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__text __TEXT l � � � __const __TEXT l d __cstring __TEXT w z o __data __DATA �z ) � 8� � __debug_abbrev __DWARF �� � �� __debug_info __DWARF � � � H� __debug_str __DWARF � ; � __apple_names __DWARF -� t %� __apple_objc __DWARF �� $ �� __apple_namespac__DWARF Ŧ $ �� __apple_types __DWARF � � � __compact_unwind__LD p� h� h� __debug_line __DWARF �� � �� p� 2
x� b � �$ P ` ` a �� �{��C �� �H
�R� ��@��@� k
T ��� � � �� � �@��@� k �� � �@��{A��� ��_�Arithmetik Dezimalrechnung berechne Dezimalwert von $\sqrt $ bzw. $^n\sqrt $ Dezimalwert von $x^n$ Dezimalwert einer Funktion ganze Zahl faktorisieren berechne nummerisch an einem Punkt Dezimaldwert von $\pi $ Dezimalwert von e Funktionswert ausrechnen faktorisiere Polynom nummerisch Bewerten Bernoulli Zahl genau Bewerten Euler Zahl genau Dezimalzahl als Bruch als Quadrat ausdrücken in der Form x^3 ausdrücken als ?-te Potenz ausdrücken als Potenz von ? ausdrücken schreibe ganze Zahl als a^n x = ? + (x-?) $i^2 = -1$ i^(4n) = 1 i^(4n+1) = i i^(4n+2) = -1 i^(4n+3) = -i komplexe Arithmetik Potenz einer komplexen Zahl komplexe Arithmetik und Potenzen komplexe Dezimalrechnung ganzzahlige Faktoren einer ganzen Zahl komplexe Faktoren einer ganzen Zahl faktorisiere n+mi (n ungleich null) streiche doppeltes Minus -(-a)=a mit -1 multiplizieren -(a+b) = -a-b -a-b = -(a+b) gruppiere Ausdrücke neu sortiere Ausdrücke lasse Terme, die null sind, weg x+0 = x kürze $\pm $ Ausdrücke fasse $\pm $ Terme zusammen (einmal) fasse alle $\pm $ Terme in einer Summe zusammen $a+b = b+a$ $a(b-c) = -a(c-b)$ $-ab = a(-b)$ $-abc = ab(-c)$ $a(-b)c = ab(-c)$ $x\times 0 = 0\times x = 0$ $x\times 1 = 1\times x = x$ $a(-b) = -ab$ $a(-b-c) = -a(b+c)$ $(-a-b)c = -(a+b)c$ gruppiere Faktoren neu fasse Zahlen zusammen sortiere Faktoren fasse Potenzen zusammen $a(b+c)=ab+ac$ $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ $ab = ba$ multipliziere Produkt von Summen aus Zähler ausmultiplizieren Nenner ausmultiplizieren $na = a +...+ a$ $0/a = 0$ $a/1 = a$ $a(1/a) = 1$ multipliziere Brüche $(a/c)(b/d)=ab/cd$ $a(b/c) = ab/c$ kürze $ab/ac = b/c$ addiere Brüche $a/c \pm b/c=(a\pm b)/c$ schreibe Bruch auseinander $(a \pm b)/c = a/c \pm b/c$ schreibe Bruch auseinander und kürze $(ac\pm b)/c = a\pm b/c$ Polynomdivision kürze durch Polynomdivision $au/bv=(a/b)(u/v)$ (ganze Zahlen a,b) $a/b = (1/b) a$ $au/b=(a/b)u$ (reelle Zahlen a,b) $ab/cd = (a/c)(b/d)$ $ab/c = (a/c) b$ streiche minus (-a)/(-b) = a/b $-(a/b) = (-a)/b$ $-(a/b) = a/(-b)$ $(-a)/b = -(a/b)$ $a/(-b)= -a/b$ $(-a-b)/c = -(a+b)/c$ $a/(-b-c) = -a/(b+c)$ $a/(b-c) = -a/(c-b)$ $-a/(-b-c) = a/(b+c)$ $-a/(b-c) = a/(c-b)$ $-(-a-b)/c = (a+b)/c$ $$(a-b)/(c-d) = (b-a)/(d-c)$$ $ab/c = a(b/c)$ $a/bc = (1/b) (a/c)$ $(a/c)/(b/c) = a/b$ $a/(b/c)=ac/b$ (bilde Umkehrbruch und multipliziere) $1/(a/b) = b/a$ $(a/b)/c = a/(bc)$ $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$ $(a/b)c/d = ac/bd$ Nenner faktorisieren gemeinsamer Nenner im Bruch finde gemeinsamen Nenner finde gemeinsamen Nenner (nur bei Brüchen) multipliziere Brüche $(a/b)(c/d)=ac/bd$ multipliziere Brüche $a(c/d)= ac/d$ addiere Brüche $a/c \pm b/c=(a \pm b)/c$ gemeinsamer Nenner gemeinsamer Nenner (nur bei Brüchen) bringe auf gemeinsamen Nenner und vereinfache Zähler gemeinsamer Nenner und vereinfache (nur bei Brüchen) multipliziere Zähler und Nenner mit ? $a^0 = 1$ (a ungleich null) $a^1 = a$ $0^b = 0$ für $b > 0$ $1^b = 1$ $(-1)^n = \pm 1$ (n gerade bzw. ungerade) $(a^b)^c = a^(bc)$, wenn $a>0$ oder $c\in Z$ $(-a)^n = (-1)^na^n$ $(a/b)^n = a^n/b^n$ $(ab)^n = a^nb^n$ $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ binomischen Lehrsatz anwenden $a^(b+c) = a^b a^c$ $a^n/b^n = (a/b)^n$ $b^n/b^m = b^(n-m)$ $ab^n/b^m = a/b^(m-n)$ $a^2 = aa$ $a^3 = aaa$ $a^n = aaa$...(n mal) a^n = a^?a^(n-?) $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^(bc) = (a^b)^c$, wenn $a>0$ oder $c\in Z$ $a^(bc) = (a^c)^b$, wenn $a>0$ oder $c\in Z$ a^(b?) = (a^b)^? $1/a^n = (1/a)^n$ $a^(-n) = 1/a^n$ (n konstant) $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ (n konstant) a^(-1) = 1/a $a^(-n) = 1/a^n$ $a^(-n)/b = 1/(a^nb)$ a/b^(-n) = ab^n $a/b^n = ab^(-n)$ $a/b = ab^(-1)$ $(a/b)^(-n) = (b/a)^n$ $a^(b-c) = a^b/a^c$ $\sqrt x\sqrt y = \sqrt (xy)$ $\sqrt (xy) = \sqrt x\sqrt y$ $\sqrt (x^2y) = x\sqrt y$ oder $|x|\sqrt y$ $\sqrt (x^2)=x$, wenn $x\ge 0$ $\sqrt (x^2)=|x|$ faktorisiere die ganze Zahl x in $\sqrt x$ $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$ $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$ $\sqrt x/\sqrt y = \sqrt (x/y)$ $x/\sqrt x = \sqrt x$ $\sqrt x/x = 1/\sqrt x$ $(\sqrt x)^2^n = x^n$, wenn $x\ge 0$ $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$ berechne $\sqrt $ als rationale Zahl berechne $\sqrt $ als Dezimalzahl einfache Arithmetik zeige gemeinsamen Faktor in $\sqrt u/\sqrt v$ an zerlege Polynom unter der $\sqrt $ in Faktoren Nenner rational machen Zähler rational machen $\sqrt (x^2)=|x|$ oder $\sqrt (x^2^n)=|x|^n$ kürze unter $\sqrt $: $\sqrt (xy)/\sqrt y = \sqrt x$ unter der $\sqrt $ ausmultiplizieren $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$ $^2\sqrt u = \sqrt u$ $\sqrt u = ^2^n\sqrt u^n$ $\sqrt u = (^2^n\sqrt u)^n$ $\sqrt (u^2^n) = u^n$, wenn $u^n\ge 0$ $\sqrt (u^(2n+1)) = u^n\sqrt u$, wenn $u^n\ge 0$ $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$, wenn $a\ge 0$ Nenner rational machen und vereinfachen $a ^ \onehalf = \sqrt a$ $a^(n/2) = \sqrt (a^n)$ $a^(b/n) = ^n\sqrt (a^b)$ $\sqrt a = a ^ \onehalf $ $^n\sqrt a = a^(1/n)$ $^n\sqrt (a^m) = a^(m/n)$ $(^n\sqrt a)^m = a^(m/n)$ $(\sqrt a)^m = a^(m/2)$ $1/\sqrt a = a^(-\onehalf )$ $1/^n\sqrt a = a^(-1/n)$ berechne $(-1)^(p/q)$ faktorisiere ganze Zahl $a$ in $a^(p/q)$ $a/b^(p/q) = (a^q/b^p)^(1/q)$ $a^(p/q)/b = (a^p/b^q)^1/q)$ $a^(n/2) = (\sqrt a)^n$ $a^(m/n) = (^n\root a)^m$ $^n\sqrt x^n\sqrt y = ^n\sqrt (xy)$ $^n\sqrt (xy) = ^n\sqrt x ^n\sqrt y$ $^n\sqrt x^m = (^n\sqrt x)^m$, wenn $x\ge 0$ oder n ungerade $^n\sqrt (x^ny) = x ^n\sqrt y$ oder $|x|^n\sqrt y$ $^n\sqrt (x^n) = x$, wenn $x\ge 0$ oder n ungerade $^n\sqrt (x^(nm))=x^m$, wenn $x\ge 0$ oder n ungerade $^2^n\sqrt (x^n) = \sqrt x$ $^m^n\sqrt x^m) = ^n\sqrt x$ $(^n\sqrt x)^n = x$ $(^n\sqrt a)^m = ^n\sqrt (a^m)$ $(^n\sqrt a)^(qn+r) = a^q ^n\sqrt (a^r)$ faktorisiere die ganze Zahl $x$ in $^n\sqrt x$ $^n\sqrt (-a) = -^n\sqrt a$, n ungerade als rationale Zahl berechnen faktorisiere Polynom unter $^n\sqrt $ unter $^n\sqrt $ ausmultiplizieren $\sqrt (\sqrt x) = ^4\sqrt x$ $\sqrt (^n\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (\sqrt x) = ^2^n\sqrt x$ $^n\sqrt (^m\sqrt x) = ^n^m\sqrt x$ $^n\sqrt (x/y) = ^n\sqrt x/^n\sqrt y$ $^n\sqrt x/^n\sqrt y = ^n\sqrt (x/y)$ $x/^n\sqrt x = (^n\sqrt x)^(n-1)$ $^n\sqrt x/x = 1/(^n\sqrt x)^(n-1)$ unter $^n\sqrt $ kürzen: $^n\sqrt (ab)/^n\sqrt (bc)=^n\sqrt a/^n\sqrt b$ kürze $^n\sqrt $: $^n\sqrt (xy)/^n\sqrt y = ^n\sqrt x$ zeige gemeinsamen Faktor in $^n\sqrt u/^n\sqrt v$ $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$ für ungerade n $a(^n\sqrt b) = ^n\sqrt (a^nb)$, wenn $a\ge 0$ $-^n\sqrt a = ^n\sqrt (-a)$ für ungerade n $a/^n\sqrt b = ^n\sqrt (a^n/b)$ (n ungerade oder $a\ge 0$) $^n\sqrt a/b = ^n\sqrt (a/b^n)$ (n ungerade oder $b>0$) $\sqrt a/b = \sqrt (a/b^2)$, wenn $b>0$ $a/\sqrt b = \sqrt (a^2/b)$, wenn $a\ge 0$ $(^m^n\sqrt a)^n = ^m\sqrt a$ $(^2^n\sqrt a)^n = \sqrt a$ $1/i = -i$ $a/i = -ai$ $a/(bi) = -ai/b$ $\sqrt (-1) = i$ $\sqrt (-a) = i\sqrt a$, wenn $a\ge 0$ bringe $i$ aus dem Nenner $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$ $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$ in der Form $u+vi$ schreiben $\sqrt(bi)= \sqrt(b/2)+\sqrt(b/2)i$, wenn $b >= 0$ $\sqrt(-bi)= \sqrt(b/2)-\sqrt(b/2)i$, wenn $b >= 0$ $\sqrt(a+bi)= \sqrt((a+c)/2)+\sqrt((a-c)/2)i$, wenn $b \ge 0$ und $c^2=a^2+b^2$ $\sqrt(a-bi)= \sqrt((a+c)/2)-\sqrt((a-c)/2)i$, wenn $b \ge 0$ und $c^2=a^2+b^2$ Zahl ausklammern alle nummerischen Nenner entfernen $ab + ac = a(b+c)$ höchste Potenz ausklammern $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ quadratisches Trinom faktorisieren verwende p,q-Formel $a^2^n = (a^n)^2$ $a^nb^n = (ab)^n$ ganzzahlige Koeffizienten faktorisieren Substitution, u = ? eliminiere definierte Variable betrachte eine Variable als Konstante schreibe als Funktion von ? schreibe als Funktion von ? und ? $a^(3n) = (a^n)^3$ a^(?n) = (a^n)^? $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ $a^n-b^n = (a-b)(a^(n-1)+...+b^(n-1))$ $a^n-b^n = (a+b)(a^(n-1)-...-b^(n-1))$ (n even) $a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-...+b^(n-1))$ (n ungerade) $x^4+a^4=(x^2-\sqrt 2ax+a^2)(x^2+\sqrt 2ax+a^2)$ $x^4+(2p-q^2)x^2+p^2=(x^2-qx+p)(x^2+qx+p)$ Computer substituiert rate einen Faktor suche linearen Faktor durch geeignete Gruppierung faktorisieren schreibe als Polynom in ? tausche Seiten Vorzeichen beider Seiten ändern addiere ? auf beiden Seiten subtrahiere ? auf beiden Seiten bringe ? von links nach rechts bringe ? von rechts nach links multipliziere beide Seiten mit ? teile beide Seiten durch ? beide Seiten quadrieren kürze $\pm $ Term auf beiden Seiten kürze gemeinsamen Faktor beider Seiten subtrahiere, um in die Form u=0 zu bringen Gleichung gilt trivialerweise $a=-b$ wird zu $a^2=-b^2$, wenn $a,b\ge 0$ $a=-b$ wird zu $a=0$, wenn $a,b\ge 0$ $a=-b$ wird zu $b=0$, wenn $a,b\ge 0$ aus $ab=0$ folgt $a=0$ oder $b=0$ p,q-Formel $x = -b/2a \pm \sqrt (b^2-4ac)/2a$ quadratische Ergänzung ziehe Wurzel aus beiden Seiten mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren aus $b^2-4ac < 0$ folgt, dass es keine reellen Wurzeln gibt $[p=a,p=-a]$ wird zu $p=|a|$ (für $p\ge 0$) nummerisch lösen mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren (a/b=c/d => ad=bc) aus u=v folgt $u^n=v^n$ $\sqrt $ aus beiden Seiten ziehen $^n\sqrt $ aus beiden Seiten ziehen wende Funktion ? auf beiden Seiten an aus $ab=ac$ folgt a=0 oder b=c zeige nur die gewählte Gleichung an zeige wieder alle Gleichungen sammele mehrere Lösungen verwerfe unlösbare Gleichung überprüfe, ob Wurzel(n) ursprüngliche Gleichung erfüllen löse lineare Gleichung sofort $u=x+b/3$ in $ax^3+bx^2+cx+d=0$ Diskriminante berechnen zeige kubische Gleichung noch einmal Vietas Substitution $x=y-a/3cy$ in $cx^3+ax+b=0$ Lösungsformel kubischer Gleichungen, 1 reelle Wurzel Lösungsformel für kubische Gleichungen, 3 reelle Wurzeln Lösungsformel kubischer Gleichungen, komplexe Wurzeln substituiere $x = f(u)$ substituiere n = ?-k berechne Wurzeln exakt vereinfachen aus $u=v$ folgt $a^u = a^v$ aus $ln u = v$ folgt $u = e^v$ aus $log u = v$ folgt $u = 10^v$ aus $log(b,u) = v$ folgt $u = b^v$ aus $a^u = a^v$ folgt $u=v$ Logarithmus beider Seiten bilden natürlichen Logarithmus beider Seiten bilden verwerfe Gleichung--unzulässiger log oder ln Cramersche Regel berechne Determinante Variablen links, Konstanten rechts fasse gleiche Ausdrücke zusammen Variablen hübsch anordnen addiere zwei Gleichungen subtrahiere zwei Gleichungen multipliziere Gleichung ? mit ? teile Gleichung ? durch Gleichung ? addiere ein Vielfaches der Gleichung ? zur Gleichung ? subtrahiere ein Vielfaches der Gleichung ? von Gleichung ? tausche zwei Gleichungen sortiere gelöste Gleichungen Identität weglassen Widerspruch offensichtlich: keine Lösung $a|b| = |ab|$, wenn $0 \le a$ $|b|/c = |b/c|$, wenn $0 < c$ $a|b|/c = |ab/c|$, wenn $0 <a/c$ auflösen nach ? addiere ausgewählte Gleichung zur Gleichung ? subtrahiere ausgewählte Gleichung von Gleichung ? multipliziere ausgewählte Gleichung mit ? teile ausgewählte Gleichung durch ? addiere Vielfaches der ausgewählten Gleichung zur Gleichung ? subtrahiere Vielfaches der ausgewählten Gleichung von Gleichung ? tausche ausgewählte Gleichung mit Gleichung ? löse ausgewählte Gleichung auf nach ? addiere ausgewählte Zeile to Zeile ? subtrahiere ausgewählte Zeile von Zeile ? multipliziere ausgewählte Zeile mit ? teile ausgewählte Zeile durch ? addiere Vielfaches der ausgewählten Zeile zur Zeile ? subtrahiere Vielfaches der ausgewählten Zeile von Zeile ? tausche ausgewählte Zeile mit Zeile ? $A = IA$ löse Gleichung ? nach ? auf vereinfache Gleichungen kürze Term auf beiden Seiten addiere ? zu beiden Seiten der Gleichung ? subtrahiere ? von beiden Seiten der Gleichung ? substituiere für Variable schreibe in Matrixform tausche zwei Zeilen addiere zwei Zeilen subtrahiere eine Zeile von einer anderen multipliziere Zeile mit Konstante teile Zeile durch Konstante addiere Vielfaches einer Zeile zu einer anderen subtrahiere Vielfaches einer Zeile von einer anderen multipliziere Matrizen lasse Spalte, die nur aus Nullen besteht, weg lasse Zeile, die nur aus Nullen besteht, weg lasse doppelte Zeile weg schreibe als Gleichungssystem $AX = B$ wird zu $X = A^(-1)B$ Formel für Inverse einer 2x2-Matrix berechne inverse Matrix exakt berechne inverse Matrix in Dezimaldarstellung $|u| = u$, wenn $u\ge 0$ setze $u\ge 0$ voraus und schreibe $|u| = u$ $|u| = -u$, wenn $u\le 0$ $|cu| = c|u|$, wenn $c\ge 0$ $|u/c| = |u|/c$, wenn $c>0$ $|u||v| = |uv|$ $|uv| = |u||v|$ $|u/v| = |u| / |v|$ $|u| / |v| = |u/v|$ $|u|^2^n=u^2^n$, falls $u$ reell ist $|u^n|=|u|^n$, falls $n$ reell ist $|\sqrt u| = \sqrt |u|$ $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$ $|ab|/|ac| = |b|/|c|$ $|ab|/|a| = |b|$ zeige gemeinsamen Faktor in $|u|/|v|$ $|u|=c$ genau dann, wenn $u=c$ oder $u = -c$ ($c\ge 0$) $|u|/u = c$ genau dann, wenn $c = \pm 1$ $|u| < v$ genau dann, wenn $-v < u < v$ $|u| \le v$ genau dann, wenn $-v \le u \le v$ $u < |v|$ genau dann, wenn $v < -u$ oder $u < v$ $u \le |v|$ genau dann, wenn $v \le -u$ oder $u \le v$ $|u| = u$ genau dann, wenn $0 \le u$ $|u| = -u$ genau dann, wenn $u \le 0$ $0 \le |u|$ ist immer richtig $|u| < 0$ ist falsch $-c \le |u|$ gilt für $c\ge 0$ $-c < |u|$ gilt für $c>0$ $|u| < -c$ gilt nicht, wenn $c\ge 0$ $|u| \le -c$ gilt nicht, wenn $c>0$ $|u| \le -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c\ge 0$ $|u| = -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c\ge 0$ $v > |u|$ genau dann, wenn $-v < u < v$ $v \ge |u|$ genau dann, wenn $-v \le u \le v$ $|v| > u$ genau dann, wenn $v < -u oder v > u$ $|v| \ge u$ genau dann, wenn $v \le -u$ or $v \ge u$ $|u| \ge 0$ ist immer richtig $0 > |u|$ ist falsch $-c > |u|$ gilt nicht, wenn $c\ge 0$ $-c \ge |u|$ gilt nicht, wenn $c>0$ $-c \ge |u|$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ $|u| > -c$ gilt für $c>0$ $|u| \ge -c$ gilt für $c\ge 0$ $-v \le u \le v$ genau dann, wenn $|u| \le v$ $v < -u$ oder $u < v$ genau dann, wenn $u < |v|$ $u^(2n) = |u|^(2n)$ wenn $u$ ist reele $|u|^n = |u^n|$ if $n$ ist reele ändere $u < v$ zu $v > u$ ändere $-u < -v$ zu $v < u$ ändere $-u < -v$ zu $u > v$ multipliziere beide Seiten mit ?^2 nummerische Ungleichung auswerten $a < x^2^n$, falls $a < 0$ $x^2^n < a$ gilt nicht, wenn $a \le 0$ quadriere beide (nichtnegativen) Seiten quadriere, falls eine Seite $\ge $ 0 ist $u < v$ oder $u = v$ genau dann, wenn $u \le v$ Intervalle verknüpfen Voraussetzungen anwenden ändere $x > y$ zu $y < x$ ändere $-u > -v$ zu $u < v$ ändere $-u > -v$ zu $v > u$ $x^2^n > a$ gilt, wenn $a < 0$ $a > x^2^n$ gilt nicht, wenn $a \le 0$ $u > v$ oder $u = v$ genau dann, wenn $u \ge v$ ändere $x \le y$ zu $y \ge x$ ändere $-u \le -v$ zu $v \le u$ ändere $-u \le -v$ zu $u \ge v$ $a \le x^2^n$, falls $a \le 0$ $x^2^n \le a$ gilt nicht, wenn $a < 0$ $u \le v$ genau dann, wenn $u^2 \le v^2$ oder $u \le 0$ vorausgesetzt $0 \le v$ ändere $x \ge y$ zu $y \le x$ ändere $-u \ge -v$ zu $u \le v$ ändere $-u \ge -v$ zu $v \ge u$ $x^2^n \ge a$ gilt, wenn $a \le 0$ $a \ge x^2^n$ gilt nicht, wenn $a < 0$ $v \ge u$ genau dann, wenn $v^2 \ge u^2$ oder $u \le 0$ vorausgesetzt $0 \le v$ $u^2 < a$ genau dann, wenn $|u| < \sqrt a$ $u^2 < a$ genau dann, wenn $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $a < v^2$ genau dann, wenn $\sqrt a < |v|$ vorausgesetzt $0\le a$ $a < u^2$ genau dann, wenn $u < -\sqrt a$ oder $\sqrt a < u$ $a < u^2 < b$ genau dann, wenn $-\sqrt b<u<-\sqrt a$ oder $\sqrt a<u<\sqrt b$ $-a < u^2 < b$ genau dann, wenn $u^2 < b$ vorausgesetzt 0<a $-a < u^2 \le b$ genau dann, wenn $u^2 \le b$ vorausgesetzt 0<a $\sqrt u < v$ genau dann, wenn $0 \le u < v^2$ $0 \le a\sqrt u < v$ genau dann, wenn $0 \le a^2u < v^2$ $a < \sqrt v$ genau dann, wenn $a^2 < v$ vorausgesetzt $0\le a$ $0 \le u < v$ genau dann, wenn $\sqrt u < \sqrt v$ $a < x^2$ gilt, wenn $a < 0$ $x^2 < a$ gilt nicht, wenn $a \le 0$ $a < \sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u$ vorausgesetzt $a < 0$ $u^2 \le a$ genau dann, wenn $|u| \le \sqrt a$ $u^2 \le a$ genau dann, wenn $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $a \le v^2$ genau dann, wenn $\sqrt a \le |v|$ vorausgesetzt $0\le a$ $a \le u^2$ genau dann, wenn $u \le -\sqrt a$ oder $\sqrt a \le u$ $a \le u^2 \le b$ genau dann, wenn $-\sqrt b\le u\le -\sqrt a$ oder $\sqrt a\le u\le \sqrt b$ $-a \le u^2 \le b$ genau dann, wenn $u^2 \le b$ vorausgesetzt $0\le a$ $-a \le u^2 < b$ genau dann, wenn $u^2 < b$ vorausgesetzt $0\le a$ $\sqrt u \le v$ genau dann, wenn $0 \le u \le v^2$ $0 \le a\sqrt u \le v$ genau dann, wenn $0 \le a^2u \le v^2$ $a \le \sqrt v$ genau dann, wenn $a^2 \le v$ vorausgesetzt $0\le a$ $0 \le u \le v$ genau dann, wenn $\sqrt u \le \sqrt v$ $x^2 > a$ gilt, wenn $a < 0$ $a > x^2$ gilt nicht, wenn $a \le 0$ $a \le \sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u$ vorausgesetzt $a \le 0$ Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten $a < 1/x < b$ genau dann, wenn $1/b < x < 1/a$, für $a,b > 0$ $a < 1/x \le b$ genau dann, wenn $1/b \le x < 1/a$, für $a,b > 0$ $-a < 1/x < -b$ genau dann, wenn $-1/b < x < -1/a$, für $a,b > 0$ $-a < 1/x \le -b$ genau dann, wenn $-1/b \le x < -1/a$, für $a,b > 0$ $-a < 1/x < b$ genau dann, wenn $x < - 1/a$ oder $1/b < x$, für $a,b > 0$ $-a < 1/x \le b$ genau dann, wenn $x < -1/a$ oder $1/b \le x$, für $a,b > 0$ $a \le 1/x < b$ genau dann, wenn $1/b < x \le 1/a$, für $a,b > 0$ $a \le 1/x \le b$ genau dann, wenn $1/b \le x < 1/a$, für $a,b > 0$ $-a \le 1/x < -b$ genau dann, wenn $-1/b < x \le -1/a$, für $a,b > 0$ $-a \le 1/x \le -b$ genau dann, wenn $-1/b \le x \le -1/a$, für $a,b > 0$ $-a \le 1/x < b$ genau dann, wenn $x \le - 1/a$ oder $1/b < x$, für $a,b > 0$ $-a \le 1/x \le b$ genau dann, wenn $x \le -1/a$ oder $1/b \le x$, für $a,b > 0$ $u < v$ genau dann, wenn $^n\sqrt u < ^n\sqrt v$ ($n$ ungerade) $u^2^n < a$ genau dann, wenn $|u| < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n < a$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $0 \le a < u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a < |u|$ $a < u^2^n$ genau dann, wenn $u < -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a < u$ $a<u^2^n<b$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt b<u<-^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a<u<^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u < v$ genau dann, wenn $0 \le u < v^2^n$ $^n\sqrt u < v$ genau dann, wenn $u < v^n$ (n ungerade oder $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) < v$ genau dann, wenn $a^nu < v^n$ vorausgesetzt $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u < ^n\sqrt v$ genau dann, wenn $u^n < v$ vorausgesetzt $0 \le u$ $u < v$ genau dann, wenn $u^n < v^n$ ($n$ ungerade, $n>0$) $u < v$ genau dann, wenn $u^n < v^n$ ($n > 0$ und $0 \le u$) $a < ^2^n\sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u$ vorausgesetzt $a < 0$ $u \le v$ genau dann, wenn $^n\sqrt u \le ^n\sqrt v$ (n ungerade) $u^2^n \le a$ genau dann, wenn $|u| \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \le a$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $0 \le a \le u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a \le |u|$ $a \le u^2^n$ genau dann, wenn $u \le -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a \le u$ $a\le u^2^n\le b$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt b\le u\le -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a\le u\le ^2^n\sqrt b$ $^2^n\sqrt u \le v$ genau dann, wenn $0 \le u \le v^2^n$ $^n\sqrt u \le v$ genau dann, wenn $u \le v^n$ ($n$ ungerade oder $u\ge 0$) $a(^n\sqrt u) \le v$ genau dann, wenn $a^nu \le v^n$ vorausgesetzt $0 \le a(^n\sqrt u)$ $u \le ^n\sqrt v$ genau dann, wenn $u^n \le v$ vorausgesetzt $0 \le u$ $u \le v$ genau dann, wenn $u^n \le v^n$ ($n$ ungerade, $n \ge 0$) $u \le v$ genau dann, wenn $u^n \le v^n$ ($n > 0$ und $0 \le u$) $a \le ^2^n\sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u$ vorausgesetzt $a \le 0$ positive Faktoren weglassen $0 < u/v$ genau dann, wenn $0 < v$ vorausgesetzt $u > 0$ ändere $0 < u/\sqrt v$ zu $0 < uv$ $0 < u/v$ genau dann, wenn $0 < uv$ ändere $u/\sqrt v < 0$ zu $uv < 0$ $u/v < 0$ genau dann, wenn $uv < 0$ $ax \pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$ $(x-a)(x-b) < 0$ genau dann, wenn $a<x<b$, wobei $a<b$ ist $0 < (x-a)(x-b)$ genau dann, wenn $x<a$ oder $b<x$, wobei $a<b$ ist $0 \le u/v$ genau dann, wenn $0 \le v$ vorausgesetzt $u \ge 0$ $0 \le u/\sqrt v$ genau dann, wenn $0 \le uv$ $0 \le u/v$ genau dann, wenn 0 < uv oder u = 0 $u/\sqrt v \le 0$ genau dann, wenn $uv \le 0$ $u/v \le 0$ genau dann, wenn $uv < 0$ oder $u = 0$ $ax \pm b \le 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) \le 0$ ändere $u \le v$ zu $v \ge u$ $(x-a)(x-b) \le 0$ genau dann, wenn $a\le x\le b$, wobei $a\le b$ ist $0\le (x-a)(x-b)$ genau dann, wenn $x\le a$ oder $b\le x$, wobei $a\le b$ ist $a > u^2$ genau dann, wenn $\sqrt a > |u|$ $a > u^2$ genau dann, wenn $-\sqrt a < u < \sqrt a$ $v^2 > a$ genau dann, wenn $|v| > \sqrt a$ vorausgesetzt $a\ge 0$ $u^2 > a$ genau dann, wenn $u < -\sqrt a$ oder $u > \sqrt a$ $v > \sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u < v^2$ $v>a\sqrt u$ genau dann, wenn $0\le a^2u<v^2$ vorausgesetzt $0\le a$ $\sqrt v > a$ genau dann, wenn $v > a^2$ vorausgesetzt $0\le a$ $v > u$ genau dann, wenn $\sqrt v > \sqrt u$ vorausgesetzt $u\ge 0$ $a > x^2$ gilt nicht, wenn $a <= 0$ $\sqrt u > a$ genau dann, wenn $u \ge 0$ vorausgesetzt $a < 0$ $a \ge u^2$ genau dann, wenn $6\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2$ genau dann, wenn $-\sqrt a \le u \le \sqrt a$ $v^2 \ge a$ genau dann, wenn $|v| \ge \sqrt a$ vorausgesetzt $0\le a$ $u^2 \ge a$ genau dann, wenn $u \le -\sqrt a$ oder $\sqrt a \le u$ $v \ge \sqrt u$ genau dann, wenn $60 \le u \le v^2$ $v \ge a\sqrt u$ genau dann, wenn $0\le a^2u\le v^2$ vorausgesetzt $0\le a$ $\sqrt v \ge a$ genau dann, wenn $v \ge a^2$ vorausgesetzt $0\le a$ $v \ge u$ genau dann, wenn $\sqrt v \ge \sqrt u$ vorausgesetzt $u\ge 0$ $x^2 \ge a$ gilt, wenn $a \le 0$ $a \ge x^2$ gilt nicht, wenn $a < 0$ $\sqrt u \ge a$ genau dann, wenn $u \ge 0$ vorausgesetzt $a \le 0$ $u > v$ genau dann, wenn $^n\sqrt u > ^n\sqrt v$ (n ungerade) $a > u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a > |u|$ $a > u^2^n$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$ $u^2^n > a$ genau dann, wenn $|u| > ^2^n\sqrt a$ vorausgesetzt $a\ge 0$ $u^2^n > a$ genau dann, wenn $u < -^2^n\sqrt a$ oder $u > ^2^n\sqrt a$ $v > ^2^n\sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u < v^2^n$ $v > ^n\sqrt u$ genau dann, wenn $v^n> u$ (n ungerade oder $u\ge 0$) $v > a(^n\sqrt u)$ genau dann, wenn $v^n > a^nu$ vorausgesetzt $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v > a$ genau dann, wenn $v > a^n$ vorausgesetzt $a\ge 0$ u > v genau dann, wenn $u^n > v^n$ ($n$ ungerade, $n>0$) u > v genau dann, wenn $u^n > v^n$ ($n > 0$ und $0 \le u$) $^2^n\sqrt u > a$ genau dann, wenn $u \ge 0$ vorausgesetzt a < 0 $u \ge v$ genau dann, wenn $^n\sqrt u \ge ^n\sqrt v$ (n ungerade) $a \ge u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a \ge |u|$ $a \ge u^2^n$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ $u^2^n \ge a$ genau dann, wenn $|u| \ge ^2^n\sqrt a$ vorausgesetzt $a\ge 0$ $u^2^n \ge a$ genau dann, wenn $u \le -^2^n\sqrt a$ oder $u \ge ^2^n\sqrt a$ $v \ge ^2^n\sqrt u$ genau dann, wenn $0 \le u \le v^2^n$ $v \ge ^n\sqrt u$ genau dann, wenn $v^n \ge u$ (n ungerade oder $u\ge 0$) $v \ge a(^n\sqrt u)$ genau dann, wenn $v^n \ge a^nu$ vorausgesetzt $0 \le a(^n\sqrt u)$ $^n\sqrt v \ge a$ genau dann, wenn $a^n \le v$ vorausgesetzt $a \ge 0$ $u \ge v$ genau dann, wenn $u^n \ge v^n$ ($n$ ungerade, $n \ge 0$) $u \ge v$ genau dann, wenn $u^n \ge v^n$ ($n > 0$ und $0 \le u$) $^2^n\sqrt u \ge a$ genau dann, wenn $u \ge 0$ vorausgesetzt $a \le 0$ $u/v > 0$ genau dann, wenn $v > 0$ vorausgesetzt $u > 0$ ändere $u/\sqrt v > 0$ zu $uv > 0$ $u/v > 0$ genau dann, wenn $uv > 0$ ändere $0 > u/\sqrt v$ zu $0 > uv$ $0 > u/v$ genau dann, wenn $0 > uv$ $0 > ax \pm b$ genau dann, wenn $0 > a(x\pm b/a)$ $0 > (x-a)(x-b)$ genau dann, wenn $a<x<b$, wobei $a<b$ ist $(x-a)(x-b) > 0$ genau dann, wenn $x<a$ oder $x>b$, wobei $a<b$ ist $u/v \ge 0$ genau dann, wenn $v \ge 0$ vorausgesetzt $u \ge 0$ $u/\sqrt v \ge 0$ genau dann, wenn $uv \ge 0$ $u/v \ge 0$ genau dann, wenn $uv > 0$ oder $u = 0$ $0 \ge u/\sqrt v$ genau dann, wenn $0 \ge uv$ $0 \ge u/v$ genau dann, wenn $0 > uv$ oder $u = 0$ $0 \ge ax \pm b$ genau dann, wenn $0 \ge a(x\pm b/a)$ $0 \ge (x-a)(x-b)$ genau dann, wenn $a\le x\le b$, wobei $a\le b$ ist $(x-a)(x-b)\ge 0$ genau dann, wenn $x\le a$ oder $b\le x$, wobei $a\le b$ ist binomischer Lehrsatz mit $(n,k)$ $$binomial(n,k) = factorial(n)/ factorial(k) * factorial(n-k)$$ $n! = n(n-1)(n-2)...1$ berechne Fakultät berechne Binomialkoeffizienten $\sum $ Schreibweise ausschreiben berechne $\sum $ als rationale Zahl $n! = n (n-1)!$ $n!/n = (n-1)!$ $n!/(n-1)! = n$ $n!/k! = n(n-1)...(n-k+1)$ $n/n! = 1/(n-1)!$ $(n-1)!/n! = 1/n$ $k!/n! =1/(n(n-1)...(n-k+1))$ $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3$ $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3$ $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = (a+b)^4$ $a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 = (a-b)^4$ $a^n+na^(n-1)b+...b^n = (a+b)^n$ $a^n-na^(n-1)b+...b^n = (a-b)^n$ $\sum $ 1 = Anzahl der Summanden $\sum $ -u = -$\sum $ u $\sum $ cu = c$\sum $ u (c konstant) $\sum (u\pm v) = \sum u \pm \sum v$ $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$ schreibe $\sum $ aus mit + $1+2+..+n = n(n+1)/2$ $1^2+..+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ $1+x+..+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)$ spalte die ersten paar Summanden ab berechne $\sum $ mit Parameter als rationale Zahl berechne $\sum $ mit Parameter als Dezimalzahl berechne $\sum $ nummerisch als rationale Zahl berechne $\sum $ nummerische als Dezimalzahl stelle Summand als Polynom dar Teleskopsumme Verschiebung der Summationsgrenzen Indexvariable umbenennen $(\sum u)(\sum v) = \sum \sum uv$ spalte letzten Summanden ab $1^3+..+n^3 = n^2(n+1)^2/4$ $1^4+..+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+2n-1)/30$ $d/dx \sum u = \sum du/dx$ $\sum du/dx = d/dx \sum u$ $\int \sum u dx = \sum \int u dx$ $\sum \int u dx = \int \sum u dx$ $c\sum u = \sum cu$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,0,b)-sum(t,i,0,a-1)$$ $$sum(t,i,a,b)=sum(t,i,c,b)-sum(t,i,c,a-1)$$ Induktionsvariable wählen Induktionsanfang Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung anwenden deshalb gilt wie behauptet $|sin u| \le 1$ $|cos u| \le 1$ $sin u \le u$, wenn $u\ge 0$ $1 - u^2/2 \le cos u$ $|arctan u| \le \pi /2$ $arctan u \le u$ wenn $u\ge 0$ $u \le tan u$, wenn $0\le u\le \pi /2$ Bilden Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten Bilden Sie den Logarithmus beider Seiten $u < ln v$ genau dann, wenn $e^u < v$ $ln u < v$ genau dann, wenn $u < e^v$ $u < log v$ genau dann, wenn $10^u < v$ $log u < v$ genau dann, wenn $u < 10^v$ $u < v$ genau dann, wenn ?^u < ?^v $u \le ln v$ genau dann, wenn $e^u \le v$ $ln u \le v$ genau dann, wenn $u \le e^v$ $u \le log v$ genau dann, wenn $10^u \le v$ $log u \le v$ genau dann, wenn $u \le 10^v$ $u \le v$ genau dann, wenn $?^u \le ?^v$ $ln u > v$ genau dann, wenn $u > e^v$ $u > ln v$ genau dann, wenn $e^u > v$ $log u > v$ genau dann, wenn $u > 10^v$ $u > log v$ genau dann, wenn $10^u > v$ $u > v$ genau dann, wenn ?^u > ?^v $ln u \ge v$ genau dann, wenn $u \ge e^v$ $u \ge ln v$ genau dann, wenn $e^u \ge v$ $log u \ge v$ genau dann, wenn $u \ge 10^v$ $u \ge log v$ genau dann, wenn $10^u \ge v$ $u \ge v$ genau dann, wenn $?^u \ge ?^v$ Exponenten dominieren Polynomen algebraischen Funktionen dominieren Logarithmen $10^(log a) = a$ $log 10^n = n$ ($n$ reell) $log 1 = 0$ $log 10 = 1$ $log a = (ln a)/(ln 10)$ $u^v = 10^(v log u)$ zerlege Zahl in Primfaktoren Potenzen von 10 ausklammern $10^(n log a) = a^n$ $log(a/b) = -log(b/a)$ $log(b,a/c) = -log(b,c/a)$ $log a^n = n log a$ $log ab = log a + log b$ $log 1/a = -log a$ $log a/b = log a - log b$ $log a + log b = log ab$ $log a - log b = log a/b$ $log a + log b - log c =log ab/c$ $n log a = log a^n$ ($n$ reell) $log \sqrt a = \onehalf log a$ $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$ log 1 = 0 Potenzen der Basis ausklammern $log u = (1/?) log u^?$ berechne Logarithmen nummerisch $e^(ln a) = a$ $ln e = 1$ $ln 1 = 0$ $ln e^n = n$ ($n$ reele) $u^v = e^(v ln u)$ $e^((ln c) a) = c^a$ $ln a^n = n ln a$ $ln ab = ln a + ln b$ $ln 1/a = -ln a$ $ln a/b = ln a - ln b$ $ln a + ln b = ln ab$ $ln a - ln b = ln a/b$ $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$ $n ln a = ln a^n$ ($n$ reell) $ln \sqrt a = \onehalf ln a$ $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$ ln u = (1/?) ln u^? berechne Logarithmus nummerisch $ln(a/b) = -ln(b/a)$ $sin u cos v + cos u sin v = sin(u+v)$ $sin u cos v - cos u sin v = sin(u-v)$ $cos u cos v - sin u sin v = cos(u+v)$ $cos u cos v + sin u sin v = cos(u-v)$ $(sin u)/(1+cos u) = tan(u/2)$ $(1-cos u)/sin u = tan(u/2)$ $(1+cos u)/(sin u) = cot(u/2)$ $sin u/(1-cos u) = cot(u/2)$ $(tan u+tan v)/(1-tan u tan v) = tan(u+v)$ $(tan u-tan v)/(1+tan u tan v) = tan(u-v)$ $(cot u cot v-1)/(cot u+cot v) = cot(u+v)$ $(1+cot u cot v)/(cot v-cot u) = cot(u-v)$ $1-cos u = 2 sin^2(u/2)$ Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten $r e^(i\theta ) = r (cos \theta + i sin \theta )$ $|e^(i\theta )| = 1$ $|Re^(i\theta )|=R$ if $R\ge 0$ $|Re^(i\theta )| = |R|$ $-a = ae^(\pi i)$ $^n\sqrt (-a) = e^(\pi i/n) ^n\sqrt a if a\ge 0$ a/(ce^(ti)) = ae^(-ti)/c Satz von de Moivre setze bestimmte ganze Zahlen ein $b^(log(b,a)) = a$ $b^(n log(b,a)) = a^n$ $log(b,b) = 1$ $log(b,b^n) = n$ $log xy = log x + log y$ $log (1/x) = -log x$ $log x/y = log x-log y$ $log(b,1) = 0$ faktorisiere Basis: $log(4,x)=log(2^2,x)$ $log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$ $log x^n = n log x$ $log x + log y = log xy$ $log x - log y = log x/y$ $log x + log y - log z =log xy/z$ n log x = log x^n (n reell) $log(b,x) = ln x / ln b$ $log(b,x) = log x / log b$ $log(b,x) = log(a,x) / log(a,b)$ $log(10,x) = log x$ $log(e,x) = ln x$ $log x = ln x / ln 10$ $ln x = log x / log e$ $u^v = b^(v log(b,u))$ $sin 0 = 0$ $cos 0 = 1$ $tan 0 = 0$ $sin k\pi = 0$ $cos 2k\pi = 1$ $tan k\pi = 0$ finde solch einen Winkel < $360\deg $ finde solch einen Winkel < $2\pi $ Winkel ist ein Vielfaches von $90\deg $ benutze 1-2-$\sqrt 3$ Dreieck benutze 1-1-$\sqrt 2$ Dreieck wechsle von Radianten zu Grad wechsle von Grad zu Radianten Winkel = $a 30\deg + b 45\deg $ etc. nummerisch berechnen $tan u = sin u / cos u$ $cot u = 1 / tan u$ $cot u = cos u / sin u$ $sec u = 1 / cos u$ $csc u = 1 / sin u$ $sin u / cos u = tan u$ $cos u / sin u = cot u$ $1 / sin u = csc u$ $1 / cos u = sec u$ $1 / tan u = cot u$ $1 / tan u = cos u / sin u$ $1 / cot u = tan u$ $1 / cot u = sin u / cos u$ $1 / sec u = cos u$ $1 / csc u = sin u$ $sin u = 1 / csc u$ $cos u = 1 / sec u$ $tan u = 1 / cot u$ $sin^2 u + cos^2 u = 1$ $1 - sin^2 u = cos^2 u$ $1 - cos^2 u = sin^2 u$ $sin^2 u = 1 - cos^2 u$ $cos^2 u = 1 - sin^2 u$ $sec^2 u - tan^2 u = 1$ $tan^2 u + 1 = sec^2 u$ $sec^2 u - 1 = tan^2 u$ $sec^2 u = tan^2 u + 1$ $tan^2 u = sec^2 u - 1$ $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ $(1-cos t)^n(1+cos t)^n = sin^(2n) t$ $(1-sin t)^n(1+sin t)^n = cos^(2n) t$ $csc^2 u - cot^2 u = 1$ $cot^2 u + 1 = csc^2 u$ $csc^2 u - 1 = cot^2 u$ $csc^2 u = cot^2 u + 1$ $cot^2 u = csc^2 u - 1$ $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $ $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $ $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ $sin(u+v)= sin u cos v + cos u sin v$ $sin(u-v)= sin u cos v - cos u sin v$ $cos(u+v)= cos u cos v - sin u sin v$ $cos(u-v)= cos u cos v + sin u sin v$ $tan(u+v)=(tan u+tan v)/(1-tan u tan v)$ $tan(u-v)=(tan u-tan v)/(1+tan u tan v)$ $cot(u+v)=(cot u cot v-1)/(cot u+cot v)$ $cot(u-v)=(1+cot u cot v)/(cot v-cot u)$ %�|� 4 I: ; I ! I7 I & I $ > $ > .@: ;'I?
: ;I 4 : ;I � 1 W � � l � G 4 �z Y j Rj ^ c � � 2 l ^ j Y l m ��
�. �� � 4 �� 0 Apple clang version 14.0.0 (clang-1400.0.29.202) ../../Localizer/german/german_mtext.c /Applications/Xcode.app/Contents/Developer/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX.sdk MacOSX.sdk /Users/beeson/Dropbox/MathXpert/symsout/svgTester menutext1 char __ARRAY_SIZE_TYPE__ arithstr German_cmdmenu i int nmenus HSAH �������l��oE����D T d � q � 2 HSAH ����HSAH ����HSAH �������� 0�� c �|[s��L _ r 0 � $ � c $ j $ l � = �
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