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*/
#include "mtext.h" /* MAXLENGTH */
#include "english1.h"
static char arithhint[] = "Faltan algunas operaciones aritméticas.";
static char dummystring[] = "dummy";
static char *hintstrings1[][MAXLENGTH] =
{
{ /* numerical_calculation1 */
arithhint,
"Operar numéricamente aplicando aritmética decimal.",
"Calcular el valor decimal de una raíz.",
"Calcular el valor decimal de una potencia.",
"Calcular el valor decimal.",
"Útil para factorizar un entero sea bajo una raíz o un signo de raíz cuadrada.",
"Evaluar numéricamente en un punto.", /* Not used in auto mode */
"Realizar una aproximación decimal.", /* decimal value of pi_term, not used in auto mode. */
"Realizar una aproximación decimal.", /* decimal value of e, not used in auto mode. */
"Calcular los valores de una función.",
"Se pueden aplicar métodos de aproximación para dar con una numérica de las raíces de un polinomio tras su factorización aproximada. La opción correspondiente a 'Factorización numérica de un polinomio' deja la tarea a cargo de MathXpert.",
"Evaluar un número de Bernoulli para un número racional.",
"Evaluar un número de Euler para un número racional."
},
{ /* numerical_calculation2 */
"Convertir en número decimal en uno racional.", /* Not used in auto mode. */
"Expresar un número como cuadrado",
"Expresar un número como cubo",
"Expresar un número como raíz $n$-ésima para un valor adecuado de $n$.",
"Expresar un entero como potencia de una base dada.",
"Expresar un entero como potencia. Por ejemplo, escribiendo $9$ como $3^2$.",
"Expresar un entero como suma aplicando el formato: $x = ? + (x-?)$",
},
{ /* complex_arithmetic */
"Aplicar la definición de número complejo $i$: $i^2 = -1$.",
"Las potencias enteras del número complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del número complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del número complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del número complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Hay cálculos en números complejos por realizar.",
"Falta calcular la potencia de un número complejo que se puede evaluar.",
"Hay cálculos con números complejos por realizar.",
"Operar con números complejos en forma decimal.",
"Esto puede servir para factorizar un entero.",
"Un entero puede factorizarse como producto de dos complejos, como $ 5 = (2-i) (2 + i) $.",
"Factorizar un número o expresión compleja como $n+mi$, en factores complejos. Por ejemplo $7-5i = (2-i)(3-i)$.",
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of root, not used in auto mode. */
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of x^n, not used in auto mode. */
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of a function, not used in auto mode. */
"Evaluar numéricamente una función en un punto.", /* not used in auto mode */
},
{ /* simplify_sums */
"Eliminar los signos menos duplicados.",
"Pasar el signo menos al interior de la suma.",
"Sacar el signo menos fuera de la suma.", /* never done in auto mode anyway */
arithhint,
"En una suma que contiene otra, pueden reagruparse los términos para eliminar paréntesis innecesarios.",
"Ordenar adecuadomente los términos de una suma.",
"La igualdad $x+0 = x$ indica que pueden eliminarse los términos nulos.",
"Hay términos que se simplifican entre sí.",
"Reagrupar los términos similares.",
"Reagrupar los términos similares.",
"Aplicar la propiedad conmutativa de la suma.",
"Extraer un signo menos aplicando la igualdad $a(b-c) = -a(c-b)$.",
"-ab = a(-b)",
"-abc = ab(-c)",
"a(-b)c = ab(-c)",
},
{ /*simplify_products */
"Todo número multiplicado por cero da cero.",
"Se puede omitir un factor igual a 1 en cualquier producto.",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $a(-b) = -ab$",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $a(-b-c) = -a(b+c)$",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $(-a-b)c = -(a+b)c$",
"Aplicar la propiedad asociativa del producto para reagrupar los factores.",
"Organizar los factores numéricos de un producto para que lo encabecen.",
"Organizar los factores de un producto en el orden estándar.",
"En un producto, aunar las potencias de la misma base en un solo factor.",
"Desarrollar, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, $a(b+c)=ab+ac$.",
"Aplicar la regla pertinente para expresar $(a-b)(a+b)$ como una diferencia de cuadrados.",
"Desarrollar el cuadrado de una suma recurriendo a la fórmula estándar.",
"Desarrollar el cuadrado de una diferencia recurriendo a la fórmula estándar.",
"Indicar si se reconoce la diferencia de cubos en su formulación factorizada",
"Indicar si se reconoce la suma de cubos en su formulación factorizada",
"Aplicar la propiedad conmutativa del producto.",
},
{ /* expand_menu */
"Un producto de sumas o la potencia de una suma se pueden desarrollar como una suma. Acaso esto redunda eb una mayor simplificación,; especialmente si el producto o la potencia conforma una suma mayor.",
"Acaso desarrollando el numerador, se logre una mayor simplificación.",
"Acaso desarrollando el denominador, se logre una mayor simplificación.",
"Aplicar la igualdad $na = a + ... + a$.", /* never used in auto mode anyway */
},
{ /* fractions */
"Eliminar la fracción cuyo numerador es nulo.",
"Deshacerse del 1 gel denominador.",
"El producto es 1 dado que un factor multiplicado por su inverso, resulta igual a la unidad.",
"Multiplicar las fracciones para que lo resultante sea una sola fracción.",
"Aplicar esta regla: $a(b/c) = ab/c$ para que lo resultante sea una sola fracción",
"Simplificar un factor común da numerador y denominador.",
"Agrupar las fracciones del mismo denominador.",
"Descomponer una fracción cuyo numerador sea una suma.",
"Descomponer en dos una fracción cuyo numerador sea una suma de modo tal que uno de los términos se simplifique y anule.",
"Simplificar una fracción por división polinomial, cuando el grado del numerador sea mayor que el del denominador.",
"Por división polinomial, se podría simplificar y/o reducir el grado.",
"Formar un número racional a partir de dos fracciones aplicando esta fórmula au/bv=(a/b)(u/v).",
"Transformar el denominador en un coeficiente aplicando la igualdad $a/b = (1/b) a$.",
"Extraer los factores reales del numerador y del denominador aplicando la igualdad $au/b = (a/b)u$.",
"Descomponer en dos una fracción aplicando la igualdad $ab/cd = (a/c)(b/d)$.",
"Combinar la parte numérica del numerador y la del denominador en un único coeficiente, aplicando la igualdad $ab/c = (a/c)b$"
},
{ /* signed_fractions */
"Simplificar los signos menos del numerador y del denominador.",
"Incorporar el signo menos al numerador aplicando la igualdad $-(a/b) = (-a)/b$.",
"Incorporar el signo menos al denominador aplicando la igualdad $-(a/b) = a/(-b)$.",
"Desplazar el signo menos del numerador a la fracción en su conjunto, al encabezarla.",
"Desplazar el signo menos del denominador a la fracción en su conjunto, al encabezarla.",
"Desplazar el signo menos del numerador aplicando la igualdad $(-a-b)/c = -(a+b)/c$.",
"Desplazar el signo menos del denominador aplicando la igualdad $(-a-b)/c = -(a+b)/c$.",
"Cambiarle el signo menos al denominador aplicando la igualdad $a/(-b-c) = -a/(b+c)$.",
"Simplificar los signos menos de la fracción aplicando la igualdad que lo o los desplaza del denominador: $-a/(-b-c) = a/(b+c)$.",
"Cambiar los signos aplicando la igualdad $-a/(b-c) = a/(c-b)$.",
"Extraer los signos menos del numerador aplicando la igualdad $-(-a-b)/c = (a+b)/c$.",
"Cambiar el orden de los términos tanto en el numerador como en el denominador. Seleccionar, en principio, la fracción completa sobre la que se va a operar.",
"ab/c = a(b/c)",
"Descomponer en dos la fracción, aplicando la igualdad $a/bc = (1/b)(a/c)$."
},
{ /* compound_fractions */
"Una fracción compuesta es aquella cuyo numerador o denominador (o ambos), contienen, a su vez, fracciones o números mixtos. Una fracción 'compuesta' por dos de igual denominador, puede reducirse a una simple, aplicando la igualdad $(a/c)/(b/c) = a/b$.",
"Siendo un denominador fraccionario, a su vez, una fracción, la igualdad $a/(b/c)=ac/b$ permite simplificarla.",
"La inversa de una fracción puede simplificarse aplicando la igualdad $1/(a/b) = b/a$.",
"Una fracción 'compuesta' solo por un numerador fraccionario, puede reducirse a una simple, aplicando la igualdad $(a/b)/c = a/(bc)$.",
"Aplicar $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$", /* never suggested in auto mode */
"Siendo un numerador fraccionario, un producto con una fracción como factor, la igualdad $(a/b)c/d = ac/bd$ permite la simplificación.",
"Según el caso, puede ser conveniente factorizar el denominador.",
"Siendo el denominador y/o el numerador fraccionario, una suma de fracciones, solo al sacar el respectivo denominador común para poder realizar sendas sumas, se puede avanzar en la ulterior simplificación y/o reducción de la fracción compuesta resultante."
},
{ /* common_denominators */
"Tras factorizar el denominador, se evidencia cuál es el denominador común.",
"Como los denominadores no son iguales, se empieza por sacar el denominador común.",
"Como los denominadores no son iguales, solo tras sacar denominador común es posible la suma de las fracciones.",
"Frente a un producto de fracciones, solo tras la correspondiente multiplicación se obtiene una sola fracción.",
"Frente a un producto de una fracción por un término, solo tras operar para incorporarlo se obtiene una sola fracción.",
"Es conveniente ordenar los términos para mejor identificar los coincidentes y lo que cabe simplificar.",
"Frente a fracciones del mismo denominador, por adición y/o sustracción se obtiene una sola fracción.",
"Hay fracciones a las que sacarles común denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles común denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles común denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles común denominador.",
"Multiplicar numerador y denominador por el mismo factor."
},
{ /* exponents 10*/
"Cabe librarse de la presente potencia de 0.",
"Cabe librarse de la presente potencia de exponente unitario.",
"Cero elevado a una potencia no nula es siempre cero.",
"1 elevado a cualquier potencia es siempre 1.",
"Las potencias enteras de -1 valen 1 cuando son pares y -1 cuando son impares.",
"Frente a una potencia elevada a otra potencia, se puede aplicar la regla para combinar el conjunto en una sola potencia.",
"Se pueden extraer el signo menos de una potencia entera aplicando la fórmula $(-a)^n = (-1)^na^n$.",
"Puede ser conveniente distribuir el exponente en el numerador y el denominador aplicando esta regla: $(a/b)^n = a^n/b^n$.",
"Frente a una potencia de un producto, se puede aplicar la regla para distribuir el exponente entre los factores: $(ab)^n = a^nb^n$.",
"Se puede desarrollar el cuadrado de una suma según la fórmula, binomial en este caso: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.",
"El teorema del binomio puede ser conveniente aquí.",
"Frente al producto de 2 o más potencias de igual base, los exponentes se suman.",
"Se puede transformar la potencia de una suma en un producto de potencias.",
"Dada una fracción en la forma $a^n/b^n$, se puede aplicar el exponente a la fracción en su conjunto, de este modo: $(a/b)^n$.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una única potencia en el numerador.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una única potencia en el denominador."
},
{ /* expand_powers */
"Desarrollar un cuadrado.", /* Never used in auto mode */
"Desarrollar un cubo.",
"Desarrollar una potencia.",
"Descomponer la potencia en el producto de potencias menores.",
"Desarrollar el cuadrado de una suma.",
"Desarrollar el cubo de una suma.",
"Desarrollar el cubo de una diferencia.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^b)^c$ si $a>0$ o $c\\in Z$.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^c)^b$ si $a>0$ o $c\\in Z$.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^b)^c$, tras ingresar el valor de $c$.",
"Extraer el exponente del denominador aplicando esta regla $1/a^n = (1/a)^n$"
},
{ /* negative_exponents */
"Aplicar la definición de exponente negativo, $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Los exponentes negativos en el numerador pasan a ser positivos en el denominador.",
"Aplicar la definición de exponente $-1$, $a^(-1) = 1/a$.",
"Aplicar la definición de un exponente negativo, $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Los exponentes negativos en el numerador pasan a ser positivos en el denominador.",
"Los exponentes negativos en el denominador pasan a ser positivos en el numerador.",
"Los exponentes positivos en el denominador pasan a ser negativos en el numerador.",
"Se puede reducir una fracción, convirtiendo el denominador en un factor con exponente -1.",
"Una fracción elevada a exponente negativo se puede formular con un exponente positivo tras invertirla.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una única potencia en el numerador.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una única potencia en el denominador.",
"Aplicar la regla $a^(b-c) = a^b/a^c$"
},
{ /* square_roots */
"Combinar el producto de raíces cuadradas en una sola raíz cuadrada.",
"Descomponer la raíz cuadrada en un producto de raíces cuadradas.",
"Frente a un factor cuadrático bajo el signo de la raíz, se lo puede extraer con la debida precaución respecto del signo.",
"La raíz cuadrada de $x^2$ es $x$, al menos para $x$ positivo; de ser $x$ negativo, se lo debe expresar como valor absoluto de $x$.",
"La raíz cuadrada de $x^2$ es $x$, al menos para $x$ positivo; de ser $x$ negativo, se lo debe expresar como valor absoluto de $x$.",
"Para simplificar la raíz cuadrada de un entero, conviene comenzar factorizando el entero.",
"La raíz cuadrada de una fracción se puede formular como una fracción de raíces cuadradas, aplicando esta regla $\\sqrt (x/y) = \\sqrt x/\\sqrt y$",
"La raíz cuadrada de una fracción se puede formular como una fracción de raíces cuadradas, aplicando esta regla $\\sqrt (x/y) = \\sqrt |x|/\\sqrt |y|$. El signo de valor absoluto es necesario si el signo de $x$ y $y$ se desconocen.",
"Dado el cociente de raíces cuadradas, la propuesta es tratar de obtener una única raíz cuadrada.",
"Dado $x\\ge 0$, $\\sqrt x$ veces $\\sqrt x$ es igual a $x$. Así que cuando $x$ también es distinto de cero, $x/\\sqrt x$ se reduce a $\\sqrt x$.",
"Dado $x\\ge 0$, $\\sqrt x$ veces $\\sqrt x$ es igual a $x$. Así que cuando $x$ también es distinto de cero, $\\sqrt x/x$ se reduce a $1/\\sqrt x$.",
"Una potencia par de una raíz cuadrada se puede simplificar aplicando $(\\sqrt x)^2^n = x^n$, al menos para valores de $x$ no negativos.",
"Una potencia impar de una raíz cuadrada se puede simplificar aplicando $(\\sqrt x)^(2n+1) = x^n\\sqrt x$.",
"Indicar si puede o no calcularse exactamente la raíz cuadrada.",
"Obtener una aproximación decimal de la raíz cuadrada.",
arithhint
},
{ /* advanced_square_roots 14 */
"Indicar si el numerador y el denominador tienen un factor común bajo el signo de la raíz cuadrada?",
"Factorizar el polinomio bajo el signo de la raíz cuadrada.",
"Racionalizar el denominador, multiplicando por el mismo factor el numerador y el denominador. El factor se selecciona con el fin de eliminar las raíces cuadradas del denominador.",
"Racionalizar el numerador, multiplicando por el mismo factor el numerador y el denominador. El factor se selecciona con el fin de eliminar las raíces cuadradas del numerador.",
"Una raíz cuadrada de una potencia par se puede simplificar aplicando el valor absoluto",
"Hay un factor común bajo el signo de la raíz cuadrada en el numerador y denominador. Simplificar la raíz cuadrada común.",
"Multiplicar los factores bajo el signo de la raíz cuadrada.",
"Si $b$ es positivo, se puede considerar a $b$ como el cuadrado de $\\sqrt b$, lo que permite formular que $a^2-b = (a-\\sqrt b)(a+\\sqrt b)$.",
"Una raíz con índice 2 es una raíz cuadrada.",
"Expresar una raíz cuadrada como raíz de una potencia, por ejemplo $\\sqrt 2 = ^4\\sqrt 4$",
"Expresar una raíz cuadrada como potencia de una raíz, por ejemplo $\\sqrt 3 = (^4\\sqrt 3)^2$",
"Se desprende de la definición de la función raíz cuadrada como función inversa de la función cuadrada en el conjunto de los reales positivos, que cualquier número bajo una raíz puede ser considerado como un cuadrado.",
"Hay una potencia de exponente mayor a dos bajo el signo de la raíz; extraer fuera del signo de la raíz cuadrada, algún factor elevado al exponente que corresponda, manteniendo el resto bajo la raíz.",
"Poner un término bajo el signo de la raíz aplicando la fórmula $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, verificando si a y b son positivos.",
"Racionalizar el denominador y simplificar."
},
{ /* fractional_exponents 15*/
"Un exponente de $\\onehalf $ se puede convertir en una raíz cuadrada.",
"Una fracción en el exponente con denominador 2 se puede convertir en una raíz cuadrada.",
"Una fracción en el exponente con denominador $n$ se puede convertir en una raíz e$n$-ésima",
"Una raíz cuadrada se puede convertir en un exponente de $\\onehalf $",
"Una raíz e$n$-ésima se puede convertir en un exponente de $1/n$",
"Eliminar las raíces e$n$-ésimas de potencias de números positivos al convertirlas en potencias de exponentes racionales.",
"Eliminar las potencias de raíces e$n$-ésimas al convertirlas en potencias de exponentes racionales.",
"Eliminar las potencias de raíces cuadradas al convertirlas en potencias de exponente racional.",
"La raíz e$n$-ésima de números positivos en el denominador se puede convertir en una potencia de exponente negativo $-1/n$.",
"Transformar una raíz cuadrada de un números positivo en el denominador en una potencia de exponente racional negativo.",
"Las potencias enteras de $-1$ se calculan simplemente.",
"Factorizar un entero elevado a un exponente racional.",
"Extraer el exponente fraccionario del denominador.",
"Extraer el exponente fraccionario del numerador.",
"Hacer del exponente fraccionario, una potencia de una raíz cuadrada.",
"Hacer del exponente fraccionario, una potencia de una raíz."
},
{ /*nth_roots 16*/
"Combinar un producto de raíces e$n$-ésimas en una única raíz e$n$-ésima.",
"Descomponer la raíz e$n$-ésima del producto en un producto de raíces e$n$-ésimas.",
"Sacar el exponente fuera de la raíz e$n$-ésima para que todo dependa de la misma raíz $k$-ésima.",
"Dada una potencia e$n$-ésima bajo una raíz e$n$-ésima, conviene extraerla.",
"Siempre que las hipótesis se verifiquen, siendo cierto que $^n\\sqrt (x^n) = x$, una raíz e$n$-ésima de una potencia e$n$-ésima se puede simplificar.",
"Se puede simplificar la raíz. Por ejemplo, la raíz cúbica de $x^6$ es $x^2$.",
"Suele ser posible reducir el orden $n$ de una raíz e$n$-ésima. Por ejemplo, si $x\\ge 0$, la raíz sexta de $x^3$ es $\\sqrt x$.",
"Suele ser posible reducir el orden $n$ de una raíz e$n$-ésima. Por ejemplo, si $x\\ge 0$, la raíz sexta de $x^2$ es la raíz cúbica de $x$.",
"Recordando la definición de la función raíz e$n$-ésima de $x$, se tiene que la función inversa de la función potencia de exponente $x$.",
"Frente a una potencia bajo la raíz e$n$-ésima, cabe introducir el exponente bajo la raíz, como en $(^n\\sqrt x)^2 = ^n\\sqrt (x^2)$.",
"Frente a la potencia de una raíz e$n$-ésima como la de $x$, cabe extraer factores de $x^n$ para que el exponente pase a ser menor que $n$. Por ejemplo: $(^3\\sqrt 2)^7 = 2^2 ^3\\sqrt 2$.",
"Factorizar el entero bajo el signo de la raíz.",
"Frente a una raíz impar de una expresión negativa, se puede sacar el signo menos fuera de la raíz.",
"Acaso las raíces pudieran valorarse exactamente.",
"Factorizar el polinomio bajo la raíz.",
"Multiplicar entre sí los términos bajo la raíz."
},
{ /* roots_of_roots */
"Una raíz cuadrada de la raíz cuadrada se puede expresar como una raíz cuarta.",
"Una raíz cuadrada de una raíz e$n$-ésima se puede expresar como una raíz e$2n$-ésima.",
"Una raíz e$n$-ésima de una raíz cuadrada se puede expresar como una raíz e$2n$-ésima.",
"Una raíz e$n$-ésima de una raíz e$m$-ésima se puede expresar como una única raíz e$n$-$m$-ésima. Por ejemplo, una raíz cúbica de una raíz cuarta es una raíz 12-ésima."
},
{ /* roots_and_fractions */
"Transformar la raíz e$n$-ésima de un cociente en un cociente de raíces e$n$-ésimas.",
"Transformar un cociente de dos raíces e$n$-ésimas en una única raíz e$n$-ésima.",
"Combinar las raíces e$n$-ésimas en el numerador y en el denominador, en una única raíz e$n$-ésima.",
"Combinar las raíces e$n$-ésimas en el numerador y en el denominador, en una única raíz e$n$-ésima.",
"Seleccionar la fracción completa para eliminar un factor bajo una raíz.",
"Seleccionar la fracción completa para simplificar las raíces e$n$-ésimas del numerador y del denominador. ",
"El numerador y denominador tienen un factor común bajo la raíz. Seleccionar la fracción completa.",
"Pasar un término bajo el signo de la raíz aplicando una igualdad, $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, válida para todo real $b\\ge 0$.",
"Pasar un término bajo el signo de la raíz aplicando una igualdad, $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, válida para todo real $b\\ge 0$.",
"Pasar un signo menos bajo la raíz e$n$-ésima.",
"Pasar fracción completa bajo la raíz e$n$-ésima.",
"Pasar fracción completa bajo la raíz e$n$-ésima.",
"Pasar fracción completa bajo la raíz e$n$-ésima.",
"Pasar fracción completa bajo la raíz e$n$-ésima.",
"Una potencia de raíz e$n$-ésima se puede simplificar, resultando una raíz con un índice $p$, inferior a $n$",
"Al simplificarse, una potencia de raíz e$n$-ésima puede resultar una raíz cuadrada."
},
{ /* complex_numbers */
"Como $i^2$ es igual a $-1$, entonces, $1/i=-i$ dado que al factorizar $1/i$ resulta igual a $-i$.",
"Siendo $1/i$ igual a $-i$, cambiando el signo de un cociente, se puede transferir desde el denominador al numerador un factor igual a $i$.",
"Siendo $1/i$ igual a $-i$, cambiando el signo de un cociente, se puede transferir desde el denominador al numerador un factor igual a $i$.",
"Por definición, la raíz cuadrada compleja de $-1$ es $i$.",
"La raíz cuadrada compleja de un número negativo se puede expresar en términos de $i$, aplicando la igualdad $\\sqrt (-a) = i\\sqrt a$.",
"Se puede eliminar la parte imaginaria del denominador, multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.",
"El producto de un número complejo por su conjugado resulta el cuadrado de su módulo, acorde a $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$.",
"En el conjunto de los números complejos, la suma de dos cuadrados se puede factorizar a través de la relación $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$.",
"Por el teorema de Pitágoras, tenemos $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$",
"Por el teorema de Pitágoras, tenemos $|u + vi| = \\sqrt (u^2+v^2)$",
"Expresar el cociente como un único número complejo, aplicando la relación $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$.",
"Escribir los números complejos bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una raíz cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una raíz cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una raíz cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una raíz cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$"
},
{ /* factoring 20*/
"Factorizar un número.",
"Despejar los denominadores numéricos para mejorar la revisión del proceso.",
"Hay un factor común que se puede extraer aplicando la propiedad distributiva de la suma respecto del producto $ab+ac = a(b+c)$",
"Factorizar por el mayor exponente común.",
"Indicar si se reconoce el cuadrado perfecto de una suma. Vale tener en cuenta la igualdad siguiente: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.",
"Indicar si se reconoce el cuadrado perfecto de una diferencia. Vale tener en cuenta la igualdad siguiente: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.",
"Una diferencia de cuadrados se puede factorizar aplicando la igualdad $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.",
"Esto no parece ajustarse a una de las formas más simple, pero como se trata de un trinomio de segundo grado, se puede factorizar.",
"De no resultar otra alternativa, siempre se puede factorizar este trinomio vía fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado.",
"Una potencia par se puede formular como cuadrado, aplicando la regla $a^2^n = (a^n)^2$. Luego, acaso se puedan aplicar otros métodos de factorización para las expresiones conteniendo cuadrados.",
"Tratar de combinar las potencias aplicando esta regla $a^nb^n = (ab)^n$",
"Podría ser conveniente factorizar los coeficientes del polinomio.",
"Factorizar el entero.",
"Podría ser conveniente una composición de funciones.",
"Eliminar un parámetro.",
"Considerar una variable como un parámetro."
},
{ /* advanced_factoring 21*/
"Esto es muy complicado para factorizarlo directamente. Se puede avanzar por pasos, formulándolo correctamente como una función de sub-expresiones.",
"Esto es muy complicado para factorizarlo directamente. Se puede avanzar por pasos, formulándolo correctamente como una función de sub-expresiones.",
"Expresar una potencia mayor como un cubo aplicando la fórmula $a^(3n) = (a^n)^3$",
"Expresar una potencia aplicando la fórmula $a^(mn) = (a^m)^n$.",
"Hay una fórmula para factorizar la diferencia de cubos.",
"Hay una fórmula para factorizar la suma de cubos.",
"Hay una fórmula para factorizar $a^n-b^n$.",
"Hay una fórmula para factorizar $a^n-b^n$.",
"Hay una fórmula para factorizar $a^n+b^n$.",
"Hay fórmulas para factorizar la suma de potencias cuarta.",
"Algunos polinomios de cuarto grado pueden factorizarse aplicando fórmulas especiales.",
"Tratar de componer una función. Seleccione el término a reemplazar.",
"Revisar en búsqueda de un factor evidente.", /* guess a factor isn't used in auto mode */
"Si todo lo demás falla, se puede intentar la búsqueda sistemática de un factor de primer grado ",
"Tratar de factorizar por grupos",
"Formular como un polinomio en una variable o expresión. Seleccionar la variable o la expresión."
},
{ /* solve_equations 22*/
"Efectuar los necesarios intercambios para dejar la incógnita a la izquierda.",
"Cambiar los signos de ambos miembros.",
"Sumarle a ambos miembros de la ecuación, el mismo sumando.",
"Restarle a ambos miembros de la ecuación, el mismo sustraendo.",
"Pasar un término apropiado de izquierda a derecha.",
"Pasar un término apropiado de derecha a izquierda.",
"Multiplicar ambos miembros de la ecuación, por el mismo factor.",
"Dividir ambos miembros de la ecuación, por el mismo dividendo.",
"Elevar al cuadrado a ambos miembros de la ecuación.",
"Eliminar los términos coincidentes a un lado y otro de la ecuación.",
"Simplificar un factor común a ambos miembros de la ecuación.",
"Restar para formular una ecuación bajo la forma $u=0$.",
"Cuando una ecuación se reduce a una identidad de la forma $u=u$, todo número que deja definidos a ambos miembros de la ecuación se asume solución. La búsqueda se reduce a la del conjunto en que el valor de verdad de la identidad resulta 'cierto'.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuación, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuación $a = -b$ es equivalente a $a^2 = -b^2$.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuación, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuación $a = -b$ es equivalente a $a=0$ y $b=0$.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuación, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuación $a = -b$ es equivalente a $a=0$ y $b=0$.",
},
{ /* quadratic_equations 23 */
"A un producto nulo, se lo puede descomponer en dos (o más) ecuaciones en que sea nulo uno o más factores, según la regla: ab=0 si y solo si a=0 o b=0.",
"La fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado se puede aplicar independientemente de cual fuera la cuadrática de la que se trate.",
"La fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado se puede aplicar independientemente de cual fuera la cuadrática de la que se trate.",
"Completar el cuadrado.", /* I don't think this is used en automode except en calculus */
"Extraer la raíz cuadrada en ambos miembros.",
"Frente a una ecuación que expresa la igualdad de dos cocientes sin simplificación posible a primera vista, parece conveniente y ágil reformularla como igualdad de productos cruzados.",
"Si el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales.",
"Un sistema de dos ecuaciones $u^2 = a$ y $u^2 = -a$ es equivalente a $u=a=0$.",
arithhint
},
{ /* numerical_equations 24*/
"Evaluar numéricamente en un punto.", /* Never used en auto mode */
"Se puede dejar a cargo de MathXpert la 'resolución numérica' para que se computen las soluciones por un método de aproximación iterativa."
},
{ /* advanced_equations 25 */
"Frente a una ecuación que expresa la igualdad de dos cocientes sin simplificación posible a primera vista, parece conveniente y ágil reformularla como igualdad de productos cruzados.",
"Se pueden elevar ambos términos a una potencia, aplicando la regla: si $u=v$, entonces $u^n=v^n$.",
"Para acceder a una incógnita bajo una raíz cuadrada, basta con elevar ambos miembros al cuadrado.",
"Para acceder a una incógnita bajo una raíz $n$-ésima, basta con elevar ambos miembros a la potencia $n$.",
"Para acceder a la incógnita, cabe aplicarle a ambos miembros, una función conveniente.",
"Reducir las fracciones a un mismo denominador.",
"Descomponer la ecuación en tantas ecuaciones como factores, dado que ab=0 si y solo si a=0 o b=0",
"Descomponer la ecuación en dos o más ecuaciones aplicando esta regla: si ab=ac entonces a=0 o b=c",
"Seleccionar una ecuación.", /* Not used en auto mode */
"Mostrar nuevamente todas las ecuaciones dado que ya se tiene concluido con una ellas.",
"Agrupar las soluciones.",
"Puede ser conveniente componer la función con una adecuada sustitución. Seleccionar la expresión a reemplazar por una nueva variable.",
"Ahora cabe eliminar la nueva variable.",
"Como una de las ecuaciones no tiene solución, cabe eliminarla.",
"Debe tenerse presente la necesidad de verificar y controlar las raíces en la ecuación original, para comprobarlas.",
"Se podría resolver directamente esta ecuación lineal."
},
{ /* cubic_equations 26*/
"Una sustitución de variable apropiada permite eliminar los términos de segundo grado. ",
"El estudio del discriminante permite saber si hay solo una o tres raíces reales. Hay que efectuar los cálculos en primer lugar, para saber qué fórmulas de resolución de las ecuaciones de tercer grado aplicar.",
"Mostrar nuevamente la ecuación cúbica para seguir adelante.",
"Como Vieta descubrió en 1592, la introducción de $x = y - a/(3cy)$ en $cx^3 + ax + b = 0$, se obtiene una ecuación de segundo grado por $y^3$. Seleccionar la ecuación entera para que aparezca esta opción.",
"Si el discriminante es positivo, esta ecuación de tercer grado tiene una sola raíz real.",
"Si el discriminante es negativo, esta ecuación de tercer grado a tres raíces reales.",
"Si el discriminante es positivo, esta ecuación de tercer grado tiene una sola raíz real.",
"Puede ser conveniente componer la función con la sustitución $x = f(u)$ donde $x$ es una variable existente y $u$, la nueva.",
"Ahora cabe eliminar la nueva variable.",
"Un cambio de las variables enteras permite verificar que estas dos expresiones coinciden. Como una de las ecuaciones se elimina, solo hay tres soluciones, mientras que en apariencia había seis.",
"Calcular la expresión de la raíces para obtener respuestas exactas.",
"La mejor implicaría evaluar para obtener una aproximación decimal delas raíces",
"Simplificar"
},
{ /* logarithmic_equations */
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $u=v$ entonces $a^u = a^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $ln u = v$ entonces $u = e^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $log u = v$ entonces $u = 10^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo aplicando esta regla: si $log(b,u) = v$, entonces $u = b^v$, donde $log(b,u)$ designa al logaritmo de base $b$ de $u$.",
"Como los dos miembros son potencias de la misma base, los exponentes también son iguales.",
"Extraer el logaritmo decimal de ambos miembros.",
"Extraer el logaritmo natural de ambos miembros.",
"Una de las ecuaciones no es posible debido a que las funciones logarítmicas reales se definen solo en el conjunto de los reales positivos.",
},
{ /* cramers_rule */
"Aplicar la regla de Cramer",
"Calcular el determinante. Se puede dejar a cargo a MathXpert para que lo resuleva en un solo paso."
},
{ /* several_linear_equations 29*/
"Empezar por pasar incógnitas y variables al miembro izquierdo y las constantes, al derecho.",
"Agrupar los términos semejantes, de modo tal que haya un único término por cada incógnita.",
"Alinear correctamente las variables, para poder comparar fácilmente los coeficienteslas de las diferentes ecuaciones.",
"Sumar dos ecuaciones.",
"Restar dos ecuaciones.",
"Multiplicar una ecuación por una constante.",
"Dividir una ecuación por una constante.",
"Sumarle a una ecuación, el múltiplo de otra ecuación.",
"Multiplicar una ecuación por un número negativo, y sumar el resultado a otra ecuación.",
"Intercambiar dos ecuaciones.",
"Poner las ecuaciones resueltas en orden.",
"Eliminar las ecuaciones redundantes.",
"Establecer una variable en función de la cual serán expresadas las soluciones.",
"Indicar si se pueden efectivamente resolver estas ecuaciones. Parecen incompatibles o contradictorias."
},
{ dummystring, /* selection_mode_only, these operators */
dummystring, /* are not used en automode so need no hints */
dummystring,
dummystring
},
{ /* linear_equations_by_selection */
"Sumar dos ecuaciones.",
"Restar dos ecuaciones.",
"Multiplicar una ecuación por una constante.",
"Dividir una ecuación por una constante.",
"Sumar el múltiplo de una ecuación a otra ecuación.",
"Restar el múltiplo de una ecuación de otra ecuación.",
"Intercambiar dos ecuaciones.",
"Expresar una de las incógnitas en función del resto, en una de las ecuaciones.",
"Sumar dos filas.",
"Restarle a una fila, otra.",
"Multiplicar alguna filas por una constante.",
"Dividir alguna fila por una constante.",
"Sumarle a una fila, el producto de otra fila por une constante.",
"Restar de una fila, el producto de otra fila por una constante.",
"Intercambiar dos filas.",
"Escribir una matriz $A$ como un producto $IA$, donde $I$ es la matriz identidad. Al operar sobre las filas, afectarán también a la inversa de $A$ que se manifestará donde está $I$."
},
{ /* linear_equations_by_substitution */
"Agrupar los términos similares, de modo tal que haya un único término para cada variable.",
"Expresar una de las incógnitas en función del resto, en una de las ecuaciones.",
"Simplificar una o más de las ecuaciones.",
"Simplificar un término que aparece en ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Sumarle el mismo término a ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Restarle el mismo término a ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Dividir una de las ecuaciones por una constante para aislar una variable.",
"Tras haber expresado gracias a una de las ecuaciones, una de las incógnitas en función de las oras, reemplazarla en todas las otras ecuaciones por esta expresión.",
"El sistema de ecuaciones presenta contradicciones."
},
{ /* matrix_methods 33*/
"Por empezar, plantear las ecuaciones en forma matricial.",
"Multiplicar el miembro derecho por la matriz identidad $I$.",
"Intercambiar dos filas.",
"Sumar dos filas.",
"Restar una fila de otra.",
"Multiplicar alguna filas por una constante.",
"Dividir alguna filas por una constante.",
"Sumar el múltiplo de una fila a otra fila.",
"Restar el múltiplo de una fila de otra fila.",
"Multiplicar matrices.",
"Una columna completamente nula, se puede eliminar.",
"Una fila completamente nula, se puede eliminar.",
"Cuando se repiten dos filas idénticas, una de ellas se puede eliminar.",
"Las ecuaciones presentan contradicciones.",
"Una ecuación matricial se puede convertir en un sistema lineal."
},
{ /* advanced_matrix_methods */
"Multiplicar las matrices.",
"Resolver invirtiendo la matriz: $AX = B => X = A^(-1)B$",
"Hay una fórmula explícita para la inversa de una matriz de 2 por 2.",
"Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo exacto de la matriz inversa. Seleccionar la matriz inversa a calcular.",
"Se puede dejar a cargo de MathXpert el cálculo de una aproximación decimal de la matriz inversa. Seleccionar la matriz inversa a calcular.",
},
{ /* absolute_value */
"Siendo $u$ un real positivo, se puede eliminar el signo del valor absoluto, porque en este caso $|u| = u$.",
"Siempre se puede suponer $u\\ge 0$ y luego escribir $|u| = u$.",
"Siendo $u$ un real negativo, se puede eliminar el signo del valor absoluto, porque en este caso $|u| = -u$.",
"Se puede extraer un factor positivo fuera del signo del valor absoluto aplicando esta regla: si $c\\ge 0$, entonces $|cu| = c|u|$.",
"Se puede extraer un denominador positivo fuera del signo del valor absoluto aplicando esta regla: $|u/c| = |u|/c$.",
"Se puede simplificar un producto de valores absolutos aplicando esta regla $|u||v| = |uv|$.",
"Si fuera conveniente, se puede descomponer un producto de valores absolutos aplicando esta regla: $|uv| = |u||v|$.",
"Se puede descomponer el valor absoluto en los valores absolutos del denominador y del numerador, aplicando esta igualdad: $|u/v| = |u| / |v|$.",
"En un cociente, se puede distribuir el valor absoluto en numerador y denominador según esta regla: $|u/v| = |u| / |v|$.",
"Se puede simplificar una potencia par de valor absoluto, aplicando la regla: si $u$ es reel, entonces $|u|^(2n)=u^(2n)$.",
"Los valores absolutos de una potencia se pueden simplificar siendo $n$ real, según esta regla: $|u^n|=|u|^n$.",
"Para todo valor real positivo u, resulta $|\\sqrt u| = \\sqrt u = \\sqrt |u|$.",
"Si $u$ es un real y si $n$ es un entero natural impar, o si $u$ es un reel positivo y si $n$ es un entero par positivo, resulta $|^n\\sqrt u| = ^n\\sqrt |u|$.",
"Se pueden simplificar los cocientes de valores absolutos aplicando esta regla, válida si $a$ y $c$ son dos reales no nulos: $|ab|/|ac|=|b|/|c|$",
"Se pueden simplificar los cocientes de valores absolutos aplicando esta regla, válida si $a$ es un real no nulo: $|ab|/|a|=|b|$",
"Puede haber un factor común al interior de los valores absolutos del numerador y del denominador. Si así fuera, podría resultar conveniente mostrarlo explícitamente.",
},
{ /* absolute_value_ineq1 */
"Si $c\\ge 0$, siempre se puede descomponer una ecuación $|u|=c$ en dos ecuaciones $u=c$, $u = -c$.",
"La ecuación $|u|/u=c$ tiene soluciones reales $u$ solo cuando $c$ es 1 o $-1$, y entonces las soluciones son $u = 1$, $u = -1$.",
"$|u| < v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo abierto de extremos $-v$ y $v$.",
"$|u| \\le v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$u < |v|$ si y solo si $v < -u$ o $u < v$",
"$u \\le |v|$ si y solo si $v \\le -u$ o $u \\le v$",
"La ecuación $|u| = u$ es equivalente a la inecuación $0 \\le u$, formulada sin el signo de valor absoluto.",
"La ecuación $|u| = -u$ es equivalente a la inecuación $u \\le 0$, formulada sin el signo de valor absoluto.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: debe ser siempre cierto $0 \\le |u|$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: no existe un real tal que $|u| < 0$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: para todo real $u$ y todo $c$ positivo, debe ser $-c \\le |u|$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $-c < |u|$ es siempre cierto para que $c$ sea positivo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $|u| < -c$ es falso, para que $c$ sea positivo",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $|u| \\le -c$ es falso, para que $c$ sea positivo",
"Si $c \\ge 0$, la inecuación $|u| \\le -c$ es posible solo si $u$ y $c$ son ambas nulas. En MathXpert, esta afirmación se formula así: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hipótesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habrá solución. En caso contrario, la solución encontrada determinará que sea $u=0$.",
"Si $c \\ge 0$, la ecuación $|u| = -c$ es posible si y solo si $u$ y $c$ son ambas nulas. En MathXpert, esta afirmación se formula así: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hipótesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habrá solución. En caso contrario, la solución encontrada determinará que sea $u=0$.",
},
{ /* absolute_value_ineq2 */
"$v > |u|$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo abierto de extremos $-v$ y $v$.",
"$v\\ge |u|$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$|v|>u$ si y solo si $-u>v$ o $v>u$",
"$|v|\\ge u$ si y solo si $-u\\ge v$ o $v\\ge u$",
"Los valores absolutos son siempre no negativos.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Si $c \\ge 0$, la inecuación $-c \\ge |u|$ es posible solo si $u$ y $c$ son ambos nulos. En MathXpert, esta afirmación se formula así: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hipótesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habrá solución. En caso contrario, la solución encontrada determinará que sea $u=0$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"$v\\ge 0$, $|u| \\le v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$u < |v|$ si y solo si $v < -u$ o $u < v$",
"Si $u$ es real, entonces $u^(2n) = |u|^(2n)$. Es decir que una potencia par se puede escribir como potencia de un valor absoluto",
"Si $n$ es real, entonces $|u|^n = |u^n|$. Es decir que los valores absolutos de una potencia siguen la regla $|u|^n = |u^n|$ si $n$ es real."
},
{ /* less_than */
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"Sumar un término adecuado en ambos miembros de la inecuación.",
"Restar un término adecuado en ambos miembros de la inecuación.",
"Cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiará también el sentido de la inecuación: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiará también el signo $<$ por $>$.",
"Se pueden multiplicar ambos miembros de la inecuación por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Si solo se sabe que $0 \\le c$ se debe pasar de $<$ a $\\le $.",
"Si se quisiera multiplicar ambos miembros por un valor real del que no se sabe si es positivo o negativo, será preferible multiplicar por su cuadrado, que siempre será no-negativo.",
"Se pueden dividir ambos miembros de la inecuación por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo.",
"Cuando ambos miembros son números, se puede simplemente calcular la inecuación numéricamente.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando ambos miembros son positivos, ambos se pueden elevar al cuadrado.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuación adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Combinar en un conjunto la inecuación $u < v$ y la correspondiente ecuación $u = v$.",
"Dos de las soluciones determinan intervalos que se superponen y que se deben combinar.",
"Hay una o más soluciones que no satisfacen la inecuación inicial. Tales soluciones podrían haberse introducidos al elevar al cuadrado la inecuación o simplificar una expresión. Conviene revisar las hipótesis a validar o refutar.",
},
{ /* greater_than */
"$u > v$ significa lo mismo que $v < u$",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros, cambiando al mismo tiempo $>$ por $<$ y viceversa.",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen términos de izquierda a derecha y viceversa. Así, por ejemplo: $-u > -v$ pasa a ser $v > u$.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuación adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Combinar en conjunto, la inecuación $u > v$ y la ecuación correspondiente $u = v$.",
},
{ /* less_than_or_equals 40 */
"$x \\le y$ significa lo mismo que $y \\ge x$",
"Sumar un término adecuado a ambos miembros de la inecuación.",
"Restarles un término adecuado a ambos miembros de la inecuación.",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiará también el sentido de la inecuación: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen términos de izquierda a derecha y viceversa. Así, por ejemplo: $-u \\le -v$ pasa a ser $v \\ge u$.",
"Se pueden multiplicar ambos miembros de la inecuación por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Se debe cambiar el sentido de la inecuación si $c<0$: si $0 \\le c$ se deberán intercambiar los signos $<$ por $\\le $ y viceversa.",
"Si se quisiera multiplicar ambos miembros por un valor real del que no se sabe si es positivo o negativo, será preferible multiplicar por su cuadrado, que siempre será no-negativo.",
"Se pueden dividir ambos miembros de la inecuación por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Se debe cambiar el sentido de la inecuación si $c<0$: si $0 \\le c$ se deberán intercambiar los signos $<$ por $\\le $ y viceversa.",
"Cuando ambos miembros son números, se puede simplemente calcular la inecuación numéricamente.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Siempre que sean no negativos, ambos miembros se pueden elevar al cuadrado.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuación adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Dos de las soluciones determinan intervalos que se superponen y que se deben combinar.",
"Hay una o más soluciones que no satisfacen la inecuación inicial. Tales soluciones podrían haberse introducidos al elevar al cuadrado la inecuación o simplificar una expresión. Conviene revisar las hipótesis a validar o refutar.",
},
{ /* greater_than_or_equals */
"$x \\ge y$ significa lo mismo que $y \\le x$",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiará también el sentido de la inecuación: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen términos de izquierda a derecha y viceversa. Así, por ejemplo: $-u \\le -v$ pasa a ser $v \\ge u$.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuación adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
},
{ /* square_ineq1 */
"Se puede extraer la raíz cuadrada de ambos miembros, bajo esta condición: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la raíz cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la raíz cuadrada del término constante y el opuesto tal raíz.",
"Se puede siempre extraer la raíz cuadrada de ambos miembros, bajo este recaudo: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la raíz cuadrada de una inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las raíces cuadradas positivas y negativas.",
"Al extraer la raíz cuadrada de una inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las raíces cuadradas positivas y negativas.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuación. Seleccionar la inecuación completa para realizar esta operación.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuación. Seleccionar la inecuación completa para realizar esta operación.",
"Despejar la raíz cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuación.",
"Despejar la raíz cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuación.",
"Despejar la raíz cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuación.",
"Si los dos miembros de una inecuación son positivos, se puede sacar la raíz cuadrada de cada uno de estos dos miembros: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Las raíces cuadradas son siempre no negativas, pero al elevar al cuadrado una raíz, se debe verificar que el valor bajo la raíz sea no negativo."
},
{ /* square_ineq2 */
"Se puede extraer la raíz cuadrada de ambos miembros, bajo esta condición: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la raíz cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la raíz cuadrada del término constante y el opuesto tal raíz.",
"Se puede siempre extraer la raíz cuadrada de ambos miembros, bajo este recaudo: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la raíz cuadrada de una inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las raíces cuadradas positivas y negativas.",
"Al extraer la raíz cuadrada de una inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las raíces cuadradas positivas y negativas.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuación. Seleccionar la inecuación completa para realizar esta operación.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuación. Seleccionar la inecuación completa para realizar esta operación.",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación.",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación.",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación.",
"Si los dos miembros de una inecuación son positivos, se puede sacar la raíz cuadrada de cada uno de estos dos miembros: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Las raíces cuadradas son siempre positivas, pero al elevar al cuadrado una raíz, se debe verificar que el valor bajo la raíz sea no negativo."
},
{ /* recip_ineq1 */
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precaución respecto de la posibilidad de la inclusión de ceros en el intervalo",
"Calcular la inversa, con la necesaria precaución respecto de la posibilidad de la inclusión de ceros en el intervalo"
},
{ /* recip_ineq2 */
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la incógnita del denominador.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precaución respecto de la posibilidad de la anulación.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precaución respecto de la posibilidad de la anulación.",
},
{ /* root_ineq1 46 */
"Siendo $n$ impar, se puede sacar la raíz e$n$-ésima de ambos miembros de una inecuación.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero con esta precaución: si $a>0$, entonces $u^(2n) < a => |u| < ^(2n)\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero con esta precaución: $u^2^n < a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a < u < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero con esta precaución: $0 \\le a < u^2^n => ^2^n\\sqrt a < |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la raíz e$m$-ésima: $a < u^2^n$ si y solo si $v < -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a < u$.",
"Si $n$ es par, se puede sacar la raíz e$n$-ésima de tres miembros pero sabiendo que debe obtenerse entonces un intervalo adicional que corresponde al opuesto de la raíz e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima. Debe recordarse que si $n$ es par, la función raíz e$n$-ésima no está definida sino en el conjunto de los reales positivos, lo que obliga a explicitar esta condición. Por ejemplo, $^4\\sqrt x < 16$ se convierte en $0 \\le x < 2$.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de la desigualdad a una una potencia positiva impar.",
"Si los dos miembros de una desigualdad son positivos, se los puede elevar a cualquier potencia estrictamente positiva.",
"La función raíz e$n$-ésima tiene valores positivos cuando $n$ es par, pero al elevar tal raíz a una potencia, no hay que olvidar que el término bajo la raíz debe ser positivo."
},
{ /* root_ineq2 */
"Siendo $n$ impar, se puede sacar la raíz e$n$-ésima de ambos miembros de una inecuación.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero con esta precaución: $u^2^n \\le a$ si y solo si $|u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la raíz e$m$-ésima: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero con esta precaución: $0 \\le a \\le u^2^n$ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la raíz e$m$-ésima de ambos miembros de una inecuación, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la raíz e$m$-ésima: $a \\le u^2^n$ si y solo si $v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Si $n$ es par, se puede sacar la raíz e$n$-ésima de tres miembros pero sabiendo que debe obtenerse entonces un intervalo adicional que corresponde al opuesto de la raíz e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima. Debe recordarse que si $n$ es par, la función raíz e$n$-ésima no está definida sino en el conjunto de los reales positivos, lo que obliga a explicitar esta condición. Por ejemplo, $^4\\sqrt x < 16$ se convierte en $0 \\le x < 2$.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"De tener una raíz e$n$-ésima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-ésima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de la desigualdad a una una potencia positiva impar.",
"Si los dos miembros de una desigualdad son positivos, se los puede elevar a cualquier potencia estrictamente positiva.",
"La función raíz e$n$-ésima tiene valores positivos cuando $n$ es par, pero al elevar tal raíz a una potencia, no hay que olvidar que el término bajo la raíz debe ser positivo."
},
{ /* zero_ineq1 */
"Se deben eliminar todos los factores positivos.",
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condición para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente más fácil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condición para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente más fácil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resolución de una inecuación lineal, puede ser conveniente la factorización de un coeficiente de la incógnita: si $a$ es no nulo, será $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) < 0$, el conjunto solución es el intervalo entre las raíces del cuadrático, es decir, $a < x < b$, si $a < b$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $0 < (x-a)(x-b)$, con $a < b$, el conjunto solución está compuesto por todos los valores que no están entre las dos raíces, es decir, $x < a$ o $b < x$."
},
{ /* zero_ineq2 49*/
"Se debieran eliminar todos los factores positivos.",
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condición para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente más fácil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condición para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente más fácil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resolución de una inecuación lineal, puede ser conveniente la factorización de un coeficiente de la incógnita: si $a$ es no nulo, será $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) \\le 0$, el conjunto solución es el intervalo entre las raíces del cuadrático, es decir, $a \\le x \\le b$, si $a < b$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $0 \\le (x-a)(x-b)$, con $a < b$, el conjunto solución está compuesto por todos los valores que no están entre las dos raíces, es decir, $x \\le a$ o $b \\le x$."
},
{ /* square_ineq3 50 */
"Se puede extraer la raíz cuadrada de ambos miembros, bajo esta condición: Si $a >0$, entonces $a > u^2$ es equivalente a $\\sqrt a > |u|$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la raíz cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la raíz cuadrada del término constante y el opuesto tal raíz.",
"Se pueden extraer la raíz cuadrada de ambos miembros de una inecuación, destacando lo siguiente: si $a>0$, entonces $v^2 > a$ es equivalente a $|v| > \\sqrt a$.",
"Al extraer la raíz cuadrada de ambos miembros; de esta inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a la raíz cuadrada positiva y a su opuesta.",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Cuando todos los términos de una inecuación son positivos, se pueden extraer las raíces cuadradas de ambos miembros de esa inecuación: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Los cuadrados siempre son no negativos.",
"Los cuadrados siempre son no negativos.",
"Las raíces cuadradas siempre son no negativas, pero si elevas al cuadrado una raíz cuadrada, no olvides que lo que está bajo la raíz debe ser no negativo."
},
{ /* square_ineq4 51 */
"Se pueden extraer la raíz cuadrada de ambos miembros de una inecuación, destacando lo siguiente: si $a >0$, entonces $a \\ge u^2$ es equivalente a $\\sqrt a \\ge |u|$. No se debe olvidar el valor absoluto.",
"Extraer la raíz cuadrada de ambos miembros; se obtiene un intervalo cuyos extremos son la raíz cuadrada de un miembro constante y el opuesto de dicha raíz.",
"Se puede extraer la raíz cuadrada de ambos miembros de la inecuación, destacando lo siguiente: cuando $a>0$, la inecuación $0 \\le u < v^2$ es equivalente a $\\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la raíz cuadrada de ambos miembros; de esta inecuación, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a la raíz cuadrada y a su opuesta.",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Se despeja una raíz cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación",
"Cuando todos los términos de una inecuación son positivos, se pueden extraer las raíces cuadradas de ambos miembros de esa inecuación: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"La aplicación cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos.",
"La aplicación cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos.",
"La aplicación cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos, pero cuando se eleva al cuadrado una raíz cuadrada, no debe olvidarse que lo que esté bajo la raíz sea positivo."
},
{ /* recip_ineq3 52 */
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros"
},
{ /* recip_ineq4 53 */
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros"
},
{ /* root_ineq3 54 */
"Siendo $n$ impar, se pueden sacar las raíces e$n$-ésimas de ambos miembros de una inecuación.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, siempre que se corrobore lo siguiente: $u^2^n \\le si y solo si |u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, pero se obtendrá una segunda inecuación correspondiente a la opuesta de la raíz e$m$-ésimas: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, siempre que se corrobore lo siguiente: $0 \\le a \\le u^2^n $ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, pero se obtendrá una segunda inecuación correspondiente a la opuesta de la raíz e$m$-ésimas: $a \\le u^2^n$ si y solo si $ v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Siendo $m$ par, se pueden sacar las raíces e$n$-ésimas de tres miembros, pero además se obtendrá un intervalo adicional correspondiente a la opuesta de la raíz e$n$-ésimas.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de una inecuación a una potencia positiva impares.",
"Se puede elevar ambos miembros de una inecuación a cualquier potencia positiva, si ambos miembros son positivos.",
"La función raíz e$n$-ésima toma siempre valores positivos cuando $n$ es par, pero cuando se eleva tales raíces a una potencia, se debe destacar que el termino bajo la raíz debe ser positivo."
},
{ /* root_ineq4 55 */
"Siendo $n$ impar, se pueden sacar las raíces e$n$-ésimas de ambos miembros de una inecuación.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, siempre que se corrobore lo siguiente: $u^2^n \\le si y solo si |u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, pero se obtendrá una segunda inecuación correspondiente a la opuesta de la raíz e$m$-ésimas: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, siempre que se corrobore lo siguiente: $0 \\le a \\le u^2^n $ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las raíces e$m$-ésimas de ambos miembros de la inecuación, pero se obtendrá una segunda inecuación correspondiente a la opuesta de la raíz e$m$-ésimas: $a \\le u^2^n$ si y solo si $ v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Siendo $m$ par, se pueden sacar las raíces e$n$-ésimas de tres miembros, pero además se obtendrá un intervalo adicional correspondiente a la opuesta de la raíz e$n$-ésimas.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"La raíz e$n$-ésima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-ésima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de una inecuación a una potencia positiva impares.",
"Se puede elevar ambos miembros de una inecuación a cualquier potencia positiva, si ambos miembros son positivos.",
"La función raíz e$n$-ésima toma siempre valores positivos cuando $n$ es par, pero cuando se eleva tales raíces a una potencia, se debe destacar que el termino bajo la raíz debe ser positivo."
},
{ /* zero_ineq3 56*/
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condición para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente más fácil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condición para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente más fácil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resolución de una inecuación lineal, puede ser conveniente la factorización de un coeficiente de la incógnita: si $a$ es no nulo, será $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) < 0$, el conjunto solución es el intervalo entre las raíces del cuadrático, es decir, $a < x < b$, si $a < b$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $0 < (x-a)(x-b)$, con $a < b$, el conjunto solución está compuesto por todos los valores que no están entre las dos raíces, es decir, $x < a$ o $b < x$."
},
{ /* zero_ineq4 57 */
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condición para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente más fácil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la pérdida de información sobre el dominio de definición. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las raíces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condición para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente más fácil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resolución de una inecuación lineal, puede ser conveniente la factorización de un coeficiente de la incógnita: si $a$ es no nulo, será $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) \\le 0$, el conjunto solución es el intervalo entre las raíces del cuadrático, es decir, $a \\le x \\le b$, si $a < b$.",
"Cuando tienes una desigualdad de la forma $0 \\le (x-a)(x-b)$, con $a < b$, el conjunto solución está compuesto por todos los valores que no están entre las dos raíces, es decir, $x \\le a$ o $b \\le x$."
},
{ /* binomial_theorem 58 */
"Desarrollar la potencia, aplicando el teorema binomial.",
"Aplicar el teorema binomial con coeficientes binomiales $(n k)$.",
"Expresar los coeficientes binomiales en términos de factorial, aplicando $(n k) = n!/((n-k)!k!)$.",
"Aplicar la definición de factorial, $n! = n(n-1)(n-2)...1$.",
"Calcular el factorial explícitamente.",
arithhint,
"Calcular los coeficientes binomiales (n k).",
"Desarrollar la sumatoria o suma indexada de notación $\\sum $ como una suma ordinaria.",
"Calcular la sumatoria o suma indexada de notación $\\sum $ como un número racional.",
"Aplicar la ecuación recursiva para la función factorial, $n! = n(n-1)$.",
"$n!$ es divisible por $n$, con cociente $(n-1)!$.",
"$n!$ es divisible por $(n-1)!$, con cociente $n$.",
"$n!$ es divisible por $k!$ cuando $k$ es menor que $n$.",
"$n!$ es divisible por $n$, con cociente $(n-1)!$.",
"$n!$ es divisible por $(n-1)!$, con cociente $n$.",
"$n!$ es divisible por $k!$ cuando $k$ es menor que $n$."
},
{ /* factor_expansion 59 */
"Indicar si se ha reconocido el cubo de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido el cubo de una diferencia. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia cuarta de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia cuarta de una diferencia. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia de una diferencia. Factorizar en tal caso."
},
{ /* sigma_notation 60 */
"El término general de la suma indexada, bajo el signo $\\sum $, no depende del índice sumatorio; así que la suma es igual al producto del término general por el número de términos de esa suma",
"Tratar de obtener el signo negativo fuera del signo $\\sum $.",
"Extraer las constantes fuera del signo $\\sum $",
"Descomponer en dos o en más la suma, aplicando esta regla $\\sum (u+v) = \\sum u + \\sum v$",
"Descomponer en dos la suma, aplicando esta regla $\\sum (u-v) = \\sum u - \\sum v$",
"Desarrollar la suma indexada según la notación $\\sum $ como una suma ordinaria, expresada con el signo $+$.",
"Hay una fórmula para la suma de los primeros $n$ enteros naturales.",
"Hay una fórmula para la suma de los primeros $n$ cuadrados.",
"Hay una fórmula explícita para la sumatoria de una progresión geométrica, $1+x+..+x^n$.",
"Mostrar los primeros términos.", /* Not used en auto mode */
"Calcular la suma indexadas de notación $\\sum $, expresando el resultado de la sumatoria como una fracción racional.",
"Calcular en decimal.", /* Not used en auto mode */
"Calcular la suma indexadas de notación $\\sum $, expresando el resultado de la sumatoria como una fracción racional.",
"Calcular en decimal.", /* Not used en auto mode */
"Expresar el término general de la sumatoria como una función polinómica de la suma indexada.",
"Esta es una suma telescópica: una parte de sus términos se simplifica con otra, la de los términos sucesivos."
},
{ /* advanced_sigma_notation 61*/
"Trasladar el índice de la sumatoria. En otras palabras, sumar el mismo número a los dos terminales del conjunto de índices, y adaptar el término general de la suma a fin de dejarlo sin cambios, representando los mismos términos.",
"Renombrar la variable índice.",
"Un producto de dos sumatorias se convierte en una doble sumatoria: $(\\sum u)(\\sum v) = \\sum \\sum uv$",
"Separar el ultimo término de la sumatoria, para poder aplicar la hipótesis de inducción.",
"Hay una fórmula para la suma de los primeros $n$ cubos.",
"Hay una fórmula para la suma de las primeras $n$ potencias cuartas.",
"Se puede diferenciar término por término. Osea, la derivada de una suma finita es la suma de las derivadas.",
"Extraer el signo de derivación fuera de la sumatoria. Seleccionar la sumatoria completa para activar esta opción.",
"Se puede integrar término por término. Osea, la integral en un intervalo de una suma finita de funciones integrables en ese intervalo, es la suma de las integrales en ese intervalos de esas funciones.",
"Extraer el signo de integración fuera de la sumatoria. Seleccionar la sumatoria completa para activar esta opción.",
"Incorporar una constante a la sumatoria.",
"Si el nuevo valor mínimo del índice de la sumatoria fuese cero, sería posible resolver este problema.",
"Si el nuevo valor mínimo del índice de la sumatoria fuese diferente, sería posible resolver este problema."
},
{ /* prove_by_induction 62*/
"Seleccionar la variable de inducción, la que se emplea para indexar el razonamiento por recurrencia.",
"Comenzar con el caso base, comprobando la propiedad para el primer valor del índice de recurrencia.",
"Comenzar el paso de inducción o etapa general de recurrencia, que muestra el paso de $n$ a $n+1$.",
"Ahora, aplicar la hipótesis de inducción.",
"Contando con todos los elementos, pasar a la conclusión"
},
{ /* trig_ineq */
"Recordar que la función seno toma valores entre $-1$ y 1: $|sin u| \\le 1$",
"Recordar que la función coseno toma valores entre $-1$ y 1: $|cos u| \\le 1$",
"$sin u \\le u$ si $u\\ge 0$",
"$1 - u^2/2 \\le cos u$",
"Por definición de función arcotangente, resulta $|arctan u| \\le \\pi /2$",
"Si $u\\ge 0$, entonces $arctan u \\le u$.",
"Si $u\\ge 0$, entonces $u \\le tan u$."
},
{ /* log_ineq1 */
"La función logaritmo natural, cuya notación es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La función logaritmo decimal, cuya notación es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq2 */
"La función logaritmo natural, cuya notación es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La función logaritmo decimal, cuya notación es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq3 */
"La función logaritmo natural, cuya notación es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La función logaritmo decimal, cuya notación es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq4 */
"La función logaritmo natural, cuya notación es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La función logaritmo decimal, cuya notación es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formulándolos como potencias.",
"Funciones exponenciales controlan los polinomios.",
"Funciones algebraicas controlan los logaritmos.",
},
{ /* logarithms_base10 */
"Vale tener en cuenta que: log $a$ es un número tal que $$10^log a = a$$.",
"Un log en el exponente se puede simplificar aplicando la regla: $$10^(n log a) = a^n$$",
"Vale tener en cuenta que: $log 10^n = n$, al menos para $n$ real.",
"Vale tener en cuenta que: logaritmo de 1 es 0.",
"Vale tener en cuenta que: log 10 es 1.",
"Expresar el logaritmo en términos de ln aplicando la fórmula $log a = (ln a)/(ln 10)$.",
"Toda potencia $u^v$ puede expresarse aplicando logaritmos como $$10^(v log u)$$",
"Al factorizar un número, se lo puede descomponer en sus logaritmos.",
"Se puede simplificar un logaritmo decimal al factorizarlo en potencias de 10.",
"$log(a/b) = -log(b/a)$",
"$log(b,a/c) = -log(b,c/a)$"
},
{ /* logarithms */
"Descomponer logaritmos de potencias aplicando esta regla $log a^n = n log a$.",
"Para multiplicar, sumar los logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log ab = log a + log b$.",
"El logaritmo del inverso es el opuesto del logaritmo: $log 1/a = -log a$",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a/b = log a - log b$",
"Para multiplicar, sumar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a + log b = log ab$",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a - log b = log a/b$",
"Para multiplicar o dividir, sumar o restar logaritmos: si $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $log a + log b - log c =log ab/c$",
"Se puede incorporar un factor al interior del logaritmo aplicando esta regla: si $a>0$, entonces para todo real $n$, se verifica que $n log a = log a^n$.",
"Los logaritmos de raíces cuadradas se simplifican según la regla, válida para todo $a>0$: $log \\sqrt a = 1/2 log a$",
"Los logaritmos de raíces e$n$-ésima se simplifican según la regla, válida para todo $a>0$: $log ^n\\sqrt a = (1/n) log a$",
"El log de 1 es 0.",
"Factorizar un número completamente facilita la simplificación de su logaritmo.",
"La factorización en potencias de 10 facilita simplificar al logaritmo decimal.",
"Tratar de expresar $log(u)$ como $1/a log u^a$",
"Se pueden calcular logaritmos numéricamente.",
"Expresar el logaritmo en términos de ln aplicando la fórmula $log a = (ln a)/(ln 10)$."
},
{ /* logarithms_base_e */
"Un logaritmo en un exponente se puede simplificar aplicando esta regla: si $a>0$, entonces $e^ln a = a$.",
"ln e = 1",
"ln 1 = 0",
"Para todo número real $n$, resulta $ln e^n = n$.",
"Toda potencia de la forme $u^v$ puede expresarse como $$e^(v ln u)$$",
"Un logaritmo en una potencia se puede simplificar aplicando esta regla: si $c>0$, entonces $$e^((ln c) a) = c^a$$"
},
{ /* natural_logarithms */
"$ln a^n = n ln a$.",
"Para multiplicar, sumar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln ab = ln a + ln b$.",
"El logaritmo del inverso es el opuesto del logaritmo: $ln 1/a = -ln a$.",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a/b = ln a - ln b$.",
"ln 1 = 0",
"Factorizar un número completamente.",
"Las sumas de logaritmos naturales se agrupan según esta regla: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a + ln b = ln ab$.",
"Las diferencias de logaritmos naturales se agrupan según esta regla: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a - ln b = ln a/b$.",
"Para multiplicar o dividir, sumar o restar logaritmos naturales: si $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$.",
"Para todo número real $n$, resulta $n ln a = ln a^n$",
"Los logaritmos naturales de raíces cuadradas se simplifican según la regla, válida para todo $a>0$: $ln \\sqrt a = \\onehalf ln a$.",
"Los logaritmos naturales de raíces e$n$-ésima se simplifican según la regla, válida para todo $a>0$: $ln ^n\\sqrt a = (1/n) ln a$.",
"Tratar de expresar $ln(1+v)$ como $v ln((1+v)^(1/v))$, empleando la definición de $e$ como límite.",
"Se pueden calcular logaritmos numéricamente.",
"ln(a/b) = -ln(b/a)"
},
{ /* reverse_trig */
"Aplicar la fórmula recíproca del seno de una suma.",
"Aplicar la fórmula recíproca del seno de una diferencia.",
"Aplicar la fórmula recíproca del coseno de una suma.",
"Aplicar la fórmula recíproca del coseno de una diferencia.",
"Aplicar la fórmula recíproca de la tangente de medio ángulo.",
"Aplicar una de la fórmulas para la tangente de medio ángulo.",
"Aplicar una de la fórmulas para la cotangente de medio ángulo.",
"Aplicar una de la fórmulas para la cotangente de medio ángulo.",
"Aplicar la fórmula recíproca de la tangente de una suma.",
"Aplicar la fórmula recíproca de la tangente de una diferencia.",
"Aplicar la fórmula recíproca para la cotangente de una suma.",
"Aplicar la fórmula recíproca para la cotangente de una diferencia.",
"Expresar $1 - cos \\theta $ como $2 sin^2(\\theta /2)$"
},
{ /* complex_polar_form 73 */
"Expresar el número complejo en forma polar",
"Desarrollar el exponencial complejo con formulación asociada a $sin$ y $cos$",
"La imagen de un real mediante la función exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"La imagen de un real mediante la función exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"La imagen de un real mediante la función exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"El signo menos puede eliminarse aplicando esta regla: $-a = ae^(i\\pi )$.",
"La función raíz e$n$-ésima compleja no es en general ni par ni impar: dado que $a$ es complejo, $^n\\sqrt (-a)$ no equivale a $-^n\\sqrt a$ cuando se opera con números complejos. Hay un factor complejo tal que: $$sqrt (-a) = e^(pi i/n) root(n,a)$$.",
"Los exponentes complejos debieran organizarse en el numerador.",
"Aplicar la fórmula de De Moivre para obtener la expresión de las $n$ raíces e$n$-ésima de un número complejo.",
"Reemplazar el parámetro entero por números específicos para obtener una lista completa de las soluciones."
},
{ /* logs_to_any_base */
"Aplicar la definición de un logaritmos en base $b$: para todo real $a>0$, $$b^(log(b,a)) = a$$",
"Un logaritmo en el exponente se puede simplificar aplicando la regla: $$b^(n log(b,a)) = a^n$$ válida para todo real $a>0$.",
"$$log(b,b) = 1$$",
"$$log(b,b^n) = n$$",
"El logaritmo de cualquier base, de un producto, se puede simplificar aplicando esta regla: si $x$ y $y$ son reales positivos, entonces $log xy = log x + log y$",
"El logaritmo de cualquier base, del inverso de un número, se puede simplificar aplicando esta regla: para todo real $x>0$, $log (1/x) = -log x$.",
"Para dividir, restar los logaritmos: si $x$ y $y$ son reales positivos, entonces $log x/y = log x-log y$",
"$$log(b,1) = 0$$.",
"Factorizar la base de logaritmos; por ejemplo, $$log(4,x)=log(2^2,x)$$",
"Para todo real $x>0$, todo entero $n>0$, y todo real $b>1$, $$log(b^n, x) = (1/n) log (b, x)$$",
"Para todo real $x>0$, y todo real $n$, $log x^n = n log x$.",
"Factorizar las potencias de la base de los logaritmos.",
"Para todo real $x$ y $y$ positivos, $log x + log y = log xy$.",
"Para todo real $x$ y $y$ positivos, $log x - log y = log x/y$.",
"Para todo real $x$, $y$ y $z$ positivos, $log x + log y - log z =log xy/z$.",
"Para todo real $x$ positivos y todo real $n$, $n log x = log x^n$.",
},
{ /* change_base */
"Convertir los logaritmos en logaritmos naturales.",
"Convertir los logaritmos a la base 10.",
"Convertir la base de los logaritmos.",
"Convertir los logaritmos en una base común, aplicando esta regla: $log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$",
"La notación de la función logarítmica decimal, es decir de base 10, es log",
"La notación de la función logarítmica natural, es decir de base $e$, es ln",
"Convertir log a ln",
"Convertir ln a log",
"Expresar la potencia con la variable en el exponente, con la fórmula: $$u^v = b^(v log(b,u))$$"
},
{ /* evaluate_trig_functions 76 */
"La función seno vale cero en cero.",
"La función coseno vale uno en cero.",
"La función tangente vale cero en cero.",
"Los ceros de la función seno son múltiplos de $\\pi $",
"La función coseno toma valor 1 en todos los múltiplos pares de $\\pi $",
"Los ceros de la función tangente son múltiplos de $\\pi $",
"Como las funciones trigonométricas son periódicas, se debe encontrar un ángulo representante del resultado entre 0 y $360\\deg$. Seleccionar una función trigonométrica con un argumento en el intervalo apropiado.",
"Como las funciones trigonométricas son periódicas, se debe encontrar un ángulo representante del resultado entre 0 y $2\\pi $. Seleccionar una función trigonométrica con un argumento en el intervalo apropiado.",
"Se conocen los valores de cada función trigonométrica cuando el ángulo es un múltiplo de $90\\deg$.",
"Aplicar las relaciones de un triángulo de lados $1-2-\\sqrt 3$.",
"Aplicar las relaciones de un triángulo de lados $1-1-\\sqrt 2$.",
"Convertir radianes en grados.",
"Convertir grados en radianes.",
"Expresar el ángulo bajo la forma $a 30\\deg + b 45\\deg $; donde se pueden aplicar las fórmulas de suma por tramos. ",
"Evaluae numéricamente."
},
{ /* basic_trig */
"Expresar la función tangente en términos de las funciones seno y coseno.",
"Expresar la función cotangente en términos de la función tangente.",
"Expresar la función cotangente en términos de las funciones seno y coseno.",
"Expresar la función secante en términos de la función coseno.",
"Expresar la función cosecante en términos de la función seno.",
"Combinar seno y coseno en tangente",
"Combinar coseno y seno en cotangente"
}
};
/*_________________________________________________*/
const char *Spanish_hints(int n, int m)
/* Borland's compiler chokes if all the hints are put into
a single array. Therefore they are divided into two
smaller arrays. The dimension of the first array is
calculated so that it will not be sensitive to a
change of dimension of hintstrings1. If in the future
it chokes again on hints1, you can just move the bottom
array of strings from hints1 to hints2.
*/
{ int nitems; /* number of menus represented in hintstrings1 */
nitems = sizeof(hintstrings1) / (MAXLENGTH * sizeof(char *));
if(n < nitems)
return hintstrings1[n][m];
else
return Spanish_hints2(n-nitems,m);
}
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