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��� �����__text__TEXT4�x��__cstring__TEXT4���__data__DATA�x���{__debug_abbrev__DWARF���(�__debug_info__DWARF ���`�__debug_str__DWARF8�[��__apple_names__DWARF���;�__apple_objc__DWARF?�$��__apple_namespac__DWARFc�$�__apple_types__DWARF���/�__compact_unwind__LD�@����__debug_line__DWARFP�~����2

��2��P002�C����������	����yi��C��_� �R�_�Sie können von beiden Seiten jeder Gleichung ungerade Wurzeln ziehen.Sie können die gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2^n \le  a genau dann, wenn |u| < ^2^n\sqrt a$.Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zusätzlichen Teil bekommen: $u^2^n \le  a$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a \le  u \le  ^2^n\sqrt a$.Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le  a \le  u^2^n $ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a \le  |u|$.Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zusätzlichen Teil bekommen: $a \le  u^2^n$ genau dann, wenn $ v \le  -^2^n\sqrt a$  oder $^2^n\sqrt a \le  u$.Sie können eine gerade Wurzel aller drei Ausdrücke ziehen, aber wegen der negativen Wurzeln werden Sie ein zusätzliches Intervall bekommen.Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.Sie können immer beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven ungeraden Potenz nehmen.Sie können beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven Potenz nehmen, wenn beide Seiten nicht negativ sind.Wurzeln mit einem geraden Index sind immer nichtnegativ; aber wenn Sie solch eine Wurzel potenzieren, vergessen Sie nicht, dass das, was unter dem Wurzelzeichen steht, nicht negativ sein darf.Der Zähler ist positiv; also ist der Bruch positiv genau dann, wenn der Nenner positiv ist.In $0 < u/\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen.$u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie für $uv$ positiv, und $0 < uv$ könnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 < u/v$.In $u/\sqrt v < 0$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen.$u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv < 0$ könnte einfacher zu berechnen sein als $u/v < 0$.Wenn Sie eine lineare Ungleichung lösen, könnte es helfen den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \pm  b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$.Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) < 0$ haben, ist die Lösung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a < x < b$, wenn $a < b$.Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 < (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die Lösung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x < a$ oder $b < x$.Der Zähler ist positiv; also ist der Bruch nicht negativ genau dann, wenn der Nenner nicht negativ ist.In $0 \le  u/\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen.$u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie für $uv$ positiv, und $0 \le  uv$ könnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 \le  u/v$.n $u/\sqrt v \le  0$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v $ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen.$u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv \le  0$ könnte einfacher zu berechnen sein als $u/v \le  0$.Wenn Sie eine lineare Ungleichung lösen, könnte es helfen, den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \pm  b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$.Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) \le  0$ haben, ist die Lösung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a \le  x \le  b$, wenn $a < b$.Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 \le  (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die Lösung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x \le  a$ oder $b \le  x$.Multiplizieren Sie eine Potenz aus, indem Sie den binomischen Lehrsatz anwenden.Benutzen Sie den binomischen Lehrsatz in der Form mit den Binomialkoeffizienten $(n k)$.Drücken Sie die Binomialkoeffizienten durch Fakultäten aus, indem Sie $(n k) = n!/((n-k)!k!)$ benutzen.Benutzen Sie die Definition der Fakultät $n! = n(n-1)(n-2)...1$.Berechnen Sie die Fakultäten explizit.Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten (n k).Schreiben Sie die $\sum $ Schreibweise als eine gewöhnlichen Summe aus.Berechnen Sie die Summe, die in $\sum $ Schreibweise geschrieben ist, als eine rationale Zahl.Benutzen Sie die Rekursionsgleichung für die Fakultätsfunktion $n! = n(n-1)$.$n!$ ist durch $n$ teilbar, wobei sich $(n-1)!$ ergibt.$n!$ ist durch $(n-1)!$ teilbar, wobei sich $n$ ergibt.$n!$ ist durch $k!$ teilbar, wenn $k$ kleiner als $n$ ist.Erkennen Sie die dritte Potenz einer Summe? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Erkennen Sie die dritte Potenz einer Differenz? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Erkennen Sie die vierte Potenz einer Summe? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Erkennen Sie die vierte Potenz einer Differenz? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Erkennen Sie die Potenz einer Summe? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Erkennen Sie die Potenz einer Differenz? Zerlegen Sie sie in Faktoren.Der Summand hängt nicht von der Indexvariablen ab, daher ist die Summe nur der Summand mal die Anzahl der Ausdrücke.Versuchen Sie das Minuszeichen aus dem $\sum $ Zeichen zu bekommen.Ziehen Sie Konstanten aus dem $\sum $ ZeichenTeilen Sie die Summe in zwei oder mehr Summen, indem Sie $\sum (u+v) = \sum u + \sum v$ benutzenTeilen Sie die Summe in zwei oder mehr Summen, indem Sie $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$ benutzenSchreiben Sie die Summe, die mit $\sum $ geschrieben ist, als eine gewöhnliche Summe mit $+$ aus.Es gibt eine Formel für die Summe der ersten $n$ ganzen Zahlen.Es gibt eine Formel für die Summe der ersten $n$ Zahlen zum Quadrat.Es gibt eine Formel für die Summe $1+x+..+x^n$.Zeigen Sie die ersten paar Ausdrücke.Berechnen Sie die Summe, die in $\sum $ Schreibweise geschrieben ist zu .Berechnen Sie zu einer Dezimalzahl.Berechnen Sie die Summe, die in $\sum $ Schreibweise geschrieben ist zu, zu einer rationalen Zahl.Drücken Sie den Summanden als ein Polynom in der Indexvariablen aus.Dies ist eine Teleskopsumme: Ein Teil jedes Ausdrucks kürzt sich mit dem nächsten.Verschieben Sie den Summationsindex; d.h. addieren Sie etwas zur oberen und unteren Grenze und ändern Sie die Summe dazu passend, so dass sie immer noch die Summe derselben Ausdrücke darstellt.Geben Sie der Indexvariablen einen neuen Namen.Ein Produkt von zwei Summen wird zu einer Doppelsumme: $(\sum u)(\sum v) = \sum  \sum  uv$Trennen Sie den letzten Teil der Summe ab, um die Induktionsvoraussetzung benutzen zu können.Es gibt eine Formel für die Summe der ersten $n$ Zahlen zur dritten Potenz.Es gibt eine Formel für die Summe der ersten $n$ vierten Potenzen.Sie können Ausdruck für Ausdruck differenzieren. D.h. die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.Klammern Sie die Ableitung aus der Summe aus. Wählen Sie die ganze Summe, um diese Auswahlmöglichkeit zu sehen.Sie können Ausdruck für Ausdruck integrieren. Das Integral der Summe ist die Summe der Integrale.Klammern Sie das Integral aus der Summe aus. Wählen Sie die ganze Summe, um diese Auswahlmöglichkeit zu sehen.Bringen Sie eine Konstante in die Summe.Falls der unter Grenzwert der Summation Null wäre, dann könnte man dieses Problem lösen.Falls der unter Grenzwert der Summation anders wäre, dann könnte man dieses Problem lösen.Wählen Sie die Induktionsvariable aus.Starten Sie mit dem Induktionsanfang.Starten Sie Ihren Induktionsschritt.Nun benutzen Sie Ihre Induktionsvoraussetzung.Sie haben alle Puzzleteile beisammen. Fügen Sie sie zu einem Ganzen zusammen!Denken Sie daran, dass die sin Funktion Werte zwischen $-1$ und 1 annimmt: $|sin u| \le  1$Denken Sie daran, dass die cos Funktion Werte zwischen $-1$ und 1 annimmt: $|cos u| \le  1$$sin u \le  u$, wenn $u\ge 0$$1 - u^2/2 \le  cos u$Wegen der Definition der arctan Funktion haben wir $|arctan u| \le  \pi /2$$arctan u \le  u$, wenn $u\ge 0$$u \le  tan u$,  wenn $u\ge 0$Sie können ln von jeder Ungleichung nehmen (wenn die Seiten positiv sind)Sie können log von jeder Ungleichung nehmen (wenn die Seiten positiv sind).Versuchen Sie Logarithmen zu eliminieren, indem Sie Potenzen bilden.Exponenten dominieren Polynomenalgebraischen Funktionen dominieren LogarithmenDenken Sie daran, dass log $a$ die Zahl ist, so dass $10^log a = a$.Ein log im Exponenten kann mit dem Gesetz $10^(n log a) = a^n$ vereinfacht werden.Denken Sie daran: $log 10^n = n$ zumindest für reelle $n$.Denken Sie daran: Der Logarithmus von 1 ist 0.Denken Sie daran: log 10 ist 1.Drücken Sie log durch ln aus: $log a = (ln a)/(ln 10)$.Jede Potenz $u^v$ kann mit dem Logarithmus als $10^(v log u)$ ausgedrückt werdenWenn Sie eine Zahl faktorisieren, können Sie ihren Logarithmus aufteilen.Sie können einen Logarithmus vereinfachen, indem Sie 10er Potenzen abspalten.log(a/b) = -log(b/a)log(b,a/c) = -log(b,c/a)Trennen Sie logs von Potenzen mit $log a^n = n log a$ auf.Zum Multiplizieren, addieren Sie Logarithmen: $log ab = log a + log b$Der log des reziproken Wertes ist der negative log: $log 1/a = -log a$Zum Teilen Logarithmen subtrahieren: $log a/b = log a - log b$Zum Multiplizieren, addieren Sie Logarithmen: $log a + log b = log ab$Zum Teilen Logarithmen subtrahieren: $log a - log b = log a/b$Zum Multiplizieren oder Teilen, addieren oder subtrahieren Sie Logarithmen: $log a + log b - log c =log ab/c$Sie können einen Faktor in den log bringen:  $n log a = log a^n (n reell)$logs von Quadratwurzeln vereinfachen: $log \sqrt a = \onehalf  log a$logs von Wurzeln vereinfachen: $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$log von 1 ist 0.Faktorisieren Sie eine Zahl komplett, um seinen Logarithmus zu vereinfachen.Klammern Sie 10er Potenzen aus, um den Logarithmus zu vereinfachen.Versuchen Sie, $log(u)$ als $1/a log u^a$ zu schreibenSie könnten die logs numerisch berechnen.ein log im Exponenten kann mit dem Gesetz $e^ln a = a$ vereinfacht werdenln e = 1ln 1 = 0$ln e^n = n$ ($n$ reell)Sie können jede Potenz $u^v$ in der Form $e^(v ln u)$ schreiben.ein log im Exponenten kann mit dem Gesetz $e^((ln c) a) = c^a$ vereinfacht werden$ln a^n = n ln a$.Zum Multiplizieren, addieren Sie Logarithmen: $ln ab = ln a + ln b$.Der ln eines reziproken Ausdrucks ist der negative lg: $ln 1/a = -ln a$.Zum Teilen lns subtrahieren: $ln a/b = ln a - ln b$.Faktorisieren Sie eine Zahl komplett.Summen von natürlichen Logarithmen lassen sich nach $ln a + ln b = ln ab$ zusammenfassen.Differenzen von natürlichen Logarithmen lassen sich nach $ln a - ln b = ln a/b$ zusammenfassen.Zum Multiplizieren oder Teilen, addieren oder subtrahieren Sie natürliche Logarithmen: $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$.$n ln a = ln a^n$  ($n$ reell)natürliche Logarithmen von Quadratwurzeln vereinfachen sich: $ln \sqrt a = \onehalf  ln a$.natürliche Logarithmen von Wurzeln vereinfachen sich: $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$.Versuchen Sie $ln(1+v)$ als $v ln((1+v)^(1/v))$ zu schreiben, und dann benutzen Sie die Grenzwertdefinition von $e$Berechnen Sie numerisch.ln(a/b) = -ln(b/a)Benutzen Sie die Formel für den Sinus einer Summe umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Sinus einer Differenz umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Kosinus einer Summe umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Kosinus einer Differenz umgekehrt.Benutzen Sie eine der Formeln für den Tangens eines rechten Winkels umgekehrt.Benutzen Sie eine der Formeln für den Kotangens eines rechten Winkels umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Tangens einer Summe umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Tangens einer Differenz umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Kotangens einer Summe umgekehrt.Benutzen Sie die Formel für den Kotangens einer Differenz umgekehrt.Drücken Sie $1 - cos \theta $ als $2 sin^2(\theta /2)$ ausDrücken Sie die komplexe Zahl über Polarkoordinaten ausDrücken Sie die komplexe Exponentialfunktion mit $sin$ und $cos$ ausEin Wert der komplexen Exponentialfunktion repräsentiert einen Punkt auf dem Einheitskreis, der daher den Betrag 1 hat.Das Minus muss weg! Benutzen Sie $-a = ae^(i\pi )$.$^n\sqrt (-a)$ ist nicht gleich $-^n\sqrt a$, wenn komplexe Zahlen benutzt werden. Statt dessen erscheint ein komplexer Faktor: $\sqrt (-a) = e^(\pi  i/n) ^n\sqrt a$.Komplexe Exponenten sollten in den Zähler gebracht werden.Benutzen Sie de Moivres Gesetz, das eine Formel für die $n$ komplexen $n$-ten Wurzeln einer Zahl beinhaltet.Setzen Sie bestimmte ganze Zahlen für den ganzzahligen Parameter ein, um eine Liste von Lösungen zu erhalten.Benutzen Sie die Definition von Logarithmen: $b^(log(b,a)) = a$Ein Logarithmus im Exponenten kann mit dem Gesetz $b^(n log(b,a)) = a^n$ vereinfacht werden$log(b,b) = 1$$log(b,b^n) = n$Ein log eines Produkts kann mit dem Gesetz $log xy = log x + log y$ vereinfacht werdenDer log eines reziproken Wertes kann mit dem Gesetz $log (1/x) = -log x$ vereinfacht werdenZum Teilen Logarithmen subtrahieren: $log x/y = log x-log y$$log(b,1) = 0$Faktorisieren Sie die Basis von Logarithmen, z.B. $log(4,x)=log(2^2,x)$$log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$$log x^n = n log x$Klammern Sie Potenzen aus der Basis des Logarithmus aus.$log x + log y = log xy$$log x - log y = log x/y$$log x + log y - log z =log xy/z$$n log x = log x^n$ ($n$ reell)Machen Sie Logarithmen zu natürlichen Logarithmen.Ändern Sie die Logarithmen zur Basis 10.Ändern Sie die Basis der Logarithmen.Ändern Sie die Logarithmen zu einer gemeinsamen Basis, indem Sie das Gesetz $log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$ anwendenLogarithmen zur Basis 10 können als log geschrieben werdenLogarithmen zur Basis $e$ können als ln geschrieben werdenÄndern Sie log in lnÄndern Sie ln in logDrücken Sie die Potenz mit der Variablen im Exponenten aus: $u^v = b^(v log(b,u))$.Für Null ist die Sinusfunktion null.Für Null ist die Kosinusfunktion eins.Für Null ist die Tangensfunktion null.Die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei Vielfachen von $\pi $cos nimmt bei geraden Vielfachen von $\pi $ den Wert 1 anDie Nullstellen der Tangensfunktion sind bei Vielfachen von $\pi $Weil die trig. Funktionen periodisch sind, sollten Sie solch einen Winkel von weniger als $360\deg $ finden. Wählen Sie eine trig. Funktion mit einem Argument im falschen Bereich.Weil die trig. Funktionen periodisch sind, sollten Sie solch einen Winkel von weniger $2\pi $ als  finden. Wählen Sie eine trig. Funktion mit einem Argument im falschen Bereich.Die Werte von trig. Funktionen sind bekannt, wenn der Winkel ein Vielfaches von $90\deg $ ist.Benutzen Sie die Verhältnisse in einem $1-2-\sqrt 3$ Dreieck.Benutzen Sie die Verhältnisse in einem $1-1-\sqrt 2$ Dreieck.Ändern Sie Radianten zu Grad.Ändern Sie Grad zu Radianten.Drücken Sie den Winkel in der Form $a 30\deg  + b 45\deg $ aus; dann können Sie Additionstheoreme benutzen, um ihn aufzuteilen.Berechnen Sie numerischDrücken Sie tan durch sin und cos ausDrücken Sie cot durch tan ausDrücken Sie cot durch cos und sin ausDrücken Sie sec durch cos ausDrücken Sie csc durch sin ausFassen Sie sin und cos in tan zusammenFassen Sie cos und sin in cot zusammenÄndern Sie $1 / sin$ in cscÄndern Sie $1 / cos$ in secÄndern Sie $1 / tan$  in cotÄndern Sie $1 / tan$  in $cos / sin$Ändern Sie $1 / cot$ in tanÄndern Sie $1 / cot$ in $sin / cos$Ändern Sie $1 / sec$ in cosÄndern Sie $1 / csc$ in sinDrücken Sie sin durch csc ausDrücken Sie cos durch sec ausDrückt tan durch cot ausWenden Sie das Gesetz $sin^2 u + cos^2 u = 1$ an.Suchen Sie einen Ausdruck der Form $1 - sin^2 u$.Suchen Sie einen Ausdruck der Form $1 - cos^2 u$Versuchen Sie, $sin^2$ als $1 - cos^2$ neu zu schreibenVersuchen Sie, $cos^2$ als $1 - sin^2$ neu zu schreibenWenden Sie das Gesetz $sec^2 u - tan^2 u = 1$ an.Suchen Sie einen Ausdruck der Form $tan^2 u + 1$.Suchen Sie einen Ausdruck der Form $sec^2 u - 1$.Versuchen Sie, $sec^2$ als $tan^2 + 1$ neu zu schreibenVersuchen Sie, $tan^2$ als $sec^2 u - 1$ neu zu schreibenLassen Sie alle Potenzen von $sin$ verschwinden, indem Sie $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$ anwendenLassen Sie alle Potenzen von $cos$ verschwinden, indem Sie $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$ anwendenLassen Sie alle Potenzen von $tan$ verschwinden, indem Sie $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ anwendenLassen Sie alle Potenzen von $sec$ verschwinden, indem Sie $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$ anwendenFassen Sie Potenzen von $(1-cos t)$ und $(1+cos t)$ zu einer Potenz von $sin^2 t$ zusammenFassen Sie Potenzen von $(1-sin t)$ und $(1+sin t)$ zu einer Potenz von $cos^2 t$ zusammenSuchen Sie einen Ausdruck der Form $csc^2 u - cot^2 u$Suchen Sie einen Ausdruck der Form $cot^2 u + 1$Suchen Sie einen Ausdruck der Form $csc^2 u - 1$Versuchen Sie, $csc^2$ als $cot^2 + 1$ zu schreibenVersuchen Sie, $cot^2$ als $csc^2 - 1$ zu schreibenDrücken Sie $csc(\pi /2-\theta )$ durch $sec \theta $ ausDrücken Sie $cot(\pi /2-\theta )$ durch $tan \theta $ ausLassen Sie alle Potenzen von $cot$ verschwinden, indem Sie $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$ anwendenLassen Sie alle Potenzen von $csc$ verschwinden, indem Sie $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$ anwendenBenutzen Sie die Formel für $sin(u+v)$Benutzen Sie die Formel für $sin(u-v)$Benutzen Sie die Formel für $cos(u+v)$Benutzen Sie die Formel für $cos(u-v)$Benutzen Sie die Formel für $tan(u+v)$Benutzen Sie die Formel für $tan(u-v)$Benutzen Sie die Formel für $cot(u+v)$Benutzen Sie die Formel für $cot(u-v)$Benutzen Sie die Doppelwinkelformel für sinSie haben eine Formel der Form $cos(2\theta )$. Es gibt drei verschiedene Doppelwinkelformeln, die mit $cos(2\theta )$ anfangen. Wählen Sie sorgsam aus, und bedenken Sie, was als nächstes kommen wird.Wählen Sie die Summe aus, die $cos(2\theta )+1$ enthält.Wählen Sie die Summe aus, die $cos(2\theta )-1$ enthält.Benutzen Sie die Doppelwinkelformel für tanBenutzen Sie die Doppelwinkelformel für cotEin Produkt von sin mal cos kann zu einer einzelnen trig. Funktion vereinfacht werden, indem das Gesetz $sin \theta  cos \theta  = \onehalf  sin 2\theta $ angewandt wirdEin Produkt von sin mal cos kann zu einer einzelnen trig. Funktion vereinfacht werden, indem das Gesetz $2 sin \theta  cos \theta  = sin 2\theta $ angewandt wirdFassen Sie einige Ausdrücke zusammen, um den Kosinus eines Doppelwinkels zu erhalten.Formen Sie eine trig. Funktion um, indem Sie $n\theta $ als $(n-1)\theta  + \theta $ schreiben und ein Additionstheorem benutzen.Es gibt eine Formel, um $sin(3\theta )$ umzuformen.Es gibt eine Formel, um $cos(3\theta )$ umzuformen.Sie können $sin n\theta $ als Polynom in $sin \theta $ und $cos \theta $ umformen.Sie können $cos n\theta $ als Polynom in $sin \theta $ und $cos \theta $ umformen.Sie könnten mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren.Sie könnten die Seiten vertauschen.Bringen Sie einen passenden Term von links nach rechts.Bringen Sie einen passenden Term von rechts nach links.Addieren Sie etwas auf beiden Seiten.Ziehen Sie etwas von beiden Seiten ab.Multiplizieren Sie beide Seiten mit etwas.Kürzen Sie einen Term auf beiden Seiten.Potenzieren Sie beide Seiten mit demselben Exponenten.Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten.Ziehen Sie die $n$-te Wurzel von beiden Seiten.Wenden Sie eine Funktion auf beiden Seiten an.Vielleicht gilt gar keine Gleichheit. Prüfen Sie das numerisch. Wenn es keine Gleichheit ist, sollten Sie bald eine Zahl finden, die beide Seiten ungleich macht.Substituieren Sie.Wann ist $sin(u) = 1/2$ ?Wann ist $sin(u) = -1/2$ ?Wann ist $sin(u) = \sqrt 3/2$ ?Wann ist $sin(u) = -\sqrt 3/2$ ?Wann ist $cos(u) = \sqrt 3/2$ ?Wann ist $cos(u) = -\sqrt 3/2$ ?Wann ist $cos(u) = 1/2$ ?Wann ist $cos(u) = -1/2$ ?Wann ist $tan(u) = 1/\sqrt 3$ ?Wann ist $tan(u) = -1/\sqrt 3$ ?Wann ist $tan(u) = \sqrt 3$ ?Wann ist $tan(u) = -\sqrt 3$ ?Wann ist $sin(u) = 1/\sqrt 2$ ?Wann ist $sin(u) = -1/\sqrt 2$ ?Wann ist $cos(u) = 1/\sqrt 2$ ?Wann ist $cos(u) = -1/\sqrt 2$ ?Wann ist $tan(u) = 1$ ?Wann ist $tan(u) = -1$ ?Wann ist $sin u = 0$ ?Wann ist $sin u = 1$ ?Wann ist $sin u = -1$ ?Wann ist $cos u = 0$ ?Wann ist $cos u = 1$ ?Wann ist $cos u = -1$ ?Wann ist $tan u = 0$ ?Wann ist $cot u = 0$ ?Sie können den sin loswerden, indem Sie den arcsin nehmen; es wird dann aber mehr Lösungen geben.Sie können den cos loswerden, indem Sie den arccos nehmen; es wird dann aber mehr Lösungen geben.Versuchen Sie, den arctan zu nehmen, um den Tangens loszuwerden.Rechnen Sie den arcsin aus.Rechnen Sie den arccos aus.Rechnen Sie den arctan aus.Lassen Sie den arccot verschwinden, indem Sie das Gesetz $arccot x = arctan (1/x)$ anwendenLassen Sie den arcsec verschwinden, indem Sie das Gesetz $arcsec x = arccos (1/x)$ anwendenLassen Sie den arccsc verschwinden, indem Sie das Gesetz $arccsc x = arcsin (1/x)$ anwendenarcsin ist eine punktsymmetrische Funktion.Obwohl arccos weder eine achsensymmetrische noch eine punktsymmetrische Funktion ist, kann man das Gesetz $arccos(-x) = \pi -arccos x$ anwendenarctan ist eine punktsymmetrische FunktionIhre Lösungen schließen einen ganzzahligen Parameter ein, also gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn die ursprüngliche Gleichung periodisch ist mit der Periode $2\pi $, sollten Sie Ihre Lösungen in der Form $c + 2n\pi $ neu schreiben. Dann müssen Sie nur die Lösungen in einer Periode überprüfen.Denken Sie dran: Die Werte von sin liegen alle zwischen $-1$ und 1.Denken Sie dran: Die Werte von cos liegen alle zwischen $-1$ und 1.$tan(arcsin x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$tan(arccos x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$tan(arctan x)$ ist $x$.$sin(arcsin x)$ ist $x$.$sin(arccos x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$sin(arctan x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$cos(arcsin x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$cos(arccos x)$ ist $x$.$cos(arctan x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$sec(arcsin x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$sec(arccos x)$ ist $1/x$.$sec(arctan x)$ ist eine algebraische Funktion von $x$.$arctan(tan \theta )$ ist $\theta $, wenn $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$$arcsin(sin \theta )$ ist $\theta $, wenn $-\pi /2\le \theta \le \pi /2$$arccos(cos \theta )$ ist $\theta $, wenn $0\le \theta \le \pi $$arctan(tan x)$ ist im allgemeinen nicht gleich $x$, aber es ist $x$ minus ein bestimmtes Vielfaches von $pi$, kann also als $x + c1$ ausgedrückt werden, wobei $c1$ in den Intervallen, wo $tan x$ definiert ist, konstant ist.$arcsin x$ und $arccos x$ sind Komplementwinkel.$arctan x$ und $arctan 1/x$ sind Komplementwinkel, aber achten Sie auf die Vorzeichen, wenn $x$ negativ ist.Denken Sie daran, dass cos der sin des Komplements ist. Also ist der cos des Komplements der sin. D.h. $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $.Denken Sie daran, dass cos der sin des Komplements ist. D.h. $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $.Denken Sie daran, dass cot der tan des Komplements ist. Also ist der cot des Komplements der tan. D.h. $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $.Denken Sie daran, dass cot der tan des Komplements ist. D.h. $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $.Denken Sie daran, dass csc der sec des Komplements ist. Also ist der csc des Komplements der sec. D.h. $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $.Denken Sie daran, dass csc der sec des Komplements ist. D.h. $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $.Schreiben Sie den sin als den cos des Komplements.Schreiben Sie den cos als den sin des Komplements.Schreiben Sie den tan als den cot des Komplements.Schreiben Sie den cot als den tan des Komplements.Schreiben Sie den sec als den csc des Komplements.Schreiben Sie den csc als den sec des Komplements.Denken Sie daran, dass cos der sin des Komplements ist. D.h. $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $.Denken Sie daran, dass cot der tan des Komplements ist. D.h. $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $.Denken Sie daran, dass csc der sec des Komplements ist. D.h. $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $.Fassen Sie die Grade in einem einzelnen Ausdruck zusammen.Sin ist eine punktsymmetrische Funktion.Cos ist eine achsensymmetrische Funktion.Tan ist eine punktsymmetrische Funktion.Cot ist eine punktsymmetrische Funktion.Sec ist eine achsensymmetrische Funktion.Csc ist eine punktsymmetrische Funktion.Sin zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Cos zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Tan zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Cot zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Sec zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Csc zum Quadrat ist eine achsensymmetrische Funktion.Sin ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.Cos ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.Tan ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.Sec ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.Csc ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.Cot ist periodisch; benutzen Sie die Formel, die das berücksichtigt.$sin^2$ ist periodisch mit der Periode $\pi $, auch wenn die Periode von sin $2\pi .$ ist$cos^2$ ist periodisch mit der Periode $\pi $, auch wenn die Periode von cos $2\pi .$ ist$sec^2$ ist periodisch mit der Periode $\pi $, auch wenn die Periode von sec $2\pi .$ ist$csc^2$ ist periodisch mit der Periode $\pi $, auch wenn die Periode von csc $2\pi .$ istVerkleinern Sie den Winkel mit $sin u = -sin(u-\pi )$Verkleinern Sie den Winkel mit $sin u = sin(\pi -u)$Verkleinern Sie den Winkel mit $cos u = -cos(u-\pi )$Verkleinern Sie den Winkel mit $cos u = -cos(\pi -u)$Werden Sie $sin^2$ los, indem Sie eine Halbwinkelformel benutzen.Werden Sie $cos^2$ los, indem Sie eine Halbwinkelformel benutzen.Ein Produkt von sin und cos kann mit dem Gesetz $sin \theta  cos \theta  = \onehalf  sin 2\theta $ vereinfacht werdenBenutzen Sie eine HalbwinkelformelSchreiben Sie $\theta $ als $2(\theta /2)$; Sie finden diese Verfahren bei den Halbwinkelformeln.Sie können $sin x cos x$ als $\onehalf sin 2x$ ausdrückenSie können $sin x cos y$ als eine Summe von Sinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $cos x sin y$ als eine Differenz von Sinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $sin x sin y$ als eine Differenz von Kosinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $cos x cos y$ als eine Summe von Kosinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $sin x + sin y$ als ein Produkt von Sinussen und Kosinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $sin x - sin y$ als ein Produkt von Sinussen und Kosinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $cos x + cos y$ als ein Produkt von Kosinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSie können $cos x - cos y$ als ein Produkt von Sinussen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz von $x$ und $y$ sind, schreibenSetzen Sie u,v für die Ausdrücke in den trig. Funktionen ein.Versuchen Sie es numerisch.Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte, zumindest wenn diese existieren.Der Grenzwert einer Differenz ist die Differenz der Grenzwerte, zumindest wenn diese existieren.Der Grenzwert einer Konstanten ist diese Konstante.Der Grenzwert von $x$, wenn $x$ gegen $c$ geht, ist einfach $c$ selbst.Sie können eine Konstante aus dem Grenzwert herausziehen. Sie können ein Minuszeichen aus dem Grenzwert herausziehen.Der Grenzwert eines Produkts ist das Produkt der Grenzwerte, zumindest wenn diese existieren.Der Grenzwert einer (konstanten) Potenz ist die Potenz des Grenzwertes.Der Grenzwert von $c^v$ ist $c$ hoch $lim v$, wenn $c$ konstant ist.$lim u^v=(lim u)^(lim v)$Der Grenzwert einer Quadratwurzel ist die Quadratwurzel des Grenzwertes, zumindest wenn er positiv ist.Der Grenzwert einer ungeraden Wurzel ist die Wurzel des Grenzwertes.Der Grenzwert einer Wurzel ist die Wurzel des Grenzwertes, zumindest wenn er positiv ist.Sie können mit MathExperte Grenzwerte von Polynomen in einem Schritt berechnen.Bringen Sie den Grenzwert in das Betragszeichen.Sie können eine Konstante aus dem Zähler ausklammern: $lim cu/v  = c lim u/v$Der Grenzwert eines reziproken Wertes ist der reziproke Wert des Grenzwertes; allgemeiner: wenn $c$ konstant ist, haben wir $lim c/v  = c/lim v$Der Grenzwert eines Quotienten ist der Quotient der Grenzwerte, zumindest wenn der Grenzwert im Nenner nicht null ist.Klammern Sie Potenzen von $(x-a)$ in einem Grenzwert aus, wenn $x$ sich $a$ nähert.Sie können mit MathExperte den Grenzwert einer rationalen Funktion in einem Schritt berechnen.Manchmal hilft es, $a^n/b^n als (a/b)^n$ zu schreiben.Entfernen Sie die Wurzeln aus dem Bruch. Suchen Sie nach diesem Verfahren bei Grenzwert von Quotienten.Vereinfachen Sie Ihren Grenzwert, indem Sie einen einfachen Teil ausklammern, der einen endlichen Grenzwert hat, der nicht null ist. D.h. Drücken Sie $lim uv$ als $lim u lim v$ aus, wobei $lim u$ endlich und nicht null ist. Z.B. könnten Sie $sin(x)/x$ aus dem Grenzwert von $sin^2(x) /x$ ausklammern, wenn $x$ gegen 0 geht.Klammern Sie eine Konstante aus.Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit irgend etwas. Das Ziel ist, den Grenzwert im Nenner nicht null zu machen.Teilen Sie Zähler und Nenner durch irgend etwas. Das Ziel ist, den Grenzwert im Nenner nicht null zu machen.Teilen Sie Zähler und Nenner durch irgend etwas und dann bringen Sie den Grenzwert in Zähler und Nenner. Wählen Sie das, durch das geteilt wird so, dass der Nenner einen Grenzwert hat, der nicht null ist.Bei den Verfahren für Grenzwerte von Quotienten werden Sie eine algebraische Formel finden, die helfen könnte: $$(ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q$$Sie können den Nenner in die Quadratwurzel bringen (ihn quadrieren).Sie können den Nenner in die Quadratwurzel bringen (ihn quadrieren), aber achten Sie auf das Vorzeichen.Sie können den Nenner in die Wurzel bringen.Sie können den Nenner in die Wurzel bringen, aber achten Sie auf das Vorzeichen.Sie können den Zähler in die Quadratwurzel bringen (ihn quadrieren).Sie können den Zähler in die Quadratwurzel bringen (ihn quadrieren), aber achten Sie auf das Vorzeichen.Sie können den Zähler in die Wurzel bringen.Sie können den Zähler in die Wurzel bringen, aber achten Sie auf das Vorzeichen.Benutzen Sie das Gesetz von L'Hospital.Sie können mit MathExperte die Ableitung in einem Schritt berechnenBringen Sie alles außer den Logarithmus in den Nenner, und wenden Sie das Gesetz von L'Hospital an. Wählen Sie den ganzen Grenzwertausdruck aus, um das richtige Verfahren zu finden.Bringen Sie den negativen Exponenten als einen positiven Exponenten in den Nenner, und wenden Sie dann das Gesetz von L'Hospital an.Bringen Sie die Exponentialfunktion in den Nenner, und wenden Sie dann L'Hospitals Gesetz an.Bringen Sie eine trig. Funktion in den Nenner (trig. Gleichheit benutzen), und wenden Sie dann L'Hospitals Gesetz an.Machen Sie das Produkt zu einem Bruch, indem Sie einen oder mehrere Faktoren in den Nenner bringen, und schaffen Sie so einen Doppelbruch.Bringen Sie die Brüche über einen gemeinsamen Nenner und vereinfachen Sie.Es gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(sin t)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(tan t)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(1-cos t)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(1-cos t)/t^2$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(1+t)^(1/t)$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(ln(1+t))/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(e^t-1)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(e^(-t)-1)/t$ beinhaltetDie Singularität von $ln x$ am Ursprung ist so schwach, dass jede positive Potenz von $t$ sie eliminieren würde. MathExperte hat ein Verfahren, um solche Grenzwerte in einem Schritt zu behandeln. Oder Sie bringen die Potenz in den Nenner und wenden L'Hospitals Gesetz an.Die Funktion $cos(1/t)$ oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1, wenn $t$ sich 0 nähert.Die Funktion $sin(1/t)$ oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1, wenn $t$ sich 0 nähert.Die Funktion $tan(1/t)$ benimmt sich ziemlich wild, wenn $t$ sich 0 nähert.Die Funktion $cos t$ oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1, wenn $t$ gegen unendlich geht.Die Funktion $sin t$ oszilliert unendlich oft zwischen -1 und 1, wenn $t$ gegen unendlich geht.Die Funktion $tan t$ nimmt alle reellen Werte für beliebig große $t$ an, also kann es sich jedem Grenzwert nähern, wenn $t$ gegen unendlich geht.Es gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(sinh t)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(tanh t)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(cosh t -1)/t$ beinhaltetEs gibt einen spezielle Grenzwertformel, die $(cosh t - 1)/t^2$ beinhaltetDer Grenzwert von ln ist ln des Grenzwertes, zumindest wenn es positiv ist.Grenzwerte von stetigen Funktionen werden mit $lim f(u)=f(lim u)$ berechnet. Dies ist die \it Definition \rm von Stetigkeit.Sie können die Grenzwertvariable mit der Formel für die Komposition von Funktionen ändern. $$lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))$$Sie können MathExperte bitten, einen einfachen Grenzwert in einem Schritt zu berechnen.Um den Grenzwert einer nichtkonstanten Potenz zu berechnen, machen Sie erst die Basis konstant, indem Sie das Gesetz $lim u^v = lim e^(v ln u)$ anwenden.Wenn der Grenzwert eines Produkts unbestimmt zu sein scheint, können Sie es mit dem Gesetz $lim uv = lim v/(1/u)$ versuchen. Manchmal kann der resultierende Grenzwert eines Quotienten bestimmt werden.Ein Grenzwert ist undefiniert, wenn die Funktion, deren Grenzwert gebildet wird, in einer passenden Umgebung des Grenzwertpunktes nicht definiert ist.Versuchen Sie das Gesetz: $$lim(t->a, u) = e^(lim(t->a, ln u))$$Vielleicht können Sie einen schwierigen Term, vielleicht einen oszillierenden Faktor, mit einem Grenzwertsatz (lim v = 0 und u beschränkt, dann ist lim uv = 0) entfernen.Sie können etwas ähnliches wie Nenner rational machen tun, auch wenn es keinen Nenner gibt: $$lim(t->a, sqrt(u)-v)=lim(t->a, (sqrt(u)-v)(sqrt(u)+v)/(sqrt(u)+v))$$Sie können alles außer den führenden Termen in Zähler und Nenner vernachlässigen.Ein komplizierter Grenzwert kann durch den Grenzwert des führenden Terms ersetzt werden.Sie können eine Summe in einem Grenzwert manchmal durch ihren führenden Term ersetzen, aber nicht immer. Sie müssen aufpassen, dass sich die führenden Terme nicht zu null auflösen, was Sie die richtige Antwort unter den Ausdrücken, die Sie vernachlässigt haben, verlieren lässt.Ein Ausdruck mit undefinierten Teilausdrücken ist auch selbst nicht definiert$lim(e^u) = e^(lim u)$$lim(ln u) = ln(lim u)$Eine algebraische Funktion dominiert einen Logarithmus.Wenn $t$ groß ist, ist $t^n$ auch groß, also ist $1/t^n$ klein.Wenn $t$ groß ist, ist $t^n$ auch groß.Wenn $t$ groß ist, ist $e^t$ auch groß.Wenn $t$ groß und negativ ist, ist $e^t$ sehr klein.Wenn $t$ groß ist, ist $ln t$ auch groß.Wenn $t$ groß ist, ist $\sqrt t$ auch groß.Wenn $t$ groß ist, ist $^n\sqrt t$ auch groß.Wenn $abs(t)$ groß ist, ist $arctan t$ nahe $pi/2$ oder $-pi/2$Arccot von großen positiven Zahlen ist nahe null.Arccot von großen positiven Zahlen ist nahe $pi$Wenn $abs(t)$ groß ist, ist $tanh t$ nahe 1 oder -1.$lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$$lim(sin u) = sin(lim u)$, wenn der Grenzwert endlich ist.$lim(cos u) = cos(lim u)$, wenn der Grenzwert endlich istGrenzwerte gegen Unendlich können zu Grenzwerten gegen null gemacht werden, wenn $f(t)$ durch $f(1/t)$ ersetzt wird.Wenn $u$ klein ist, ist $1/u^2^n$ groß.Wenn $u$ klein ist, ist $1/u^n$ groß, aber wenn $n$ ungerade ist, hat es gegensätzliche Vorzeichen für $u$ positiv und $u$ negativ, was für den beidseitigen Grenzwert Probleme bereitet, wenn sich $u$ null nähert.Wenn $u$ klein und positiv ist, ist $1/u^n$ groß.Wenn $u$ klein und negativ ist, ist $1/u^n$ groß und (wenn $n$ ungerade ist) negativ.Wenn sich der Nenner null nähert und der Zähler nicht, ist der Grenzwert nicht definiert.Wenn $t$ klein und positiv ist, ist  $ln t$ groß und negativ.tan $t$ hat Singularitäten bei ungeraden Vielfachen von $\pi /2$. Aber es nähert sich den Singularitäten mit verschiedenen Vorzeichen von links und rechts.cot $t$ hat Singularitäten bei Vielfachen von $\pi $. Aber es nähert sich den Singularitäten mit verschiedenen Vorzeichen von links und rechts.sec $t$ hat Singularitäten bei ungeraden Vielfachen von $\pi /2$. Aber es nähert sich den Singularitäten mit verschiedenen Vorzeichen von links und rechts.csc $t$ hat Singularitäten bei Vielfachen von $\pi $. Aber es nähert sich den Singularitäten mit verschiedenen Vorzeichen von links und rechts.Multiplizieren Sie einen Faktor und teilen Sie den anderen durch etwas, das es möglich macht, die Grenzwerte zu berechnen.$\pm \infty /$positiv = $\pm \infty $nicht null$/\pm \infty  = 0$positiv$\times \pm \infty  = \pm \infty $$\pm \infty \times \infty  = \pm \infty $$\pm \infty  +$ endlich$ = \pm \infty $$\infty  + \infty  = \infty $$u^\infty  = \infty $, wenn $u > 1$$u^\infty  = 0$, wenn $0 < u < 1$$u^(-\infty ) = 0$, wenn $u > 1$$u^(-\infty ) = \infty $, wenn $0 < u < 1$$\infty ^n = \infty $, wenn $n > 0$Sie haben eine Summe, die Unendlichkeiten verschiedener Vorzeichen enthält; solche Summen sind nicht definiert.$a/0+ = \infty $, wenn $a>0$$a/0- = -\infty $, wenn $a>0$$a/0 =$ undefiniert$\infty /0+ = \infty $$\infty /0- = -\infty $$\infty /0 = $ undefiniert$\infty /0^2 = \infty $$\infty /0^2^n = \infty $$a/0^2 = \infty , wenn a > 0$$a/0^2 = -\infty , wenn a < 0$$a/0^2^n = \infty , wenn a > 0$$a/0^2^n = -\infty , wenn a < 0$$ln \infty  = log \infty  = \infty $$\sqrt \infty  = \infty $$^n\sqrt \infty  = \infty $$arctan \pm \infty  = \pm \pi /2$$arccot \infty  = 0$$arccot -\infty  = \pi $$arcsec \pm \infty  = \pi /2$$arccsc \pm \infty  = 0$trig. Grenzwerte sind nicht definiert, weil die trig. Funktionen oszillieren (oder schlimmer)$cosh \pm \infty  = \infty $$sinh \pm \infty  = \pm \infty $$tanh \pm \infty  = \pm 1$$ln 0 = -\infty $Die Ableitung einer Konstanten ist null. Hier meint eine 'Konstante' alles, was nicht von der Variablen abhängt, nach der Sie differenzieren.Sie haben einen Ausdruck $dx/dx$. Sie sollten 1 daraus machen.Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.Sie können ein Minuszeichen aus der Ableitung herausziehenSie können eine Konstante aus der Ableitung herausziehenBenutzen Sie das 'Potenzgesetz', um eine Potenz zu differenzieren.Sie können mit MathExperte ein Polynom in einem Schritt differenzieren.Nach Definition: $f'(x) = d/dx f(x)$.Benutzen Sie die Formel, die eine Ableitung als einen bestimmten Grenzwert definiert. Sie finden Sie bei den anderen Verfahren für Ableitungen.Sie können MathExperte bitten, ein Polynom in einem Schritt zu differenzieren.Die Ableitung einer Summe (oder Differenz) ist die Summe (oder Differenz) der Ableitungen.Sie haben eine Konstante im Nenner. Ziehen Sie sie heraus: $$diff(u/c,x)=(1/c)diff(u,x)$$. Konstanten im Zähler werden Sie auch herausbekommen.Benutzen Sie die 'Produktregel' für AbleitungenEs gibt eine einfache Formel für die Ableitung eines reziproken Wertes: $$diff(1/v,x) = -diff(v,x)/v^2$$. Diesen Spezialfall der Quotientenregel sollte man sich merken.Benutzen Sie die 'Quotientenregel' für AbleitungenEs gibt eine Formel für die Ableitung einer Quadratwurzel. Oft ist es viel einfacher, eine Quadratwurzel direkt abzuleiten, als sie in einen Bruch im Exponenten zu verwandeln und dann das Potenzgesetz zu verwenden.Um eine Wurzel zu differenzieren, bringen Sie sie zuerst in Form eines Bruches im Exponenten.Um eine Potenz im Nenner zu differenzieren, müssen Sie sie nicht erst in einen negativen Exponenten umwandeln, wie das so viele Studenten tun. Sie können das Potenzgesetz direkt in der Form $$diff(c/xü,x) = -nc/x^(n+1)$$ anwendenEs gibt eine einfache Formel, zum Beträge zu differenzieren: $d/dx |x| = x/|x|$. Wenn Ihr Lehrbuch diese Formel auslässt, prüfen Sie sie selber, indem Sie wenn die Fälle  $x$ positiv bzw. negativ unterscheiden. Wenn $x=0$ ist, sind natürlich beide Seiten der Formel undefiniert.Nach Definition: $f'(x) = d/dx f(x)$Hier muss Arithmetik angewandt werden.dummy%�|�4I:;I!I7I$>$>.�@:;'I?	:;I
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