de los reales donde la función seno toma el valor 1 es el de los números de la forma $\pi /2$ más múltiplos de $2\pi $. El conjunto de los reales donde la función seno toma el valor -1 es el de los números de la forma $3\pi /2$ más $múltiplos de $2\pi $. Los ceros de la función coseno son los multiplos impares de $\pi /2$. El conjunto de los reales donde la función coseno toma el valor 1 es el de los multiplos de $2\pi $. El conjunto de los reales donde la función coseno toma el valor -1 es el de los multiplos impares de $\pi $. Ejemplo: $tan x^2 = 0$ se convierte en $sin x^2 = 0$. Ejemplo: $cot x^2 = 0$ se convierte en $cos x^2 = 0$. Ejemplo: sin x = 3/4 se convierte en $x = (-1)^n arcsin 3/4 + n\pi $ Exmaple: sin x = 3/4 se convierte en $[x = arcsin 3/4 + 2n\pi , x = -arcsin 3/4 + (2n+1)\pi ]$ Ejemplo: cos x = 3/4 se convierte en $[x = arccos 3/4+2n\pi , x = -arccos 3/4 + 2n\pi ]$ Ejemplo: tan x = 3 se convierte en $x = arctan 3 + n\pi $ Ejemplo: $arcsin(\onehalf ) = \pi /6$. Solo algunos valores se pueden calcular con exactitud. Ejemplo: $arccos(\onehalf ) = \pi /3$. Solo algunos valores se pueden calcular con exactitud. Ejemplo: $arctan 1 = \pi /4$. Solo algunos valores se pueden calcular con exactitud. Si cot z = x entonces tan z = 1/x. Si sec z = x entonces cos z = 1/x. Si csc z = x entonces sin z = 1/x. arcsin es una función impar arccos no es impar, pero su gráfica tiene un centro de simetría de abscisa nula. arctan es una función impar. Cuando el período es $2\pi $, poner las soluciones bajo la siguiente forma: $c + 2n\pi $. Ejemplo: sin u = 2 no tiene solución. Ejemplo: cos u = 2 no tiene solución. Si $sin \theta = x$ entonces $tan \theta = x/\sqrt (1-x^2)$. Si $cos \theta = x$ entonces $tan \theta = \sqrt (1-x^2)/x$. Esta es la propiedad con la que se define arcotangente. Esta es la propiedad con la que se define arcoseno. Si $cos \theta = x$ entonces $sin \theta = \sqrt (1-x^2)$. Si $tan \theta = x$ entonces $sin \theta = x/\sqrt (x^2+1)$. Si $sin \theta = x$ entonces $cos \theta = \sqrt (1-x^2)$ Esta es la propiedad con la que se define arcocoseno. Si $tan \theta = x$ entonces $cos \theta = 1/\sqrt (x^2+1)$ Si $sin \theta = x$ entonces $sec \theta = 1/\sqrt (1-x^2)$ Si $cos \theta = x$ entonces $sec \theta = 1/x$ Si $tan \theta = x$ entonces $sec \theta = \sqrt (x^2+1)$ Ejemplo: $arctan (tan \pi /3) = \pi /3$ Ejemplo: $arcsin(sin \pi /3) = \pi /3$ Ejemplo: $arccos(cos \pi /5) = \pi /5$ c1 es constante dentro de cada intervalo en que tan x está definida, una constante de integración. El ángulo en el que el seno es x y el ángulo en el que el coseno es x, son complementarios. Es decir, la suma es $\pm \pi /2$, depende del signo de x. El coseno de un ángulo es el seno del complementario. El seno de un ángulo es el coseno del complementario. La cotangente de un ángulo es la tangente del complementario. La tangente de un ángulo es la cotangente del complementario. La cosecante de un ángulo es la secante del complementario. La secante de un ángulo es la cosecante del complementario. Ejemplo: $sin (\pi /3) = cos (\pi /6)$ Ejemplo: $cos (\pi /3) = sin (\pi /6)$ Ejemplo: $tan (\pi /3) = sin (\pi /6)$ Ejemplo: $cot (\pi /3) = tan (\pi /6)$ Ejemplo: $sec (\pi /3) = csc (\pi /6)$ Ejemplo: $csc (\pi /3) = sec (\pi /6)$ Ejemplo: $sin (30\deg ) = cos (60\deg )$ Ejemplo: $cos (30\deg ) = sin (60\deg )$ Ejemplo: $tan (30\deg ) = sin (60\deg )$ Ejemplo: $cot (30\deg ) = tan (60\deg )$ Ejemplo: $sec (30\deg ) = csc (60\deg )$ Ejemplo: $csc (30\deg ) = sec (60\deg )$ Ejemplo: $15\deg +10\deg = (15+10)\deg = 25\deg $. Solo pueden sumarse directamente, números. Ejemplo: $2\times 30\deg = (2\times 30)\deg = 60\deg $ Ejemplo: $60\deg /2 = (30)\deg $ El seno es una función impar. El coseno es una función par. La tangente es una función impar. La cotangente es una función impar. La secante es una función par. La cosecante es una función impar. sin^2 es una función par. cos^2 es una función par. tan^2 es una función par. cot^2 es una función par. sec^2 es una función par. csc^2 es una función par. La función seno es periódica de período $2\pi $. Ejemplo: $sin (9\pi /4) = sin (\pi /4)$ La función coseno es periódica de período $2\pi $. Ejemplo: $cos (9\pi /4) = cos (\pi /4)$ La función tangente es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $tan (3\pi /4) = tan (\pi /4)$ La función secante es periódica de período $2\pi $. Ejemplo: $sec (9\pi /4) = sec (\pi /4)$ La función cosecante es periódica de período $2\pi $. Ejemplo: $csc (9\pi /4) = csc (\pi /4)$ La función cotangente es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $cot (3\pi /4) = cot (\pi /4)$ sin^2 es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $sin^2 (3\pi /4) = sin^2 (\pi /4)$ cos^2 es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $cos^2 (3\pi /4) = cos^2 (\pi /4)$ sec^2 es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $sec^2 (3\pi /4) = sec^2 (\pi /4)$ csc^2 es periódica de período $\pi $. Ejemplo: $csc^2 (3\pi /4) = csc^2 (\pi /4)$ Ejemplo: $sin 200\deg = -sin 20\deg $ Ejemplo: $sin 160\deg = sin 20\deg $ Ejemplo: $cos 200\deg = -cos 20\deg $ Ejemplo: $cos 160\deg = -cos 20\deg $ Expresar $sin^2$ en términos de una sola función trigonométrica en lugar de una potencia. Expresar $cos^2$ en términos de una sola función trigonométrica en lugar de una potencia. Cambiar el producto de funciones trigonométricas por una sola función trigonométrica. Hay dos fórmulas para $tan (\theta /2)$. Conviene elegir la mejor, acorde al contexto. Hay dos fórmulas para $cot (\theta /2)$. Conviene elegir la mejor, acorde al contexto. Expresar $sin(\theta /2)$ en términos de $cos \theta $ Expresar $cos(\theta /2)$ en términos de $cos \theta $ Ejemplo: $60\deg = 2\times 30\deg $. Considerar la fórmula opuesta a la del ángulo doble. Ejemplo: $sin (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [sin(2x)+sin(\pi /2)]$ Ejemplo: $cos (x+\pi /4) sin (x-\pi /4) = \onehalf [sin(2x)-sin(\pi /2)]$ Ejemplo: $sin (x+\pi /4) sin (x-\pi /4) = \onehalf [cos(\pi /2)-cos(2x)]$ Ejemplo: $cos (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [cos(2x)+cos(\pi /2)]$ Una suma de senos se puede expresar como producto de seno y de coseno. Una diferencia de senos se puede expresar como producto de seno y de coseno. Expresar una suma de cosenos como producto de seno y de coseno. Expresar una diferencia de cosenos como producto de seno y de coseno. Reemplazar las dos variables por las dos expresiones diferentes al interior de funciones trigonométricas. Calcular expresiones solo con aritmética racional exacta. %�|� 4 I: ; I ! I7 I & I $ > $ > .@: ;'I?
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�1 4� � 7 7� 3 Apple clang version 14.0.0 (clang-1400.0.29.202) ../../Localizer/spanish/spanish_ophelp1.c /Applications/Xcode.app/Contents/Developer/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX.sdk MacOSX.sdk /Users/beeson/Dropbox/MathXpert/symsout/svgTester ophelp1 char __ARRAY_SIZE_TYPE__ arithhelp Spanish_ophelp n int nitems HSAH ���� ��h>�q&4b�D T d " � � 2 q HSAH ����HSAH ����HSAH �������� 0�� c �|[s��L _ r 3 � $ � c $ j $ � � A �
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