Sindbad~EG File Manager
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�C_��@� k� @� k�@� ��� � ��_��{B��� ��_� Hier muss Arithmetik angewandt werden. Dummy Wenden Sie Dezimalarithmetik an. Berechnen Sie den Dezimalwert einer Wurzel. Berechnen Sie den Dezimalwert einer Potenz. Berechnen Sie den Dezimalwert. Es könnte helfen, eine ganze Zahl in Faktoren zu zerlegen, z.B. unter einer Wurzel oder einem Quadratwurzelzeichen. Berechnen Sie den Wert in einem Punkt numerisch. Berechnen Sie den Dezimalwert. Berechnen Sie einen numerischen Wert einer Funktion. Sie können immer Näherungsmethoden benutzen, um die Wurzeln eines Polynoms numerisch zu berechnen und so ihre Faktoren zu finden, zumindest bis zu den wesentlichen Nachkommastellen. Wählen Sie 'Polynom numerisch faktorisieren', um den Computer das tun zu lassen. Bewerten Bernoulli Zahl auf eine rationale Zahl Bewerten Euler Zahl auf eine rationale Zahl Wandeln Sie eine Dezimalzahl in einen Bruch um. Drücken Sie eine Zahl in der Form x^2 aus Drücken Sie eine Zahl in der Form x^3 aus Drücken Sie eine Zahl als eine $n$-te Potenz für ein passendes $n$ aus. Drücken Sie eine Zahl als eine Potenz einer bestimmten Basis aus. Drücken Sie eine ganze Zahl als Potenz aus; schreiben Sie z.B. $9$ als $3^2$. Drücken Sie eine ganze Zahl als Summe aus, indem Sie $x = ? + (x-?)$ benutzen Benutzen Sie die Definition der komplexen Zahl $i$, nämlich $i^2 = -1$. Ganzzahlige Potenzen der komplexen Zahl $i$ können vereinfacht werden. Hier muss komplexe Arithmetik angewandt werden. Es gibt eine Potenz einer komplexen Zahl, die ausgerechnet werden kann. Wenden Sie komplexe Dezimalarithmetik an Es könnte helfen, eine ganze Zahl in Faktoren zu zerlegen. Manchmal kann eine ganze Zahl in komplexe Faktoren zerlegt werden, wie z.B. $5 = (2-i)(2+i)$. Zerlegen Sie einen Ausdruck wie $n+mi$ in komplexe Faktoren. Z.B. $7-5i = (2-i)(3-i)$. Berechnen Sie den einzelnen Wert an einem Punkt. Lösen Sie das doppelte Minuszeichen auf. Schieben Sie das Minuszeichen in die Summe. Bringen Sie die Minuszeichen aus der Summe heraus. Wenn Sie eine Summe haben, die eine Summe enthält, können Sie die Terme neu anordnen, um die zusätzlichen Klammern verschwinden zu lassen. Bringen Sie die Terme in der Summe in die richtige Reihenfolge. Sie können einen Summanden, der null ist, weglassen, indem Sie das Gesetz $x+0 = x$ verwenden. Es gibt Ausdrücke, die sich wegkürzen lassen. Fassen Sie ähnliche Terme zusammen. Wenden Sie das Kommutativgesetz der Addition an. Klammern Sie ein Minuszeichen aus, indem Sie $a(b-c) = -a(c-b)$ benutzen. -ab = a(-b) -abc = ab(-c) a(-b)c = ab(-c) Null mal irgendeine Zahl ist null. Sie können einen Faktor, der eins ist, weglassen. Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $a(-b) = -ab$ benutzen Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $a(-b-c) = -a(b+c)$ benutzen Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $(-a-b)c = -(a+b)c$ benutzen Ordnen Sie die Faktoren neu, um die zusätzlichen Klammern loszuwerden, indem Sie das Assoziativgesetz der Multiplikation anwenden. Wenn in einem Produkt mehr als eine Zahl vorkommt, fassen Sie sie am Anfang des Produkts zusammen. Bringen Sie die Faktoren eines Produkts in die Standardreihenfolge. Fassen Sie Potenzen zusammen, d.h.: Kombinieren Sie Ausdrücke mit derselben Basis in einem einzelnen Ausdruck. Multiplizieren Sie aus, indem Sie das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$ anwenden. Wenden Sie das Gesetz, um $(a-b)(a+b)$ zu einer Differenz a^2 - b^2 zu machen, an. Multiplizieren Sie das Quadrat einer Summe aus, indem Sie die Standardformel benutzen. Multiplizieren Sie das Quadrat einer Differenz aus, indem Sie die Standardformel benutzen. Erkennen Sie eine Differenz von Zahlen hoch 3 in ihrer faktorisierten Form? Erkennen Sie eine Summe von Zahlen hoch 3 in ihrer faktorisierten Form? Benutzen Sie das Kommutativgesetz der Multiplikation. Ein Produkt von Summen, oder eine Potenz von Summen kann immer ausmultipliziert werden, um eine einzelne Summe zu erhalten. Manchmal führt dies zu weiteren Vereinfachungen, wenn das ursprüngliche Produkt oder die Potenz Teil einer größeren Summe ist. Vielleicht wird alles einfacher, wenn Sie den Zähler ausmultiplizieren. Vielleicht wird alles einfacher, wenn Sie den Nenner ausmultiplizieren. Benutzen Sie $na = a + ... + a$. Lassen Sie den Bruch mit der Null im Zähler verschwinden. Lassen Sie die 1 im Nenner verschwinden. Sie haben hier etwas mal seinem reziproken Wert-- das ergibt 1 Multiplizieren Sie die Brüche, um einen einzelnen Bruch zu erhalten Wenden Sie das Gesetz $a(b/c) = ab/c$ an, um einen einzelnen Bruch zu erhalten Kürzen Sie einen gemeinsamen Faktor aus Zähler und Nenner. Addieren Sie Brüche mit dem gleichen Nenner. Teilen Sie einen Bruch mit einer Summe im Zähler in zwei Brüche auf. Teilen Sie einen Bruch mit einer Summe im Zähler in zwei Brüche auf, von denen einer sich durch Kürzen vereinfachen lässt. Benutzen Sie Polynomdivision, um einen Bruch zu vereinfachen, wenn der Exponent des Zählers größer als der des Nenners ist. Sie können vielleicht durch Polynomdivision kürzen. Machen Sie die Zahlen im Zähler und Nenner zu einzelnen rationalen Zahlen, indem Sie das Gesetz au/bv=(a/b)(u/v) anwenden. Machen Sie den Nenner zu einem Koeffizienten, indem Sie das Gesetz $a/b = (1/b) a$ anwenden Klammern Sie die reellen Faktoren aus Zähler und Nenner aus, indem Sie $au/b = (a/b)u$ benutzen. Teilen Sie einen Bruch auf, indem Sie $ab/cd = (a/c)(b/d)$ benutzen. Fassen Sie die numerischen Teile aus Zähler und Nenner zu einem einzelnen Koeffizienten zusammen, indem Sie das Gesetz $ab/c = (a/c)b$ anwenden. Kürzen Sie die Minuszeichen in Zähler und Nenner. Bringen Sie das Minuszeichen in den Zähler, indem Sie das Gesetz $-(a/b) = (-a)/b$ benutzen. Bringen Sie das Minuszeichen in den Nenner, indem Sie das Gesetz $-(a/b) = a/(-b)$ benutzen. Klammern Sie dieses Minuszeichen aus dem Zähler aus, so dass es dem gesamten Bruch voransteht. Klammern Sie dieses Minuszeichen aus dem Nenner aus, so dass es dem gesamten Bruch voransteht. Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Zähler aus, indem Sie das Gesetz $(-a-b)/c = -(a+b)/c$ anwenden. Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Nenner aus, indem Sie das Gesetz $a/(-b-c) = -a/(b+c)$ anwenden. Passen Sie das Vorzeichen im Nenner an, indem Sie das Gesetz $a/(b-c) = -a/(c-b)$ anwenden. Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Nenner aus, indem Sie das Gesetz $-a/(-b-c) = a/(b+c)$ anwenden. Passen Sie das Vorzeichen an, indem Sie das Gesetz $-a/(b-c) = a/(c-b)$ anwenden Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Zähler aus, indem Sie das Gesetz $-(-a-b)/c = (a+b)/c$ anwenden. Stellen Sie die Reihenfolge im Zähler und im Nenner um. Wählen Sie dazu den gesamten Bruch aus. ab/c = a(b/c) Teilen Sie einen Bruch auf, indem Sie $a/bc = (1/b)(a/c)$ benutzen. Wenn Zähler und Nenner beides Brüche mit demselben Nenner sind, können Sie das Gesetz $(a/c)/(b/c) = a/b$ anwenden, um Doppelbrüche zu vereinfachen. Wenn der Nenner selbst ein Bruch ist, kehren Sie ihn um und multiplizieren Sie mit ihm, wobei Sie das Gesetz $a/(b/c)=ac/b$ anwenden Der reziproke Wert eines Bruchs kann mit dem Gesetz $1/(a/b) = b/a$ vereinfacht werden. Wenn der Zähler ein Bruch ist, können Sie das Gesetz $(a/b)/c = a/(bc)$ anwenden, um den Doppelbruch zu vereinfachen. Benutzen Sie $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$ Wenn der Zähler ein Produkt ist, das einen Bruch enthält, können Sie das Gesetz $(a/b)c/d = ac/bd$ anwenden Manchmal hilft es, den Nenner in Faktoren zu zerlegen. Wenn Sie eine Summe von Brüchen in Zähler oder Nenner haben, müssen Sie erst den Menüpunkt gemeinsamer Nenner benutzen, um diese Summe in einen einzelnen Bruch umzuwandeln. Dann können Sie fortfahren, indem Sie den resultierenden Doppelbruch vereinfachen. Zuerst zerlegen Sie den Nenner in Faktoren, dadurch wird der wahre gemeinsame Nenner sichtbar. Die Nenner sind nicht gleich. Daher müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden. Die Nenner sind nicht gleich. Daher müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden. Aber addieren Sie die Brüche nur. Sie haben ein Produkt von Brüchen, das noch nicht in einen einzelnen Bruch umgewandelt wurde. Multiplizieren Sie Ihre Brüche. Sie haben etwas mit einem Bruch multipliziert. Schreiben Sie das als einen einzelnen Bruch. Es ist vorteilhaft, die Faktoren in der richtigen Reihenfolge zu lassen. Es hilft, ähnliche Ausdrücke und Möglichkeiten zum Kürzen zu erkennen. Nun haben Sie Brüche mit dem gleichen Nenner. Sie können leicht addiert werden, um einen einzelnen Bruch zu erhalten. Sie haben Brüche, die Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen können. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit irgend etwas. Sie haben einen Exponenten, der null ist. Lassen Sie ihn verschwinden. Sie haben einen Exponenten, der eins ist. Lassen Sie ihn verschwinden. Null hoch irgend etwas (das nicht null ist) ist null. Eins hoch irgend etwas ist eins. Minus eins hoch einen ganzzahligen Exponenten kann berechnet werden: Das ergibt 1 für gerade und -1 für ungerade Exponenten. Sie haben eine Potenz hoch eine Potenz. Es gibt ein Gesetz, um so etwas in eine einzelne Potenz umzuwandeln. Sie können ein Minuszeichen aus einer Potenz ausklammern, indem Sie $(-a)^n = (-1)^na^n$ benutzen. Es könnte helfen, den Exponenten in den Zähler und Nenner zu bringen, indem Sie $(a/b)^n = a^n/b^n$ benutzen. Sie haben eine Potenz eines Produkts. Es würde den Ausdruck vereinfachen, wenn Sie den Exponenten hereinbringen würden, indem Sie $(ab)^n = a^nb^n$ benutzen. Sie können eine Summe zum Quadrat ausmultiplizieren, indem Sie $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ benutzen. Die Anwendung des binomischen Lehrsatzes könnte hier von Erfolg gekrönt sein. Sie haben zwei oder mehr Potenzen derselben Basis, die miteinander multipliziert sind. Fassen Sie diese Potenzen zusammen. Sie haben eine Potenz einer Summe; wandeln Sie sie in ein Produkt von Potenzen um. Sie haben einen Bruch der Form $a^n/b^n$. Klammern Sie den Exponenten aus dem Bruch aus: $(a/b)^n$. Sie haben Potenzen derselben Basis in Zähler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Zähler zusammen. Sie haben Potenzen derselben Basis in Zähler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Nenner zusammen. Multiplizieren Sie einen quadratischen Ausdruck aus. Multiplizieren Sie einen kubischen Ausdruck aus. Multiplizieren Sie eine Potenz aus. Teilen Sie eine Potenz in ein Produkt von kleineren Potenzen auf Multiplizieren Sie eine Summe zum Quadrat aus. Multiplizieren Sie die dritte Potenz einer Summe aus. Multiplizieren Sie die dritte Potenz einer Differenz aus. Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^b)^c$ an, wenn $a>0$ oder $c\in Z$. Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^c)^b$ an, wenn $a>0$ oder $c\in Z$. Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^b)^c$ an, indem Sie den Wert von $c$ angeben. Bringen Sie einen Exponenten aus dem Nenner heraus, indem Sie $1/a^n = (1/a)^n$ benutzen Benutzen Sie die Definition eines negativen Exponenten: $a^(-n) = 1/a^n$. Negative Exponenten im Zähler werden zu positiven Exponenten im Nenner. Benutzen Sie die Definition eines Exponenten von $-1$ : $a^(-1) = 1/a$. Negative Exponenten im Nenner werden zu positiven Exponenten im Zähler. Positive Exponenten im Nenner werden zu negativen Exponenten im Zähler. Sie können einen Bruch immer auflösen, indem Sie den Nenner in einen Term mit einem Exponenten von -1 umwandeln. Ein Bruch mit einem negativen Exponenten kann, nachdem der Kehrwert gebildet wurde, mit einem positiven Exponenten geschrieben werden. Wenden Sie das Gesetz $a^(b-c) = a^b/a^c$ an Fassen Sie Ihr Produkt von Quadratwurzeln in einer einzelnen Quadratwurzel zusammen. Machen Sie Ihre Quadratwurzel zu einem Produkt von Quadratwurzeln. Sie haben einen Faktor zum Quadrat unter dem Quadratwurzelzeichen. Ziehen Sie ihn raus-- aber passen Sie auf das Vorzeichen auf. Die Quadratwurzel von $x^2$ ist $x$, zumindest für positive $x$. Aber wenn $x$ negativ ist, müssen Sie daraus den Betrag von $x$ machen. Um die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu vereinfachen, beginnen Sie, diese Zahl in Faktoren zu zerlegen. Sie können die Quadratwurzel eines Bruches als Bruch der Quadratwurzeln schreiben, indem Sie $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$ benutzen Sie können die Quadratwurzel eines Bruches als Bruch der Quadratwurzeln schreiben, indem Sie $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$ benutzen. Die Betragszeichen sind nötig, wenn die Vorzeichen von $x$ und $y$ unbekannt sind. Sie haben einen Quotienten von Quadratwurzeln. Versuchen Sie, das als eine einzelne Quadratwurzel zu schreiben. Denken Sie daran: $\sqrt x$ mal $\sqrt x$ ist $x$. Dafür vereinfacht sich $x/\sqrt x$ zu $\sqrt x$. Denken Sie daran: $\sqrt x$ mal $\sqrt x$ ist $x$. Dafür vereinfacht sich $\sqrt x/x$ zu $/\sqrt x$. Eine gerade Potenz einer Quadratwurzel kann vereinfacht werden, indem Sie $(\sqrt x)^2^n = x^n$ benutzen. Das gilt zumindest für nicht negative $x$ Eine ungerade Potenz einer Quadratwurzel kann vereinfacht werden, indem Sie $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$ benutzen. Vielleicht kann die Quadratwurzel exakt berechnet werden? Berechnen Sie die Quadratwurzel, indem Sie Dezimalzahlen benutzen Haben Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor unter dem Quadratwurzelzeichen? Zerlegen Sie das Polynom unter dem Quadratwurzelzeichen in Faktoren. Machen Sie den Nenner rational. Das heißt, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem gleichen Ausdruck, um Quadratwurzeln im Nenner verschwinden zu lassen. Machen Sie den Zähler rational. Das heißt, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem gleichen Ausdruck, um Quadratwurzeln im Zähler verschwinden zu lassen. Eine Quadratwurzel einer geraden Potenz kann mit dem Betrag vereinfacht werden Es gibt einen gemeinsamen Faktor unter den Quadratwurzelzeichen in Zähler und Nenner. Kürzen Sie die gemeinsame Quadratwurzel. Multiplizieren Sie unter dem Quadratwurzelzeichen aus. Es könnte helfen an $b$ als das Quadrat von $\sqrt b$ zu denken, also $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$. Eine Wurzel mit dem Index 2 kann zu einer Quadratwurzel umgewandelt werden. Drücken Sie eine Quadratwurzel als Wurzel einer Potenz aus. Z.B. $\sqrt 2 = ^4\sqrt 4$ Drücken Sie eine Quadratwurzel als Potenz einer Wurzel aus. Z.B. $\sqrt 3 = (^4\sqrt 3)^2$ Eine gerade Potenz ist ein Quadrat. Also haben Sie ein Quadrat unter dem Quadratwurzelzeichen. Sie haben eine Potenz zweiter oder höherer Ordnung unter dem Quadratwurzelzeichen; bringen Sie einige Potenzen aus der Quadratwurzel heraus. Bringen Sie etwas unter die Quadratwurzel, indem Sie $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$ benutzen. Machen Sie den Nenner rational und vereinfachen Sie. Ein Exponent von $\onehalf $ kann in eine Quadratwurzel umgewandelt werden. Ein Bruch im Exponenten mit dem Nenner 2 kann in eine Quadratwurzel umgewandelt werden, indem Sie $a^(n/2) = \sqrt (a^n)$ benutzen. Ein Bruch im Exponenten mit dem Nenner $n$ kann in eine $n$-te Wurzel umgewandelt werden, indem Sie $a^(b/n) = ^n\sqrt (a^b)$ benutzen. Eine Quadratwurzel kann in einen Exponenten von $\onehalf $ umgewandelt werden Eine $n$-te Wurzel kann in einen Exponenten von $1/n$ umgewandelt werden Lassen Sie Wurzeln von Potenzen verschwinden, indem Sie sie zu Brüchen im Exponenten machen. Lassen Sie Potenzen von Wurzeln verschwinden, indem Sie sie zu Brüchen im Exponenten machen. Lassen Sie Potenzen von Quadratwurzeln verschwinden, indem Sie sie zu Brüchen im Exponenten machen. Eine $n$-te Wurzel im Nenner kann in einen negativen Exponenten von $1/n$ umgewandelt werden Drücken Sie eine Quadratwurzel im Nenner aus, indem Sie einen negativen Bruch im Exponenten benutzen. Potenzen von $-1$ können genau berechnet werden Zerlegen Sie eine ganze Zahl, die hoch einen Bruch im Exponenten genommen wurde, in Faktoren Bringen Sie den Bruch im Exponenten aus dem Nenner. Bringen Sie den Bruch im Exponenten aus dem Zähler. Machen Sie den Bruch im Exponenten in einer Leistung von einer Quadratwurzel Machen Sie den Bruch im Exponenten in einer Leistung von einer Wurzel Machen Sie das Produkt von Wurzeln zu einer einzelnen Wurzel. Teilen Sie die Wurzel eines Produkts in ein Produkt von Wurzeln. Bringen Sie den Exponenten aus der Wurzel heraus, so dass alles eine Funktion derselben Wurzel ist. Sie haben eine $n$-te Potenz unter einer $n$-ten Wurzel. Klammern Sie sie aus. Eine $n$-te Wurzel einer $n$-ten Potenz kann vereinfacht werden. Aber Achtung: $^n\sqrt (x^n) = x$ ist nicht immer wahr. Sie können die Wurzel vereinfachen: die dritte Wurzel von $x^6$ z.B. ist $x^2$ Manchmal können Sie den Index einer Wurzel verkleinern. Die 6te Wurzel von $x^3$ z.B. ist $\sqrt x$. Manchmal können Sie den Index einer Wurzel verkleinern. Z.B. ist die 6te Wurzel von $x^2$ die dritte Wurzel von $x$. Denken Sie an die Definition der $n$-ten Wurzel von $x$: Wenn Sie sie zur $n$-ten Potenz nehmen, erhalten Sie $x$. Sie haben die Potenz einer Wurzel. Bringen Sie den Exponenten unter die Wurzel wie in $(^n\sqrt x)^2 = ^n\sqrt (x^2)$. Sie haben die Potenz einer $n$-ten Wurzel, z.B. von $x$. Klammern Sie einige Faktoren von $x^n$ aus, bis die Potenz kleiner als $n$ ist. Beispiel: $(^3\sqrt 2)^7 = 2^2 ^3\sqrt 2$. Zerlegen Sie die ganze Zahl unter dem Wurzelzeichen in Faktoren. Sie haben eine ungerade Wurzel eines negativen Ausdrucks; bringen Sie das Minuszeichen vor die Wurzel. Vielleicht kann die Wurzel exakt berechnet werden? Zerlegen Sie das Polynom unter dem Wurzelzeichen in Faktoren. Multiplizieren Sie unter dem Wurzelzeichen aus. Eine Quadratwurzel einer Quadratwurzel kann als die vierte Wurzel ausgedrückt werden. Eine Quadratwurzel einer n-ten Wurzel kann als eine 2n-te Wurzel ausgedrückt werden. Eine n-te Wurzel einer Quadratwurzel kann als eine 2n-te Wurzel ausgedrückt werden. Eine Wurzel einer Wurzel kann als eine einzelne Wurzel ausgedrückt werden. Z.B. die dritte Wurzel einer vierten Wurzel ist die 12-te Wurzel. Machen Sie Ihre Wurzel eines Bruchs zu einem Bruchs zweier Wurzeln. Machen Sie einen Quotienten von zwei Wurzeln zu einer einzelnen Wurzel. Fassen Sie die Wurzeln in Zähler und Nenner zusammen, um eine einzelne Wurzel zu bekommen. Kürzen Sie einen Faktor unter dem Wurzelzeichen. Wählen Sie den ganzen Bruch aus. Kürzen Sie eine Wurzel aus Zähler und Nenner. Wählen Sie den ganzen Bruch aus. Zähler und Nenner haben einen gemeinsamen Faktor unter dem Wurzelzeichen. Wählen Sie den ganzen Bruch aus. Bringen Sie etwas unter die Wurzel, indem Sie $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$ benutzen. Bringen Sie ein Minuszeichen unter die Wurzel. Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Wurzel. Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Quadratwurzel. Eine Potenz einer Wurzel kann vereinfacht werden, indem man sie zu einer Wurzel mit einem kleineren Index macht Eine Potenz einer Wurzel kann vereinfacht werden, indem man sie zu einer Quadratwurzel macht. Sie wissen, dass $i^2$ $-1$ ist. Daraus folgt, dass $1/i$ $-i$ ist. Weil ja $1/i$ $-i$ ist, kann $i$ vom Nenner in den Zähler gebracht werden, wenn Sie das Vorzeichen des Bruchs ändern. Nach Definition kann die Quadratwurzel von $-1$ als $i$ geschrieben werden. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann mit $i$ dargestellt werden, indem das Gesetz $\sqrt (-a) = i\sqrt a$ angewandt wird. Sie können $i$ ganz aus dem Nenner herausbekommen, indem Sie Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Nenner multiplizieren. Eine komplexe Zahl mal ihre konjugiert komplexe Zahl vereinfacht sich (unter Anwendung von $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$). Sie können eine Summe von Ausdrücken hoch 2 in Faktoren zerlegen, indem Sie komplexe Zahlen benutzen (unter Anwendung von $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$). Nach dem Satz des Pythagoras haben wir $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ Nach dem Satz des Pythagoras haben wir $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ Drücken Sie den Quotienten als eine einzelne komplexe Zahl aus, indem Sie $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$ benutzen. Schreiben Sie komplexe Zahlen in der Form $u+vi$ Schreiben Sie eine komplexe Quadratwurzel in der Form $u+vi$ Klammern Sie eine Zahl aus. Lassen Sie Ihre numerischen Nenner verschwinden, um besser zu sehen, was los ist. Es gibt einen gemeinsamen Faktor, den sie ausmultiplizieren können, indem Sie das Distributivgesetz $ab+ac = a(b+c)$ anwenden Klammern Sie die größte gemeinsame Potenz aus. Fällt Ihnen etwas auf? Denken Sie an $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Fällt Ihnen etwas auf? Denken Sie an $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. Eine Differenz von Ausdrücken hoch 2 kann in Faktoren zerlegt werden, indem $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ angewandt wird. Das scheint in keines der einfacheren Muster zu passen, ist aber ein quadratisches Trinom, also kann es vielleicht in Faktoren zerlegt werden. Wenn es sich nicht anders zerlegen lässt, können Sie immer noch die p,q-Formel benutzen. Eine gerade Potenz kann als Ausdruck hoch 2 geschrieben werden, indem man $a^2^n = (a^n)^2$ benutzt. Dann kann man vielleicht Zerlegemuster anwenden, die auch Ausdrücke hoch 2 einschließen. Versuchen Sie, Potenzen zusammenzufassen, indem Sie das Gesetz $a^nb^n = (ab)^n$ anwenden Es könnte helfen, die Koeffizienten Ihres Polynoms in Faktoren zu zerlegen. Zerlegen Se diese Zahl in Faktoren. Es könnte helfen, eine Substitution zu machen. Jetzt lassen Sie Ihre definierte Variable verschwinden. Betrachten Sie eine Variable als eine Konstante. Das ist zu kompliziert, um es direkt zu zerlegen, aber wenn Sie es als Funktion eines Teilausdrucks schreiben, dann kommen Sie voran. Drücken Sie eine höhere Potenz als einen kubischen Ausdruck aus, indem Sie die Formel $a^(3n) = (a^n)^3$ benutzen Drücken Sie eine Potenz aus, indem Sie die Formel $a^(mn) = (a^m)^n$ benutzen. Es gibt eine Formel, um die Differenz von kubischen Ausdrücken in Faktoren zu zerlegen. Es gibt eine Formel, um die Summe von kubischen Ausdrücken in Faktoren zu zerlegen. Es gibt eine Formel, um $a^n-b^n$ in Faktoren zu zerlegen. Es gibt eine Formel, um $a^n+b^n$ in Faktoren zu zerlegen. Es gibt Formeln, um die Summe von Potenzen vierten Grades in Faktoren zu zerlegen. Manche Polynome vierten Grades können durch spezielle Formeln in Faktoren zerlegt werden. Versuchen Sie, eine Substitution zu machen. Wählen Sie den Ausdruck, der durch eine neue Variable ersetzt werden soll. Raten Sie einen Faktor. Wenn alles andere nicht klappt, können Sie systematisch nach einem linearen Faktor suchen Versuchen Sie, durch geeignete Gruppierung zu faktorisieren Schreiben Sie als ein Polynom in irgendeiner Variablen oder einem Ausdruck. Wählen Sie die Variable oder den Ausdruck. Vertauschen Sie die Seiten, um die Unbekannte links zu haben. Vertauschen Sie die Vorzeichen von beiden Seiten. Addieren Sie etwas zu beiden Seiten der Gleichung. Ziehen Sie etwas von beiden Seiten der Gleichung ab. Bringen Sie einen passenden Ausdruck von links nach rechts. Bringen Sie einen passenden Ausdruck von rechts nach links. Multiplizieren sie beide Seiten Ihrer Gleichung mit etwas. Teilen sie beide Seiten Ihrer Gleichung durch etwas. Nehmen sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat. Kürzen Sie einen Ausdruck von beiden Seiten Ihrer Gleichung. Kürzen Sie einen gemeinsamen Faktor von beiden Seiten Ihrer Gleichung. Subtrahieren Sie, um in die Form $u=0$ zu bringen. Wenn eine Gleichung sich auf eine Identität reduziert, ist jede Zahl (für die beide Seiten definiert sind) eine Lösung. Die Gleichung reduziert sich auf den logischen Ausdruck 'wahr'. Wenn beide Seiten einer Gleichung gegensätzliche Vorzeichen haben, ist die einzig mögliche Lösung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $a^2 = -b^2$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Diese Art die Gleichung zu schreiben wird Sie oft davor bewahren falsche Lösungen zu bekommen, die nachher verworfen werden müssen. Wenn beide Seiten einer Gleichung gegensätzliche Vorzeichen haben, ist die einzig mögliche Lösung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $a=0$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Am Ende prüfen Sie die Lösung, und wenn $b$ nicht auch null war, wird die Lösung verworfen werden. Wenn beide Seiten einer Gleichung gegensätzliche Vorzeichen haben, ist die einzig mögliche Lösung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $b=0$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Am Ende prüfen Sie die Lösung, und wenn $a$ nicht auch null war, wird die Lösung verworfen werden. Sie haben ein Produkt, das gleich null ist. Teilen Sie das in zwei (oder mehr) Gleichungen, indem Sie jeden Faktor null setzen und das Gesetz benutzen: wenn ab=0, dann ist entweder a=0 oder b=0. Sie können immer die p,q-Formel für jede quadratische Gleichung benutzen. Quadratische Ergänzung. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten. Sie haben eine Gleichung von Brüchen mit keinen offensichtlichen Vereinfachungen. Also müssen Sie mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren. Wenn die Diskriminante negativ ist, hat eine quadratische Funktion keine reellen Wurzeln. Sie haben zwei Gleichungen der Form $u^2 = a$ und $u^2 = -a$. Sie können zu $u^2 = |a|$ vereinfacht werden. Sie könnten 'numerisch lösen' auswählen, um den Computer durch ein iteratives Näherungsverfahren Lösungen finden zu lassen. Sie haben eine Gleichung von Brüchen mit keinen offensichtlichen Vereinfachungen. Also sollten Sie mit den Nennern der beiden Seiten multiplizieren. Sie können beide Seiten potenzieren, indem Sie das Gesetz - wenn $u=v$, dann $u^n=v^n$ - benutzen. Um an die unbekannte Größe unter der Quadratwurzel zu kommen, ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten. Um an die unbekannte Größe unter der Wurzel zu kommen, ziehen Sie die $n$-te Wurzel aus beiden Seiten. Um an die unbekannte Größe zu kommen, wenden Sie eine passende Funktion auf beiden Seiten an. Bringen Sie Ihre Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Teilen Sie Ihre Gleichung in zwei oder mehr Gleichungen, indem Sie das Gesetz - wenn ab=0, dann a=0 oder b=0 - benutzen Teilen Sie Ihre Gleichung in zwei oder mehr Gleichungen, indem Sie das Gesetz - wenn ab=ac, dann a=0 oder b=c - benutzen Wählen Sie eine Gleichung aus. Zeigen Sie alle Ihre Gleichungen noch einmal an; Sie sind mit der fertig, die sichtbar ist. Fassen Sie mehrere Lösungen zusammen. Vielleicht können Sie eine hilfreiche Substitution machen. Wählen Sie den Ausdruck, der durch eine neue Variable ersetzt werden soll. Nun lassen Sie Ihre definierte Variable verschwinden. Eine Ihrer Gleichungen ist unmöglich-- verwerfen Sie sie. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung zu prüfen. Sie können diese lineare Gleichung sofort lösen. Machen Sie eine passende Substitution, um den quadratischen Ausdruck loszuwerden. Die Diskriminante bestimmt, ob es 3 oder nur 1 reelle Wurzel gibt, und Sie müssen sie erst auszurechnen, um zu wissen, welche kubische Formel angewandt werden muss. Sie müssen die kubische Gleichung noch einmal anzeigen lassen, um weiter daran zu arbeiten. Wie Vieta anno 1592 herausfand, in $cx^3 + ax + b = 0$ können Sie $x = y - a/(3cy)$ substituieren, was dann eine Gleichung, die quadratisch in $y^3$ ist, schafft. Wählen Sie die ganze Gleichung aus, um diese Auswahlmöglichkeit zu sehen. Ihr kubischer Ausdruck hat nur eine reelle Wurzel, weil die Diskriminante positiv ist. Ihr kubischer Ausdruck hat drei reelle Wurzeln, weil die Diskriminante negativ ist. Machen Sie eine Substitution $x = f(u)$, in der $x$ eine alte Variable und $u$ eine neue ist. Nun ist es Zeit, sich von der definierten Variablen zu trennen. Diese beiden Ausdrücke werden gleich sein, wenn Sie eine der ganzzahligen Variablen ändern. Wählen Sie eine der Variablen aus und machen Sie eine Substitution. Danach wird eine Gleichung wegfallen. Im Moment steht jede Gleichung für drei Wurzeln, also gibt es scheinbar sechs Wurzeln, aber in Wirklichkeit sind da nur drei. Berechnen Sie die Ausdrücke für die Wurzeln, um exakte Antworten zu bekommen. Das beste, was Sie machen können, ist, näherungsweise Dezimalwerte für die Wurzeln zu finden Vereinfachen Sie Versuchen Sie, den Logarithmus in den Exponent zu bekommen, indem Sie das Gesetz - wenn $u=v$, dann $a^u = a^v$ - anwenden. Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $ln u = v$, dann $u = e^v$ - benutzen. Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $log u = v$, dann $u = 10^v$ - benutzen. Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $log(b,u) = v$, dann $u = b^v$ - benutzen. Da beide Seiten Potenzen sind und die Basen die gleichen sind, müssen auch die Exponenten gleich sein. Nehmen Sie log von beiden Seiten. Nehmen Sie ln von beiden Seiten. Eine Ihrer Gleichungen ist unmöglich-- denken Sie daran: Logarithmen von negativen Zahlen sind nicht definiert. Benutzen Sie die Cramersche Regel Bestimmen Sie die Determinante. MathExperte wird das für Sie in einem einfachen Schritt tun. Zuerst bringen Sie die Variablen auf die linke und die Konstanten auf die rechte Seite. Fassen Sie gleiche Ausdrücke zusammen, so dass Sie nur einen Ausdruck in jeder Variablen haben. Listen Sie die Variablen auf, damit Sie die Koeffizienten in verschiedenen Gleichungen leicht vergleichen können. Addieren Sie zwei Gleichungen. Subtrahieren Sie zwei Gleichungen. Multiplizieren Sie eine Gleichung mit einer Konstanten. Teilen Sie eine Gleichung durch eine Konstante. Addieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung von einer anderen Gleichung. Vertauschen Sie zwei Gleichungen. Bringen Sie die gelösten Gleichungen in Reihenfolge. Identität weglassen. Betrachten Sie eine Variable als eine Konstante, um nach den anderen Variablen aufzulösen. Können diese Gleichungen wirklich gelöst werden? Scheinbar sind Sie da auf einen Widerspruch gestoßen. Addieren Sie zwei Gleichungen Subtrahieren Sie zwei Gleichungen Lösen Sie eine der ungelösten Gleichungen nach einer Variablen auf. Addieren Sie zwei Zeilen. Ziehen Sie eine Zeile von einer anderen ab. Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Konstanten. Teilen Sie eine Zeile durch eine Konstante. Addieren Sie ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile. Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen Zeile. Vertauschen Sie zwei Zeilen. Schreiben Sie eine Matrix $A$ als das Produkt $IA$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Dann, wenn Sie Zeilenoperationen anwenden, wird sich die Inverse von $A$ da entwickeln, wo $I$ ist. Fassen Sie gleiche Ausdrücke zusammen, so dass sie nur einen Ausdruck in jeder Variablen haben. Vereinfachen Sie eine oder mehr Ihrer Gleichungen. Lassen Sie einen Ausdruck verschwinden, der auf beiden Seiten einer Ihrer Gleichungen vorkommt. Addieren Sie etwas zu beiden Seiten einer der Gleichungen. Ziehen Sie bei einer der Gleichungen etwas von beiden Seiten ab. Teilen Sie eine der Gleichungen durch eine Konstante, um eine Variable zu isolieren. Nachdem Sie nach einer Variablen aufgelöst haben, benutzen Sie diese Gleichung, um diese Variable in anderen Gleichungen zu ersetzen. Ihre Gleichungen sind widersprüchlich. Zum Anfang schreiben Sie Ihre Gleichungen in Matrixform. Multiplizieren Sie die rechte Seite mit der Einheitsmatrix $I$. Multiplizieren Sie Matrizen. Eine Spalte, die nur aus Nullen besteht, kann weggelassen werden. Eine Zeile, die nur aus Nullen besteht, kann weggelassen werden. Eine doppelte Zeile kann weggelassen werden. Eine Matrixgleichung kann in ein System von normalen Gleichungen umgewandelt werden. Lösen Sie, indem Sie ein Symbol für die Inverse einer Matrix benutzen: $AX = B => X = A^(-1)B$ Es gibt eine Formel für die Inverse einer 2 x 2 - Matrix. Bitten Sie MathExperte, die genaue Inverse der Matrix zu berechnen. Wählen Sie die Matrix, deren Inverse Sie berechnen wollen, aus. Sie könnten MathExperte mal bitten, die dezimale Inverse der Matrix zu berechnen. Wählen Sie die Matrix, deren Inverse Sie berechnen wollen, aus. Für nichtnegative $u$, können Sie die Betragszeichen loswerden, indem Sie $|u| = u$ benutzen. Sie können immer $u\ge 0$ annehmen und $|u| = u$ setzen. Für negative $u$, können Sie die Betragszeichen loswerden, indem Sie $|u| = -u$ benutzen. Sie können eine nicht negative Größe aus den Betragszeichen bringen: $|cu| = c|u|$. Sie können einen positiven Nenner aus dem Betragszeichen bringen, indem Sie $|u/c| = |u|/c$ benutzen. Sie können ein Produkt von Beträgen vereinfachen: $|u||v| = |uv|$. Wenn's hilft, können Sie einen Betrag aufteilen: $|uv| = |u||v|$. Bringen Sie Beträge in den Zähler und Nenner : $|u/v| = |u| / |v|$. Bringen Sie Beträge aus Ihrem Bruch heraus, indem Sie $|u| / |v| = |u/v|$ benutzen Gerade Potenzen eines Betrages können vereinfacht werden: $|u|^2^n=u^2^n$ gilt, wenn $u$ eine reelle Zahl ist. Beträge einer Potenz gehorchen dem Gesetz $|u^n|=|u|^n$, wenn $n$ eine reelle Zahl ist. Beträge von Quadratwurzeln gehorchen dem Gesetz $|\sqrt u| = \sqrt |u|$. Beträge von Wurzeln gehorchen dem Gesetz $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$. Sie können in den Betragszeichen kürzen, indem Sie das Gesetz $|ab|/|ac|=|b|/|c|$ benutzen Sie können in den Betragszeichen kürzen, indem Sie das Gesetz $|ab|/|a|=|b|$ benutzen Vielleicht gibt es einen gemeinsamen Faktor in den Beträgen in Zähler und Nenner. Wenn ja, wäre es hilfreich, das ausdrücklich hervorzuheben. Wenn $c >= 0$ ist, können Sie eine Gleichung $|u|=c$ immer durch die beiden Gleichungen $u=c$ und $u = -c$ darstellen. Die Gleichung $|u|/u=c$ hat nur dann reelle Lösungen $u$, wenn $c$ 1 oder $-1$ ist. Dann sind die Lösungen $u = 1$, $u = -1$. Ist $v>= 0$, dann gilt $|u| < v$ genau dann, wenn $u$ (echt) zwischen $-v$ und $v$ liegt Ist $v >= 0$, dann gilt $|u| \le v$ genau dann, wenn $u$ zwischen $-v$ und $v$ liegt $u < |v|$ genau dann, wenn $v < -u$ oder $u < v$ $u \le |v|$ genau dann, wenn $v \le -u$ oder $u \le v$ Eine Gleichung $|u| = u$ kann in eine Ungleichung $0 \le u$ umgewandelt werden, wobei das Betragszeichen wegfällt. Eine Gleichung $|u| = -u$ kann in eine Ungleichung $0 \le u$ umgewandelt werden, wobei das Betragszeichen wegfällt. Ein Betrag kann nicht negativ sein: $0 \le |u|$ ist immer wahr. Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| < 0$ ist immer unwahr. Ein Betrag kann nicht negativ sein: $-c \le |u|$ ist immer wahr vorausgesetzt $c$ ist nicht negativ. Ein Betrag kann nicht negativ sein: $-c < |u|$ ist immer wahr vorausgesetzt $c$ ist positiv. Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| < -c$ ist unwahr vorausgesetzt $c$ ist nicht negativ Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| \le -c$ ist unwahr vorausgesetzt $c$ ist positiv Wenn $c \ge 0$, ist die Ungleichung $|u| \le -c$ nur möglich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| \le -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schließlich $u=0$ widerspricht, gibt es keine Lösung. Andernfalls finden Sie die Lösung durch das Lösen von $u=0$. Wenn $c \ge 0$, ist die Ungleichung $|u| = -c$ nur möglich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| = -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schließlich $u=0$ widerspricht, gibt es keine Lösung. Andernfalls finden Sie die Lösung durch das Lösen von $u=0$. $v>|u|$ genau dann, wenn $u$ (echt) zwischen $-v$ und $v$ liegt $v\ge |u|$ genau dann, wenn $u$ zwischen $-v$ und $v$ liegt $|v|>u$ genau dann, wenn $-u>v$ oder $v>u$ $|v|\ge u$ genau dann, wenn $-u\ge v$ oder $v\ge u$ Beträge sind immer nichtnegativ. Ein Betrag kann nicht negativ sein. Wenn $c \ge 0$, ist die Ungleichung $-c \ge |u|$ nur möglich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| \le -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schließlich $u=0$ widerspricht, gibt es keine Lösung. Andernfalls finden Sie die Lösung durch das Lösen von $u=0$. For $v\ge 0$, $|u| \le v$ iff $u$ is between $-v$ and $v$ $u < |v|$ iff $v < -u$ or $u < v$ You can write an even power as a power of an absolute value Absolute values of a power obey the law $|u|^n = |u^n|$ if $n$ is real. $u < v$ bedeutet das gleiche wie $v > u$ Addieren Sie einen passenden Ausdruck zu beiden Seiten Ihrer Gleichung. Ziehen Sie einen passenden Ausdruck von beiden Seiten Ihrer Gleichung ab. Ändern Sie die Vorzeichen auf beiden Seiten, aber denken Sie daran: das ändert die Richtung der Ungleichung: -u < -v => v < u Sie können die Vorzeichen auf beiden Seiten ändern, aber Sie müssen auch $<$ to $>$ ändern. Sie können beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Größe $c$ multiplizieren. Aber das Vorzeichen von $c$ muss bekannt sein. Und wenn Sie nur $0 \le c$ wissen, werden Sie $<$ für $\le $ eintauschen. Wenn Sie beide Seiten mit etwas multiplizieren wollen, aber Sie wissen nicht, ob es positiv oder negativ ist, können Sie statt dessen immer mit seinem Quadrat multiplizieren, weil das ja immer nichtnegativ ist. Sie können beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Größe $c$ multiplizieren. Aber das Vorzeichen von $c$ muss bekannt sein. Wenn beide Seiten Zahlen sind, können Sie die Ungleichung nur numerisch lösen. Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ. Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz kann nie negativ sein. Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat, was ja erlaubt ist, da beide Seiten nicht negativ sind. Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat. Da die kleinere Seite nicht klarerweise nichtnegativ ist, werden Sie eine zusätzliche Gleichung bekommen, um die Möglichkeit zu berücksichtigen, dass sie negativ sein kann. Sie haben eine Ungleichung $u < v$ und die dazugehörige Gleichung $u = v$. Kombinieren Sie sie. Zwei Ihrer Lösungen definieren sich überschneidende Intervalle. Kombinieren Sie diese Intervalle. Sie haben eine oder mehr Lösungen, die die ursprüngliche Ungleichung nicht erfüllen. Solche Lösungen können auftauchen, wenn man eine Ungleichung zum Quadrat nimmt, oder einen Ausdruck kürzt. Benutzen sie die Voraussetzungen, um solche Lösungen nicht anzunehmen oder zu verbessern. $u > v$ bedeutet das gleiche wie $v < u$ Sie können die Vorzeichen auf beiden Seiten ändern, aber Sie müssen auch $>$ in $<$ ändern. Sie können die Vorzeichen beider Seiten ändern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u > -v$ in $v > u$ ändern. Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ Sie haben eine Ungleichung $u > v$ und die dazugehörige Gleichung $u = v$. Kombinieren Sie sie. $x \le y$ bedeutet das gleiche wie $y \ge x$ Ändern sie die Vorzeichen beider Seiten, aber denken Sie daran: Das ändert die Richtung der Ungleichung. Sie können die Vorzeichen beider Seiten ändern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u \le -v$ in $v \ge u$ ändern. Sie können beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Größe multiplizieren. Aber das Vorzeichen muss bekannt sein, weil $\le $ zu $\ge $ werden muss wenn Sie mit einer negativen Menge multiplizieren. Sie können beide Seiten einer Ungleichung durch dieselbe Größe teilen. Aber das Vorzeichen muss bekannt sein, weil $<$ zu $>$ werden muss, wenn Sie durch eine negative Größe teilen. Wenn beide Seiten Zahlen sind, können Sie die Ungleichung nur numerisch lösen. $x \ge y$ bedeutet das gleiche wie $y \le x$ Sie können die Vorzeichen auf beiden Seiten ändern, aber Sie müssen auch $\ge $ in $\le $ ändern. Sie können die Vorzeichen beider Seiten ändern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u \ge -v$ in $v \ge u$ ändern. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Obacht: $u^2 < a => |u| < \sqrt a$. Vergessen Sie nicht den Betrag. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten ein Intervall zwischen den beiden Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Obacht: $0 \le u < v^2 => \sqrt u < |v|$ Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen. Ausdrücke zum Quadrat sind immer nichtnegativ; demnach kann die erste Ungleichung weggelassen werden. Wählen Sie die ganze Ungleichung aus, um dies zu tun. Lassen Sie eine Quadratwurzel oder einen Betrag verschwinden, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen. Sie können die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \le u < v => \sqrt u < \sqrt v$ Ausdrücke zum Quadrat sind immer nichtnegativ. Quadratwurzeln sind immer nichtnegativ, aber wenn Sie eine Quadratwurzel zum Quadrat nehmen, denken Sie daran: Das, was unter dem Wurzelzeichen steht, darf nicht negativ sein. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2 < a => |u| < \sqrt a$. Vergessen Sie nicht den Betrag. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten dann ein Intervall zwischen zwei Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le u < v^2 => \sqrt u < |v|$ Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen. Nehmen Sie den reziproken Wert, aber passen Sie auf, wenn das Intervall null beinhaltet! Sie können bei jeder Gleichung ungerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2^n < a => |u| < ^2^n\sqrt a$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Sie werden einen Term bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $u^2^n < a$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le a < u^2^n => ^2^n\sqrt a < |u|$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zusätzlichen Teil bekommen: $a < u^2^n$ genau dann, wenn $v < -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a < u$. Sie können eine gerade Wurzel aller drei Ausdrücke ziehen, aber wegen der negativen Wurzeln werden Sie ein zusätzliches Intervall bekommen. Sie haben eine $n$-te Wurzel. Vereinfachen Sie diese, indem Sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz nehmen. Aber bedenken Sie, dass gerade Wurzeln von negativen Zahlen nicht definiert sind. Also müssen Sie diese Voraussetzung beibehalten. Z.B. wird $^4\sqrt x < 16$ zu $0 \le x < 2$. Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz. Sie können immer beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven ungeraden Potenz nehmen. Sie können beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven Potenz nehmen, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Wurzeln mit einem geraden Index sind immer nichtnegativ; aber wenn Sie solch eine Wurzel potenzieren, vergessen Sie nicht, dass das, was unter dem Wurzelzeichen steht, nicht negativ sein darf. Sie können von beiden Seiten jeder Gleichung ungerade Wurzeln ziehen. Sie können die gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2^n \le a$ genau dann, wenn $|u| < ^2^n\sqrt a$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen Term erhalten, der der negativen Wurzel entspricht : $u^2^n \le a$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$ Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le a \le u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\sqrt a \le |u|$ Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zusätzlichen Teil bekommen: $a \le u^2^n$ genau dann, wenn $v \le -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a \le u$. Sie haben eine $n$-te Wurzel. Vereinfachen Sie diese, indem Sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz nehmen. Aber bedenken Sie, dass gerade Wurzeln von negativen Zahlen nicht definiert sind. Also müssen Sie diesen Zustand genau beibehalten. Z.B. wird $^4\sqrt x \le 16$ zu $0 \le x \le 2$. Sie sollten positive Faktoren weglassen. Der Zähler ist positiv; also ist der Bruch positiv genau dann, wenn der Nenner positiv ist. In $0 < u/\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Informationen über u und v verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen. $u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie für $uv$ positiv, und $0 < uv$ könnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 < u/v$. In $u/\sqrt v < 0$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen. $u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv < 0$ könnte einfacher zu berechnen sein als $u/v < 0$. Wenn Sie eine lineare Ungleichung lösen, könnte es helfen den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$. Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) < 0$ haben, ist die Lösung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a < x < b$, wenn $a < b$. Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 < (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die Lösung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x < a$ oder $b < x$. Der Zähler ist positiv; also ist der Bruch nicht negativ genau dann, wenn der Nenner nicht negativ ist. In $0 \le u/\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen. $u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie für $uv$ positiv, und $0 \le uv$ könnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 \le u/v$. In $u/\sqrt v \le 0$ multiplizieren Sie mit $v\sqrt v$, nicht nur mit $\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen auflösen. $u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv \le 0$ könnte einfacher zu berechnen sein als $u/v \le 0$. Wenn Sie eine lineare Ungleichung lösen, könnte es helfen, den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\pm b/a) < 0$. $u \le v => v \ge u$ Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) \le 0$ haben, ist die Lösung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a \le x \le b$, wenn $a < b$. Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 \le (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die Lösung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x \le a$ oder $b \le x$. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a > u^2$ wird zu $\sqrt a > |u|$. Vergessen Sie nicht den Betrag. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $v^2 > a$ wird zu $|v| > \sqrt a$ vorausgesetzt $a > 0$. Sie können die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \le u < v$ impliziert, dass $\sqrt u < \sqrt v$ Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a \ge u^2$ wird zu $\sqrt a \ge |u|$. Vergessen Sie nicht den Betrag. Sie können die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le u < v^2$ wird zu $\sqrt u < |v|$ Sie können gerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a > u^2^n$ wird zu $ ^2^n\sqrt a > |u|$. Sie können gerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen zusätzlichen Ausdruck bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $ a > u^2^n$ genau dann, wenn $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \le a < u^2^n$ wird zu $^2^n\sqrt a < |u|$. Sie können gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen zusätzlichen Ausdruck bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $a < u^2^n$ genau dann, wenn $v < -^2^n\sqrt a$ oder $^2^n\sqrt a < u$. %�|� 4 I: ; I ! I7 I $ > $ > .@: ;'I? : ;I
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