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�� � �� � �� __text __TEXT , � 0� � __cstring __TEXT , f� � __data __DATA �� 0. @� @� � __debug_abbrev __DWARF �� � p� __debug_info __DWARF N� � �� � __debug_str __DWARF G� I � __apple_names __DWARF �� � 8� __apple_objc __DWARF � $ � __apple_namespac__DWARF D� $ � __apple_types __DWARF h� � � __compact_unwind__LD � �� � __debug_line __DWARF � x �� � 2
� % P " P $ $ % �C �� �� ���� � � �� �� yi��C ��_�Cambia $1 / sin$ in csc Cambia $1 / cos$ in sec Cambia $1 / tan$ in cot Cambia $1 / tan$ in $cos / sin$ Cambia $1 / cot$ in tan Cambia $1 / cot$ in $sin / cos$ Cambia $1 / sec$ in cos Cambia $1 / csc$ in sin Esprimi sin in termini di csc Esprimi cos in termini di sec Esprimi tan in termini di cot Usa la legge $sin^2 u + cos^2 u = 1$. Nota una espressione che soddisfa il pattern $1 - sin^2 u$. Nota una espressione che soddisfa il pattern $1 - cos^2 u$ Prova a riscrivere $sin^2$ come $1 - cos^2$ Prova a riscrivere $cos^2$ come $1 - sin^2$ Usa la legge $sec^2 u - tan^2 u = 1$. Nota una espressione che soddisfa il pattern $tan^2 u + 1$. Nota una espressione che soddisfa il pattern $sec^2 u - 1$. Prova a riscrivere $sec^2$ come $tan^2 + 1$ Prova a riscrivere $tan^2$ come $sec^2 u - 1$ Elimina tutte le potenze di $sin$ utilizzando $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ Elimina tutte le potenze di $cos$ utilizzando $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ Elimina tutte le potenze di $tan$ utilizzando $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ Elimina tutte le potenze di $sec$ utilizzando $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ Combina le potenze di $(1-cos t)$ e le potenze di $(1+cos t)$ in una potenza di $sin^2 t$ Combina le potenze di $(1-sin t)$ e le potenze di $(1+sin t)$ in una potenza di $cos^2 t$ Nota una espressione che soddisfa il pattern $csc^2 u - cot^2 u$ Nota una espressione che soddisfa il pattern $cot^2 u + 1$ Nota una espressione che soddisfa il pattern $csc^2 u - 1$ Prova a riscrivere $csc^2$ come $cot^2 + 1$ Prova a riscrivere $cot^2$ come $csc^2 - 1$ Esprimi $csc(\pi /2-\theta )$ in termini di $sec \theta $ Esprimi $cot(\pi /2-\theta )$ in termini di of $tan \theta $ Liberati di tutte le potenze di $cot$ usando $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ Liberati di tutte le potenze di $csc$ usando $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ Usa la formula per $sin(u+v)$ Usa la formula per $sin(u-v)$ Usa la formula per $cos(u+v)$ Usa la formula per $cos(u-v)$ Usa la formula per $tan(u+v)$ Usa la formula per $tan(u-v)$ Usa la formula per $cot(u+v)$ Usa la formula per $cot(u-v)$ Usa la formula di duplicazione per il seno Hai una formula nella forma $cos(2\theta )$. Ci sono tre formule di duplicazione differenti che iniziano con $cos(2\theta )$. Scegli attentamente, pensando a cosa otterrai successivamente. Seleziona la sommatoria contenente $cos(2\theta )+1$. Seleziona la sommatoria contenente $cos(2\theta )-1$. Utilizza la formula di duplicazione per la tangente Utilizza la formula di duplicazione per cotangente Un prodotto di seno e coseno puè essere semplificato in una singola funzione trigonometrica utilizzando la legge: $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ Un prodotto di seno per coseno può essere semplificato in una singola funzione trigonometrica utlizzando la legge: $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ Combina alcuni termini per ottenere il coseno di un angolo doppio. Espandi una funzione trigonometrica scrivendo $n\theta $ as $(n-1)\theta + \theta $ e utilizzando la formula della somma. Esiste una formula per espandere $sin(3\theta )$. Esiste una formula per espandere $cos(3\theta )$. Puoi espandere $sin n\theta $ come polinomio in $sin \theta $ e $cos \theta $. Puoi espandere $cos n\theta $ come polinomio in $sin \theta $ e $cos \theta $. Puoi fare la moltiplicazione incrociata. Potresti scambiare i membri. Trasferisci un termine adeguato da sinistra a destra. Trasferisci un termine adeguato da destra a sinistra. Aggiungi qualcosa ad ambo i membri. Sottrai qualcosa da ambo i membri. Moltiplica entrambi i membri per qualcosa. Elimina un termine da ambo i membri. Eleva ambo i membri alla stessa potenza. Estrai la radice quadrata di ambo i membri. Estrai la radice $n$-esima di ambo i membri. Applica una funzione ad ambo i membri. Forse non è neanche una vera identità. Verificala numericamente. Se non è una identità, dovresti trovare presto un numero che rende diversi i due membri. Fai una sostituzione. Quando è $sin(u) = 1/2$ ? Quando è $sin(u) = -1/2$ ? Quando è $sin(u) = \sqrt 3/2$ ? Quando è $sin(u) = -\sqrt 3/2$ ? Quando è $cos(u) = \sqrt 3/2$ ? Quando è $cos(u) = -\sqrt 3/2$ ? Quando è $cos(u) = 1/2$ ? Quando è $cos(u) = -1/2$ ? Quando è $tan(u) = 1/\sqrt 3$ ? Quando è $tan(u) = -1/\sqrt 3$ ? Quando è $tan(u) = \sqrt 3$ ? Quando è $tan(u) = -\sqrt 3$ ? Quando è $sin(u) = 1/\sqrt 2$ ? Quando è $sin(u) = -1/\sqrt 2$ ? Quando è $cos(u) = 1/\sqrt 2$ ? Quando è $cos(u) = -1/\sqrt 2$ ? Quando è $tan(u) = 1$ ? Quando è $tan(u) = -1$ ? Quando è $sin u = 0$ ? Quando è $sin u = 1$ ? Quando è $sin u = -1$ ? Quando è $cos u = 0$ ? Quando è $cos u = 1$ ? Quando è $cos u = -1$ ? Quando è $tan u = 0$ ? Quando è $cot u = 0$ ? Puoi liberarti del seno estraendo l'arcoseno, ma ci saranno soluzioni multiple. Puoi liberarti del coseno estraendo l'arcocoseno, ma ci saranno soluzioni multiple. Prova a prendere l'arcotangente per liberarti della tangente. Calcola esattamente l'arcoseno. Calcola esattamente l'arcocoseno. Calcola l'arcotangente esattamente. Liberati dell'arcocotangente, utilizzando la legge $arccot x = arctan (1/x)$ Liberati dell'arcosecante, utilizzando la legge $arcsec x = arccos (1/x)$ Liberati dell'arcocosecante, utilizzando la legge $arccsc x = arcsin (1/x)$ Arcoseno è una funzione dispari. Sebbene arcocoseno non sia una funzione dispari né pari, essa soddisfa la legge $arccos(-x) = \pi -arccos x$ Arcotangente è una funzione dispari Le tue soluzioni coinvolgono un parametro intero, quindi ce ne sono infinite. Se l'equazione di partenza è periodica con periodo $2\pi $, dovresti riscrivere le tue soluzioni in modo che abbiano la forma $c + 2n\pi $. Successivamente dovrai solamente verificare le soluzioni su un periodo. Ricordati i valori di seno sono tutti tra $-1$ e 1. Ricordati i valori di coseno sono tutti tra $-1$ e 1. $tan(arcsin x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $tan(arccos x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $tan(arctan x)$ è proprio $x$. $sin(arcsin x)$ è proprio $x$. $sin(arccos x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $sin(arctan x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $cos(arcsin x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $cos(arccos x)$ è proprio $x$. $cos(arctan x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $sec(arcsin x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $sec(arccos x)$ è proprio $1/x$. $sec(arctan x)$ è di fatto una funzione algebrica di $x$. $arctan(tan \theta )$ è proprio $\theta $, se $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta )$ è proprio $\theta $, se $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta )$ è proprio $\theta $, se $0\le \theta \le \pi $ $arctan(tan x)$ in generale non è uguale a $x$, ma è $x$ meno un certo multiplo di $pi$, quindi può essere espressa come $x + c1$ dove $c1$ è costante su intervalli dove $tan x$ è definita. $arcsin x$ e $arccos x$ sono angoli complementari. $arctan x$ e $arctan 1/x$ sono angoli complementari, ma attenzione ai segni se $x$ è negativo. Ricordati cos significa seno del complemento. Quindi il coseno del complemento è il seno. Cioè, $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Ricordati cos significa seno del complemento. Cioè, $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $. Ricordati cot significa tangente del complemento. Quindi la cotangente del complemento è la tangente. Cioè, $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $. Ricordati cot significa tangente del complemento. Cioè, $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $. Ricordati csc significa cosecante del complemento. Quindi la cosecante del complemento è la secante. Cioè, $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $. Ricordati csc significa secante del complemento. Cioè, $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $. Riscrivi il seno come coseno del complemento. Riscrivi il coseno come seno del complemento. Riscrivi la tangente come cotangente del complemento. Riscrivi la cotangente come tangente del complemento. Riscrivi la secante come cosecante del complemento. Riscrivi la cosecante come secante del complemento. Ricordati cos significa seno del complemento. Quindi coseno del complemento è il seno. Cioè, $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Ricordati cos significa seno del complemento. Cioè, $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $. Ricordati cotangente significa tangente del complemento. Quindi cotangente del complemento è la tangente. Cioè, $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $. Ricordati cotangente significa tangente del complemento. Cioè, $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $. Ricordati csc significa secante del complemento. Quindi la cosecante del complemento è la secante. Cioè, $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $. Ricordati csc significa secante del complemento. Cioè, $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $. Riscrivi la secante come csc del complemento. Combina i gradi in una espressione singola. sin è una funzione dispari. cos è una funzione pari. tan è una funzione dispari. cot è una funzione dispari. sec è una funzione pari. csc è una funzione dispari. sin al quadrato è una funzione pari. cos al quadrato è una funzione pari. tan al quadrato è una funzione pari. cot al quadrato è una funzione pari. sec al quadrato è una funzione pari. csc al quadrato è una funzione pari. sin è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. cos è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. tan è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. sec è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. csc è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. cot è periodica; usa la formula che esprime questo fatto. $sin^2$ è periodica di periodo $\pi $, anche se il periodo di seno è $2\pi .$ $cos^2$ è periodica di periodo $\pi $, anche se il periodo di coseno è $2\pi .$ $sec^2$ è periodica di periodo $\pi $, anche se il periodo di secante è $2\pi .$ $csc^2$ è periodica di periodo $\pi $, anche se il periodo di cosecante è $2\pi .$ Riduci l'angolo usando $sin u = -sin(u-\pi )$ Riduci l'angolo usando $sin u = sin(\pi -u)$ Riduci l'angolo usando $cos u = -cos(u-\pi )$ Riduci l'angolo usando $cos u = -cos(\pi -u)$ Liberati di $sin^2$ usando la formula di bisezione degli angoli. Liberati di $cos^2$ usando la formula di bisezione degli angoli. Il prodotto di seno e coseno può essere semplificato usando la legge: $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ Usa la formula di bisezione degli angoli scrivi $\theta $ come $2(\theta /2)$; usare questa operazione nelle formule di bisezione degli angoli. Puoi esprimere $sin x cos x$ come $\onehalf sin 2x$ Puoi esprimere $sin x cos y$ come sommatoria di seni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $cos x sin y$ come differenza di seni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $sin x sin y$ come differenza di coseni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ and $y$ Puoi esprimere $cos x cos y$ come somma di coseni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $sin x + sin y$ come prodotto di seni e coseni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $sin x - sin y$ come prodotto di seni e coseni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $cos x + cos y$ come prodotto di coseni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Puoi esprimere $cos x - cos y$ come prodotto di seni le cui frequenze sono la somma e la differenza di $x$ e $y$ Sostituisci u,v per le espressione nelle funzioni trigonometriche. Sperimenta numericamente. Il limite della somma è la somma dei limite, se i limiti esistono. Il limite della differenza è la differenza dei limiti, se i limiti esistono. Il limite di una costante è la costante. Il limite di $x$ come $x$ che tende a $c$ è proprio $c$. Puoi estrarre una costante dall'operazione di limite. Puoi estrarre un segno meno dall'operazione di limite. Il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, se i limiti esistono. Il limite di una potenza (costante) è la potenza del limite. Il limite di $c^v$ è $c$ elevato alla potenza di $lim v$, quando $c$ è costante. $lim u^v=(lim u)^(lim v)$ Il limite della radice quadrata è la radice quaadrata del limite, purché sia positivo. Il limite di una radice dispari è la radice del limite. Il limite di una radice è la radice del limite, purché il limite sia positivo. Puoi usare MathXpert per calcolare limiti di polinomi in un singolo passo. Puoi spostare il limite all'interno del segno di valore assoluto. Puoi estrarre una costante dal numeratore utilizzando $lim cu/v = c lim u/v$ Il limite del reciproco è il reciproco del limite; più in generale per $c$ costante abbiamo $lim c/v = c/lim v$ Il limite del quoziente è il quoziente dei limiti, purché il limite del denominatore sia non nullo. Puoi fattorizzare potenze di $(x-a)$ in un limite del tipo $x$ che tende ad $a$. Puoi usare MathXpert per calcolare il limite di una funzione razionale in un unico passo. A volte aiuta scrivere $a^n/b^n as (a/b)^n$. Razionalizza la frazione. Osserva l'operazione come quoziente dei limiti. Semplifica il tuo limite estraendo parti semplice che hanno limiti finiti non nulli. Questo significa esprimere $lim uv$ come $lim u lim v$, dove $lim u$ è finito e non nullo. Per esempio, potresti estrarre $sin(x)/x$ dal limite di $sin^2(x) /x$ con $x$ che tende a 0. Fattorizza una costante. Moltiplica numeratore e denominatore per qualcosa. Lo scopo è ottenere un limite del denominatore non nullo. Dividi numeratore e denominatore per qualcosa. Lo scopo è ottenere un limite di denominatore non nullo. Dividi numeratore e denominatore per qualcosa e quindi metti il limite a numeratore e denominatore separatamente. Scegli la quantità da dividere in modo che il denominatore abbia un limite non nullo. Con i limiti dei quozienti di operazioni esiste una formula algebrica che può essere utile: $$(ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q$$ Puoi portare il denominatore all'interno della radice quadrata (elevandolo al quadrato). Puoi portare il denominatore all'interno della radice quadrata (elevandolo al quadrato), ma stai attento al segno. Puoi portare il denominatore all'interno del radicale. Puoi portare il denominatore all'interno del radicale, ma stai attento al segno. Puoi portare il numeratore all'interno della radice quadrata (elevandolo al quadrato). Puoi portare il numeratore all'interno della radice quadrata (elevandolo al quadrato), ma stai attento al segno. Puoi portare il numeratore all'interno del radicale. Puoi portare il numeratore all'interno del radicale, ma stai attento al segno. Usa la regola di L'Hospital. Puoi chiedere a MathXpert di calcolare la derivata in un passaggio Metti tutto nel denominatore eccetto il logaritmo, e quindi usa la regola di L'Hospital. Seleziona l'intero limite per trovare la giusta operazione. Metti l'esponente negativo nel denominatore come esponente positivo, quindi usa la regola di L'Hospital. Sposta la funzione esponenziale al denominatore, e quindi usa la regola di L'Hospital's. Sposta la funzione trigonometrica al denominatore (utilizzando identità trigonometriche), quindi usa la regola di L'Hospital. Converti il prodotto in una frazione spostando uno o più fattori al denominatore, creando una frazione composta. Metti le frazioni a denominatore comune e semplifica. Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(sin t)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(tan t)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(1-cos t)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(1-cos t)/t^2$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(1+t)^(1/t)$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(ln(1+t))/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(e^t-1)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(e^(-t)-1)/t$ La singolarità di $ln x$ nell'origine è così debole che ogni potenza positiva di $t$ la vince. MathXpert ha un'operazione per gestire un limite di questo tipo in un passo, oppure puoi mettere la potenza a denominatore e usare la regola di L'Hospital. La funzione $cos(1/t)$ fa infinite oscillazioni tra -1 e 1 quando $t$ tende 0. La funzione $sin(1/t)$ fa infinite oscillazioni tra -1 e 1 quando $t$ tende 0. La funzione $tan(1/t)$ si comporta in maniera informe quando $t$ tende 0. La funzione $cos t$ fa infinite oscillazioni tra -1 e 1 quando $t$ tende a infinito. La funzione $sin t$ fa infinite oscillazioni tra -1 e 1 quando $t$ tende a infinito. La funzione $tan t$ prende tutti i valori reali per valori arbitrari grandi di $t$, in maniera tale che può tendere ad ogni limite per $t$ che tende a infinito. Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(sinh t)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(tanh t)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(cosh t -1)/t$ Esiste una particolare formula di limite che riguarda $(cosh t - 1)/t^2$ Il limite di un ln è il ln del limite, quanto meno se esso è positivo. I limiti di funzioni continue sono calcolati come $lim f(u)=f(lim u)$. In realtà, questa è la \it definizione \rm di continuità. Puoi cambiare il limite della variabile usando la formula della composizione di funzioni. Ossia, $$lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))$$ Puoi chiedere a MathXpert di calcolare un semplice limiti in un unico passo. Per calcolare il liite di una potenza non costante, prima rendi la base costante, usando la regola $lim u^v = lim e^(v ln u)$. Se il limite del prodotto sembra indeterminato, puoi provare la legge: $lim uv = lim v/(1/u)$. A volte il limite di un quoziente può essere calcolato. Un limite è indefinito se la funzione di cui il limite viene calcolato è indefinito nell'intorno del punto di limite Prova la regola: $$lim(t->a, u) = e^(lim(t->a, ln u))$$ Forse puoi rimuovere un termine che crea problemi, magari un fattore oscillante, usando il teorema del restringimento. Puoi provare qualcosa di simile razionalizzando il numeratore, persino se non c'è il numeratore: $$lim(t->a, sqrt(u)-v)=lim(t->a, (sqrt(u)-v)(sqrt(u)+v)/(sqrt(u)+v))$$ Puoi trascurare tutto tranne che i termini più significativi del numeratore e del denominatore. Un limite complicato può essere sostituito dal limite del termine più significativo. Puoi sostituire una somma con il suo termine più significativo in certe condizioni, ma non sempre. Devi accertarti che il termine più significativo non diventi zero, causandoti la perdita della vera risposta che era nei termini che hai trascurato. Una espressione con parti indefinite è essa stessa indefinita $lim(e^u) = e^(lim u)$ $lim(ln u) = ln(lim u)$ La singolarità del $ln x$ nell'origine è così debole che ogni potenza positiva di $t$ la può sovrastare. MathXpert ha una operazione per manipolare un limite del genere in un singolo passo, o puoi mettere la potenza nel denominatore e usare la regola di L'Hospital. La singolarità di $ln x$ nell'origine è così debole che ogni potenza positiva di $t$ la può sovrastare. MathXpert ha una operazione per manipolare un limite del genere in un singolo passo, o puoi mettere la potenza nel denominatore e usare la regola di L'Hospital. Una funzione algebrica domina sempre un logaritmo. Per $t$ grande, $t^n$ è troppo grande, così $1/t^n$ è piccolo. Per $t$ grande, anche $t^n$ è grande. Per $t$ grande, anche $e^t$ è grande. Per $t$ grande e negativo, $e^t$ è molto piccolo. Per $t$ grande, anche $ln t$ è grande. Per $t$ grande, anche $\sqrt t$ è grande. Per $t$ grande, anche $^n\sqrt t$ è grande. Per $abs(t)$ grande, $arctan t$ è vicina a $pi/2$ o a $-pi/2$ L'arcocotangente di un numero positivo grande è vicina a zero. L'arcocotangente di un numero negativo grande è vicina a $pi$. Per $abs(t)$ grande, $tanh t$ è vicina a 1 o -1. $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ $lim(sin u) = sin(lim u)$ se il limite (di u) è finito. $lim(cos u) = cos(lim u)$ se il limite (di u) è finito Limiti all'infinito possono essere trasformati in limiti a zero se $f(t)$ viene sostituito da $f(1/t)$. Puoi trascurare tutto tranne che i termini più significativi nel numeratore e nel denominatore. Per $u$ piccolo, $1/u^2^n$ è grande. Per $u$ piccolo, $1/u^n$ è grande, ma se $n$ è dispari, ha segni opposti per $u$ positivo e $u$ negativo, che comporta problemi sul limite da ambo i lati quando $u$ tende a zero. Per $u$ piccolo e positivo, $1/u^n$ è grande. Per $u$ piccolo e negativo, $1/u^n$ è grande e (se $n$ è dispari) negativo. Se il denominatore va a zero e il numeratore non ci va, allora il limite è indefinito. Per $t$ piccolo e positivo, $ln t$ è grande e negativo. tan $t$ ha singolarità a multipli dispari di $\pi /2$. Ma tende a delle singolarità con differenti segni da sinistra a destra. cot $t$ ha singularità a multipli di $\pi $. Ma tende a singolarità con segni differenti da sinistra a destra. sec $t$ ha singolarità a multipli dispari di $\pi /2$. Ma tende a singolarità con differenti segni da sinistra e da destra. csc $t$ ha singularità a multipli di $\pi $. Ma tende a singolarità con differenti segni da sinistra e da destra. Moltiplica un fattore e dividi l'altro per qualcosa scelto per rendere possibile calcolare i limiti. $\pm \infty /$positive = $\pm \infty $ nonzero$/\pm \infty = 0$ positive$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty +$ finite$ = \pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $ se $u > 1$ $u^\infty = 0$ se $0 < u < 1$ $u^(-\infty ) = 0$ se $u > 1$ $u^(-\infty ) = \infty $ se $0 < u < 1$ $\infty ^n = \infty $ se $n > 0$ Hai una somma contenente infinità di diverso segno; una somma del genere è indefinita. $a/0+ = \infty $ se $a>0$ $a/0- = -\infty $ se $a>0$ $a/0 =$ indefinita $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0 = $ indefinita $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty if a > 0$ $a/0^2 = -\infty if a < 0$ $a/0^2^n = \infty if a > 0$ $a/0^2^n = -\infty if a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ limiti trigonometrici a $\infty $ sono indefiniti, perché la funzione trigonometrica oscilla (o peggio) $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ La derivata di una costante è zero. Qui 'costante' significa una qualsiasi espressione che non dipende dalla variabile rispetto alla quale stai differenziando. Hai una espressione $dx/dx$. Questa dovrebbe valere 1. La derivata di una somma è la somma delle derivate. Puoi mettere in evidenza un segno meno dal segno di derivata Puoi mettere in evidenza una costante dal segno di derivata Usa la regola delle potenze per differenziare una potenza. Puoi usare MathXpert per differenziare un polynomio in un unico passo. Per definizione, $f'(x) = d/dx f(x)$. Usa la formula che definisce la derivata come un limite. E' con le altre operazioni per le derivate. Puoi chiedere a MathXpert di differenziare un polinomio in un unico passo. La derivata di una somma (o la differenza) è la somma (o la differenza) delle derivate. Puoi mettere in evidenza una costante attraverso il segno di derivata Hai una costante nel denominatore. Mettila in evidenza usando: $$diff(u/c,x)=(1/c)diff(u,x)$$. Anche le costanti del numeratore verranno messe in evidenza. Usa la regola del prodotto per le derivate C'è una semplice formula per le derivate del reciproco: $$diff(1/v,x) = -diff(v,x)/v^2$$ E' conveniente memorizzarla. Usa la regola dei quozienti per le derivate C'è una formula per le derivate della radice quadrata. Spesso è molto più semplice differenziare la radice quadrata direttamente, piuttosto che convertirla nell'espenente frazionario e usare la regola delle potenze. Per differenziare una radice, prima convertila alla forma di esponente frazionario. Per differenziare la potenza nel denominatore, non hai da convertirla ad un esponente negativo come fanno molti studenti. Puoi usare la regola delle potenze nella forma $$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$ C'è una semplice formula per differenziare valori assoluti: $d/dx |x| = x/|x|$. Se il tuo libro di testo omette questa formula, verificala tu stesso considerando separatamente i casi di $x$ positivo e negativo. Certamente, entrambi i membri della formula sono indefiniti quando $x=0$. Per definizione, $f'(x) = d/dx f(x)$ La derivata del seno è il coseno La derivata del coseno è $-sin$ La derivata della tangente è $sec^2$ La derivata della secante è la sec tan La derivata della cotangente è $-csc^2$ La derivata della cosecante è - csc cot $e^x$ è la derivata di se stesso Le funzioni esponenziali sono le derivate di se stesse, eccetto che per una costante:$ d/dx c^x = (ln c) c^x$ Per differenziare una potenza con un esponente non costante, rendi costante la base usando la regola: $$ diff(u^v,x) = diff(e^(v ln u),x)$$ La derivata di $ln x = 1/x$ La derivata di $ln |x| = 1/x$ Prova a riscrivere $dy/dx$ come $y (d/dx) ln y$ Usa la formula: $d/dx e^u = e^u du/dx$ Per differenziare una potenza con base costante, usa la formula: $$diff(c^u,x)=(ln c)c^u diff(u,x)$$ Per differenziare un logaritmo, usa la formula: $$diff(ln u,x) = (1/u)(diff(u,x))$$ Usa la formula: $$diff(ln abs(u),x) = (1/u) diff(u,x)$$ C'è una formula per differenziare $ln(cos x)$ in un solo passaggio. C'è una formula per differenziare $ln(sin x)$ in un solo passaggio $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ Usa la regola della derivata composta di una potenza: $$diff(u^n,x) = nu^(n-1) diff(u,x)$$ Usa la regola della derivata composta per differenziare radici quadrate: $$diff(sqrt(u),x) = diff(u,x)/(2 sqrt(u))$$ Usa la regola della derivata composta con la formula per la derivata del seno Usa la regola della derivata composta con la formula della derivata del coseno Usa la regola della derivata composta con la formula della derivata della tangente Usa la regola della derivata composta con la formula della derivata della secante Usa la regola della derivata composta con la formula della derivata della cotangente Usa la regola della derivata composta con la formula della derivata della cosecante Usa la regola della derivata con la formula della derivata del valore assoluto Usa la regola della derivata nella forma $$diff(f(u),x) = f'(u) diff(u,x)$$ Ora elimina la variabile da te definita. Considera i punti dove $f'(x)=0$ Considera i punti finali dell'intervallo Ci sono punti dove $f'(x)$ è non definito? Considera i limiti agli estremi aperti dell'intervallo. Reietta un punto al di fuori dell'intervallo Fai una tabella di decimali $y$-valori Fai una tabella di valori esatti $y$ Prendi il valore massimo dalla tua tabella. Prendi il valore minimo dalla tua tabella. Puoi chiedere a MathXpert di valutare la derivata in un passaggio. Ora risolvi l'equazione. Puoi chiedere a MathXpert di valutare un limite semplice in un solo passaggio. Liberati del parametro intero. Questa funzione è costante, quindi il massimo eguaglia il minimo. Valuta la derivata. Semplifica l'espressione. Risolvi l'equazione. Differenzia l'equazione. Calcola la derivata. Elimina la derivata della variabile facendo una sostituzione per essa. Elimina le frazioni composte. Fattorizza un termine comune. Prova un fattore. Moltiplica e semplifica. C'è un fattore comune nel numeratore e nel denominatore? Risolvi l'equazioni. Scrivila come un polinomio in una qualche variabile o espressione. Esprimi alcune espressioni in forma polinomiale. Rendi il coefficiente più significativo del polinomio uguale a 1. Converti l'esponente frazionale di 1/2 a radice quadrata. Converti l'esponenti frazionali a radici. Elimina le radici e le radici quadrate a favore di esponenti frazionali. Differenzia l'identità usando la legge: $u=v => du/dx = dv/dx$. Esprimi la derivata seconda usando $$diff(u,x,2) = (diff(diff(u,x),x)$$ $$diff(u,x,n) = diff(diff(u,x,n-1),x)$$ La derivata della derivata è la derivata seconda. Differenziare una derivata $n$-th produce una derivata $n+1$. Puoi chiedere a MathXpert di valutare la derivata in un singolo passaggio. Valuta numericamente in un punto. $\int 1 dt = t$ C'è un integrando costante, quindi usa la legge $$integral(c,t) = ct$$ $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt (c constant)$ Porta il segno meno fuori dall'integrale usando $$integral(-u,t) = -integral(u,t)$$ L'integrando è una somma, quindi puoi usare la proprietà nota come linearità dell'integrale: $$integral(u+v,t) = integral(u,t) + integral(v,t) $$ L'integrando è una differenza, quindi puoi usare la proprietà nota come linearità dell'integrale: $$integral(u-v,t) = integral(u,t) - integral(v,t) $$ L'integrando è una somma o una differenza, quindi puoi usare la proprietà nota come linearità dell'integrale: $$integral(au+bv,t) = a integral(u,t) + b integral(v,t) $$ This property also works with a minus sign, or with a mixture of plus and minus signs. $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n # -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n # 0)$ L'integrando è un polinomio. Puoi chiedere a MathXpert di integrarlo in un sol passo. $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Sviluppa la moltiplicazione nell'integrando, ottieni quindi una somma di termini più semplici. espandi $(a+b)^n$ nell'integrando $\int |t| dt = t|t|/2$ Integra il seno. Integra il coseno. Integra la tangente. Integra la cotangente. Integra la secante. Integra la cosecante. Integra il quadrato della secante. Integra il quadrato della cosecante. C'è una formula per l'integrale di $tan^2 t$, oppure lo puoi fare per parti. C'è una formula per l'integrale di $cot^2 t$, oppure lo puoi fare per parti. $sec t tan t$ può essere integrato direttamente, poiché è la derivata di $sec t$. $csc t cot t$ può essere integrato direttamente, poiché è la derivata di $csc t$. C'è una formula per l'integrale di $tan^2 t$, oppure puoi farlo per parti. C'è una formula per l'integrale di $cot^2 t$, oppure puoi farlo per parti. La funzione esponenziale è il suo stesso integrale: $$integral(e^t,t) = e^t$$ Una funzione esponenziale è i suo stesso integrale, ma se l'esponente contiene una costante l'integrale ha un fattore corrispondente: $\int e^at dt =(1/a) e^at$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-at)dt = -(1/a) e^(-at)$ $\int e^(t/a)dt = a e^(t/a)$ La funzione esponenziale è il suo stesso integrale, eccetto che se la base non è $e$, allora un fattore costante deve essere introdotto. $\int u^v dt = \int (e^(v ln u) dt$ $\int ln t = t ln t - t$ $\int e^(-t^2) dt = \sqrt \pi /2 Erf(t)$ Prova l'integrazione per sostituzione calcola $du/dx$ Calcola la derivata Ottiene il tuo integrale di partenza mediante 'mostra di nuovo integrale' Esprimi l'integrando come una funzione di una nuova variabile, scegliendo: integrale = $f(u) \times du/dx$ Elimina completamente la variabile di integrazione originale adesso. Ora elimina la variabile definita. Integra per sostituzione. Prova integrazione per parti. Poni la linea corrente uguale al problema originale, ottenendo un'equazione. Isola l'integrale originale del membro sinistro dell'equazione. Integra per sostituzione Puoi chiedere a MathXpert di calcolare l'integrale semplice in un singolo passaggio. Usa il teorema fondamentale del calcolo Liberati della barra per il calcolo di una funzione. Inverti i limiti di integrazione, introducendo un segno meno. Combina due integrali definiti aventi lo stesso integrando in uno solo, se essi rappresentano l'integrazione di differenti parti dello stesso intervallo. Può aiutare a rompere l'integrale definito in 2 o più integrali, introducendo un punto intermedio (o punti) come nuovo limite di integrazione. Scomponi l'integrale in due o più integrali i cui estremi sono gli zeri dell'integrando. Successivamente potrai liberarti del segno di valore assoluto. Puoi chiedere a MathXpert di calcolare numericamente il valore di un integrale, se l'integrale ha un valore numerico. Nota che il limite superiore e il limite inferiore di integrazione sono gli stessi. Esprimi un integrale improprio come limite di integrali propri. Se l'integrando non tende a zero a $\infty $, l'integrale improprio diverge. Se l'integrando non tende a zero a $-\infty $, l'integrale improprio diverge. L'integrale di una funzione dispari su un intervallo il cui punto intermedio è l'origine deve essere zero. L'integrale di una funzione pari su un intervallo il cui punto intermedio è l'origine è due volte l'integrale calcolata sulla parte positiva dell'intervallo. Usa una sostituzione trigonometrica Usa una sostituzione trigonometrica inversa Puoi chiedere a MathXpert di calcolare un integrale semplice in un singolo passo. Liberati del termine $sin^2$ nell'integrando utilizzando: $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ nell'integrale. Puoi trovare questa formula con le funzioni trigonometriche integrali o anche con la formula trigonometrica. Liberati del termine $cos^2$ nell'integrando utilizzando: $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ nell'integrale. Puoi trovare questa formula con le funzioni trigonometriche integrali o anche con la formula trigonometrica. Fai una sostituzione $u=cos x$ dopo aver usato $sin^2=1-cos^2$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Fai una sostituzione $u=sin x$ dopo aver usato $cos^2=1-sin^2$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Fai una sostituzione $u=tan x$ dopo aver usato $sec^2=1+tan^2$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Fai una sostituzione $u=cot x$ dopo aver usato $csc^2=1+cot^2$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Fai una sostituzione $u=sec x$ dopo aver usato $tan^2=sec^2-1$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Fai una sostituzione $u=csc x$ dopo aver usato $cot^2=csc^2-1$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Usa l'identità $tan^2 x = sec^2 x - 1$ nell'integrando. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Usa l'identità $cot^2 x = csc^2 x - 1$ nell'integrando. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Usa la formula di riduzione per ridurre questo integrale ad un altro simile, ma con una più bassa potenza di sec. Usa la formula di riduzione per ridurre questo integrale ad un altro simile, ma con una più bassa potenza di csc. Usa la sostituzione di Weierstrass: $u = tan(x/2)$. Seleziona l'intero integrale per vedere questa scelta. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $1+cos x$. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $1-cos x$. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $1+sin x$. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $1-sin x$. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $sin x + cos x$. Moltiplica sia numeratore sia denominatore per $cos x - sin x$. Utilizza la divisione polinomiale per ridursi al caso in cui il numeratore è di grado inferiore al denominatore Fattorizza il denominatore se puoi. Puoi chiedere a MathXpert di eseguire 'square-free factorization', che permetterà di trovare i possibili fattori ripetuti. Questa operazione usa un algoritmo che normalmente non viene insegnato nei libri di testo. Puoi chiedere a MathXpert di fattorizzare il polinomio numericamente. Approssimazioni decimali vicine alle radici verranno utilizzate. Espandi l'integrale in frazioni parziali. Completa il quadrato nel denominatore. Il reciproco di una funzione lineare integra a logaritmo. Il reciproco della potenza di una funzione lineare integra a un'altra funzione del genere. Potresti ridurre l'integrale per sostituzione a una potenza di una variabile, ma potresti anche farlo in un unico passaggio. Il reciproco di una somma dei quadrati integra a arctan. Il reciproco di una differenza di quadrati integra a un arccoth, un arctanh, o a un logaritmo. Completa il quadrato nel denominatore Il reciproco di una radice quadrata di una differenza di quadrati integra a un arcsin. Il reciproco di una radice quadrata di una somma di quadrati integra a un logaritmo. Guarda nel menu per integrare le radici quadrate nel denominatore. Fai una razionalizzazione per sostituzione. C'è una formula di integrazione per l'arcsin C'è una formula di integrazione per l'arccos C'è una formula di integrazione per l'arctan C'è una formula di integrazione per l'arccot Ci sono due formule di integrazione per arccsc--sii prudente. Prova a fattorizzare Esiste un fattore comune tra numeratore e denominatore? Calcola il limite Cambia l'integrale per sostituzione Assorbi numeri nelle costanti di integrazione. L'integrale di sinh è cosh. L'integrale di cosh è sinh. L'integrale di tanh è ln cosh. L'integrale di coth è ln sinh. L'integrale di csch è $ln tanh(u/2)$. L'integrale di $sech u$ è $arctan (sinh u)$. Espandi $1/(1-x)$ in serie di potenze. Espandi $1/(1+x)$ in serie di potenze. Somma la serie per $1/(1-x)$. Somma la serie per $1/(1+x)$. Espandi $x/(1-x)$ in serie di potenze. Espandi $x/(1+x)$ in serie di potenze. Somma la serie per $x/(1-x)$. Somma la serie per $x/(1+x)$. Espandi $1/(1-x^k)$ in serie di potenze. Espandi $x^m/(1-x^k)$ in serie di potenze. Somma la serie per $1/(1-x^k)$. Somma la serie per $x^m/(1-x^k)$. Espandi $1/(1+x^k)$ in serie di potenze. Espandi $x^m/(1+x^k)$ in serie di potenze. Somma la serie per $1/(1+x^k)$. Somma la serie per $x^m/(1+x^k)$. Puoi espandere $x^k/(1-x)$ come serie geometrica Puoi espandere $x^k/(1+x)$ come serie geometrica Somma le serie geometriche. Espandi $ln(1-x)$ in serie di potenze. Espandi $ln(1+x)$ in serie di potenze. Somma la serie di potenze per $ln(1-x)$. Somma la serie di potenze per $ln(1+x)$. Espandi $sin x$ in serie di potenze. Espandi $cos x$ in serie di potenze. Somma la serie per $sin x$. Somma la serie per $cos x$. Espandi $e^x$ in serie di potenze. Somma la serie per $e^x$. Espandi $e^-x$ in serie di potenze. Somma la serie per $e^-x$. Espandi $arctan x$ in serie di potenze. Somma la serie per arctan. Utilizza la serie binomiale per espandere la potenza di una somma. Somma la serie binomiale Espandi $tan x$ in serie di potenze. Espandi $cot x$ o $x cot x$ in serie di potenze. Espandi $x/(e^x-1)$ in serie di potenze. Espandi $sec x$ or $1/cos x$ in serie di potenze. Espandi $\zeta(s)$ in serie di potenze. La serie armonica alternata ha una somma nota. Potresti voler esprimere la serie nella forma $a_0 + a_1 + ... $ Potresti voler esprimere la serie nella forma $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ Potresti voler esprimere la serie usando ... invece della notazione sigma. Esprimi la serie usando la notazione sigma. Mostra un altro termine prima di ... Mostra più termini prima di ... Hai una serie telescopica. Moltiplica le serie Due serie di potenze possono essere moltiplicate e produrre una nuova serie di potenze. Una serie di potenze può essere divisa per un polinomio, usando un processo come una divisione lunga. Un polinomio può essere diviso per una serie, usando un processo come una divisione lunga. Due serie di potenze possono essere divise, usando un processo come una divisione lunga. Il quadrato di una serie può essere scritto come una serie doppia. Il quadrato di una serie di potenze può essere scritto come un'altra serie di potenze. La potenza di una serie di potenze può essere espressa come un'altra serie di potenze. Combina la somma di due serie in una singola serie. Combina la differenza di due serie in una singola serie. Separa i primi termini della serie infinita. Forse riducendo il limite inferiore della serie (sottraendo i nuovi termini) puoi porre la tua seria in una forma standard. Aggiungi qualcosa alla variabile indice per porre la serie in una forma più manipolabile. Sottrai qualcosa alla variabile indice per porre la serie in una forma più manipolabile. Rinomina la variabile indice Scomponi la serie $\sum (a+b)$ in una somma di serie $\sum a + \sum b$. Differenzia termine per termine. Estrai la derivata fuori dalla serie. Integra termine per termine. Metti l'integrale fuori della serie. Calcola i primi termini. Scrivi la funzione come integrale della derivata. Quindi espandi la derivata in una serie e integra termine per termine. Scrivi la funzione come integrale definito della sua derivata. Quindi espandi la serie e integra termine per termine. Scrivi la funzione come derivata del suo integrale. Quindi espandi l'integrale in una serie e differenzia termine per termine. Risolvi la costante di integrazione per eliminarla. Separa i termini con indice pari e dispari, ottenendo due serie. Puoi mostrare che una serie è divergente mostrando che il termine generale non tende a zero. Utilizza il test integrale. Utilizza il test del rapporto. Utilizza il test della radice. Utilizza il test di confronto per provare la convergenza. Trova una serie convergente con termine generale più grande. Utilizza il test del confronto per provare la divergenza. Trova una serie divergenze con termine generale più piccolo. Utilizza il test di confronto. Utilizza il test di condensazione. Finisci il test della divergenza. Finisci il test integrale. Finisci il test di radice. Finisci il test del rapporto. Finisci il test di confronto. Finisci il test di confronto al limite. Finisci il test di condensazione. Hai finito di mostrare la convergenza della serie di confronto. Ora mostra il risultato positivo riguardo la convergenza della serie originale. Per mostrare questa scelta, seleziona l'intera linea corrente. Hai finito di mostrare la divergenza della serie di confronto. Ora mostra il risultato negativo riguardo la convergenza della serie originale. Per mostrare questa scelta, selezione l'intera linea corrente. La serie armonica $$sum(1/k,k,1,infinity)$$ è divergente, poiché la somma parziale fino al termine $n$ è approssimativamente $ln n$. C'è una formula per $$sum(1/k^2,k,1,infinity$$ La somma dei termini $1/k^s$ converge ed è chiamato $\zeta (s) $. I valori della la funzione $\zeta$ a anche i numeri interi possono essere calcolati in termini di numeri di Bernoulli. Esprimi un numero complesso in forma polare per calcolare il suo logaritmo, dimostra la legge $$ln(u+iv) = ln(r e^(i theta))$$ Utilizza la formula per logaritmi complessi: $$ln(re^(i theta))=ln r + i theta$$ C'è un fatto subdolo qui: nell'applicare questa regola, se $\theta $ non è tra $-\pi $ e $\pi $, sarà ridotta a quell'intervallo. Il logaritmo naturale di i è $i\pi /2$, poiché $\pi /2$ l'argomento di i Il logaritmo naturale di -1 è $i\pi $, poiché $-1 = e^(i\pi )$ Il logaritmo naturale di -a è $ln a + i\pi $, poiché $-1 = e^(i\pi )$. Questa formula assume che $a$ sia positivo. Espandi cos in termini di esponenziali complessi. Espandi sin in termini di esponenziali complessi. Per estrarre una radice complessa, tu prendi la radice quadrata del modulo e metà della fase. Per estrarre la radice $n$-esima, tu prendi la radice $n$-esima del modulo e dividi la fase per $n$. Espandi l'esponenziale complesso usando cos e sin Utilizza la famosa identità di Eulero: $$e^(i pi) = -1 $$ Utilizza la famosa identità di Eulero: $$e^(-i pi) = -1 $$ $e^(2n\pi i) = 1$, perché mentre $\theta $ cambia, $e^i\theta $ traccia un cerchio unitario. Mentre $\theta $ cambia, $e^i\theta $ traccia il cerchio unitario. Quindi puoi liberarti di multipli di $2 pi i$ nell'esponente. Riscrivi l'esponenziale complesso in modo che abbia base $e$, usando la legge $$u^v = e^(v ln u)$$ $sin(it)$ può essere espresso usando il seno iperbolico, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $cos(it)$ può essere espresso usando il coseno iperbolico, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $sinh(it)$ può essere espresso come $i sin t$, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $cosh(it)$ può essere espresso come $cos t$, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $tan(it)$ può essere espressa usando la tangente iperbolica, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $cot(it)$ può essere espressa usando la cotangente iperbolica, invece di espanderlo in esponenziali complessi. $tanh(it)$ può essere espressa come $i tan t$, invece di espanderlo su esponenziali. $coth(it)$ può essere espressa come $-i cot t$, invece di espanderlo su esponenziali. Utilizza un esponenziale complesso per esprimere $cos t + i sin t$ Utilizza un esponenziale per esprimere $cos t - i sin t$ Semplifica un espressione di esponenziali complessi in un coseno. Semplifica un espressione di esponenziali complessi in un seno. Utilizza la definizione di cosh Combina esponenziali in un termine cosh Utilizza la definizione di sinh Combina esponenziali in un termine sinh cosh è una funzione pari sinh è una funzione dispari Combina il cosh e sinh usando i termini: $cosh u + sinh u = e^u$ Combina il cosh e sinh usando i termini: $cosh u - sinh u = e^(-u)$ Ricorda $cosh 0 = 1$ Ricorda $sinh 0 = 0$ Esprimi $e^x$ in termini di funzioni iperboliche Esprimi $e^(-x)$ in termini di funzioni iperboliche Utilizza l'identità $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ Utilizza l'identità $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ Utilizza l'identità $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ Utilizza l'identità $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ Utilizza l'identità $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ Utilizza l'identità $1 - tan^2u = sech^2u$ Utilizza l'identità $1 - sech^2u = tan^2u$ Esprimi tanh in termini di sinh e cosh. Combina sinh e cosh in tanh. Esprimi coth in termini di cosh e sinh Combina cosh e sinh in coth Esprimi sech come reciproco di cosh Il reciproco di cosh è sech Esprimi csch come il reciproco di sinh Il reciproco di sinh è csch Utilizza la formula $tanh^2 u + sech^2 u = 1$. Utilizza la formula $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$. Utilizza la formula $sech^2 u = 1 - tanh^2 u$. Utilizza la formula per sinh di una somma o di una differenza Utilizza la formula per cosh di una somma o di una differenza Utilizza la formula di duplicazione degli angoli: $sinh 2u = 2 sinh u cosh u$ Utilizza la formula di duplicazione degli angoli: $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ C'è una formula per semplificare $tanh(ln u)$. Esiste una formula per esprimere arcsinh in termini di logaritmi. Esiste una formula per esprimere arccosh in termini di logaritmi. Esiste una formula per esprimere arctanh in termini di logaritmi. $sinh(arcsinh x)$ è proprio $x$. $cosh(arccosh x)$ è proprio $x$. $tanh(arctanh x)$ è proprio $x$. $coth(arccoth x)$ è proprio $x$. $sech(arcsech x)$ è proprio $x$. $csch(arccsch x)$ è proprio $x$. La derivata del sinh è cosh La derivata del cosh è sinh La derivata di tanh è $sech^2$ La derivata di coth è $-csch^2$ La derivata di sech è $- sech tanh$ La derivata di csch è $- csch coth$ La derivata di ln sinh è coth La derivata di ln cosh è tanh La derivata di arcsinh è di fatto una funzione algebrica La derivata di arccosh è di fatto una funzione algebrica La derivata di arctanh è di fatto una funzione algebrica La derivata di arccoth è di fatto una funzione algebrica La derivata di arcsech è di fatto una funzione algebrica La derivata di arccsch è di fatto una funzione algebrica Elimina la funzione sg, poiché il suo argomento è positivo. Elimina la funzione sg, poiché il suo argomento è negativo. Elimina la funzione sg, poiché il suo argomento è zero. sg è una funzione dispari Esprimi sg in termini di valore assoluto Esprimi $|x|$ come $x sg(x)$ Una potenza pari è sempre positiva Una potenza dispari ha lo stesso segno della sua base, quindi $sg(x)$ elevato a una potenza dispari $sg(x)$ Porta sg al numeratore usando $1/sg(x) = sg(x)$ sg(x) è costante quando x è non nullo, in questo caso la derivata è nulla. sg(x) può essere integrata direttamente. sg(x) può essere tirata fuori dal segno di integrale se l'integrando non è nullo. sg(x) viene usata per combinare i casi di $x$ positivo e $x$ negativo, ma alcune volte essi devono essere trattati separatamente. Inserisci fattori positivi dentro la funzione sg. Inserisci fattori negativi dentro la funzione sg, mettendo un segno meno davanti. Il segno di una potenza dispari di $x$ è lo stesso di segno di $x$. $1/x$ ha lo stesso segno $x$. $c/x$ la lo stesso segno di $x$, se $x$ è positivo. Esprimi $x sg(x)$ come $|x|$. Esprimi $|x| sg(x)$ come $x$. La derivata di $J0$ è $-J1$ $d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x$ $d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x)$ La derivata di $Y0$ is $-Y1$ $d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x$ $d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$ La derivata di $I0$ is $-I1$ $d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x$ $d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$ La derivata di $K0$ is $-K1$ $d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x$ $d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$ Utilizza una funzione definita Moltiplica prodotti di somme e colleziona i termini risultanti. Moltiplica $a(b+c) = ab+ac$, e quindi fai una semplificazione. Metti i fattori in ordine. Le frazioni devono essere messe a denominatore comune prima di calcolarne il limite. Inizia fattorizzando i denominatori se necessario. Le frazioni devono essere messe a denominatore comune prima di calcolarne il limite. Le frazioni devono essere messe a denominatore comune prima di calcolarne il limite. Inizia eliminando l'esponenziale negativo. Esprimi la radice quadrata usando esponenti frazionali. Espandi il coseno di un angolo doppio. Elimina $sin^2 t$ esprimendolo in termini di $cos^2 t$. Elimina $cos^2 t$ esprimendolo in termini di $sin^2 t$. Elimina $tan^2 t$ esprimendola in termini di $sec^2 t$. Elimina $sec^2 t$ esprimendola in termini di $tan^2 t$. Moltiplica i coefficienti Calcola una radice quadrata semplice. Aggiungi o sottrai qualcosa ad ambo i membri. Fattorizza uno degli addendi per rendere un fattore comune esplicito. Dopodiché puoi mettere in evidenza il fattore comune. Fai una sostituzione Moltiplica usando $a(b+c) = ab+ac$, e quindi fai una semplificazione. Riscrivi funzioni trigonometriche in termini di sin e cos in maniera che i denominatori comuni possano essere trovati. Utilizza $ab+ac = a(b+c)$ per creare un termine intermedio di una espressione quadratica. Fattorizza uno o entrambi i membri dell'identità se il risultato permetterà una semplificazione. Un membro è il quadrato perfetto (o altra potenza). Fattorizzala. Fai in modo che tutti i logaritmi abbiano lo stesso argomento usando la legge dei logaritmi di una potenza. fittizio dummy There is some arithmetic to be performed. %�|� 4 I: ; I ! I7 I $ > $ > .�@: ;'I? : ;I
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