Sindbad~EG File Manager
/* M. Beeson, for MathXpert.
status-line help for operations menus, in English, Part 2
Original date 8.31.95
Last modified 8.7.98
Sent to translator 8.12.98
8.13.98, two new operations added in improper_integrals
8.17.98, logarithmic_limits menu added.
1.12.99 Now there are 13 series menus with new entries.
1.13-30.99 series entries modified
2.21.99 four new lines under complex_hyperbolic and one under
more_infinities
3.3.99 more lines under geometric series menus
6.16.04 last modified
1.27.06 more operations under sg_function2
1.14.11 six new operations under inverse_hyperbolic, and corrections to the existing three.
5.3.13 changed names of exported functions
5.24.13 added series_bernoulli
6.11.13 four more in series_bernoulli
6.13.13 finished translation of, and added more to, series_convergence2
*/
#include "mtext.h"
#include "operator.h"
#include "english1.h"
static const char *ophelp2_strings[MAXMENUS][MAXLENGTH] =
{
{ /* limits */
"Berechnet Werte der Funktion nahe am Grenzwert, an Stellen, die Sie angeben.",
"Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte, falls sie definiert sind.",
"Der Grenzwert einer Differenz ist die Differenz der Grenzwerte, falls sie definiert sind.",
"Beispiel: $lim(t->3,\\pi ) = \\pi $",
"Beispiel: lim(t->3,t) = 3",
"Zieht eine Konstante aus dem Limes heraus.",
"Zieht ein Minuszeichen aus dem Limes heraus.",
"Der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte, falls sie definiert sind.",
"Der Grenzwert einer (konstanten) Potenz ist die Potenz des Grenzwertes.",
"Beispiel: lim(x->3,2^x) = 2^lim(x->3,x)",
"Der Grenzwert einer Potenz ist eine Potenz der Grenzwerte, falls sie definiert sind.",
"Passen Sie auf, wenn der Grenzwert null ist. Dieses Verfahren funktioniert dennoch, falls $u\\ge 0$ ist.",
"Der Grenzwert einer ungeraden Wurzel ist die Wurzel des Grenzwertes.",
"Passen Sie auf, wenn der Grenzwert null ist. Dieses Verfahren funktioniert dennoch, falls $u\\ge 0$ ist.",
"Berechnet den Grenzwert eines Polynoms in der Grenzwertvariablen in einem Schritt.",
"Beispiel: lim(x->0,|x^3|) = |lim(x->0,x^3|"
},
{ /* limits_of_quotients */
"Zieht Konstanten im Zähler und Nenner aus dem Limes.",
"Nur anwendbar, wenn der Zähler konstant ist.",
"Nicht anwendbar, wenn lim u und lim v beide null bzw. unendlich sind.",
"Klammert Potenzen von (x-a) sowohl aus Zähler als auch aus Nenner aus, falls möglich.",
"Berechnet den Grenzwert des Quotienten zweier Polynome in einem Schritt.",
"Verwenden Sie dies, um den Ausdruck dafür vorzubereiten, den Limes in die Potenz zu ziehen.",
"Beispiel: Das multipliziert den Zähler und Nenner von $(x-1)/(\\sqrt x-1)$ mit $\\sqrt x+1$.",
"Beispiel: Aus dem Limes von (x-1)^2 sin x/ tan x für x->0 wird lim (x-1)^2 rausgezogen.",
"$ab + ac = a(b+c)$, wobei $a$ nicht von der Grenzwertvariablen abhängt.",
"Sie werde gefragt, womit Zähler und Nenner multipliziert werden sollen.",
"Sie erhalten so den Grenzwert eines Doppelbruchs anstelle des Quotienten von Grenzwerten.",
"Sie erhalten so den Quotienten von Grenzwerten anstelle des Grenzwertes eines Doppelbruchs.",
"Beispiel: Wenden Sie dies auf $(sin x cos h + cos x sin h - sin x)/h$ an"
},
{ /* quotients_of_roots */
"Beispiel: $\\sqrt x/2 = \\sqrt (x/4)$",
"Beispiel: $\\sqrt x/(-2) = -\\sqrt (x/4)$",
"Beispiel: $^3\\sqrt a/2 = ^3\\sqrt (a/8)$",
"Beispiel: $^4\\sqrt x/(-2) = -^4\\sqrt (x/16) (b<0, n gerade)$",
"Beispiel: $2/\\sqrt x = \\sqrt (4/x)$",
"Beispiel: $(x-1)/\\sqrt x = -\\sqrt ((x-1)^2/x)$, wenn $x\\le 1$",
"Beispiel: $2/+^3\\sqrt x = ^3\\sqrt (8/x)$",
"Beispiel: $(x-1)/^3\\sqrt x = -^3\\sqrt (x-1)^n/x)$, wenn $x\\le 1$"
},
{ /* lhopitalmenu */
"Ersetzt den unbestimmten Limes eines Quotienten durch den Limes der Ableitungen.",
"Verwendet alle Ableitungsregeln, um den Grenzwert in einem Schritt zu berechnen.",
"Beispiel: lim x ln x = lim (ln x)/(1/x). Wenden Sie dann die L'Hospitalsche Regel an.",
"Beispiel: $lim x (ln x)^2 = lim (ln x)^2/(1/x)$. Wenden Sie dann die L'Hospitalsche Regel an.",
"Beispiel: lim x^(-3) e^x = lim e^x/x^3.",
"Beispiel: lim x^3 e^x = lim x^3/e^(-x). Wenden Sie dann die L'Hospitalsche Regel an.",
"Beispiele: $lim f(x) tan x = lim f(x)/cot x$; $lim f(x) sin x = lim f(x)/csc x$.",
"Sie werde gefragt, welcher Faktor in den Nenner gebracht werden soll.",
"Bringt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfacht."
},
{ /* special_limits */
"Für kleine t ist sin t ungefähr t.",
"Für kleine t ist tan t ungefähr t.",
"Cos t geht viel schneller gegen 1 als t gegen null.",
"Cos geht für t gegen 0 so schnell gegen 1 wie t^2 gegen 0. Der Koeffizient ist $\\onehalf $.",
"Zum Beispiel liegt (1+ .001)^1000 schon ganz schön nahe bei e.",
"Für kleine t ist ln(1+t) ungefähr t.",
"Für kleine t ist e^t-1 ungefähr t.",
"Für kleine t ist e^t-1 ungefähr t.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"cos (1/t) oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1 für t->0.",
"sin (1/t) oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1 für t->0.",
"tan (1/t) oszilliert stark und ist nicht einmal überall definiert, wenn t nahe bei 0 ist.",
"Cos t oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1 für t->$\\infty $.",
"Sin t oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1 für t->$\\infty $.",
"Tan t oszilliert stark und ist nicht einmal überall definiert, wenn t->$\\infty $."
},
{ /* hyper_limits */
"Für kleine t ist sinh t ungefähr t. ",
"Für kleine t ist tanh ungefähr t.",
"Cosh t geht viel schneller gegen 1 als t gegen null.",
"Cosh t geht für t gegen 0 so schnell gegen 1 wie t^2 gegen 0. Der Koeffizient ist $\\onehalf $.",
},
{ /* advanced_limits */
"Zieht den Limes in den ln rein.",
"Beispiel: lim sin x^2 = sin lim x^2",
"lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))",
"Berechnet den Grenzwert in einem Schritt, allerdings nur nach den Möglichkeiten von MathExperte.",
"Beispiel: $$lim(x->0, x^x) = lim(x->0,e^(x ln x))$$",
"Sie werden gefragt, welcher Faktor in den Nenner gebracht werden soll.",
"Beispiel: Grenzwert von $\\sqrt x$ für x->0 ist undefiniert, da $\\sqrt x$ für x < 0 nicht definiert ist.",
"Beispiel: $$lim(x->0, x^x) = e^(lim(x->0, ln x^x))$$",
"Beispiel: lim x sin(1/x) für x->0 = 0, da $|sin(1/x)| \\le 1$.",
"Macht den Zähler rational, außer dass vorher kein Bruch vorhanden war.",
"Lässt Terme im Zähler und Nenner weg, die von anderen Termen dominiert werden.",
"Beispiel: lim (x + x^2 sin x) = lim x für x->0, da (x^2 sin x)/x ->0",
"Ersetzt u+v durch u, wenn v/u->0.",
"Beispiel: $sin(undefiniert) = undefiniert$",
"Beispiel: $lim e^(1/x) = e^(\\lim 1/x)$",
"Zieht den Limes in den ln rein"
},
{ /* logarithmic_limits */
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln.",
"Irgendeine Potenz von t, sogar mit einem Bruch als Exponenten, dominiert die Polstelle von ln."
},
{ /* limits_at_infinity */
"Für große t wird 1/t^n klein.",
"Für große t wird t^n groß",
"Für große t wird e^t groß",
"Für große negative t wird e^t klein.",
"Für große t wird ln t groß.",
"Für große t wird $\\sqrt t$ groß.",
"Für große t wird $^n\\sqrt t$ groß.",
"Der arctan von einer großen positiven bzw. negativen Zahl ist ungefähr $\\pi /2$ bzw. $-\\pi /2$.",
"Arccot von großen positiven Zahlen liegt nahe null.",
"Arccot von großen positiven Zahlen liegt nahe $\\pi $.",
"Tanh von großen positiven bzw. negativen Zahlen ist ungefähr 1 bzw. -1.",
"Macht den Zähler rational, außer dass vorher kein Bruch vorhanden war.",
"Zieht den Limes in den sin rein",
"Zieht den Limes in den cos rein",
"lim(t->$\\infty $,f(t))=lim(t->0+,f(1/t))",
"Lässt Terme im Zähler und Nenner weg, die von anderen Termen dominiert werden."
},
{ /* infinite_limits */
"Beispiel: $lim 1/t^4 ->\\infty $ für t->0",
"Beispiel: Der beidseitige Grenzwert, lim 1/t^3 für t->0, ist undefiniert.",
"Beispiel: Der rechtsseitige Grenzwert, lim 1/t^3 für t->0+, ist $\\infty $.",
"Beispiel: Der linksseitige Grenzwert, lim 1/t^3 für t->0-, ist $-\\infty $.",
"Beispiel: lim 1/t für t->0 ist undefiniert.",
"Dieser einseitige Grenzwert ist $-\\infty $, aber der beidseitige Grenzwert ist undefiniert.",
"Die gegebenen einseitigen Grenzwerte sind $\\pm \\infty $, aber die beidseitigen Grenzwerte sind undefiniert.",
"Die gegebenen einseitigen Grenzwerte sind $\\pm \\infty $, aber die beidseitigen Grenzwerte sind undefiniert.",
"Die gegebenen einseitigen Grenzwerte sind $\\pm \\infty $, aber die beidseitigen Grenzwerte sind undefiniert.",
"Die gegebenen einseitigen Grenzwerte sind $\\pm \\infty $, aber die beidseitigen Grenzwerte sind undefiniert.",
"Beispiel: $lim(t->0, ln(1+t) e^t)$ wird zu $lim(t->0, ln(1+t)/t) lim(t->0,te^t)$.",
"Beispiel: $lim(t->0,t ln(1+t))$ wird zu $lim(t->0, t^2) lim(t->0,ln(1+t)/t)$.",
},
{ /* infinities */
"Beispiel: $\\infty /2 = \\infty $",
"Beispiel: $1/\\infty = 0$",
"Beispiel: $2\\times \\infty = \\infty $",
"Abkürzung für $lim uv = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $ und $lim v = \\infty $.",
"Beispiel: $\\infty + 2 = \\infty $",
"Abkürzung für $lim u+v = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $ und $lim v = \\infty $.",
"Beispiel: $e^\\infty = \\infty $",
"Beispiel: $(\\onehalf)^\\infty = 0$",
"Beispiel: $e^(-\\infty) = 0$",
"Beispiel: $(\\onehalf)^(-\\infty) = \\infty $",
"Beispiel: $\\infty ^3 = \\infty $",
"Sie können $\\infty -\\infty $ nicht kürzen. Dieser Ausdruck ist undefiniert."
},
{ /* zero_denom */
"0+ bedeutet, dass die 0 von einem Ausdruck stammt, der nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, positiv ist.",
"0- bedeutet, dass die 0 von einem Ausdruck stammt, der nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, negativ ist.",
"Wenn das Vorzeichen des Nenners nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, alterniert oder nicht bekannt ist.",
"0+ bedeutet, dass die 0 von einem Ausdruck stammt, der nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, positiv ist.",
"0- bedeutet, dass die 0 von einem Ausdruck stammt, der nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, negativ ist.",
"Wenn das Vorzeichen des Nenners nahe der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird, alterniert oder nicht bekannt ist.",
"Abkürzung für $lim u/v^2 = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $ und lim v = 0.",
"Abkürzung für $lim u/v^2^n = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $ und lim v = 0.",
"Abkürzung für $lim a/u^2 = \\infty $, wenn a>0 und lim u = 0.",
"Abkürzung für $lim a/u^2 = -\\infty $, wenn a<0 und lim u = 0.",
"Abkürzung für $lim a/u^2^n = \\infty $, wenn a>0 und lim u = 0.",
"Abkürzung für $lim a/u^2^n = -\\infty $, wenn a<0 und lim u = 0."
},
{ /* more_infinities */
"Abkürzung für $lim ln u = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $.",
"Abkürzung für $lim \\sqrt u = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $.",
"Abkürzung für $lim ^n\\sqrt u = \\infty $, wenn $lim u = \\infty $.",
"Der arctan von großen positiven bzw. negativen Zahlen ist ungefähr $\\pi /2$ bzw. $-\\pi /2$.",
"Der arccot von großen positiven Zahlen ist ungefähr 0.",
"Der arccot von großen negativen Zahlen ist ungefähr $\\pi $.",
"Der arcsec von großen Zahlen liegt bei $\\pi /2$.",
"Der arccsc von großen Zahlen liegt bei 0.",
"Weder sin, cos, tan, sec, csc noch tan haben Grenzwerte bei $\\infty $.",
"Cosh einer großen Zahl x ist ungefähr e^x/2, was sehr groß ist.",
"Sinh einer großen Zahl x ist ungefähr e^x/2, was sehr groß ist.",
"Tanh einer großen Zahl x ist ungefähr 1, da cosh und sinh beide ungefähr e^x sind",
"Abkürzung für $lim ln u = -\\infty $, wenn $lim u = 0$ und $0<u$."
},
{ /* polynomial_derivs */
"Die Ableitung einer Konstanten ist null.",
"Die Ableitung von x nach x ist 1",
"Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.",
"Zieht ein Minuszeichen aus der Ableitung.",
"Zieht eine Konstant aus einer Ableitung.",
"Dies ist die Potenzregel.",
"Differenziert ein Polynom sofort, in einem Schritt.",
"Drückt f'(x) durch die Notation d/dx für die Ableitung aus."
},
{ /* derivatives */
"Das ist die Definition der Ableitung als Grenzwert.",
"Differenziert ein Polynom sofort, in einem Schritt.",
"Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.",
"Zieht ein Minuszeichen aus der Ableitung.",
"Zieht eine Konstante aus einer Ableitung.",
"Zieht eine Konstante aus einem Nenner.",
"Dies ist die Potenzregel.",
"Dies ist die Produktregel.",
"Obwohl dies ein Spezialfall der Quotientenregel ist, sollten Sie sich diese Regel extra merken.",
"Dies ist die Quotientenregel.",
"Wenden Sie diese Regel auf $\\sqrt $ an, anstatt immer zu Brüchen im Exponenten überzugehen.",
"Wandelt Wurzeln in Ausdrücke mit Brüchen im Exponenten um, um anschließend zu differenzieren.",
"Verwenden Sie diese Regel, anstatt erst in negative Exponenten umzuformen und dann wieder zurückzuverwandeln.",
"Verwenden Sie diese Regel, anstatt |x| durch Fallunterscheidung anzugeben.",
"Drückt f'(x) durch die Notation d/dx für Ableitungen aus."
},
{ /* dif_trig */
"Die Ableitung vom Sinus ist Kosinus.",
"Die Ableitung vom Kosinus ist minus Sinus",
"Die Ableitung vom Tangens ist der Sekans zum Quadrat.",
"Die Ableitung vom Sekans ist der Sekans vom Tangens.",
"Die Ableitung vom Kotangens ist der Kosekans zum Quadrat.",
"Die Ableitung vom Kosekans ist der Kosekans vom Kotangens."
},
{ /* dif_explog */
"Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.",
"Jede Exponentialfunktion ist bis auf eine Konstante ln c ihre eigene Ableitung.",
"Verwenden Sie dies, um eine Potenz mit nichtkonstanter Basis und Exponenten zu differenzieren.",
"Die Ableitung von ln x ist 1/x.",
"ln |x| hat die gleiche Ableitung wie ln x, ist aber auch für negative x definiert.",
"Ableiten mit dieser Formel heißt Logarithmische Differentiation.",
"Beispiel: d/dx e^(\\sin x) = e^(\\sin x) d/dx sin x",
"Beispiel: d/dx 2^(\\sin x)=(ln 2)2^(\\sin x) d/dx sin x",
"Beispiel: d/dx ln sin x = (1/sin x)(d/dx sin x)",
"Beispiel: d/dx ln |x^3| = (1/x^3) d/dx x^3",
"Wenn d/dx ln(cos x) vorkommt, wird die Ableitung in einem Schritt berechnet.",
"Wenn d/dx ln(sin x) vorkommt, wird die Ableitung in einem Schritt berechnet."
},
{ /* dif_inverse_trig */
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = tan y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = sin y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = cos y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = cot y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = sec y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie x = csc y nach y ab und lösen Sie nach dy/dx auf.",
"Beispiel: d/dx arctan x^2 = d/dx(x^2)/(1+x^4)",
"Beispiel: $d/dx arcsin x^2 = d/dx(x^2)/\\sqrt (1-x^4)$",
"Beispiel: $d/dx arccos x^2 = -d/dx(x^2)/\\sqrt (1-x^4)$",
"Beispiel: $d/dx arccot x^2 = -d/dx(x^2)/(1+x^4)$",
"Beispiel: $d/dx arcsec x^2 = d/dx(x^2)/(|x^2|\\sqrt (x^4-1))$",
"Beispiel: $d/dx arccsc x^2 = -d/dx(x^2)/(|x^2|\\sqrt (x^4-1))$"
},
{ /* chain_rule (113) */
"Beispiel: d/dx (1+x^2)^100 = 100(1+x^2)^99 d/dx x^2",
"Beispiel: $d/dx \\sqrt (1+x^2) = (d/dx x^2)/(2\\sqrt (1+x^2))$",
"Beispiel: d/dx sin x^2 = (cos x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: d/dx cos x^2 = -(sin x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: d/dx tan x^2 = (sec^2 x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: d/dx sec x^2 = (sec x^2 tan x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: cot x^2 = -(csc^2 x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: csc x^2 = -(csc x^2 cot x^2) d/dx x^2",
"Beispiel: d/dx |sin x| = (sin x d/dx sin x)/|sin x|",
"Die Kettenregel angewendet auf irgendeine Funktion f, wobei f definiert oder auch nicht definiert sein kann.",
"Sie können einen neuen Buchstaben bestimmen, der den gewählten Term ersetzt.",
"Ersetzt eine definierte Variable durch ihre Definition innerhalb der Zeile."
},
{ /* maxima_and_minima */
"numerisch versuchen",
"Schreibt die Punkte, an denen $f'(x)=0$ gilt, in die Liste der betrachteten Punkte.",
"Schreibt die Endpunkte des Intervalls in die Liste der betrachteten Punkte.",
"Schreibt die Punkte, in denen $f'(x)$ undefiniert ist, in die Liste der betrachteten Punkte.",
"Betrachtet Grenzwerte an offenen Enden",
"Verwirft Punkt außerhalb des Intervalls",
"Erstellt eine Tabelle der dezimalen $y$-Werte für alle $x$-Werte in der Liste.",
"Erstellt eine Tabelle der exakten $y$-Werte für alle $x$-Werte in der Liste.",
"Wählt die maximalen Werte aus der Tabelle aus.",
"Wählt die minimalen Werte aus der Tabelle aus.",
"Berechnet die Ableitung in einem Schritt",
"Löst eine einfache Gleichung",
"Berechnet den Grenzwert in einem Schritt",
"Eliminiert ganzzahligen Parameter",
"Bei einer konstanten Funktion stimmen Maximum und Minimum überein.",
},
{ /* implicit_diff */
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt.",
"Führt algebraische Vereinfachungen durch.",
"Löst eine Gleichung in einem Schritt auf. Funktioniert nicht bei komplizierten Gleichungen."
},
{ /* related_rates */
"Differenziert beide Seiten einer Gleichung, die für alle $t$ in einem Intervall gilt.",
"MathExperte berechnet die Ableitung",
"Eliminiert eine Ableitung durch Substitution eines Ausdrucks, von dem bekannt ist, dass er mit der Ableitung übereinstimmt.",
"Löst eine einfache Gleichung"
},
{ /* simplify */
"Führt algebraische Vereinfachungen, Zusammenfassen, Kürzen, Ordnen, etc. durch.",
"Verwendet diverse Gesetze, um Doppelbrüche in einem Schritt zu beseitigen.",
"Bringt eine Summe, die Brüche enthält, auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfacht.",
"$ab+ac = a(b+c)$; klammert den größten expliziten gemeinsamen Faktor aus",
"Verwendet einfache Faktorisierungsgleichungen, um in einem Schritt so viel wie möglich zu faktorisieren.",
"Multipliziert ein Produkt von Summen aus und fasst bzw. kürzt dann die Terme.",
"Klammert den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner aus.",
"Löst eine Gleichung in einem Schritt auf. Funktioniert nicht bei komplizierten Gleichungen.",
"Beispiel: Soll MathExperte $(x+1)^2 -2x$ als Polynom in x+1 schreiben, so erhalten Sie $(x+1)^2-2(x+1) + 2$.",
"Drückt den Ausdruck in polynomieller Form in der Hauptvariablen aus.",
"Beispiel: 3x^2 - 2x + 1 wird zu 3(x^2 - 2/3 x + 1/3)",
"Ändert $x^\\onehalf $ in $\\sqrt x$ im gesamten ausgewählten Ausdruck.",
"Formt Brüche im Exponenten im gesamten gewählten Ausdruck zu Wurzeln um.",
"Formt Wurzeln im gesamten gewählten Ausdruck zu Brüchen um."
},
{ /* higher_derivatives */
"Differenziert eine Gleichung.",
"Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung.",
"Beispiel: d^3u/dx^3= d/dx d^2u/dx^2",
"Die Ableitung einer Ableitung ist die zweite Ableitung.",
"Die Ableitung der n-ten Ableitung ist die n+1-te Ableitung.",
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt.",
"Berechnet den Wert der aktuellen Zeile in einem angegebenen Punkt."
},
{ /* basic_integration */
"Die Zahl 1 integriert über t ist einfach t.",
"Das Integral einer Konstanten c ist ct.",
"Spezialfall der Potenzregel, wenn man t als t hoch 1 auffasst.",
"Zieht eine Konstante aus einem Integral.",
"Zieht ein Minuszeichen aus einem Integral.",
"Das wird Additivität des Integrals genannt.",
"Das Integral einer Differenz ist die Differenz der Integrale.",
"Das wird Linearität des Integrals genannt.",
"Das ist die Potenzregel für die Integration.",
"Verwenden sie dies, anstatt immer erst in negative Exponenten umzuwandeln.",
"Integriert ein Polynom sofort, in einem Schritt.",
"Vergessen Sie nicht den Betrag; ln |t| ist eine natürlichere Funktion als ln t.",
"Vergessen Sie nicht den Betrag; ln |t| ist eine natürlichere Funktion als ln t.",
"Multipliziert Produkte von Summen in Integranden aus.",
"Beispiel: $\\int (t+1)^2 dt = \\int t^2+2t+1 dt$",
"Verwenden Sie lieber diese Formel, anstatt |t| mit Fallunterscheidung auszuschreiben."
},
{ /* trig_integration */
"Das Integral vom Sinus ist minus Kosinus.",
"Das Integral vom Kosinus ist Sinus.",
"Das Integral vom Tangens ist -ln cos, aber vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Das Integral vom Kotangens ist ln sin, aber vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Diese wunderbare Formel hat Euler entdeckt.",
"Diese Formel ist fast das Integral vom Sekans, bis auf ein Vorzeichen, das anders ist.",
"Die Ableitung vom Tangens ist der Sekans zum Quadrat.",
"Die Ableitung vom Kotangens ist minus Kosekans zum Quadrat.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, schreiben Sie einfach $tan^2$ als $sec^2 - 1$.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, schreiben Sie einfach $cot^2$ als $csc^2 - 1$.",
"Die Ableitung vom Sekans ist der Sekans vom Tangens.",
"Die Ableitung vom Kosekans ist minus Kosekans vom Kotangens."
},
{ /* trig_integration2 */
"Beispiel: $\\int sin 2t dt = -(1/2) cos 2t$",
"Beispiel: $\\int cos 2t dt = (1/2) sin 2t$",
"Beispiel: $\\int tan 2t dt = -(1/2) ln |cos 2t|$",
"Beispiel: $\\int cot 2t dt = (1/2) ln |sin 2t|$",
"Beispiel: $\\int sec 2t dt = (1/2) ln |sec 2t + tan 2t|$",
"Beispiel: $\\int csc 2t dt = (1/2) ln |csc 2t - cot 2t|$",
"Beispiel: $\\int sec^2 2t dt = (1/2) tan 2t$",
"Beispiel: $\\int csc^2 2t dt = -(1/2) cot 2t$",
"Beispiel: $\\int tan^2 2t dt = (1/2) tan 2t - t$",
"Beispiel: $\\int cot^2 2t dt = -(1/2) cot 2t - t$",
"Beispiel: $\\int sec 2t tan 2t dt = (1/2) sec 2t$",
"Beispiel: $\\int csc 2t cot 2t dt = -(1/2) csc 2t$"
},
{ /* integrate_exp */
"Die Exponentialfunktion ist nicht nur ihr eigenes Integral, sondern auch ihre eigene Ableitung.",
"Beispiel: $\\int e^2t dt =(1/2) e^(2t)$",
"Die Funktion e^(-t) ist minus ihr eigenes Integral.",
"Beispiel: $\\int e^(-2t)dt = -(1/2) e^(-2t)$",
"Beispiel: $$integral(e^(t/2),t) = 2e^(t/2)$$",
"Beispiel: $\\int 3^t dt = (1/ln 3) 3^t$",
"Beispiel: $$integral(t^t,t) = integral(e^t ln t,t)$$",
"Falls Sie sich das nicht merken können, integrieren Sie partiell mit der Aufteilung $ln t$ und 1.",
"Das ist die Definition von Erf; das Integral hat keine einfachere Form.",
},
{ /* integrate_by_substitution */
"Sie können einen neuen Buchstaben bestimmen, der den gewählten Ausdruck ersetzt.",
"MathExperte versucht eine geeignete Substitution zu finden.",
"Wenden Sie dies auf die Gleichung an, die Ihre neue Variable definiert.",
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt.",
"Verwenden Sie dies nachdem Sie du/dx berechnet haben, um das ursprüngliche Integral wiederzubekommen.",
"Spaltet du/dx im Integranden ab und schreibt den Rest als Funktion von u.",
"Das ist die Substitutionsregel, für deren Anwendung Sie das Integral vorbereitet haben.",
"Ersetzt eine definierte Variable durch ihre Definition innerhalb einer Zeile.",
"Integriert durch Substitution in einem Schritt, wobei der angegebene Ausdruck als Substitution verwendet wird.",
"Integriert durch Substitution in einem Schritt; MathExperte wählt die Substitution.",
},
{ /* integrate_by_parts */
"Integriert partiell, wobei u der Teil ist, der abgeleitet wird.",
"Integriert partiell, wobei MathExperte die verschiedenen Teile wählt.",
"Das erzeugt eine Gleichung, die manchmal nach dem Integral aufgelöst werden kann.",
"Bringt das Integral auf die linke Seite, um es zu lösen.",
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt",
"Integriert durch Substitution in einem Schritt, wobei u als der gewählte Term definiert ist.",
"Integriert durch Substitution in einem Schritt, überlässt aber MathExperte die Wahl von u.",
"Berechnet ein Integral in einem Schritt, falls es nicht zu kompliziert ist."
},
{ /* fundamental_theorem */
"Differentiationsform des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.",
"Integralform des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung."
},
{ /* definite_integration */
"Das ist die Definition der Symbole auf der linken Seite.",
"Dies ist oft einfacher als ln f(b) - ln f(a)",
"Ein Integral wechselt das Vorzeichen, wenn seine beiden Integrationsgrenzen vertauscht werden.",
"Das wird Additivität des Integrals genannt.",
"Sie werden nach dem Punkt gefragt, bei dem das Integral aufgespaltet werden soll",
"Beispiel: Ein bestimmtes Integral $\\int |(t-1)(t+1)| dt$ sollte bei -1 und 1 aufgespaltet werden.",
"Sie geben zunächst einen Parameterwert ein und dann wird das Integral näherungsweise numerisch berechnet.",
"Verwenden Sie näherungsweise numerische Integration, um eine Dezimalzahl zu erhalten.",
"When the upper and lower limits of integration are the same, the integral is zero." // TRANSLATE THIS
},
{
"Formt ein uneigentliches Integral in einen Grenzwert von bestimmten Integralen.",
"Formt ein uneigentliches Integral in einen Grenzwert von bestimmten Integralen.",
"Formt ein uneigentliches Integral in einen Grenzwert von bestimmten Integralen.",
"Formt ein uneigentliches Integral in einen Grenzwert von bestimmten Integralen.",
"Wenn $u$ für $t->\\infty $ nicht gegen 0 geht, dann divergiert $\\int u dt von c bis $\\infty $.",
"Wenn $u$ für $t->\\infty $ nicht gegen 0 geht, dann divergiert $\\int u dt von $-\\infty $ bis c."
},
{ /* oddandeven */
"Eine punktsymmetrische Funktion integriert über ein symmetrisches Intervall ergibt null.",
"Eine achsensymmetrische Funktion lieft für positive und negative x den gleichen Beitrag zum Integral."
},
{ /* trig_substitutions */
"Beispiel: Substituiert $x = sin \\theta $, um $\\sqrt (1-x^2)$ zu integrieren",
"Beispiel: Substituiert $x = tan \\theta $, um $\\sqrt (1+x^2)$ zu integrieren",
"Beispiel: Substituiert $x = sec \\theta $, um $\\sqrt (x^2-1)$ zu integrieren",
"Beispiel: Substituiert $x = sinh \\theta $, um $\\sqrt (1+x^2)$ zu integrieren",
"Beispiel: Substituiert $x = a cosh \\theta $, um $\\sqrt (x^2-1)$ zu integrieren",
"Beispiel: Substituiert $x = a tanh \\theta $, um $\\sqrt (1-x^2)$ zu integrieren",
"Sie werden aufgefordert, x durch eine neue Variable zu definieren",
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt.",
"Berechnet ein Integral sofort, in einem Schritt, falls es nicht zu kompliziert ist."
},
{ /* trigonometric_integrals */
"Verwenden Sie dies, um $sin^2 t$ in einem Integral loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um $cos^2 t$ in einem Integral loszuwerden",
"Verwenden Sie dies, um eine ungerade Potenz von sin x (auch Potenzen von cos) zu integrieren.",
"Verwenden Sie dies, um eine ungerade Potenz von cos x (auch Potenzen von sin) zu integrieren.",
"Verwenden Sie dies, um eine gerade Potenz von sec x (auch Potenzen von tan) zu integrieren.",
"Verwenden Sie dies, um eine gerade Potenz von csc x (auch Potenzen von cot) zu integrieren.",
"Verwenden Sie dies, um eine ungerade Potenz von tan x zu integrieren, wenn auch Potenzen von sec vorkommt.",
"Verwenden Sie dies, um eine ungerade Potenz von cot x zu integrieren, wenn auch Potenzen von csc vorkommen.",
"Drückt $tan^2 x$ durch $sec^2 x$ aus, um u = sec x vorzubereiten.",
"Drückt $cot^2 x$ durch $csc^2 x$ aus, um u = csc x vorzubereiten",
"$\\int sec^n x dx = -1/(n-1) sec^n x tan x + (n-2)/(n-1)\\int sec^(n-2) x dx$",
"$\\int csc^n x dx = -1/(n-1) csc^n x cot x + (n-2)/(n-1)\\int csc^(n-2) x dx$",
"Das funktioniert bei allen trigonometrischen Integralen, aber andere Verfahren könnten einfacher sein.",
},
{ /* trigrationalize */
"Verwenden Sie dies, um 1-cos x im Nenner loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um 1+cos x im Nenner loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um 1-sin x im Nenner loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um 1+sin x im Nenner loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um sin x - cos x im Nenner loszuwerden.",
"Verwenden Sie dies, um sin x + cos x im Nenner loszuwerden."
},
{ /* integrate_rational*/
"Beispiel: (x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x + 1 + 1/(x+1)",
"Wendet alle möglichen Faktorisierungsregeln an, um den Nenner zu faktorisieren.",
"Klammert den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner aus",
"Klammert alle Faktoren, die sich wiederholen, aus (größter gemeinsamer Teiler von u und u')",
"Beispiel: x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878)",
"Beispiel: 2x/(x^2-1) = 1/(x-1) + 1/(x+1)",
"Beispiel: x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4",
"Beispiel: $\\int 1/(3t-1) dt = (1/3) ln |3t-1|$",
"Beispiel: $\\int 1/(3t+1)^3 dt = -1/6 (3t+1)^2$",
"Beispiel: $\\int 1/(t^2+4)dt=(1/2)arctan(t/2)$",
"Beispiel: $\\int 1/(t^2-4)dt=(1/2)arccoth(t/2)$",
"Beispiel: $\\int 1/(t^2-4)dt=(1/4)ln|(t-2)/(t+2)|$",
"Beispiel: $\\int 1/(4-t^2)dt=(1/2)arctanh(t/2)$",
"Beispiel: $\\int 1/(4-t^2)dt=(1/4)ln|(t+2)/(2-t)|$"
},
{ /* integrate_sqrtdenom */
"Beispiel: $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$",
"Beispiel: $\\int 1/\\sqrt (4-t^2)dt = arcsin(t/2)$",
"Beispiel: $\\int 1/\\sqrt (t^2-3)dt)=ln|t+\\sqrt (t^2-3)|$",
"Beispiel: $\\int 1/(t\\sqrt (t^2-4))dt=(1/2)arccos(t/2)$",
"D.h. Integration durch Substitution. Sie geben die Substitution an."
},
{ /* integrate_arctrig */
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her.",
"Falls Sie sich das nicht merken können, leiten Sie es durch partielle Integration her."
},
{ /* simplify_calculus */
"Führt algebraische Vereinfachungen durch.",
"Verwendet diverse Rechengesetze für Brüche, um Doppelbrüche in einem Schritt zu beseitigen.",
"Bringt Summen, die Brüche enthalten, auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfacht.",
"ab+ac = a(b+c). Klammert den größten expliziten gemeinsamen Faktor aus.",
"Beispiel: x^3 + 2x^2 + x wird zu x(x+1)^2",
"Multipliziert Produkte von Summen aus und fasst die resultierenden Terme zusammen bzw. kürzt sie.",
"Klammert den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner aus.",
"Löst eine Gleichung in einem Schritt, falls sie nicht zu kompliziert ist.",
"Berechnet eine Ableitung sofort, in einem Schritt.",
"Berechnet einen Grenzwert sofort, falls MathExperte ihn überhaupt berechnen kann.",
"Integriert durch Substitution. Sie werden nach der Substitution gefragt.",
"Berechnet ein Integral in einem Schritt, falls es nicht zu kompliziert ist.",
"Beispiel: 3 + c_1 wird zu c_2"
},
{ /* integrate_hyperbolic */
"Das Integral von sinh ist cosh",
"Das Integral von cosh ist sinh",
"Das Integral von tanh ist ln cosh",
"Das Integral von coth ist ln sinh",
"Das Integral von csch ist im Prinzip ln tanh, aber das Ergebnis ist nicht ln tanh u, sondern tanh(u/2).",
"Das Integral von sech ist arctan von sinh."
},
{ /* series_geom1 */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_geom2 */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_geom3 */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_geom4 */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_geom5 */
"Entwickelt $x^k/(1-x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Entwickelt $x^k/(1-x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Entwickelt $x^k/(1-x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Entwickelt $x^k/(1+x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Entwickelt $x^k/(1+x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Entwickelt $x^k/(1+x)$ in eine geometrische Reihe.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
"Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit beliebigem Anfangsglied.",
},
{ /* series_ln */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_trig */
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
},
{ /* series_exp */
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
"Dies konvergiert für alle x",
},
{ /* series_atan */
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1.",
"Dies ist die Binomialreihe. Sie konvergiert für |x|<1."
},
{ /* series_bernoulli */
"Dies konvergiert für |x|<\\pi/2.",
"Dies konvergiert für |x|<\\pi/2.",
"Dies konvergiert für |x|<\\pi/2.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|<1.",
"Dies konvergiert für |x|< \\pi/2.",
"Dies konvergiert für |x|< \\pi/2.",
"Dies konvergiert für |x|< \\pi/2.",
"Dies konvergiert für |s|>1.",
"Dies konvergiert für |s|>1.",
"Dies konvergiert für |s|>1.",
"Das ist die alternierende harmonische Reihe"
},
{ /* series_appearance */
"Stellt eine unendliche Reihe durch die ersten beiden Glieder und ... dar",
"Stellt eine Reihe durch die ersten drei Glieder und ... dar",
"Beispiel: $1 + x + ... + x^n + ...$",
"Ersetzt die ... durch Summennotation",
"Es wird ein weiteres Glied der Reihe angezeigt.",
"Sie geben ein, wie viele weitere Glieder Sie sehen möchten.",
"Berechnet die Fakultäten der sichtbaren Glieder der Reihe.",
"Zeigt die sichtbaren Glieder der Reihe mit nicht berechneten Fakultäten.",
"Stellt die Koeffizienten der sichtbaren Glieder der Reihe als Dezimalzahlen dar.",
"Berechnet nicht die Dezimalzahlen der Koeffizienten."
},
{ /* series_algebra */
"(a_1-a_0) + (a_2-a_1) + ...= - a_0.",
"Das Ergebnis ist eine Doppelsumme: $(\\sum a_n)(\\sum b_m) = \\sum \\sum a_nb_m$",
"Das Ergebnis ist eine Potenzreihe, deren Koeffizienten endliche Summen sind.",
"Es wird in einem Schritt geteilt.",
"Es wird in einem Schritt geteilt.",
"Es wird in einem Schritt geteilt.",
"Das Ergebnis ist eine Doppelsumme: $(\\sum a_n)^2 = \\sum \\sum a_na_m$",
"Das Ergebnis ist eine Potenzreihe, deren Koeffizienten endliche Summen sind.",
"Das Ergebnis ist eine Reihe, deren Koeffizienten durch eine Rekursion definiert sind.",
"$\\sum u + \\sum v = \\sum (u + v)$, wenn die Summationsgrenzen gleich sind.",
"$\\sum u - \\sum v = \\sum (u - v)$, wenn die Summationsgrenzen gleich sind."
},
{ /* series_manipulations */
"Die Reihe wird in eine endliche Summe und eine neue Reihe aufgespalten.",
"Beispiel: Sie können die untere Grenze von 1 zu 0 ändern und MathExperte zieht das zusätzliche Glied wieder ab.",
"Beispiel: In einer Summe, in der $x^(n-1)$ vorkommt, können Sie 1 zum Laufindex addieren.",
"Beispiel: In einer Summe, in der $x^(n+1)$ vorkommt, können Sie 1 vom Laufindex abziehen.",
"Der Laufindex kann umbenannt werden, ohne dass sich der Wert der Reihe verändert.",
"Dieses Gesetz ist nur dann anwendbar, wenn die resultierenden Reihen alle konvergieren.",
"Potenzreihen und einige andere Reihen können gliedweise differenziert werden.",
"Potenzreihen und einige andere Reihen können gliedweise differenziert werden.",
"Potenzreihen und einige andere Reihen können gliedweise integriert werden.",
"Potenzreihen und einige andere Reihen können gliedweise integriert werden.",
"Verwendet dezimale Arithmetik, um die Summe einer bestimmten Anzahl von Gliedern zu berechnen.",
"Das ist sinnvoll, wenn man die Ableitung in eine Reihe entwickeln kann.",
"Wenn Sie ein bestimmtes Integral benutzen, ersparen Sie sich die Berechnung einer Integrationskonstante.",
"Das ist sinnvoll, wenn man das Integral in eine Reihe entwickeln kann.",
"Setzt null (oder einen anderen Wert) ein und löst nach der Konstanten auf.",
"Spaltet die Glieder mit geradem bzw. ungeradem Index in zwei Reihen auf."
},
{ /* series_convergence_tests */
"Beispiel: $\\sum (n-1)/n$ divergiert, weil $lim(n->\\infty ,(n-1)/n) = 1$",
"Falls $u$ positiv und monoton fallend ist, konvergiert $\\sum u$ genau dann, wenn $\\int u dx$ konvergiert.",//"$\\sum u$ konvergiert genau dann, wenn $\\int u dx$ konvergiert.",
"Der Grenzwert des Quotienten aufeinanderfolgender Glieder bestimmt das Konvergenzverhalten, außer er ist 1.",
"Der Grenzwert der $n$-ten Wurzel des $n$-ten Glieds bestimmt das Konvergenzverhalten, außer er ist 1.",
"Beispiel: $\\sum |sin n|/2^n$ konvergiert, weil $\\sum 1/2^n$ konvergiert und $|sin n|< 1$.",
"Beispiel: $\\sum ln(n)/n$ divergiert, weil $\\sum 1/n$ divergiert und $ln(n)/n < 1/n $.",
"Wenn $lim a_n/b_n > 0$ und $a_n>0$ und $b_n>0$, dann konvergiert $\\sum a$ genau dann, wenn $\\sum b$ konvergiert.",
"Ersetzt das $n$-te Glied einer Reihe über eine monoton fallende Folge durch $2^n$ mal das $2^n$-te Glied.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz.",
"Make the comparison series the current expression so it can be manipulated.",
"Make the comparison series the current expression so it can be manipulated.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz.",
"Liefert das Ergebnis des Tests auf Konvergenz bzw. Divergenz."
},
{ /* series_convergence2 */
"Nennen Sie das Ergebnis des Vergleichstests als gebundenes auf der ursprünglichen Serie",
"Nennen Sie das Ergebnis des Vergleichs-Test: die ursprüngliche Reihe ist divergent.",
"Die harmonische Reihe divergiert bis Unendlichkeit.",
"Die Summe der Kehrwerte der Quadrate ist $\\pi^2/6$.",
"Diese unendliche Reihe definiert die $\\zeta$ Funktion",
"Werte von $\\zeta $ bei geraden Zahlen sind von dieser Formel"
},
{ /* complex_functions */
"Um den ln einer komplexen Zahl zu bilden, muss die Zahl zunächst in Polarkoordinaten dargestellt werden.",
"Der ln einer komplexen Zahl ist der ln des Radius + i mal das Argument.",
"Da das Argument von i (der Winkel in der Polarkoordinatendarstellung) $\\pi /2$ ist",
"Da das Argument von -1 (der Winkel in der Polarkoordinatendarstellung) $\\pi $ ist",
"Da das Argument einer negativen Zahl $\\pi $ ist",
"Diese berühmte Formel verbindet die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion.",
"Diese berühmte Formel verbindet die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion.",
"Halbiert das Argument und zieht die Quadratwurzel aus dem Radius.",
"Teilt das Argument durch n und zieht die n-te Wurzel aus dem Radius.",
"Diese berühmte Formel verbindet die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion.",
"Diese berühmte Formel verbindet die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion.",
"Diese Formel von Euler vereinigt einige berühmte Zahlen in sich.",
"Diese Formel von Euler vereinigt einige berühmte Zahlen in sich.",
"Diese Formel von Euler vereinigt einige berühmte Zahlen in sich.",
"Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit Periode $2\\pi i$.",
"Eine komplexe Potenz berechnet man, indem man sie als Exponentialfunktion darstellt.",
},
{ /* complex_hyperbolic */
"Drückt den komplexen sin durch sinh aus",
"Drückt den komplexen cos durch cosh aus",
"Drückt den komplexen cosh durch cos aus",
"Drückt den komplexen sinh durch sin aus",
"Drückt den komplexen tan durch tanh aus",
"Drückt den komplexen cot durch coth aus",
"Drückt den komplexen tanh durch tan aus",
"Drückt den komplexen coth durch cot aus",
"Grundlegender Zusammenhang zwischen komplexer Exponentialfunktion und Winkelfunktionen",
"Grundlegender Zusammenhang zwischen komplexer Exponentialfunktion und Winkelfunktionen",
"Definition vom komplexen cos, umgekehrt angewendet",
"Definition vom komplexen sin, umgekehrt angewendet",
"Definition vom komplexen cos, umgekehrt angewendet",
"Definition vom komplexen sin, umgekehrt angewendet"
},
{ /* hyperbolic_functions */
"Diese Formel definiert den hyperbolischen Kosinus.",
"Definition von cosh, umgekehrt verwendet.",
"Diese Formel definiert den hyperbolischen Sinus.",
"Definition von sinh, umgekehrt verwendet.",
"Definition von cosh, umgekehrt verwendet.",
"Definition von sinh, umgekehrt verwendet.",
"Der cosh ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Der sinh ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Die Summe von cosh und sinh vereinfacht sich zu einer Exponentialfunktion.",
"Die Differenz von cosh und sinh vereinfacht sich zu einer Exponentialfunktion.",
"Dies ist auch der minimale Wert von cosh.",
"Der Graph von sinh geht durch den Nullpunkt, weil sinh eine punktsymmetrische Funktion ist.",
"Drückt e^x durch hyperbolische Funktionen aus.",
"Drückt e^(-x) durch hyperbolische Funktionen aus."
},
{ /* hyperbolic2 */
"Diese Gleichung sieht aus wie $sin^2 + cos^2 = 1$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sin^2 + cos^2 = 1$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sin^2 + cos^2 = 1$, aber beachten Sie das Minuszeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $cos^2 = 1 - sin^2$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sin^2 = 1 - cos^2$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $1 + tan^2 = sec^2$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sec^2 - 1 = tan^2$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen."
},
{ /* more_hyperbolic */
"Definition des hyperbolischen Tangens.",
"Definition von tanh umgekehrt",
"Definition des hyperbolischen Kotangens.",
"Definition von coth umgekehrt",
"Definition des hyperbolischen Sekans.",
"Definition von sech umgekehrt",
"Definition des hyperbolischen Kosekans.",
"Definition von csch umgekehrt.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sec^2-tan^2 = 1$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $tan^2 = sec^2-1$, aber beachten Sie die unterschiedlichen Vorzeichen.",
"Diese Gleichung sieht aus wie $sec^2 = 1 + tan^2$, aber beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen.",
"Analog zur Formel für sin(u+v), aber das Vorzeichen ist anders.",
"Analog zur Formel für cos(u+v), aber das Vorzeichen ist anders.",
"Analog zur Formel für sin 2u.",
"Analog zur Formel für $cos 2u$, aber das Vorzeichen ist anders.",
"Überraschung: tanh(ln u) ist nicht so kompliziert wie es aussieht."
},
{ /* inverse_hyperbolic */
"Arcsinh ist ein Logarithmus einer algebraischen Funktion.",
"Arccosh ist ein Logarithmus einer algebraischen Funktion.",
"Arctanh ist ein Logarithmus einer rationalen Funktion.",
"Eigenschaft, durch die arcsinh definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arcosh definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arctanh definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arcoth definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arcsech definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arccsch definiert ist."
},
{ /* dif_hyperbolic */
"Die Ableitung von sinh ist cosh.",
"Die Ableitung von cosh ist sinh.",
"Die Ableitung von tanh ist sech^2.",
"Die Ableitung von coth ist -csch^2.",
"Die Ableitung von sech ist -sech tanh",
"Die Ableitung von scsh ist -scsh coth",
"Die Ableitung von ln sinh ist coth",
"Die Ableitung von ln cosh ist tanh"
},
{ /* dif_inversehyperbolic */
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arcsin, aber mit einem anderen Vorzeichen.",
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arccos, aber mit einem anderen Vorzeichen.",
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arctan, aber mit einem anderen Vorzeichen.",
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arccot, aber mit einem anderen Vorzeichen.",
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arcsec, aber mit einem anderen Vorzeichen.",
"Ähnlich der Formel für die Ableitung von arccsc, aber mit einem anderen Vorzeichen."
},
{ /* sg_function1 */
"sg(x) ist das Vorzeichen von x, 1 für positive x und -1 für negative x.",
"sg(x) ist das Vorzeichen von x, 1 für positive x und -1 für negative x.",
"sg(x) ist das Vorzeichen von x, 1 für positive x und -1 für negative x.",
"sg ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"sg ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"sg kann durch den Betrag ausgedrückt werden.",
"sg kann durch den Betrag ausgedrückt werden.",
"Verwenden Sie dies im Integral, wenn der Integrand ungleich null ist.",
"Auch bei Brüchen der Form gerade/ungerade im Exponenten anwendbar.",
"Auch bei Brüchen der Form ungerade/ungerade im Exponenten anwendbar.",
"Verwenden Sie dies, um sgn in den Zähler zu bringen.",
"sg ist in 0 nicht differenzierbar, überall sonst aber konstant.",
"sg kann mit dieser Formel direkt integriert werden.",
"Dieses Gesetz ist nur anwendbar, wenn der Integrand ungleich null ist.",
"Falls nötig, behandeln Sie die Fälle für positives und negatives Vorzeichen getrennt.",
"Falls nötig, behandeln Sie die Fälle für positives und negatives Vorzeichen getrennt."
},
{ /* sg_function2 */
"Beispiel: sg(3x) = sg(x)",
"Beispiel: sg(ax) = sg(x), wenn a<0 vorausgesetzt wurde.",
"Beispiel: sg(2x/3) = sg(x)",
"Beispiel: sg(x/a) = sg(x), wenn a<0 vorausgesetzt wurde.",
"Beispiel: sg(x^3) = sg(x)",
"Beispiel: sg(1/c) = sg(c)",
"Beispiel: sg(3/c) = sg(c)",
"Beispiel: a sg(a) = |a|",
"Beispiel: |a| sg(a) = a"
},
{ /* bessel_functions */
"Die Ableitung von J_0 ist minus J_1.",
"Die Ableitung von J_1 wird durch J_0 und J_1 dargestellt.",
"Die Ableitung von J_n wird durch J_(n-1) und J_n dargestellt.",
"Die Ableitung von Y_0 ist minus Y_1.",
"Die Ableitung von Y_1 wird durch Y_0 und Y_1 dargestellt.",
"Die Ableitung von Y_n wird mit Y_(n-1) und Y_n dargestellt."
},
{ /* modified_bessel_functions */
"Die Ableitung von I_0 ist minus J_1.",
"Die Ableitung von I_1 wird durch I_0 und I_1 dargestellt.",
"Die Ableitung von I_n wird durch I_(n-1) und I_n dargestellt.",
"Die Ableitung von K_0 ist minus K_1.",
"Die Ableitung von K_1 wird durch K_0 und K_1 dargestellt.",
"Die Ableitung von K_n wird durch K_(n-1) und K_n dargestellt."
},
{ /* functions_menu */
"Wendet eine vom Benutzer definierte Funktion an."
},
{"" /* automode_only, this menu never appears! */
},
{"" /* automode_only2, also never appears */
},
{"" /* automode_only3, also never appears */
}
};
/*_________________________________________________________________________*/
const char **German_ophelp2(int n)
/* provide access to the above strings. This is called from ophelp1.c */
{ return ophelp2_strings[n];
}
Sindbad File Manager Version 1.0, Coded By Sindbad EG ~ The Terrorists