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�:	x{,P���{��C���(�R���@��@�	k
T�����	����@��qKT���!�ª�R�c���@��@�	k����@��{A�����_�German_ophelpgerman_ophelp1.c0Führt dezimale Arithmetik aus, die allerdings nicht exakt ist.Beispiel: $\sqrt 2 = 1.414214$Beispiel: 2^(1/2) = 1.414214Beispiel: ln 2.0 = 0.69315. Berechnet auch sin, tan, etc.Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$.Sie werden aufgefordert werden einen Wert für die Variablen (bzw. Variablen) einzugebenErsetzt $\pi $ durch einen angenäherten Dezimalwert, 3.14159235...Ersetzt $e$ durch einen näherungsweisen Dezimalwert, 2.718281828...Berechnet den numerischen Wert einer Funktion mithilfe der Definition der Funktion.Beispiel: x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878)Bewerten Bernoulli Zahl auf eine rationale ZahlBewerten Euler Zahl auf eine rationale ZahlVerwandelt Dezimalzahlen in Brüche. Mit Vorsicht zu genießen bei näherungsweisen Werten.Beispiel: 64 = 8^2Beispiel: 1000 = 10^3Beispiel: 256 = 4^4. Sie werden aufgefordert werden, einen Exponenten einzugeben.Beispiel: 256 = 4^4. Sie werden aufgefordert werden, eine Basis einzugeben.Beispiele: 36 = 6^2, or 256 = 2^8.Beispiel: 3 ist ausgewählt, Sie geben 2 ein, das Ergebnis ist 2 + 1.Das ist die wichtigste Eigenschaft der komplexen Zahl i.Beispiele: i^4 = 1, i^8 = 1, i^12 = 1Beispiele: i^5 = i, i^9 = i, i^(-3) = iBeispiel: i^6 = -1Beispiel: i^7 = -iFührt exakte Arithmetik (aber ohne Potenzrechnung)  komplexer Zahlen aus.Beispiel, $(1+i)^2 = \sqrt 2 i$.Führt exakte Arithmetik (einschließlich Potenzrechnung) komplexer Zahlen aus.Führt näherungsweise Arithmetik für komplexe Zahlen mit dezimalen Real- bzw. Imaginärteilen aus.Zerlegt ganze Zahl in komplexe Primzahlpotenzen, z.B. 5 = (1+2i)(1-2i)Beispiel: -3+4i = (1+2i)^2Beispiel: $\sqrt $i = 0.707168 + 0.707168 iBeispiel, i^(1/2) = 0.707168 + 0.707168 iBeispiel, cos i = 1.543080635Zeigt den Wert eines Ausdrucks an, nachdem Sie Werte für die Variablen eingegeben haben.Lässt doppelte Minuszeichen weg.Beispiel: -(x^2 - 2x + 1)  wird zu x^2 + 2x - 1Beispiel: -x-5  wird zu -(x+5)Wendet Assoziativgesetz an. Beispiel: (a+b) + (c+d) = a+b+c+dOrdnet Summanden in Standardreihenfolge an. Beispiel:  y+x = x+yBeispiel:  x^2 + 0 + 5 = x^2 + 5Beispiel:  x^2 + x + sin x - x = x^2 + sin xBeispiel:  x^2 + 3x + 2x = x^2 + 5xBeispiel:  x^2 + 3x + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 5xKommutativgesetz: vertauscht zwei Summanden.Beispiel: 5(1-x) wird zu -5(x-1)Beispiel:  -5x wird zu 5(-x)Beispiel:  -5xy wird zu 5x(-y)Beispiel:  5x(-y)z wird zu 5xy(-z)Beispiel: $2^100\times 0$  wird zu 0Lässt Faktoren, die 1 sind, weg.Zieht Minuszeichen aus Produkt raus und schreibt es vor das Produkt.Wendet Assoziativgesetz an. Beispiel: (3x^2)(yz) = 3x^2yzBeispiel: $2x\times 3y$ = 6xyOrdnet Faktoren in Standardreihenfolge an. Beispiel: yx = xyWendet das Gesetz x^n x^m = x^(n+m) an. Beispiel:  x^2x^3 = x^5.Distributivgesetz. Beispiel: x(x^2 + 1) = x^3 + x.Beispiel:  (x-2)(x+2) = x^2-4Beispiel:  (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9Beispiel:  (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9Beispiel:  (x-1)(x^2+2x+1) = x^3-1Beispiel:  (x+1)(x^2-2x+1) = x^3+1Kommutativgesetz: vertauscht zwei Faktoren in einem ProduktBeispiel:  (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2Multipliziert Produkte von Summen im Zähler aus, aber nicht im Nenner.Multipliziert Produkte von Summen im Nenner aus, aber nicht im Zähler.Beispiel: 3x = x + x + xNull geteilt durch irgendetwas, das ungleich null ist, ist null.Teilen durch 1 verändert einen Ausdruck nicht.Definition des Kehrwerts. Beispiel,  $2 \times  (1/2) = 1$Beispiel, (3/4)(x/y) = 3x/(4y)Beispiel, 3(x/2) = 3x/2Beispiel: x^2 y / x  = xyAddiert Brüche, die denselben Nenner haben, durch Addition der Zähler.Teilt einen Bruch, dessen Zähler eine Summe ist, in zwei oder mehr Brüche auf.Teilt $(a\pm b)/c$ in mehrere Brüche auf, falls sich einer der resultierenden Brüche kürzen lässt. Beispiel:  (x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x+1 + 1/(x+1)Kürzt den größten gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner.Beispiel:  2x/3y = (2/3)(x/y)Beispiel:  $(x^2 + y^2)/\sqrt 2 = (1/\sqrt 2) x^2 + y^2$Beispiel:  $3e^(it)/\sqrt 2 = (3/\sqrt 2) e^(it)$Beispiel:  ax/(2y) = (a/2)(x/y)Beispiel:  $\sqrt 3x/2 = (\sqrt 3/2)x$Kürzt ein Minuszeichen aus Zähler und Nenner.Schiebt ein Minuszeichen in den Zähler.Schiebt ein Minuszeichen in den Nenner.Zieht ein Zähler aus dem Zähler raus.Zieht ein Minuszeichen aus dem Nenner raus.Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Zähler raus.Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Nenner raus.Vertauscht zwei Summanden im Nenner und passt das Vorzeichen an.Beispiel: (1-x)/(3-x) = (x-1)/(x-3)Beispiel: 2x/3 = 2(x/3)Beispiel:  1/(x(1-x^2))  = (1/x)(1/(1-x^2)Beispiel:  x/2 /(y/2) = x/yBeispiel: 3/(2/x) = 3x/2Beispiel: 1/(2/x) = x/2Beispiel: (3/2)/x = 3/(2x)Beispiel: (2/3)/x = (2/3)(1/x)Beispiel: (2/3)x/y = 2x/3yBeispiel: 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1)^2Findet gemeinsamen Nenner einer Summe von Brüche innerhalb eines größeren Bruchs.Beispiel: 1/x + 1/y = 1/x(y/y) + (1/y)(x/x)Genau wie bei finde gemeinsamen Nenner, ignoriert in einer Summe aber Ausdrücke, die keine Brüche sind.Beispiel: (x/2)(y/3) = xy/6Beispiel:  2(x/y) = 2x/yOrdnet Faktoren eines Produkts in Standardreihenfolge an. Beispiel: yx = xyBeispiel: 1/x + 1/y + 1 = (y+x+xy)/(xy)Beispiel: 1/x + 1/y + 1 = (y+x)/(xy) + 1Beispiel: y/x + x/y = (x^2+y^2)/xyIgnoriert Ausdrücke, die keine Brüche sind, bearbeitet also nur die Brüche.Sie geben an, womit multipliziert werden soll. Beispiel, x/y = x^2/xy, falls Sie x eingeben.Etwas hoch null ist 1; nur 0^0 ist undefiniert.Die erste Potenz von x ist einfach x.Null hoch irgend eine positive Zahl ist wieder null.1 hoch irgend ein Zahl ist wieder 1.Beispiele:  (-1)^4 = 1 and (-1)^3 = -1$c\in Z$ bedeutet, dass c eine ganze Zahl ist.Hier muss die Zahl $a$ positiv sein.Vorausgesetzt die neuen Zähler und Nenner sind definiert.Beispiel: (2x)^2 = 4x^2Beispiel: (x+1)^2 = x^2+2x+1Beispiel: (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1Beispiel: 3^(2+x) = 3^2 3^xBeispiel: a^2/b^2 = (a/b)^2Beispiel: x^5/x^3 = x^2Beispiel: x^3/x^5 = 1/x^2Beispiel: (x+1)^2 = (x+1)(x+1)Beispiel: (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1)Beispiel: (x+1)^4 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1)Beispiel: x^5 = x^2 x^3. Sie geben die 2 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.Beispiel: (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1Beispiel: (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1Beispiel: 2^(2n)=(2^2)^nBeispiel: 2^(2n)=(2^n)^2Beispiel: 2^(2nm) = 2^(2n)^mBeispiel: 1/2^n = (1/2)^nBeseitigt einen konstanten negativen ExponentenBeseitigt einen negativen Exponenten.Beseitigt einen negativen Exponenten. Beispiel: x^(-2) = 1/x^2Beseitigt einen negativen Exponenten. Beispiel: x^(-2)/3 = 1/(3x^2)Beseitigt einen negativen Exponenten im Nenner. Beispiel: 1/x^(-2) = x^2Beseitigt einen negativen Exponenten im Nenner. Beispiel: 3/x^(-2) = 3x^2Beispiel: 2/x = 2x^(-1)Beispiel: (2/x)^(-2) = (x/2)^2Beispiel: x^(n-2) = x^n/x^2Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\sqrt 2\sqrt x = \sqrt (2x)$Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\sqrt (2x) = \sqrt 2\sqrt x$Beispiel: $\sqrt (4y) = 2\sqrt y$Quadrieren und die Quadratwurzel ziehen sind invers zueinander, solange x nichtnegativ ist.Wenn Sie das Vorzeichen von x nicht kennen, müssen Sie die Betragsstriche verwenden.Beispiel: $\sqrt 8 = \sqrt 2^3$Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\sqrt (x/2) = \sqrt x/\sqrt 2$Wenn Sie die Vorzeichen von x und y nicht kennen, müssen Sie die Betragsstriche verwenden.Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel $\sqrt x/\sqrt 2 = \sqrt (x/2)$Da $\sqrt x \sqrt x = x$ nach Definition von $\sqrt $. Natürlich muss x nichtnegativ sein.Beispiel, $(\sqrt x)^6 = x^3$Beispiel, $(\sqrt x)^5 = x^2\sqrt x$Berechnet Quadratwurzel, wenn die Wurzel eine rationale Zahl ist. Beispiel, $\sqrt 16 = 4$Berechnet einen näherungsweisen Dezimalwert von Wurzeln. Beispiel, $\sqrt 2$ = 1.41416...Berechnet keine Quadratwurzeln bzw. Wurzeln; führt (andere) arithmetische Umformungen durch.Beispiel: $\sqrt (x^2+2x+1)/\sqrt (x^2-1) = \sqrt (x+1)^2/\sqrt (x-1)(x+1)$Beispiel: $\sqrt (x^2+2x+1) = \sqrt (x+1)^2$Beispiel: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/((1-\sqrt x)(1+\sqrt x))$, um $(1+\sqrt x)/(1-x)$ zu erhalten.Beispiel: $(1-\sqrt x)/(1+\sqrt x) = (1-\sqrt x)(1+\sqrt x)/(1+\sqrt x)^2$, um $(1-x)/(1+\sqrt x)^2$ zu erhaltenWenn sie das Vorzeichen von x nicht kennen, müssen Sie die Betragsstriche verwenden.Beispiel:  $\sqrt (2x)/\sqrt 2 = \sqrt x$Multipliziert Produkte von Summen unter einer Wurzel aus.Die Operation a^2-b^2 = (a-b)(a+b) erzeugt keine neue Wurzel; diese Operation erzeugt eine.$^2\sqrt $ und $\sqrt $ sind zwei Symbole, die dieselbe Bedeutung haben.Beispiel: $\sqrt x = ^4\sqrt x^2$. Sie werden aufgefordert werden, ein n einzugeben.Beispiel: $\sqrt x = (^4\sqrt x)^2$. Sie werden aufgefordert werden, ein n einzugeben.Beispiel: $\sqrt x^4 = x^2$Beispiel: $\sqrt x^5 = x^2 \sqrt x$Der Faktor vor der Wurzel muss nichtnegativ sein.Beispiel: $1/(1-\sqrt x) = (1+\sqrt x)/(1-x)$Drückt $\onehalf $ im Exponenten als Quadratwurzel aus.Beispiel: $a^(5/2) = \sqrt (a^5)$Beispiel: $a^(5/3) = ^3\sqrt (a^5)$Drückt eine Quadratwurzel aus durch einen Exponenten von $\onehalf $Drückt eine Wurzel aus durch einen Bruch im Exponenten.Beispiel: $^3\sqrt x^2 = x^(2/3)$Beispiel: $(^3\sqrt x)^2 = x^(2/3)$Beispiel: $(\sqrt x)^3 = x^(3/2)$Drückt $1/\sqrt x$ durch einen negativen Bruch im Exponenten aus.Drückt den Kehrwert einer Wurzel durch einen negativen Bruch im Exponenten aus.Beispiel: (-1)^(5/3) = -1. Verwendet keine komplexen Wurzeln.Beispiel: 8^(2/3) = (2^3)^(2/3)Beispiel: x/x^(1/3) = (x^3/x)^(1/3)Beispiel: x^(1/3)/x = (x/x^3)^(1/3)Beispiel: x^(n/2) = (\sqrt x)^nBeispiel: x^(n/3) = (^3\root x)^nBeispiel: $^3\sqrt 5^3\sqrt x = ^3\sqrt (5x)$Beispiel: $^3\sqrt (2x) = ^3\sqrt 2 ^3\sqrt x$Beispiel: $^3\sqrt x^2 = (^3\sqrt x)^2$Beispiel  $^3\sqrt x^5 = x ^3\sqrt x^2$Beispiel: $^3\sqrt (x^3) = x$Beispiel: $^3\sqrt x^6 =x^2$Beispiel: $^6\sqrt x^3 = \sqrt x$Beispiel: $^9\sqrt x^3) = ^3\sqrt x$Beispiel: $(^3\sqrt x)^3 = x$Beispiel: $(^3\sqrt a)^2 = ^3\sqrt (a^2)$Beispiel $(^3\sqrt a)^8 = a^2 ^n\sqrt a^2$Beispiel: $^3\sqrt 12 = ^3\sqrt (2^2\times 3)$Beispiel: $^3\sqrt (-a) = -^3\sqrt a$, n ungeradeFührt arithmetische Umformungen aus, wobei rationale Werte von Wurzeln berechnet werden, wenn möglich.Beispiel: $^3\sqrt (x^3+3x^2+3x+1) = ^3\sqrt (x+1)^3$Multipliziert Summen von Produkten unter einem Wurzelzeichen aus.Beispiel: $\sqrt (\sqrt 2) = ^4\sqrt 2$Beispiel: $\sqrt (^3\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$Beispiel: $^3\sqrt (\sqrt 2) = ^6\sqrt 2$Beispiel: $^3\sqrt (^4\sqrt 2) = ^(12)\sqrt 2$Schreibt die Wurzel eines Quotienten als Quotient von WurzelnSchreibt einen Quotienten von Wurzeln als Wurzel eines QuotientenBeispiel: $x/^3\sqrt x = (^3\sqrt x)^2$Beispiel: $^3\sqrt x/x = 1/(^3\sqrt x)^2$Beispiel: $^3\sqrt (2x)/^3\sqrt (2y) = ^3\sqrt x/^3\sqrt y$Beispiel: $^n\sqrt (2a)/^n\sqrt a = ^n\sqrt 2$Findet den größten gemeinsamen Teiler von u und v und klammert ihn aus u und v ausBeispiel: $x^3\sqrt y = ^3\sqrt (x^3y)$Beispiel: $x^2(^4\sqrt y) = ^4\sqrt (x^8y)$Beispiel: $-^3\sqrt 2 = ^3\sqrt (-2)$Beispiel: $x/^3\sqrt x = ^3\sqrt (x^3/x)$Beispiel: $^3\sqrt x/x = ^3\sqrt (x/x^3)$Beispiel: $x^2/\sqrt x = \sqrt (x^4/x)$Beispiel: $\sqrt x/x^2 = \sqrt (x/x^4)$Beispiel: $(^6\sqrt x)^2 = ^3\sqrt x$Beispiel: $(^4\sqrt x)^2 = \sqrt x$Da i^2 = -1 ist, gilt 1/i = -iDa i^2 = -1 ist, gilt a/i = -aiDa i^2 = -1 ist, gilt a/(bi) = -ai/bNach Definition gilt i = $\sqrt (-1)$Beispiel: $\sqrt (-3) = i\sqrt 3$Beispiel: $1/i^3 = i$Beispiel: $(x-i)(x+i) = x^2+1$Zerlegt die Summe zweier Quadratzahlen in zwei komplexe Faktoren.Das ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras.Das ist die Definition des Betrags einer komplexen Zahl.Beispiel:  $(3 + 5i)/2 = (3/2) + (5/2)i$Bringt eine komplexe Zahl in die Standardform $u+vi$Beispiel: $\sqrt i = sqrt(1/2) + sqrt(1/2) i$Beispiel: $\sqrt(-i) = sqrt(1/2) - sqrt(1/2) i$Beispiel: $\sqrt(3+4i) = sqrt((5+3)/2) + sqrt((5-3)/2) i$Beispiel: $\sqrt(3-4i) = sqrt((5+3)/2) - sqrt((5-3)/2) i$Beispiel:  2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1)Beispiel:  x^2 + x + 1/4 = (1/4) (4x^2+ 4x + 1)Beispiel:  x^3y^2-x^3 = x^3(y^2-1)Beispiel:  x^5 - x^3 = x^3(x^2-1)Beispiel:  x^2+2x+1 = (x+1)^2Beispiel:  x^2-2x+1 = (x-1)^2Beispiel:  x^2-1 = (x-1)(x+1)Beispiel:  x^2-3x+1 = (x-2)(x-1)Beispiel:  $x^2-x-1 = (x-1/2-\sqrt 5/2)(x-1/2+\sqrt 5/2)$Beispiel:  x^8 = (x^4)^2Beispiel:  $a^2b^2 = (ab)^2$Beispiel:  $(4x^2 + 6x + 9 = 2^2x^2 + 2)(3x + 3^2)$Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$Sie können einen neuen Buchstaben definieren, um den Ausdruck zu vereinfachen.Ersetzt eine bereits definierte Variable durch ihre Definition innerhalb einer Zeile.Beim Lösen von Gleichungen werden Konstanten anders behandelt als Variablen.Es wird keine neue Variable benutzt.Beispiel:  x^12 = (x^4)^3Beispiel:  x^12 = (x^3)^4. Sie geben die 4 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.Faktorisiert die Differenz zweier kubischer Ausdrücke. Beispiel: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$Faktorisiert die Summe zweier kubischer Ausdrücke. Beispiel: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$Beispiel: x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)Beispiel: x^4-1 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1)Beispiel: x^5+1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)Beispiel: $x^4+1 =(x^2-\sqrt 2x+1)(x^2+\sqrt 2x+1)$Beispiel (mit p=5, q=3):  $x^4+x^2+25=(x^2-3x+5)(x^2+3x+5)$Sie wählen keinen Term aus, sondern überlassen es MathExperte eine gute Substitution zu finden.Sie geben einen Faktor ein und MathExperte bestimmt den anderen Faktor durch Polynomdivision.Probiert systematisch alle möglichen linearen Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten aus.Teilt die Summe in zwei Gruppen, um dann ihren größten gemeinsamen Teiler auszuklammern.Schreibt den Ausdruck als Polynom des ausgewählten Terms.Beispiel: 3=x wird zu x=3Beispiel: -x = -3 wird zu x = 3Beispiel: x-3 = 2 wird zu x = 5Beispiel: x+3 = 5 wird zu x = 2Beispiel: x-3 = 5 wird zu x = 8Beispiel: x^2 = x-1 wird zu x^2-x+1 = 0Beispiel:  x/2 = x + 1 wird zu x = 2x + 2Beispiel: 2x = 4 wird zu x = 2Beispiel: $\sqrt x = 3$ wird zu x = 9Beispiel: x+y = 3+y wird zu x = 3Beispiel: 2x^2 = 2 wird zu x^2 = 1Beispiel: 3x = 3x wird zu 'wahr'Beispiel: $\sqrt x = -\sqrt x$ wird zu x = -xBeispiel: $\sqrt x = -\sqrt x$ wird zu $\sqrt x = 0$Beispiel: $-\sqrt x = \sqrt x$ wird zu $\sqrt x = 0$aus ab=0 folgt a=0 oder b=0Wendet p,q-Formel an$x = -b/2a \pm  \sqrt (b^2-4ac)/2a$Ergänzt quadratischZieht Wurzel aus beiden SeitenMultipliziert mit Nennern der beiden Seitenb^2-4ac < 0 => es gibt keine reellen WurzelnVerwenden Sie dies, wenn das Vorzeichen von $a$ nicht bestimmt werden kann.Berechnet beide Seiten für einen Wert der Unbekannten, den Sie eingeben.Sie werden aufgefordert, zwei Werte einzugeben, zwischen denen bekanntermaßen eine Lösung liegt.Beispiel: x/3 = (x-1)/4  wird zu 4x = 3(x-1)Potenziert beide Seiten. Die neue Gleichung hat evtl. zusätzliche Lösungen.Beispiel: x^2 = 9 wird zu [x = 3, x = -3]Beispiel: x^3 = 8 wird zu x = 2Sie werden aufgefordert, eine Funktion anzugeben, die auf beide Seiten angewandt wird.Bringe Summen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.Beispiel: (x^2-1)(x-2) = 0 wird zu [x^2-1=0, x=2]Beispiel: ax^2=ax wird zu [a=0, x^2=x]Während Sie die ausgewählte Gleichung bearbeiten, werden die anderen Gleichungen ausgeblendet.Die Gleichungen, die Sie vor einiger Zeit ausgeblendet haben, werden wieder angezeigt werden.Doppelte Lösungen können zusammengefasst werden.Dies funktioniert, falls die vorgeschlagene Substitution eine alte Variable verschwinden lässt.Ersetzt eine Variable durch ihre Definition innerhalb einer Zeile.Beispiel: $x = \sqrt -3$ bei der Suche nach reellen Lösungen.Einige Operationen haben möglicherweise Wurzeln erzeugt, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen.Beispiel: 3x-1 = x+1 wird zu x=1Diese Substitution lässt den quadratischen Ausdruck verschwinden.Die Diskriminante einer kubischen Gleichung cx^3+ax+b ist $D = b^2/4c + a^3/27c^3$.Zeigt die kubische Gleichung erneut an, so dass Sie wieder an ihr arbeiten können.Diese Substitution verwandelt die Gleichung in einen quadratischen Ausdruck in y^3.In cx^3+ax+b=0: $x=^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D), wobei D = b^2/4c + a^3/27c^3.In cx^3-ax+b=0: $x=[2\sqrt (a/3)cos(t/3),2\sqrt (a/3)cos(t+2pi/3),2\sqrt (a/3)cos(t+4pi/3)]$, wobei $cos t = -b/(2c)\sqrt (27/a^3)$.In cx^3+ax+b=0: $x=[^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D),(1/2)^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)+^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D) \pm  (\sqrt 3/2)(^3\sqrt (-b/2c+\sqrt D)-^3\sqrt (-b/2c-\sqrt D)]$Substituiert $x = f(u)$, wobei $x$ eine alte und $u$ eine neue Variable ist.Eliminiert eine definierte Variable durch Verwendung ihrer Definition.Beispiel: Wenn $n$ in $1-k$ geändert wird, dann ist das Ergebnis äquivalent zum vorigen Ausdruck, weil $1-k$ alle ganzen Zahlen durchläuft.Berechnet Quadratwurzeln und $n$-te Wurzeln, wenn das Ergebnis eine rationale Zahl ist.Berechnet numerische Größen durch angenäherte Dezimalzahlen.Führt algebraische Vereinfachungen durch.Beispiel: $ln x = 2$ wird zu $x = e^2$Beispiel: $log x = 2$ wird zu $x = 100$Beispiel: $log(3,x) = 2$ wird zu $x = 9$Beispiel: $10^(x+1) = 10^(2x)$ wird zu $x+1 = 2x$Beispiel: $10^x = 3$ wird zu $x = log 3$Beispiel: $e^x = 3$ wird zu $x = ln 3$Der Logarithmus von negativen Zahlen ist nicht definiert.Cramersche RegelBerechnet eine numerische Determinante bzw. eine symbolische Determinante mit 2 oder 3 Parametern.Beispiel: $x-1 = 2+y$  wird zu $x - y = 1$Beispiel: $2x + 3 + x = 5$ wird zu $3x + 3 = 5$Schreibt die Terme in derselben Variablen in eine Spalte.Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern einzugeben.Sie werden aufgefordert, die Gleichungsnummer und die Zahl, mit der diese Gleichung multipliziert werden soll, einzugeben.Sie werden aufgefordert, die Gleichungsnummer und die Zahl, durch die diese Gleichung geteilt werden soll, einzugeben.Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern und den Faktor einzugeben.Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern einzugebenBeispiel: $y=1$, $x=2$ wird zu $x=2$, $y=1$.Streicht eine Gleichung, die zu einer identischen Gleichung, wie z.B. 2=2, vereinfacht wurde.Sie geben eine Variable an, die im weiteren Verlauf der Rechnung als Konstante angesehen wird.Beispiel: Wenn Sie $x = 5$, $x = 2$ hergeleitet haben, dann können die Gleichungen nicht erfüllt werden.Schreibt eine nichtnegative Größe in die Betragsfunktion.Schreibt einen nichtnegativen Nenner in die Betragsfunktion.Schreibt einen nichtnegativen Bruch in die Betragsfunktion.Löst eine lineare Gleichung nach der ausgewählten Variablen auf.Sie werden nach der Nummer der Gleichung gefragt, die verändert werden soll.Sie werden gefragt, womit die ausgewählte Gleichung multipliziert werden soll.Sie werden gefragt, wodurch die ausgewählte Gleichung geteilt werden soll.Sie werden aufgefordert, den Multiplikator und die Zielgleichung einzugeben.Sie werden nach der Nummer der anderen Gleichung gefragt.Sie werden aufgefordert, eine Variable auszuwählen.Sie werden nach der Nummer der Zeile, die verändert werden soll, gefragt.Sie werden aufgefordert, einen Multiplikator einzugeben.Sie werden aufgefordert, einen Divisor einzugeben.Sie werden nach dem Multiplikator und der anderen Zeilennummer gefragt.Sie werden nach der Nummer der anderen Zeile gefragt.Fügt auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix ein zur Berechnung der inversen Matrix.Beispiel: $2x + 3y + x = 5$  wird zu $3x + 3y = 5$.Sie werden aufgefordert, eine Gleichungsnummer auszuwählen und dann eine Variable.Beispiel: $x + y = x + 2$  wird zu $y = 2$Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuwählen und einzugeben, was addiert werden soll.Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuwählen und einzugeben, was subtrahiert werden soll.Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuwählen und einen Divisor einzugeben.Wenn eine Gleichung gelöst ist, können Sie sie in die anderen Gleichungen einsetzen.Beispiel: Wenn Sie $x=2$ und $x=5$ hergeleitet haben, dann können die Gleichungen nicht erfüllt werden.Schreibt Gleichungssystem in MatrixformFügt auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix ein zur Berechung der inversen Matrix.Sie werden gefragt, welche beiden Gleichungen vertauscht werden sollen.Sie werden nach den Nummern der beiden Zeilen gefragt.Sie werden aufgefordert, die Zeilennummer und den Multiplikator einzugeben.Sie werden aufgefordert, die Zeilennummer und den Divisor einzugeben.Sie werden aufgefordert, zwei Zeilennummern und den Multiplikator einzugeben.Multipliziert Matrizen.Benutzen Sie dies, wenn eine Spalte nur aus Nullen besteht.Benutzen Sie dies, wenn eine Zeile nur aus Nullen besteht.Benutzen Sie dies, wenn zwei Zeilen identisch sind.Benutzen Sie dies, wenn zwei Zeilen zwar auf der linken Seite übereinstimmen, aber nicht auf der rechten.Schreibt eine Gleichung von zwei Matrizen, die beide nur aus einer einzigen Spalte bestehen, als Gleichungssystem.Multipliziert MatrizenDie inverse Matrix wird hier noch nicht berechnet, sondern nur mit einem Symbol bezeichnet.Berechnet die inverse Matrix einer 2x2-Matrix.Verwendet exakte Arithmetik und kann mit Symbolen rechnen. Falls die inverse Matrix existiert, ist das Ergebnis exakt.Bei numerischen Matrizen anwendbar. Berechnet die inverse Matrix unter Verwendung dezimaler Arithmetik mit einer begrenzten Genauigkeit.Lässt die Betragsstriche um eine nichtnegative Größe weg.Beispiel: $ |x-2| = x-2$, was eine neue Voraussetzung erzeugt, $x\ge 2$.Beispiel:  |-2| = 2Beispiel: |2u| = 2|u|Beispiel: |u/2| = |u|/2Beispiel: |x-1||x+1| = |(x-1)(x+1|Beispiel: |(x-1)(x+1)| = |x-1||x+1|Beispiel: |(x-1)/x| = |x-1| / |x|Beispiel: |x^2-1| / |x-1| = |(x^2-1)/(x-1)|Beispiel: |x|^4 =x^4Beispiel: |u^3|=|u|^3Bei reellen u ist der Betrag auf der rechten Seite überflüssig.Beispiel: $|^3\sqrt u| = ^3\sqrt |u|$Kürzt ohne die Betragsstriche zu beachten.Klammert den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner aus.Beispiel: |x|=2 wird zu [x = 2, x = -2]Beispiele: |x|/x = x-2  wird zu [x-2 = 1, x-2 = -1]Beispiel: |x| < 2 wird zu -2 < u < 2Beispiel: $|x| \le  2$ wird zu $-2 \le  u \le  2$Beispiel: 2 < |x| genau dann, wenn x < -2 oder 2 < xBeispiel: $2 \le  |x|$ genau dann, wenn $x \le  -2$ oder $2 \le  x$Beispiel: |x-1| = x-1 wird zu $0 \le  x-1$Beispiel: |x-1| = 1-x wird zu $x-1 \le  0$Beispiel: $0 \le  |x^2+1|$ gilt immer.Beispiel: $-5 \le  |x^2+1|$ gilt immer.Beispiel: $-5 < |x^2+1|$ gilt immer.Beispiel: |x^2+1| < 0 hat keine Lösung.Beispiel: |x| < -5 hat keine Lösung.Beispiel: $|x| \le  -5$ hat keine Lösung.Beispiel: $|x^3-x| \le  -x^2$ wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen.Beispiel: |x^3-x| = -x^2 wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen.Beispiel: 2 > |x| wird zu -2 < x < 2Beispiel: $2 \ge  |x|$ wird zu $-2 \le  x \le  2$Beispiel: |x| > 2 genau dann, wenn -2 > x oder x > 2Beispiel: $|x| \ge  2$ genau dann, wenn $-2 \ge  x$ oder $x \ge  2$Beispiel: $|x^2-1| \ge  0$ ist wahr.Beispiel: 0 > |x^2-1| hat keine Lösung.Beispiel: -5 > |x| hat keine Lösung.Beispiel: $-5 \ge  |x|$ hat keine Lösung.Beispiel: $-x^2 \ge  |x^3-x|$ wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen.Beispiel: |x| > -5 ist wahrBeispiel: $|x| \ge  -5$ ist wahrExample: $-2 \le  u \le  2$ becomes $|x| \le  2$Example: x < -2 or 2 < x iff 2 < |x|Example: x^4 = |x|^4Example: |u|^3 = |u^3|Beispiel: 2 < x wird zu x > 2Beispiel: x-2 < 5 wird zu x<7. Sie wählen die 2.Beispiel: x+2 < 5 wird zu x=3. Sie wählen die 2.Beispiel: -2 < -x wird zu x < 2.Beispiel: -x < - 2 wird zu x > 2.Beispiel: x/3 < 1 wird zu x < 3.  Sie wählen die 3. x/(x-1) < 2 wird zu x(x-1) < 2(x-1)^2, wenn Sie x-1 eingeben.Beispiel: 5x < 10 wird zu x < 2. Sie wählen die 5.Ergibt 'Keine Lösung' bzw. 'wahr', wenn in der Gleichung nur Zahlen vorkommen.Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'Keine Lösung'.u < v wird zu u^2 < v^2 vorausgesetzt u ist nichtnegativ. $0\le v$ wird abgeleitet bzw. vorausgesetzt.u < v wird zu [u^2 < v^2, u<=0]. Verwenden Sie dies, wenn u auch negativ sein kann.Beispiel: x<4 oder x=4 wird zu $x\le 4$.  Das "or" ist bei Klammerschreibweise implizit gegeben.Beispiel: 1<x oder 2<x  wird zu 1<xVerwenden Sie die Voraussetzungen, um Lösungen zu verwerfen oder zu verbessern, so dass sie die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.Beispiel: 2 > x wird zu x < 2Beispiel: -x > -2 wird zu x < 2Beispiel: -2 > -x wird zu x > 2Beispiel: x^2 > -1 ist wahrBeispiel: -1 > x^2 ist falschBeispiel: 2 > x wird zu [4 > x^2, x < 0]Beispiel: [x > 2, x = 2] wird zu $x \ge  2$Beispiel: $x \le  2$ wird zu $2 \ge  x$Beispiel: $x-2 \le  5$ wird zu $x\le 7$. Sie wählen die 2.Beispiel: $x+2 \le  5$ wird zu x=3. Sie wählen die 2.Beispiel: $-2 \le  -x$ wird zu $x \le  2$.Beispiel: $x \le  -2$ wird zu $x \ge  2$.Beispiel: $x/3 \le  1$ wird zu $x \le  3$. Sie wählen die 3.Beispiel: $x/(x-1) \le  2$ wird zu $x(x-1) \le  2(x-1)^2$. Sie wählen x-1Beispiel: $x/5 \le  10$ wird zu $x \le  2$. Sie wählen die 5.$u \le  v$ wird zu $u^2 \le  v^2$ vorausgesetzt u ist nichtnegativ. $0\le v$ wird abgeleitet bzw. vorausgesetzt.$u \le  v$ wird zu $u^2 \le  v^2$ oder $u\le 0$. Verwenden Sie dies, wenn u auch negativ sein kann.Beispiel: $1\le x$ oder $2\le x$  wird zu $1\le x$Beispiel: $2 \ge  x$ wird zu $x \le  2$Beispiel: $-x \ge  -2$ wird zu $x \le  2$Beispiel:  $-2 \ge  -x$ wird zu $x \ge  2$Beispiel:  $x^2 \ge  -1$ ist wahrBeispiel: $-1 \ge  x^2$ ist falschBeispiel: $2 \ge  x$ wird zu $[4 \ge  x^2, x \le  0]$Beispiel: x^2 < 4 wird zu |x| < 2Beispiel: x^2 < 4 wird zu -2 < x < 2Beispiel: 4 < x^2 wird zu 2 < |x|Beispiel: 4 < x^2 wird zu [x < -2, 2 < x]Beispiel: 4 < x^2 < 9 wird zu  [-3 < x < -2, 2 < x < 3]Beispiel -2 < x^2 < 9 wird zu x^2 < 9Beispiel: $-2 < x^2 \le  9$ wird zu $x^2 \le  9$Beispiel: $\sqrt x < 2$ wird zu $0 \le  x < 4$Beispiel: $2\sqrt x < 2$ wird zu $0 \le  4x < 4$Beispiel: $2 < \sqrt x$ wird zu 4 < xBeispiel: $x^2 < a  => x < \sqrt a$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird. Beispiel: $-1 < x^2$ gilt immer.Beispiel: $x^2 < -1$ hat keine Lösung.Beispiel: $-1 < \sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \le  x^2 -1$Beispiel: $x^2 \le  4$ wird zu $|x| \le  2$Beispiel: $x^2 \le  4$ wird zu $-2 \le  x \le  2$Beispiel: $4 \le  x^2$ wird zu $2 \le  |x|$Beispiel: $4 \le  x^2$ wird zu $[x \le  -2, 2 \le  x]$Beispiel: $4 \le  x^2 \le  9$ wird zu $[-3 \le  x \le  -2, 2 \le  x \le  3]$Beispiel: $-2 \le  x^2 \le  9$ wird zu $x^2 \le  9$Beispiel: $-2 \le  x^2 < 9$ wird zu $x^2 < 9$Beispiel: $\sqrt x \le  2$ wird zu $0 \le  x \le  4$Beispiel: $2\sqrt x \le  2$ wird zu $0 \le  4x \le  4$Beispiel: $2 \le  \sqrt x$ wird zu $4 \le  x$Beispiel: $x^2 \le  a  => x \le  \sqrt a$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $-1 \le  x^2$ gilt immer.Beispiel: $x^2 \le  -1$ hat keine Lösung.Beispiel: $-1 \le  sqrt(x^2 - 1)$ wird zu $0 \le  x^2 -1$$1/x < a$ genau dann, wenn $x < 0$ or $1/a < x$, vorausgesetzt $a > 0$$a < 1/x$  genau dann, wenn $0 < x < 1/a$ vorausgesetzt $a > 0$$1/x < -a$ genau dann, wenn $-1/a < x < 0$ vorausgesetzt $a > 0$$-a < 1/x$ genau dann, wenn $x < -1/a$ or $0 < x$ vorausgesetzt $a > 0$Beispiel: $1 < x < 2$ wird zu $1/2 < x < 1$Beispiel: $1 < x \le  2$ wird zu $1/2 \le  x < 1$Beispiel: $-2 < 1/x < -1$ wird zu $-1 < x < -1/2$Beispiel: $-2 < 1/x \le  -1$ wird zu $-1 \le  x < -1/2$Beispiel: -2 < 1/x < 3 wird zu [x < -1/2, 1/3 < x]Beispiel: $-2 < 1/x \le  3$ wird zu $[x < -1/2, 1/3 \le  x]$$1/x \le  a$ genau dann, wenn x < 0 or $1/a \le  x$, vorausgesetzt $a > 0$$a \le  1/x$ genau dann, wenn $0 < x \le  1/a$ vorausgesetzt $a > 0$$1/x \le  -a$ genau dann, wenn $-1/a \le  x < 0$ vorausgesetzt $a > 0$$-a \le  1/x$ genau dann, wenn $x \le  -1/a$ or 0 < x vorausgesetzt $a > 0$Beispiel: $1 \le  1/x < 2$ wird zu $1/2 < x \le  1$Beispiel: $1 \le  1/x \le  2$ wird zu $1/2 \le  x \le  1$Beispiel: $-2 \le  1/x < -1$ wird zu $-1 < x \le  -1/2$Beispiel: $-2 \le  1/x \le  -1$ wird zu $-1 \le  x \le  -1/2$Beispiel: $-2 \le  1/x < 3$ wird zu $[x \le  -1/2, 1/3 < x]$Beispiel: $-2 \le  1/x \le  3$ wird zu $[x \le  -1/2, 1/3 \le  x]$Beispiel: x^3 < 27 wird zu x < 3Beispiel: x^4 < 16 wird zu |x| < 2Beispiel: x^4 < 16 wird zu -2 < x < 2Beispiel: 16 < x^4 wird zu 2 < |x|Beispiel: 16 < x^4 wird zu [x < -2, 2 < x]Beispiel: 16 < x^4 < 81 wird zu [-3 < x < -2, 2 < x < 3]Beispiel: $^4\sqrt x < 16$ wird zu $0 \le  x < 2$Beispiel: $^3\sqrt x < 2$ wird zu x < 8Beispiel: $2 ^3\sqrt x < 1$ wird zu  8x < 1Beispiel: $2 < ^3\sqrt x$ wird zu 8 < xBeispiel: x^4 < a wird zu $x < ^4\sqrt a$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $-1 < ^4\sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \le  x^2 -1$Beispiel: $x^3 \le  27$ wird zu $x \le  3$Beispiel: $x^4 \le  16$ wird zu $|x| \le  2$Beispiel: $x^4 \le  16$ wird zu $-2 \le  x \le  2$Beispiel: $16 \le  x^4$ wird zu $2 \le  |x|$Beispiel: $16 \le  x^4$ wird zu $[x \le  -2, 2 \le  x]$Beispiel: $16 \le  x^4 < 81$ wird zu $[-3 \le  x \le  -2, 2 \le  x \le  3]$Beispiel: $^4\sqrt x \le  16$ genau dann, wenn $0 \le  x \le  2$Beispiel: $^3\sqrt x \le  2$ wird zu $x \le  8$Beispiel: $2 ^3\sqrt x \le  1$ wird zu $8x \le  1$Beispiel: $2 \le  ^3\sqrt x$ wird zu $8 \le  x$Beispiel: $x^4 \le  a$ wird zu $x \le  ^4\sqrt a$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $-1 \le  ^4\sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \le  x^2 -1$Beispiel: 0 < x(x^2+1) wird zu 0 < xBeispiel: $0 < 1/\sqrt x$  wird zu $0 < \sqrt x$ Beispiel: $0 < x/\sqrt (x-1)$ wird zu 0 < x(x-1)Beispiel: 0 < (x-1)/(x-2) wird zu 0 < (x-1)(x-2)Beispiel: $1/\sqrt x < 0$ wird zu $\sqrt x < 0$Beispiel: $x/\sqrt (x-1) < 0$ wird zu $x(x-1) < 0$$ax \pm  b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$u < v => v > uBeispiel: (x-1)(x+1) < 0 genau dann, wenn -1 < x < 1. Funktioniert auch bei mehr Faktoren.Beispiel: 0 < (x-1)(x+1) genau dann, wenn x < -1 or 1 < x.  Funktioniert auch bei mehr Faktoren.Beispiel: $0 \le  x(x^2+1)$ wird zu $0 \le  x$Beispiel: $0 \le  1/\sqrt x$  wird zu $0 \le  \sqrt x$ Beispiel: $0 \le  x/\sqrt (x-1)$ wird zu $0 \le  x(x-1)$Beispiel: $0 \le  (x-1)/(x-2)$ wird zu $0 \le  (x-1)(x-2)$Beispiel: $1/\sqrt x \le  0$ wird zu $\sqrt x \le  0$Beispiel: $x/\sqrt (x-1) \le  0 $ wird zu $x(x-1) \le  0$$ax \pm  b \le  0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) \le  0$$u \le  v => v \le  u$Beispiel: $(x-1)(x+1) \le  0$ genau dann, wenn $-1 \le  x \le  1$. Funktioniert auch bei mehr Faktoren.Beispiel: $0 \le  (x-1)(x+1)$ genau dann, wenn $x \le  -1 or 1 \le  x$. Funktioniert auch bei mehr Faktoren.Beispiel: 4 > x^2 wird zu 2 > |x|Beispiel: 4 > x^2 wird zu -2 < x < 2Beispiel: x^2 > 4 wird zu |x| > 2Beispiel: x^2 > 4 wird zu [x < -2, x > 2]Beispiel: $2 > \sqrt x$  wird zu $0 \le  x < 4$Beispiel: $2 > 2\sqrt x < 2$ wird zu $0 \le  4x < 4$Beispiel: $\sqrt x > 2$ wird zu x > 4Beispiel: 4 > x^2  wird zu 2 > x, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $x^2 > -1$ gilt immer.Beispiel: $-1 > x^2$ hat keine Lösung.Beispiel: $\sqrt (x^2-1) > -1$ wird zu $x^2-1 \ge  0$Beispiel: $4 \ge  x^2$  wird zu $2 \ge  |x|$Beispiel: $4 \ge  x^2$ wird zu $-2 \le  x \le  2$Beispiel: $x^2 \ge  4$ wird zu $|x| \ge  2$Beispiel: $x^2 \ge  4$ wird zu $[x \le  -2, 2 \le  x]$Beispiel: $2 \ge  \sqrt x$ wird zu $0 \le  x \le  4$Beispiel: $2 \ge  2\sqrt x$ wird zu $0 \le  4x \le  4$Beispiel: $\sqrt x \ge  2$ wird zu $x \ge  4$Beispiel: $4 \ge  x^2$   => $2 \ge  x$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $x^2 \ge  -1$ gilt immer.Beispiel: $-1 \ge  x^2$ hat keine Lösung.Beispiel: $\sqrt (x^2-1) \ge  -1$ wird zu $x^2-1 \ge  0$a > 1/x genau dann, wenn <0 oder x > 1/a, vorausgesetzt $a > 0$$1/x > a$ genau dann, wenn $0 < x < 1/a$, vorausgesetzt $a > 0$$-a > 1/x$ genau dann, wenn $-1/a < x < 0$, vorausgesetzt $a > 0$ $1/x > -a$  genau dann, wenn $x < -1/a$ or $x > 0$, vorausgesetzt $a > 0$$a \ge  1/x$  genau dann, wenn x<0 or $x \ge  1/a$, vorausgesetzt a > 0$1/x \ge  a$ genau dann, wenn $0 < x \le  1/a$, vorausgesetzt a > 0$-a \ge  1/x$ genau dann, wenn $-1/a \le  x < 0$, vorausgesetzt a > 0$1/x \ge  -a$  genau dann, wenn $x \le  -1/a$ or x > 0, vorausgesetzt a > 0Beispiel: 27 > x^3 wird zu $3 > x$Beispiel: 16 > x^4 wird zu $2 > |x|$Beispiel: 16 > x^4 wird zu $-2 < x < 2$Beispiel: x^4 > 16 wird zu |x| > 2Beispiel: x^4 > 16 wird zu [-2 > x, x > 2]Beispiel: $2 > ^3\sqrt x$ wird zu 8 > xBeispiel: $1 > 2 ^3\sqrt x$ wird zu 1 > 8xBeispiel: $^3\sqrt x > 2$ wird zu x > 8Beispiel: $2 > ^3\sqrt x$ wird zu  8 > x Beispiel: $a > x^4$  wird zu $^4\sqrt a > x$, falls $0\le x$ schon vorausgesetzt wird.Beispiel: $^4\sqrt (x^2 - 1) > -1$ wird zu $x^2 -1 \ge  0$Beispiel: $27 \ge  x^3$  wird zu $3 \ge  x$Beispiel: $16 \ge  x^4$  wird zu $2 \ge  |x|$Beispiel: $16 \ge  x^4$  wird zu $-2 \le  x \le  2$Beispiel: $x^4 \ge  16$  wird zu $|x| \ge  2$Beispiel: $x^4 \ge  16$ wird zu $[-2 \ge  x, x \ge  2]$Beispiel: $2 \ge  ^3\sqrt x$  wird zu $8 \ge  x$Beispiel: $1 \ge  2 ^3\sqrt x$ wird zu  $1 \ge  8x$Beispiel: $^3\sqrt x \ge  2$ wird zu $x \ge  8$Beispiel: $^4\sqrt (x^2 - 1) \ge  -1$ wird zu $x^2 -1 \ge  0$Beispiel: $1/\sqrt x > 0$  wird zu $\sqrt x > 0$Beispiel: $x/\sqrt (x-1) > 0$ wird zu x(x-1) > 0Beispiel: (x-1)/(x-2) > 0 wird zu (x-1)(x-2) > 0Beispiel: $0 > 1/\sqrt x$ wird zu $0 > \sqrt x$Beispiel: $0 > x/\sqrt (x-1)$ wird zu 0 > x(x-1)$0 > ax \pm  b$ genau dann, wenn $0 > a(x\pm b/a)$Beispiel: 0 > (x-1)(x+1) genau dann, wenn -1 < x < 1. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.Beispiel: (x-1)(x+1) > 0 iff x < -1 or 1 < x. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.Beispiel: $1/\sqrt x \ge  0$ wird zu $\sqrt x \ge  0$Beispiel: $x/\sqrt (x-1) \ge  0$ wird zu $x(x-1) \ge  0$Beispiel: $(x-1)/(x-2) \ge  0$ wird zu $(x-1)(x-2) \ge  0$Beispiel: $0 \ge  1/\sqrt x$ wird zu $0 \ge  \sqrt x$Beispiel: $0 \ge  x/\sqrt (x-1)$ wird zu $0 \ge  x(x-1)$$0 \ge  ax \pm  b$ genau dann, wenn $0 \ge  a(x\pm b/a)$Beispiel: $0 \ge  (x-1)(x+1)$ genau dann, wenn $-1 \le  x \le  1$. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.Beispiel: $(x-1)(x+1) \ge  0$ genau dann, wenn $x \le  -1$ or $1 \le  x$. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.Schreibt Term komplett aus ohne ein Summenzeichen zu verwenden. Das kann riesige Ausdrücke erzeugen.Schreibt Term mit Summenzeichen und Binomialkoeffizienten aus.Ersetzt die Binomialkoeffizienten durch Fakultäten.Schreibt Fakultäten gemäß ihrer Definition als Produkt, aber ohne sie auszumultiplizieren.Berechnet den Wert einer Fakultät. Beispiel: 6! = 720.Berechnet den Wert eines Binomialkoeffizienten. Beispiel: (4 2) = 6Schreibt $\sum $ mit + aus. Die Summe muss eine konstante Anzahl von Summanden haben.Berechnet den Wert einer Summe mit exakter rationaler Arithmetik, falls alle Summanden Zahlen sind.Beispiel: $7! = 7\times 6!$Beispiel: $7!/7 = 6!$Beispiel: $7!/6! = 7$Beispiel: $n!/(n-2)! = n(n-1)$Beispiel: $7/7! = 1/6!$Beispiel: $6!/7! = 1/7$Beispiel: $(n-2)!/n! = 1/(n(n-1))$Schreibt eine Summe als dritte Potenz einer Summe, falls möglich.Schreibt eine Summe als dritte Potenz einer Differenz, falls möglich.Schreibt eine Summe als vierte Potenz einer Summe, falls möglich.Schreibt eine Summe als vierte Potenz einer Differenz, falls möglich.Schreibt eine Summe als n-te Potenz einer Summe, falls möglich.Schreibt eine Summe als n-te Potenz einer Differenz, falls möglich.Beispiel: Die Summe über 1 von 1 bis 10 ist 10.Zieht ein Minuszeichen aus einem Summenzeichen raus.Zieht eine Konstante aus einem Summenzeichen raus.Teilt ein Summenzeichen in zwei (oder mehr) Summen auf.Beispiel: Die Summe über $i$ von $i=1$ bis 100 ist 100(101)/2 = 5050.Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen.Die Summe über x^i von $i=0$ bis n hat diese elegante geschlossene Darstellung.Sie werden gefragt, wie viele Summanden explizit ausgeschrieben werden sollen.Sie geben einen Parameterwert ein und anschließend wird die Summe mit exakter rationaler Arithmetik berechnet.Sie geben einen Parameterwert ein und anschließen wird die Summe mit (ungenauer) Dezimalarithmetik berechnet.Berechnet den Wert einer Summe, deren Summanden Zahlen sind, mit exakter Arithmetik. Keine Parameter zulässig.Berechnet den Wert einer Summe, deren Summanden Zahlen sind, mit Dezimalarithmetik. Keine Parameter zulässig.Drückt den Summanden als Polynom in der Indexvariablen aus, falls möglich.Beispiel: Die Summe über 1/(k+1) - 1/k von 1 bis n wird zu 1/(n+1) - 1Beispiel: Eine Summe von k=0 bis n wird in eine Summe von k = 1 bis n+1 umgeformtVor dem Ausmultiplizieren eines Produkts von Summen müssen Sie evtl. eine Variable umbenennen.Formt ein Produkt von Summen in eine Doppelsumme um, wobei das Distributivgesetz verwendet wird.Beispiel: Ändert eine Summe von 1 bis n+1 in eine Summe von 1 bis n plus den letzten Summanden.Formel für die Summe der ersten n KubikzahlenFormel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen zur vierten PotenzVertauscht Differentiation und SummenbildungVertauscht Summenbildung und DifferentiationVertauscht Integration und SummenbildungVertauscht Summenbildung und IntegrationMultipliziert Konstante mal Summe bzw. unendliche Reihe aus.Schreibt eine Summe als einer Differenz von zwei Summen mit Null als unteren Grenzwert der SummationSchreibt eine Summe als einer Differenz von zwei Summen mit einen neuen unteren Grenzwert der Summation.Sie werden aufgefordert, die Induktionsvariable zu wählen.Sie werden aufgefordert, den Wert für den Induktionsanfang festzulegen.Nimmt die Induktionsvoraussetzung an und stellt die Induktionsbehauptung auf.Benutzt die Induktionsvoraussetzung, um die aktuelle Zeile zu vereinfachen.Benutzen Sie dies nach Beendigung des Induktionsschritts, um den Beweis zu beenden.Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'. Beispiel: $sin x^2 \le  x^2$.u < v genau dann, wenn ln u < ln v, vorausgesetzt u > 0.u < v genau dann, wenn log u < log v, vorausgesetzt u > 0.Beispiel: 2 < ln x wird zu e^2 < xBeispiel: ln x < 2 wird zu x < e^2Beispiel: 2 < log x wird zu 10^2 < xBeispiel: log x < 2 wird zu x < 10^2Sie geben die Zahl ? ein, die als Basis der Exponenten verwendet wird.$u \le  v$ genau dann, wenn $ln u \le  ln v$, vorausgesetzt u > 0.$u \le  v$ genau dann, wenn $log u \le  log v$, vorausgesetzt u >0.Beispiel: $2 \le  ln x$ wird zu $e^2 \le  x$Beispiel: $ln x \le  2$ wird zu $x \le  e^2$.Beispiel: $2 \le  log x$ wird zu $10^2 \le  x$.Beispiel: $log x \le  2$ wird zu $x \le  10^2$.u > v genau dann, wenn ln u > ln v, vorausgesetzt u > 0.u > v genau dann, wenn log u > log v, vorausgesetzt u > 0.Beispiel: ln x > 2 wird zu x > e^2.Beispiel: 2 > ln x wird zu e^2 > x.Beispiel: log x > 2 wird zu x > 10^2.Beispiel: 2 > log x wird zu 10^2 > x.$u \ge  v$ genau dann, wenn $ln u \ge  ln v$, vorausgesetzt u > 0$u \ge  v$ genau dann, wenn $log u \ge  log v$, vorausgesetzt u >0Beispiel: $ln x \ge  2$ wird zu $x \ge  e^2$.Beispiel: $2 \ge  ln x$  wird zu $e^2 \ge  x$.Beispiel: $log x \ge  2$ wird zu $x \ge  10^2$.Beispiel: $2 \ge  log x$ wird zu $10^2 \ge  x$.Beispiel: $ n <2 ^ n $ für $ n> M $, für einen bestimmten, aber unbestimmte Zahl $ M $Beispiel: $ln n < \sqrt n$ for $n > M$, für einen bestimmten, aber unbestimmte Zahl $ M $Beispiel: 10^(log 3x)  wird zu 3x.Beispiel: log 100 wird zu 2Es gilt log 1 = 0, da 10^0 = 1 ist.Es gilt log 10 = 1, da 10^1 = 1 ist.Stellt Logarithmen zur Basis 10 durch natürliche Logarithmen dar.Drückt eine Potenz als 10 hoch einen Logarithmus aus.Zerlegt eine ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden). Beispiel: $360 = 2^3\times 3^2\times 5$.Beispiel: $400 = 10^2\times 4$. Faktorisiert nicht vollständig, sondern spaltet nur die 10er Potenzen ab.Beispiel: 10^(2 log x) wird zu x^2.Beispiel:  $log (4/5) = - log (5/4)$Beispiel:  $log(3,4/5) = - log(3, 5/4)$Beispiel:  log x^3 = 3 log xBeispiel:  log 3x = log 3 + log xBeispiel:  log 1/2 = -log 2Beispiel:  log x/2 = log x - log 2Beispiel:  log 2 + log x = log 2xBeispiel:  log x - log 2 = log a/2Beispiel:  log x + log 2 - log 3 =log 2x/3Beispiel:  2 log x = log x^2Beispiel:  $log \sqrt 3 = \onehalf   log 3$Beispiel:  $log ^3\sqrt x = (1/3) log x$Es gilt log 1 = 0, da 10^0 = 1.Sie werden aufgefordert, a einzugeben. Beispiel:  log x = $\onehalf log u^2$Berechnet Logarithmen mit dezimalen Nährungen.Dieses grundlegende Gesetz verbindet den natürlichen Logarithmus und die Exponentialfunktion.Mit Worten: e ist die Basis des natürlichen Logarithmus.Der natürliche Logarithmus von 1 ist 0, da e^0 = 1.Beispiel: ln e^2 = 2Drückt eine beliebige Potenz als $e$ hoch einen natürlichen Logarithmus aus.Vereinfacht einen natürlichen Logarithmus im Exponenten von $e$.Beispiel:  ln x^2 = 2 ln xBeispiel:  ln 2x = ln 2 + ln xBeispiel:  ln 1/2 = -ln 2Beispiel:  ln x/2 = ln x - ln 2Beispiel:  ln (x-1) + ln (x+1) = ln (x-1)(x+1)Beispiel:  ln x - ln 2 = ln x/2Beispiel:  ln x + ln 2 - ln 3 = ln (2x/3)Beispiel:  2 ln x = ln x^2Beispiel:  $ln \sqrt 3 = \onehalf  ln 3$Beispiel:  $ln ^3\sqrt x = (1/3) ln x$Sie werden aufgefordert, a einzugeben. Beispiel: ln (1 + 1/n) = 1/n ln(1+1/n)^nBerechnet natürliche Logarithmen mit dezimalen Näherungen.Beispiel:  $ln (4/5) = - ln (5/4)$Beispiel: $sin x cos(\pi /2) + cos x sin(\pi /2) = sin(x+\pi /2)$Beispiel: $sin x cos(\pi /2) - cos x sin(\pi /2) = sin(x-\pi /2)$Beispiel: $cos x cos(\pi /2) - sin x sin(\pi /2) = cos(x+\pi /2)$Beispiel: $cos x cos(\pi /2) + sin x sin(\pi /2) = cos(x-\pi /2)$Beispiel: (sin 4u)/(1+cos 4u) = tan 2uBeispiel: (1-cos 4u)/sin 4u = tan 2uBeispiel: (1+cos 4u)/sin 4u = cot 2uBeispiel: (sin 4u)/(1-cos 4u) = cot 2uBeispiel: $(tan x + tan \pi /2)/(1-tan x tan \pi /2) = tan(x+\pi /2)$Beispiel: $(tan x - tan \pi /2)/(1+tan x tan \pi /2) = tan(x-\pi /2)$Beispiel: $(cot x cot(\pi /4) - 1)/(cot x + cot \pi /4) = cot(x+\pi /4)$Beispiel: $(1 + cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4 - cot x) = cot(x-\pi /4)$Beispiel: $1-cos(\pi /3)$ becomes $2sin^2 \pi /6$Wandelt x + iy in Polarkoordinatendarstellung $r e^(i\theta )$ um.Drückt eine komplexe Exponentialfunktion durch Kosinus und Sinus aus.Da $e^(i\theta )$ auf dem Einheitskreis liegt, ist der Betrag davon 1.Da $Re^(i\theta )$ auf einem Kreis mit Radius R liegt, ist der Betrag davon R.Wenn das Vorzeichen von R nicht bekannt ist, braucht man den Betrag auf der rechten Seite.Beispiel: $-2 = 2e^(i\pi )$Beispiel: $^3\sqrt (-2) = e^(\pi i/3) ^3\sqrt 2$Beispiel: 2/(3e^t) = 2e^(-t)/3Beispiel: x^3 = 1 wird zu $x = e^(2k\pi i/3)$Beispiel: $x = e^(2k\pi i/3)$ wird zu $[x=1, x=e^(2\pi i/3), x=e^(4\pi i/3)]$Beispiel: 2^(log(2,3)) = 3Der Logarithmus von b zur Basis b ist 1.Der Logarithmus von b^n zur Basis b ist n.Beispiel:  log 2x = log 2 + log xBeispiel:  $log (\onehalf ) = -log 2$Der Logarithmus von 1 zu irgendeiner Basis ist null, da b^0 = 1.Nachdem Sie dies angewendet haben, werden Sie die Basis ändern können.Beispiel:  $log(3^2,x) = \onehalf  log (3,x)$Beispiel:  log x^2 = 2 log xBeispiel:  $log(2, 84) = log(2,2^2\times 21)$Beispiel:  log x - log 2 = log x/2Beispiel: 5^(2 log(5,x)) wird zu x^2Stellt Logarithmen zur Basis b durch natürliche Logarithmen darStellt Logarithmen zur Basis b durch Logarithmen zur Basis 10 dar.Stellt Logarithmen zur Basis b durch Logarithmen zur Basis a dar.Beispiel:  log(3^2,x) = (1/2) log (3,x)Definition von logStellt natürliche Logarithmen durch Logarithmen zur Basis 10 dar.Beispiel: x^5 wird zu 3^5 log(3,x)sin 0 = 0cos 0 = 1tan 0 = 0Sinus wird null bei allen Vielfachen von $\pi $.Kosinus ist 1 bei allen geraden Vielfachen von  $2\pi $.Tangens ist null bei allen Vielfachen von $\pi $.Beispiel:  $sin 370\deg  = sin 10\deg $Beispiel:  $sin 9\pi /4 = sin \pi /4$Beispiele:  $sin 3\pi /2 = -1;  cos 180\deg  = -1;  cot 90\deg  = 0$.Beispiele:  $sin 30\deg  = 1/2;  cos \pi /3 = 1/2;  tan 2\pi /3 = -\sqrt 3$.Beispiele:  $sin 45\deg  = 1/\sqrt 2; tan 3\pi /4 = -1$.$\pi $ Radianten = 180 Grad =  Halbkreis180 Grad = $\pi $ Radianten = HalbkreisBeispiel: $15\deg  = 45\deg  - 30\deg $. Verwenden Sie dies, um $sin 15\deg $ genau zu berechnen.Berechnet Winkelfunktionen mit dezimalen Näherungen.Drückt tan durch sin und cos ausDrückt cot durch tan ausDrückt cot durch sin und cos ausDefinition von secDefinition von scsDefinition von tanDefinition von cotDer Kehrwert vom Sinus ist der Kosekans.Der Kehrwert vom Kosinus ist der Sekans.Der Kehrwert vom Tangens ist der KotangensDer Kehrwert vom Tangens kann durch sin und cos ausgedrückt werden.Der Kehrwert vom Kotangens ist der TangensDer Kehrwert vom Kotangens kann durch sin und cos ausgedrückt werden.Der Kehrwert vom Sekans ist der KosinusDer Kehrwert vom Kosekans ist der Sinus.Der Kehrwert vom Sinus ist der KosekansDrückt tan durch cot ausDiese fundamentale Gleichung ist eigentlich der Satz des Pythagoras in Verkleidung.Verwenden Sie diese Form von $sin^2 u + cos^2 u = 1$, um $1 - sin^2 u$ zu vereinfachen.Verwenden Sie diese Form von  $sin^2 u + cos^2 u = 1$, um $1 - cos^2 u$ zu vereinfachen.Drückt $sin^2$ durch $cos^2$ aus.Drückt $cos^2$ durch $sin^2$ aus.Diese Gleichung können Sie sich merken, indem Sie$sin^2 + cos^2 = 1$ by $cos^2$.Damit können Sie $tan^2 u + 1$ vereinfachen.Damit können Sie $sec^2 u - 1$ vereinfachen.Drückt $sec^2$ durch $tan^2$ aus.Drückt $tan^2$ durch $sec^2$ aus.Beispiel: $sin^5 t = sin t (1-cos^2 t)^2$Beispiel: $cos^5 t = cos t (1-sin^2 t)^2$Beispiel: $tan^5 t = tan (sec^2 t-1)^2$Beispiel: $sec^5 t = sec t (tan^2 t+1)^2$Beispiel: (1-cos t)^2(1+cos t)^2 = sin^4 tBeispiel: (1-sin t)^2(1+sin t)^2 = cos^4 tDiese Gleichung können Sie sich merken, indem Sie $sin^2 + cos^2 = 1 by sin^2$.Vereinfachen Sie damit $cot^2 u + 1$.Vereinfachen Sie damit $csc^2 u - 1$.Drückt $csc^2$ aus durch $cot^2$.Drückt $cot^2$ aus durch $csc^2$.Beispiel: $csc \pi /6 = sec \pi /3$Beispiel: $cot \pi /6 = tan \pi /3$Beispiel: $cot^5 t = cot (csc^2 t-1)^2$Beispiel: $csc^5 t = csc t (cot^2 t+1)^2$Beispiel: $sin(x+\pi /4)= sin x cos \pi /4 + cos x sin \pi /4$Beispiel: $sin(x-\pi /4)= sin x cos \pi /4 - cos x sin \pi /4$Beispiel: $cos(x+\pi /4)= cos x cos \pi /4 - sin x sin \pi /4$Beispiel: $cos(x-\pi /4)= cos x cos \pi /4 + sin x sin \pi /4$Beispiel: $tan(x+\pi /4)=(tan x+tan \pi /4)/(1-tan x tan \pi /4)$Beispiel: $tan(x-\pi /4)=(tan x-tan \pi /4)/(1+tan x tan \pi /4)$Beispiel: $cot(x+\pi /4)=(cot x cot \pi /4-1)/(cot x+cot \pi /4)$Beispiel: $cot(x-\pi /4)=(1+cot x cot \pi /4)/(cot \pi /4-cot x)$Beispiele: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x; $sin 40\deg  = 2 sin 20\deg  sin 20\deg $Beispiele: cos 4x = cos^2 x - sin^2 x; $cos 40\deg  = cos^2 20\deg  - sin^2 20\deg $Drückt $cos 2\theta $ aus durch $sin^2 \theta $.Drückt $cos 2\theta $ aus durch $cos^2 \theta $.Drückt $tan 2\theta $ aus durch $tan \theta $.Drückt $cot 2\theta $ aus durch $cot \theta $.Drückt $sin \theta  cos \theta $ aus durch $sin 2\theta $Drückt $2 sin \theta  cos \theta $ aus durch $sin 2\theta $Drückt $cos^2 \theta  - sin^2 \theta $ durch eine einzige Winkelfunktion aus, $cos(2\theta )$Verwenden Sie dies, um $sin^2$ durch eine einzige Winkelfunktion zu ersetzen.Verwenden Sie dies, um $cos^2$ durch eine einzige Winkelfunktion zu ersetzen.Beispiel: $3\theta  = 2\theta  + \theta $Beispiel: $7\theta  = 3\theta  + 4\theta $; Sie geben die 3 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.Diese Formel für dreifache Winkel erspart Ihnen unter Umständen einige Schritte.Beispiel:  $sin 7\theta  = -sin^7 \theta  + 21 cos^2 \theta  sin^5 \theta  + ...$Beispiel:  $cos 7\theta  = cos^7 \theta  - 21 cos^5 \theta  sin^2 \theta  + ...$Beispiel: x/3 = 3/4 wird zu 4x = 9Beispiel: 3 = x  wird zu x = 3Der angegebene Term wird von der linken auf die rechte Seite gebracht.Der angegebene Term wird von der rechten auf die linke Seite gebracht.Addiert den angegebenen Term zu beiden SeitenSubtrahiert den angegebenen Term von beiden SeitenMultipliziert beide Seiten mit dem angegebenen Term.Beispiel: $1 - sin^2 x + tan x = tan x + cos^2 x$ wird zu $1-sin^2 x = cos^2 x$.Beispiel: $\sqrt (1-sin^2 x) = cos x$  wird zu $1-sin^2 x = cos^2 x$.Beispiel: tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x wird zu tan x  = sin x / cos xBeispiel: tan^3 x = sin^3 x / cos^3 x wird zu tan x  = sin x / cos xSie werden gefragt, welche Funktion angewendet werden soll.Verwenden Sie dies, um eine falsche Gleichung zu widerlegen bzw. um eine Gleichung, die Sie nicht beweisen können, zu testen.Das sind Winkel von $30\deg $ über dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.Das sind Winkel von $30\deg $ unter dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.Das sind alle Winkel oberhalb der x-Achse, die Vielfache von $60\deg $ sind.Das sind alle Winkel unterhalb der x-Achse, die Vielfache von $60\deg $ sind.D.h. plus oder minus $30\deg $.D.h. plus oder minus $30\deg $ vom negativen Abschnitt der x-Achse.D.h. plus oder minus $60\deg $.D.h. plus oder minus $120\deg $.D.h. $30\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $210\deg $ eingeschlossen).D.h. $-30\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $150\deg $ eingeschlossen).D.h. $60\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $240\deg $ eingeschlossen).D.h. $-60\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $120\deg $ eingeschlossen).Das sind Winkel von $45\deg $ über dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.Das sind Winkel von $45\deg $ unter dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.Das sind Winkel von $45\deg $ zur Rechten des positiven bzw. negativen Abschnitts der y-Achse.Das sind Winkel von $45\deg $ zur Linken des positiven bzw. negativen Abschnitts der y-Achse.D.h. $45\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $225\deg $ eingeschlossen).D.h. $-45\deg $ plus Vielfache von $\pi $ (nicht $2\pi $, z.B. ist $135\deg $ eingeschlossen).sin u ist null bei allen Vielfachen von $\pi $.sin u ist 1, wenn u einem Winkel von $\pi /2$ plus ein Vielfaches von $2\pi $ entspricht.sin u ist -1, wenn u einem Winkel von $3\pi /2$ plus ein Vielfaches von $2\pi $ entspricht.cos u ist 0, wenn u ein ungerades Vielfaches von $\pi /2$ ist.cos u =1, wenn u ein Vielfaches von $2\pi $ ist.cos u = -1, wenn u ein ungerades Vielfaches von $\pi $ ist.Beispiel: $tan x^2 = 0$  wird zu $sin x^2 = 0$.Beispiel: $cot x^2 = 0$ wird zu $cos x^2 = 0$.Beispiel: sin x = 3/4  wird zu $x = (-1)^narcsin 3/4 + n\pi $Beispiel: sin x = 3/4  wird zu $[x = arcsin 3/4 + 2n\pi , x = -arcsin 3/4 + (2n+1)\pi ]$Beispiel: cos x = 3/4  wird zu $[x = arccos 3/4+2n\pi , x = -arccos 3/4 + 2n\pi ]$Beispiel: tan x = 3 wird zu $x = arctan 3 + n\pi $Beispiel: $arcsin(\onehalf ) = \pi /6$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden können.Beispiel: $arccos(\onehalf ) = \pi /3$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden können.Beispiel: $arctan 1 = \pi /4$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden können.Wenn cot z = x ist, dann ist tan z = 1/x.Wenn sec z = x ist, dann ist cos z = 1/x.Wenn csc z = x ist, dann ist sin z = 1/x.arcsin ist eine punktsymmetrische Funktionarccos ist zwar nicht punktsymmetrisch, gehorcht aber dieser ziemlich ähnlichen Gleichung.arctan ist eine punktsymmetrische Funktion.Stellt die Lösungen in der Form $c + 2n\pi $ dar, wenn $2\pi $ die Periode ist.Beispiel: sin u = 2 hat keine Lösung.Beispiel: cos u = 2 hat keine Lösung.Wenn $sin \theta  = x$ ist, dann ist $tan \theta  = x/\sqrt (1-x^2)$.Wenn $cos \theta  = x$ ist, dann ist $tan \theta  = \sqrt (1-x^2)/x$.Eigenschaft, durch die arctan definiert ist.Eigenschaft, durch die arcsin definiert ist.Wenn $cos \theta  = x$ ist, dann ist $sin \theta  = \sqrt (1-x^2)$.Wenn $tan \theta  = x$ ist, dann ist $sin \theta   = x/\sqrt (x^2+1)$.Wenn $sin \theta  = x$ ist, dann ist $cos \theta  = \sqrt (1-x^2)$Eigenschaft, durch die arccos definiert istWenn $tan \theta  = x$ ist, dann ist $cos \theta   = 1/\sqrt (x^2+1)$Wenn $sin \theta  = x$ ist, dann ist $sec \theta   = 1/\sqrt (1-x^2)$Wenn $cos \theta  = x$ ist, dann ist $sec \theta  = 1/x$Wenn $tan \theta  = x$ ist, dann ist $sec \theta   = \sqrt (x^2+1)$Beispiel: $arctan (tan \pi /3) = \pi /3$Beispiel: $arcsin(sin \pi /3) = \pi /3$Beispiel: $arccos(cos \pi /5) = \pi /5$c1 ist in Intervallen, wo tan x definiert ist, konstant; eine Integrationskonstante.Der Winkel u mit sin u = x und der Winkel v mit cos v = x sind Komplementwinkel.D.h. die Summe ist $\pm \pi /2$, je nach Vorzeichen von x.Kosinus ist der Sinus des Komplements.Sinus ist der Kosinus des Komplements.Kotangens ist der Tangens des Komplements.Tangens ist der Kotangens des Komplements.Kosekans ist der Sekans des Komplements.Sekans ist der Kosekans des Komplements.Beispiel: $sin (\pi /3) = cos (\pi /6)$Beispiel: $cos (\pi /3) = sin (\pi /6)$Beispiel: $tan (\pi /3) = sin (\pi /6)$Beispiel: $cot (\pi /3) = tan (\pi /6)$Beispiel: $sec (\pi /3) = csc (\pi /6)$Beispiel: $csc (\pi /3) = sec (\pi /6)$Beispiel: $sin (30\deg ) = cos (60\deg )$Beispiel: $cos (30\deg ) = sin (60\deg )$Beispiel: $tan (30\deg ) = sin (60\deg )$Beispiel: $cot (30\deg ) = tan (60\deg )$Beispiel: $sec (30\deg ) = csc (60\deg )$Beispiel: $csc (30\deg ) = sec (60\deg )$Beispiel: $15\deg +10\deg  = (15+10)\deg  = 25\deg $. Es können nur Zahlen direkt addiert werden.Beispiel: $2\times 30\deg  = (2\times 30)\deg  = 60\deg $Beispiel: $60\deg /2 = (30)\deg $Sin ist eine punktsymmetrische Funktion.Cos ist eine achsensymmetrische Funktion.Tan ist eine punktsymmetrische Funktion.Cot ist eine punktsymmetrische Funktion.Sec ist eine achsensymmetrische Funktion.Csc ist eine punktsymmetrische Funktion.Sin^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Cos^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Tan^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Cot^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Sec^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Csc^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.Sin ist periodisch mit Periode $2\pi $. Beispiel: $sin (9\pi /4) = sin (\pi /4)$Cos ist periodisch mit Periode $2\pi $. Beispiel: $cos (9\pi /4) = cos (\pi /4)$Tan ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $tan (3\pi /4) = tan (\pi /4)$Sec ist periodisch mit Periode $2\pi $. Beispiel: $sec (9\pi /4) = sec (\pi /4)$Csc ist periodisch mit Periode $2\pi $. Beispiel: $csc (9\pi /4) = csc (\pi /4)$Cot ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $cot (3\pi /4) = cot (\pi /4)$Sin^2 ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $sin^2 (3\pi /4) = sin^2 (\pi /4)$Cos^2 ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $cos^2 (3\pi /4) = cos^2 (\pi /4)$Sec^2 ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $sec^2 (3\pi /4) = sec^2 (\pi /4)$Csc^2 ist periodisch mit Periode $\pi $. Beispiel: $csc^2 (3\pi /4) = csc^2 (\pi /4)$Beispiel: $sin 200\deg  = -sin 20\deg $Beispiel: $sin 160\deg  = sin 20\deg $Beispiel: $cos 200\deg  = -cos 20\deg $Beispiel: $cos 160\deg  = -cos 20\deg $Drückt $sin^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.Drückt $cos^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.Formt ein Produkt von Winkelfunktionen in eine einzige Winkelfunktion um.Es gibt zwei Formeln für $tan (\theta /2)$. Wählen Sie die geeignetere je nach Kontext.Es gibt zwei Formeln für $cot (\theta /2)$. Wählen Sie die geeignetere, je nach Kontext.Drückt $sin(\theta /2)$ durch $cos \theta $ ausDrückt $cos(\theta /2)$ durch $cos \theta $ ausBeispiel: $60\deg  = 2\times 30\deg $.Die Umkehrung der Doppelwinkelformel.Beispiel: $sin (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [sin(2x)+sin(\pi /2)]$Beispiel: $cos (x+\pi /4) sin (x-\pi /4)  = \onehalf [sin(2x)-sin(\pi /2)]$Beispiel: $sin (x+\pi /4) sin (x-\pi /4) = \onehalf [cos(\pi /2)-cos(2x)]$Beispiel: $cos (x+\pi /4) cos (x-\pi /4) = \onehalf [cos(2x)+cos(\pi /2)]$Schreibt eine Summe von Sinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.Schreibt eine Differenz von Sinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.Schreibt eine Summe von Kosinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.Schreibt eine Differenz von Kosinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.Ersetzt die verschiedenen Ausdrücke innerhalb der Winkelfunktionen durch zwei neue Variablen.Berechnet Ausdrücke ausschließlich unter Verwendung exakter rationaler Arithmetik.%�|�4I:;I!I7I&I$>$>	.@:;'I?
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�.F��4Q�0Apple clang version 14.0.0 (clang-1400.0.29.202)../../Localizer/german/german_ophelp1.c/Applications/Xcode.app/Contents/Developer/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX.sdkMacOSX.sdk/Users/beeson/Dropbox/MathXpert/symsout/svgTesterophelp1char__ARRAY_SIZE_TYPE__arithhelpGerman_ophelpnintnitemsHSAH���������@�>�q&4b�DTd ��2qHSAH����HSAH����HSAH��������0��c �|[s��L_r0�$�c$j$��?�
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