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�� � ^� � ^� __text __TEXT , � � � __cstring __TEXT , � � __data __DATA �� � X� � � __debug_abbrev __DWARF 0� � غ __debug_info __DWARF �� � ^� �� __debug_str __DWARF m� 0 � __apple_names __DWARF �� X E� __apple_objc __DWARF �� $ �� __apple_namespac__DWARF � $ �� __apple_types __DWARF =� � � __compact_unwind__LD ȹ p� � __debug_line __DWARF � v �� � 2
� � �� P P � � � �C �� �� ���� � � �� �� yi��C ��_�$\pm \infty /$(terme positif) = $\pm \infty $ (terme nonnul)$/\pm \infty = 0$ (terme strictement positif)$\times \pm \infty = \pm \infty $ $\pm \infty \times \infty = \pm \infty $ $\pm \infty +$ (terme fini)$ = \pm \infty $ $\infty + \infty = \infty $ $u^\infty = \infty $ si $u > 1$ $u^\infty = 0$ si $0 < u < 1$ $u^(-\infty ) = 0$ si $u > 1$ $u^(-\infty ) = \infty $ si $0 < u < 1$ $\infty ^n = \infty $ si $n > 0$ Vous avez une somme de termes infinis de signes opposés. Il s'agit d'une forme indéterminée. $a/0+ = \infty $ si $a>0$ $a/0- = -\infty $ si $a>0$ $a/0 =$ non definié $\infty /0+ = \infty $ $\infty /0- = -\infty $ $\infty /0 = $ non definié $\infty /0^2 = \infty $ $\infty /0^2^n = \infty $ $a/0^2 = \infty si a > 0$ $a/0^2 = -\infty si a < 0$ $a/0^2^n = \infty si a > 0$ $a/0^2^n = -\infty si a < 0$ $ln \infty = log \infty = \infty $ $\sqrt \infty = \infty $ $^n\sqrt \infty = \infty $ $arctan \pm \infty = \pm \pi /2$ $arccot \infty = 0$ $arccot -\infty = \pi $ $arcsec \pm \infty = \pi /2$ $arccsc \pm \infty = 0$ Les fonctions trigonométriques sin, cos, tan et cot n'admettent pas de limite en $\infty $ en raison de leur caractère oscillatoire. $cosh \pm \infty = \infty $ $sinh \pm \infty = \pm \infty $ $tanh \pm \infty = \pm 1$ $ln 0 = -\infty $ La dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle. Vous avez une expression s'écrivant en notation différentielle traditionnelle $dx/dx$. Cela fait 1. La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées. Comme la dérivation est linéaire, vous pouvez sortir un signe moins du terme à dériver. Comme la dérivation est linéaire, vous pouvez sortir un facteur constant du terme à dériver. Pour dériver une puissance, utilisez la formule correspondante. Vous pouvez demander à MathXpert de dériver en une seule étape une fonction polynomiale. Par définition de la notation différentielle traditionnelle, $f'(x) = d/dx f(x)$. Utilisez la formule de définition de la dérivée comme limite. Elle est accessible avec les autres opérations sur les dérivées. Vous pouvez demander à MathXpert de différentier un polynôme en une seule étape. La dérivation étant linéaire, la dérivée d'une somme (ou d'une différence) est la somme (ou la différence) des dérivées. Du fait de la linéarité de la dérivation, vous pouvez sortir un signe moins du terme à dériver. Du fait de la linéarité de la dérivation, vous pouvez sortir une constante du terme à dériver. Il y a une constante au dénominateur. Sortez-la grâce à la linéarité de la dérivation qui se traduit avec les notations de MathXpert par la formule $$diff(u/c,x)=(1/c)diff(u,x)$$. De même pour le numérateur. Utilisez la règle de dérivation d'un produit. Avec les notations de MathXpert, la formule de dérivation de l'inverse d'une fonction s'écrit $$diff(1/v,x) = -diff(v,x)/v^2$$. Il est utile de mémoriser ce cas particulier de la règle de dérivation d'un quotient. Utilisez la règle de dérivation d'un quotient. Il y a une formule directe exprimant la dérivée de la racine carrée d'une fonction. Il est souvent plus simple de s'en servir plutôt que de revenir à la règle de dérivation d'une puissance fractionaire. Pour dériver une racine $n$-ième, ramenez-vous d'abord à une fonction positive sous la racine (dans le cas où $n$ est impair), puis exprimez celle-ci comme une puissance fractionnaire. Pour dériver une puissance au dénominateur, il est inutile de l'exprimer comme une puissance négative. Mieux vaut utiliser la règle de dérivation que voici, exprimée dans les notations de MathXpert : $$diff(c/x^n,x) = -nc/x^(n+1)$$ La fonction valeur absolue est dérivable sur l'ensemble des réels non nuls, de dérivée égale à -1 en un réel strictement négatif, à 1 en un réel strictement positif, ce qui s'écrit aussi, dans la notation différentielle traditionnelle, $d/dx |x| = x/|x|$. Par définition de la notaton différentielle traditionnelle, $f'(x) = d/dx f(x)$. La fonction dérivée de sinus est cosinus. La fonction dérivée de cosinus est $-sinus$. La fonction dérivée de tangente, notée tan, est $sec^2$, par définition égale à $1/cos^2$. La fonction dérivée de sécante, définie par $sec = 1/cos$ est la fonction tangente, notée tan. La fonction dérivée de cotangente, notée cot, est $-csc^2$, par définition égale à $-1/sin^2$. La fonction dérivée de cosécante, notée csc et définie par $csc = 1/sin$, est le produit - csc cot. La fonction $x -> e^x$ est égale à sa dérivée. A une constante près, les fonctions exponentielles sont égales à leur dérivée, ce que l'on peut écrire dans les notations différentielles traditionnelles, $ d/dx c^x = (ln c) c^x$. Pour calculer la dérivée d'une puissance d'exposant non constant, passez en notation exponentielle grâce à la formule $$u^v = e^(v ln u)$$. La dérivée de $ln$ est la fonction $x -> 1/x, x>0$. La dérivée de $x -> ln |x|$ est $1/x$. Essayez la dérivée logarithmique, en écrivant $dy/dx = y (d/dx) ln y$. Utilisez la formule $d/dx e^u = e^u du/dx$. Pour dériver une fonction de la forme $c^u$, où $c$ est un réel fixé, utilisez la formule $(c^u)' = u' ln c c^u$, c'est-à-dire, $$diff(c^u,x)=(ln c)c^u diff(u,x)$$. Pour calculer la dérivée du logarithme néperien d'une fonction strictement positive, utilisez la formule $(ln u)' = u'/u$, c'est-à-dire, $$diff(ln u,x) = (1/u)(diff(u,x))$$. Pour calculer la dérivée du logarithme néperien de la valeur absolue d'une fonction ne s'annulant pas, utilisez la formule $(ln|u|)' = u'/u$, c'est-à-dire, $$diff(ln abs(u),x) = (1/u) diff(u,x)$$. Il y a une formule permettant de calculer directement la dérivée de $x -> ln(cos x)$. Il y a une formule permettant de calculer directement la dérivée de $x -> ln(sin x)$. $d/dx arctan x = 1/(1+x^2)$ $d/dx arcsin x = 1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos x = -1/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot x = -1/(1+x^2)$ $d/dx arcsec x = 1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arccsc x = -1/(|x|\sqrt (x^2-1))$ $d/dx arctan u = (du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsin u = (du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccos u = -(du/dx)/\sqrt (1-x^2)$ $d/dx arccot u = -(du/dx)/(1+u^2)$ $d/dx arcsec u=(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ $d/dx arccsc u=-(du/dx)/(|u|\sqrt (u^2-1))$ Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée aux puissances : $$(u^n)' = n u^(n-1) u'$$, c'est-à-dire dans les notations de MathXpert, $$diff(u^n,x) = nu^(n-1) diff(u,x)$$. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée aux racines carrées : $$(?u)' = u'/(2 ?u)$$, c'est-à-dire dans les notations de MathXpert, $$diff(sqrt(u),x) = diff(u,x)/(2 sqrt(u))$$. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction sinus. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction cosinus. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction tangente. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction sécante, notée sec. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction cotangente, notée cot. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction cosécante, $x -> csc x$. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées appliquée à la fonction valeur absolue. Utilisez la formule de dérivation des fonctions composées écrite sous la forme $(x -> f(u(x)))'=(x -> u'(x) f'(u(x)))$, c'est-à-dire dans les notations de MathXpert, $$diff(f(u),x) = f'(u) diff(u,x)$$. Faites un changement de variable, c'est-à-dire composez par une fonction. Maintenant, éliminez la variable qui a été définie. Faites une expérimentation numérique. Cherchez les points critiques, c'est-à-dire les points $x$ tels que $f'(x)=0$. Considérez les extrémités de l'intervalle. Y-a-t-il des points où $f$ n'est pas dérivable? Déterminez les limites aux extrémités ouvertes de l'intervalle. Rejetez tout point n'appartenant pas à l'intervalle. Faites un tableau de valeurs numériques prises par la fonction. Taites un tableau de valeurs prises par la fonction. Extrayez de votre table la valeur maximale. Extrayez la valeur minimale de votre table. Vous pouvez demande rà MathXpert de calculer une dérivée en une seule étape. Maintenant, résolvez l'équation. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer en une seule étape une limite simple. Débarrassez-vous du paramètre entier. Cette fonction est constante, de sorte que sa borne supérieure est égale à sa borne inférieure. Calculez la dérivée. Simplifiez cette expression. Résolvez cette équation. Différentiez l'équation. Eliminez une dérivée en la remplaçant par son expression. Résolvez l'équation. Simplifiez l'expression. Eliminez les fractions multiples. Mettez les fractions au même dénominateur et simplifiez. Factorisez le terme commun. Essayez de factoriser. Effectuez les produits et simplifiez. Y-a-t-il un facteur commun au numérateur et au dénominateur? Ecrivez ceci comme un polynôme en une expression. Exprimez une expression sous forme polynomiale. Rendez égal à 1 le coefficient dominant d'un polynôme. Exprimez sous forme de racines carrées les termes élevés à la puissance 1/2. Transformez les exposants fractionnaires en racines $n$-ièmes. Eliminez les racines $n$-ièmes et les racines en les exprimant sous forme d'exposants fractionnaires. Différentiez l'identité grâce à cette règle : $u=v => du/dx = dv/dx$. Exprimez la dérivée seconde en utilisant la formule $$diff(u,x,2) = (diff(diff(u,x),x)$$ $$diff(u,x,n) = diff(diff(u,x,n-1),x)$$ La dérivée de la dérivée est la dérivée seconde. En dérivant la dérivée $n$-ième, on obtient la dérivée $(n+1)$-ième. Vos pouvez demander à MathXpert d'évaluer une dérivée en une seule étape. Faites un calcul numérique en un point. $\int 1 dt = t$ Si $c$ est un réel fixé, une primitive sur un intervalle de $(t -> c)$ est $(t -> ct)$, soit avec les notations de MathXpert, $$integral(c,t) = ct$$. $\int t dt = t^2/2$ $\int cu dt = c\int u dt (c constante)$ Du fait de la linéarité de la primitivation, si $U$ est une primitive sur un intervalle de $u$, alors $-U$ est une primitive de $-u$ sur cet intervalle, ce qui se traduit par la formule $$integral(-u,t) = -integral(u,t)$$. Du fait de la linéarité de la primitivation, si $U$ et $V$ sont des primitives sur un intervalle de respectivement $u$ et $v$, alors $U+V$ est une primitive de $u+v$ sur cet intervalle, ce qui se traduit par la formule $$integral(u+v,t) = integral(u,t) + integral(v,t) $$. Du fait de la linéarité de la primitivation, si $U$ et $V$ sont des primitives sur un intervalle de respectivement $u$ et $v$, alors $U-V$ est une primitive de $u-v$ sur cet intervalle, ce qui se traduit par la formule $$integral(u-v,t) = integral(u,t) - integral(v,t) $$. Du fait de la linéarité de la primitivation, si $a$ et $b$ sont deux réels et si $U$ et $V$ sont des primitives sur un intervalle de respectivement $u$ et $v$, alors $aU+bV$ est une primitive de $au+bv$ sur cet intervalle, ce qui se traduit par la formule $$integral(au+bv,t) = a integral(u,t) + b integral(v,t) $$. $\int t^n dt=t^(n+1)/(n+1) (n # -1)$ $\int 1/t^(n+1) dt= -1/(nt^n) (n # 0)$ La fonction à primitiver est un polynôme. Vous pouvez demander à MathXpert de le faire en une seule étape. $\int (1/t) dt = ln |t|$ $\int 1/(t\pm a) dt = ln |t\pm a|$ Développez la fonction dont vous cherchez une primitive de façon à obtenir une somme de termes plus simples. Développez $(a+b)^n$ dans le terme à primitiver. Sur un intervalle, une primitive de $(t -> |t|)$ est $(t -> t|t|/2)$. Donnez une primitive de sinus. Donnez une primitive de cosinus. Donnez une primitive de tangente. Donnez une primitive de cotangente. Donnez une primitive de sécante. Donnez une primitive de cosécante. Donnez une primitive du carré de sécante. Donnez une primitive du carré de cosécante. Il y a une formule courante donnant une primitive de $tan^2$, que vous pouvez retrouver grâce à une intégration (primitivation) par parties. Il y a une formule courante donnant une primitive de $cot^2$, que vous pouvez retrouver grâce à une intégration (primitivation) par parties. Aucun calcul n'est nécessaire pour déterminer une primitive de $(t -> sec t tan t)$, puisque c'est tout simplement la dérivée de $sec$. Aucun calcul n'est nécessaire pour déterminer une primitive de $(t -> csc t cot t)$ puisque c'est tout simplement la dérivée de $csc$. Donnez une primitive de $(t -> sec^2t)$. Donnez une primitive de $(t -> csc^2t)$. La fonction exponentielle est sa propre primitive, ce qui se traduit dans les notations de MathXpert par $$integral(e^t,t) = e^t$$. Une primitive de $(t -> e^at)$ est $(t -> (1/a) e^at$. $\int e^(-t)dt = -e^(-t)$ $\int e^(-at)dt = -(1/a) e^(-at)$ $\int e^(t/a)dt = a e^(t/a)$ Une fonction exponentielle est proportionnelle à l'une de ses primitives, et lorsque la base de l'exponentielle n'est pas $e$, le facteur de proportionnalité n'est pas 1. $\int u^v dt = \int (e^(v ln u) dt$ $\int ln t = t ln t - t$ $\int e^(-t^2) dt = \sqrt \pi /2 Erf(t)$ Essayez une changement de variable. Dérivez. Retournez au problème d'origine en choisissant 'montrer de nouveau l'intégrale'. Exprimez l'intégrande comme une fonction composée en choisissant intégrande = $f(u) ? u'$. Maintenant éliminez totalement la 'variable d'intégration' d'origine. Eliminez à présent votre variable définie. Faites un changement de variable. Changement de variable. Essayez une intégration par parties. Egalez la ligne courante à l'énoncé d'origine afin d'obtenir une équation. Isolez la fonction à primitiver ou intégrer dans le membre de gauche de l'équation. Vous pouvez demander à MathXpert de déterminer en une seule étape une primitive élémentaire. Utilisez le théorème fondamental du calcul intégral qui relie les notions de primitive et d'intégrale. Débarrassez-vous de la barre d'évaluation des fonctions. Permutez les bornes d'intégration en introduisant un signe moins. Regroupez en une seule intégrale des intégrales d'une même fonction sur deux intervalles contigus. Il peut être utile de couper une intégrale en deux ou plus grâce au théorème de Chasles. Pour éliminer les valeurs absolues dans l'intégrande, utilisez le théorème de Chasles et coupez l'intégrale en morceaux dont les bornes sont les zéros de 'lintégrande. Dans le cas d'une intégrale dont la valeur est numérique, vous pouvez demander à MathXpert une approximation numérique de cette intégrale. Notice that the upper and lower limits of integration are the same. Exprimez une intégrale impropre, c'est-à-dire au sens de Riemann-Cauchy, comme une limite d'intégrales ordinaires, c'est-à-dire au sens de Riemann. Une fonction monotone ne tendant pas vers zéro en $+\infinity $ nest pas intégrable sur un intervalle $[c,\infinity [$. Une fonction monotone ne tendant pas vers zéro en $-\infinity $ nest pas intégrable sur un intervalle $[-\infinity,c [$. L'intégrale d'une fonction intégrable impaire sur un intervalle centré à l'origine est nulle. L'intégrale d'une fonction intégrable paire sur un intervalle centré à l'origine est égale à deux fois l'intégrale de cette fonction sur la moitié droite de l'intervalle. Utilisez un changement de variable utilisant une fonction trigonométrique. Faites un changement de variable en composant par une fonction réciproque. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer une intégrale élémentaire en une seule étape. Linéarisez le $sin^2$ en utilisant l'identité $sin^2 t = (1-cos 2t)/2$. De telles formules se trouvent à la fois dans la liste des formules de trigonométrie et dans la liste des formules pour le calcul des intégrales de fonctions trigonométriques. Linéarisez le $cos^2$ en utilisant l'identité $cos^2 t = (1+cos 2t)/2$. De telles formules se trouvent à la fois dans la liste des formules de trigonométrie et dans la liste des formules pour le calcul des intégrales de fonctions trigonométriques. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction cosinus, ce qui amènera à poser $u=cos x$ après vérification des hypothèses. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction cosinus, ce qui amènera à poser $u=sin x$ après vérification des hypothèses. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction tangente, ce qui amènera à poser $u=tan x$ après vérification des hypothèses et utilisation de l'identité $1/cos^2=1+tan^2$. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction cotangente, ce qui amènera à poser $u=cot x$ après vérification des hypothèses et utilisation de l'identité $1/sin^2=1+cot^2$. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction sécante, ce qui amènera à poser $u=sec x$ après vérification des hypothèses et utilisation de l'identité $tan^2=sec^2-1=1/cos^2-1$. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Faites un changement de variable faisant apparaître une composition par la fonction cosécante, ce qui amènera à poser $u=csc x$ après vérification des hypothèses et utilisation de l'identité $cot^2=csc^2-1=1/sin^2-1$. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Utilisez l'identité $tan^2 x = sec^2 x - 1=1/cos^2-1$ dans l'intégrande. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Utilisez l'identité $cot^2 x = csc^2 x - 1=1/sin^2-1$ dans l'intégrande. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Utilisez une formule de réduction pour obtenir une intégrale du même type, mais avec une puissance de sécante plus petite. Utilisez une formule de réduction pour obtenir une intégrale du même type, mais avec une puissance de cosécante plus petite. Utilisez un changement de variable en composant par la fonction 2arctan. Après vérification de la validité de ce changement de variable, cela conduira à poser $u = tan(x/2)$. Sélectionnez toute l'intégrale pour activer ce choix. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $1+cos x$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $1-cos x$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $1+sin x$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $1-sin x$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $sin x + cos x$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par $cos x - sin x$. Effectuez la division euclidienne du numérateur de la fraction rationnelle par le dénominateur et sortez la partie entière. Il restera une fraction dont le numérateur est de degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Si vous y arrivez, factorisez le dénominateur. Vous pouvez demander à MathXpert d'effectuer une factorisation 'sans carrés' qui mettra en évidence toutes les racines multiples. Vous pouvez utiliser MathXpert pour obtenir une factorisation numérique approchée du polynôme. Elle utilisera une bonne approximation des racines. Développez l'intégrande en éléments simples. Complétez le carré au dénominateur. L'une des primitives de l'inverse d'une fonction affine est un logarithme. A un coefficient près, une puissance strictement supérieure à 1 de l'inverse d'une fonction affine admet sur un intervalle où elle est définie une primitive qui est aussi une puissance de l'inverse de cette fonction affine. Une fonction de la forme $(t -> 1/(a^2 + t^2))$ admet une primitive qui est une fonction arctan. Sur un intervalle où elle est définie, une fonction de la forme $(t -> 1/(a^2 - t^2))$ admet une primitive s'écrivant comme un arcoth, un artanh ou un logarithme. Une fonction de la forme $(t -> 1/\sqrt (a^2 - t^2))$ admet une primitive qui est un arcsin. Une fonction de la forme $(t -> 1/\sqrt (t^2 \pm a^2))$ admet une primitive qui est un logarithme. Une fonction de la forme $(t -> 1/(t\sqrt (t^2 \pm a^2)))$ admet une primitive qui est un arccos. Faites un changement de variable supprimant la racine carrée. Il y a une formule simple donnant une primitive de arcsin. Il y a une formule simple donnant une primitive de arccos. Il y a une formule simple donnant une primitive de arctan. Il y a une formule simple donnant une primitive de arccot. Attention : Le domaine de définition de la fonction arccsc est formé de deux intervalles disjoints et il y a donc deux formules donnant chacune une primitive de arccsc sur l'un des intervalles de définition de cette fonction. Attention : Le domaine de définition de la fonction arcsec est formé de deux intervalles disjoints et il y a donc deux formules donnant chacune une primitive de arcsec sur l'un des intervalles de définition de cette fonction. Eliminez les fractions composées. Mettez en facteur un terme commun. Développez le produit et simplifiez. Y a-t-il un facteur commu au numérateur et au dénominateur? Calculez la limite. Faites un changement de variable dans l'intégrale. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer une intégrale simple ou de déterminer une primitive élémentaire en une seule étape. Regroupez les nombres dans la constante d'intégration (de primitivation). Une primitive de sinh est cosh. Une primitive de cosh est sinh Une primitive de tanh est ln cosh. Une primitive de coth est ln sinh. Une primitive de csch est $ln tanh(u/2)$. Une primitive de $sech u$ est $arctan (sinh u)$. Développez $(x -> 1/(1-x))$ en série entière. Développez $(x -> 1/(1+x))$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $1/(1-x)$. Calculer la somme du développement en série de $1/(1+x)$. Développez $(x -> 1/(1-x^k))$ en série entière. Développez $(x -> x^m/(1-x^k))$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $1/(1-x^k)$. Calculer la somme du développement en série de $x^m/(1-x^k)$. Développez $(x -> 1/(1+x^k))$ en série entière. Développez $(x -> x^m/(1+x^k))$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $1/(1+x^k)$. Calculer la somme du développement en série de $x^m/(1+x^k)$. Vous pouvez développer $x^k/(1-x)$ sous la forme dune série géométrique Vous pouvez développer $x^k/(1+x)$ sous la forme dune série géométrique Calculer la somme dune série géométrique Développez $(x -> ln(1-x)$ en série entière. Développez $(x -> ln(1+x)$ en série entière. Calculer la somme du développement en série entière de $ln(1-x)$. Calculer la somme du développement en série entière de $ln(1+x)$. Développez $(x -> sin x$ en série entière. Développez $(x -> cos x$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $sin x$. Calculer la somme du développement en série de $cos x$. Développez $(x -> e^x$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $e^x$. Développez $(x -> e^(-x)$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $e^(-x)$. Développez $(x -> arctan x$ en série entière. Calculer la somme du développement en série de $arctan x$. Utiliser la série binomiale pour développer une puissance dune somme. Calculer la somme de la série binomiale Développez $(x -> tan x$ en série entière. Développez $(x -> cot x$ ou $(x -> x cot x$ en série entière. Développez $(x -> x/(e^x-1)$ en série entière. Développez $(x -> sec x$ ou $(x -> 1/cos x$ en série entière. Développez $\zeta(s)$ en série entière. Développez $\zeta(s))$ en série entière. La série harmonique alternatif a une somme connue. Ecriture de la série sou la forme $a_ 0 + a_ 1 + ...$ Ecriture de la série sous la forme $a_ 0 + a_ 1 + a_ 2 + ... $ Ecriture de la série à laide de ... et du terme général Ecriture de la série à laide de la notation sigma Ecriture dun autre terme avant ... Ecriture de ? termes suplémentaires avant ... Vous avez affaire à une série amalgamante. Multiplier les séries Deux séries entières peuvent être multipliées pour donner naissance à une nouvelle série entière. On peut diviser une série entière par un polynôme grâce à une division selon les puissances croissantes. On peut diviser un polynôme par une série entière grâce à une division selon les puissances croissantes. On peut diviser une série entière par une autre série entière, grâce à une division selon les puissances croissantes. Le carré dune série peut sécrire comme une série double. Le carré dune série entière est une série entière. Une puissance entière strictement positive dune série entière est une série entière. Ecrire la somme de deux séries comme une unique série. Ecrire la différence de deux séries comme une unique série. Explicitez les premiers termes de la série. Peut-être qu'en rajoutant et en enlevant les premiers termes de la série, vous arriverez à la mettre sous une forme connue. Décalez l'indice de la série pour mettre celle-ci sous une forme plus facile à étudier. Renommez la variable d'indice de la série. Après avoir vérifié que les deux séries $\sum a$ et $\sum b$ ne sont pas toutes deux divergentes, coupez la série $\sum (a+b)$ comme la somme de ces deux séries. Dérivez terme à terme la série. Sortez une dérivée de la série. Intégrez (primitivez) terme à terme la série. Sortez une intégrale de la série. Calculer les tous premiers termes. Ecrire la fonction comme une primitive de sa dérivée. Développer la dérivée en série, et primitiver terme à terme. Ecrire la fonction comme une intégrale fonction de sa borne supérieure de sa dérivée. Développer ensuite la dérivée en série et intégrer terme à terme. Ecrire la fonction comme la dérivée de lune de ses primitives. Ensuite développer en série une primitive et dériver terme à terme. Déterminer la constante de primitivation pour léliminer. Regrouper en deux séries séparées les termes pairs et les termes impairs. Lorsque le terme général d'une série ne tend vers zéro, cette série diverge. Utilisez la règle de comparaison d'une série et d'une intégrale. Utilisez la règle de D'Alembert. Utilisez la règle de Cauchy. Utiliser la règle de comparaison pour démontrer la convergence. Trouver une série convergente positive dont les termes sont, en valeur absolue, plus grands. Utiliser la règle de comparaison pour établir la divergence. Trouver une série positive divergente dont les termes sont plus petits. Utiliser la règle de comparaison des limites. Utiliser la règle de condensation de Cauchy. Achevez de vérifier si le terme général ne tend pas vers zéro. Achevez l'application de la règle de comparaison d'une série et d'une intégrale. Achevez l'application de la règle de Cauchy. Achevez l'application de la règle de D'Alembert. Achevez l'application de la règle de comparaison. Achever la mise en uvre de la règle de comparaison des limites. Achever la mise en uvre de la règle de condensation de Cauchy. You have finished showing the convergence of the comparison series. Now state the positive result about the convergence of the original series. To see this choice, select the entire current line. You have finished showing the divergence of the comparison series. Now state the negative result about the convergence of the original series. To see this choice, select the entire current line. Le series harmonique $$sum(1/k,k,1,infinity)$$ diverge. Il existe une formule pour $$sum(1/k^2,k,1,infinity$$. La somme des termes 1 $ / k ^ s $ converge et est appelé $ \ zeta (s) $. Les valeurs de la $\ zeta $ fonction au même entiers peuvent être calculés en termes de nombres de Bernoulli. Ecrivez un nombre complexe sous forme polaire afin de calculer son logarithme à l'aide de la formule $$ln(u+iv) = ln(r e^(i theta))$$. Utilisez la définition du logarithme complexe: $$ln(re^(i theta))=ln r + i theta$$. Mais attention: si $?$ n'est pas dans $]-?, ?[$, il sera ramené automatiquement dans cet intervalle. Le logarithme complexe de $i$ est $i\pi /2$ parce que $\pi /2$ est l'argument principal de $i$. Le logarithme complexe de -1 est $i\pi $ parce que $-1 = e^(i\pi )$. Si $a$ est strictement positif, le logarithme complexe de $-a$ est $ln a + i\pi $ car $-1 = e^(i\pi )$. Développez le cosinus à l'aide d'exponentielles complexes. Développez le sinus à l'aide d'exponentielles complexes. La racine carrée complexe d'un nombre complexe $z$ a comme module la racine carrée du module de $z$, et comme argument la moitié de l'argument principal de $z$. Par convention, la racine $n$-ième d'un nombre complexe $z$ est le nombre complexe dont le module est la racine $n$-ième du module de $z$, et comme argument $1/n$ fois l'argument principal de $z$. Exprimez l'exponentielle complexe à l'aide des fonctions sinus et cosinus. Utilisez la célèbre identité d'Euler, $$e^(i pi) = -1 $$. Utilisez la célèbre identité d'Euler, $$e^(-i pi) = -1 $$. L'application $\theta -> e^i\theta $ est une surjection périodique de période $2\pi $ de l'ensemble des nombres réels sur le cercle unité. L'application $\theta -> e^i\theta $ est une surjection périodique de période $2\pi $ de l'ensemble des nombres réels sur le cercle unité. On peut supprimer les multiples de $2i\pi $ dans l'exponentielle. Passez en notation exponentielle grâce à l'identité $$u^v = e^(v ln u)$$. Outre l'expression en termes d'exponentielles complexes, $sin(it)$ peut s'exprimer à l'aide du sinus hyperbolique, sinh. Outre l'expression en termes d'exponentielles complexes, $cos(it)$ peut s'exprimer à l'aide du cosinus hyperbolique, cosh. Inutile de développer les exponentielles: $sinh( it)$ sécrit aussi $i sin t$. Inutile de développer les exponentielles: $cosh( it)$ sécrit aussi $cos t$. Outre l'expression en termes d'exponentielles complexes, $tan(it)$ peut s'exprimer à l'aide de la tangente hyperbolique, tanh. Outre l'expression en termes d'exponentielles complexes, $cot(it)$ peut s'exprimer à l'aide de la cotangente hyperbolique, coth. Inutile de développer les exponentielles: $tanh( it)$ sécrit aussi $i tan t$. Inutile de développer les exponentielles: $coth( it)$ sécrit aussi $-i cot t$. Utiliser une exponentielle complexe pour exprimer $cos t + i sin t$. Utiliser une exponentielle complexe pour exprimer $cos t - i sin t$. Regroupez des exponentielles complexes pour obtenir des cosinus. Regroupez des exponentielles complexes pour obtenir des sinus. Regroupez des exponentielles complexes pour obtenir un cosinus. Regroupez des exponentielles complexes pour obtenir un sinus. Utilisez la définition de cosh Regroupez des exponentielles pour obtenir un cosinus hyperbolique, noté cosh. Utilisez la définition de sinh Regroupez des exponentielles pour obtenir un sinus hyperbolique, noté sinh. cosh est une fonction paire. sinh est une fonction impaire. Regroupez des cosh et des sinh en utilisant l'identité $cosh u + sinh u = e^u$. Regroupez des cosh et des sinh en utilisant l'identité $cosh u - sinh u = e^(-u)$. Souvenez-vous que $cosh 0 = 1$. Souvenez-vous que $sinh 0 = 0$. Exprimez $e^x$ à l'aide de fonctions hyperboliques. Exprimez $e^(-x)$ à l'aide de fonctions hyperboliques. Utilisez l'identité $sinh^2 u + 1 = cosh^2 u$. Utilisez l'identité $cosh^2 u - 1 = sinh^2 u$. Utilisez l'identité $cosh^2 u - sinh^2 u = 1$. Utilisez l'identité $cosh^2 u = sinh^2 u + 1$. Utilisez l'identité $sinh^2 u = cosh^2 u - 1$. Utilisez l'identité $1 - tanh^2 u = sech^2 u$. Utilisez l'identité $1 - sech^2u = tanh^2u$. Exprimez tanh à l'aide de sinh et de cosh. Regroupez les sinh et les cosh dans des tanh. Exprimez coth à l'aide de cosh et de sinh. Regroupez les cosh et les sinh dan des coth. Exprimez sech comme l'inverse de cosh. Par définition, l'inverse de cosh est sech. Exprimez csch comme l'inverse de sinh. Par définition, l'inverse de sinh est csch. Utilisez l'identité $tanh^2 u + sech^2 u = 1$. Utilisez l'identité $tanh^2 u = 1 - sech^2 u$. Utilisez l'identité $sech^2 u = 1 - tanh^2 u$. Utilisez la formule donnant le sinus hyperbolique d'une somme ou d'une différence. Utilisez la formule donnant le cosinus hyperbolique d'une somme ou d'une différence. Utilisez la formule de duplication du sinus hyperbolique, $sinh 2u = 2 sinh u cosh u$. Utilisez la formule de duplication du cosinus hyperbolique, $cosh 2u = cosh^2 u + sinh^2 u$. Il y a une formule permettant de simplifier $tanh(ln u)$. Il y a une formule permattant d'exprimer arsinh en termes de logarithmes. Il y a une formule permattant d'exprimer arcosh en termes de logarithmes. Il y a une formule permattant d'exprimer artanh en termes de logarithmes. Pour tout réel $x$, on a $sinh(arcsinh x)=x$. Pour tout réel $x$, on a $cosh(arccosh x)=x$. Pour tout réel $x$, on a $tanh(arctanh x)=x$. Pour tout réel $x$, on a $coth(arccoth x)=x$. Pour tout réel $x$, on a $sech(arctsech x)=x$. Pour tout réel $x$, on a $csch(arccsch x)=x$. La dérivée de sinh est cosh. La dérivée de cosh est sinh. La dérivée de tanh est $sech^2 = 1/cosh^2$. La dérivée de coth est $-csch^2=-1/sinh^2$. La dérivée de $sech=1/cosh$ est $- sech tanh=-sinh/cosh^2$. La dérivée de $csch=1/sinh$ est $- csch coth= - cosh/sinh^2$. La dérivée de ln sinh est coth. La dérivée de ln cosh est tanh. La dérivée de arsinh est une fonction algébrique. La dérivée de arcosh est une fonction algébrique. La dérivée de artanh est une fonction algébrique. La dérivée de arcoth est une fonction algébrique. La dérivée de arsech est une fonction algébrique. La dérivée de arcsch est une fonction algébrique. Eliminez la fonction sgn lorsqu'elle est appliquée à un terme strictement positif. En 0, la fonction sgn vaut 0. sgn est une fonction impaire. Lorsque le terme est non nul, exprimez sgn à l'aide de la valeur absolue. Ecrivez $|x|$ comme $x sgn(x)$. Une puissance paire est toujours positive. Une puissance impaire d'un nombre réel est de même signe que ce nombre, de sorte que $sgn(x)$ à une puissance impaire est égal à $sgn(x)$. Transférez sgn au numérateur, car si $x#0$, $1/sgn(x) = sgn(x)$. La fonction sgn est dérivable sur $]-\infty ,0[$ et sur $]0,+\infty [$, de dérivée nulle sur chacun de ces deux intervalles. La fonction sgn est en escalier sur $]-\infty ,+\infty [$, donc intégrable sur tout intervalle fermé borné, mais elle n'est primitivable que sur $]-?,0[$ et sur $]0,+?[$. La fonction valeur absolue est continue sur $]-?,+?[$, dérivable sur $]-?,0[$ et sur $]0,+?[$, et sur chacun de ces deux intervalles, sgn est la dérivée de valeur absolue. Si $x$ est strictement positif ou strictement négatif sur tout l'intervalle d'intégration, un facteur sgn(x) dans l'intégrande peut être déplacé à l'extérieur du signe d'intégration. L'utilisation de la fonction sgn permet souvent d'effectuer une étude indépendamment du signe d'une fonction, mais quelquefois, les cas de signes différents doivent être étudiés séparément. Vous pouvez entrer un facteur strictement positif à l'intérieur de la fonction sgn. Pour tout couple $(a,b)$ de réels, on a $sgn(ab) = sgn(a) sgn(b)$. Vous pouvez sortir à l'extérieur de la fonction sgn un facteur strictement positif. Laissez tomber les facteurs strictement négatifs à l'intérieur de la fonction sgn, et ajoutez un signe moins devant l'expression. Lorsque $n$ est impair, pour tout réel $x$, on a $sgn(x^n) = sgn(x)$. $1/x$ est de même signe que $x$. $c/x$ est de même signe que $x$, si $x$ est strictement positif. Ecrivez $x sgn(x)$ comme $|x|$. Ecrivez $|x| sgn(x)$ comme $x$. La dérivée de la fonction de Bessel $J0$ est $-J1$ Pour tout complexe $z$ non nul, $J1'(z) = J0(z) - J1(z)/z$. Pour tout complexe $z$ non nul, $(Jn)'(x)=(Jn-1)'(z)-(n/z)Jn(z)$. La dérivée de $Y0$ est $-Y1$ Pour tout réel $x$ non nul, $Y1'(x) = Y0(x) - Y1(x)/x$. Pour tout réel $x$ non nul, $Y'(n,x)=Y(n-1,x)-(n/x)Y(n,x)$. La dérivée de $I0$ est $-I1$. Pour tout réel $x$ non nul, $I1'(x) = I0(x) - I1(x)/x$. Pour tout réel $x$ non nul, $I'(n,x)=I(n-1,x)-(n/x)I(n,x)$. La dérivée de $K0$ est $-K1$. Pour tout réel $x$ non nul, $K1'(x) = -K0(x) - K1(x)/x$. Pour tout réel $x$ non nul, $K'(n,x)= -K(n-1,x)-(n/x)K(n,x)$. Utilisez une fonction définie. Développez les produits de sommes puis regroupez les termes. Développez en utilisant l'identité $a(b+c) = ab+ac$ puis simplifiez. Ordonnez les facteurs. Pour évaluer la limite, mettez d'abord au même dénominateur les fractions. Commencez par factoriser les dénominateurs si nécessaire. Pour évaluer la limite, mettez d'abord au même dénominateur les fractions. Pour évaluer la limite, mettez d'abord au même dénominateur les fractions. Commencez par éliminer les exposants négatifs. Exprimez la racine carrée en utilisant un exposant fractionnaire. Développez le cosinus d'un angle double. Eliminez $sin^2 t$ en l'exprimant à l'aide de $cos^2 t$. Eliminez $cos^2 t$ en l'exprimant à l'aide de $sin^2 t$. Eliminez $tan^2 t$ en l'exprimant à l'aide de $sec^2 t = 1/(cos^2 t)$. Eliminez $sec^2 t = 1/(cos^2 t)$ en l'exprimant à l'aide de $tan^2 t$. Procédez à un changement de variable. Multiply coefficients Evaluez une simple racine carrée. Ajoutez une même quantité aux deux membres. Factoriser l'un des éléments de la somme pour mettre en évidence un facteur commun que vous pourrez alors mettre en facteur. Développez le produit puis simplifiez. Afin de déterminer les dénominateurs communs, écrivez toutes les fonctions trigonométriques à l'aide de sin et de cos. Utilisez l'identité $ab+ac = a(b+c)$ pour faire apparaître le terme de degré 1 d'un trinôme du deuxième degré. Factorisez un ou les deux membres d'une identité si le résultat permet des simplifications. L'un des membres est un carré (ou une autre puissance) parfait. Factorisez-le. Grâce à l'identité sur les logarithmes de puissances, ramenez-vous des logarithmes évalués en un point unique. Grâce à l'identité sur les logarithmes de produits, ramenez-vous des logarithmes évalués en un point unique. nul %�|� 4 I: ; I ! I7 I $ > $ > .�@: ;'I? : ;I
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