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�� ( � )n H )n __text __TEXT @ H xs � __const __TEXT @ � __cstring __TEXT L � __data __DATA p U � �s 2 __const __DATA pc P �h (� � __debug_abbrev __DWARF �h � n __debug_info __DWARF fi �n x� __debug_str __DWARF �j c �o __apple_names __DWARF �k � +q __apple_objc __DWARF �l $ �q __apple_namespac__DWARF �l $ �q __apple_types __DWARF �l � r __compact_unwind__LD `m @ �r �� __debug_line __DWARF �m � �r �� 2
�� s �) U P p p s �C �� ���� � � ��C ��_�C �� ���� � � yi��C ��_�aritmética Cálculo en números decimales Evaluación decimal de $\sqrt $ o de $^n\sqrt $ Cálculo decimal de $x^n$ Cálculo decimal de valores de una función Factorización de números enteros Evaluación numérica en un punto Aproximación decimal $\pi $ Aproximación decimal del valor numérico de e Cálculo de valores de una función Factorización numérica de un polinomio Evaluar el número de Bernoulli exactamente Evaluar el número de Euler exactamente Transformación de decimal a fracción Expresión como cuadrado Expresión como cubo Expresión como potencia e$n$-ésima Expresión como potencia de ? Notación de un entero en el formato a^n x = ? + (x-?) $i^2 = -1$ i^(4n) = 1 i^(4n+1) = i i^(4n+2) = -1 i^(4n+3) = -i Aritmética compleja Potencia de un número complejo Aritmética compleja y potencias Cálculo con números complejos decimales Factorización en el conjunto de los enteros Factorización de enteros por números complejos Factorización de n+mi (siendo n distinto de cero) Aproximación decimal de $\sqrt $ o de $^n\sqrt $ Valor numérico decimal de $x^n$ Aproximación decimal de valores de una función Simplificar cada signo menos duplicado -(-a)=a Distribución de un signo menos en -(a+b) = -a-b -a-b = -(a+b) Organización de los términos Orden de los términos Eliminación de términos nulos, x+0 = x Cancelación de términos anulados de a pares, $\pm $ Agrupación de términos idénticos con signo previo $\pm $ Reagrupamiento de a dos, de sumandos idénticos respecto del signo $\pm $ a+b = b+a a(b-c) = -a(c-b) -ab = a(-b) -abc = ab(-c) a(-b)c = ab(-c) $x\times 0 = 0\times x = 0$ $x\times 1 = 1\times x = x$ a(-b) = -ab a(-b-c) = -a(b+c) (-a-b)c = -(a+b)c Regrupamiento de factores Reagrupamiento de números Ordenamiento de factores Regrupamiento de potencias a(b+c)=ab+ac $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ ab = ba Desarrollo de productos de sumas Multiplicación del numerador Multiplicación del denominador na = a +...+ a 0/a = 0 a/1 = a a(1/a) = 1 Multiplicación de fracciones (a/c)(b/d)=ab/cd a(b/c) = ab/c Simplificación ab/ac = b/c Suma de fracciones $a/c \pm b/c=(a\pm b)/c$ Distribución $(a \pm b)/c = a/c \pm b/c$ Distribución y simplificación $(ac\pm b)/c = a\pm b/c$ División polinomial Simplificación aplicando una división polinomial au/bv=(a/b)(u/v) (a,b enteros) a/b = (1/b) a au/b=(a/b)u (números reales a,b) ab/cd = (a/c)(b/d) ab/c = (a/c) b (-a)/(-b) = a/b -(a/b) = (-a)/b -(a/b) = a/(-b) (-a)/b = -(a/b) a/(-b)= -a/b (-a-b)/c = -(a+b)/c a/(-b-c) = -a/(b+c) a/(b-c) = -a/(c-b) -a/(-b-c) = a/(b+c) -a/(b-c) = a/(c-b) -(-a-b)/c = (a+b)/c $$(a-b)/(c-d) = (b-a)/(d-c)$$ ab/c = a(b/c) a/bc = (1/b) (a/c) (a/c)/(b/c) = a/b a/(b/c)=ac/b (inversión y multiplicación) 1/(a/b) = b/a (a/b)/c = a/(bc) (a/b)/c = (a/b)(1/c) (a/b)c/d = ac/bd Factorización del denominador Determinación del común denominador de las fracciones Determinación del denominador común Determinación de un denominador común (solo fracciones) Multiplicación de fracciones (a/b)(c/d)=ac/bd Multiplicación de fracciones a(c/d)= ac/d Ordenamiento de los factores Suma de fracciones $a/c \pm b/c=(a \pm b)/c$ Determinación del denominador común (solo fracciones) Determinación del denominador común y simplificación del numerador Determinación del denominador común y simplificación (solo fracciones) Multiplicación del numerador y del denominador ¿por ? a^0 = 1 (a no nulo) a^1 = a 0^b = 0 si b > 0 1^b = 1 $(-1)^n = \pm 1$ (n par o impar) (a^b)^c = a^(bc) si a>0 o $c\in Z$ $(-a)^n = (-1)^na^n$ $(a/b)^n = a^n/b^n$ $(ab)^n = a^nb^n$ $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ Desarrollo aplicando la fórmula del binomio Reagrupamiento de potencias a^(b+c) = a^b a^c $a^n/b^n = (a/b)^n$ b^n/b^m = b^(n-m) ab^n/b^m = a/b^(m-n) a^2 = aa a^3 = aaa a^n = aaa...(n veces) a^n = a^?a^(n-?) $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 a^(bc) = (a^b)^c si $a>0$ o $c\in Z$ a^(bc) = (a^c)^b si $a>0$ o $c\in Z$ a^(b?) = (a^b)^? 1/a^n = (1/a)^n a^(-n) = $1/a^n$ (n constante) $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ (n constante) a^(-1) = 1/a $a^(-n) = 1/a^n$ $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ a/b^(-n) = ab^n $a/b^n = ab^(-n)$ a/b = ab^(-1) $(a/b)^(-n) = (b/a)^n$ a^(b-c) = a^b/a^c $\sqrt x\sqrt y = \sqrt (xy)$ $\sqrt (xy) = \sqrt x\sqrt y$ $\sqrt (x^2y) = x\sqrt y$ o $|x|\sqrt y$ $\sqrt (x^2)=x$ si $x\ge 0$ $\sqrt (x^2)=|x|$ Factorización del entero x en $\sqrt x$ $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$ $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$ $\sqrt x/\sqrt y = \sqrt (x/y)$ $x/\sqrt x = \sqrt x$ $\sqrt x/x = 1/\sqrt x$ $(\sqrt x)^2^n = x^n$ si $x\ge 0$ $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$ Cálculo por aproximación racional de $\sqrt $ Cálculo por aproximación decimal de $\sqrt $ Cálculo por aritmética simple Extracción del factor común en $\sqrt u/\sqrt v$ Factorización del polinomio bajo el signo $\sqrt $ Racionalización del denominador Racionalización del numerador $\sqrt (x^2)=|x|$ o $\sqrt (x^2^n)=|x|^n$ Simplificación de $\sqrt $: $\sqrt (xy)/\sqrt y = \sqrt x$ Multiplicación bajo el signo de $\sqrt $ $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$ $^2\sqrt u = \sqrt u$ $\sqrt u = ^2^n\sqrt u^n$ $\sqrt u = (^2^n\sqrt u)^n$ $\sqrt (u^2^n) = u^n$ si $u^n\ge 0$ $\sqrt (u^(2n+1)) = u^n\sqrt u$ si $u^n\ge 0$ $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$ si $a\ge 0$ Racionalización del denominador y simplificación $a ^ \onehalf = \sqrt a$ $a^(n/2) = \sqrt (a^n)$ $a^(b/n) = ^n\sqrt (a^b)$ $\sqrt a = a ^ \onehalf $ $^n\sqrt a = a^(1/n)$ $^n\sqrt (a^m) = a^(m/n)$ $(^n\sqrt a)^m = a^(m/n)$ $(\sqrt a)^m = a^(m/2)$ $1/\sqrt a = a^(-\onehalf )$ $1/^n\sqrt a = a^(-1/n)$ Evaluación de (-1)^(p/q) Factorización entera de a en a^(p/q) a/b^(p/q) = (a^q/b^p)^(1/q) a^(p/q)/b = (a^p/b^q)^1/q) $a^(n/2) = (\sqrt a)^n$ $a^(m/n) = (^n\root a)^m$ $^n\sqrt x^n\sqrt y = ^n\sqrt (xy)$ $^n\sqrt (xy) = ^n\sqrt x ^n\sqrt y$ $^n\sqrt x^m = (^n\sqrt x)^m$ si $x\ge 0$ o n impar $^n\sqrt (x^ny) = x ^n\sqrt y$ o $|x|^n\sqrt y$ $^n\sqrt (x^n) = x$ si $x\ge 0$ o n impar $^n\sqrt (x^(nm))=x^m$ si $x\ge 0$ o n impar $^2^n\sqrt (x^n) = \sqrt x$ $^m^n\sqrt x^m) = ^n\sqrt x$ $(^n\sqrt x)^n = x$ $(^n\sqrt a)^m = ^n\sqrt (a^m)$ $(^n\sqrt a)^(qn+r) = a^q ^n\sqrt (a^r)$ Factorización del x entero en $^n\sqrt x$ $^n\sqrt (-a) = -^n\sqrt a$, n impar Cálculo por aproximación racional Factorización del polinomio bajo el signo $^n\sqrt $ Multiplicación bajo el signo $^n\sqrt $ $\sqrt (\sqrt x) = ^4\sqrt x$ $\sqrt (^n\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (^m\sqrt x) = ^n^m\sqrt x$ $^n\sqrt (x/y) = ^n\sqrt x/^n\sqrt y$ $^n\sqrt x/^n\sqrt y = ^n\sqrt (x/y)$ $x/^n\sqrt x = (^n\sqrt x)^(n-1)$ $^n\sqrt x/x = 1/(^n\sqrt x)^(n-1)$ Simplificación respecto del signo $^n\sqrt: ^n\sqrt (ab)/^n\sqrt (bc)=^n\sqrt a/^n\sqrt b$ Simplificación respecto del signo $^n\sqrt $: $^n\sqrt (xy)/^n\sqrt y = ^n\sqrt x$ Extracción del factor común en $^n\sqrt u/^n\sqrt v$ $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ si n impar $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ si $a\ge 0$ $-^n\sqrt a = ^n\sqrt (-a)$ si n impar $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ (n impar o $a\ge 0$) $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (n impar o $b>0$) $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ si $b>0$ $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ si $a\ge 0$ $(^m^n\sqrt a)^n = ^m\sqrt a$ $(^2^n\sqrt a)^n = \sqrt a$ 1/i = -i a/i = -ai a/(bi) = -ai/b $\sqrt (-1) = i$ $\sqrt (-a) = i\sqrt a$ si $a\ge 0$ Extracción de la parte imaginaria i del denominador $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$ $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ (u+vi)/w = u/w + (v/w)i Notación en formato u+vi $\sqrt(bi)= \sqrt(b/2)+\sqrt(b/2)i$, si b >= 0 $\sqrt(-bi)= \sqrt(b/2)-\sqrt(b/2)i$, si b >= 0 $\sqrt(a+bi)= \sqrt((a+c)/2)+\sqrt((a-c)/2)i$, si b \ge 0 y $c^2=a^2+b^2$ $\sqrt(a-bi)= \sqrt((a+c)/2)-\sqrt((a-c)/2)i$, si b \ge 0 y $c^2=a^2+b^2$ Factorización del número Extracción de denominadores numéricos ab + ac = a(b+c) Factorización de la potencia mayor $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ Factorización del trinomio de segundo grado Aplicación de la fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo grado $a^2^n = (a^n)^2$ $a^nb^n = (ab)^n$ Factorización del coeficientes enteros Factorización de un entero Sustitución por cambio de una variable, u = ? Eliminación de una variable que ya se ha definido Consideración de una variable como constante Formulación como función ¿de ? Formulación como función ¿de ? y ¿de ? a^(3n) = (a^n)^3 a^(?n) = (a^n)^? a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $a^n-b^n = (a-b)(a^(n-1)+...+b^(n-1))$ $a^n-b^n = (a+b)(a^(n-1)-...-b^(n-1))$ (n par) $a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-...+b^(n-1))$ (n impar) $x^4+a^4=(x^2-\sqrt 2ax+a^2)(x^2+\sqrt 2ax+a^2)$ $x^4+(2p-q^2)x^2+p^2=(x^2-qx+p)(x^2+qx+p)$ Sustitución por cambio de variable a cargo de MathXpert Ensayo de un factor Búsqueda de un factor lineal Factorización por aprupamiento Formulación como polinomio ¿en ? Cambio de miembros Cambio de signo en ambos miembros Suma ¿de ? en ambos miembros miembros Resta ¿de ? en ambos miembros miembros Pasaje ¿de ? izquierda a derecha Pasaje ¿de ? derecha a izquierda Multiplicación de ambos miembros ¿por ? División de ambos miembros ¿por ? Potencia cuadrada de ambos miembros Simplificación de términos $\pm $ idénticos de ambos miembros Simplificación del factor común de ambos miembros Sustracción para obtener una ecuación de la forma u=0 Ecuación idéntica de valor de verdad cieto a=-b se convierte en $a^2=-b^2$ si $a,b\ge 0$ a=-b se convierte en a=0 si $a,b\ge 0$ a=-b se convierte en b=0 si $a,b\ge 0$ Si ab=0 entonces a=0 o b=0 $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ Operación para completar el cuadrado Extracción de la raíz cuadrada de ambos miembros Multiplicación cruzada Si $b^2-4ac < 0$ no hay raíces reales [p=a,p=-a] se convierte en p=|a| (dado que $p\ge 0$) Evaluación numérica calculada en un punto Resolución numérica Multiplicación cruzada (a/b=c/d => ad=bc) Si u=v entonces $u^n=v^n$ Aplicación en ambos miembros de la función $\sqrt $ Aplicación en ambos miembros de la función $^n\sqrt $ Aplicación en ambos miembros ¿de la función ? Denominador común Si ab=ac entonces a=0 o b=c Visualización restringida a la ecuación seleccionada Visualización del conjunto de todas las ecuaciones, recuperada Reagrupamiento de las soluciones múltiples Sustitución por cambio de ¿variable u = ? Pechazo de una ecuación irresoluble Verificación de las raíces en la ecuación de partida Resolución inmediata de una ecuación lineal, en un solo paso u=x+b/3 en ax^3+bx^2+cx+d=0 Cálculo del discriminante Visualización de la ecuación cúbica, recuperada Cambio de la variable de Vieta x=y-a/3cy en cx^3+ax+b=0 Fórmula de Cardan, 1 raíz real Fórmula de Cardan, 3 raíces reales Fórmula de Cardan, raíces complejas Sustitución de x = f(u) Eliminación de una variable definida Sustitución de n = ?-k Determinación exacta de las raíces reales Cálculo del conjunto de números decimales Simplificación Si u=v entonces a^u = a^v Si ln u = v entonces u = e^v Si log u = v entonces u = 10^v Si log(b,u) = v entonces u = b^v Si a^u = a^v entonces u=v Extracción del log de ambos miembros Extracción del logaritmo natural de ambos miembros Rechazo de la ecuación imposible de log o ln Regla de Cramer Cálculo del determinante Ordenar variables a derecha y constantes a izquierda Agrupación de términos similares Organización alineada de las variables Suma de dos ecuaciones Resta de dos ecuaciones Multiplicación de la ecuación ? por ? Division de la ecuación ? por ? Suma de un múltiplo de la ecuación ? a la ecuación ? Resta de un múltiplo de la ecuación ? de la ecuación ? Intercambio de dos ecuaciones Reordenamiento de las ecuaciones ya resueltas Eliminación de las identidades Consideración de una variable como una constante Contradicción: no hay solución a|b| = |ab| si $0 \le a$ |b|/c = |b/c| si 0 < c a|b|/c = |ab/c| si 0 <a/c Resolución para ? Suma de la ecuación seleccionada a la ecuación ? Resta de la ecuación seleccionada a la ecuación ? Multiplicación de la ecuación seleccionada por la ecuación ? Dividisión de la ecuación seleccionada por ? Suma de un múltiplo de la ecuación seleccionada a la ecuación ? Resta de un múltiplo de la ecuación seleccionada a la ecuación ? Intercambio de la ecuación seleccionada por la ecuación ? Resolución de la ecuación seleccionada respecto de ? Suma de la fila seleccionada a la fila ? Resta de la fila seleccionada a la fila ? Multiplicación de la fila seleccionada por ? Dividisión de la fila seleccionada por ? Suma de un múltiplo de la fila seleccionada a la fila ? Resta de un múltiplo de la fila seleccionada a la fila ? Intercambio de la fila seleccionada por la fila ? A = IA Resolución de la ecuación ? respecto de ? Simplificación de ecuaciones Simplificación de los términos presentes en ambos miembros Suma de ? en ambos miembros de la ecuación ? Resta de ? de ambos miembros de la ecuación ? División de la ecuación ? por ? Sustitución de la variable de una función Contradicción evidente: no hay solución Expresión en forma matricial Intercambio de filas Suma de filas Resta de una fila a la otra Multiplicación de una fila por una constante División de una fila por una constante Suma de un múltiplo de una fila a otra Suma de un múltiplo de una fila de otra Multiplicación de matrices Eliminación de una columna nula Eliminación de una fila nula Eliminación de una fila duplicada Conversión de un sistema de ecuaciones AX = B se convierte en X = A^(-1)B Aplicación de la fórmula de inversión de matrices de 2x2 Cálculo exacto de la matriz inversa Cálculo decimal aproximado de la matriz inversa |u| = u si $u\ge 0$ La hipótesis según la cual $u\ge 0$, permite expresar que |u| = u |u| = -u si $u\le 0$ |cu| = c|u| si $c\ge 0$ |u/c| = |u|/c si c>0 |u||v| = |uv| |uv| = |u||v| |u/v| = |u| / |v| |u| / |v| = |u/v| $|u|^2^n=u^2^n$ si u es real $|u^n|=|u|^n$ si n es real $|\sqrt u| = \sqrt |u|$ $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$ |ab|/|ac| = |b|/|c| |ab|/|a| = |b| Extracción del factor común en |u|/|v| Si $c > 0$, entonces |u|=c si y solo si u=c o u = -c |u|/u = c si y solo si c = $\pm $1 |u| < v si y solo si -v < u < v $|u| \le v$ si y solo si $-v \le u \le v$ u < |v| si y solo si v < -u o u < v $u \le |v|$ si y solo si $v \le -u$ o $u \le v$ |u| = u si y solo si $0 \le u$ |u| = -u si y solo si si $u \le 0$ $0 \le |u|$ es siempre cierto |u| < 0 es siempre falso Si $c\le 0$, entonces $-c \le |u|$ Si c>0, entonces -c < |u| Si $c\ge 0$, entonces |u| < -c es falso Si c>0, entonces $|u| \le -c$ es falso Si $c\ge 0$, entonces $|u| \le -c$ si y solo si u=0 Si $c\ge 0$, entonces |u| = -c si y solo si u=0 v > |u| si y solo si -v < u < v $v \ge |u|$ si y solo si $-v \le u \le v$ |v| > u si y solo si v < -u o v > u $|v| \ge u$ si y solo si $v \le -u$ o $v \ge u$ $|u| \ge 0$ es cierto 0 > |u| es falso -c > |u| es falso si $c\ge 0$ $-c ? |u|$ es falso si $c>0$ Si $c\ge 0$, entonces $-c \ge |u|$ si y solo si u=0 Si c>0, entonces |u| > -c es cierto Si ($c\ge 0$), entonces $|u| \ge -c$ es cierto $-v \le u \le v$ si y solo si $|u| \le v$ v < -u o u < v si y solo si u < |v| Para todo real u, $u^(2n) = |u|^(2n)$ Para todo real u, $u|^n = |u^n|$ si n es real Cambio de u < v en v > u Suma de ? en ambos miembros Resta de ? de ambos miembros Cambio de -u < -v en v < u Cambio de -u < -v en u > v Multiplicación de ambos miembros por ? Multiplicación de ambos miembros ?^2 División de ambos miembros por ? Evaluación numérica de la inecuación $a < x^(2n)$ si $a < 0$ Si $a \le 0$, entonces $x^(2n) < a$ es falso Potencia elevando al cuadrado ambos miembros no-negativos Potencia elevando al cuadrado si un miembro es $\ge $ 0 u < v o u = v si y solo si $u \le v$ Combinación de intervalos Aplicación de hipótesis Cambio de x > y en y < x Cambio de -u > -v en u < v Cambio de -u > -v en v > u $x^2^n > a$ es cierto si $a < 0$ $a > x^2^n$ es falso si $a \le 0$ u > v o u = v si y solo si $u \ge v$ Cambio de $x \le y$ en $y \ge x$ Cambio de $-u \le -v$ en $v \le u$ Cambio de $-u \le -v$ en $u \ge v$ Multiplicación de ambos miembros por ?^2 $a \le x^2^n$ es cierto si $a \le 0$ $x^2^n \le a$ es falso si $a < 0$ Potencia elevando al cuadrado ambos miembros Si $0 \le v$, entonces $u \le v$ si y solo si $u^2 \le v^2$ o $u \le 0$ Cambio de $x \ge y$ en $y \le x$ Cambio de $-u \ge -v$ en $u \le v$ Cambio de $-u \ge -v$ en $v \ge u$ $x^(2n) \ge a$ es cierto si $a \le 0$ $a \ge x^(2n)$ es falso si $a < 0$ Si $0 \le v$, entonces $v \ge u$ si y solo si $v^2 \ge u^2$ o $u \le 0$ $u^2 < a$ si y solo si $|u| < \sqrt a$ $u^2 < a$ si y solo si $-\sqrt a < u < \sqrt a$ Si $0\le a$, entonces $a < v^2$ si y solo si $?a < |v|$ $a < u^2$ si y solo si $u < -\sqrt a$ o $\sqrt a < u$ $a < u^2 < b$ si y solo si $-\sqrt b<u<-\sqrt a$ o $\sqrt a<u<\sqrt b$ Si $0<a$, entonces $-a < u^2 < b$ si y solo si $u^2 < b$ Si $0<a$, entonces $-a < u^2 \le b$ si y solo si $u^2 \le b$ $\sqrt u < v$ si y solo si $0 \le u < v^2$ $0 \le a\sqrt u < v$ si y solo si $0 \le a^2u < v^2$ Si $0\le a$, $a < \sqrt v$ si y solo si $a^2 < v$ $0 \le u < v$ si y solo si $\sqrt u < \sqrt v$ Si a < 0, $a < x^2$ es cierto Si $a \le 0$, $x^2 < a$ es falso Si a < 0, entonces $a < \sqrt u$ si y solo si $0 \le u$ $u^2 \le a$ si y solo si $|u| \le \sqrt a$ $u^2 \le a$ si y solo si $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ Si $0\le a$, entonces $a \le v^2$ si y solo si $\sqrt a \le |v|$ $a \le u^2$ si y solo si $u \le -\sqrt a$ o $\sqrt a \le u$ $a \le u^2 \le b$ si y solo si $-\sqrt b\le u\le -\sqrt a$ o $\sqrt a\le u\le \sqrt b$ Si $0\le a$, entonces $-a \le u^2 \le b$ si y solo si $u^2 \le b$ Si $0\le a$, entonces $-a \le u^2 < b$ si y solo si $u^2 < b$ $\le \sqrt u \le v$ si y solo si $0 \le u \le v^2$ $0 \le a\le \sqrt u \le v$ si y solo si $0 \le a^2u \le v^2$ Si $0\le a$, entonces $a \le \sqrt v$ si y solo si $a^2 \le v$ $0 \le u \le v$ si y solo si $\sqrt u \le \sqrt v$ $x^2 > a$ es cierto si a < 0 $a > x^2$ es falso si $a \le 0$ Si $a \le 0$, entonces $a \le \sqrt u$ si y solo si $0 \le u$ Componer ambos miembros según la función inversa $(x -> 1/x)$ Siendo a,b > 0, a < 1/x < b si y solo si 1/b < x < 1/a, Siendo a,b > 0, $a < 1/x \le b$ si y solo si $1/b \le x < 1/a$, Siendo a,b > 0, -a < 1/x < -b si y solo si -1/b < x < -1/a, Siendo a,b > 0, $-a < 1/x \le -b$ si y solo si $-1/b \le x < -1/a$ Siendo a,b > 0, -a < 1/x < b si y solo si x < - 1/a o 1/b < x Siendo a,b > 0, $-a < 1/x \le b$ si y solo si x < -1/a o $1/b \le x$ Siendo a,b > 0, $a \le 1/x < b$ si y solo si $1/b < x \le 1/a$, Siendo a,b > 0, $a \le 1/x \le b$ si y solo si $1/b \le x < 1/a$ Siendo a,b > 0, $-a \le 1/x < -b$ si y solo si $-1/b < x \le -1/a$ Siendo a,b > 0, $-a \le 1/x \le -b$ si y solo si $-1/b \le x \le -1/a$ Siendo a,b > 0, $-a \le 1/x < b$ si y solo si $x \le - 1/a$ o 1/b < x Siendo a,b > 0, $-a \le 1/x \le b$ si y solo si $x \le -1/a$ o $1/b \le x$ u < v si y solo si $^n\sqrt u < ^n\sqrt v$ (n impar) $u^(2n) < a$ si y solo si $|u| < ^(2n)a$ $u^(2n) < a$ si y solo si $-^(2n)\sqrt a < u < ^(2n)\sqrt a$ $0 \le a < u^(2n)$ si y solo si $^(2n)\sqrt a < |u|$ $a < u^2^n$ si y solo si $u < -^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a < u$ $a<u^2^n<b$ si y solo si $-^2^n\sqrt b<u<-^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a<u<^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u < v$ si y solo si $0 \le u < v^2^n$ $^n\sqrt u < v$ si y solo si $u < v^n$ (n impar o $u\ge 0$) Si $0 \le a(^n\sqrt u)$, entonces $a(^n\sqrt u) < v$ si y solo si $a^nu < v^n$ Si $0 \le u$, entonces $u < ^n\sqrt v$ si y solo si $u^n < v$ $u < v$ si y solo si $u^n < v^n$ (n impar >0) u < v si y solo si $u^n < v^n$ (n > 0 y $0 \le u$) Si a < 0, entonces $a < ^(2n)\sqrt u$ si y solo si $0 \le u$ $u \le v$ $^n\sqrt u \le ^n\sqrt v$ (n impar) $u^2^n \le a$ si y solo si $|u| \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \le a$ si y solo si $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $0 \le a \le u^2^n$ si y solo si $^2^n\sqrt a \le |u|$ $a \le u^2^n$ si y solo si $u \le -^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a \le u$ $a\le u^2^n\le b$ si y solo si $-^2^n\sqrt b\le u\le -^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a\le u\le ^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u \le v$ si y solo si $0 \le u \le v^2^n$ $^n\sqrt u \le v$ si y solo si $u \le v^n$ (n impar o $u\ge 0$) Si $0 \le a(^n\sqrt u)$, entonces $a(^n\sqrt u) \le v$ si y solo si $a^nu \le v^n$ Si $0 \le u$, entonces $u \le ^n\sqrt v$ si y solo si $u^n \le v$ $u \le v$ si y solo si $u^n \le v^n$ (n impar, $n \ge 0$) $u \le v$ si y solo si $u^n \le v^n$ (n > 0 y $0 \le u$) Si $a \le 0$, entonces $a \le ^2^n\sqrt u$ si y solo si $0 \le u$ Eliminación de factores estrictamente positivos Si $u \ge 0$, entonces $0 \le u/v$ si y solo si $0 \le v$ Cambio de $0 < u/\sqrt v$ por 0 < uv 0 < u/v si y solo si 0 < uv Cambio de $u/\sqrt v < 0$ por uv < 0 u/v < 0 si y solo si uv < 0 $ax \pm b < 0$ si y solo si $a(x\pm b/a) < 0$ Cambio de u < v to v > u Si a<b, entonces (x-a)(x-b) < 0 si y solo si a<x<b Si a<b, entonces 0 < (x-a)(x-b) si y solo si x<a o b<x $0 \le u/\sqrt v$ si y solo si $0 \le uv$ $0 \le u/v$ si y solo si 0 < uv o u = 0 $u/\sqrt v \le 0$ si y solo si $uv \le 0$ $u/v \le 0$ si y solo si uv < 0 o u = 0 $ax \pm b \le 0$ si y solo si $a(x\pm b/a) \le 0$ Cambio de $u \le v$ por $v \ge u$ Si $a\le b$, entonces $(x-a)(x-b) \le 0$ si y solo si $a\le x\le b$ Si $a\le b$, entonces $0\le (x-a)(x-b)$ si y solo si $x\le a$ o $b\le x$ $a > u^2$ si y solo si $\sqrt a > |u|$ $a > u^2$ si y solo si $-\sqrt a < u < \sqrt a$ Si $a\ge 0$, entonces $v^2 > a$ si y solo si $|v| > \sqrt a$ $u^2 > a$ si y solo si $u < -\sqrt a$ o $u > \sqrt a$ $v > \sqrt u$ si y solo si $0 \le u < v^2$ Si $0\le a$, entonces $v>a\sqrt u$ si y solo si $0\le a^2u<v^2$ Si $0\le a$, entonces $\sqrt v > a$ si y solo si $v > a^2$ Si $u\ge 0$, entonces v > u si y solo si $\sqrt v > \sqrt u$ $x^2 > a$ es cierto si $a < 0$ $a > x^2$ es falso si $a <= 0$ Si $a < 0$, entonces $\sqrt u > a$ si y solo si $u \ge 0$ $a \ge u^2$ si y solo si $6\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2$ si y solo si $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ Si $0\le a$, entonces $v^2 \ge a$ si y solo si $|v| \ge \sqrt a$ $u^2 \ge a$ si y solo si $u \le -\sqrt a$ o $\sqrt a \le u$ $v \ge \sqrt u$ si y solo si $60 \le u \le v^2$ Si $0\le a$, entonces $v \ge a\sqrt u$ si y solo si $0\le a^2u\le v^2$ Si $0\le a$, entonces $\sqrt v \ge a$ si y solo si $v \ge a^2$ Si $u\ge 0$, entonces $v \ge u$ si y solo si $\sqrt v \ge \sqrt u$ $x^2 \ge a$ es cierto si $a \le 0$ $a \ge x^2$ es falso si a < 0 Si $a\le 0$, entonces $\sqrt u \ge a$ si y solo si $u \ge 0$ $u > v$ si y solo si $^n\sqrt u > ^n\sqrt v$ (n impar) $a > u^2^n$ si y solo si $^2^n\sqrt a > |u|$ $a > u^2^n$ si y solo si $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ Si $a\ge 0$, entonces $u^2^n > a$ si y solo si $|u| > ^2^n\sqrt a$ $u^2^n > a$ si y solo si $u < -^2^n\sqrt a$ o $u > ^2^n\sqrt a$ $v > ^2^n\sqrt u$ si y solo si $0 \le u < v^2^n$ $v > ^n\sqrt u$ si y solo si $v^n> u$ (n impar o $u\ge 0$) Si $0 \le a(^n\sqrt u)$, entonces $v > a(^n\sqrt u)$ si y solo si $v^n > a^nu$ Si $a\ge 0$, entonces $^n\sqrt v > a$ si y solo si $v > a^n$ u > v si y solo si $u^n > v^n$ (n impar, n>0) u > v si y solo si $u^n > v^n$ (n > 0 y $0 \le u$) Si $a<0$, entonces $^2^n\sqrt u > a$ si y solo si $u \ge 0$ $u \ge v$ si y solo si $^n\sqrt u \ge ^n\sqrt v$ (n impar) $a \ge u^2^n$ si y solo si $^2^n\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2^n$ si y solo si $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \ge a$ si y solo si $|u| \ge ^2^n\sqrt a$, si $a\ge 0$ $u^2^n \ge a$ si y solo si $u \le -^2^n\sqrt a$ o $u \ge ^2^n\sqrt a$ $v \ge ^2^n\sqrt u$ si y solo si $0 \le u \le v^2^n$ $v \ge ^n\sqrt u$ si y solo si $v^n \ge u$ (n impar o $u\ge 0$) $v \ge a(^n\sqrt u)$ si y solo si $v^n \ge a^nu$, si $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v \ge a$ si y solo si $a^n \le v$, si $a \ge 0$ $u \ge v$ si y solo si $u^n \ge v^n$ (n impar, $n \ge 0$) $u \ge v$ si y solo si $u^n \ge v^n$ (n > 0 y $0 \le u$) $^2^n\sqrt u \ge a$ si y solo si $u \ge 0$, si $a \le 0$ Si u > 0, entonces u/v > 0 si y solo si v > 0 Cambio de $u/\sqrt v > 0$ en uv > 0 u/v > 0 si y solo si uv > 0 Cambio de $0 > u/\sqrt v$ en 0 > uv 0 > u/v si y solo si 0 > uv $0 > ax \pm b$ si y solo si $0 > a(x\pm b/a)$ 0 > (x-a)(x-b) si y solo si a<x<b (siendo a<b) (x-a)(x-b) > 0 si y solo si x<a o x>b (siendo a<b) Si $u \ge 0$, entonces $u/v \ge 0$ si y solo si $v \ge 0$ $u/\sqrt v \ge 0$ si y solo si $uv \ge 0$ $u/v \ge 0$ si y solo si uv > 0 o u = 0 $0 \ge u/\sqrt v$ si y solo si $0 \ge uv$ $0 \ge u/v$ si y solo si 0 > uv o u = 0 $0 \ge ax \pm b$ si y solo si $0 \ge a(x\pm b/a)$ Si $a\le b$, entonces $0 \ge (x-a)(x-b)$ si y solo si $a\le x\le b$ Si $a\le b$, entonces $(x-a)(x-b)\ge 0$ si y solo si $x\le a$ o $b\le x$ Fórmula del binomio (n k) $$binomial(n,k) = factorial(n)/ factorial(k) * factorial(n-k)$$ n! = n(n-1)(n-2)...1 Cálculo del factorial Cálculo del coeficiente binomial Desarrollo del término bajo la $\sum $ Evaluación de la $\sum $ calculada como racional n! = n (n-1)! n!/n = (n-1)! n!/(n-1)! = n n!/k! = n(n-1)...(n-k+1) n/n! = 1/(n-1)! (n-1)!/n! = 1/n k!/n! =1/(n(n-1)...(n-k+1)) a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3 a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3 a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = (a+b)^4 a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 = (a-b)^4 a^n+na^(n-1)b+...b^n = (a+b)^n a^n-na^(n-1)b+...b^n = (a-b)^n $\sum $ 1 = número de términos $\sum $ -u = -$\sum $ u $\sum $ cu = c$\sum $ u (c constante) $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$ Desarrollo de $\sum $ empleando la notación + 1+2+..+n = n(n+1)/2 $1^2+..+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ $1+x+..+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)$ Extracción de los primeros términos Evaluación de la $\sum $ con un parámetro, en formato racional. Evaluación de la $\sum $ con un parámetro, en formato decimal. Cálculo numérico de la $\sum $ en formato racional. Cálculo numérico de la $\sum $ en formato decimal. Expresión de la sumatoria de términos como un polinomio Sumatoria telescópica Desplazamiento de límites de indexación de la sumatoria Cambio de nombre de la variable de indexación $(\sum u)(\sum v) = \sum \sum uv$ Extracción del último término $1^3+..+n^3 = n^2(n+1)^2/4$ $1^4+..+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+2n-1)/30$ $d/dx \sum u = \sum du/dx$ $\sum du/dx = d/dx \sum u$ $\int \sum u dx = \sum \int u dx$ $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ $c\sum u = \sum cu$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,0,b)-sum(t,i,0,a-1)$$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,c,b)-sum(t,i,c,a-1)$$ Selección de la variable de inducción Inicio de la demostración de la propiedad del caso base, para el primer valor Comienzo del paso de inducción Aplicación de la hipótesis de inducción Lo que se tenía que probar $|sin u| \le 1$ $|cos u| \le 1$ $sin u \le u$ si $u\ge 0$ $1 - u^2/2 \le cos u$ $|arctan u| \le \pi /2$ $arctan u \le u$ si $u\ge 0$ $u \le tan u$ si $0\le u\le \pi /2$ Extracción de la función logaritmo natural de ambos miembros Extracción del logaritmo de ambos miembros u < ln v si y solo si e^u < v ln u < v si y solo si u < e^v u < log v si y solo si 10^u < v log u < v si y solo si u < 10^v u < v si y solo si ?^u < ?^v $u \le ln v$ si y solo si $e^u \le v$ $ln u \le v$ si y solo si $u \le e^v$ $u \le log v$ si y solo si $10^u \le v$ $log u \le v$ si y solo si $u \le 10^v$ $u ? v$ si y solo si $?^u \le ?^v$ ln u > v si y solo si si u > e^v u > ln v si y solo si si e^u > v log u > v si y solo si si u > 10^v u > log v si y solo si si 10^u > v u > v si y solo si si ?^u > ?^v $ln u \ge v$ si y solo si $u \ge e^v$ $u \ge ln v$ si y solo si $e^u \ge v$ $log u \ge v$ si y solo si $u \ge 10^v$ $u \ge log v$ si y solo si $10^u \ge v$ $u \ge v$ si y solo si $?^u \ge ?^v$ Exponenciales dominantes de los polinomios Funciones algebraicas dominantes de los logaritmos $10^(log a) = a$ $log 10^n = n$ ($n$ real) log 1 = 0 log 10 = 1 $log a = (ln a)/(ln 10)$ u^v = 10^(v log u) Factorización completa del número Factorización de potencias de 10 10^(n log a) = a^n log(a/b) = -log(b/a) log(b,a/c) = -log(b,c/a) $log a^n = n log a$ $log ab = log a + log b$ $log 1/a = -log a$ $log a/b = log a - log b$ $log a + log b = log ab$ $log a - log b = log a/b$ $log a + log b - log c =log ab/c$ $n log a = log a^n (n real)$ $log \sqrt a = \onehalf log a$ $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$ Factorización de potencias de base $log u = (1/?) log u^?$ Evaluación numérica del logaritmo e^(ln a) = a ln e = 1 ln 1 = 0 ln e^n = n (n real) u^v = e^(v ln u) e^((ln c) a) = c^a ln a^n = n ln a $ln ab = ln a + ln b$ ln 1/a = -ln a $ln a/b = ln a - ln b$ $ln a + ln b = ln ab$ $ln a - ln b = ln a/b$ $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$ $n ln a = ln a^n (n real)$ $ln \sqrt a = \onehalf ln a$ $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$ ln u = (1/?) ln u^? Cálculo numérico del logaritmo ln(a/b) = -ln(b/a) sin u cos v + cos u sin v = sin(u+v) sin u cos v - cos u sin v = sin(u-v) cos u cos v - sin u sin v = cos(u+v) cos u cos v + sin u sin v = cos(u-v) (sin u)/(1+cos u) = tan(u/2) (1-cos u)/sin u = tan(u/2) (1+cos u)/(sin u) = cot(u/2) sin u/(1-cos u) = cot(u/2) (tan u+tan v)/(1-tan u tan v) = tan(u+v) (tan u-tan v)/(1+tan u tan v) = tan(u-v) (cot u cot v-1)/(cot u+cot v) = cot(u+v) (1+cot u cot v)/(cot v-cot u) = cot(u-v) 1-cos u = 2 sin^2(u/2) Formato polar $r e^(i\theta ) = r (cos \theta + i sin \theta )$ $|e^(i\theta )| = 1$ $|Re^(i\theta )|=R$ si $R\ge 0$ $|Re^(i\theta )| = |R|$ $-a = ae^(\pi i)$ $^n\sqrt (-a) = e^(\pi i/n) ^n\sqrt a si a\ge 0$ a/(ce^(ti)) = ae^(-ti)/c Teorema de De Moivre Sustitución de enteros específicos b^(log(b,a)) = a b^(n log(b,a)) = a^n log(b,b) = 1 log(b,b^n) = n log xy = log x + log y log (1/x) = -log x log x/y = log x-log y log(b,1) = 0 Factorización de la base del logaritmo: log(4,x)=log(2^2,x) log(b^n,x) = (1/n) log (b,x) log x^n = n log x Factorización de potencias de la base del logaritmo log x + log y = log xy log x - log y = log x/y log x + log y - log z =log xy/z n log x = log x^n (n real) log(b,x) = ln x / ln b log(b,x) = log x / log b log(b,x) = log(a,x) / log(a,b) log(10,x) = log x log(e,x) = ln x log x = ln x / ln 10 ln x = log x / log e u^v = b^(v log(b,u)) sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 $sin k\pi = 0$ $cos 2k\pi = 1$ $tan k\pi = 0$ Determinación en grados del ángulo de $[0, 360[$ igual en módulo $360\deg $ Determinación en grados del ángulo de $[0, 2\pi [$ igual en módulo $2\pi $ Ángulo múltiplo de $90\deg $ Empleo de un semi-triángulo equilátero de lados de longitudes 1-2-$\sqrt 3$ Empleo de un triángulo rectángulo isósceles de lados de longitudes 1-1-$\sqrt 2$ Conversión de radianes a grados Conversión de grados a radianes Ángulo = $a 30\deg + b 45\deg $ etc. Análisis Numérico tan u = sin u / cos u cot u = 1 / tan u cot u = cos u / sin u sec u = 1 / cos u csc u = 1 / sin u sin u / cos u = tan u cos u / sin u = cot u 1 / sin u = csc u 1 / cos u = sec u 1 / tan u = cot u 1 / tan u = cos u / sin u 1 / cot u = tan u 1 / cot u = sin u / cos u 1 / sec u = cos u 1 / csc u = sin u sin u = 1 / csc u cos u = 1 / sec u tan u = 1 / cot u $sin^2 u + cos^2 u = 1$ $1 - sin^2 u = cos^2 u$ $1 - cos^2 u = sin^2 u$ $sin^2 u = 1 - cos^2 u$ $cos^2 u = 1 - sin^2 u$ $sec^2 u - tan^2 u = 1$ $tan^2 u + 1 = sec^2 u$ $sec^2 u - 1 = tan^2 u$ $sec^2 u = tan^2 u + 1$ $tan^2 u = sec^2 u - 1$ $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ (1-cos t)^n(1+cos t)^n = sin^(2n) t (1-sin t)^n(1+sin t)^n = cos^(2n) t $csc^2 u - cot^2 u = 1$ $cot^2 u + 1 = csc^2 u$ $csc^2 u - 1 = cot^2 u$ $csc^2 u = cot^2 u + 1$ $cot^2 u = csc^2 u - 1$ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ sin(u+v)= sin u cos v + cos u sin v sin(u-v)= sin u cos v - cos u sin v cos(u+v)= cos u cos v - sin u sin v cos(u-v)= cos u cos v + sin u sin v tan(u+v)=(tan u+tan v)/(1-tan u tan v) tan(u-v)=(tan u-tan v)/(1+tan u tan v) cot(u+v)=(cot u cot v-1)/(cot u+cot v) cot(u-v)=(1+cot u cot v)/(cot v-cot u) $sin 2\theta = 2 sin \theta cos \theta $ $cos 2\theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 1 - 2 sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 2 cos^2 \theta - 1$ $cos 2\theta + 1 = 2cos^2 \theta $ $cos 2\theta - 1 = - 2 sin^2 \theta $ $tan 2\theta = 2 tan \theta /(1 - tan^2 \theta )$ $cot 2\theta = (cot^2 \theta -1) / (2 cot \theta )$ $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ $cos^2 \theta - sin^2 \theta = cos 2\theta $ $1 - 2 sin^2 \theta = cos 2\theta $ $2 cos^2 \theta - 1 = cos 2\theta $ $n\theta = (n-1)\theta + \theta $ $n\theta = ?\theta +(n-?)\theta $ $sin 3\theta = 3 sin \theta - 4 sin^3 \theta $ $cos 3\theta = -3 cos \theta + 4 cos^3 \theta $ Desarrollo de $sin n\theta $ en $sin \theta $, $cos \theta $ Desarrollo de $cos n\theta $ en $sin \theta $, $cos \theta $ Intercambio de miembros Pasar ? de izquierda a derecha Pasar ? de derecha a izquierda Resta de ? en ambos miembros Eliminación de un término de ambos miembros Potencia a la que se elevan ambos miembros Extracción de la raíz de ambos miembros Aplicación de la función a ambos miembros Verificación numérica Sustitución vía un cambio de variable de la forma u = ? $sin(u)=1/2$ si y solo si $u=\pi /6$ o $5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=-1/2$ si y solo si $u=-\pi /6$ o $-5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=\sqrt 3/2$ si y solo si $u=\pi /3$ o $2\pi /3+2n\pi $ $sin(u)=-\sqrt 3/2$ si y solo si $4u=-\pi /3$ o $-2\pi /3+2n\pi $ $cos(u)=\sqrt 3/2$ si y solo si $u=\pm \pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=-\sqrt 3/2$ si y solo si $u=\pm 5\pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=1/2$ si y solo si $u=\pm \pi /3+2n\pi $ $cos(u)=-1/2$ si y solo si $u=\pm 2\pi /3+2n\pi $ $tan(u)=1/\sqrt 3$ si y solo si $u= \pi /6 + n\pi $ $tan(u)=-1/\sqrt 3$ si y solo si $u= -\pi /6 + n\pi $ $tan(u)=\sqrt 3$ si y solo si $u= \pi /3 + n\pi $ $tan(u)=-\sqrt 3$ si y solo si $u= 2\pi /3 + n\pi $ $sin u = 1/\sqrt 2$ si $u=\pi /4$ o $3\pi /4 + 2n\pi $ $sin u=-1/\sqrt 2$ si $u=5\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $2 $cos u = 1/\sqrt 2$ si $u=\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $ $cos u=-1/\sqrt 2$ si $u=3\pi /4$ o $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = 1 si $u= \pi /4$ o $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = -1 si $u=3\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $ sin u = 0 si y solo si $u = n\pi $ sin u = 1 si y solo si $u = \pi /2+2n\pi $ sin u = -1 si y solo si $u = 3\pi /2+2n\pi $ cos u = 0 si y solo si $u = (2n+1)\pi /2$ cos u = 1 si y solo si $u = 2n\pi $ cos u = -1 si y solo si $u = (2n+1)\pi $ tan u = 0 si y solo si sin u = 0 cot u = 0 si y solo si cos u = 0 sin u=c si $u= (-1)^narcsin c+n\pi $ sin u=c si $u=arcsin(c)+2n\pi $ o $2n\pi +\pi -arcsin(c)$ cos u=c si $u=\pm arccos c+2n\pi $ tan u=c si $u=arctan c+n\pi $ Cálculo de arcsin en forma exacta Cálculo de arccos en forma exacta Cálculo de arctan en forma exacta arccot x = arctan (1/x) arcsec x = arccos (1/x) arccsc x = arcsin (1/x) arcsin(-x) = -arcsin x $arccos(-x) = \pi -arccos x$ arctan(-x) = -arctan x Expresión de las soluciones en forma periódica Si |c|>1, no existe u tal que sin u = c Si |c|>1, no existe u tal que cos u = c $tan(arcsin x) = x/\sqrt (1-x^2)$ $tan(arccos x) = \sqrt (1-x^2)/x$ tan(arctan x) = x sin(arcsin x) = x $sin(arccos x) = \sqrt (1-x^2)$ $sin(arctan x) = x/\sqrt (x^2+1)$ $cos(arcsin x) = \sqrt (1-x^2)$ cos(arccos x) = x $cos(arctan x) = 1/\sqrt (x^2+1)$ $sec(arcsin x) = 1/\sqrt (1-x^2)$ $sec(arccos x) = 1/x$ $sec(arctan x) = \sqrt (x^2+1)$ $arctan(tan \theta ) = \theta $6 si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta ) = \theta $ si $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta ) = \theta $ si $0\le \theta \le \pi $ arctan(tan x) = x + c1 arcsin x + arccos x = $\pi /2$ $arctan x + arctan 1/x = \pi x/2|x|$ $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $ $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $ $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $ $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $ $sin \theta = cos(\pi /2-\theta )$ $cos \theta = sin(\pi /2-\theta )$ $tan \theta = cot(\pi /2-\theta )$ $cot \theta = tan(\pi /2-\theta )$ $sec \theta = csc(\pi /2-\theta )$ $csc \theta = sec(\pi /2-\theta )$ $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $ $cos(90\deg -\theta ) = sin \theta $ $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $ $cot(90\deg -\theta ) = tan \theta $ $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $ $csc(90\deg -\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(90\deg -\theta )$ $cos \theta = sin(90\deg -\theta )$ $tan \theta = cot(90\deg -\theta )$ $cot \theta = tan(90\deg -\theta )$ $sec \theta = csc(90\deg -\theta )$ $csc \theta = sec(90\deg -\theta )$ $a\deg + b\deg = (a+b)\deg $ $ca\deg = (ca)\deg $ $a\deg /c = (a/c)\deg $ sin(-u) = - sin u cos(-u) = cos u tan(-u) = - tan u cot(-u) = - cot u sec(-u) = sec u csc(-u) = - csc u $sin^2(-u) = sin^2 u$ $cos^2(-u) = cos^2 u$ $tan^2(-u) = tan^2 u$ $cot^2(-u) = cot^2 u$ $sec^2(-u) = sec^2 u$ $csc^2(-u) = csc^2 u$ $sin(u+2\pi ) = sin u$ $cos(u+2\pi ) = cos u$ $tan(u+\pi ) = tan u$ $sec(u+2\pi ) = sec u$ $csc(u+2\pi ) = csc u$ $cot(u+\pi ) = cot u$ $sin^2(u+\pi ) = sin^2 u$ $cos^2(u+\pi ) = cos^2 u$ $sec^2(u+\pi ) = sec^2 u$ $csc^2(u+\pi ) = csc^2 u$ $sin u = -sin(u-\pi )$ $sin u = sin(\pi -u)$ $cos u = -cos(u-\pi )$ $cos u = -cos(\pi -u)$ $sin^2(\theta /2) = (1-cos \theta )/2$ $cos^2(\theta /2) = (1+cos \theta )/2$ $sin^2(\theta ) = (1-cos 2\theta )/2$ $cos^2(\theta ) = (1+cos 2\theta )/2$ $tan(\theta /2) = (sin \theta )/(1+cos \theta )$ $tan(\theta /2) = (1-cos \theta )/sin \theta $ $cot(\theta /2) = (1+cos \theta )/(sin \theta )$ $cot(\theta /2) = sin \theta /(1-cos \theta )$ $sin(\theta /2) = \sqrt ((1-cos \theta )/2) si sin(\theta /2)\ge 0$ $sin(\theta /2) = -\sqrt ((1-cos \theta )/2) si sin(\theta /2)\le 0$ $cos(\theta /2) = \sqrt ((1+cos \theta )/2) si cos(\theta /2)\ge 0$ $cos(\theta /2) = -\sqrt ((1+cos \theta )/2) si cos(\theta /2)\le 0$ $\theta = 2(\theta /2)$ $sin x cos x = \onehalf sin 2x$ $sin x cos y = \onehalf [sin(x+y)+sin(x-y)]$ $cos x sin y = \onehalf [sin(x+y)-sin(x-y)]$ $sin x sin y = \onehalf [cos(x-y)-cos(x+y)]$ $cos x cos y = \onehalf [cos(x+y)+cos(x-y)]$ $sin x + sin y = 2 sin \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $sin x - sin y = 2 sin \onehalf (x-y) cos \onehalf (x+y)$ $cos x + cos y = 2 cos \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $cos x - cos y = -2 sin \onehalf (x+y) sin \onehalf (x-y)$ Sustitución de u,v por expresiones en forma trigonométrica Experimentación numérica $lim u\pm v = lim u \pm lim v$ $lim u-v = lim u - lim v$ lim(ta,c) = c (c constante) lim(ta,t) = a lim cu=c lim u (c constante) lim -u = -lim u lim uv = lim u lim v $lim u^n = (lim u)^n$ lim c^v=c^(lim v) (c constante > 0) lim u^v=(lim u)^(lim v) $lim \sqrt u=\sqrt (lim u)$ si lim u>0 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ si n es impar $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ si lim u > 0 lim(ta,f(t))=f(a) (polinomial f) lim |u| = |lim u| lim cu/v = c lim u/v (c constante) lim c/v = c/lim v (c constante) lim u/v = lim u/lim v Factorización de (x-a)^n en el estudio del límite cuando x tiende a a Límite de una función racional Racionalización de la fracción Extracción de los límites finitos no nulos Factorización de una constante Multiplicación de numerador y denominador por ? División de numerador y denominador por ? lim u/v = lim (u/?) / lim (v/?) (ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ si b>0 $\sqrt a/b = -\sqrt (a/b^2)$ si b<0 $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (b>0 o n impar) $^n\sqrt a/b = -^n\sqrt (a/b^n)$ (b<0, n par) $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ si $a\ge 0$ $a/\sqrt b = -\sqrt (a^2/b)$ si $a\le 0$ $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\ge 0$ o n impar) $a/^n\sqrt b = -^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\le 0$, n par) Regla de L'Hospital Cálculo directo de la derivada en un paso lim u ln v = lim (ln v)/(1/u) $lim u (ln v)^n = lim (ln v)^n/(1/u)$ $lim x^(-n) u = lim u/x^n$ lim u e^x = lim u/e^(-x) Pasar la función trigonométrica al denominador lim ?v = lim v/(1/?) (sin t)/t 1 como t0 (tan t)/t 1 como t0 (1-cos t)/t 0 como t0 $(1-cos t)/t^2\onehalf $ como t0 lim(t0,(1+t)^(1/t)) = e $(ln(1\pm t))/t \pm 1$ como t0 (e^t-1)/t 1 como t0 (e^(-t)-1)/t -1 como t0 $lim(t0,t^nln |t|)=0 (n > 0)$ lim(t0,cos(1/t))= no definido lim(t0,sin(1/t))= no definido lim(t0,tan(1/t))= no definido lim(t$\pm \infty $,cos t)= no definido lim(t$\pm \infty $,sin t)= no definido lim(t$\pm \infty $,tan t)= no definido (sinh t)/t 1 como t0 (tanh t)/t 1 como t0 (cosh t - 1)/t 0 como t0 (cosh t - 1)/t^21/2 como t0 lim ln u=ln lim u (si lim u > 0) lim f(u)=f(lim u), f continua Cambio de variable en el límite Cálculo directo del límite en un paso lim u^v = lim e^(v ln u) Tal dominio no permite la existencia del límite lim u = e^(lim ln u) Teorema del término finito: uv0 si v0 & $|u|\le c$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/(\sqrt u+v)$ lim u/v = límite de los términos más significativos Término más significativo: lim(u+a)=lim(u) si a/u0 Sustitución de la suma por los términos más significativos f(no definido) = no definido lim(e^u) = e^(lim u) lim(ln u) = ln(lim u) $lim(t0+,t ln t) = 0$ $lim(t0+,t^n ln t) = 0 si n\ge 1$ $lim(t0+,t (ln t)^n) = 0 si n\ge 1$ $lim(t0+,t^k (ln t)^n) = 0 si k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t) = 0$ $lim(t\infty ,ln(t)^n/t) = 0 si n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t^n) = 0 si n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)^k/t^n) = 0 si k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,t/ln(t)) = \infty $ $lim(t\infty ,t/ln(t)^n) = \infty si n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)) = \infty si n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)^k) = \infty si k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,1/t^n) = 0 si n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n) = \infty si n\ge 1$ $lim(t\infty ,e^t) = \infty $ $lim(t-\infty ,e^t) = 0$ $lim(t\infty ,ln t) = \infty $ $lim(t\infty ,\sqrt t) = \infty $ $lim(t\infty ,^n\sqrt t) = \infty $ $lim(t\pm \infty ,arctan t) = \pm \pi /2$ $lim(t\infty ,arccot t) = 0$ $lim(t-\infty ,arccot t) = \pi $ $lim(t\pm \infty ,tanh t) = \pm 1$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ lim sin u = sin(lim u) lim cos u = cos(lim u) Trasformación de un límite en $\infty $ en un límite en 0 $lim(1/u^2^n) = \infty $ si u0 lim(1/u^n) indefinido si u0, n impar lim(ta+,1/u^n) = $\infty $ si u0 lim(ta-,1/u^n)=-$\infty $, u0, n impar lim u/v indefinido si lim v =0, lim u #0 lim(t0+,ln t) = -$\infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,tan t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,cot t) = \pm \infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,sec t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,csc t) = \pm \infty $ lim(uv) = lim(u/?) lim(?v) lim(uv) = lim(?u) lim(v/?) $\pm \infty $/positivo = $\pm \infty $ no nulo/$\pm \infty $ = 0 positivo $\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty $ + número finito = $\pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $ si u > 1 $u^\infty = 0$ si 0 < u < 1 $u^(-\infty ) = 0$ si u > 1 $u^(-\infty ) = \infty $ si 0 < u < 1 $\infty ^n = \infty $ si n > 0 $\infty - \infty =$ indefinido $a/0+ = \infty $ si $a>0$ $a/0- = -\infty $ si $a>0$ a/0 = indefinido $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0$ = no definido $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty $ si $a > 0$ $a/0^2 = -\infty $ si $a < 0$ $a/0^2^n = \infty $ si $a > 0$ $a/0^2^n = -\infty $ si $a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ Límite trigonométrico en $\infty $ no definido $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ Si c es una constante, dc/dx=0 dx/dx = 1 $d/dx (u \pm v) = du/dx \pm dv/dx$ d/dx (-u) = -du/dx d/dx(cu)=c du/dx (c no dependiente de x) d/dx x^n = n x^(n-1) Derivación de polinomio f'(x) = d/dx f(x) $$diff(f,x) = lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)$$ d/dx (cu) = c du/dx (c independiente de x) d/dx (u/c)=(1/c)du/dx (c independiente de x) d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) d/dx (1/v) = -(dv/dx)/v^2 d/dx (u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/v^2 $d/dx \sqrt x = 1/(2\sqrt x)$ $d/dx ^n\sqrt x = d/dx x^(1/n)$ $d/dx (c/x^n) = -nc/x^(n+1)$ d/dx |x| = x/|x| d/dx sin x = cos x d/dx cos x = - sin x d/dx tan x = sec^2 x d/dx sec x = sec x tan x d/dx cot x = - csc^2 x d/dx csc x = - csc x cot x d/dx e^x = e^x d/dx c^x = (ln c) c^x, c constante d/dx u^v= (d/dx) e^(v ln u) d/dx ln x = 1/x d/dx ln |x| = 1/x dy/dx = y (d/dx) ln y d/dx e^u = e^u du/dx d/dx c^u=(ln c)c^u du/dx, c constante d/dx ln u = (1/u)(du/dx) d/dx ln |u| = (1/u) du/dx d/dx ln(cos x) = -tan x d/dx ln(sin x) = cot x $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ d/dx u^n = nu^(n-1) du/dx $d/dx \sqrt u = (du/dx)/(2\sqrt u)$ d/dx sin u = (cos u) du/dx d/dx cos u = -(sin u) du/dx $d/dx tan u = (sec^2 u) du/dx$ d/dx sec u=(sec u tan u) du/dx $d/dx cot u = -(csc^2 u) du/dx$ d/dx csc u=-(csc u cot u) du/dx d/dx |u| = (u du/dx)/|u| d/dx f(u) = f'(u) du/dx Cambio de variable en una sustitución de la forma $u = ?$ Estudio de los puntos de anulación de la derivada, en que f'(x)=0 Estudio de los extremos del intervalo de estudio Estudio de puntos de no diferenciación, en que f'(x) no está definida Determinación de límites de la función en los extremos abiertos del intervalo Rechazo de los puntos fuera del intervalo de estudio Cuadro en que se relacione el valor decimal aproximado de la función para cada punto propuesto Cuadro en que se relacione el valor exacto de la función para cada punto propuesto Selección del límite superior Selección del límite inferior Evaluación directa de la derivada calculada en un solo paso Resolución de una ecuación simple Determinación del límite en un solo paso Eliminación de los parámetros enteros La función es constante Cálculo de la derivada Diferenciación de la ecuación Cálculo de la derivada en un paso Eliminación de la derivada por sustitución, aplicando un cambio de variable Simplificación de sumas y productos Eliminación de fracciones compuestas Determinación del denominador común y simplificación Factorización del término común Factorización del la expresión (no entera) Desarrollo de productos y simplificación Determinación del factor común en u/v Expresar como poliomio (en ?) Desarrollo como polinomio Establecer el coeficiente principal como 1 $x^(1/2) = \sqrt x$ Conversión de potencias de exponentes racionales en raíces Conversión de raíces en potencias de exponentes racionales u=v => du/dx = dv/dx $d^2u/dx^2 = (d/dx)(du/dx)$ $d^nu/dx^n= d/dx d^(n-1)u/dx^(n-1)$ $d/dx du/dx = d^2u/dx^2$ $d/dx d^nu/dx^n = d^(n+1)/dx^(n+1)$ Cálculo de la derivada directamente, en un paso Evaluación numérica, calculada en un punto $\int 1 dt = t$ $\int c dt = ct$ (c constante) $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt$ (c constante) $\int (-u)dt = -\int u dt$ $\int u+v dt = \int u dt + \int v dt$ $\int u-v dt = \int u dt - \int v dt$ $\int au\pm bv dt = a\int u dt \pm b\int v dt$ $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n # -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n # 0)$ Integración de polinomios hacia sus primitivas $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Desarrollo de productos del integrando Desarrollo de $(a+b)^n$ en el integrando $\int |t| dt = t|t|/2$ $\int sin t dt = -cos t$ $\int cos t dt = sin t$ $\int tan t dt = -ln |cos t|$ $\int cot t dt = ln |sin t|$ $\int sec t dt = ln |sec t + tan t|$ $\int csc t dt = ln |csc t - cot t|$ $\int sec^2 t dt = tan t$ $\int csc^2 t dt = -cot t$ $\int tan^2 t dt = tan t - t$ $\int cot^2 t dt = -cot t - t$ $\int sec t tan t dt = sec t$ $\int csc t cot t dt = -csc t$ $\int sin ct dt = -(1/c) cos ct$ $\int cos ct dt = (1/c) sin ct$ $\int tan ct dt = -(1/c) ln |cos ct|$ $\int cot ct dt = (1/c) ln |sin ct|$ $\int sec ct dt = (1/c) ln |sec ct + tan ct|$ $\int csc ct dt = (1/c) ln |csc ct - cot ct|$ $\int sec^2 ct dt = (1/c) tan ct$ $\int csc^2 ct dt = -(1/c) cot ct$ $\int tan^2 ct dt = (1/c) tan ct - t$ $\int cot^2 ct dt = -(1/c) cot ct - t$ $\int sec ct tan ct dt = (1/c) sec ct$ $\int csc ct cot ct dt = -(1/c) csc ct$ $\int e^t dt = e^t$ $\int e^ct dt =(1/c) e^(ct)$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-ct)dt = -(1/c) e^(-ct)$ $\int e^(t/c)dt = c e^(t/c)$ $\int c^t dt = (1/ln c) c^t$ $\int u^v dt = \int (e^(v ln u) dt$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral(e^(-t^2),t) = sqrt(pi)/2 Erf(t)$$ Selección de la sustitución u = ? Elección a cargo de MathXpert, de la función u para una sustitución por cambio de variable Cálculo directo de la derivada, en un paso Visualización de la integral, recuperada Integrando = $f(u) \times du/dx$ $\int f(u) (du/dx) dx = \int f(u) du$ Eliminación de una variable que ya hubiera sido definida Integración por cambio de variable (u = ?) Integración por cambio de variable $\int u dv = uv - \int v du (u = ?)$ $\int u dv = uv - \int v du$ La línea actual, de aquí en adelante si considerará como la original. integral original a izquierda Cálculo de la integral simple $$integral(f'(x),x,a,b)=f(b)-f(a)$$ $$diff(integral(f(t),t,a,x),x) = f(x)$$ $$eval(f(t),t,a,b) = f(b) - f(a)$$ $$eval(ln f(t),t,a,b) = ln(f(b)/f(a))$$ $$integral(u,t,a,b) = - integral(u,t,b,a)$$ $$integral(u,t,a,b) + integral(u,t,b,c) = integral(u,t,a,c)$$ $$integral(u,t,a,c) = integral(u,t,a,?) + integral(u,t,?,c)$$ Descomposición de la integral $\int |f(t)| dt$ según los ceros de f Evaluación de la integral por cálculo numérico con un parámetro. Evaluación de la integral por cálculo numérico $$integral(u,t,a,a) = 0$$ $$integral(u,x,a,infinity) = lim(t->infinity,integral(u,x,a,t))$$ $$integral(u,x,-infinity,b) = lim(t->-infinity,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->a+,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->b-,integral(u,x,a,t))$$ El límite del integrando no tiende a 0 en $\infty $ El límite del integrando no tiende a 0 en $-\infty $ $$integral(u,t,-a,a) = 0$$ (u impar) $$integral(u,t,-a,a) = 2 integral(u,t,0,a)$$ (u par) $x = a sin \theta {for \sqrt (a^2-x^2)}$ $x = a tan \theta {for \sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a sec \theta {for \sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a sinh \theta {for \sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a cosh \theta {for \sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a tanh \theta {for \sqrt (a^2-x^2)}$ Definición de la función inversa por sustitución, vía cambio de variable, x = ? Integración elemental directa, en un solo paso $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ en la integral $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ en la integral u=cos x tras haber aplicado $sin^2=1-cos^2$ u=sin x tras haber aplicado $cos^2=1-sin^2$ u=tan x tras haber aplicado $sec^2=1+tan^2$ u=cot x tras haber aplicado $csc^2=1+cot^2$ u=sec x tras haber aplicado $tan^2=sec^2-1$ u=csc x tras haber aplicado $cot^2=csc^2-1$ $tan^2 x = sec^2 x - 1$ en el integrando $2cot^2 x = csc^2 x - 1$ en el integrando Reducción de $\int sec^n x dx$ Reducción de $\int csc^n x dx$ u = tan(x/2) (Cambio de variable de Weierstrass) Multiplicación del numerador y del denominador por 1+cos x Multiplicación del numerador y del denominador por 1-cos x Multiplicación del numerador y del denominador por 1+sin x Multiplicación del numerador y del denominador por 1-sin x Multiplicación del numerador y del denominador por sin x+cos x Multiplicación del numerador y del denominador por cos x-sin x Factorización del denominador (de ser simple) Extracción del factor común en u/v Factorización sin cuadrados Factorización numérica del polinomio Descomposición en elementos simples o en fracciones parciales Operación para completar el cuadrado en formato canónico $\int 1/(ct\pm b) dt = (1/c) ln |ct\pm b|$ $\int 1/(ct\pm b)^(n+1) dt = -1/nc(ct\pm b)^n$ $\int 1/(t^2+a^2)dt=(1/a)arctan(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/a)arccoth(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/2a)ln|(t-a)/(t+a)|$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/a)arctanh(t/a)$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/2a)ln|(t+a)/(a-t)|$ $\int 1/\sqrt (a^2-t^2)dt = arcsin(t/a)$ $\int 1/\sqrt (t^2\pm a^2)dt)=ln|t+\sqrt (t^2\pm a^2)|$ $\int 1/(t\sqrt (t^2-a^2))dt=(1/a)arccos(t/a)$ Cambio de variable, dando lugar a una fracción racional $\int arcsin z dz = z arcsin z + \sqrt (1-z^2)$ $\int arccos z dz = z arccos z - \sqrt (1-z^2)$ $\int arctan z dz = z arctan z - (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccot z dz = z arccot z + (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ Denominador común y simplificación Factorización de la expresión (no completa) Factor común de los términos Factor común de u/v Evaluación de una derivada en un solo paso Evaluación de un límite en un solo paso Trasformación de la integral por sustitución, gracias a un cambio de variable Integración simple, en un solo paso Incorporación del número a la constante de la primitiva $\int sinh u du = cosh u$ $\int cosh u du = sinh u$ $\int tanh u du = ln cosh u$ $\int coth u du = ln sinh u$ $\int csch u du = ln tanh(u/2)$ $\int sech u du = arctan (sinh u)$ $$1/(1-x) = sum(x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...x^n...$ $$1/(1+x) = sum((-1)^n x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...(-1)^nx^n...$ $$sum(x^n,n,0,infinity)=1/(1-x)$$ $1+x+x^2+... = 1/(1-x)$ $1+x+x^2+...x^n...= 1/(1-x)$ $$sum((-1)^n x^n,n,0,infinity) = 1/(1+x)$$ $1-x+x^2+... = 1/(1+x)$ $1-x+x^2+...(-1)^nx^n... = 1/(1+x)$ $$x/(1-x) = sum(x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1-x) = x+x^2+x^3+...$ $x/(1-x) = x+x^2+...x^n...$ $$x/(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1+x) = x-x^2+x^3+...$ $x/(1+x) = x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...$ $$sum(x^n,n,1,infinity)=x/(1-x)$$ $x+x^2+x^3+...=x/(1-x)$ $x+x^2+...x^n...=x/(1-x)$ $$sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)=x/(1+x) $$ $x-x^2+x^3+...=x/(1+x) $ $x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...=x/(1+x) $ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1-x^k)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1+x^k)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,2)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1-x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1+x)$$ $$ln(1-x) = sum(x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1-x) = sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1-x) = sum(x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity) = ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1-x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1+x)$$ $$ sin x = sum( (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity)$$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+...$ $$cos x = sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity)$$ $cos x = 1-\onehalf x^2+x^4/4! + ...$ $cos x = 1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+...$ $$sum((-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity) = sin x$$ $x-x^3/3!+x^5/5!+... = sin x$ $x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+... = sin x$ $$sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity) = cos x$$ $1-\onehalf x^2+x^4/4! + ... = cos x$ $1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+... = cos x$ $$e^x = sum(x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^x = 1+x+x^2/2!+...$ $e^x = 1+x+...+x^n/n!...$ $$sum(x^n/n!,n,0,infinity)= e^x$$ $1+x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^x$ $1+x+...+x^n/n!... = e^x$ $$e^(-x) = sum((-x)^n x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^(-x) = 1-x+x^2/2!+...$ $e^(-x) = 1-x+...(-1)^nx^n/n!...$ $$sum((-1)^nx^n/n!,n,0,infinity)= e^(-x)$$ $1-x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^(-x)$ $1-x+...+(-1)^nx^n/n!... = e^(-x)$ $$arctan x = sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity)$$ $arctan x = x -x^3/3 + x^5/5 ...$ $arctan x = x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...$ $$sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity) = arctan x$$ $x -x^3/3 + x^5/5 ...=arctan x$ $x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...=arctan x$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)= (1+x)^alpha$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$sec x = sum( (-1)^n (eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-3)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-2)$$ $$sum((-1)^n/n,n,1,infinity) = ln 2$$ Expresión de la serie como $a_0 + a_1 + ...$ Expresión de la serie como $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ Expresión de la serie usando ... y el término general Expresión de la serie usando la notación sigma Inclusión de otro término antes de ... Inclusión de ? términos suplementarios antes de ... Inclusión de los términos tras el cálculo de los factoriales Sin evaluación de factoriales en los términos Expresión de los coeficientes en formato decimal Expresión no decimal de los coeficientes Serie telescópica Multiplicación de serie Multiplicación de serie de potencias División de serie de potencias por un polinomio División de polinomio por una serie de potencias División de la serie de potencias Cuadrado de una serie Cuadrado de una serie de potencias Expresión de $(\sum a_k x^k)^n$ como una serie Suma de series Resta de series Reducción del límite inferior despejando términos Suma de ? a la variable índice Resta de ? de la variable índice Cambio de nombre de la variable índice Diferenciación de la serie de potencias, término por término Integración de la serie de potencias, término por término Cálculo de la suma de los primeros términos $$u = integral(diff(u,x),x)$$ $$u = integral(diff(u,t),t,0,x) + u0$$ $$u = diff(integral(u,x),x)$$ Determinación de la constante de integración $\sum a_k = \sum a_(2k) + \sum a_(2k+1)$ $\sum u$ diverge si u no tiende a cero Regla de comparación con una integral Regla de D'Alembert Regla de Cauchy Regla de comparación por convergencia Regla de comparación por divergencia Regla de equivalentes Regla de condensación de Cauchy Finalización del test de la divergencia Finalización del test de comparación con una integral Finalización del test de la regla de D'Alembert Finalización del test de la regla de Cauchy Finalización del test de la comparación Finalización del test de la comparación por equivalentes Finalización del test de la regla de condensación de Cauchy Resultado positivo del test de comparación Resultado negativo del test de comparación $$sum(1/k,k,1,infinity) = infinity$$ $$sum(1/k^2,k,1,infinity) = pi^2/6$$ $$sum(1/k^s,k,1,infinity) = zeta(s)$$ $$zeta(2k) = (2^(2k-1) abs(bernoulli(2k)) pi^(2k))/factorial(2k)$$ $ln(u+iv) = ln(re^(i\theta ))$ $ln(re^(i\theta ))=ln r + i\theta (-\pi <\theta \le \pi )$ $ln i = i\pi /2$ $ln(-1) = i\pi $ $ln(-a) = ln a + i\pi (a > 0)$ $cos \theta = [e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2$ $sin \theta = [e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i$ $$sqrt(re^(i theta))=sqrt(r) e^(i theta/2)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$root(n,re^(i theta))=root(n,r) e^(i theta/n)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $e^(i\theta ) = cos \theta + i sin \theta $ $e^(x+iy) = e^x cos y + i e^x sin y$ $e^(i\pi ) = -1$ $e^(-i\pi ) = -1$ $e^(2n\pi i) = 1$ $e^((2n\pi + \theta )i) = e^(i\theta )$ $u^v = e^(v ln u)$ sin(it) = i sinh t cos(it) = cosh t cosh(it) = cos t sinh(it) = i sin t tan(it) = i tanh t cot(it) = -i coth t tanh(it) = i tan t coth(it) = -i cot t cos t + i sin t = e^(it) cos t - i sin t = e^(-it) $[e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2 = cos \theta $ $[e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i = sin \theta $ $e^(i\theta ) + e^(-i\theta ) = 2 cos \theta $ $e^(i\theta ) - e^(-i\theta ) = 2i sin \theta $ cosh u = (e^u+e^(-u))/2 e^u + e^-u = 2 cosh u sinh u = (e^u-e^(-u))/2 e^u-e^(-u) = 2 sinh u [e^u + e^-u]/2 = cosh u [e^u-e^(-u)]/2 = sinh u cosh(-u) = cosh u sinh(-u) = -sinh u cosh u + sinh u = e^u cosh u - sinh u = e^(-u) cosh 0 = 1 sinh 0 = 0 e^x = cosh x + sinh x e^(-x) = cosh x - sinh x $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ $1 - tan^2u = sech^2u$ $1 - sech^2u = tan^2u$ tanh u = sinh u / cosh u sinh u / cosh u = tanh u coth u = cosh u / sinh u cosh u / sinh u = coth u sech u = 1 / cosh u 1 / cosh u = sech u csch u = 1 / sinh u 1 / sinh u = csch u $tanh^2 u + sech^2 u = 1$ $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$ $sech^2 u = 1 - tanh^2 u $ $sinh(u\pm v)=sinh u cosh v \pm cosh u sinh v$ $cosh(u\pm v)=cosh u cosh v \pm sinh u sinh v$ sinh 2u = 2 sinh u cosh u $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ $tanh(ln u) = (1-u^2)/(1+u^2)$ $arcsinh x = ln(x + \sqrt (x^2+1))$ $arccosh x = ln(x + \sqrt (x^2-1))$ $arctanh x = (1/2) ln((1+x)/(1-x))$ $sinh(asinh x) = x$ $cosh(acosh x) = x$ $tanh(atanh x) = x$ $coth(acoth x) = x$ $sech(asech x) = x$ $csch(acsch x) = x$ d/du sinh u = cosh u d/du cosh u = sinh u $d/du tanh u = sech^2 u$ $d/du coth u = -csch^2 u$ d/du sech u = -sech u tanh u d/du csch u = -csch u coth u d/du ln sinh u = coth u d/du ln cosh u = tanh u $d/du arcsinh u = 1/\sqrt (u^2+1)$ $d/du arccosh u = 1/\sqrt (u^2-1)$ $d/du arctanh u = 1/(1-u^2)$ $d/du arccoth u = 1/(1-u^2)$ $d/du arcsech u= -1/(u\sqrt (1-u^2))$ $d/du arccsch u= -1/(|u|\sqrt (u^2+1))$ sg(x) = 1 si x > 0 sg(x) = -1 si x < 0 sg(0) = 0 sg(-x) = -sg(x) -sg(x) = sg(-x) sg(x) = |x|/x (x no nulo) sg(x) = x/|x| (x no nulo) abs(x) = x sg(x) $sg(x)^(2n) = 1$ sg(x)^(2n+1) = sg(x) 1/sg(x) = sg(x) d/dx sg(u) = 0 (u no nulo) $\int sg(x) = x sg(x)$ $\int sg(u)v dx = sg(u)\int v dx$ (u no nulo) sg(x) = 1 siendo x > 0 sg(x) = -1 siendo x < 0 $sg(au) = sg(u)$ si $a > 0$ $sg(au) = -sg(u)$ si a < 0 sg(au/b) = sg(u) si a/b > 0 sg(au/b) = - sg(u) si a/b < 0 sg(x^(2n+1)) = sg(x) sg(1/u) = sg(u) sg(c/u) = sg(u) si c > 0 u sg(u) = |u| |u| sg(u) = u d/dx J0(x) = -J1(x) d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x) d/dx Y0(x) = -Y1(x) d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x) d/dx I0(x) = -I1(x) d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x) d/dx K0(x) = -K1(x) d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x) Desarrollo Multiplicación de eliminarse Eliminación de raíces cuadradas Cálculo Numerico Expresión del número en forma diversa Aritmética Compleja Simplificación de la Sumatoria Simplificación del Producto Fracciones Fracciones con signo Fracciones compuestas Denominadores comunes Exponentes Desarrollo de potencias Exponentes negativos Raíces cuadradas Raíces cuadradas avanzada Exponentes fraccionarios Raíces e$n$-ésima Raíces de raíces Raíces y fracciones Números complejos Factorizaciones Factorizaciones avanzada Resolución de ecuaciones Ecuaciones cuadráticas Estudio numérico de ecuaciones Ecuaciones avanzada Ecuaciones cúbicas Ecuaciones logarítmicas o exponenciales Diversas ecuaciones lineales Modo selección exclusivo Ecuaciones lineales para selección de los términos Ecuaciones para sustitución Métodos matriciales Métodos matriciales avanzados Valores absolutos Inecuaciones con valores absolutos Inecuaciones estrictas Inecuaciones Inecuaciones con cuadrados Inecuaciones con inversos Inecuaciones con raíces y potencias Inecuaciones--un miembro nulo Teorema binomial Factorizaciones de desarrollo binomial Notación sigma Notación sigma avanzada Dimostraciones por inducción Inecuaciones trigonométricas Inecuaciones con logaritmos y potencias Logaritmos en base 10 Logaritmos Logaritmos naturales y e Logaritmos naturales Fórmula de suma trigonométrica inversa Forma polar compleja Logaritmos en cualquier base Cambio de base de logaritmos Cálculo de funciones trigonométricas Trigonometría básica Inversas trigonométricas Identidad cuadrática trigonométrica Identidad Csc y Cot Fórmula trigonométrica de suma Fórmula de duplicaciones Desarrollo de cos(nx) y sin(nx) Verificación de identidad Resolución para 30-60-90 Resolución para 45-45-90 Ceros de funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Simplificación de funciones trigonométricas inversas Suma de funciones trigonométricas inversas Funciones trigonométrica complementarias Ángulos complementarios en grados Funciones trigonométricas pares y impares Periodicidad de funciones trigonométricas Fórmula de bisección Identidad de productos y factores Límites Límite de cocientes Límite de cocientes de raíces Límites especiales Límites de funciones hiperbólicas Límites avanzados Límites logarítmicos Límites y infinitésimos Límites infinitos Infinitos Denominadores nulos Funciones al infinito Diferenciación polinomial Derivada Diferenciación de funciones trigonométricas Diferenciación de exponencial y logaritmos Diferenciación de funciones trigonométricas inversas Regla de diferenciación compuesta Mínimos y máximos Diferenciación implícita Cociente incremental Derivada de orden alto Integración de base Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones trigonométricas de ct Integración de exponencial y logaritmos Integración por sustitución Integración por partes Teorema fundamental Integral definida Integrales impropias Integrandos pares e impares Sustitución inversa Integrales trigonométricas Simplificación de integrandos trigonométricos Integración de funciones racionales Integración de raíces cuadradas en el denominador Integración de funciones trigonométricas inversas Simplificar Integración de funciones hiperbólica Serie geométrica Serie geométrica 2 Serie geométrica 3 Serie geométrica 4 Serie geométrica 5 Serie infinita para el logaritmo Serie infinita para sin y cos Serie infinita para funciones exponencial Serie infinita para arcotangente Serie infinita para tan y cot Aparición de serie Operaciones algebraicas sobre series Manipulaciones de series infinitas Test de convergencia Fin de test de convergencia Funciones complejas Identidad de funciones complejas Seno y coseno iperbolici Identidad trigonométrica hiperbólica Funciones hiperbólicos Funciones hiperbólicas inversas Diferenciación hiperbólica Diferenciación hiperbólica inversa Función Sg Simplificación de función Sg Funciones de Bessel Funciones de Bessel modificadas Funciones definidas por usarios Invisible También invisible y tamnién esto %�|� 4 I?: ; I ! 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