Sindbad~EG File Manager
�� ( � �O H �O __text __TEXT @ H �T � __const __TEXT @ � __cstring __TEXT K �� � __data __DATA �� U 0� �T 2 __const __DATA �D P 0J �� � __debug_abbrev __DWARF 8J � �O __debug_info __DWARF �J P à __debug_str __DWARF �K S 3Q __apple_names __DWARF >M � �R __apple_objc __DWARF �M $ 2S __apple_namespac__DWARF N $ VS __apple_types __DWARF 2N � zS __compact_unwind__LD �N @ T � __debug_line __DWARF �N � @T � 2
� ^ � �S P Y Y ^ �C �� ���� � � ��C ��_�C �� ���� � � yi��C ��_�arithmetic calcolo numerico calcolo numerico di $\sqrt $ o $^n\sqrt $ valore numerico di $x^n$ valore numerico di una funzione fattore intero valuta numericamente in un punto valore numerico di $\pi $ valore numerico e calcola il valore della funzion fattorizza numericamente il polinomio valuta il numero di Bernoulli esattamente valuta il numero di Euler esattamente da decimale a frazione esprimi come quadrato esprimi come cubo esprimi come ?-esima potenza esprimi come potenza di ? scrivi un intero come a^n x = ? + (x-?) $i^2 = -1$ i^(4n) = 1 i^(4n+1) = i i^(4n+2) = -1 i^(4n+3) = -i aritmetica complessa potenza di un numero complesso aritmetica complessa e potenze calcolo numerico complesso fattori interi di un intero fattori complessi di un intero fattorizza n+mi (n non nullo) calcola numericamente $\sqrt $ o $^n\sqrt $ semplifica il segno meno -(-a)=a distribuisci -(a+b) = -a-b -a-b = -(a+b) raggruppa termini metti i termini in ordine elimina i termini nulli x+0 = x elimina $\pm $ termini raccogli $\pm $ termii (una volta) raccogli tutti $\pm $ i termini nella somma a+b = b+a a(b-c) = -a(c-b) -ab = a(-b) -abc = ab(-c) a(-b)c = ab(-c) $x\volte 0 = 0\volte x = 0$ $x\volte 1 = 1\volte x = x$ a(-b) = -ab a(-b-c) = -a(b+c) (-a-b)c = -(a+b)c raggruppa fattori colleziona numeri ordina fattori raccogli potenze a(b+c)=ab+ac $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ ab = ba moltiplica prodotti di somme moltiplica il numeratore moltiplica il denominatore $na = a +...+ a$ 0/a = 0 a/1 = a a(1/a) = 1 moltiplica frazioni (a/c)(b/d)=ab/cd a(b/c) = ab/c semplifica ab/ac = b/c somma frazioni $a/c \pm b/c=(a\pm b)/c$ distribuisci $(a \pm b)/c = a/c \pm b/c$ distribuisci ed elimina $(ac\pm b)/c = a\pm b/c$ divisione polinomiale elimina attraverso divisione polinomiale au/bv=(a/b)(u/v) (a,b interi) a/b = (1/b) a au/b=(a/b)u (numeri reali a,b) ab/cd = (a/c)(b/d) ab/c = (a/c) b (-a)/(-b) = a/b -(a/b) = (-a)/b -(a/b) = a/(-b) (-a)/b = -(a/b) a/(-b)= -a/b (-a-b)/c = -(a+b)/c a/(-b-c) = -a/(b+c) a/(b-c) = -a/(c-b) -a/(-b-c) = a/(b+c) -a/(b-c) = a/(c-b) -(-a-b)/c = (a+b)/c $$(a-b)/(c-d) = (b-a)/(d-c)$$ ab/c = a(b/c) a/bc = (1/b) (a/c) (a/c)/(b/c) = a/b a/(b/c)=ac/b (inverti e moltiplica) 1/(a/b) = b/a (a/b)/c = a/(bc) (a/b)/c = (a/b)(1/c) (a/b)c/d = ac/bd fattorizza il denominatore denominatore comune nella frazione trova un denominatore comune trova un denominatore comune (solo frazioni) moltiplica frazioni (a/b)(c/d)=ac/bd moltiplica frazioni a(c/d)= ac/d ordina i fattori somma frazioni $a/c \pm b/c=(a \pm b)/c$ denominatore comune denominatore comune (solo frazioni) denominatore comune e semplifica numeratore denominatore comune e semplifica (solo frazioni) moltiplica numeratore e denominatore per ? a^0 = 1 (a non nullo) a^1 = a 0^b = 0 se b > 0 1^b = 1 $(-1)^n = \pm 1$ (n pari o dispari) (a^b)^c = a^(bc) se a>0 o $c\in Z$ $(-a)^n = (-1)^na^n$ $(a/b)^n = a^n/b^n$ $(ab)^n = a^nb^n$ $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ espandi attraverso il teorema binomiale a^(b+c) = a^b a^c $a^n/b^n = (a/b)^n$ b^n/b^m = b^(n-m) ab^n/b^m = a/b^(m-n) a^2 = aa a^3 = aaa a^n = aaa...(n volte) a^n = a^?a^(n-?) $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 a^(bc) = (a^b)^c se $a>0$ o $c\in Z$ a^(bc) = (a^c)^b se $a>0$ o $c\in Z$ a^(b?) = (a^b)^? 1/a^n = (1/a)^n a^(-n) = $1/a^n$ (n costante) $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ (n costante) a^(-1) = 1/a $a^(-n) = 1/a^n$ $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ a/b^(-n) = ab^n $a/b^n = ab^(-n)$ a/b = ab^(-1) $(a/b)^(-n) = (b/a)^n$ a^(b-c) = a^b/a^c $\sqrt x\sqrt y = \sqrt (xy)$ $\sqrt (xy) = \sqrt x\sqrt y$ $\sqrt (x^2y) = x\sqrt y$ o $|x|\sqrt y$ $\sqrt (x^2)=x$ se $x\ge 0$ $\sqrt (x^2)=|x|$ fattorizza intero x in $\sqrt x$ $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$ $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$ $\sqrt x/\sqrt y = \sqrt (x/y)$ $x/\sqrt x = \sqrt x$ $\sqrt x/x = 1/\sqrt x$ $(\sqrt x)^2^n = x^n$ se $x\ge 0$ $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$ calcola $\sqrt $ come razionale calcola $\sqrt $ come decimale aritmetica semplice mostra fattori comuni in in $\sqrt u/\sqrt v$ fattorizza il polinomio sotto il segno $\sqrt $ razionalizza il denominatore razionalizza il numeratore $\sqrt (x^2)=|x|$ o $\sqrt (x^2^n)=|x|^n$ elimina $\sqrt $: $\sqrt (xy)/\sqrt y = \sqrt x$ moltiplica sotto il segno di $\sqrt $ $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$ $^2\sqrt u = \sqrt u$ $\sqrt u = ^2^n\sqrt u^n$ $\sqrt u = (^2^n\sqrt u)^n$ $\sqrt (u^2^n) = u^n$ se $u^n\ge 0$ $\sqrt (u^(2n+1)) = u^n\sqrt u$ se $u^n\ge 0$ $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$ se $a\ge 0$ razionalizza denominatore e semplifica $a ^ \onehalf = \sqrt a$ $a^(n/2) = \sqrt (a^n)$ $a^(b/n) = ^n\sqrt (a^b)$ $\sqrt a = a ^ \onehalf $ $^n\sqrt a = a^(1/n)$ $^n\sqrt (a^m) = a^(m/n)$ $(^n\sqrt a)^m = a^(m/n)$ $(\sqrt a)^m = a^(m/2)$ $1/\sqrt a = a^(-\onehalf )$ $1/^n\sqrt a = a^(-1/n)$ calcola (-1)^(p/q) fattorizzazione intera di a in a^(p/q) a/b^(p/q) = (a^q/b^p)^(1/q) a^(p/q)/b = (a^p/b^q)^1/q) $a^(n/2) = (\sqrt a)^n$ $a^(m/n) = (^n\root a)^m$ $^n\sqrt x^n\sqrt y = ^n\sqrt (xy)$ $^n\sqrt (xy) = ^n\sqrt x ^n\sqrt y$ $^n\sqrt x^m = (^n\sqrt x)^m$ se $x\ge 0$ o n dispari $^n\sqrt (x^ny) = x ^n\sqrt y$ o $|x|^n\sqrt y$ $^n\sqrt (x^n) = x$ se $x\ge 0$ o n dispari $^n\sqrt (x^(nm))=x^m$ se $x\ge 0$ o n dispari $^2^n\sqrt (x^n) = \sqrt x$ $^m^n\sqrt x^m) = ^n\sqrt x$ $(^n\sqrt x)^n = x$ $(^n\sqrt a)^m = ^n\sqrt (a^m)$ $(^n\sqrt a)^(qn+r) = a^q ^n\sqrt (a^r)$ fattorizza x intero in $^n\sqrt x$ $^n\sqrt (-a) = -^n\sqrt a$, n dispari valuta come razionale fattorizza il polinomio sotto il segno $^n\sqrt $ moltiplica sotto il segno $^n\sqrt $ $\sqrt (\sqrt x) = ^4\sqrt x$ $\sqrt (^n\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (^m\sqrt x) = ^n^m\sqrt x$ $^n\sqrt (x/y) = ^n\sqrt x/^n\sqrt y$ $^n\sqrt x/^n\sqrt y = ^n\sqrt (x/y)$ $x/^n\sqrt x = (^n\sqrt x)^(n-1)$ $^n\sqrt x/x = 1/(^n\sqrt x)^(n-1)$ elimina sotto il segno $^n\sqrt : ^n\sqrt (ab)/^n\sqrt (bc)=^n\sqrt a/^n\sqrt b$ elimina $^n\sqrt $: $^n\sqrt (xy)/^n\sqrt y = ^n\sqrt x$ mostra il fattore comune in $^n\sqrt u/^n\sqrt v$ $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ se n dispari $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ se $a\ge 0$ $-^n\sqrt a = ^n\sqrt (-a)$ se n dispari $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ (n dispari o $a\ge 0$) $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (n dispari o $b>0$) $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ se $b>0$ $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ se $a\ge 0$ $(^m^n\sqrt a)^n = ^m\sqrt a$ $(^2^n\sqrt a)^n = \sqrt a$ 1/i = -i a/i = -ai a/(bi) = -ai/b $\sqrt (-1) = i$ $\sqrt (-a) = i\sqrt a$ se $a\ge 0$ elimina i dal denominatore $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$ $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ (u+vi)/w = u/w + (v/w)i scrivi nella forma u+vi $\sqrt(bi)= \sqrt(b/2)+\sqrt(b/2)i$, se b >= 0 $\sqrt(-bi)= \sqrt(b/2)-\sqrt(b/2)i$, se b >= 0 $\sqrt(a+bi)= \sqrt((a+c)/2)+\sqrt((a-c)/2)i$, se b \ge 0 e $c^2=a^2+b^2$ $\sqrt(a-bi)= \sqrt((a+c)/2)-\sqrt((a-c)/2)i$, se b \ge 0 e $c^2=a^2+b^2$ fattorizza numero elimina denominatori comuni ab + ac = a(b+c) fattorizza la potenza più grande $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ fattorizza il trinomio quadratico utilizza la formula dei quadrati $a^2^n = (a^n)^2$ $a^nb^n = (ab)^n$ fattorizza coefficienti interi fattorizza interi fai una sostituzione, u = ? elimina la variabile definita tratta la variabile come costante scrivilo come funzione di ? scrivilo come funzione di ? e di ? a^(3n) = (a^n)^3 a^(?n) = (a^n)^? a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $a^n-b^n = (a-b)(a^(n-1)+...+b^(n-1))$ $a^n-b^n = (a+b)(a^(n-1)-...-b^(n-1))$ (n pari) $a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-...+b^(n-1))$ (n dispari) $x^4+a^4=(x^2-\sqrt 2ax+a^2)(x^2+\sqrt 2ax+a^2)$ $x^4+(2p-q^2)x^2+p^2=(x^2-qx+p)(x^2+qx+p)$ il computer fa una sostituzione indovina un fattore cerca un fattore lineare fattorizza per gruppi scrivilo come polinomio in ? scambia i membri cambia di segno ambo i membri aggiungi ? ad entrami i membri sottrai ? da ambo i membri trasferisci ? da sinistra a destra trasferisci ? da destra a sinistra moltiplica ambo i membri per ? dividi ambo i membri per ? eleva al quadrato ambo i membri elimina il termine $\pm $ da ambo i membri elimina il fattore comune di ambo i membri sottrai per porre nella forma u=0 l'equazione è identicamente vera a=-b diventa $a^2=-b^2$ se $a,b\ge 0$ a=-b diventa a=0 se $a,b\ge 0$ a=-b diventa b=0 se $a,b\ge 0$ se ab=0 allora a=0 o b=0 formula quadratica $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ completa il quadrato estrai la radice quadrata di ambo i membri moltiplicazione incrociata $b^2-4ac < 0 implica che non ci sono radici reali$ [p=a,p=-a] diventa p=|a| (for $p\ge 0$) calcola numericamente in un punto risolvi numericamente moltiplicazione incrociata (a/b=c/d => ad=bc) se u=v allora $u^n=v^n$ estrai $\sqrt $ di ambo i membri estrai $^n\sqrt $ di ambo i membri applica la funzione ? ad ambo i membri se ab=ac allora a=0 o b=c mostra soltanto l'equazione selezionata mostra di nuovo tutte le equazioni raccogli le soluzioni multiple rifiuta l'equazioni irrisolvibili verifica le radici nella equazione di partenza risolvi l'equazione lineare in un solo passaggio u=x+b/3 in ax^3+bx^2+cx+d=0 calcola il discriminante mostra di nuovo l'equazione cubica Vieta la sostituzione x=y-a/3cy in cx^3+ax+b=0 formula cubica, 1 radice reale formula cubica, 3 radici reali formula cubica, radici complesse sostituisci x = f(u) sostituisci n = ?-k calcola le radici esattamente semplifica se u=v allora a^u = a^v se ln u = v allora u = e^v se log u = v allora u = 10^v se log(b,u) = v allora u = b^v se a^u = a^v allora u=v estrai il log di ambo i membri estrai il logaritmo naturale di ambo i membri rifiuta eqn-impossibile log o ln Regola di Cramer calcola il determinante variabili a sinistra, costanti a destra raccogli termini simili allinea le variabili in maniera carina somma due equazioni sottrai due equazioni moltiplica equazione ? per ? dividi equazione ? per ? aggiungi multiplo dell'equazione ? all'equazione ? sottrai multiplo dell'equazione ? dall'equazione ? scambia due equazioni metti in ordine le equazioni risolte elimina le identità tratta una variabile come costante cottraddizione evidente: nessuna soluzione a|b| = |ab| se $0 \le a$ |b|/c = |b/c| se 0 < c a|b|/c = |ab/c| se 0 <a/c risolvi in ? aggiungi le equazioni selezionate all'equazione ? sottrai l'equazione selezionata dall'equazione ? moltiplica l'equazione selezionata per ? dividi l'equazione selezionata per ? aggiungi un multiplo dell'equazione selezionata all'equazione ? sottrai multiplo dell'equazione selezionata dall'equazione ? scambia l'equazione selezionata con l'equazione ? risolvi l'equazione selezionata in ? aggiungi la riga selezionata alla riga ? sottrai la riga selezionata dalla riga ? moltiplica la riga selezionata per ? dividi la riga selezionata per ? aggiungi multiplo della riga selezionata alla riga ? sottrai multiplo della riga selezionata dalla riga ? scambia la riga selezionata con la riga ? A = IA risolvi equazione ? in ? semplifica equazioni elimina termini da ambo i membri aggiungi ? ad ambo i membri dell'equazione ? sottrai ? da ambo i membri dell'equazione ? sostituisci la variabile contraddizione evidente: nessuna soluzione scrivi in forma matriciale scambia due righe somma due righe sottrai una riga da un'altra moltiplica una riga per una costante dividi una riga per una costante aggiungi multiplo di una riga a un'altra sottrai multiplo di una riga da un'altra moltiplica matrici elimina colonna nulla elimina riga nulla elimina riga duplicata converti in un sistema di equazioni AX = B diventa X = A^(-1)B utilizza la formula per l'inversa di una 2 x 2 calcola l'esatta matrice inversa calcola numericamente la matrice inversa |u| = u se $u\ge 0$ Assumi $u\ge 0$ e poni |u| = u |u| = -u se $u\le 0$ |cu| = c|u| se $c\ge 0$ |u/c| = |u|/c se c>0 |u||v| = |uv| |uv| = |u||v| |u/v| = |u| / |v| |u| / |v| = |u/v| $|u|^2^n=u^2^n$ se u è reale $|u^n|=|u|^n$ se n è reale $|\sqrt u| = \sqrt |u|$ $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$ |ab|/|ac| = |b|/|c| |ab|/|a| = |b| mostra il fattore comune in |u|/|v| |u|=c se u=c o u = -c ($c\ge 0$) |u|/u = c se c = $\pm $1 |u| < v se -v < u < v $|u| \le v$ se $-v \le u \le v$ u < |v| se v < -u o u < v $u \le |v|$ se $v \le -u$ o $u \le v$ |u| = u se $0 \le u$ |u| = -u se $u \le 0$ $0 \le |u|$ è vero |u| < 0 è falso $-c \le |u|$ è vero ($c\ge 0$) -c < |u| è vero (c>0) |u| < -c è falso ($c\ge 0$) $|u| \le -c$ è falso (c>0) $|u| \le -c$ se u=0 assumendo $c\ge 0$ |u| = -c se u=0 assumendo $c\ge 0$ v > |u| se -v < u < v $v \ge |u|$ se $-v \le u \le v$ |v| > u se v < -u o v > u $|v| \ge u$ se $v \le -u$ o $v \ge u$ $|u| \ge 0$ è vero 0 > |u| è falso -c > |u| è falso ($c\ge 0$) $-c \ge |u|$ è falso (c>0) $-c \ge |u|$ se u=0 assumendo c=0 |u| > -c è vero (c>0) $|u| \ge -c$ è vero ($c\ge 0$) $-v \le u \le v$ se $|u| \le v$ v < -u o u < v se u < |v| $u^(2n) = |u|^(2n)$ se u è reale $|u|^n = |u^n|$ se n è reale cambia u < v to v > u aggiungi ? ad ambo i membri cambia -u < -v in v < u cambi -u < -v in u > v moltiplica ambo i membri ?^2 valuta numericamente la disuguaglianza $a < x^2^n$ è vero se $a < 0$ $x^2^n < a$ è falso se $a \le 0$ eleva al quadrato ambo i membri (non-negativi) eleva al quadrato, se un membro è $\ge $ 0 u < v o u = v se $u \le v$ combina gli intervalli utilizza le assunzioni cambia x > y in y < x cambia -u > -v in u < v cambia -u > -v in v > u $x^2^n > a$ è vero se $a < 0$ $a > x^2^n$ è falso se $a \le 0$ u > v o u = v se $u \ge v$ cambia $x \le y$ in $y \ge x$ cambia $-u \le -v$ in $v \le u$ cambia $-u \le -v$ in $u \ge v$ moltiplica ambo i membri per ?^2 $a \le x^2^n$ è vero se $a \le 0$ $x^2^n \le a$ è falso se $a < 0$ $u \le v$ se $u^2 \le v^2$ o $u \le 0$ purché $0 \le v$ cambia $x \ge y$ in $y \le x$ cambia $-u \ge -v$ in $u \le v$ cambia $-u \ge -v$ in $v \ge u$ $x^2^n \ge a$ è vero se $a \le 0$ $a \ge x^2^n$ è falso se $a < 0$ $v \ge u$ se $v^2 \ge u^2$ o $u \le 0$ purché $0 \le v$ $u^2 < a$ se $|u| < \sqrt a$ $u^2 < a$ se $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $a < v^2$ se $\sqrt a < |v|$ purché $0\le a$ $a < u^2$ se $u < -\sqrt a$ o $\sqrt a < u$ $a < u^2 < b$ se $-\sqrt b<u<-\sqrt a$ o $\sqrt a<u<\sqrt b$ $-a < u^2 < b$ se $u^2 < b$ purché 0<a $-a < u^2 \le b$ se $u^2 \le b$ purché 0<a $\sqrt u < v$ se $0 \le u < v^2$ $0 \le a\sqrt u < v$ se $0 \le a^2u < v^2$ $a < \sqrt v$ se $a^2 < v$ purché $0\le a$ $0 \le u < v$ se $\sqrt u < \sqrt v$ $a < x^2$ è vero se $a < 0$ $x^2 < a$ è falso se $a \le 0$ $a < \sqrt u$ se $0 \le u$ purché $a < 0$ $u^2 \le a$ se $|u| \le \sqrt a$ $u^2 \le a$ se $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $a \le v^2$ se $\sqrt a \le |v|$ provided $0\le a$ $a \le u^2$ se $u \le -\sqrt a$ or $\sqrt a \le u$ $a \le u^2 \le b$ se $-\sqrt b\le u\le -\sqrt a$ o $\sqrt a\le u\le \sqrt b$ $-a \le u^2 \le b$ se $u^2 \le b$ purché $0\le a$ $-a \le u^2 < b$ se $u^2 < b$ purché $0\le a$ $\sqrt u \le v$ se $0 \le u \le v^2$ $0 \le a\sqrt u \le v$ se $0 \le a^2u \le v^2$ $a \le \sqrt v$ se $a^2 \le v$ purché $0\le a$ $0 \le u \le v$ se $\sqrt u \le \sqrt v$ $x^2 > a$ è vero se $a < 0$ $a > x^2$ è falso se $a \le 0$ $a \le \sqrt u$ se $0 \le u$ purché $a \le 0$ Fai il reciproco di ambo i membri a < 1/x < b se 1/b < x < 1/a, per a,b > 0 $a < 1/x \le b$ se $1/b \le x < 1/a$, per a,b > 0 -a < 1/x < -b se -1/b < x < -1/a, per a,b > 0 $-a < 1/x \le -b$ se $-1/b \le x < -1/a$, per a,b > 0 -a < 1/x < b se x < - 1/a or 1/b < x, per a,b > 0 $-a < 1/x \le b$ se x < -1/a or $1/b \le x$, per a,b > 0 $a \le 1/x < b$ se $1/b < x \le 1/a$, per a,b > 0 $a \le 1/x \le b$ se $1/b \le x < 1/a$, per a,b > 0 $-a \le 1/x < -b$ se $-1/b < x \le -1/a$, per a,b > 0 $-a \le 1/x \le -b$ se $-1/b \le x \le -1/a$, per a,b > 0 $-a \le 1/x < b$ se $x \le - 1/a$ o 1/b < x, per a,b > 0 $-a \le 1/x \le b$ se $x \le -1/a$ o $1/b \le x$, per a,b > 0 u < v se $^n\sqrt u < ^n\sqrt v$ (n odd) $u^2^n < a$ se $|u| < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n < a$ se $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $0 \le a < u^2^n$ se $^2^n\sqrt a < |u|$ $a < u^2^n$ se $u < -^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a < u$ $a<u^2^n<b$ se $-^2^n\sqrt b<u<-^2^n\sqrt a$ o $^2^n\sqrt a<u<^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u < v$ se $0 \le u < v^2^n$ $^n\sqrt u < v$ se $u < v^n$ (n dispari o $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) < v$ se $a^nu < v^n$ purché $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u < ^n\sqrt v$ se $u^n < v$ purché $0 \le u$ $u < v$ se $u^n < v^n$ (n dispari, n>0) u < v se $u^n < v^n$ (n > 0 e $0 \le u$) $a < ^2^n\sqrt u$ se $0 \le u$ purché $a < 0$ $u \le v$ se $^n\sqrt u \le ^n\sqrt v$ (n odd) $u^2^n \le a$ se $|u| \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \le a$ se $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $0 \le a \le u^2^n$ se $^2^n\sqrt a \le |u|$ $a \le u^2^n$ se $u \le -^2^n\sqrt a$ or $^2^n\sqrt a \le u$ $a\le u^2^n\le b$ se $-^2^n\sqrt b\le u\le -^2^n\sqrt a$ or $^2^n\sqrt a\le u\le ^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u \le v$ se $0 \le u \le v^2^n$ $^n\sqrt u \le v$ se $u \le v^n$ (n dispari o $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) \le v$ se $a^nu \le v^n$ purché $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u \le ^n\sqrt v$ se $u^n \le v$ purché $0 \le u$ $u \le v$ se $u^n \le v^n$ (n dispari, $n \ge 0$) $u \le v$ se $u^n \le v^n$ (n > 0 e $0 \le u$) $a \le ^2^n\sqrt u$ se $0 \le u$ purché $a \le 0$ rimuovi fattori positivi 0 < u/v se 0 < v purché u > 0 trasforma $0 < u/\sqrt v$ in 0 < uv 0 < u/v se 0 < uv trasforma $u/\sqrt v < 0$ in uv < 0 u/v < 0 se uv < 0 $ax \pm b < 0$ se $a(x\pm b/a) < 0$ trasforma u < v in v > u (x-a)(x-b) < 0 se a<x<b (dove a<b) 0 < (x-a)(x-b) se x<a or b<x (dove a<b) $0 \le u/v$ se $0 \le v$ purché $u \ge 0$ $0 \le u/\sqrt v$ se $0 \le uv$ $0 \le u/v$ se 0 < uv or u = 0 $u/\sqrt v \le 0$ se $uv \le 0$ $u/v \le 0$ se uv < 0 or u = 0 $ax \pm b \le 0$ se $a(x\pm b/a) \le 0$ trasforma $u \le v$ in $v \ge u$ $(x-a)(x-b) \le 0$ se $a\le x\le b$ (dove $a\le b$) $0\le (x-a)(x-b)$ se $x\le a$ or $b\le x$ (dove $a\le b$) $a > u^2$ se $\sqrt a > |u|$ $a > u^2$ se $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $v^2 > a$ se $|v| > \sqrt a$ purché $a\ge 0$ $u^2 > a$ se $u < -\sqrt a$ o $u > \sqrt a$ $v > \sqrt u$ se $0 \le u < v^2$ $v>a\sqrt u$ se $0\le a^2u<v^2$ purché $0\le a$ $\sqrt v > a$ se $v > a^2$ purché $0\le a$ v > u se $\sqrt v > \sqrt u$ purché $u\ge 0$ $x^2 > a$ è vera se $a < 0$ $a > x^2$ è falsa se $a <= 0$ $\sqrt u > a$ se $u \ge 0$ purché $a < 0$ $a \ge u^2$ se $6\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2$ se $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $v^2 \ge a$ se $|v| \ge \sqrt a$ provided $0\le a$ $u^2 \ge a$ se $u \le -\sqrt a$ or $\sqrt a \le u$ $v \ge \sqrt u$ se $60 \le u \le v^2$ $v \ge a\sqrt u$ se $0\le a^2u\le v^2$ purché $0\le a$ $\sqrt v \ge a$ se $v \ge a^2$ purché $0\le a$ $v \ge u$ se $\sqrt v \ge \sqrt u$ purché $u\ge 0$ $x^2 \ge a$ è vera se $a \le 0$ $a \ge x^2$ è falsa se $a < 0$ $\sqrt u \ge a$ se $u \ge 0$ purché $a \le 0$ $u > v$ se $^n\sqrt u > ^n\sqrt v$ (n odd) $a > u^2^n$ se $^2^n\sqrt a > |u|$ $a > u^2^n$ se $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n > a$ se $|u| > ^2^n\sqrt a$ purché $a\ge 0$ $u^2^n > a$ se $u < -^2^n\sqrt a$ o $u > ^2^n\sqrt a$ $v > ^2^n\sqrt u$ se $0 \le u < v^2^n$ $v > ^n\sqrt u$ se $v^n> u$ (n dispari o $u\ge 0$) $v > a(^n\sqrt u)$ se $v^n > a^nu$ purché $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v > a$ se $v > a^n$ purché $a\ge 0$ u > v se $u^n > v^n$ (n dispari, n>0) u > v se $u^n > v^n$ (n > 0 e $0 \le u$) $^2^n\sqrt u > a$ se $u \ge 0$ purché $a < 0$ $u \ge v$ se $^n\sqrt u \ge ^n\sqrt v$ (n dispari) $a \ge u^2^n$ se $^2^n\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2^n$ se $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \ge a$ se $|u| \ge ^2^n\sqrt a$ purché $a\ge 0$ $u^2^n \ge a$ se $u \le -^2^n\sqrt a$ o $u \ge ^2^n\sqrt a$ $v \ge ^2^n\sqrt u$ se $0 \le u \le v^2^n$ $v \ge ^n\sqrt u$ se $v^n \ge u$ (n dispari o $u\ge 0$) $v \ge a(^n\sqrt u)$ se $v^n \ge a^nu$ purché $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v \ge a$ se $a^n \le v$ purché $a \ge 0$ $u \ge v$ se $u^n \ge v^n$ (n dispari, $n \ge 0$) $u \ge v$ se $u^n \ge v^n$ (n > 0 e $0 \le u$) $^2^n\sqrt u \ge a$ se $u \ge 0$ purché $a \le 0$ u/v > 0 se v > 0 purché u > 0 trasforma $u/\sqrt v > 0$ in uv > 0 u/v > 0 se uv > 0 trasforma $0 > u/\sqrt v$ in 0 > uv 0 > u/v se 0 > uv $0 > ax \pm b$ se $0 > a(x\pm b/a)$ 0 > (x-a)(x-b) se a<x<b (dove a<b) (x-a)(x-b) > 0 se x<a or x>b (dove a<b) $u/v \ge 0$ se $v \ge 0$ purché $u \ge 0$ $u/\sqrt v \ge 0$ se $uv \ge 0$ $u/v \ge 0$ se uv > 0 o u = 0 $0 \ge u/\sqrt v$ se $0 \ge uv$ $0 \ge u/v$ se 0 > uv o u = 0 $0 \ge ax \pm b$ se $0 \ge a(x\pm b/a)$ $0 \ge (x-a)(x-b)$ se $a\le x\le b$ (dove $a\le b$) $(x-a)(x-b)\ge 0$ se $x\le a$ or $b\le x$ (dove $a\le b$) teorema binomiale (n k) $$binomial(n,k) = factorial(n)/ factorial(k) * factorial(n-k)$$ n! = n(n-1)(n-2)...1 calcola il fattoriale calcola il coefficiente binomiale espandi $\sum $ notazione calcola $\sum $ in razionale n! = n (n-1)! n!/n = (n-1)! n!/(n-1)! = n n!/k! = n(n-1)...(n-k+1) n/n! = 1/(n-1)! (n-1)!/n! = 1/n k!/n! =1/(n(n-1)...(n-k+1)) a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3 a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3 a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = (a+b)^4 a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 = (a-b)^4 a^n+na^(n-1)b+...b^n = (a+b)^n a^n-na^(n-1)b+...b^n = (a-b)^n $\sum $ 1 = numero di termini $\sum $ -u = -$\sum $ u $\sum $ cu = c$\sum $ u (c costante) $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$ espandi $\sum $ utilizzando + 1+2+..+n = n(n+1)/2 $1^2+..+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ $1+x+..+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)$ separa i primi termini calcola $\sum $ con parametro razionale calcola $\sum $ con parametro decimale calcola numericamente $\sum $ come razionale calcola numericamente $\sum $ come decimale esprimi i termini come un polinomio sommatoria telescopica estra i limiti dalla sommatoria rinomina la variabile indice $(\sum u)(\sum v) = \sum \sum uv$ separa l'ultimo termine $1^3+..+n^3 = n^2(n+1)^2/4$ $1^4+..+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+2n-1)/30$ $d/dx \sum u = \sum du/dx$ $\sum du/dx = d/dx \sum u$ $\int \sum u dx = \sum \int u dx$ $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ $c\sum u = \sum cu$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,0,b)-sum(t,i,0,a-1)$$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,c,b)-sum(t,i,c,a-1)$$ seleziona la variabile di induzione comincia con il caso base comincia il passo di induzione utilizza l'ipotesi di induzione quindi la tesi $|sin u| \le 1$ $|cos u| \le 1$ $sin u \le u$ if $u\ge 0$ $1 - u^2/2 \le cos u$ $|arctan u| \le \pi /2$ $arctan u \le u$ if $u\ge 0$ $u \le tan u$ se $0\le u\le \pi /2$ Effettua il logaritmo naturale di ambo i membri Estrai il logaritmo di ambo i membri u < ln v se e^u < v ln u < v se u < e^v u < log v se 10^u < v log u < v se u < 10^v u < v se ?^u < ?^v Estrai il logaritmo naturale di ambo i membri $u \le ln v$ se $e^u \le v$ $ln u \le v$ se $u \le e^v$ $u \le log v$ se $10^u \le v$ $log u \le v$ se $u \le 10^v$ $u \le v$ se $?^u \le ?^v$ ln u > v se u > e^v u > ln v se e^u > v log u > v se u > 10^v u > log v se 10^u > v u > v se ?^u > ?^v $ln u \ge v$ se $u \ge e^v$ $u \ge ln v$ se $e^u \ge v$ $log u \ge v$ se $u \ge 10^v$ $u \ge log v$ se $10^u \ge v$ $u \ge v$ se $?^u \ge ?^v$ Esponenziali dominano polinomi Funzioni algebriche dominano logaritmi $10^(log a) = a$ $log 10^n = n$ ($n$ reale) log 1 = 0 log 10 = 1 $log a = (ln a)/(ln 10)$ u^v = 10^(v log u) fattorizza completamente il numero fattorizza le potenze di 10 10^(n log a) = a^n log(a/b) = -log(b/a) log(b,a/c) = -log(b,c/a) $log a^n = n log a$ $log ab = log a + log b$ $log 1/a = -log a$ $log a/b = log a - log b$ $log a + log b = log ab$ $log a - log b = log a/b$ $log a + log b - log c =log ab/c$ $n log a = log a^n (n reale)$ $log \sqrt a = \onehalf log a$ $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$ fattorizza le potenze della base $log u = (1/?) log u^?$ calcola il logaritmo numericamente e^(ln a) = a ln e = 1 ln 1 = 0 ln e^n = n (n reale) u^v = e^(v ln u) e^((ln c) a) = c^a ln a^n = n ln a $ln ab = ln a + ln b$ ln 1/a = -ln a $ln a/b = ln a - ln b$ fattorizza il numero completamente $ln a + ln b = ln ab$ $ln a - ln b = ln a/b$ $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$ $n ln a = ln a^n (n real)$ $ln \sqrt a = \onehalf ln a$ $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$ ln u = (1/?) ln u^? ln(a/b) = -ln(b/a) sin u cos v + cos u sin v = sin(u+v) sin u cos v - cos u sin v = sin(u-v) cos u cos v - sin u sin v = cos(u+v) cos u cos v + sin u sin v = cos(u-v) (sin u)/(1+cos u) = tan(u/2) (1-cos u)/sin u = tan(u/2) (1+cos u)/(sin u) = cot(u/2) sin u/(1-cos u) = cot(u/2) (tan u+tan v)/(1-tan u tan v) = tan(u+v) (tan u-tan v)/(1+tan u tan v) = tan(u-v) (cot u cot v-1)/(cot u+cot v) = cot(u+v) (1+cot u cot v)/(cot v-cot u) = cot(u-v) 1-cos u = 2 sin^2(u/2) forma polare $r e^(i\theta ) = r (cos \theta + i sin \theta )$ $|e^(i\theta )| = 1$ $|Re^(i\theta )|=R$ se $R\ge 0$ $|Re^(i\theta )| = |R|$ $-a = ae^(\pi i)$ $^n\sqrt (-a) = e^(\pi i/n) ^n\sqrt a se a\ge 0$ a/(ce^(ti)) = ae^(-ti)/c teorema di De Moivre sostituisci interi particolari b^(log(b,a)) = a b^(n log(b,a)) = a^n log(b,b) = 1 log(b,b^n) = n log xy = log x + log y log (1/x) = -log x log x/y = log x-log y log(b,1) = 0 fattorizza la base: log(4,x)=log(2^2,x) log(b^n,x) = (1/n) log (b,x) log x^n = n log x fattorizza potenze della base log x + log y = log xy log x - log y = log x/y log x + log y - log z =log xy/z n log x = log x^n (n real) log(b,x) = ln x / ln b log(b,x) = log x / log b log(b,x) = log(a,x) / log(a,b) log(10,x) = log x log(e,x) = ln x log x = ln x / ln 10 ln x = log x / log e u^v = b^(v log(b,u)) sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 $sin k\pi = 0$ $cos 2k\pi = 1$ $tan k\pi = 0$ find coterminal angle < $360\deg $ find coterminal angle < $2\pi $ l'alngolo è multiplo di $90\deg $ utilizza 1-2-$\sqrt 3$ triangolo utilizza 1-1-$\sqrt 2$ triangolo trasforma radianti in gradi trasforma gradi in radianti angolo = $a 30\deg + b 45\deg $ etc. calcola numericamente tan u = sin u / cos u cot u = 1 / tan u cot u = cos u / sin u sec u = 1 / cos u csc u = 1 / sin u sin u / cos u = tan u cos u / sin u = cot u 1 / sin u = csc u 1 / cos u = sec u 1 / tan u = cot u 1 / tan u = cos u / sin u 1 / cot u = tan u 1 / cot u = sin u / cos u 1 / sec u = cos u 1 / csc u = sin u sin u = 1 / csc u cos u = 1 / sec u tan u = 1 / cot u $sin^2 u + cos^2 u = 1$ $1 - sin^2 u = cos^2 u$ $1 - cos^2 u = sin^2 u$ $sin^2 u = 1 - cos^2 u$ $cos^2 u = 1 - sin^2 u$ $sec^2 u - tan^2 u = 1$ $tan^2 u + 1 = sec^2 u$ $sec^2 u - 1 = tan^2 u$ $sec^2 u = tan^2 u + 1$ $tan^2 u = sec^2 u - 1$ $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ (1-cos t)^n(1+cos t)^n = sin^(2n) t (1-sin t)^n(1+sin t)^n = cos^(2n) t $csc^2 u - cot^2 u = 1$ $cot^2 u + 1 = csc^2 u$ $csc^2 u - 1 = cot^2 u$ $csc^2 u = cot^2 u + 1$ $cot^2 u = csc^2 u - 1$ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ sin(u+v)= sin u cos v + cos u sin v sin(u-v)= sin u cos v - cos u sin v cos(u+v)= cos u cos v - sin u sin v cos(u-v)= cos u cos v + sin u sin v tan(u+v)=(tan u+tan v)/(1-tan u tan v) tan(u-v)=(tan u-tan v)/(1+tan u tan v) cot(u+v)=(cot u cot v-1)/(cot u+cot v) cot(u-v)=(1+cot u cot v)/(cot v-cot u) $sin 2\theta = 2 sin \theta cos \theta $ $cos 2\theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 1 - 2 sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 2 cos^2 \theta - 1$ $cos 2\theta + 1 = 2cos^2 \theta $ $cos 2\theta - 1 = - 2 sin^2 \theta $ $tan 2\theta = 2 tan \theta /(1 - tan^2 \theta )$ $cot 2\theta = (cot^2 \theta -1) / (2 cot \theta )$ $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ $cos^2 \theta - sin^2 \theta = cos 2\theta $ $1 - 2 sin^2 \theta = cos 2\theta $ $2 cos^2 \theta - 1 = cos 2\theta $ $n\theta = (n-1)\theta + \theta $ $n\theta = ?\theta +(n-?)\theta $ $sin 3\theta = 3 sin \theta - 4 sin^3 \theta $ $cos 3\theta = -3 cos \theta + 4 cos^3 \theta $ espandi $sin n\theta $ in $sin \theta $, $cos \theta $ espandi $cos n\theta $ in $sin \theta $, $cos \theta $ sposta ? da sinistra a destra sposta ? da destra a sinistra elimina un termine da ambo i membri eleva ambo i membri a potenza estrai la radice di ambo i membri applica funzione ad ambo i membri verifica numericamente $sin(u)=1/2$ se $u=\pi /6$ or $5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=-1/2$ se $u=-\pi /6$ or $-5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=\sqrt 3/2$ se $u=\pi /3$ or $2\pi /3+2n\pi $ $sin(u)=-\sqrt 3/2$ se $4u=-\pi /3$ or $-2\pi /3+2n\pi $ $cos(u)=\sqrt 3/2$ se $u=\pm \pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=-\sqrt 3/2$ se $u=\pm 5\pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=1/2$ se $u=\pm \pi /3+2n\pi $ $cos(u)=-1/2$ se $u=\pm 2\pi /3+2n\pi $ $tan(u)=1/\sqrt 3$ se $u= \pi /6 + n\pi $ $tan(u)=-1/\sqrt 3$ se $u= -\pi /6 + n\pi $ $tan(u)=\sqrt 3$ se $u= \pi /3 + n\pi $ $tan(u)=-\sqrt 3$ se $u= 2\pi /3 + n\pi $ $sin u = 1/\sqrt 2$ se $u=\pi /4$ o $3\pi /4 + 2n\pi $ $sin u=-1/\sqrt 2$ se $u=5\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $2 $cos u = 1/\sqrt 2$ se $u=\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $ $cos u=-1/\sqrt 2$ se $u=3\pi /4$ o $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = 1 se $u= \pi /4$ o $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = -1 se $u=3\pi /4$ o $7\pi /4 + 2n\pi $ sin u = 0 se $u = n\pi $ sin u = 1 se $u = \pi /2+2n\pi $ sin u = -1 se $u = 3\pi /2+2n\pi $ cos u = 0 se $u = (2n+1)\pi /2$ cos u = 1 se $u = 2n\pi $ cos u = -1 se $u = (2n+1)\pi $ tan u = 0 se sin u = 0 cot u = 0 se cos u = 0 sin u=c se $u= (-1)^narcsin c+n\pi $ sin u=c se $u=arcsin(c)+2n\pi $ o $2n\pi +\pi -arcsin(c)$ cos u=c se $u=\pm arccos c+2n\pi $ tan u=c se $u=arctan c+n\pi $ calcola arcsin in forma esatta calcola arccos in forma esatta calcola arctan in forma esatta arccot x = arctan (1/x) arcsec x = arccos (1/x) arccsc x = arcsin (1/x) arcsin(-x) = -arcsin x $arccos(-x) = \pi -arccos x$ arctan(-x) = -arctan x metti le soluzioni in forma periodica rifiuta sin u = c se |c|>1 rifiuta cos u = c se |c|>1 $tan(arcsin x) = x/\sqrt (1-x^2)$ $tan(arccos x) = \sqrt (1-x^2)/x$ tan(arctan x) = x sin(arcsin x) = x $sin(arccos x) = \sqrt (1-x^2)$ $sin(arctan x) = x/\sqrt (x^2+1)$ $cos(arcsin x) = \sqrt (1-x^2)$ cos(arccos x) = x $cos(arctan x) = 1/\sqrt (x^2+1)$ $sec(arcsin x) = 1/\sqrt (1-x^2)$ $sec(arccos x) = 1/x$ $sec(arctan x) = \sqrt (x^2+1)$ $arctan(tan \theta ) = \theta $6 se $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta ) = \theta $ se $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta ) = \theta $ se $0\le \theta \le \pi $ arctan(tan x) = x + c1 arcsin x + arccos x = $\pi /2$ $arctan x + arctan 1/x = \pi x/2|x|$ $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $ $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $ $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $ $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $ $sin \theta = cos(\pi /2-\theta )$ $cos \theta = sin(\pi /2-\theta )$ $tan \theta = cot(\pi /2-\theta )$ $cot \theta = tan(\pi /2-\theta )$ $sec \theta = csc(\pi /2-\theta )$ $csc \theta = sec(\pi /2-\theta )$ $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $ $cos(90\deg -\theta ) = sin \theta $ $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $ $cot(90\deg -\theta ) = tan \theta $ $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $ $csc(90\deg -\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(90\deg -\theta )$ $cos \theta = sin(90\deg -\theta )$ $tan \theta = cot(90\deg -\theta )$ $cot \theta = tan(90\deg -\theta )$ $sec \theta = csc(90\deg -\theta )$ $csc \theta = sec(90\deg -\theta )$ $a\deg + b\deg = (a+b)\deg $ $ca\deg = (ca)\deg $ $a\deg /c = (a/c)\deg $ sin(-u) = - sin u cos(-u) = cos u tan(-u) = - tan u cot(-u) = - cot u sec(-u) = sec u csc(-u) = - csc u $sin^2(-u) = sin^2 u$ $cos^2(-u) = cos^2 u$ $tan^2(-u) = tan^2 u$ $cot^2(-u) = cot^2 u$ $sec^2(-u) = sec^2 u$ $csc^2(-u) = csc^2 u$ $sin(u+2\pi ) = sin u$ $cos(u+2\pi ) = cos u$ $tan(u+\pi ) = tan u$ $sec(u+2\pi ) = sec u$ $csc(u+2\pi ) = csc u$ $cot(u+\pi ) = cot u$ $sin^2(u+\pi ) = sin^2 u$ $cos^2(u+\pi ) = cos^2 u$ $sec^2(u+\pi ) = sec^2 u$ $csc^2(u+\pi ) = csc^2 u$ $sin u = -sin(u-\pi )$ $sin u = sin(\pi -u)$ $cos u = -cos(u-\pi )$ $cos u = -cos(\pi -u)$ $sin^2(\theta /2) = (1-cos \theta )/2$ $cos^2(\theta /2) = (1+cos \theta )/2$ $sin^2(\theta ) = (1-cos 2\theta )/2$ $cos^2(\theta ) = (1+cos 2\theta )/2$ $tan(\theta /2) = (sin \theta )/(1+cos \theta )$ $tan(\theta /2) = (1-cos \theta )/sin \theta $ $cot(\theta /2) = (1+cos \theta )/(sin \theta )$ $cot(\theta /2) = sin \theta /(1-cos \theta )$ $sin(\theta /2) = \sqrt ((1-cos \theta )/2) se sin(\theta /2)\ge 0$ $sin(\theta /2) = -\sqrt ((1-cos \theta )/2) se sin(\theta /2)\le 0$ $cos(\theta /2) = \sqrt ((1+cos \theta )/2) se cos(\theta /2)\ge 0$ $cos(\theta /2) = -\sqrt ((1+cos \theta )/2) se cos(\theta /2)\le 0$ $\theta = 2(\theta /2)$ $sin x cos x = \onehalf sin 2x$ $sin x cos y = \onehalf [sin(x+y)+sin(x-y)]$ $cos x sin y = \onehalf [sin(x+y)-sin(x-y)]$ $sin x sin y = \onehalf [cos(x-y)-cos(x+y)]$ $cos x cos y = \onehalf [cos(x+y)+cos(x-y)]$ $sin x + sin y = 2 sin \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $sin x - sin y = 2 sin \onehalf (x-y) cos \onehalf (x+y)$ $cos x + cos y = 2 cos \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $cos x - cos y = -2 sin \onehalf (x+y) sin \onehalf (x-y)$ sostituisci u,v per espressioni in forma trigonometrica sperimenta numericamente $lim u\pm v = lim u \pm lim v$ $lim u-v = lim u - lim v$ lim(ta,c) = c (c costante) lim(ta,t) = a lim cu=c lim u (c costante) lim -u = -lim u lim uv = lim u lim v $lim u^n = (lim u)^n$ lim c^v=c^(lim v) (c constant > 0) lim u^v=(lim u)^(lim v) $lim \sqrt u=\sqrt (lim u)$ se lim u>0 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ se n is odd $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$ se lim u > 0 lim(ta,f(t))=f(a) (polynomial f) lim |u| = |lim u| lim cu/v = c lim u/v (c costante) lim c/v = c/lim v (c costante) lim u/v = lim u/lim v fattorizza (x-a)^n nel limite come xa limite di funzione razionale razionalizza la frazione estrai i limiti finiti non nulli fattorizza una costante dividi numeratore e denominatore per ? lim u/v = lim (u/?) / lim (v/?) (ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$ se b>0 $\sqrt a/b = -\sqrt (a/b^2)$ se b<0 $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (b>0 o n odd) $^n\sqrt a/b = -^n\sqrt (a/b^n)$ (b<0, n even) $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$ se $a\ge 0$ $a/\sqrt b = -\sqrt (a^2/b)$ se $a\le 0$ $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\ge 0$ o n odd) $a/^n\sqrt b = -^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\le 0$, n even) Regola di L'Hospital calcola la derivata in un passaggio lim u ln v = lim (ln v)/(1/u) $lim u (ln v)^n = lim (ln v)^n/(1/u)$ $lim x^(-n) u = lim u/x^n$ lim u e^x = lim u/e^(-x) sposta la funzione trigonometrica nel denominatore lim ?v = lim v/(1/?) metti a denominatore comune e semplifica il numeratore (sin t)/t 1 come t0 (tan t)/t 1 come t0 (1-cos t)/t 0 come t0 $(1-cos t)/t^2\onehalf $ come t0 lim(t0,(1+t)^(1/t)) = e $(ln(1\pm t))/t \pm 1$ come t0 (e^t-1)/t 1 come t0 (e^(-t)-1)/t -1 come t0 $lim(t0,t^nln |t|)=0 (n > 0)$ lim(t0,cos(1/t))= non definito lim(t0,sin(1/t))= non definito lim(t0,tan(1/t))= non definito lim(t$\pm \infty $,cos t)= non definito lim(t$\pm \infty $,sin t)= non definito lim(t$\pm \infty $,tan t)= non definito (sinh t)/t 1 come t0 (tanh t)/t 1 come t0 (cosh t - 1)/t 0 come t0 (cosh t - 1)/t^21/2 come t0 lim ln u=ln lim u (se lim u > 0) lim f(u)=f(lim u), f continua trasforma la variabile limite calcola il limite in un passaggio lim u^v = lim e^(v ln u) limit non definito per via del dominio lim u = e^(lim ln u) teorema del termine finito: uv0 se v0 & $|u|\le c$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/(\sqrt u+v)$ lim u/v = limite dei termini più significativi termine più significativo: lim(u+a)=lim(u) se a/u0 sostituisci la somma con i termini più significativi f(undefined) = undefined lim(e^u) = e^(lim u) lim(ln u) = ln(lim u) $lim(t0+,t ln t) = 0$ $lim(t0+,t^n ln t) = 0 se n\ge 1$ $lim(t0+,t (ln t)^n) = 0 Se n\ge 1$ $lim(t0+,t^k (ln t)^n) = 0 se k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t) = 0$ $lim(t\infty ,ln(t)^n/t) = 0 se n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t^n) = 0 se n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)^k/t^n) = 0 se k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,t/ln(t)) = \infty $ $lim(t\infty ,t/ln(t)^n) = \infty se n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)) = \infty se n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)^k) = \infty se k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,1/t^n) = 0 se n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n) = \infty se n\ge 1$ $lim(t\infty ,e^t) = \infty $ $lim(t-\infty ,e^t) = 0$ $lim(t\infty ,ln t) = \infty $ $lim(t\infty ,\sqrt t) = \infty $ $lim(t\infty ,^n\sqrt t) = \infty $ $lim(t\pm \infty ,arctan t) = \pm \pi /2$ $lim(t\infty ,arccot t) = 0$ $lim(t-\infty ,arccot t) = \pi $ $lim(t\pm \infty ,tanh t) = \pm 1$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ lim sin u = sin(lim u) lim cos u = cos(lim u) trasforma il limite a $\infty $ in limite a 0 $lim(1/u^2^n) = \infty $ se u0 lim(1/u^n) indefinito se u0, n dispari lim(ta+,1/u^n) = $\infty $ se u0 lim(ta-,1/u^n)=-$\infty $, u0, n dispari lim u/v undef se lim v =0, lim u #0 lim(t0+,ln t) = -$\infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,tan t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,cot t) = \pm \infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,sec t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,csc t) = \pm \infty $ lim(uv) = lim(u/?) lim(?v) lim(uv) = lim(?u) lim(v/?) $\pm \infty $/positive = $\pm \infty $ non nullo/$\pm \infty $ = 0 positivo$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty $ + numero finito = $\pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $ se u > 1 $u^\infty = 0$ se 0 < u < 1 $u^(-\infty ) = 0$ se u > 1 $u^(-\infty ) = \infty $ se 0 < u < 1 $\infty ^n = \infty $ se n > 0 $\infty - \infty =$ indefinito $a/0+ = \infty $ se $a>0$ $a/0- = -\infty $ se $a>0$ a/0 = indefinito $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0$ = undefined $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty $ se $a > 0$ $a/0^2 = -\infty $ se $a < 0$ $a/0^2^n = \infty $ se $a > 0$ $a/0^2^n = -\infty $ se $a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ limite trigonometrico in $\infty $ non definito $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ dc/dx=0 (c non dipende da x) dx/dx = 1 $d/dx (u \pm v) = du/dx \pm dv/dx$ d/dx (-u) = -du/dx d/dx(cu)=c du/dx (c nn dipendente da x) d/dx x^n = n x^(n-1) differenzia polinomio f'(x) = d/dx f(x) $$diff(f,x) = lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)$$ d/dx (cu) = c du/dx (c indipendente da x) d/dx (u/c)=(1/c)du/dx (c indipendente da x) d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) d/dx (1/v) = -(dv/dx)/v^2 d/dx (u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/v^2 $d/dx \sqrt x = 1/(2\sqrt x)$ $d/dx ^n\sqrt x = d/dx x^(1/n)$ $d/dx (c/x^n) = -nc/x^(n+1)$ d/dx |x| = x/|x| d/dx sin x = cos x d/dx cos x = - sin x d/dx tan x = sec^2 x d/dx sec x = sec x tan x d/dx cot x = - csc^2 x d/dx csc x = - csc x cot x d/dx e^x = e^x d/dx c^x = (ln c) c^x, c costante d/dx u^v= (d/dx) e^(v ln u) d/dx ln x = 1/x d/dx ln |x| = 1/x dy/dx = y (d/dx) ln y d/dx e^u = e^u du/dx d/dx c^u=(ln c)c^u du/dx, c costante d/dx ln u = (1/u)(du/dx) d/dx ln |u| = (1/u) du/dx d/dx ln(cos x) = -tan x d/dx ln(sin x) = cot x $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ d/dx u^n = nu^(n-1) du/dx $d/dx \sqrt u = (du/dx)/(2\sqrt u)$ d/dx sin u = (cos u) du/dx d/dx cos u = -(sin u) du/dx $d/dx tan u = (sec^2 u) du/dx$ d/dx sec u=(sec u tan u) du/dx $d/dx cot u = -(csc^2 u) du/dx$ d/dx csc u=-(csc u cot u) du/dx d/dx |u| = (u du/dx)/|u| d/dx f(u) = f'(u) du/dx fai una sostituzione, $u = ?$ elimina una variabile definita considera punti dove f'(x)=0 considera gli estremi dell'intervallo punti dove f'(x) è non definita considera i limiti agli estremi aperti reietta i punti al di fuori dell'intervallo fai una tabella di valori y decimali fai una tabella di valori y esatti scegli il valore massimo(s) scegli il valore minimo(s) risolvi equazione semplice elimina parametro intero la funzione è costante calcola la derivata differenzia l'equazione elimina la derivata per sostituzione semplifica somme e prodotti elimina frazioni composte denominatore comune e semplifica fattorizza il termine comune fattorizza l'espressione (non intera) moltiplica e semplifica mostra fattore comune in u/v scrivi come poliomio (in ?) esprimi come polinomio rendi 1 il coefficiente più significativo $x^(1/2) = \sqrt x$ converti gli esponenti frazionari in radici converti le radici in esponenti frazionari u=v => du/dx = dv/dx $d^2u/dx^2 = (d/dx)(du/dx)$ $d^nu/dx^n= d/dx d^(n-1)u/dx^(n-1)$ $d/dx du/dx = d^2u/dx^2$ $d/dx d^nu/dx^n = d^(n+1)/dx^(n+1)$ $\int 1 dt = t$ $\int c dt = ct$ (c costante) $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt$ (c costante) $\int (-u)dt = -\int u dt$ $\int u+v dt = \int u dt + \int v dt$ $\int u-v dt = \int u dt - \int v dt$ $\int au\pm bv dt = a\int u dt \pm b\int v dt$ $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n # -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n # 0)$ integra polinomio $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ moltiplica l'integrando espandi $(a+b)^n$ nell'integrando $\int |t| dt = t|t|/2$ $\int sin t dt = -cos t$ $\int cos t dt = sin t$ $\int tan t dt = -ln |cos t|$ $\int cot t dt = ln |sin t|$ $\int sec t dt = ln |sec t + tan t|$ $\int csc t dt = ln |csc t - cot t|$ $\int sec^2 t dt = tan t$ $\int csc^2 t dt = -cot t$ $\int tan^2 t dt = tan t - t$ $\int cot^2 t dt = -cot t - t$ $\int sec t tan t dt = sec t$ $\int csc t cot t dt = -csc t$ $\int sin ct dt = -(1/c) cos ct$ $\int cos ct dt = (1/c) sin ct$ $\int tan ct dt = -(1/c) ln |cos ct|$ $\int cot ct dt = (1/c) ln |sin ct|$ $\int sec ct dt = (1/c) ln |sec ct + tan ct|$ $\int csc ct dt = (1/c) ln |csc ct - cot ct|$ $\int sec^2 ct dt = (1/c) tan ct$ $\int csc^2 ct dt = -(1/c) cot ct$ $\int tan^2 ct dt = (1/c) tan ct - t$ $\int cot^2 ct dt = -(1/c) cot ct - t$ $\int sec ct tan ct dt = (1/c) sec ct$ $\int csc ct cot ct dt = -(1/c) csc ct$ $\int e^t dt = e^t$ $\int e^ct dt =(1/c) e^(ct)$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-ct)dt = -(1/c) e^(-ct)$ $\int e^(t/c)dt = c e^(t/c)$ $\int c^t dt = (1/ln c) c^t$ $\int u^v dt = \int (e^(v ln u) dt$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral(e^(-t^2),t) = sqrt(pi)/2 Erf(t)$$ seleziona la sostituzione u = ? il computer seleziona la sostituzione u mostra nuovamente l'integrale integrando = $f(u) \times du/dx$ $\int f(u) (du/dx) dx = \int f(u) du$ integra per sostituzione (u = ?) integrate per sostituzione $\int u dv = uv - \int v du (u = ?)$ $\int u dv = uv - \int v du$ set current line = original integrale originale a sinistra integra per sostituzione calcola l'integrale semplice $$integral(f'(x),x,a,b)=f(b)-f(a)$$ $$diff(integral(f(t),t,a,x),x) = f(x)$$ $$eval(f(t),t,a,b) = f(b) - f(a)$$ $$eval(ln f(t),t,a,b) = ln(f(b)/f(a))$$ $$integral(u,t,a,b) = - integral(u,t,b,a)$$ $$integral(u,t,a,b) + integral(u,t,b,c) = integral(u,t,a,c)$$ $$integral(u,t,a,c) = integral(u,t,a,?) + integral(u,t,?,c)$$ scomponi $\int |f(t)| dt$ negli zeri di f calcola l'integrale con parametro numerico calcola l'integrale numericamente $$integral(u,t,a,a) = 0$$ $$integral(u,x,a,infinity) = lim(t->infinity,integral(u,x,a,t))$$ $$integral(u,x,-infinity,b) = lim(t->-infinity,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->a+,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->b-,integral(u,x,a,t))$$ limite dell'integrando non nullo in $\infty $ limite dell'integrando non nullo in $-\infty $ $$integral(u,t,-a,a) = 0$$ (u odd) $$integral(u,t,-a,a) = 2 integral(u,t,0,a)$$ (u even) $x = a sin \theta {for \sqrt (a^2-x^2)}$ $x = a tan \theta {for \sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a sec \theta {for \sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a sinh \theta {for \sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a cosh \theta {for \sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a tanh \theta {for \sqrt (a^2-x^2)}$ definisci la sostituzione inversa x = ? integrale semplice in un passaggio $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ nell'integrale $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ nell'integrale u=cos x dopo aver usato $sin^2=1-cos^2$ u=sin x dopo aver usato $cos^2=1-sin^2$ u=tan x dopo aver usato $sec^2=1+tan^2$ u=cot x dopo aver usato $csc^2=1+cot^2$ u=sec x dopo aver usato $tan^2=sec^2-1$ u=csc x dopo aver usato $cot^2=csc^2-1$ $tan^2 x = sec^2 x - 1$ nell'integrando $2cot^2 x = csc^2 x - 1$ nell'integrando riduci $\int sec^n x dx$ riduci $\int csc^n x dx$ u = tan(x/2) (Weierstrass subst.) moltiplica numeratore e denominatore per 1+cos x moltiplica numeratore e denominatore per 1-cos x moltiplica numeratore e denominatore per 1+sin x moltiplica numeratore e denominatore per 1-sin x moltiplica numeratore e denominatore per sin x+cos x moltiplica numeratore e denominatore per cos x-sin x fattorizza denominatore (se semplice) square-free factorization fattorizza polinomio numericamente espandi in frazioni parziali $\int 1/(ct\pm b) dt = (1/c) ln |ct\pm b|$ $\int 1/(ct\pm b)^(n+1) dt = -1/nc(ct\pm b)^n$ $\int 1/(t^2+a^2)dt=(1/a)arctan(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/a)arccoth(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/2a)ln|(t-a)/(t+a)|$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/a)arctanh(t/a)$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/2a)ln|(t+a)/(a-t)|$ $\int 1/\sqrt (a^2-t^2)dt = arcsin(t/a)$ $\int 1/\sqrt (t^2\pm a^2)dt)=ln|t+\sqrt (t^2\pm a^2)|$ $\int 1/(t\sqrt (t^2-a^2))dt=(1/a)arccos(t/a)$ fai una sostituzione razionale $\int arcsin z dz = z arcsin z + \sqrt (1-z^2)$ $\int arccos z dz = z arccos z - \sqrt (1-z^2)$ $\int arctan z dz = z arctan z - (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccot z dz = z arccot z + (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ fattorizza termini comuni fattorizza espressione (non intera) trasforma l'integrale per sostituzione assorbi numero in una costante intera $\int sinh u du = cosh u$ $\int cosh u du = sinh u$ $\int tanh u du = ln cosh u$ $\int coth u du = ln sinh u$ $\int csch u du = ln tanh(u/2)$ $\int sech u du = arctan (sinh u)$ $$1/(1-x) = sum(x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...x^n...$ $$1/(1+x) = sum((-1)^n x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...(-1)^nx^n...$ $$sum(x^n,n,0,infinity)=1/(1-x)$$ $1+x+x^2+... = 1/(1-x)$ $1+x+x^2+...x^n...= 1/(1-x)$ $$sum((-1)^n x^n,n,0,infinity) = 1/(1+x)$$ $1-x+x^2+... = 1/(1+x)$ $1-x+x^2+...(-1)^nx^n... = 1/(1+x)$ $$x/(1-x) = sum(x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1-x) = x+x^2+x^3+...$ $x/(1-x) = x+x^2+...x^n...$ $$x/(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1+x) = x-x^2+x^3+...$ $x/(1+x) = x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...$ $$sum(x^n,n,1,infinity)=x/(1-x)$$ $x+x^2+x^3+...=x/(1-x)$ $x+x^2+...x^n...=x/(1-x)$ $$sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)=x/(1+x) $$ $x-x^2+x^3+...=x/(1+x) $ $x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...=x/(1+x) $ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1-x^k)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1+x^k)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,2)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1-x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1+x)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity) = -ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)=-ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,2)=-ln(1-x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1+x)$$ $$ sin x = sum( (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity)$$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+...$ $$cos x = sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity)$$ $cos x = 1-\onehalf x^2+x^4/4! + ...$ $cos x = 1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+...$ $$sum((-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity) = sin x$$ $x-x^3/3!+x^5/5!+... = sin x$ $x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+... = sin x$ $$sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity) = cos x$$ $1-\onehalf x^2+x^4/4! + ... = cos x$ $1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+... = cos x$ $$e^x = sum(x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^x = 1+x+x^2/2!+...$ $e^x = 1+x+...+x^n/n!...$ $$sum(x^n/n!,n,0,infinity)= e^x$$ $1+x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^x$ $1+x+...+x^n/n!... = e^x$ $$e^(-x) = sum((-x)^n x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^(-x) = 1-x+x^2/2!+...$ $e^(-x) = 1-x+...(-1)^nx^n/n!...$ $$sum((-1)^nx^n/n!,n,0,infinity)= e^(-x)$$ $1-x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^(-x)$ $1-x+...+(-1)^nx^n/n!... = e^(-x)$ $$arctan x = sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity)$$ $arctan x = x -x^3/3 + x^5/5 ...$ $arctan x = x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...$ $$sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity) = arctan x$$ $x -x^3/3 + x^5/5 ...=arctan x$ $x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...=arctan x$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)= (1+x)^alpha$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$sec x = sum( (-1)^n (eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-3)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-2)$$ $$sum((-1)^n/n,n,1,infinity) = ln 2$$ esprimi la serie come $a_0 + a_1 + ...$ esprimi la serie come $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ esprimi la serie usando ... e un termine generale esprimi la serie usando la notazione sigma mostra un altro termine prima di ... mostra ? termini in più prima di ... mostra termini con fattoriale sviluppato non sviluppare il fattoriale nei termini mostra i coefficienti in forma decimale non usare la forma decimale per i coefficienti serie telescopiche moltiplica serie moltiplica serie di potenze dividi serie di potenze per un polinomio dividi polinomio per una serie di potenze dividi la serie di potenze serie di quadrati serie di potenze di quadrati espressione $(\sum a_k x^k)^n$ come una serie aggiungi serie sottrai serie riduci il limite inferiore sottraendo termini aggiungi ? alla variabile indice sottrai ? dalla variabile indice differenzia la serie di potenze termine per termine integra la serie di potenze termine per termine calcola la somma dei primi termini $$u = integral(diff(u,x),x)$$ $$u = integral(diff(u,t),t,0,x) + u0$$ $$u = diff(integral(u,x),x)$$ risolvi la costante di integrazione $\sum a_k = \sum a_(2k) + \sum a_(2k+1)$ $\sum u$ diverge se $lim u$ è non nullo test integrale test rapporto test radice test di confronto per la convergenza test di confronto per la divergenza test di confronto sul limite test di condensazione finisci test della divergenza finisci test dell'integrale finisci test del rapporto finisci test della radice finisci test del confronto finisci test di confronto sul limite finisci test di condensazione risultato positivo del test di confronto risultato negativo del test di confronto $$sum(1/k,k,1,infinity) = infinity$$ $$sum(1/k^2,k,1,infinity) = pi^2/6$$ $$sum(1/k^s,k,1,infinity) = zeta(s)$$ $$zeta(2k) = (2^(2k-1) abs(bernoulli(2k)) pi^(2k))/factorial(2k)$$ $ln(u+iv) = ln(re^(i\theta ))$ $ln(re^(i\theta ))=ln r + i\theta (-\pi <\theta \le \pi )$ $ln i = i\pi /2$ $ln(-1) = i\pi $ $ln(-a) = ln a + i\pi (a > 0)$ $cos \theta = [e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2$ $sin \theta = [e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i$ $$sqrt(re^(i theta))=sqrt(r) e^(i theta/2)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$root(n,re^(i theta))=root(n,r) e^(i theta/n)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $e^(i\theta ) = cos \theta + i sin \theta $ $e^(x+iy) = e^x cos y + i e^x sin y$ $e^(i\pi ) = -1$ $e^(-i\pi ) = -1$ $e^(2n\pi i) = 1$ $e^((2n\pi + \theta )i) = e^(i\theta )$ $u^v = e^(v ln u)$ sin(it) = i sinh t cos(it) = cosh t cosh(it) = cos t sinh(it) = i sin t tan(it) = i tanh t cot(it) = -i coth t tanh(it) = i tan t coth(it) = -i cot t cos t + i sin t = e^(it) cos t - i sin t = e^(-it) $[e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2 = cos \theta $ $[e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i = sin \theta $ $e^(i\theta ) + e^(-i\theta ) = 2 cos \theta $ $e^(i\theta ) - e^(-i\theta ) = 2i sin \theta $ cosh u = (e^u+e^(-u))/2 e^u + e^-u = 2 cosh u sinh u = (e^u-e^(-u))/2 e^u-e^(-u) = 2 sinh u [e^u + e^-u]/2 = cosh u [e^u-e^(-u)]/2 = sinh u cosh(-u) = cosh u sinh(-u) = -sinh u cosh u + sinh u = e^u cosh u - sinh u = e^(-u) cosh 0 = 1 sinh 0 = 0 e^x = cosh x + sinh x e^(-x) = cosh x - sinh x $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ $1 - tan^2u = sech^2u$ $1 - sech^2u = tan^2u$ tanh u = sinh u / cosh u sinh u / cosh u = tanh u coth u = cosh u / sinh u cosh u / sinh u = coth u sech u = 1 / cosh u 1 / cosh u = sech u csch u = 1 / sinh u 1 / sinh u = csch u $tanh^2 u + sech^2 u = 1$ $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$ $sech^2 u = 1 - tanh^2 u $ $sinh(u\pm v)=sinh u cosh v \pm cosh u sinh v$ $cosh(u\pm v)=cosh u cosh v \pm sinh u sinh v$ sinh 2u = 2 sinh u cosh u $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ $tanh(ln u) = (1-u^2)/(1+u^2)$ $arcsinh x = ln(x + \sqrt (x^2+1))$ $arccosh x = ln(x + \sqrt (x^2-1))$ $arctanh x = (1/2) ln((1+x)/(1-x))$ $sinh(asinh x) = x$ $cosh(acosh x) = x$ $tanh(atanh x) = x$ $coth(acoth x) = x$ $sech(asech x) = x$ $csch(acsch x) = x$ d/du sinh u = cosh u d/du cosh u = sinh u $d/du tanh u = sech^2 u$ $d/du coth u = -csch^2 u$ d/du sech u = -sech u tanh u d/du csch u = -csch u coth u d/du ln sinh u = coth u d/du ln cosh u = tanh u $d/du arcsinh u = 1/\sqrt (u^2+1)$ $d/du arccosh u = 1/\sqrt (u^2-1)$ $d/du arctanh u = 1/(1-u^2)$ $d/du arccoth u = 1/(1-u^2)$ $d/du arcsech u= -1/(u\sqrt (1-u^2))$ $d/du arccsch u= -1/(|u|\sqrt (u^2+1))$ sg(x) = 1 se x > 0 sg(x) = -1 se x < 0 sg(0) = 0 sg(-x) = -sg(x) -sg(x) = sg(-x) sg(x) = |x|/x (x non nullo) sg(x) = x/|x| (x non nullo) abs(x) = x sg(x) $sg(x)^(2n) = 1$ sg(x)^(2n+1) = sg(x) 1/sg(x) = sg(x) d/dx sg(u) = 0 (u non nullo) $\int sg(x) = x sg(x)$ $\int sg(u)v dx = sg(u)\int v dx$ (u non nullo) sg(x) = 1 assumendo x > 0 sg(x) = -1 assumendo x < 0 $sg(au) = sg(u)$ se $a > 0$ $sg(au) = -sg(u)$ se a < 0 sg(au/b) = sg(u) se a/b > 0 sg(au/b) = - sg(u) se a/b < 0 sg(x^(2n+1)) = sg(x) sg(1/u) = sg(u) sg(c/u) = sg(u) se c > 0 u sg(u) = |u| |u| sg(u) = u d/dx J0(x) = -J1(x) d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x) d/dx Y0(x) = -Y1(x) d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x) d/dx I0(x) = -I1(x) d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x) d/dx K0(x) = -K1(x) d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x) espandi moltiplica se elimina elimina radici quadrate Calcolo Numerico Esprimi numero in forma diversa Aritmetica Complessa Semplifica Sommatorie Semplifica Produttorie Espandi Frazioni Frazioni con segno Frazioni composte Denominatori comuni Esponenti Espandi potenze Esponenti negativi Radici quadrate Radici quadrate avanzate Esponenti frazionari Radici n-esime Radici di radici Radici e frazioni Numeri complessi Fattorizzazioni Fattorizzazioni avanzate Risolvi equazioni Equazioni quadratiche Studia equazioni numericamente Equazioni avanzate Equazioni cubiche Equazioni logaritmiche o esponenziali Varie equazioni lineari Solo modalità selezione Equazioni lineari per selezioni dei termini Equazioni per sostituzione Metodi matriciali Metodi matriciali avanzati Valori assoluti Disuguaglianze con valori assoluti Disuguaglianze strette Disuguaglianze Disuguaglianze con i quadrati Disuguaglianze che involvono reciproci Disuguaglianze con radici e potenze Disuguaglianze--un membro nullo Disuguaglianze che involvono quadrati Teorema binomiale Fattorizzazione di espansioni binomiali Notazione sigma Notazione sigma avanzata Dimostrazioni per induzione Disuguaglianze trigonometriche Disuguaglianze con logaritmi e potenze Logaritmi in base 10 Logaritmi Logaritmi naturali ed e Logaritmi naturali Formule di somma trigonometriche inverse Forma Polare complessa Logaritmi in qualsiasi base Cambio di base di logaritmi Calcolo di funzioni trigonometriche Trigonometria di base Reciproci trigonometrici Identità quadratiche trigonometriche Identità Csc and Cot Formule trigonometriche di somma Formule di duplicazione Espansione di cos(nx) e sin(nx) Verifica di identità Risoluzione per 30-60-90 Risoluzione per 45-45-90 Zeri di funzioni trigonometriche Funzioni trigonometriche inverse Semplificazione di funzioni trigonometriche inverse Somma di funzioni trigonometriche inverse Funzioni trigonometriche complementari Angoli complementari in gradi Funzioni trigonometriche pari e dispari Periodicità di funzioni trigonometriche Formule di bisezione Identità di prodotti e fattori Limiti Limite di quozienti Limite di quozienti di radici Limiti speciali Limiti di funzioni iperboliche Limiti avanziati Limiti logaritmici Limiti e infinità Limiti infiniti Infinità Denominatori nulli Funzioni all'infinito Differenziazione polinomiale Derivate Differenziazione di funzioni trigonometriche Differenziazione di esponenziali e logaritmi Differenziazione di funzioni trigonometriche inverse Regola di differenziazione composta Minimi e massimi Differenziazione implicita Related Rates Semplificazione Derivate di ordine alto Integrazione di base Integrazione di funzioni trigonometriche Integrazione di funzioni trigonometriche di ct Integrazione di esponenziali e logaritmi Integrazione per sostituzione Integrazione per parti Teorema fondamentale Integrale definito Integrali impropri Integrandi pari e dispari Sostituzioni inverse Integrali trigonometrici Semplificazione di inregrandi trigonometrici Integrazione di funzioni razionali Integra radici quadrate nel denominatore Integra funzioni trigonometriche inverse Semplifica Integra funzioni iperboliche Serie geometriche Serie geometriche 2 Serie geometriche 3 Serie geometriche 4 Serie geometriche 5 Serie infinite per il logaritmo Serie infinite per sin e cos Serie infinite per funzioni esponenziali Serie infinite per arcotangente Serie infinite per tan e cot Appearance of Series Operazioni algebriche su serie Manipolazione di serie infinite Test di convergenza Finisci test di convergenza Funzioni complesse Identità di funzioni complesse Seno e coseno iperbolici Identità trigonometriche iperboliche Funzioni iperboliche Funzioni iperboliche inverse Differenziazioni iperboliche Differenziazioni iperboliche inverse Funzione Sg Semplifica funzione Sg Funzioni di Bessel Funzioni di Bessel modificate Funzioni definite dall'utente Invisibile Anche invisibile e anche questo %�|� 4 I?: ; I ! 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