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�� ( � x� H x� __text __TEXT @ H �� � __const __DATA @ P � �� � __cstring __TEXT � �� �
__const __TEXT +� s� __data __DATA 8� U �� 0� � __debug_abbrev __DWARF 8� � �� __debug_info __DWARF �� � � __debug_str __DWARF �� P /� __apple_names __DWARF 7� � � __apple_objc __DWARF �� $ +� __apple_namespac__DWARF � $ O� __apple_types __DWARF +� � s� __compact_unwind__LD �� @ �� � __debug_line __DWARF �� � 8� � 2
� hR �+ P �C �� ���� � � ��C ��_�C �� ���� � � yi��C ��_� $sin 2\theta = 2 sin \theta cos \theta $ $cos 2\theta = cos^2 \theta - sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 1 - 2 sin^2 \theta $ $cos 2\theta = 2 cos^2 \theta - 1$ $cos 2\theta + 1 = 2cos^2 \theta $ $cos 2\theta - 1 = - 2 sin^2 \theta $ $tan 2\theta = 2 tan \theta /(1 - tan^2 \theta )$ $cot 2\theta = (cot^2 \theta -1) / (2 cot \theta )$ $sin \theta cos \theta = \onehalf sin 2\theta $ $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ $cos^2 \theta - sin^2 \theta = cos 2\theta $ $1 - 2 sin^2 \theta = cos 2\theta $ $2 cos^2 \theta - 1 = cos 2\theta $ $n\theta = (n-1)\theta + \theta $ $n\theta = ?\theta +(n-?)\theta $ $sin 3\theta = 3 sin \theta - 4 sin^3 \theta $ $cos 3\theta = -3 cos \theta + 4 cos^3 \theta $ drücke $sin n\theta $ durch $sin \theta $, $cos \theta $ aus drücke $cos n\theta $ durch $sin \theta $, $cos \theta $ aus mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren tausche Seiten bringe ? von links nach rechts bringe ? von rechts nach links addiere ? auf beiden Seiten subtrahiere ? auf beiden Seiten multipliziere beide Seiten mit ? kürze Term auf beiden Seiten beide Seiten potenzieren ziehe Wurzel aus beiden Seiten wende Funktion auf beide Seiten an nummerisch überprüfen Substitution, u = ? $sin(u)=1/2$ genau dann, wenn $u=\pi /6$ oder $5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=-1/2$ genau dann, wenn $u=-\pi /6$ oder $-5\pi /6+2n\pi $ $sin(u)=\sqrt 3/2$ genau dann, wenn $u=\pi /3$ oder $2\pi /3+2n\pi $ $sin(u)=-\sqrt 3/2$ genau dann, wenn $4u=-\pi /3$ oder $-2\pi /3+2n\pi $ $cos(u)=\sqrt 3/2$ genau dann, wenn $u=\pm \pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=-\sqrt 3/2$ genau dann, wenn $u=\pm 5\pi /6 + 2n\pi $ $cos(u)=1/2$ genau dann, wenn $u=\pm \pi /3+2n\pi $ $cos(u)=-1/2$ genau dann, wenn $u=\pm 2\pi /3+2n\pi $ $tan(u)=1/\sqrt 3$ genau dann, wenn $u= \pi /6 + n\pi $ $tan(u)=-1/\sqrt 3$ genau dann, wenn $u= -\pi /6 + n\pi $ $tan(u)=\sqrt 3$ genau dann, wenn $u= \pi /3 + n\pi $ $tan(u)=-\sqrt 3$ genau dann, wenn $u= 2\pi /3 + n\pi $ $sin u = 1/\sqrt 2$, wenn $u=\pi /4$ oder $3\pi /4 + 2n\pi $ $sin u=-1/\sqrt 2$, wenn $u=5\pi /4$ oder $7\pi /4 + 2n\pi $2 $cos u = 1/\sqrt 2$, wenn $u=\pi /4$ oder $7\pi /4 + 2n\pi $ $cos u=-1/\sqrt 2$, wenn $u=3\pi /4$ oder $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = 1, wenn $u= \pi /4$ oder $5\pi /4 + 2n\pi $ tan u = -1, wenn $u=3\pi /4$ oder $7\pi /4 + 2n\pi $ sin u = 0 genau dann, wenn $u = n\pi $ sin u = 1 genau dann, wenn $u = \pi /2+2n\pi $ sin u = -1 genau dann, wenn $u = 3\pi /2+2n\pi $ cos u = 0 genau dann, wenn $u = (2n+1)\pi /2$ cos u = 1 genau dann, wenn $u = 2n\pi $ cos u = -1 genau dann, wenn $u = (2n+1)\pi $ tan u = 0 genau dann, wenn sin u = 0 cot u = 0 genau dann, wenn cos u = 0 sin u=c genau dann, wenn $u= (-1)^narcsin c+n\pi $ sin u=c genau dann, wenn $u=arcsin(c)+2n\pi $ oder $2n\pi +\pi -arcsin(c)$ cos u=c genau dann, wenn $u=\pm arccos c+2n\pi $ tan u=c genau dann, wenn $u=arctan c+n\pi $ berechne arcsin exakt berechne arccos exakt berechne arctan exakt arccot x = arctan (1/x) arcsec x = arccos (1/x) arccsc x = arcsin (1/x) arcsin(-x) = -arcsin x $arccos(-x) = \pi -arccos x$ arctan(-x) = -arctan x bringe Lösungen in periodische Form verwerfe sin u = c, wenn |c|>1 verwerfe cos u = c, wenn |c|>1 $tan(arcsin x) = x/\sqrt (1-x^2)$ $tan(arccos x) = \sqrt (1-x^2)/x$ tan(arctan x) = x sin(arcsin x) = x $sin(arccos x) = \sqrt (1-x^2)$ $sin(arctan x) = x/\sqrt (x^2+1)$ $cos(arcsin x) = \sqrt (1-x^2)$ cos(arccos x) = x $cos(arctan x) = 1/\sqrt (x^2+1)$ $sec(arcsin x) = 1/\sqrt (1-x^2)$ $sec(arccos x) = 1/x$ $sec(arctan x) = \sqrt (x^2+1)$ $arctan(tan \theta ) = \theta $, wenn $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arcsin(sin \theta ) = \theta $, wenn $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$ $arccos(cos \theta ) = \theta $, wenn $0\le \theta \le \pi $ arctan(tan x) = x + c1 arcsin x + arccos x = $\pi /2$ $arctan x + arctan 1/x = \pi x/2|x|$ $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $ $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $ $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(\pi /2-\theta )$ $cos \theta = sin(\pi /2-\theta )$ $tan \theta = cot(\pi /2-\theta )$ $cot \theta = tan(\pi /2-\theta )$ $sec \theta = csc(\pi /2-\theta )$ $csc \theta = sec(\pi /2-\theta )$ $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $ $cos(90\deg -\theta ) = sin \theta $ $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $ $cot(90\deg -\theta ) = tan \theta $ $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $ $csc(90\deg -\theta ) = sec \theta $ $sin \theta = cos(90\deg -\theta )$ $cos \theta = sin(90\deg -\theta )$ $tan \theta = cot(90\deg -\theta )$ $cot \theta = tan(90\deg -\theta )$ $sec \theta = csc(90\deg -\theta )$ $csc \theta = sec(90\deg -\theta )$ $a\deg + b\deg = (a+b)\deg $ $ca\deg = (ca)\deg $ $a\deg /c = (a/c)\deg $ sin(-u) = - sin u cos(-u) = cos u tan(-u) = - tan u cot(-u) = - cot u sec(-u) = sec u csc(-u) = - csc u $sin^2(-u) = sin^2 u$ $cos^2(-u) = cos^2 u$ $tan^2(-u) = tan^2 u$ $cot^2(-u) = cot^2 u$ $sec^2(-u) = sec^2 u$ $csc^2(-u) = csc^2 u$ $sin(u+2\pi ) = sin u$ $cos(u+2\pi ) = cos u$ $tan(u+\pi ) = tan u$ $sec(u+2\pi ) = sec u$ $csc(u+2\pi ) = csc u$ $cot(u+\pi ) = cot u$ $sin^2(u+\pi ) = sin^2 u$ $cos^2(u+\pi ) = cos^2 u$ $sec^2(u+\pi ) = sec^2 u$ $csc^2(u+\pi ) = csc^2 u$ $sin u = -sin(u-\pi )$ $sin u = sin(\pi -u)$ $cos u = -cos(u-\pi )$ $cos u = -cos(\pi -u)$ $sin^2(\theta /2) = (1-cos \theta )/2$ $cos^2(\theta /2) = (1+cos \theta )/2$ $sin^2(\theta ) = (1-cos 2\theta )/2$ $cos^2(\theta ) = (1+cos 2\theta )/2$ $tan(\theta /2) = (sin \theta )/(1+cos \theta )$ $tan(\theta /2) = (1-cos \theta )/sin \theta $ $cot(\theta /2) = (1+cos \theta )/(sin \theta )$ $cot(\theta /2) = sin \theta /(1-cos \theta )$ $sin(\theta /2) = \sqrt ((1-cos \theta )/2)$, wenn $sin(\theta /2)\ge 0$ $sin(\theta /2) = -\sqrt ((1-cos \theta )/2)$, wenn $sin(\theta /2)\le 0$ $cos(\theta /2) = \sqrt ((1+cos \theta )/2)$, wenn $cos(\theta /2)\ge 0$ $cos(\theta /2) = -\sqrt ((1+cos \theta )/2)$, wenn $cos(\theta /2)\le 0$ $\theta = 2(\theta /2)$ $sin x cos x = \onehalf sin 2x$ $sin x cos y = \onehalf [sin(x+y)+sin(x-y)]$ $cos x sin y = \onehalf [sin(x+y)-sin(x-y)]$ $sin x sin y = \onehalf [cos(x-y)-cos(x+y)]$ $cos x cos y = \onehalf [cos(x+y)+cos(x-y)]$ $sin x + sin y = 2 sin \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $sin x - sin y = 2 sin \onehalf (x-y) cos \onehalf (x+y)$ $cos x + cos y = 2 cos \onehalf (x+y) cos \onehalf (x-y)$ $cos x - cos y = -2 sin \onehalf (x+y) sin \onehalf (x-y)$ ersetze u,v für Ausdrücke in trig. Funktionen nummerisch versuchen $lim u\pm v = lim u \pm lim v$ $lim u-v = lim u - lim v$ lim(ta,c) = c (c konstant) lim(ta,t) = a lim cu=c lim u (c konstant) lim -u = -lim u lim uv = lim u lim v $lim u^n = (lim u)^n$ lim c^v=c^(lim v) (c konstant > 0) lim u^v=(lim u)^(lim v) $lim \sqrt u=\sqrt (lim u)$, wenn lim u>0 $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$, wenn n ungerade ist $lim ^n\sqrt u = ^n\sqrt (lim u)$, wenn lim u > 0 lim(ta,f(t))=f(a) (f Polynom) lim |u| = |lim u| lim cu/v = c lim u/v (c konstant) lim c/v = c/lim v (c konstant) lim u/v = lim u/lim v Faktor (x-a)^n im Limes mit xa ausklammern Limes einer rationalen Funktion $a^n/b^n = (a/b)^n$ Bruch rational machen ziehe endliche Grenzwerte, die ungleich null sind, raus Konstante ausklammern multipliziere Zähler und Nenner mit ? teile Zähler und Nenner durch ? lim u/v = lim (u/?) / lim (v/?) (ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$, wenn b>0 $\sqrt a/b = -\sqrt (a/b^2)$, wenn b<0 $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (b>0 oder n ungerade) $^n\sqrt a/b = -^n\sqrt (a/b^n)$ (b<0, n gerade) $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$, wenn $a\ge 0$ $a/\sqrt b = -\sqrt (a^2/b)$, wenn $a\le 0$ $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\ge 0$ oder n ungerade) $a/^n\sqrt b = -^n\sqrt (a^n/b)$ ($a\le 0$, n gerade) L'Hospitalsche Regel berechne Ableitung in einem Schritt lim u ln v = lim (ln v)/(1/u) $lim u (ln v)^n = lim (ln v)^n/(1/u)$ $lim x^(-n) u = lim u/x^n$ lim u e^x = lim u/e^(-x) bringe trig. Funktion in den Nenner lim ?v = lim v/(1/?) bringe auf gemeinsamen Nenner und vereinfache Zähler (sin t)/t 1 für t0 (tan t)/t 1 für t0 (1-cos t)/t 0 für t0 $(1-cos t)/t^2\onehalf $ für t0 lim(t0,(1+t)^(1/t)) = e $(ln(1\pm t))/t \pm 1$ für t0 (e^t-1)/t 1 für t0 (e^(-t)-1)/t -1 für t0 $lim(t0,t^nln |t|)=0 (n > 0)$ lim(t0,cos(1/t))=undefiniert lim(t0,sin(1/t))=undefiniert lim(t0,tan(1/t))=undefiniert lim(t$\pm \infty $,cos t)=undefiniert lim(t$\pm \infty $,sin t)=undefiniert lim(t$\pm \infty $,tan t)=undefiniert (sinh t)/t 1 für t0 (tanh t)/t 1 für t0 (cosh t - 1)/t 0 für t0 (cosh t - 1)/t^21/2 für t0 lim ln u=ln lim u (wenn lim u > 0) lim f(u)=f(lim u), f stetig ändere Grenzwertvariable berechne Grenzwert in einem Schritt lim u^v = lim e^(v ln u) Limes wegen Definitionsbereich der Funktion nicht definiert lim u = e^(lim ln u) Grenzwertsatz: uv0, wenn v0 & $|u|\le c$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$ lim u/v = Grenzwert der führenden Ausdrücke führender Ausdruck: lim(u+a)=lim(u), wenn a/u0 ersetze Summe durch führenden Ausdruck f(undefiniert) = undefiniert lim(e^u) = e^(lim u) lim(ln u) = ln(lim u) $lim(t0+,t ln t) = 0$ $lim(t0+,t^n ln t) = 0, wenn n\ge 1$ $lim(t0+,t (ln t)^n) = 0, wenn n\ge 1$ $lim(t0+,t^k (ln t)^n) = 0, wenn k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t) = 0$ $lim(t\infty ,ln(t)^n/t) = 0, wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)/t^n) = 0, wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,ln(t)^k/t^n) = 0, wenn k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,t/ln(t)) = \infty $ $lim(t\infty ,t/ln(t)^n) = \infty , wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)) = \infty , wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n/ln(t)^k) = \infty , wenn k,n\ge 1$ $lim(t\infty ,1/t^n) = 0, wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,t^n) = \infty , wenn n\ge 1$ $lim(t\infty ,e^t) = \infty $ $lim(t-\infty ,e^t) = 0$ $lim(t\infty ,ln t) = \infty $ $lim(t\infty ,\sqrt t) = \infty $ $lim(t\infty ,^n\sqrt t) = \infty $ $lim(t\pm \infty ,arctan t) = \pm \pi /2$ $lim(t\infty ,arccot t) = 0$ $lim(t-\infty ,arccot t) = \pi $ $lim(t\pm \infty ,tanh t) = \pm 1$ $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/(\sqrt u+v)$ lim sin u = sin(lim u) lim cos u = cos(lim u) wandle einen Limes gegen unendlich in einen Limes gegen 0 um $lim(1/u^2^n) = \infty $, wenn u0 lim(1/u^n) undefiniert für u0, n ungerade lim(ta+,1/u^n) = $\infty $, wenn u0 lim(ta-,1/u^n)=-$\infty $, u0, n ungerade lim u/v undefiniert für lim v =0, lim u #0 lim(t0+,ln t) = -$\infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,tan t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,cot t) = \pm \infty $ $lim(t(2n+1)\pi /2\pm ,sec t) = \pm \infty $ $lim(tn\pi \pm ,csc t) = \pm \infty $ lim(uv) = lim(u/?) lim(?v) lim(uv) = lim(?u) lim(v/?) $\pm \infty $/positiv = $\pm \infty $ nichtnull/$\pm \infty $ = 0 positiv$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty $ + endlich = $\pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $, wenn u > 1 $u^\infty = 0$, wenn 0 < u < 1 $u^(-\infty ) = 0$, wenn u > 1 $u^(-\infty ) = \infty $, wenn 0 < u < 1 $\infty ^n = \infty $, wenn n > 0 $\infty - \infty =$ undefiniert $a/0+ = \infty $, wenn $a>0$ $a/0- = -\infty $, wenn $a>0$ a/0 = undefiniert $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0$ = undefiniert $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty $, wenn $a > 0$ $a/0^2 = -\infty $, wenn $a < 0$ $a/0^2^n = \infty $, wenn $a > 0$ $a/0^2^n = -\infty $, wenn $a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ Grenzwert trig. Funktionen bei $\infty $ undefiniert $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ dc/dx=0 (c unabhängig von x) dx/dx = 1 $d/dx (u \pm v) = du/dx \pm dv/dx$ d/dx (-u) = -du/dx d/dx(cu)=c du/dx (c unabhängig x) d/dx x^n = n x^(n-1) differenziere Polynom f'(x) = d/dx f(x) $$diff(f,x) = lim(h->0,(f(x+h)-f(x))/h)$$ d/dx (cu) = c du/dx (c indep of x) d/dx (u/c)=(1/c)du/dx (c ind of x) d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) d/dx (1/v) = -(dv/dx)/v^2 d/dx (u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/v^2 $d/dx \sqrt x = 1/(2\sqrt x)$ $d/dx ^n\sqrt x = d/dx x^(1/n)$ $d/dx (c/x^n) = -nc/x^(n+1)$ d/dx |x| = x/|x| d/dx sin x = cos x d/dx cos x = - sin x d/dx tan x = sec^2 x d/dx sec x = sec x tan x d/dx cot x = - csc^2 x d/dx csc x = - csc x cot x d/dx e^x = e^x d/dx c^x = (ln c) c^x, c konstant d/dx u^v= (d/dx) e^(v ln u) d/dx ln x = 1/x d/dx ln |x| = 1/x dy/dx = y (d/dx) ln y d/dx e^u = e^u du/dx d/dx c^u=(ln c)c^u du/dx, c konstant d/dx ln u = (1/u)(du/dx) d/dx ln |u| = (1/u) du/dx d/dx ln(cos x) = -tan x d/dx ln(sin x) = cot x $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-u^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ d/dx u^n = nu^(n-1) du/dx $d/dx \sqrt u = (du/dx)/(2\sqrt u)$ d/dx sin u = (cos u) du/dx d/dx cos u = -(sin u) du/dx $d/dx tan u = (sec^2 u) du/dx$ d/dx sec u=(sec u tan u) du/dx $d/dx cot u = -(csc^2 u) du/dx$ d/dx csc u=-(csc u cot u) du/dx d/dx |u| = (u du/dx)/|u| d/dx f(u) = f'(u) du/dx Substitution, $u = ?$ eliminiere definierte Variable betrachte Punkte, wo f'(x)=0 betrachte Endpunkte des Intervalls Punkte, wo f'(x) nicht definiert ist betrachte Grenzwerte an offenen Enden verwerfe Punkt außerhalb des Intervalls Wertetabelle mit dezimalen y-Werten erstellen Wertetabelle mit exakten y-Werten erstellen maximale Werte auswählen minimale Werte auswählen löse einfache Gleichung ganzzahligen Parameter eliminieren Funktion ist konstant berechne Ableitung vereinfachen differenziere die Gleichung beseitige Ableitung durch Substitution vereinfache Summe und Produkte beseitige Doppelbrüche bringe auf gemeinsamen Nenner und vereinfache gemeinsamen Term ausklammern Ausdruck (keine ganze Zahl) faktorisieren ausmultiplizieren und vereinfachen zeige gemeinsamen Faktor in u/v schreibe als Polynom (in ?) als Polynom ausdrücken den Leitkoeffizienten 1 machen $x^(1/2) = \sqrt x$ Brüche im Exponenten in Wurzeln umwandeln Wurzeln in Brüche im Exponenten umwandeln u=v => du/dx = dv/dx $d^2u/dx^2 = (d/dx)(du/dx)$ $d^nu/dx^n= d/dx d^(n-1)u/dx^(n-1)$ $d/dx du/dx = d^2u/dx^2$ $d/dx d^nu/dx^n = d^(n+1)/dx^(n+1)$ berechne nummerisch an einem Punkt $\int 1 dt = t$ $\int c dt = ct$ (c konstant) $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt$ (c konstant) $\int (-u)dt = -\int u dt$ $\int u+v dt = \int u dt + \int v dt$ $\int u-v dt = \int u dt - \int v dt$ $\int au\pm bv dt = a\int u dt \pm b\int v dt$ $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n # -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n # 0)$ integriere Polynom $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Integrand ausmultiplizieren $(a+b)^n$ im Integranden ausmultiplizieren $\int |t| dt = t|t|/2$ $\int sin t dt = -cos t$ $\int cos t dt = sin t$ $\int tan t dt = -ln |cos t|$ $\int cot t dt = ln |sin t|$ $\int sec t dt = ln |sec t + tan t|$ $\int csc t dt = ln |csc t - cot t|$ $\int sec^2 t dt = tan t$ $\int csc^2 t dt = -cot t$ $\int tan^2 t dt = tan t - t$ $\int cot^2 t dt = -cot t - t$ $\int sec t tan t dt = sec t$ $\int csc t cot t dt = -csc t$ $\int sin ct dt = -(1/c) cos ct$ $\int cos ct dt = (1/c) sin ct$ $\int tan ct dt = -(1/c) ln |cos ct|$ $\int cot ct dt = (1/c) ln |sin ct|$ $\int sec ct dt = (1/c) ln |sec ct + tan ct|$ $\int csc ct dt = (1/c) ln |csc ct - cot ct|$ $\int sec^2 ct dt = (1/c) tan ct$ $\int csc^2 ct dt = -(1/c) cot ct$ $\int tan^2 ct dt = (1/c) tan ct - t$ $\int cot^2 ct dt = -(1/c) cot ct - t$ $\int sec ct tan ct dt = (1/c) sec ct$ $\int csc ct cot ct dt = -(1/c) csc ct$ $\int e^t dt = e^t$ $\int e^ct dt =(1/c) e^(ct)$ $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-ct)dt = -(1/c) e^(-ct)$ $\int e^(t/c)dt = c e^(t/c)$ $\int c^t dt = (1/ln c) c^t$ $\int u^v dt = \int (e^(v ln u) dt$ $\int ln t = t ln t - t$ $$integral(e^(-t^2),t) = sqrt(pi)/2 Erf(t)$$ wähle Substitution u = ? Computer wählt Substitution u zeige wieder das Integral an Integrand = $f(u) \times du/dx$ $\int f(u) (du/dx) dx = \int f(u) du$ integriere durch Substitution (u = ?) integriere durch Substitution $\int u dv = uv - \int v du (u = ?)$ $\int u dv = uv - \int v du$ setze aktuelle Zeile = ursprüngliches Integral ursprüngliches Integral auf linke Seite berechne einfaches Integral $$integral(f'(x),x,a,b)=f(b)-f(a)$$ $$diff(integral(f(t),t,a,x),x) = f(x)$$ $$eval(f(t),t,a,b) = f(b) - f(a)$$ $$eval(ln f(t),t,a,b) = ln(f(b)/f(a))$$ $$integral(u,t,a,b) = - integral(u,t,b,a)$$ $$integral(u,t,a,b) + integral(u,t,b,c) = integral(u,t,a,c)$$ $$integral(u,t,a,c) = integral(u,t,a,?) + integral(u,t,?,c)$$ teile $\int |f(t)| dt$ bei den Nullstellen von f berechne Integral mit Parameter nummerisch berechne Integral nummerisch $$integral(u,t,a,a) = 0$$ $$integral(u,x,a,infinity) = lim(t->infinity,integral(u,x,a,t))$$ $$integral(u,x,-infinity,b) = lim(t->-infinity,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->a+,integral(u,x,t,b))$$ $$integral(u,x,a,b) = lim(t->b-,integral(u,x,a,t))$$ Grenzwert des Integranden bei $\infty $ ist nicht null Grenzwert des Integranden bei $-\infty $ ist nicht null $$integral(u,t,-a,a) = 0$$ (u punktsymmetrisch) $$integral(u,t,-a,a) = 2 integral(u,t,0,a)$$ (u achsensymmetrisch) $x = a sin \theta $ {für $\sqrt (a^2-x^2)}$ $x = a tan \theta $ {für $\sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a sec \theta $ {für $\sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a sinh \theta $ {für $\sqrt (a^2+x^2)}$ $x = a cosh \theta $ {für $\sqrt (x^2-a^2)}$ $x = a tanh \theta $ {für $\sqrt (a^2-x^2)}$ definiere inverse Substitution x = ? berechne einfaches Integral in einem Schritt $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$ im Integranden $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$ im Integranden verwende erst $sin^2=1-cos^2$, dann substituiere u=cos x verwende erst $cos^2=1-sin^2$, dann substituiere u=sin x verwende erst $sec^2=1+tan^2$, dann substituiere verwende erst $csc^2=1+cot^2$, dann substituiere verwende erst $tan^2=sec^2-1$, dann substituiere u=sec x verwende erst $cot^2=csc^2-1$, dann substituiere u=csc x $tan^2 x = sec^2 x - 1$ im Integranden $2cot^2 x = csc^2 x - 1$ im Integranden reduziere $\int sec^n x dx$ reduziere $\int csc^n x dx$ u = tan(x/2) (Weierstraß Substitution) multipliziere Zähler und Nenner mit 1+cos x multipliziere Zähler und Nenner mit 1-cos x multipliziere Zähler und Nenner mit 1+sin x multipliziere Zähler und Nenner mit 1-sin x multipliziere Zähler und Nenner mit sin x+cos x multipliziere Zähler und Nenner mit cos x-sin x Polynomdivision faktorisiere Nenner (falls einfach) quadratfreie Faktorisierung faktorisiere Polynom nummerisch zerlege in Partialbrüche quadratische Ergänzung $\int 1/(ct\pm b) dt = (1/c) ln |ct\pm b|$ $\int 1/(ct\pm b)^(n+1) dt = -1/nc(ct\pm b)^n$ $\int 1/(t^2+a^2)dt=(1/a)arctan(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/a)arccoth(t/a)$ $\int 1/(t^2-a^2)dt=(1/2a)ln|(t-a)/(t+a)|$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/a)arctanh(t/a)$ $\int 1/(a^2-t^2)dt=(1/2a)ln|(t+a)/(a-t)|$ $\int 1/\sqrt (a^2-t^2)dt = arcsin(t/a)$ $\int 1/\sqrt (t^2\pm a^2)dt)=ln|t+\sqrt (t^2\pm a^2)|$ $\int 1/(t\sqrt (t^2-a^2))dt=(1/a)arccos(t/a)$ Substitution, die den Integranden rational macht $\int arcsin z dz = z arcsin z + \sqrt (1-z^2)$ $\int arccos z dz = z arccos z - \sqrt (1-z^2)$ $\int arctan z dz = z arctan z - (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccot z dz = z arccot z + (1/2)ln(1+z^2)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arccsc z dz = z arccsc z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z-ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z>0)$ $\int arcsec z dz = z arcsec z+ln(z + \sqrt (z^2-1)) (z<0)$ Integration durch Substitution ziehe Zahl mit der Integrationskonstanten zusammen $\int sinh u du = cosh u$ $\int cosh u du = sinh u$ $\int tanh u du = ln cosh u$ $\int coth u du = ln sinh u$ $\int csch u du = ln tanh(u/2)$ $\int sech u du = arctan (sinh u)$ $$1/(1-x) = sum(x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...$ $1/(1-x) = 1+x+x^2+...x^n...$ $$1/(1+x) = sum((-1)^n x^n,n,0,infinity)$$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...$ $1/(1+x) = 1-x+x^2+...(-1)^nx^n...$ $$sum(x^n,n,0,infinity)=1/(1-x)$$ $1+x+x^2+... = 1/(1-x)$ $1+x+x^2+...x^n...= 1/(1-x)$ $$sum((-1)^n x^n,n,0,infinity) = 1/(1+x)$$ $1-x+x^2+... = 1/(1+x)$ $1-x+x^2+...(-1)^nx^n... = 1/(1+x)$ $$x/(1-x) = sum(x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1-x) = x+x^2+x^3+...$ $x/(1-x) = x+x^2+...x^n...$ $$x/(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)$$ $x/(1+x) = x-x^2+x^3+...$ $x/(1+x) = x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...$ $$sum(x^n,n,1,infinity)=x/(1-x)$$ $x+x^2+x^3+...=x/(1-x)$ $x+x^2+...x^n...=x/(1-x)$ $$sum((-1)^(n+1) x^n,n,1,infinity)=x/(1+x) $$ $x-x^2+x^3+...=x/(1+x) $ $x-x^2+...(-1)^(n+1)x^n...=x/(1+x) $ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1-x^k) = sum(x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1-x^k) = sum(x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1-x^k)$$ $$sum(x^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1-x^k)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,-3)$$ $$1/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn),n,0,infinity,2)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,-3)$$ $$x^m/(1+x^k) = sum((-1)^n x^(kn+m),n,0,infinity,2)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,-3)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(kn),n,0,infinity,2)=1/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,-3)=x^m/(1+x^k)$$ $$sum((-1)^nx^(m+kn),n,0,infinity,2)=x^m/(1+x^k)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1-x) = sum(x^n,n,k,infinity,2)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3)$$ $$x^k/(1+x) = sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1-x)$$ $$sum(x^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1-x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,-3) = x^k/(1+x)$$ $$sum((-1)^nx^n,n,k,infinity,2) = x^k/(1+x)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1-x) = -sum(x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)$$ $$ln(1+x) = sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity) = -ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,-3)=-ln(1-x)$$ $$sum(x^n/n,n,1,infinity,2)=-ln(1-x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,-3)=ln(1+x)$$ $$sum((-1)^(n+1) x^n/n,n,1,infinity,2)=ln(1+x)$$ $$ sin x = sum( (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity)$$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...$ $sin x = x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+...$ $$cos x = sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity)$$ $cos x = 1-\onehalf x^2+x^4/4! + ...$ $cos x = 1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+...$ $$sum((-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!,n,0,infinity) = sin x$$ $x-x^3/3!+x^5/5!+... = sin x$ $x-x^3/3!+x^5/5!+...+ (-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+... = sin x$ $$sum( (-1)^n x^(2n)/(2n)!,n,0,infinity) = cos x$$ $1-\onehalf x^2+x^4/4! + ... = cos x$ $1-\onehalf x^2+...+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+... = cos x$ $$e^x = sum(x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^x = 1+x+x^2/2!+...$ $e^x = 1+x+...+x^n/n!...$ $$sum(x^n/n!,n,0,infinity)= e^x$$ $1+x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^x$ $1+x+...+x^n/n!... = e^x$ $$e^(-x) = sum((-x)^n x^n/n!,n,0,infinity)$$ $e^(-x) = 1-x+x^2/2!+...$ $e^(-x) = 1-x+...(-1)^nx^n/n!...$ $$sum((-1)^nx^n/n!,n,0,infinity)= e^(-x)$$ $1-x+x^2/2!+ x^3/3!+... = e^(-x)$ $1-x+...+(-1)^nx^n/n!... = e^(-x)$ $$arctan x = sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity)$$ $arctan x = x -x^3/3 + x^5/5 ...$ $arctan x = x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...$ $$sum(x^(2n+1)/(2n+1),n,0,infinity) = arctan x$$ $x -x^3/3 + x^5/5 ...=arctan x$ $x -x^3/3 +...+ x^(2n+1)/(2n+1)+...=arctan x$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)$$ $$(1+x)^alpha = sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,-3)= (1+x)^alpha$$ $$sum(binomial(alpha,n) x^n,n,0,infinity,2)= (1+x)^alpha$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$tan x = sum((-1)^(n-1) (2^(2n)(2^(2n)-1) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,-3)$$ $$x cot x = sum((-1)^n (2^(2n) bernoulli(2n))/(2n)! x^(2n-1),n,0,infinity,2)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$x/(e^x-1) = 1-x/2 + sum(( bernoulli(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$sec x = sum( (-1)^n (eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,-3)$$ $$sec x = sum(( eulernumber(2n))/((2n)!) x^(2n),n,1,infinity,2)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-3)$$ $$zeta(s) = sum(1/n^s,n,1,infinity,-2)$$ $$sum((-1)^n/n,n,1,infinity) = ln 2$$ schreibe Reihe als $a_0 + a_1 + ...$ schreibe Reihe als $a_0 + a_1 + a_2 + ... $ schreibe Reihe mit ... und allgemeinem Ausdruck für die Reihenglieder schreibe Reihe mit Summenzeichen zeige ein weiteres Glied vor ... zeige ? weitere Glieder vor ... zeige Glieder mit berechneten Fakultäten berechne Fakultäten in den Gliedern nicht zeige Koeffizienten in Dezimaldarstellung zeige nicht die Dezimaldarstellung der Koeffizienten Teleskopreihe multipliziere Reihen multipliziere Potenzreihen teile Potenzreihe durch Polynom teile Polynom durch Potenzreihe teile Potenzreihen quadriere Reihe quadriere Potenzreihe schreibe $(\sum a_k x^k)^n$ als Reihe addiere Reihen subtrahiere Reihen spalte die ersten paar Glieder ab verringere untere Grenze durch anschließendes Abziehen der dazu gekommenen Glieder addiere ? zur Laufvariable subtrahiere ? von der Laufvariable Laufvariable umbenennen $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ differenziere Potenzreihe gliedweise $\sum du/dx = d/dx \sum u$ integriere Potenzreihe gliedweise $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ berechne Summe der ersten paar Glieder $$u = integral(diff(u,x),x)$$ $$u = integral(diff(u,t),t,0,x) + u0$$ $$u = diff(integral(u,x),x)$$ löse nach Integrationskonstante auf $\sum a_k = \sum a_(2k) + \sum a_(2k+1)$ $\sum u$ divergiert, wenn $lim u$ nicht null ist Integralkriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Majorantenkriterium Minorantenkriterium Grenzwertkriterium Verdichtungskriterium Ergebnis des Divergenztests Ergebnis des Integralkriteriums Ergebnis des Quotientenkriteriums Ergebnis des Wurzelkriteriums Ergebnis des Majorantenkriteriums Ergebnis des Minorantenkriteriums Ergebnis des Grenzwertkriteriums Ergebnis des Verdichtungskriteriums $$sum(1/k,k,1,infinity) = infinity$$ $$sum(1/k^2,k,1,infinity) = pi^2/6$$ $$sum(1/k^s,k,1,infinity) = zeta(s)$$ $$zeta(2k) = (2^(2k-1) abs(bernoulli(2k)) pi^(2k))/factorial(2k)$$ $ln(u+iv) = ln(re^(i\theta ))$ $ln(re^(i\theta ))=ln r + i\theta (-\pi <\theta \le \pi )$ $ln i = i\pi /2$ $ln(-1) = i\pi $ $ln(-a) = ln a + i\pi (a > 0)$ $cos \theta = [e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2$ $sin \theta = [e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i$ $$sqrt(re^(i theta))=sqrt(r) e^(i theta/2)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $$root(n,re^(i theta))=root(n,r) e^(i theta/n)$$ $ (-\pi < \theta \le \pi )$ $e^(i\theta ) = cos \theta + i sin \theta $ $e^(x+iy) = e^x cos y + i e^x sin y$ $e^(i\pi ) = -1$ $e^(-i\pi ) = -1$ $e^(2n\pi i) = 1$ $e^((2n\pi + \theta )i) = e^(i\theta )$ $u^v = e^(v ln u)$ sin(it) = i sinh t cos(it) = cosh t cosh(it) = cos t sinh(it) = i sin t tan(it) = i tanh t cot(it) = -i coth t tanh(it) = i tan t coth(it) = -i cot t cos t + i sin t = e^(it) cos t - i sin t = e^(-it) $[e^(i\theta ) + e^(-i\theta )]/2 = cos \theta $ $[e^(i\theta ) - e^(-i\theta )]/2i = sin \theta $ $e^(i\theta ) + e^(-i\theta ) = 2 cos \theta $ $e^(i\theta ) - e^(-i\theta ) = 2i sin \theta $ cosh u = (e^u+e^(-u))/2 e^u + e^-u = 2 cosh u sinh u = (e^u-e^(-u))/2 e^u-e^(-u) = 2 sinh u [e^u + e^-u]/2 = cosh u [e^u-e^(-u)]/2 = sinh u cosh(-u) = cosh u sinh(-u) = -sinh u cosh u + sinh u = e^u cosh u - sinh u = e^(-u) cosh 0 = 1 sinh 0 = 0 e^x = cosh x + sinh x e^(-x) = cosh x - sinh x $sinh^2u + 1 = cosh^2 u$ $cosh^2 u - 1 = sinh^2u $ $cosh^2 u - sinh^2u = 1$ $cosh^2 u = sinh^2u + 1$ $sinh^2u = cosh^2 u - 1$ $1 - tan^2u = sech^2u$ $1 - sech^2u = tan^2u$ tanh u = sinh u / cosh u sinh u / cosh u = tanh u coth u = cosh u / sinh u cosh u / sinh u = coth u sech u = 1 / cosh u 1 / cosh u = sech u csch u = 1 / sinh u 1 / sinh u = csch u $tanh^2 u + sech^2 u = 1$ $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$ $sech^2 u = 1 - tanh^2 u $ $sinh(u\pm v)=sinh u cosh v \pm cosh u sinh v$ $cosh(u\pm v)=cosh u cosh v \pm sinh u sinh v$ sinh 2u = 2 sinh u cosh u $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$ $tanh(ln u) = (1-u^2)/(1+u^2)$ $arcsinh x = ln(x + \sqrt (x^2+1))$ $arccosh x = ln(x + \sqrt (x^2-1))$ $arctanh x = (1/2) ln((1+x)/(1-x))$ $sinh(asinh x) = x$ $cosh(acosh x) = x$ $tanh(atanh x) = x$ $coth(acoth x) = x$ $sech(asech x) = x$ $csch(acsch x) = x$ d/du sinh u = cosh u d/du cosh u = sinh u $d/du tanh u = sech^2 u$ $d/du coth u = -csch^2 u$ d/du sech u = -sech u tanh u d/du csch u = -csch u coth u d/du ln sinh u = coth u d/du ln cosh u = tanh u $d/du arcsinh u = 1/\sqrt (u^2+1)$ $d/du arccosh u = 1/\sqrt (u^2-1)$ $d/du arctanh u = 1/(1-u^2)$ $d/du arccoth u = 1/(1-u^2)$ $d/du arcsech u= -1/(u\sqrt (1-u^2))$ $d/du arccsch u= -1/(|u|\sqrt (u^2+1))$ sg(x) = 1 für x > 0 sg(x) = -1 für x < 0 sg(0) = 0 sg(-x) = -sg(x) -sg(x) = sg(-x) sg(x) = |x|/x (x ungleich null) sg(x) = x/|x| (x ungleich null) abs(x) = x sg(x) $sg(x)^(2n) = 1$ sg(x)^(2n+1) = sg(x) 1/sg(x) = sg(x) d/dx sg(u) = 0 (u ungleich null) $\int sg(x) = x sg(x)$ $\int sg(u)v dx = sg(u)\int v dx$ (u ungleich null) sg(x) = 1 unter der Voraussetzung x > 0 sg(x) = -1 unter der Voraussetzung x < 0 $sg(au) = sg(u)$, wenn $a > 0$ $sg(au) = -sg(u)$, wenn $a < 0$ sg(au/b) = sg(u), wenn a/b > 0 sg(au/b) = - sg(u), wenn a/b < 0 sg(x^(2n+1)) = sg(x) sg(1/u) = sg(u) sg(c/u) = sg(u), wenn c > 0 u sg(u) = |u| |u| sg(u) = u d/dx J0(x) = -J1(x) d/dx J1(x) = J0(x) - J1(x)/x d/dx J(n,x)=J(n-1,x)-(n/x)J(n,x) d/dx Y0(x) = -Y1(x) d/dx Y1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x d/dx Y(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x) d/dx I0(x) = -I1(x) d/dx I1(x) = I0(x) - I1(x)/x d/dx I(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x) d/dx K0(x) = -K1(x) d/dx K1(x) = -K0(x) - K1(x)/x d/dx K(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x) umformen multipliziere, wenn dadurch Terme wegfallen kürze Quadratwurzeln nummerische Berechnung Zahl in anderer Form darstellen Komplexe Arithmetik Summen vereinfachen Produkte vereinfachen Ausmultiplizieren Brüche Brüche mit Vorzeichen Doppelbrüche Gemeinsame Nenner Exponenten Potenzen ausschreiben Negative Exponenten Quadratwurzeln Erweiterte Quadratwurzeln Brüche im Exponenten N-te Wurzeln Wurzeln von Wurzeln Wurzeln und Brüche Komplexe Zahlen Faktorzerlegung Erweiterte Faktorzerlegung Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen Gleichungen nummerisch betrachten Erweiterte Gleichungen Kubische Gleichungen Gleichungen mit Logarithmus- bzw. Exponentialfunktionen Cramersche Regel Mehrere lineare Gleichungen Nur Auswahl-Modus Lineare Gleichungen durch Auswahl der Ausdrücke Gleichungen durch Substitution Matrixmethoden Erweiterte Matrixmethoden Betrag einer Zahl Ungleichungen mit Betrag Strikte Ungleichungen Ungleichungen Ungleichungen mit quadratischen Ausdrücken Ungleichungen mit reziproken Ausdrücken Wurzel- und Potenzungleichungen Ungleichungen--eine Seite null Binomischer Lehrsatz Faktorisieren von Ausdrücken, die durch binomischen Lehrsatz erzeugt wurden Summenzeichennotation Erweiterte Summenzeichennotation Beweise durch vollständige Induktion Trig. Ungleichungen Ungleichungen mit Logarithmen und Potenzen Logarithmen zur Basis 10 Logarithmen Natürliche Logarithmen und e Natürliche Logarithmen Additionstheoreme für die trig. Umkehrfunktionen Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten Logarithmen zu beliebiger Basis Basis von Logarithmen ändern Winkelfunktionen berechnen Grundlagen der Trigonometrie Reziproke Winkelfunktionen Formeln für Quadrate von Winkelfunktionen Formeln für csc und cot Additionstheoreme für Winkelfunktionen Doppelwinkelformeln sin nx bzw. cos nx umformen Identitäten überprüfen Lösung durch 30-60-90 Lösung durch 45-45-90 Nullstellen der Winkelfunktionen Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen vereinfachen Addition von Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen Trigonometrische Kofunktionen Komplementwinkel in Grad Punktsymmetrische bzw. achsensymmetrische Winkelfunktionen Periodizität der Winkelfunktionen Halbwinkelformeln Identische Gleichungen für Produkte und Faktoren Grenzwerte Grenzwerte von Quotienten Grenzwerte von Quotienten von Wurzeln Besondere Grenzwerte Grenzwerte hyperbolischer Funktionen Erweiterte Grenzwerte Logarithmische Grenzwerte Grenzwerte im Unendlichen Unendliche Grenzwerte Unendlich Nenner ist null Funktionen im Unendlichen Ableitung von Polynomen Ableitungen Ableitungen von Winkelfunktionen Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktion Ableitungen von Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen Kettenregel Extremwerte Ableitung implizit gegebener Funktionen Zeitabhängige Funktionen Vereinfachen Höhere Ableitungen Grundlagen der Integration Integration von Winkelfunktionen Integration von Winkelfunktionen mit ct als Argument Integration von Exponentialfunktion und natürlichem Logarithmus Partielle Integration Hauptsatz Bestimmte Integration Uneigentliche Integrale Punkt- bzw. achsensymmetrische Integranden Inverse Substitutionen Trigonometrische Integrale Trigonometrischen Integranden vereinfachen Integration rationaler Funktionen Integration von Funktionen mit Quadratwurzel im Nenner Integration von Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen Integration hyperbolischer Funktionen Geometrische Reihe Geometrische Reihe 2 Geometrische Reihe 3 Geometrische Reihe 4 Geometrische Reihe 5 Unendliche Reihe für den Logarithmus Unendliche Reihe für sin und cos Exponentialreihe Unendliche Reihe für arctan Unendliche Reihe für tan und cot Darstellung von Reihen Algebraische Operationen auf Reihen Rechnen mit unendlichen Reihen Konvergenzkriterien Finish Convergence Tests Komplexe Funktionen Identische Gleichungen für komplexe Funktionen Hyperbolischer Sinus und Kosinus Identische Gleichungen der hyperbolischen Winkelfunktionen Hyperbolische Funktionen Umkehrfunktionen hyperbolischer Funktionen Ableitungen hyperbolischer Funktionen Ableitungen hyperbolischer Umkehrfunktionen Sg Funktion Sg Funktion vereinfachen Bessel-Funktionen Modifizierte Bessel-Funktionen Vom Benutzer definierte Funktionen Unsichtbar Auch unsichtbar und dieses auch Arithmetik %�|� 4 I: ; I ! 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