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�� � �� � �� __text __TEXT 4 � �� � __cstring __TEXT 4 �� � __data __DATA �� � �� �� K __debug_abbrev __DWARF �� � H� __debug_info __DWARF @� �� __debug_str __DWARF X� [ � __apple_names __DWARF �� � [� __apple_objc __DWARF _� $ � __apple_namespac__DWARF �� $ +� __apple_types __DWARF �� � O� __compact_unwind__LD 0� @ � 0 __debug_line __DWARF p� ~ � @ 2
H �+ � P �C �� �� ���� � � �� �� yi��C ��_֠�R�_�Lorsque $n$ est impair, on peut prendre la racine $n$-ième des deux membres d'une inégalité. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $a > u^2^n$ est équivalent à $ ^2^n\sqrt a > |u|$ Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième; $ a > u^2^n$ si et seulement si $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $0 \le a < u^2^n$ devient $^2^n\sqrt a < |u|$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $a < u^2^n$ si et seulement si $v < -^2^n\sqrt a$ or $^2^n\sqrt a < u$. Si $n$ est pair, vous pouvez prendre la racine $n$-ième des trois termes, mais vous obtiendrez alors un intervalle supplémentaire correspondant à l'opposé de la racine $n$-ième. Vous avez une racine $n$-ième. Débarrassez-vous en en élevant les deux membres à la puissance $n$-ième. Vous pouvez toujours élever les deux membres d'une inégalité à une puissance positive impaire. Si les deux membres d'une inégalité sont positifs, on peut les élever à n'importe quelle puissance strictement positive. La fonction racine $n$-ième est à valeurs positives lorsque $n$ est pair, mais lorsqu'on élève une telle racine à une puissance, il ne faut pas oublier que le terme sous la racine doit être positif. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $u^2^n \le a si et seulement si |u| < ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $u^2^n \le a$ si et seulement si $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $0 \le a \le u^2^n $ si et seulement si $^2^n\sqrt a \le |u|$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $a \le u^2^n$ si et seulement si $ v \le -^2^n\sqrt a$ ou $^2^n\sqrt a \le u$. Le numérateur étant strictement positif, le quotient est strictement positif si et seulement si le dénominateur est strictement positif. Dans une inégalité de la forme $0 < u/\sqrt v$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car cela vous évitera de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement positif si et seulement si $u$ et $v$ sont tous les deux non nuls et de même signe. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement positif, mais l'inégalité $0 < uv$ peut être plus facile à étudier que $0 < u/v$. Dans une inégalité de la forme $u/\sqrt v < 0$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car cela vous évitera de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement négatif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de signes contraires. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement négatif, mais l'inégalité $uv < 0$ peut être plus facile à étudier que $u/v < 0$. Au cours de la résolution d'une inégalité linéaire, il peut être pratique de mettre en facteur le coefficient de l'inconnue: Si $a$ est non nul, on a $ax \pm b < 0$ si et seulement si $a(x\pm b/a) < 0$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $(x-a)(x-b) < 0$, est l'intervalle ouvert dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: a < x < b}$, si $a < b$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $0 < (x-a)(x-b)$, est le complémentaire de l'intervalle fermé dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: x < a ou b < x}$ si $a<b$. Dans l'étude d'une inégalité de la forme $0 \le u/\sqrt v$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car vous risqueriez de perdre des informations sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement positif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de même signe. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement positif, mais l'inégalité $0 \le uv$ peut être plus facile à étudier que $0 \le u/v$. Dans l'étude d'une inégalité de la forme $u/\sqrt v \le 0$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car vous risqueriez de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement négatif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de signes opposés. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement négatif, mais l'inégalité $uv \le 0$ peut être plus facile à étudier que $u/v \le 0$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $(x-a)(x-b) \le 0$, est l'intervalle fermé dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: a \le x \le b}$, si $a < b$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $0 \le (x-a)(x-b)$, est le complémentaire de l'intervalle ouvert dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: x \le a ou b \le x}$ si $a<b$. Développez la puissance en utilisant la formule du binôme. Utilisez la formule du binôme avec les coefficients binomiaux $(n k)$. Exprimez les coefficients binomiaux à l'aide des factorielles, grâce à la formule $(n k) = n!/((n-k)!k!)$. Utiisez la définition de la factorielle, $n! = n(n-1)(n-2)...1$. Calculez explicitement les factorielles. Calculez les coefficients binomiaux (n k). Développez la somme indexée (marquée par la notation $\sum $) en une somme ordinaire. Calculez la somme indexée (marquée par la notation $\sum $) comme une nombre rationnel. Utiliser la formule de récurrence définissant la factorielle, $n! = n(n-1)$. $n!$ est divisible par $n$, et le quotient est $(n-1)!$. $n!$ est divisible par $(n-1)!$, et le quotient est $n$. Lorsque $k$ est inférieur à $n$, $n!$ est divisible par $k!$. Avez-vous reconnu le cube d'une somme? Factorisez-la. Avez-vous reconnu le cube d'une différence? Factorisez-la. Avez-vous reconnu la puissance quatrième d'une somme? Factorisez-la. Avez-vous reconnu la puissance quatrième d'une différence? Factorisez-la. Avez-vous reconnu une puissance d'une somme? Factorisez-la. Avez-vous reconnu une puissance d'une différence? Factorisez-la. Le terme général de la somme indexée, sous le signe $\sum $, ne dépend pas de l'indice de sommation; aussi la somme est-elle égale au produit du terme général par le nombre de termes de cette somme. Essayez de sortir le signe moins en dehors de la somme indexée, c'est-à-dire en dehors du signe $\sum $. Sortez les constantes en dehors du signe $\sum $. Coupez la somme en deux somme ou plus, grâce à l'identité $\sum (u+v) = \sum u + \sum v$. Coupez la somme en deux grâce à l'identité $\sum (u-v) = \sum u - \sum v$. Développez la somme indexée écrite avec la notation $\sum $ comme une somme ordinaire, écrite avec le signe $+$. Il y a une formule donnant la somme des $n$ premiers entiers naturels. Il y a une formule donnant la somme des $n$ premiers carrés. Il y a une formule donnant la somme d'une progression géométrique, $1+x+..+x^n$. Explicitez les premiers termes. Calculez la somme indexée écrite avec la notation $\sum $, et exprimez le résultat comme une fraction rationnelle. Evaluez sous forme décimale. Exprimez le terme général comme un polynôme fonction de l'indice de sommation. C'est une somme amalgamante: une partie de chaque terme se simplifie avec une autre partie du terme suivant. Décale l'indice de sommation. Autrement dit, ajoute un même nombre aux deux bornes de l'ensemble d'indices, et adapte le terme général de la somme de manière à laisser celle-ci globalement inchangée. Renomme la variable d'indexation. Un produit de deux sommes peut s'écrire comme une somme double: $(\sum u)(\sum v) = \sum \sum uv$ Séparer le dernier terme de la somme pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence. Il y a une identité exprimant la somme des $n$ premiers cubes. Il y a une identité exprimant la somme des $n$ premières puissances quatrièmes. Vous pouvez différentier terme à terme, car la dérivée d'une somme (finie) est la somme des dérivées. Sortez le signe de dérivation en dehors de la somme. Pour activer ce choix dans le menu, sélectionnez toute la somme. Vous pouvez intégrer terme à terme. L'intégrale sur un intervalle d'une somme finie de fonctions intégrables sur cet intervalle est la somme des intégrales sur cet intervalle de ces fonctions. Sortez le symbole d'intégration de la somme. Pour activer ce choix dans le menu, sélectionnez toute la somme. Passe une constante dans la somme. Si la nouvelle valeur minimale de l'indice de la somme indexée était zéro, vous pourriez resoudré ceci. Si la nouvelle valeur minimale de l'indice de la somme indexée était différent, vous pourriez resoudré ceci. Sélectionnez la variable utilisée pour indexer le raisonnement par récurrence. Commencer par initialiser la récurrence en vérifiant la propriété pour la première valeur de l'indice de récurrence. Commencez l'étape générale de récurrence, montrant le passage de $n$ à $n+1$. Maintenant, utilisez l'hypothèse de récurrence. Vous avez tous les éléments. Passez à la conclusion! L'ensemble image de la fonction sinus est l'intervalle fermé d'extrémités $-1$ et 1: $|sin u| \le 1$. L'ensemble image de la fonction cosinus est l'intervalle fermé d'extrémités $-1$ et 1: $|cos u| \le 1$ Si $u\ge 0$, alors $sin u \le u$ Pour tout réel $u$, on a $1 - u^2/2 \le cos u$. Par définition de la fonction arctan, on a, pour tout réel $u$, $|arctan u| \le \pi /2$. Si $u\ge 0$, alors $arctan u \le u$. Si $u\ge 0$, alors $u \le tan u$. La fonction logarithme néperien, notée ln, étant strictement croissante, si les deux membres d'une inégalité sont strictement positifs, on peut prendre leur ln. La fonction logarithme décimal, notée log, étant strictement croissante, si les deux membres d'une inégalité sont strictement positifs, on peut prendre leur log. Essayez d'éliminer les logarithmes en prenant des puissances. Exponentielles dominent polynômes Fonctions algébriques dominent logarithmes On peut définir log $a$ comme l'unique nombre réel tel que $10^log a = a$. On peut simplifier un log dans placé dans un exposant grâce à cette règle: Si $a>0$, alors $10^(n log a) = a^n$ Retenez que pour tout réel $n$, on a $log 10^n = n$. Retenez que le logarithme de 1 est 0. Retenez que log 10 = 1. Exprimez le logarithme décimal log en fonction du logarithme néperien ln grâce à cette formule de conversion: $log a = (ln a)/(ln 10)$. Toute puissance $u^v$ peut s'exprimer à l'aide de logarithmes comme $10^(v log u)$. Factoriser un nombre permet de couper son logarithme. On peut simplifier un logarithme décimal en mettant en facteur des puissances de 10. log(a/b) = -log(b/a) log(b,a/c) = -log(b,c/a) Coupez les logarithmes de puissances grâce à la formule $log a^n = n log a$. Pour multiplier, ajoutez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $log ab = log a + log b$. Le logarithme de l'inverse est l'opposé du logarithme: $log 1/a = -log a$. Pour diviser, soustrayez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $log a/b = log a - log b$. Pour multiplier, ajoutez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $log a + log b = log ab$. Pour diviser, soustrayez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $log a - log b = log a/b$. Pour multiplier ou diviser, ajoutez ou soustrayez les logarithmes: Si $a$, $b$ et $c$ sont strictement positifs, alors $log a + log b - log c =log ab/c$. On peut faire entrer un facteur à l'intérieur d'un logarithme en utilisant cette règle: Si $a>0$, alors pour tout réel $n$, alors $n log a = log a^n$. Les logarithmes de racines carrées se simplifient du fait de l'identité $log \sqrt a = 1/2 log a$, valide pour tout $a>0$. Les logarithmes de racines n-ièmes se simplifient grâce à l'identité $log ^n\sqrt a = (1/n) log a$, valide pour tout $a>0$. Le logarithme de 1 est 0. Factoriser complètement un nombre permet de simplifier son logarithme. La factorisation des puissances de 10 Factor permet de simplifier le logarithme décimal. Esayez d'écrire $log(u)$ comme $1/a log u^a$. Vous pourriez évaluer numériquement les logarithmes. Exprimez le logarithme décimal en fonction du logarithme néperien grâce à cette formule de conversion: $log a = (ln a)/(ln 10)$. Un logarithme dans un exposant peut être simplifié grâce à cette règle: Si $a>0$, alors $e^ln a = a$. ln e = 1. ln 1 = 0. Pour tout nombre réel $n$, on a $ln e? = n$. Toute puissance de la forme $u^v$ peut aussi s'écrire $e^(v ln u)$. Un logarithme dans une puissance peut être simplifié grâce à cette règle: Si $c>0$, alors $e^((ln c) a) = c^a$. $ln a^n = n ln a$. Pour multiplier, ajoutez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $ln ab = ln a + ln b$. Le logarithme de l'inverse est l'opposé du logarithme: $ln 1/a = -ln a$. Pour diviser, soustrayez les logarithmes: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $ln a/b = ln a - ln b$. ln 1 = 0 Factorise complètement un nombre. Les sommes de logarithmes néperiens se regroupent selon cette règle: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $ln a + ln b = ln ab$. Les différences de logarithmes néperiens se regroupent selon cette règle: Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $ln a - ln b = ln a/b$. Pour multiplier ou diviser, ajoutez ou soustrayez les logarithmes néperiens: Si $a$, $b$ et $c$ sont strictement positifs, alors $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$. Si $a>0$, alors pour tout réel $n$, alors $n ln a = ln a^n$. Les logarithmes néperiens de racines carrées se simplifient du fait de l'identité $ln \sqrt a = 1/2 ln a$, valide pour tout $a>0$. Les logarithmes néperiens de racines $n$-ièmes se simplifient grâce à l'identité $ln ^n\sqrt a = (1/n) ln a$, valide pour tout $a>0$. Essayez d'écrire $ln(1+v)$ sous la forme $v ln((1+v)^(1/v))$, puis utilisez la définition de $e$ comme limite. Faites une évaluation numérique. ln(a/b) = -ln(b/a) Utilisez la formule donnant le sinus d'une somme pour en reconnaître un. Utilisez la formule donnant le sinus d'une différence pour en reconnaître un. Utilisez la formule donnant le cosinus d'une somme pour en reconnaître un. Utilisez la formule donnant le cosinus d'une différence pour en reconnaître un. Utilisez l'une des formules donnant la tangente d'un angle moitié pour en reconnaître une. Utilisez l'une des formules donnant la cotangente d'un angle moitié pour en reconnaître une. Utilisez la formule donnant la tangente d'une somme pour en reconnaître une. Utilisez la formule donnant la tangente d'une différence pour en reconnaître une. Utilisez la formule donnant la cotangente d'une somme pour en reconnaître une. Utilisez la formule donnant la cotangente d'une différence pour en reconnaître une. Remplacez $1 - cos \theta $ par $2 sin^2(\theta /2)$. Exprimez le nombre complexe sous forme polaire. Développe d'exponentielle complexe à l'aide de $sin$ et de $cos$. L'image d'un réel par la fonction exponentielle complexe est un point du cercle unité, qui est donc de module 1. Le signe moins peut être éliminé grâce à la formule $-a = ae^(i\pi )$. La fonction racine $n$-ième complexe n'est en général ni paire ni impaire : lorsque $a$ est complexe, $??(-a)$ n'est pas égal à $-??a$. Il y a un facteur complexe car alors $\sqrt (-a) = e^(\pi i/n) ^n\sqrt a$. Les exposants complexes devraient être regroupés au numérateur. Utilisez la formule de Moivre qui donne une expression des $n$ racines $n$-ièmes d'un nombre complexe. Remplacez le paramètre entier par des nombres explicites pour obtenir une liste complète des solutions. Utilisez la définition d'un logarithme en base $b$: Pour tout réel $a>0$, $b^(log(b,a)) = a$. Un logarithme au sein d'un exposant peut être simplifié grâce à l'identité $b^(n log(b,a)) = a^n$, valide pour tout réel $a>0$. $log(b,b) = 1$. $log(b,b^n) = n$. Le logarithme dans une base quelconque d'un produit peut être simplifié grâce à cette règle: Si $x$ et $y$ sont des réels strictement positifs, alors $log xy = log x + log y$. Le logarithme dans une base quelconque de l'inverse d'un nombre peut être simplifié grâce à cette règle: Pour tout réel $x>0$, $log (1/x) = -log x$. Pour diviser, soustrayez les logarithmes: Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, on a $log x/y = log x - log y$. $log(b,1) = 0$. Factorisez la base des logarithmes; par exemple, $log(4,x)=log(2^2,x)$. Pour tout réel $x>0$, tout entier $n>0$, et tout réel $b>1$, on a $log(b^n, x) = (1/n) log (b, x)$. Pour tout réel $x>0$, et tout réel $n$, on a $log x^n = n log x$. Mettez en facteur les puissances de la base des logarithmes. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $log x + log y = log xy$. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $log x - log y = log x/y$. Pour tous réels $x$, $y$ et $z$ strictement positifs, $log x + log y - log z =log xy/z$. Pour tout réel $x$ strictement positif et totu réel $n$, on a $n log x = log x^n$. Change de base de logarithmes pour des logarithmes néperiens. Change de base de logarithmes pour des logarithmes décimaux. Change de base de logarithmes. Change de base les logarithmes pour les exprimer dans une même base grâce à cette règle: Si $b>1$, $x>0$ et $n?1$, alors $log(b?,x) = (1/n) log (b,x)$. La fonction logarithme décimal est notée log La fonction logarithme néperien, c'est-à-dire de base $e$ est notée ln Changez les log en ln Changez les ln en log Passe tout dans l'exposant, grâce à la formule $u^v = b^(v log(b,u))$. En zéro la fonction sinus prend la valeur zéro. En zéro, la fonction cosinus prend la valeur zéro. En zéro, la fonction tangente prend la valeur zéro. Les zéros de la fonction sinus sont les multiples de $\pi $. La fonction cosinus prend la valeur 1 en tout multiple de $\pi $. Les zéros de la fonction tangente sont les multiples de $\pi $ Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, vous devriez trouver un représentant du résultat entre 0 et 360°. Sélectionnez une fonction trigonométrique sur un intervalle non convenable. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, vous devriez trouver un représentant du résultat entre 0 et $2\pi $. Sélectionnez une fonction trigonométrique sur un intervalle non convenable. On connaît les valeurs des fonctions trigonométriques aux multiples de $90\deg $. Utilisez les relations connues pour le triangle dont les côtés sont de longueurs respectives 1, 2 et $\sqrt 3$. Utilisez les relations connues pour le triangle dont les côtés sont de longueurs respectives 1, 1 et $\sqrt 2$. Passez des radians aux degrés. Passez des degrés aux radians. Exprimez l'angle sous la forme $a 30\deg + b 45\deg $, où $a$ et $b$ sont des entiers; ensuite, vous pourrez utiliser les formules d'addition pour le découper. Exprimez la fonction tangente à l'aide des fonctions sinus et cosinus. Exprimez la fonction cotangente à l'aide de la fonction tangente. Exprimez la fonction cotangente à l'aide des fonctions sinus et cosinus. Exprimez la fonction 1/cosinus (autrefois appelée sécante et notée sec) à l'aide des fonctions sinus et cosinus. Exprimez la fonction 1/sinus (autrefois appelée cosécante et notée csc) à l'aide de la fonction sinus. Regroupez les sinus et les cosinus en tangente. Regroupez les sinus et les cosinus en cotangente. Remplacez la fonction $1 / sinus$ par la fonction cosécante, notée $csc$, qui, par définition, lui est égale. Remplacez la fonction $1 / cosinus$ par la fonction sécante, notée $sec$, qui, par définition, lui est égale. Remplacez la fonction $1 / tangente$ par la fonction cotangente, notée $cot$. Remplacez la fonction $1 / tangente$ par la fonction $cosinus / sinus$, notée aussi $cos/sin$. Remplacez la fonction $1 / cotangente$ par la fonction tangente, notée $tan$ Remplacez la fonction $1 / cotangente$ par la fonction $sinus / cosinus$, notée aussi $sin/cos$. Remplacez la fonction $1 / secante$, notée $1/sec$, par la fonction cosinus qui, par définition de la fonction sécante lui est égale. Remplacez la fonction $1 / coss\theta cante$, notée $1/csc$, par la fonction sinus qui, par définition de la fonction cosécante lui est égale. Remplacez la fonction sinus par la fonction cosécante, notée $csc$, et par définition égale à $1/sinus$. Remplacez la fonction cosinus par la fonction sécante, notée $sec$, et égale, par définition, à $1/cosinus$. Remplacez la fonction tangente, notée tan, par la fonction cotangente, notée $cot$. Utilisez l'égalité $sin^2 u + cos^2 u = 1$, valide pour tout réel $u$. Remarquez une expression ressemblant à $1 - sin^2 u$. Remarquez une expression ressemblant à $1 - cos^2 u$. Essayez de remplacer $sin^2$ par $1 - cos^2$. Essayez de remplacer $cos^2$ par $1 - sin^2$. Utilisez l'égalité $sec^2 u - tan^2 u = 1$, où la fonction sécante, notée sec, est par définition égale à 1/cosinus. Remarquez une expression ressemblant à $tan^2 u + 1$. Remarquez une expression ressemblant à $sec^2 u - 1$, où sec est l'abréviation de la fonction sécante, égale, par définition à 1/cosinus. Essayez de remplacer la fonction $sec^2$ par $tan^2 + 1$, où sec est l'abréviation de la fonction sécante, égale, par définition à 1/cosinus. Essayez de remplacer $tan^2$ par $sec^2 - 1$, où sec est l'abréviation de la fonction sécante, égale, par définition à 1/cosinus. Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction sinus, en utilisant l'identité $sin^(2n+1) u = sin u (1-cos^2 u)^n$. Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction cosinus, en utilisant l'identité $cos^(2n+1) u = cos u (1-sin^2 u)^n$. Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction tangente, en utilisant l'identité $tan^(2n+1) u = tan u (sec^2 u-1)^n$ Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction sécante, en utilisant l'identité $sec^(2n+1) u = sec u (tan^2 u+1)^n$, où sec est l'abréviation de la fonction sécante, égale, par définition à 1/cosinus. Regroupez les puissances de $(1-cos t)$ et celles de $(1+cos t)$ pour obtenir des puissances de $sin^2 t$. Regroupez les puissances de $(1-sin t)$ et celles de $(1+sin t)$ pour obtenir de spuissances de $cos^2 t$. Remarquez une expression ressemblant à $csc^2 u - cot^2 u$, où $csc$ est l'abréviation de la fonction cosécante, égale, par définition, à 1/sinus. Remarquez une expression ressemblant à $cot^2 u + 1$. Remarquez une expression ressemblant à $csc^2 u - 1$. Essayez de remplacer la fonction $csc^2$ par la fonction $cot^2 + 1$, où $csc$ est l'abréviation de la fonction cosécante, égale, par définition, à 1/sinus. Essayez de remplacer la fonction $cot^2$ par la fonction $csc^2 - 1$, où $csc$ est l'abréviation de la fonction cosécante, égale, par définition, à 1/sinus. Exprimez $csc(\pi /2-\theta )$ à l'aide de $sec \theta $, où $csc$ et $sec$ sont les abréviations respectives des fonctions cosécante et sécante, respectivement égales, par définition, à $1/sinus$ et à $1/cosinus$. Exprimez $cot(\pi /2-\theta )$ à l'aide de $tan \theta $. Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction cotangente, notée $cot$, en utilisant l'identité $cot^(2n+1) u = cot u (csc^2 u-1)^n$, où $csc$ est l'abréviation de la fonction cosécante, égale, par définition, à $1/sinus$. Débarrassez-vous de toutes les puissances de la fonction cosécante, notée $csc$, en utilisant l'identité $csc^(2n+1) u = csc u (cot^2 u+1)^n$, où la fonction cosécante est, par définition, égale à 1/sinus. Utilisez la formule donnant $sin(u+v)$. Utilisez la formule donnant $sin(u-v)$. Utilisez la formule donnant $cos(u+v)$. Utilisez la formule donnant $cos(u-v)$. Utilisez la formule donnant $tan(u+v)$. Utilisez la formule donnant $tan(u-v)$. Utilisez la formule donnant $cot(u+v)$. Utilisez la formule donnant $cot(u-v)$. Utilisez la formule de duplication du sinus donnant une expression du sinus d'un angle double. Vous avez une formule de la forme $cos(2\theta )$. Il y a trois formules courantes de duplication du cosinus commençant par $cos(2\theta )$. Faites le bon choix, en pensant à ce qui vient après. Sélectionnez la somme contenant $cos(2\theta )+1$. Sélectionnez la somme contenant $cos(2\theta )-1$. Utilisez la formule de duplication de la tangente, c'est-à-dire la formule donnant $tan(2\theta )$, la tangente d'un angle double. Utilisez la formule de duplication de la cotangente, c'est-à-dire la formule donnant $cot(2\theta )$, la cotangente d'un angle double. Un produit de la forme sinus fois cosinus peut s'exprimer à l'aide d'une seule fonction trigonométrique, si l'on utilise cette identité: $sin \theta cos \theta = 1/2 sin 2\theta $ Un produit de la forme sinus fois cosinus peut s'exprimer à l'aide d'une seule fonction trigonométrique, si l'on utilise cette identité: $2 sin \theta cos \theta = sin 2\theta $ Regroupez certains termes pour obtenir le cosinus d'un angle double. Développez une fonction trigonométrique en écrivant $n\theta $ sous la forme $(n-1)\theta + \theta $ et en utilisant une formule de somme. Il y a une formule permettant de développer $sin(3\theta )$. Il y a une formule permettant de développer $cos(3\theta )$. Vous pouvez développer $sin n\theta $ comme un polynôme en $sin \theta $ et $cos \theta $. Vous pouvez développer $cos n\theta $ comme un polynôme en $sin \theta $ et $cos \theta $. Vous pourriez faire le produit en croix. Vous pourriez échanger les deux membres. Déplacez l'un des termes de gauche à droite. Déplacez l'un des termes de droite à gauche. Ajoutez quelque chose aux deux membres. Soustrayez quelque chose des deux membres. Multipliez les deux membres par quelque chose. Simplifiez un terme commun aux deux membres. Elevez les deux membres à la même puissance. Prenez la racine carrée des deux membres. Prenez la racine $n$-ième des deux membres. Appliquez une même fonction aux deux membres. Peut-être ne s'agit-il pas d'une identité correcte. Faites une vérification numérique. Si la relation est incorrecte, vous trouverez rapidement une valeur numérique pour laquelle les deux membres ne sont pas égaux. Faites une substitution. Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = 1/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = -1/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = \sqrt 3/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = -\sqrt 3/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = \sqrt 3/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = -\sqrt 3/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = 1/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = -1/2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = 1/\sqrt 3$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = -1/\sqrt 3$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = \sqrt 3$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = -\sqrt 3$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = 1/\sqrt 2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin(u) = -1/\sqrt 2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = 1/\sqrt 2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos(u) = -1/\sqrt 2$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = 1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan(u) = -1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin u = 0$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin u = 1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $sin u = -1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos u = 0$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos u = 1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cos u = -1$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $tan u = 0$ ? Pour quelles valeurs de $u$ a-t-on $cot u = 0$ ? Vous pouvez vous débarrasser du sinus en composant par la fonction arcsinus, mais il y aura de nombreuses solutions. Vous pouvez vous débarrasser du sinus en composant par la fonction arcsinus, mais il y aura de nombreuses solutions. Vous pouvez vous débarrasser du cosinus en composant par la fonction arccosinus, mais il y aura de nombreuses solutions. Essayez de composer par la fonction arctangente, afin de vous débarrasser de la tangente. Calculez exactement l'arcsin. Calculez exactement l'arccos. Calculez exactement l'arctan. Débarrassez-vous du arccot, en utilisant l'égalité $arccot x = arctan (1/x)$. Débarrassez-vous du arcsec, en utilisant l'égalité $arcsec x = arccos (1/x)$. Débarrassez-vous du arccsc, en utilisant l'égalité $arccsc x = arcsin (1/x)$. La fonction arcsinus est impaire. La fonction arccosinus n'est ni paire ni impaire, mais elle satisfait à l'égalité $arccos(-x) = ? - arccos x$. La fonction arctangente, notée arctan, est impaire. Comme vos solutions font intervenir un paramètre entier, il y en a une infinité. Si la fonction associée à l'équation est périodique de période $2?$, vous devriez ré-écrire vos solutions sous la forme $c + 2n?$. Il vous suffira alors de vérifier les solutions sur un intervalle dont la longueur est égale à la période. Rappelez-vous que la fonction sinus est à valeurs dans l'intervalle $[-1, 1]$. Rappelez-vous que la fonction cosinus est à valeurs dans l'intervalle $[-1, 1]$. $x -> tan(arcsin x)$ est une fonction algébrique de $]-1,1[$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. $x -> tan(arccos x)$ est une fonction algébrique de $]-1,1[$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. Pour tout réel $x$, on a $tan(arctan x)=x$. Pour tout élément $x$ de [-1,1], on a $sin(arcsin x)=x$. $x -> sin(arccos x)$ est une fonction algébrique de $[-1,1]$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. $x -> sin(arctan x)$ est une fonction algébrique de $R$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. $x -> cos(arcsin x)$ est une fonction algébrique de $[-1,1]$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. Pour tout élément $x$ de [-1,1], on a $cos(arccos x) = x$. $x -> cos(arctan x)$ est une fonction algébrique de $R$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. $sec(arcsin x)$ est une fonction algébrique de $]-1,1[$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. Pour tout réel non nul $x$, on a $x -> sec(arccos x) = 1/x$. $sec(arctan x)$ est une fonction algébrique de $R$ dans $R$, c'est-à-dire une fonction f telle qu'il existe un polynôme $P$ à deux indéterminées tel que, pour tout élément $x$ du domaine de définition de $f$, on ait $P(x,f(x))=0$. Pour tout élément $\theta $ de $[-\pi /2, \pi /2]$, on a $arctan(tan \theta ) = \theta $. Pour tout élément $\theta $ de $[-\pi /2, \pi /2]$, on a $arcsin(sin \theta ) = \theta $. Pour tout élément é de $[0, \pi ]$, on a $arccos(cos \theta ) = \theta $. En général, $arctan(tan x)$ n'est pas égal à $x$, mais pour tout intervalle inclus dans l'ensemble de définition de $tan$, il existe un constante $c1$ telle que, pour tout élément $x$ de cet intervalle, on ait $arctan(tan x) = x + c1$. Pour tout réel $x$ de $[-1,1]$, on a $arcsin x + arccos x = \pi /2$. Pour tout réel non nul $x$, on a $arctan x + arctan 1/x = sgn(x) \pi /2$, où $sgn$ est la fonction signe, définie par $sgn(x) = +1$ si $x>0$, $sgn(x) = -1$ su $x<0$. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosinus désigne le complément, parce que le cosinus d'un angle est le sinus de son angle complémentaire, ce qui se traduit par la formule $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosinus désigne le complément, parce que le cosinus d'un angle est le sinus de son angle complémentaire, ce qui se traduit par la formule $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cotanente désigne le complément, parce que la cotangente d'un angle est la tangente de son angle complémentaire, ce qui se traduit par la formule $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cotanente désigne le complément, parce que la cotangente d'un angle est la tangente de son angle complémentaire. On a donc $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'c' de cosécante désigne le complément, parce que la cosécante d'un angle est la sécante de son angle complémentaire, ce qui se traduit par la formule $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $, avec par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosécante désigne le complément, parce que la cosécante d'un angle est la sécante de son angle complémentaire. On a donc $sec(\pi /2-\theta ) = csc \theta $, avec par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $. Ré-écrivez le sinus comme un cosinus en utilisant la formule $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Ré-écrivez le cosinus comme un sinus en utilisant la formule $sin(\pi /2-\theta ) = cos \theta $. Ré-écrivez la tangente comme une cotangente, grâce à l'identité $cot(\pi /2-\theta ) = tan \theta $, valide si et seulement si $\pi /2-\theta $ n'est pas un multiple de $\pi $.. Ré-écrivez la cotangente comme une tangente, grâce à l'identité $tan(\pi /2-\theta ) = cot \theta $, valide si et seulement si $\theta $ n'est pas un multiple de $\pi $. Ré-écrivez la sécante $sec \theta $, comme la cosécante de l'angle complémentaire, $csc(\pi /2-\theta )$, sachant que, par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $. Ré-écrivez la cosécante $csc \theta $, comme la sécante de l'angle complémentaire, $sec(\pi /2-\theta )$, sachant que, par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosinus désigne le complément, parce que le cosinus d'un angle est le sinus de son angle complémentaire. Autrement dit, $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Etymologiquement, le cosinus représente le sinus de l'angle complémentaire. Dans le cadre de cette conception géométrique des fonctions trigonométriques, on écrivait donc $sin(90\deg -\theta ) = cos \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cotangente désigne le complément, parce que la cotangente d'un angle est la tangente de son angle complémentaire. Autrement dit, $cot(\pi /2 - \theta ) = tan \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cotangente désigne le complément, parce que la cotangente d'un angle est la tangente de son angle complémentaire. Dans le cadre de cette conception géométrique des fonctions trigonométriques, on écrivait donc $tan(90\deg -\theta ) = cot \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosécante désigne le complément, parce que la cosécante d'un angle est la sécante de son angle complémentaire. Autrement dit, sachant que par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $, on a donc lorsque ces deux termes sont définis, $csc(\pi /2-\theta ) = sec \theta $. Etymologiquement, le préfixe 'co' de cosécante désigne le complément, parce que la cosécante d'un angle est la sécante de son angle complémentaire. Autrement dit, sachant que par définition, $sec \theta = 1/cos \theta $, et $csc \theta = 1/sin \theta $, on écrivait, dans le cadre de cette conception géométrique des fonctions trigonométriques, $sec(90\deg -\theta ) = csc \theta $. Ré-écrivez le sinus comme le cosinus de son angle complémentaire en utilisant la formule $cos(\pi /2-\theta ) = sin \theta $. Ré-écrivez le cosinus comme le sinus de son angle complémentaire en utilisant la formule $sin(?/2-\theta ) = cos \theta $. Ré-écrivez la tangente comme la cotangente de son angle complémentaire, grâce à l'identité $cot(?/2-\theta ) = tan \theta $, valide si et seulement si $?/2-\theta $ n'est pas un multiple de $?$. Ré-écrivez la cotangente comme la tangente de on angle complémentaire, grâce à l'identité $tan(?/2-?) = cot ?$, valide si et seulement si $?$ n'est pas un multiple de $?$. Ré-écrivez la sécante $sec ?$, comme la cosécante de l'angle complémentaire, $csc(?/2-?)$, sachant que, par définition, $sec ? = 1/cos ?$, et $csc ? = 1/sin ?$. Ré-écrivez la cosécante $csc ?$, comme la sécante de l'angle complémentaire, $sec(?/2-?)$, sachant que, par définition, $sec ? = 1/cos ?$, et $csc ? = 1/sin ?$. Regroupez les angles exprimés en degrés. sinus est une fonction impaire. cosinus est une fonction paire. tangente est une fonction impaire. cotangente est une fonction impaire. sécante, notée sec et définie par $sec \theta = 1/cos \theta $, est une fonction paire. cosécante, notée csc et définie par $csc \theta = 1/sin \theta $, est une fonction impaire. La fonction $x -> sin^2 x$ est paire. La fonction $x -> cos^2 x$ est paire. La fonction $x -> tan^2 x$ est paire. La fonction $x -> cot^2 x$ est paire. La fonction sécante, notée sec est définie par $sec \theta = 1/cos \theta $; la fonction $x -> sec^2 x$ est paire. La fonction cosécante, notée csc est définie par $csc \theta = 1/sin \theta $; la fonction $x -> csc^2 x$ est paire. La fonction sinus est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction cosinus est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction tangente est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction sécante, notée sec et définie par $sec \theta = 1/cos \theta $ est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction cosécante, notée csc et définie par $csc \theta = 1/sin \theta $ est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction cotangente est périodique. Utilisez la formule traduisant cette propriété. La fonction $x -> sin^2 x$ est périodique de période $\pi $, alors que la plus petite période strictement positive de sinus est $2\pi $. La fonction $x -> cos^2 x$ est périodique de période $\pi $, alors que la plus petite période strictement positive de cosinus est $2\pi $. La fonction sécante, notée sec est définie par $sec \theta = 1/cos \theta $; c'est une fonction dont la plus petite période strictement positive est $2\pi $, tandis que celle de $sec^2$ est $\pi $. La fonction cosécante, notée csc est définie par $csc \theta = 1/sin \theta $; c'est une fonction dont la plus petite période strictement positive est $2\pi $, tandis que celle de $csc^2$ est $\pi $. Réduisez l'angle grâce à l'identité $sin u = -sin(u-\pi )$. Réduisez l'angle grâce à l'identité $sin u = sin(\pi -u)$. Réduisez l'angle grâce à l'identité $cos u = -cos(u-\pi )$. Réduisez l'angle grâce à l'identité $cos u = -cos(\pi -u)$. Débarrassez-vous du $sin^2$ en doublant l'argument. Débarrassez-vous du $cos^2$ en doublant l'argument. Le produit d'un sinus et d'un cosinus peut être simplifié grâce à l'identité $sin \theta cos \theta = 1/2 sin 2\theta $ Utilisez une identité faisant intervenir un angle double. Exprimez $\theta $ sous la forme $2(\theta /2)$. Cette opération est disponible avec les identités sur les angles doubles et les angles moitiés. Vous pouvez exprimer $sin x cos x$ comme $\onehalf sin 2x$ Vous pouvez écrire $sin x cos y$ comme une combinaison linéaire de $sin(x + y)$ et de $sin(x - y)$. Vous pouvez écrire $cos x sin y$ comme une combinaison linéaire de $sin(x + y)$ et de $sin(x - y)$. Vous pouvez écrire $sin x sin y$ comme une combinaison linéaire de $cos(x - y)$ et de $cos(x + y)$. Vous pouvez écrire $cos x cos y$ comme une combinaison linéaire de $cos(x - y)$ et de $cos(x + y)$. Vous pouvez exprimer la somme $sin x + sin y$ à l'aide du produit de $sin((x + y)/2)$ et de $cos((x - y)/2)$. Vous pouvez exprimer $sin x - sin y$ à l'aide du produit de $sin((x - y)/2)$ et de $cos((x + y)/2)$. Vous pouvez exprimer $cos x + cos y$ à l'aide du produit de $cos((x - y)/2)$ et de $cos((x + y)/2)$. Vous pouvez exprimer $cos x - cos y$ à l'aide du produit de $sin((x - y)/2)$ et de $sin((x + y)/2)$. Remplacez u et v par leurs expressions en termes de fonctions trigonométriques. Faites une expérimentation numérique. Lorsque des fonctions ont des limites, leur somme admet aussi une limite qui est la somme de leurs limites. Lorsque des fonctions ont des limites, leur différence somme admet aussi une limite qui est la différence de leurs limites. Une fonction constante a une limite qui est égale à la valeur de la fonction. La limite de $x$ lorsque $x$ tend vers $c$ est égale à $c$. Vous pouvez sortir une constante de la limite. Vous pouvez sortir un signe moins de la limite. Lorsque deux fonctions ont des limites, leur produit a une limite qui est le produit de leurs limites. L'élévation à une puissance constante est compatible avec la limite. Lorsque $v$ possède une limite $a$ et que $c$ est constant, $c^v$ possède une limite qui est égale à $c^a$.- Si $u>0$ possède une limite, et si v en possède une, alors $u^v$ a une limite et $lim u^v=(lim u)^(lim v)$ Si $u\ge 0$ a une limite, alors la racine carrée de $u$ possède une limite qui est la racine carrée de la limite de $u$. Si $n$ est impair et si $u$ possède une limite, alors la racine $n$-ième de $u$ possède une limite qui est la racine $n$-ième de la limite de $u$. Si $u$ est positif et possède une limite, alors la racine $n$-ième de $u$ a une limite qui est égale à la racine $n$-ième de la limite de $u$. Vous pouvez utiliser MathXpert pour calculer directement la limite d'une expression polynomiale. Intervertissez les symboles de limite et de valeur absolue. Vous pouvez sortir une constante non nulle du numérateur, car lorsque c est un réel non nul, $cu/v$ possède une limite si et seulement si $u/v$ en possède une, et alors $lim cu/v = c lim u/v$. Si un terme $v$ ne s'annulant pas admet une limite non nulle, son inverse $1/v$ admet une limite qui est l'inverse. Plus généralement, si $c$ est un réel non nul, $lim c/v = c/lim v$. Si le numérateur et le dénominateur d'un quotient admettent des limites, non nul pour le dénominateur, alors le quotient possède une limite, qui est le quotient des limites. Pour étudier la limite d'une expression lorsque $x$ tend vers $a$, factorisez les puissances de $(x-a)$. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer directement une limite de fonction rationnelle. Cela sert parfois d'écrire $a^n/b^n$ sous la forme $(a/b)^n$. Supprimez les radicaux du dénominateur. Pour cela, regardez dans le menu des opérations sur les quotients. Simplifiez la limite étudiée en extrayant un facteur simple ayant une limite finie non nulle. Autrement dit, transformez $lim uv$ en $lim u lim v$, où $lim u$ est fini et non nul. Par exemple, pour étudier la limite de $sin^ 2( x) /x$ lorsque $x$ tend vers 0, vous pourriez factoriser $sin( x)/ x$. Mettez en facteur une constante. Multipliez le numérateur et le dénominateur par un même terme. Divisez le numérateur et le dénominateur par un même terme de telle façon que le nouveau dénominateur ait une limite non nulle. Voici une formule algébrique qui peut servir dans l'étude des limites de quotients : $$(ab+ac+d)/q = a(b+c)/q + d/q$$. En l'élevant au carré, vous pouvez passer le dénominateur sous la racine carrée. En l'élevant au carré, vous pouvez passer le dénominateur sous la racine carrée, mais faites attention au signe. Vous pouvez passer le dénominateur sous la racine $n$-ième. Vous pouvez passer le dénominateur sous la racine $n$-ième, mais faites attention au signe. En l'élevant au carré, vous pouvez passer le numérateur sous la racine carrée. En l'élevant au carré, vous pouvez passer le numérateur sous la racine carrée, mais faites attention au signe. Vous pouvez passer le numérateur sous la racine $n$-ième. Vous pouvez passer le numérateur sous la racine $n$-ième, mais faites attention au signe. Utilisez la règle de l'Hospital. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer directement la dérivée. A l'exception du logarithme placez tout dans le dénominateur et utilisez la règle de l'Hospital. Pour cela, sélectionnez toute l'expression dont la limite est à évaluer. Placez au dénominateur avec un exposant positif le terme d'exposant négatif, et utilisez la règle de l'Hospital. Déplacez l'exponentielle au dénominateur, et utilisez la règle de l'Hospital. En utilisant une identité trigonométrique, déplacez au dénominateur une fonction trigonométrique et utilisez la règle de l'Hospital. Transformez le produit en fraction en déplaçant un ou plusieurs facteurs au dénominateur. Mettez les fractions au même dénominateur et simplifiez. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (sin t)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (tan t)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (1-cos t)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (1-cos t)/t^2$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (1+t)^(1/t)$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (ln(1+t))/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (e^t-1)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (e^(-t)-1)/t$. La singularité à l'origine de $ln$ est si faible que le produit par n'importe quelle fonction puissance d'exposant strictement positif suffit à la faire disparaître. MathXpert peut traiter une telle limite en une seule étape, mais vous pouvez également déplacer au dénominateur la fonction puissance puis utiliser la règle de l'Hospital. La fonction $t -> cos(1/t)$ oscille une infinité de fois entre -1 et 1 lorsque $t$ tend vers 0. La fonction $t -> sin(1/t)$ oscille une infinité de fois entre -1 et 1 lorsque $t$ tend vers 0. Au voisinage d 0, la fonction $t -> tan(1/t)$ a un comportement assez chaotique. La fonction $t -> cos t$ oscille une infinité de fois entre -1 et 1 lorsque $t$ tend vers l'infini. La fonction $t -> sin t$ oscille une infinité de fois entre -1 et 1 lorsque $t$ tend vers l'infini. L'image de tout intervalle de longueur $\pi $ par la fonction $tan$ est $R$ tout entier, de sorte que cette fonction n'a pas de limite en $+$ infini. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (sinh t)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (tanh t)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (cosh t -1)/t$. Il y a une formule particulière donnant la valeur de la limite en zéro de $t -> (cosh t - 1)/t^2$. Si une fonction possède une limite strictement positive, le logarithme de cette fonction possède aussi une limite, qui est le logarithme de la limite de la fonction. Par définition de la continuité, si $f$ est continue et si $u$ possède une limite, alors $f(u)$ possède une limite, et $lim f(u)=f(lim u)$. Lorsqu'elles existent, les limites sont compatibles avec la composition des fonctions : $$lim(t->a,f(g(t)))=lim(u->g(a),f(u))$$. Vous pouvez demander à MathXpert de calculer une limite élémentaire en une seule étape. Pour calculer la limite d'une puissance de fonction, passer en notation exponentielle grâce à la formule $u^v = e^(v ln u)$. Lorsqu'un produit se présente comme une forme indéterminée, vous pouvez essayer de l'écrire sous la forme $uv = v/(1/u)$. Parfois, la limite du quotient est plus facile à évaluer. On ne peut étudier la limite d'une fonction en un point que si cette fonction est définie sur un voisinage de ce point. Essayez cette formule : $$lim(t->a, u) = e^(lim(t->a, ln u))$$. Peut-être pouvez-vous enlever le terme qui pose problème, éventuellement un facteur oscillant, en utilisant le théorème des gendarmes. Bien que ce ne soit pas un quotient, vous pouvez transformer cette expression en quotient et supprimer les radicaux du numérateur, grâce à l'identité $$lim(t->a, sqrt(u)-v)=lim(t->a, (sqrt(u)-v)(sqrt(u)+v)/(sqrt(u)+v))$$. Gardez seulement les termes dominants du numérateur et du dénominateur. La recherche de la limite d'une expression compliquée se ramène en réalité à celle de la limite de son terme dominant. Lorsque le terme dominant d'une somme ne s'annule pas et ne tend pas vers zéro, vous pouvez, dans la recherche d'une limite, négliger les autres termes de la somme. Une expression est définie seulement si tous les termes la composant le sont. Si $u$ possède une limite, $e^u$ en possède une, et $lim(e^u) = e^(lim u)$. Si $u>0$ possède une limite strictement positive, $ln u$ possède une limite et $lim(ln u) = ln(lim u)$. En 0, la fonction $ln $ tend vers $- 4 $ moins vite que toute puissance strictement positive de (t-> 1/ t). MathXpert peut traiter une telle limite en une seule étape, mais vous pouvez aussi utiliser la règle de lHospital en plaçant une puissance au dénominateur. Toute fonction algébrique domine un logarithme. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $t^n$, $n>0$, et alors $1/t^n$ tend vers zéro. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $t^n$, $n>0$. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $e^t$. Lorsque $t$ tend vers moins l'infini, $e^t$ tend vers zéro. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $ln t$. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $\sqrt t$. Lorsque $t$ tend vers l'infini, il en est de même de $^n\sqrt t$, $n>0$. Lorsque $abs(t)$ tend vers l'infini, $arctan t$ se rapproche de l'ensemble ${ -pi/2, pi/2 }$. La fonction arccot tend vers zéro en l'infini. La fonction arccot tend vers $pi$ en moins l'infini. Lorsque $abs(t)$ tend vers l'infini, $tanh t$ se rapproche de l'ensemble ${ -1, 1 }$. Si $\sqrt u-v$ possède une limite, $lim \sqrt u-v=lim (\sqrt u-v)(\sqrt u+v)/\sqrt u+v)$. Si $u$ possède une limite finie, il en est de même de $sin u$, et alors $lim(sin u) = sin(lim u)$. Si $u$ possède une limite finie, il en est de même de $cos u$, et alors $lim(cos u) = cos(lim u)$. La recherche de la limite en l'infini d'une fonction $f$ est équivalente à la recherche de la limite à droite en zéro de $t -> f(1/t)$. Vous pouvez négliger au numérateur et au dénominateur tous les termes négligeables devant le terme dominant. Lorsque $u$ tend vers zéro, $1/u^(2n)$ tend vers l'infini $(n>0)$. Lorsque $u$ tend vers zéro, la valeur absolue de $1/u^n$ tend vers l'infini, mais si $n$ est impair, $1/u^n$ est d'un signe opposé à celui de $u$, ce qui signifie qu'il convient de distinguer la limite à gauche et la limite à droite en zéro. Lorsque $u$ tend vers zéro par valeurs positives, $1/u^n$ tend vers l'infini. Lorsque $u$ tend vers zéro par valeurs négatives, $1/u?$ tend vers moins l'infini si $n$ est impair, vers l'infini si $n$ est pair. Si le dénominateur d'une fraction tend vers zéro et si son numérateur ne tend pas vers zéro, cette fraction n'admet pas de limite réelle (c'est-à-dire finie). Lorsque $t$ tend vers zéro par valeurs strictement positives, $ln t$ tend vers moins l'infini. La fonction tan a une asymptote verticale pour tous les multiples impairs de $\pi /2$. Mais en un tel point, la limite à gauche de tan est l'infini, tandis que la limite à droite est moins l'infini. La fonction cot a une asymptote verticale pour tous les multiples de $\pi $. Mais en un tel point, les limites à gauche et à droite sont de signes opposés. La fonction sécante, notée sec et définie par $sec x := 1/(cos x)$, a une asymptote verticale pour tous les multiples impairs de $\pi /2$. Mais en tel point, les limites à gauche et à droite sont de signes opposés. La fonction cosécante, notée csc et définie par $csc x := 1/(sin x)$, a une asymptote verticale pour tous les multiples de $\pi $. Mais en tel point, les limites à gauche et à droite sont de signes opposés. Multipliez l'un des facteurs et diviser l'autre par un même terme, de telle façon que les limites puissent être évaluées. Il y a des calculs à effectuer. dummy %�|� 4 I: ; I ! I7 I $ > $ > .�@: ;'I? : ;I
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