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�C_��@� k� @� k�@� ��� � ��_��{B��� ��_� Il y a des calculs à effectuer. dummy Fait les calculs en nombres décimaux. Calcule une valeur décimale approchée d'une racine. Calcule la valeur décimale d'une puissance. Calcule la valeur décimale. Cela peut être utile de factoriser un entier, par exemple lorsqu'il est sous un signe de racine carrée. Fait une évaluation numérique en un point. Fait une approximation décimale. Calcul de valeurs d'une fonction. Vous pouvez toujours vous servir de méthodes d'approximation pour donner une approximation numérique des racines du polynôme puis une factorisation approchée de ce polynôme. Choisissez 'Factorisation numérique d'un polynôme' pour le faire faire à l'ordinateur. Évaluer le numéro Bernoulli pour un nombre rationnel Évaluer le numéro Euler pour un nombre rationnel Transforme un nombre décimal en nombre rationnel. Exprime un nombre sous forme de carré. Exprime un nombre sous forme de cube. Exprime un nombre comme une racine $n$-ième, pour un $n$ convenable. Exprime un entier comme une puissance d'une base prescrite. Exprime un entier comme une puissance; par exemple, écrit $9$ comme $3^2$. Exprime un entier comme une somme en utilisant $x = ? + (x-?)$ Utilise la définition du nombre complexe $i$, à savoir $i^2 = -1$. Les puissances entières du nombre complexe $i$ peuvent être simplifiées. Il y des calculs en nombres complexes à faire. Il reste une puissance de nombre complexe à évaluer. Il y a des calculs en nombres complexes à faire. Fait de scalculs avec des nombres complexes sous forme décimale. Cela peut être utile de factoriser un entier. Un entier peut se factoriser comme un produit de deux nombres complexes, par exemple $5 = (2-i)(2+i)$. Factorise un nombre complexe $n+mi$ avec des facteurs complexes. Par exemple $7-5i = (2-i)(3-i)$. Calcule une approximation décimale. Evalue numériquement une fonction en un point. Supprime les doubles signes moins. Passe le signe moins dans la somme. Sort de la somme le signe moins. Lorsqu'une somme contient elle-même une autre somme, on peut regrouper les termes et supprimer les parenthèses supplémentaires. Remet dans l'ordre les termes d'une somme. L'égalité $x+0 = x$ permet de supprimer d'une somme les termes nuls. Il y a des termes qui se simplifient entre eux. Regroupement des termes semblables. Utilisation de la commutativité de l'addition. Sort un signe moins grâce à l'égalité $a(b-c) = -a(c-b)$. -ab = a(-b) -abc = ab(-c) a(-b)c = ab(-c) Zéro fois n'importe quel nombre est égal à zéro. Vous pouvez omettre un facteur égal à un. Sort le signe moins en utilisant l'égalité $a(-b) = -ab$. Sort le signe moins en utilisant l'égalité $a(-b-c) = -a(b+c)$. Sort le signe moins en utilisant l'égalité $(-a-b)c = -(a+b)c$. Utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les facteurs. Regroupe les facteurs numériques d'un produit en tête de ce produit. Met les facteurs d'un produit dans l'ordre usuel. Dans un produit, regroupe les puissances d'un même facteur. Développe un produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, $a(b+c)=ab+ac$. Utilise l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Développe un carré par la formule du binôme. Développe au carré une différence par la formule du binôme. Avez-vous reconnu une différence de cubes qui a été factorisée ? Avez-vous reconnu une somme de cubes qui a été factorisée ? Utilise la commutativité de la multiplication. Un produit de sommes ou une puissance de somme peuvent toujours être développés en une somme. Quelquefois, cela conduit à des simplifications supplémentaires, en particulier si le produit ou la puissance font partie d'une somme plus grande. Si vous développez le numérateur, peut-être que cela se simplifiera. Si vous développez le dénominateur, peut-être que cela se simplifiera. Utilise l'identité $na = a + ... + a$ (n fois). Supprime la fraction dont le numérateur est nul. Se débarrasse du 1 au dénominateur. Vous avez ici le produit d'un terme par son inverse, ce qui fait 1. Multiplie les fractions pour qu'il n'en reste qu'une. Utilise l'identité $a(b/c) = ab/c$ pour obtenir une unique fraction. Simplifie un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Regroupe les fractions aux mêmes dénominateurs. Coupe en deux une fraction dont le numérateur est une somme. Coupe en deux une fraction dont le numérateur est une somme, de telle façon que l'un des termes s'annule. Simplifie une fraction grâce à une division de polynômes, lorsque le degré du numérateur est strictement supérieur à celui du dénominateur. Avec une division de polynômes, vous devriez pouvoir simplifier. Forme un nombre rationnel à partir de deux fractions grâce à la formule au/bv=(a/b)(u/v). Transforme le dénominateur en coefficient grâce à l'identité $a/b = (1/b) a$. Extrait les facteurs réels du numérateur et du dénominateur grâce à l'identité $au/b = (a/b)u$. Coupe en deux une fraction grâce à l'identité $ab/cd = (a/c)(b/d)$. Met en facteur les termes numériques du numérateur et du dénominateur grâce à la formule $ab/c = (a/c)b$. Simplifie les signes moins du numérateur et du dénominateur. Place le signe moins dans le numérateur grâce à l'identité $-(a/b) = (-a)/b$. Place le signe moins dans le dénominateur grâce à l'identité $-(a/b) = a/(-b)$. Déplace le signe moins du numérateur pour le placer devant toute la fraction. Déplace le signe moins du dénominateur pour le placer devant toute la fraction. Déplace les signes moins du numérateur grâce à l'identité $(-a-b)/c = -(a+b)/c$. Déplace les signes moins du dénominateur grâce à l'identité $a/(-b-c) = -a/(b+c)$. Change le signe du dénominateur grâce à l'identité $a/(b-c) = -a/(c-b)$. Déplace devant la fraction les signes moins du dénominateur grâce à l'identité $-a/(-b-c) = a/(b+c)$. Modifie les signes grâce à l'identité $-a/(b-c) = a/(c-b)$. Extrait les signes moins du numérateur grâce à l'identité $-(-a-b)/c = (a+b)/c$. Change l'ordre des termes à la fois au numérateur et au dénominateur. Pour cette manipulation, sélectionner d'abord toute la fraction. ab/c = a(b/c) Coupe en deux une fraction grâce à l'identité $a/bc = (1/b) (a/c)$. Quand le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des fractions de même dénominateur, on peut utiliser l'identité $(a/c)/(b/c) = a/b$ qui conduit à une fraction simple. Quand le dénominateur est lui-même une fraction, on peut simplifier grâce à l'identité $a/(b/c)=ac/b$ L'inverse d'une fraction se simplifie grâce à l'identité $1/(a/b) = b/a$. Quand le numérateur est une fraction, l'utilisation de l'identité $(a/b)/c = a/(bc)$ ramène à une fraction simple. Utilise $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$. Quand le numérateur est un produit contenant une fraction, on peut utiliser l'identité $(a/b)c/d = ac/bd$. Il est parfois utile de factoriser le dénominateur. En présence d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux mêmes de sommes de fractions, on doit d'abord se ramener à une fraction simple en mettant au même dénominateur les fractions constituant le numérateur, et celles constituant le dénominateur. Ensuite seulement, on peut simplifier la fraction restante. Factorise d'abord le dénominateur pour mettre en évidence le dénominateur commun. Les dénominateurs ne sont pas les mêmes. Vous devez donc déterminer un dénominateur commun. Les dénominateurs ne sont pas les mêmes. Vous devez donc trouver un dénominateur commun. Ajoutez seulement les fractions. Vous avez obtenu un produit de fractions, qui ne sont pas encore regroupées en une unique fraction. Multipliez-les. Vous avez obtenu le produit d'une fraction par un terme. Entrez ce dernier dans la fraction pour ne plus avoir qu'une fraction. C'est une bonne habitude à prendre de mettre les termes dans l'ordre usuel. Cela permet de repérer plus facilement les termes identiques et les simplifications. Vous avez maintenant des fractions ayant le même dénominateur. Il ne reste plus qu'à les additionner pour ne plus avoir qu'une seule fraction. Il y a des fractions qui doivent être mises au même dénominateur. Multiplie par un même facteur le numérateur et le dénominateur. Vous avez une puissance de 0. Débarrassez-vous en. Vous avez une puissance de 1. Débarrassez-vous en. Zéro élevé à une puissance non nulle vaut toujours zéro. 1 élevé à n'importe quel puissance vaut toujours 1. Les puissances entières de -1 sont faciles à retenir : les puissances paires valent 1, et les puissances impaires valent -1. Il y a une puissance de puissance. Cela se ramène à une puissance unique. On peut sortir le signe moins d'une puissance entière grâce à la formule $(-a)^n = (-1)^n a^n$. Cela peut être pratique de transférer l'exposant au numérateur et au dénominateur grâce à l'identité $(a/b)^n = a^n/b^n$. Il y a une puissance de produit. Cela pourrait simplifier de transférer l'exposant à chaque terme du produit grâce à l'identité $(ab)? = a?b?$. Vous pouvez développer le carré d'une somme grâce à la formule $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Ici la formule du binôme pourrait utilement servir. Il y a un produit d'un même terme élevé à différentes puissances. Regroupez tous les exposants. Il y a une puissance de somme. Transformez-la en un produit de puissances. Il y a une fraction de la forme $a^n/b^n$. Déplacez l'exposant à l'extérieur de la fraction comme ceci : $(a/b)?$. Il y a en facteur au numérateur et au dénominateur un même terme élevé à différentes puissances. Regroupez les exposants au numérateur. Il y a en facteur au numérateur et au dénominateur un même terme élevé à différentes puissances. Regroupez les exposants au dénominateur. Développe un carré. Développe un cube. Développe une puissance. Coupe une puissance en produit de puissances plus petites. Développe le carré d'une somme. Développe le cube d'une somme. Développe le cube d'une différence. Utilise la règle $a^(bc) = (a^b)^c$ si $a>0$ ou $c\in Z$. Utilise la règle $a^(bc) = (a^c)^b$ si $a>0$ ou $c\in Z$. Utilise la règle $a^(bc) = (a^b)^c$, après avoir entré la valeur de $c$. Sort l'exposant du dénominateur en utilisant l'identité $1/a^n = (1/a)^n$. Utilise la définition d'une puissance d'exposant négatif, $a^(-n) = 1/a^n$. Un exposant strictement négatif au numérateur devient un exposant strictement positif lorsqu'il est placé au dénominateur. Utilise la définition d'une puissance d'exposant $-1$, $a^(-1) = 1/a$. Les exposants strictement négatifs au numérateur deviennent des exposants strictement positifs lorsqu'ils sont déplacés au dénominateur. Les exposants strictement négatifs au dénominateur deviennent des exposants strictement positifs lorsqu'ils sont déplacés au numérateur. Les exposants strictement positifs au dénominateur deviennent des exposants strictement négatifs lorsqu'ils sont déplacés au numérateur. On peut toujours se débarrasser d'une fraction en transformant le dénominateur en un facteur identique élevé à la puissance -1. Après passage à l'inverse, une fraction élevée à une puissance strictement négative est transformée en une fraction d'exposant strictement positif. Il y a des puissances du même terme à la fois au numérateur et au dénominateur. Regroupez-les au numérateur. Utilise la formule $a^(b-c) = a^b/a^c$ Regroupe sous une même racine carrée un produit de racines carrées. Coupe une racine carrée en produit de racines carrées. Il y a un facteur au carré sous la racine carrée. Sortez-le en prenant garde au signe. La racine carrée de $x^2$ est $x$, lorsque $x$ est positif; si $x$ est strictement négatif, la racine carrée de $x^2$ est la valeur absolue de $x$. Pour simplifier la racine carrée d'un entier, on commence par le décomposer en produit de facteurs premiers. Du fait de la formule $\sqrt (x/y) = \sqrt x/\sqrt y$, valide si $x\ge 0$ et $y>0$, la racine carrée d'un quotient est le quotient des racines carrées. Lorsque $x$ et $y$ sont de même signe et que $y$ n'est pas nul, la racine carrée de $x/y$ peut s'exprimer comme le quotient de deux racines carrées, car $\sqrt (x/y) = \sqrt |x|/\sqrt |y|$, en n'oubliant pas les valeurs absolues, nécessaires si $x$ et $y$ sont négatifs. Il y a un quotient de racines carrées. Essayer de le transformer en une seule racine carrée. Lorsque $x\ge 0$, $\sqrt x$ fois $\sqrt x$ est égal à $x$. Donc lorsque $x$ est en outre non nul, $x/\sqrt x$ se simplifie en $\sqrt x$. Lorsque $x\ge 0$, $\sqrt x$ fois $\sqrt x$ est égal à $x$. Donc lorsque $x$ est en outre non nul, $\sqrt x/x$ se simplifie en $1/\sqrt x$. Une puissance paire d'une racine carrée se simplifie du fait de l'égalité $(\sqrt x)^(2n) = x^n$, valide lorsque $x$ est positif. Une puissance impaire d'une racine carrée se simplifie du fait de l'égalité $(\sqrt x)^(2n+1) = x^n\sqrt x$. Peut-être la racine carrée peut-elle être calculée exactement. Donne une approximation décimale de la racine carrée. Est-ce que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun sous la racine? Factorise le polynôme sous la racine. Supprime les radicaux du dénominateur. Pour cela, multiplie numérateur et dénominateur par un même terme (souvent 'l'expression conjuguée') permettant de faire disparaître les racines du dénominateur. Supprime les radicaux du numérateur. Pour cela, multiplie numérateur et dénominateur par un même terme (souvent 'l'expression conjuguée') permettant de faire disparaître les racines du numérateur. La racine carrée d'une puissance paire peut être simplifiée en utilisant la valeur absolue. Il y a un facteur commun sous les racines au numérateur et au dénominateur. Simplifiez la racine commune. Multiplie les termes sous la racine. Si $b$ est positif, on peut interpréter $b$ comme le carré de $\sqrt b$, ce qui permet d'écrire $a^2-b = (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)$. Une racine n-ième avec n=2 est une racine carrée. Exprime une racine carrée comme une racine n-ième d'une puissance, comme par exemple $\sqrt 2 = ^4\sqrt 4$. Exprime une racine carrée comme une puissance d'une racine n-ième convenable, comme par exemple $\sqrt 3 = (^4\sqrt 3)^2$. Il découle de la définition de la fonction racine carrée comme fonction réciproque de la fonction carrée sur l'ensemble des réels positifs, que tout nombre sous une racine peut être considéré comme un carré. Il y a une puissance d'exposant supérieur à deux sous la racine carrée. Sortez de la racine une partie de l'exposant. Rentre un terme sous la racine en utilisant la formule $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$, vérifiée si a et b sont positifs. Supprime les radicaux du dénominateur et simplifie. Une puissance d'exposant $\onehalf $ peut être transformée en racine carrée. Un exposant qui est un nombre rationnel de dénominateur 2 peut être peut être transformé en racine carrée, grâce à la formule $a^(n/2) = \sqrt (a^n)$, valide si $a\ge 0$. Un exposant qui est un nombre rationnel de dénominateur $n$ peut être peut être transformé en racine n-ième grâce à la formule $a^(b/n) = ^n\sqrt (a^b)$, valide si $a\ge 0$. La racine carrée d'un terme strictement positif peut être transformée en une puissance d'exposant $\onehalf $. La racine $n$-ième d'un réel strictement positif peut être convertie en une puissance d'exposant $1/n$. Elimine les racines n-ièmes des puissances de nombres strictement positifs en les convertissant en puissances d'exposant rationnel. Elimine les puissances de racines n-ièmes en les convertissant en puissances d'exposant rationnel. Elimine les puissances de racines carrées en les convertissant en puissances d'exposant rationnel. La racine $n$-ième d'un nombre strictement positif au dénominateur peut être transformée en une puissance d'exposant négatif $-1/n$. Transforme la racine carrée d'un nombre strictement positif au dénominateur en une puissance d'exposant rationnel strictement négatif. Les puissances entières de $-1$ se calculent simplement. Factorise un entier élevé à une puissance rationnelle. Sort l'exposant rationnel en dehors du dénominateur. Sort l'exposant rationnel en dehors du numérateur. Faire l'exposant fractionnaire en puissance d'une racine carrée. Faire l'exposant fractionnaire en puissance d'une racine. Regroupe un produit de racines $n$-ièmes en une seule racine $n$-ième. Coupe la racine $n$-ième d'un produit en un produit de racines $n$-ièmes. Sort l'exposant en dehors de la racine $n$-ième de telle façon que tout dépende de la même racine $k$-ième. Il y a une puissance $n$-ième sous une racine $n$-ième. Sortez-la. Sous réserve que les hypothèses soient vérifiées, une racine $n$-ième d'une puissance $n$-ième peut être simplifiée. Vous pouvez simplifier la racine. par exemple, le racine cubique de $x^6$ est $x^2$. On peut parfois réduire l'ordre $n$ d'une racine $n$-ième. Par exemple, si $x\ge 0$, la racine sixième de $x^3$ est $\sqrt x$. On peut parfois réduire l'ordre $n$ d'une racine $n$-ième. Par exemple, si $x\ge 0$, la racine sixième de $x^2$ est la racine cubique de $x$. Se souvenir de la définition de la fonction racine $n$-ième : c'est la fonction réciproque de la fonction puissance d'exposant $n$. Il y a une puissance d'une racine $n$-ième. Faites entrer l'exposant sous la racine, comme dans $(^n\sqrt x)^2 = ^n\sqrt (x^2)$. Il y a une puissance de racine $n$-ième, disons de $x$. Sortez des facteurs de $x^n$ jusqu'à ce que l'exposant devienne inférieur à $n$. Exemple: $(^3\sqrt 2)^7 = 2^2 ^3\sqrt 2$. Factorise l'entier sous la racine. Il y a une racine d'ordre impair d'une expression négative. Sortez le signe moins de la racine. Peut-être les racines peuvent-elles être calculées exactement. Multiplie entre eux les termes sous la racine. La racine carrée d'une racine carrée peut s'exprimer comme une racine quatrième. La racine carrée d'une racine $n$-ième peut s'exprimer comme une racine $2n$-ième. La racine $n$-ième d'une racine carrée peut s'exprimer comme une racine $2n$-ième. La racine $n$-ième d'une racine $p$-ième est une racine $np$-ième. Par exemple, la racine cubique d'une racine quatrième est une racine douzième. Transforme la racine $n$-ième d'un quotient en un quotient de racines $n$-ièmes. Transforme un quotient de deux racines $n$-ièmes en une racine $n$-ième. Combine les racines $n$-ièmes du numérateur et du dénominateur en une seule racine $n$-ième. Annule un facteur sous une racine. Sélectionnez toute la fraction. Simplifie des racines $n$-ième au numérateur et au dénominateur. Sélectionnez toute la fraction. Le numérateur et le dénominateur ont une facteur commun sous une racine $n$-ième. Sélectionnez toute la fraction. Passe un terme sous une racine carrée grâce à l'identité $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$, valide pour tout réel $b\ge 0$. Passe un terme sous la racine carrée en utilisant l'identité $a\sqrt b = \sqrt (a^2b)$, valide pour tout réel $b\ge 0$. Passe un signe moins sous la racine $n$-ième. Passe toute la fraction sous la racine $n$-ième. Passe toute la fraction sous la racine carrée. Une puissance de racine $n$-ième peut être simplifiée ce qui conduit à une racine $p$-ième avec $p?n$. Lorsqu'on la simplifie, une puissance de racine $n$-ième peut conduire à une racine carrée. Comme $i^2$ est égal à $-1$, on a $1/i=-i$. Comme $1/i$ is $-i$, en changeant le signe d'un quotient, on peut transférer du dénominateur au numérateur un facteur égal à $i$. La convention standard pour la racine carrée complexe est que la racine carrée complexe de $-1$ est $i$. La convention standard est que la racine carrée complexe d'un nombre négatif s'exprime à l'aide de $i$, grâce à la formule $?(-a) = i?a$. On peut éliminer la partie imaginaire du dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur. Le produit d'un nombre complexe par son conjugué donne le carré de son module, car $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$. Dans l'ensemble des nombres complexes, une somme de deux carrés se factorise grâce à l'identité $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$. Par définition du module, pour tout couple $(u,v)$ de nombres réels, on a $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$ Par définition du module, pour tout couple $(u,v)$ de nombres réels, on a $|u + vi| = \sqrt (u^2+v^2)$ Exprime le quotient comme un unique nombre complexe, grâce à l'identité $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$. Ecrit des nombres complexes sous la forme $u+vi$ Exprime une racine carrée complexe sous la forme $u+vi$ Factorise un nombre. Débarassez-vous des dénominateurs numériques pour mieux voir ce qui se passe. Il y a un facteur commun que vous pourriez sortir grâce à la distributivité de l'addition par rapport à la multiplication, $ab+ac = a(b+c)$ Factorise en utilisant le plus grand exposant commun. Avez-vous reconnu dans cette somme un carré parfait ? Souvenez-vous que $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Avez-vous reconnu dans cette somme le carré d'une différence ? Souvenez-vous que $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. L'identité $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ permet de factoriser une différence de deux carrés. Cela ne semble pas pouvoir se mettre sous une forme plus simple, mais comme c'est un trinôme du deuxième degré, ça peut se factoriser. Si vous n'arrivez pas à le faire autrement, vous pouvez toujours factoriser ce trinôme en utilisant la formule de résolution des équations du deuxième degré. Une puissance paire peut s'écrire comme un carré, grâce à l'identité $a^2^n = (a^n)^2$. Ensuite, peut-être pourrez-vous utiliser les méthodes de factorisation pour les expressions contenant des carrrés. Essaye de combiner les puissances en se servant de l'identité $a^nb^n = (ab)^n$ Cela pourrait être utile de factoriser les coefficients de votre polynôme. Factorise cet entier. Cela pourrait aider de faire une composition de fonctions. Eliminez un paramètre. Considère une variable comme un paramètre. C'est trop compliqué pour être factorisé directement, mais si vous reconnaissez une composition de fonctions, vous serez sur la bonne voie. C'est trop compliqué pour être factorisé directement, mais si vous reconnaissez une composition de fonctions, vous aurez avancé. Exprime une puissance comme un cube en utilisant la formule $a^(3n) = (a^n)^3$. Exprime une puissance en utilisant la formule $a^(mn) = (a^m)^n$. Il y a une identité remarquable permettant de factoriser une différence de cubes. Il y a une identité remarquable permettant de factoriser une somme de cubes. Il y a une identité remarquable permettant de factoriser une expression de la forme $a^n-b^n$. Il y a une identité remarquable permettant de factoriser une expression de la forme $a^n+b^n$. Il y a des formules pour factoriser des sommes de puissances quatrièmes. Il existe des formules particulières permettant de factoriser des polynômes du quatrième degré. Essayez de composer par une fonction. Sélectionner le terme à remplacer. Cherchez s'il y a un facteur évident. Si tout le reste échoue, vous pouvez rechercher systématiquement un facteur de degré un. Essaye de factoriser par des regroupements. Ecrit l'expression comme la composée d'un polynôme et de l'une des variables ou de l'un des termes. Choisissez la variable ou le terme. Permute les deux côtés pour faire apparaître l'inconnue à gauche. Change les signes des deux membres. Ajoute quelque chose aux deux membres de l'équation. Soustrait quelque chose aux deux membres de l'équation. Passe un terme bien choisi du membre de gauche au membre de droite. Passe un terme bien choisi du membre de droite au membre de gauche. Multiplie par un même terme non nul les deux membres de l'équation. Divise par un même terme non nul les deux membres de l'équation. Elève au carré les deux membres de l'équation. Supprime un terme se trouvant des deux côtés de l'équation. Simplifie un facteur commun aux deux membres de l'équation. Soustrait pour arriver à une équation de la forme $u=0$. Quand une équation se réduit à une identité de la forme $u=u$, tout nombre pour lequel u est défini est solution de l'équation. Celle-ci se réduit à l'expression logique 'vrai'. Quand les deux membres d'une équation sont de signes contraires, l'équation ne possède de solutions que si ces deux membres sont nuls. Autrement dit, si $a$ et $b$ sont tous deux positifs, l'équation $a = -b$ est équivalente à $a^2 = -b^2$. Quand les deux membres d'une équation sont de signes contraires, l'équation ne possède de solutions que si ces deux membres sont nuls. Autrement dit, si $a$ et $b$ sont tous deux positifs, l'équation $a = -b$ est équivalente à $a=0$ et $b=0$. Le produit est nul. Coupez le en autant d'équations que de facteurs et utilisez cette règle: ab=0 si et seulement si a=0 ou b=0. La formule de résolution des équations du deuxième degré peut être appliquée quelle que soit l'équation du deuxième degré. Complétez le carré. Prenez la racine carrée des deux membres. Confronté à une équation exprimant l'égalité de deux quotients, sans simplification évidente, le plus simple est d'écrire l'égalité des produits en croix. Si son discriminant est strictement négatif, une équation du deuxième degré n'a pas de solution réelle. Le système des deux équations $u^2 = a$ et $u^2 = -a$ est équivalent à $u=a=0$. Effectue une évaluation numérique en un point. Vous pourriez choisir 'résolution numérique' pour laisser MathXpert trouver des solutions par une méthode d'approximation itérative. Devant une équation s'exprimant par l'égalité de deux quotients, et qui ne présente aucun simplification évidente, il convient d'écrire l'égalité des produits en croix. Vous pourriez élever les deux membres à une puissance , en utilisant cette règle: si $u=v$, alors $u?=v?$. Pour accéder à l'inconnue située sous la racine carrée, prenez le carré de deux membres. Pour accéder à l'inconnue située sous la racine $n$-ième, élevez les deux membres à la puissance $n$. Pour accéder à l'inconnue, composez les deux membres par une fonction convenable. Réduisez les fractions au même dénominateur. Coupez l'équation en autant d'équations que de facteurs, puisque ab=0 si et seulement si a=0 ou b=0. Coupez l'équation en deux équations ou plus, et appliquez cette règle : ab=ac si et seulement si a=0 ou b=c. Choisissez une équation. Regardez encore toutes les équations: avec l'une d'entre elles vous avez fini. Regroupez les solutions. Peut-être pourriez-vous composer par une fonction. Choisissez l'expression devant être remplacée par une nouvelle variable. A présent éliminez la nouvelle variable. L'une de ces équations n'a pas de solution. Eliminez-la. N'oubliez pas de vérifier en reportant les racines dans l'équation d'origine. Vous pourriez résoudre directement cette équation linéaire. Faites un changement de variable approprié pour éliminer les termes du deuxième degré. L'étude du discriminant permet de savoir s'il y a une ou trois racines réelles. Il faut d'abord le calculer pour savoir quelle formule de résolution des équations du troisième degré appliquer. Vous devez afficher de nouveau l'équation du troisième degré pour continuer à travailler dessus. Ainsi que Viète le découvrit en 1592, en introduisant $x = y - a/(3cy)$ en $cx^3 + ax + b = 0$, on obtient une équation du deuxième degré en $y^3$. Choisissez toute l'équation pour que ce choix apparaisse. Son discriminant étant strictement positif, cette équation du troisième degré n'a qu'une seule racine réelle. Son discriminant étant strictement négatif, cette équation du troisième degré a trois racines réelles. Utilisez une composition de fonction du type $x = f(u)$, où $x$ est une ancienne variable, et où $u$ est nouvelle. Maintenant il est temps de se débarrasser de la nouvelle variable. Un changement de variable permet de vérifier que ces deux expressions coïncident. En choisissant l'une des variables entières, on voit que l'une des équations s'élimine et qu'il n'y a donc que trois solutions alors qu'en apparence il y en avait six. Calculez l'expression des racines pour obtenir les réponses exactes. Le mieux que l'on puisse faire est d'évaluer une approximation décimale des racines. Simplifiez. Essayez de faire rentrer le logarithme dans l'exposant en utilisant cette règle: si $u=v$, alors $a^u = a^v$. Débarrassez-vous du logarithme dans le membre de gauche en utilisant cette règle: si $ln u = v$, alors $u = e^v$. Débarrassez-vous du logarithme dans le membre de gauche en utilisant cette règle: si $log u = v$, alors $u = 10^v$. Débarrassez-vous du logarithme dans le membre de gauche en utilisant cette règle: si $log(b,u) = v$, alors $u = b^v$, où $log(b,u)$ désigne le logarithme en base $b$ de $u$. Comme les deux membres sont des puissances d'un même terme, les exposants aussi sont égaux. Prenez le logarithme décimal des deux membres. Prenez le logarithme népérien des deux membres. L'une des équations est impossible car les fonctions logarithmes réelles sont définies seulement sur l'ensemble de réels strictement positifs. Utilisez les formules de Cramer. Calculez le déterminant. MathXpert le fera à votre place en une seule étape. Passez d'abord les inconnues dans le membre de gauche, et les constantes dans le membre de droite. Regroupez les termes semblables, de manière à ne plus avoir qu'un terme pour chaque inconnue. Alignez correctement les variables, afin de pouvoir facilement comparer les coefficients des différentes équations. Ajoutez deux équations. Soustrayez deux équations. Multipliez une équation par une constante. Divisez une équation par une constante. Ajoutez à une équation un multiple d'une autre équation. Multipliez une équation par un nombre négatif, et ajouter le résultat à une autre équation. Permutez deux équations. Remettez les équations résolues dans l'ordre. Supprimez les équations redondantes. Fixez une variable en fonction de laquelle les solutions seront exprimées. Ce système d'équation admet-il vraiment une solution? Il semblerait qu'il soit contradictoire. Ajoute deux équations. Soustrait deux équations. Multiplie une équation par une constante. Divise une équation par une constante. Ajoute à une équation une constante fois une autre équation. Soustrait à une équation une constante fois une autre équation. Permute deux équations. Exprime l'une des inconnues en fonction du reste en utilisant l'une des équations. Ajoute deux lignes. Soustrait une ligne d'une autre ligne. Multiplie une ligne par une constante. Divise une ligne par une constante. Ajoute à une ligne le produit d'une autre ligne par une constante. Soustrait d'une ligne le produit d'une autre ligne par une constante. Permute deux lignes. Ecrit une matrice $A$ comme le produit $IA$, où $I$ est la matrice identité. Les opérations sur les lignes feront alors apparaître l'inverse de $A$ à l'emplacement de $I$. Regroupe les termes semblables, de sorte qu'il n'y ait plus qu'un seul terme pour chaque variable. Exprime l'une des inconnues en fonction des autres en utilisant l'une des équations. Simplifie une ou plusieurs des équations. Simplifie un terme qui apparaît dans les deux membres de l'une des équations. Ajoute un même terme aux deux membres d'une des équations. Soustrait un même terme des deux membres d'une des équations. Divise l'une des équations par une constante pour isoler une inconnue. Après avoir exprimé grâce à l'une des équations l'une des inconnues en fonctions des autres, remplacez-la dans toutes les autres équations par cette expression. Ce système d'équations est contradictoire. Pour commencez, écrivez le système sous forme matricielle. Multiplie le membre de droite par la matrice identité, $I$. Soustrait l'une des lignes d'une autre ligne. Multiplie l'une des lignes par une constante. Divise l'une des lignes par une constante. Ajoute le produit d'une ligne par une constante à une autre ligne. Multiplie des matrices. Une colonne nulle peut être supprimée. Une ligne nulle peut être suprimée. Lorsque deux lignes sont identiques, l'une d'entre elles peut être supprimée. Ce système est contradictoire. Une équation matricielle peut être convertie en un système linéaire. Résout en inversant la matrice: $AX = B => X = A^(-1)B$ Il y a une formule explicite pour l'inverse d'une matrice 2 x 2. Demandez à MathXpert de calculer la matrice inverse. Choisissez la matrice inverse que vous voulez calculer. Vous pourriez demander à MathXpert de calculer une approximation décimale de la matrice inverse. Choisissez la matrice inverse que vous voulez calculer. Lorsque $u$ est un réel positif, on peut supprimer la valeur absolue, car dans ce cas $|u| = u$. Vous pourriez toujours supposer $u\ge 0$ et écrire alors $|u| = u$. Lorsque $u$ est un réel négatif, on peut supprimer la valeur absolue car dans ce cas, $|u| = -u$. On peut sortir un facteur positif d'une valeur absolue grâce à cette règle: si $c\ge 0$, alors $|cu| = c|u|$. On peut sortir un dénominateur strictement positif d'une valeur absolue grâce à cette règle: si $c>0$, alors $|u/c| = |u|/c$. On peut simplifier un produit de valeurs absolues grâce à l'identité $|u||v| = |uv|$. Si cela est utile, vous pouvez couper en deux une valeur absolue grâce à l'égalité $|uv| = |u||v|$. Coupe la valeur absolue en mettant des valeurs absolues au dénominateur et au numérateur, grâce à l'égalité $|u/v| = |u| / |v|$. Sort la valeur absolue du quotient grâce à la formule $|u| / |v| = |u/v|$. On peut simplifier une puissance paire de valeur absolue, grâce à cette règle: si $u$ est réel, alors $|u|^(2n)=u^(2n)$. La valeur absolue d'une puissance peut se simplifier car si $n$ est réel, alors $|u^n|=|u|^n$. Pour tout réel positif u, on a $|\sqrt u| = \sqrt u = \sqrt |u|$. Si $u$ est un réel et si $n$ est un entier naturel impair, ou si $u$ est un réel positif et si $n$ est un entier pair strictement positif, on a $|^n\sqrt u| = ^n\sqrt |u|$. On peut simplifier les quotients de valeurs absolues, grâce à l'égalité $|ab|/|ac|=|b|/|c|$, valide si $a$ et $c$ sont des réels non nuls. On peut simplifier les quotients de valeurs absolues, grâce à l'égalité $|ab|/|a|=|b|$, valide si $a$ est un réel non nul. Peut-être y-a-t-il un facteur commun à l'intérieur des valeurs absolues du numérateur et du dénominateur. Si oui, ce serait utile d'expliciter un tel facteur. Si $c\ge 0$, l'équation $|u|=c$ est équivalente à $u=c$ ou $u = -c$. L'équation $|x|/x = c$ a des solutions réelles si et seulement si $c$ appartient à ${-1, 1}$; lorsque $c=-1$, l'ensemble des solutions est l'ensemble des réels strictement négatifs, et lorsque $c=1$, l'ensemble des solutions est l'ensemble des réels strictement positifs. $|u| < v$ si et seulement si $v\ge 0$ et $u$ appartient à l'intervalle ouvert d'extrémités $-v$ et $v$. $|u| \le v$ si et seulement si $v\ge 0$ et $u$ appartient à l'intervalle fermé d'extrémités $-v$ et $v$. On a $u < |v|$ si et seulement si $v < -u$ ou $u < v$. On a $u \le |v|$ si et seulement si $v ? -u$ ou $u ? v$. L'équation $|u| = u$ est équivalente à l'inégalité $0 \le u$, qui s'écrit sans valeur absolue. L'équation $|u| = -u$ est équivalente à $u \le 0$, qui s'écrit sans valeur absolue. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: on a toujours $0 \le |u|$. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: il n'existe pas de réel u tel que $|u| < 0$. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: pour tout réel $u$ et tout $c$ positif, on a $-c \le |u|$. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: pour tout réel $c$ strictement positif et tout réel $u$, on a $-c < |u|$. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: quel que soit le réel positif $c$, il n'existe aucun réel $u$ tel que $|u| < -c$. Une valeur absolue ne peut être strictement négative: quel que soit le réel strictement positif $c$, il n'existe pas de réel $u$ tel que $|u| \le -c$. On a $c \ge 0$, et $|u| \le -c$ si et seulement si $u$ et $c$ sont tous deux nuls. Dans MathXpert, cette assertion est utilisée ainsi: sous l'hypothèse selon laquelle $c=0$, on a $|u| ? -c$ si et seulement si $u=0$. On fait donc l'hypothèse $c=0$. Si l'égalité $u=0$ est impossible, c'est qu'il n'y a pas de solution. Sinon, on les détermine en résolvant l'équation $u=0$. On a $c \ge 0$ et $|u| = -c$ si et seulement si $u$ et $c$ sont tous deux nuls. Dans MathXpert, cette assertion est utilisée ainsi: sous l'hypothèse selon laquelle $c=0$, on a $|u| ? -c$ si et seulement si $u=0$. On fait donc l'hypothèse $c=0$. Si l'égalité $u=0$ est impossible, c'est qu'il n'y a pas de solution. Sinon, on les détermine en résolvant l'équation $u=0$. On a $v>|u|$ si et seulement si $v$ est strictement positif et $u$ est dans l'intervalle ouvert d'extrémités $-v$ et $v$. On a $v\ge |u|$ si et seulement si $v$ est positif et $u$ est dans l'intervalle fermé d'extrémités $-v$ et $v$. On a $|v|>u$ si et seulement si $-u>v$ ou $v>u$. On a $|v|\ge u$ si et seulement si $-u?v$ ou $v?u$ La fonction valeur absolue est à valeurs positives. Une valeur absolue ne peut être strictement négative. Si $c \ge 0$, l'inégalité $-c ? |u|$ est équivalente à $u = c = 0$. Dans MathXpert, cette assertion est utilisée ainsi: sous l'hypothèse selon laquelle $c=0$, on a $|u| ? -c$ si et seulement si $u=0$. On fait donc l'hypothèse $c=0$. Si l'égalité $u=0$ est impossible, c'est qu'il n'y a pas de solution. Sinon, on les détermine en résolvant l'équation $u=0$. Si $u$ est réel, alors $u^(2n) = |u|^(2n)$. Si $n$ est réel, alors $|u|^n = |u^n|$. $u < v$ signifie la même chose que $v > u$. Ajoutez un terme approprié aux deux membres de l'inégalité. Soustrayez un terme approprié aux deux membres de l'inégalité. Changez les signes des deux membres, mais n'oubliez pas de changer aussi le sens de l'inégalité: -u < -v <=> v < u. Vous pouvez changer les signes des deux membres, mais vous devez alors aussi changer $<$ en $>$. Vous pouvez multiplier les deux membres d'une inégalité par un même réel $c$. Il faut alors connaître avec précision le signe de $c$; on doit changer le sens de l'inégalité si $c<0$, et si l'on sait seulement que $0 ? c$ l'inégalité stricte $<$ doit être remplacée par l'inégalité large $?$. Si vous voulez multiplier les deux membres d'une inégalité par un même réel dont le signe n'est pas connu, vous pouvez multiplier les deux membres de l'inégalité par le carré de ce réel, car ce carré est toujours positif. Vous pouvez diviser les deux membres d'une inégalité par un même réel, mais il faut connaître le signe de ce dernier. Quand les deux membres d'une inégalité sont des nombres, on peut aussi évaluer numériquement cette inégalité. Un carré, et plus généralement toute puissance paire, est un nombre positif. Un carré, et plus généralement toute puissance paire, ne peut être strictement négatif. Puisque les deux membres sont positifs, vous avez le droit de les élever au carré. Elevez au carré les deux membres. Comme le plus petit membre n'est pas clairement positif, vous obtiendrez une inégalité supplémentaire traduisant la possibilité que ce membre soit négatif. Combinez ensemble l'inégalité $u < v$ et l'équation correspondante $u = v$. Deux de vos solutions définissent des intervalles qui se chevauchent. Combinez ces intervalles. Vous avez une ou plusieurs solutions qui ne satisfont pas à l'inégalité d'origine. De telles solutions ont pu être introduites en passant au carré l'inégalité ou en simplifiant une expression. Revenez aux hypothèses pour infirmer ou valider $u > v$ a la même signification que $v < u$. Vous pouvez changer les signes des deux membres, mais n'oubliez alors pas de changer aussi le sens des inégalités. Vous pouvez changer les signes des deux membres de l'inégalité et garder le sens de l'inégalité à condition de permuter le membre de gauche et le membre de droite. Un carré, et plus généralement toute puissance paire, ne peut jamais être strictement négatif. Combinez ensemble l'inégalité $u > v$ et l'équation correspondante $u = v$. You have an inequality $u > v$ and the corresponding equation $u = v$; combine them. $x \le y$ signifie la même chose que $y \ge x$. Ajoute un terme approprié aux deux membres de l'inégalité. Soustrait un terme approprié des deux membres de l'inégalité. Change les signes des deux membres; se souvenir de changer aussi le sens de l'inégalité. On peut changer les signes des deux membres d'une inégalité en gardant ce signe à condition de permuter les termes: on passe alors de $-u \le -v$ à $v \ge u$. On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un même nombre, sous réserve de connaître son signe, car si le nombre est strictement négatif, l'inégalité doit être changée de sens, ce qui signifie que le signe $\le $ doit être remplacé par $\ge $. Si vous devez multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre réel dont vous ignorez le signe, vous pouvez toujours multiplier les deux membres par le carré de ce nombre, car le carré est toujours positif. On peut diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre non nul, sous réserve de connaître son signe, car si le nombre est strictement négatif, l'inégalité doit être changée de sens, ce qui signifie que le signe $<$ doit être remplacé par $>$. Quand ses deux membres sont connus numériquement, on peut évaluer directement une inégalité. Comme toute puissance paire, un carré est toujours positif. Comme toute puissance paire, un carré n'est jamais strictement négatif. Elève les deux membres au carré, ce qui est permis puisque les deux membres sont positifs. Elevez les deux membres au carré. Comme il est possible que le terme le plus petit soit négatif, il faudra distinguer les différents cas, et pour cela introduire une seconde inégalité. Les ensembles solutions de deux des cas sont des intervalles qui se chevauchent. Combinez ces intervalles. Les éléments des ensembles solutions de certains des cas étudiés ne satisfont pas à l'inégalité de départ. C'est parce que certaines opérations effectuées ne conduisaient pas à des inégalités équivalentes, comme par exemple une élévation au carré ou une simplification. Utilisez les hypothèses pour trier entre les cas valides et les autres. $x \ge y$ signifie la même chose que $y \le x$. On peut changer les signes de sdeux membres, mais il faut alors changer aussi le sens de l'inégalité, et remlacer le signe $\ge $ par $\le $. On peut changer les signes des deux membres d'une inégalité et garder le signe de l'inégalité en inversant les termes, c'est-à-dire en passant de $-u \ge -v$ à $v \ge u$. Vous pouvez prendre la racine carrée des deux membres, mais à condition de respecter scrupuleusement les règles: Si $a > 0$, alors $u^2 < a <=> |u| < \sqrt a$. Ne pas oublier la valeur absolue. Prenez la racine carrée des deux membres; vous devriez obtenir un intervalle dont les extrémités sont la racine carrée du terme constant et l'opposé de cette racine. Vous pouvez prendre la racine carrée de chacun des deux membres, à condition de faire attention au respect des règles: Si $u \ge 0$, alors $u < v^2 <=> \sqrt u < |v|$. En prenant la racine carrée de chacun des deux membres d'une inégalité, on obtient deux inégalités correspondant à un intervalle dont les extrémités sont la racine carrée et son opposé. Un carré est toujours positif, de sorte que la première inégalité peut être omise. Sélectionnez toute l'inégalité pour effectuer cette manipulation. Débarrassez-vous de la racine carrée ou de la valeur absolue en élevant au carré les deux membres de votre inégalité. Si l'on sait que les deux membres d'une inégalité sont positifs, on peut prendre la racine carrée de chacun de ces deux membres: $0 ? u < v => ?u < ?v$ Un carré est toujours positif. Un carré est toujours positif, mais lorsqu'on passe au carré une racine carrée, on doit garder la condition imposant au terme sous la racine d'être positif. Vous pouvez prendre la racine carrée des deux membres, mais n'oubliez pas la valeur absolue: $u^2 < a => |u| < \sqrt a$. En prenant la racine carrée des deux membres, vous obtiendrez un intervalle dont les extrémités sont la racine carrée du terme constant, ainsi que l'opposé de cette racine carrée. Vous pouvez prendre la racine carrée de chacun de deux membres, à condition de faire attention au respect des règles: $0 \le u < v^2 => \sqrt u < |v|$ En prenant la racine carrée des deux membres de cette inégalité, vous obtiendrez deux inégalités correspondant à la racine carrée et à son opposé. Vous avez une racine carrée. Débarrassez-vous en en élevant au carré les deux membres de l'inégalité. Lorsqu'on sait que tous les termes sont positifs, on peut prendre la racine carrée d'eun inégalité: $0 ? u < v => ?u < ?v$ Prend l'inverse des deux membres. Prend l'inverse pour sortir l'inconnue du dénominateur. Prenez l'inverse, mais faites attention lorsque l'annulation est possible. Lorsque $n$ est impair, on peut prendre la racine $n$-ième des deux membres d'une inégalité. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: Si $a>0$, alors $u^(2n) < a => |u| < ^(2n)\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $u^2^n < a$ si et seulement si $-^2^n\sqrt a < u < ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $0 \le a < u^2^n => ^2^n\sqrt a < |u|$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $a < u^2^n$ si et seulement si $v < -^2^n\sqrt a$ or $^2^n\sqrt a < u$. Si $n$ est pair, vous pouvez prendre la racine $n$-ième des trois termes, mais vous obtiendrez alors un intervalle supplémentaire correspondant à l'opposé de la racine $n$-ième. Vous avez une racine $n$-ième. Débarrassez-vous en en élevant les deux membres à la puissance $n$-ième. Mais rappelez-vous que si $n$ est pair, la fonction racine $n$-ième n'est défini que sur l'ensemble des réels positifs, ce qui oblige à garder explicitement cette condition. Par exemple, $^4\sqrt x < 16$ devient $0 \le x < 2$. Vous avez une racine $n$-ième. Débarrassez-vous en en élevant les deux membres à la puissance $n$-ième. Vous pouvez toujours élever les deux membres d'une inégalité à une puissance positive impaire. Si les deux membres d'une inégalité sont positifs, on peut les élever à n'importe quelle puissance strictement positive. La fonction racine $n$-ième est à valeurs positives lorsque $n$ est pair, mais lorsqu'on élève une telle racine à une puissance, il ne faut pas oublier que le terme sous la racine doit être positif. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $u^2^n \le a$ iff $|u| < ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $u^2^n \le a$ iff $-^2^n\sqrt a \le u \le ^2^n\sqrt a$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais il faut faire attention: $0 \le a \le u^2^n$ si et seulement si $^2^n\sqrt a \le |u|$. Lorsque $p$ est pair, $p=2n$, on peut prendre la racine $p$-ième des deux membres d'une inégalité, mais on obtient alors une deuxième inégalité correspondant à l'opposé de la racine $p$-ième: $a \le u^2^n$ iff $v \le -^2^n\sqrt a$ or $^2^n\sqrt a \le u$. Vous avez une racine $n$-ième. Débarrassez-vous en en élevant les deux membres à la puissance $n$-ième. Mais rappelez-vous que si $n$ est pair, la fonction racine $n$-ième n'est définie que sur l'ensemble des réels positifs, ce qui oblige à garder explicitement cette condition. Par exemple, $^4\sqrt x \le 16$ devient $0 \le x \le 2$. Vous devriez éliminer tout facteur strictement positif. Le numérateur étant strictement positif, le quotient est strictement positif si et seulement si le dénominateur est strictement positif. Dans une inégalité de la forme $0 < u/\sqrt v$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car cela vous évitera de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement positif si et seulement si $u$ et $v$ sont tous les deux non nuls et de même signe. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement positif, mais l'inégalité $0 < uv$ peut être plus facile à étudier que $0 < u/v$. Dans une inégalité de la forme $u/\sqrt v < 0$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car cela vous évitera de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement négatif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de signes contraires. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement négatif, mais l'inégalité $uv < 0$ peut être plus facile à étudier que $u/v < 0$. Au cours de la résolution d'une inégalité linéaire, il peut être pratique de mettre en facteur le coefficient de l'inconnue: Si $a$ est non nul, on a $ax \pm b < 0$ si et seulement si $a(x\pm b/a) < 0$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $(x-a)(x-b) < 0$, est l'intervalle ouvert dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: a < x < b}$, si $a < b$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $0 < (x-a)(x-b)$, est le complémentaire de l'intervalle fermé dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: x < a ou b < x}$ si $a<b$. Vous devriez éliminer tous les facteurs strictement positifs. Dans l'étude d'une inégalité de la forme $0 \le u/\sqrt v$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car vous risqueriez de perdre des informations sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement positif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de même signe. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement positif, mais l'inégalité $0 \le uv$ peut être plus facile à étudier que $0 \le u/v$. Dans l'étude d'une inégalité de la forme $u/\sqrt v \le 0$, multipliez par $v\sqrt v$ plutôt que par $\sqrt v$, car vous risqueriez de perdre de l'information sur le domaine de définition. Notez que $v\sqrt v$ est strictement positif. Les racines carrées se simplifieront. $u/v$ est strictement négatif si et seulement si $u$ et $v$ sont non nuls et de signes opposés. C'est la même condition que pour que $uv$ soit strictement négatif, mais l'inégalité $uv \le 0$ peut être plus facile à étudier que $u/v \le 0$. $u \le v => v \ge u$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $(x-a)(x-b) ? 0$, est l'intervalle fermé dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: a \le x \le b}$, si $a < b$. L'ensemble des solutions d'une inégalité de la forme $0 \le (x-a)(x-b)$, est le complémentaire de l'intervalle ouvert dont les extrémités sont les racines $a$ et $b$ du trinôme, c'est-à-dire ${x: x \le a ou b \le x}$ si $a<b$. Lorsqu'on prend la racine carrée des deux membres d'une inégalité, on doit être attentif: Si $a >0$, alors $a > u^2$ est équivalent à $\sqrt a > |u|$. Il ne faut pas oublier la valeur absolue. Prenez la racine carrée des deux membres; vous obtiendrez un intervalle dont les extrémités sont la racine carrée du membre constant et l'opposé de cette racine. Vous pouvez prendre la racine carrée des deux membres de l'inégalité, mais il faut être attentif: lorsque $a>0$, l'inégalité $v^2 > a$ est équivalente à $|v| > \sqrt a$. En prenant la racine carrée des deux membres, vous obtiendrez deux inégalités correspondant à la racine carrée et à son opposé. Vous avez une racine carrée. Débarrassez-vous en en élevant au carré les deux membres de votre inégalité. Lorsque tous les termes d'une inégalité sont positifs, on peut prendre les racines carrées des deux membres de cette inégalité: Si $0 \le u < v$, alors $\sqrt u < \sqrt v$. L'application carré, $x -> x^2$ est à valeurs positives. L'application carré, $x -> x^2$ est à valeurs positives, mais si lorsqu'on élève au carré une racine carrée, il ne faut pas oublier que ce qui est sous la racine est positif. Lorsqu'on prend la racine carrée des deux membres d'une inégalité, on doit être attentif: Si $a >0$, alors $a \ge u^2$ est équivalent à $\sqrt a \ge |u|$. Il ne faut pas oublier la valeur absolue. Vous pouvez prendre la racine carrée des deux membres de l'inégalité, mais il faut être attentif: lorsque $a>0$, l'inégalité $0 \le u < v^2$ est équivalente à $\sqrt u < |v|$. Prenez l'inverse des deux membres. %�|� 4 I: ; I ! I7 I $ > $ > .@: ;'I? : ;I
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