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#define ENGLISH_DLL
#include "export.h"
#include "mtext.h" /* MAXLENGTH */
#include "english1.h"
static char arithhint[] = "Faltan algunas operaciones aritm�ticas.";
static char dummystring[] = "dummy";
static char *hintstrings1[][MAXLENGTH] =
{
{ /* numerical_calculation1 */
arithhint,
"Operar num�ricamente aplicando aritm�tica decimal.",
"Calcular el valor decimal de una ra�z.",
"Calcular el valor decimal de una potencia.",
"Calcular el valor decimal.",
"�til para factorizar un entero sea bajo una ra�z o un signo de ra�z cuadrada.",
"Evaluar num�ricamente en un punto.", /* Not used in auto mode */
"Realizar una aproximaci�n decimal.", /* decimal value of pi_term, not used in auto mode. */
"Realizar una aproximaci�n decimal.", /* decimal value of e, not used in auto mode. */
"Calcular los valores de una funci�n.",
"Se pueden aplicar m�todos de aproximaci�n para dar con una num�rica de las ra�ces de un polinomio tras su factorizaci�n aproximada. La opci�n correspondiente a 'Factorizaci�n num�rica de un polinomio' deja la tarea a cargo de MathXpert.",
"Evaluar un n�mero de Bernoulli para un n�mero racional.",
"Evaluar un n�mero de Euler para un n�mero racional."
},
{ /* numerical_calculation2 */
"Convertir en n�mero decimal en uno racional.", /* Not used in auto mode. */
"Expresar un n�mero como cuadrado",
"Expresar un n�mero como cubo",
"Expresar un n�mero como ra�z $n$-�sima para un valor adecuado de $n$.",
"Expresar un entero como potencia de una base dada.",
"Expresar un entero como potencia. Por ejemplo, escribiendo $9$ como $3^2$.",
"Expresar un entero como suma aplicando el formato: $x = ? + (x-?)$",
},
{ /* complex_arithmetic */
"Aplicar la definici�n de n�mero complejo $i$: $i^2 = -1$.",
"Las potencias enteras del n�mero complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del n�mero complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del n�mero complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Las potencias enteras del n�mero complejo $i$ pueden simplificarse.",
"Hay c�lculos en n�meros complejos por realizar.",
"Falta calcular la potencia de un n�mero complejo que se puede evaluar.",
"Hay c�lculos con n�meros complejos por realizar.",
"Operar con n�meros complejos en forma decimal.",
"Esto puede servir para factorizar un entero.",
"Un entero puede factorizarse como producto de dos complejos, como $ 5 = (2-i) (2 + i) $.",
"Factorizar un n�mero o expresi�n compleja como $n+mi$, en factores complejos. Por ejemplo $7-5i = (2-i)(3-i)$.",
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of root, not used in auto mode. */
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of x^n, not used in auto mode. */
"Calcular el valor decimal aproximado.", /* decimal value of a function, not used in auto mode. */
"Evaluar num�ricamente una funci�n en un punto.", /* not used in auto mode */
},
{ /* simplify_sums */
"Eliminar los signos menos duplicados.",
"Pasar el signo menos al interior de la suma.",
"Sacar el signo menos fuera de la suma.", /* never done in auto mode anyway */
arithhint,
"En una suma que contiene otra, pueden reagruparse los t�rminos para eliminar par�ntesis innecesarios.",
"Ordenar adecuadomente los t�rminos de una suma.",
"La igualdad $x+0 = x$ indica que pueden eliminarse los t�rminos nulos.",
"Hay t�rminos que se simplifican entre s�.",
"Reagrupar los t�rminos similares.",
"Reagrupar los t�rminos similares.",
"Aplicar la propiedad conmutativa de la suma.",
"Extraer un signo menos aplicando la igualdad $a(b-c) = -a(c-b)$.",
"-ab = a(-b)",
"-abc = ab(-c)",
"a(-b)c = ab(-c)",
},
{ /*simplify_products */
"Todo n�mero multiplicado por cero da cero.",
"Se puede omitir un factor igual a 1 en cualquier producto.",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $a(-b) = -ab$",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $a(-b-c) = -a(b+c)$",
"Encabezar con el signo menos este tipo de formulaciones: $(-a-b)c = -(a+b)c$",
"Aplicar la propiedad asociativa del producto para reagrupar los factores.",
"Organizar los factores num�ricos de un producto para que lo encabecen.",
"Organizar los factores de un producto en el orden est�ndar.",
"En un producto, aunar las potencias de la misma base en un solo factor.",
"Desarrollar, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, $a(b+c)=ab+ac$.",
"Aplicar la regla pertinente para expresar $(a-b)(a+b)$ como una diferencia de cuadrados.",
"Desarrollar el cuadrado de una suma recurriendo a la f�rmula est�ndar.",
"Desarrollar el cuadrado de una diferencia recurriendo a la f�rmula est�ndar.",
"Indicar si se reconoce la diferencia de cubos en su formulaci�n factorizada",
"Indicar si se reconoce la suma de cubos en su formulaci�n factorizada",
"Aplicar la propiedad conmutativa del producto.",
},
{ /* expand_menu */
"Un producto de sumas o la potencia de una suma se pueden desarrollar como una suma. Acaso esto redunda eb una mayor simplificaci�n,; especialmente si el producto o la potencia conforma una suma mayor.",
"Acaso desarrollando el numerador, se logre una mayor simplificaci�n.",
"Acaso desarrollando el denominador, se logre una mayor simplificaci�n.",
"Aplicar la igualdad $na = a + ... + a$.", /* never used in auto mode anyway */
},
{ /* fractions */
"Eliminar la fracci�n cuyo numerador es nulo.",
"Deshacerse del 1 gel denominador.",
"El producto es 1 dado que un factor multiplicado por su inverso, resulta igual a la unidad.",
"Multiplicar las fracciones para que lo resultante sea una sola fracci�n.",
"Aplicar esta regla: $a(b/c) = ab/c$ para que lo resultante sea una sola fracci�n",
"Simplificar un factor com�n da numerador y denominador.",
"Agrupar las fracciones del mismo denominador.",
"Descomponer una fracci�n cuyo numerador sea una suma.",
"Descomponer en dos una fracci�n cuyo numerador sea una suma de modo tal que uno de los t�rminos se simplifique y anule.",
"Simplificar una fracci�n por divisi�n polinomial, cuando el grado del numerador sea mayor que el del denominador.",
"Por divisi�n polinomial, se podr�a simplificar y/o reducir el grado.",
"Formar un n�mero racional a partir de dos fracciones aplicando esta f�rmula au/bv=(a/b)(u/v).",
"Transformar el denominador en un coeficiente aplicando la igualdad $a/b = (1/b) a$.",
"Extraer los factores reales del numerador y del denominador aplicando la igualdad $au/b = (a/b)u$.",
"Descomponer en dos una fracci�n aplicando la igualdad $ab/cd = (a/c)(b/d)$.",
"Combinar la parte num�rica del numerador y la del denominador en un �nico coeficiente, aplicando la igualdad $ab/c = (a/c)b$"
},
{ /* signed_fractions */
"Simplificar los signos menos del numerador y del denominador.",
"Incorporar el signo menos al numerador aplicando la igualdad $-(a/b) = (-a)/b$.",
"Incorporar el signo menos al denominador aplicando la igualdad $-(a/b) = a/(-b)$.",
"Desplazar el signo menos del numerador a la fracci�n en su conjunto, al encabezarla.",
"Desplazar el signo menos del denominador a la fracci�n en su conjunto, al encabezarla.",
"Desplazar el signo menos del numerador aplicando la igualdad $(-a-b)/c = -(a+b)/c$.",
"Desplazar el signo menos del denominador aplicando la igualdad $(-a-b)/c = -(a+b)/c$.",
"Cambiarle el signo menos al denominador aplicando la igualdad $a/(-b-c) = -a/(b+c)$.",
"Simplificar los signos menos de la fracci�n aplicando la igualdad que lo o los desplaza del denominador: $-a/(-b-c) = a/(b+c)$.",
"Cambiar los signos aplicando la igualdad $-a/(b-c) = a/(c-b)$.",
"Extraer los signos menos del numerador aplicando la igualdad $-(-a-b)/c = (a+b)/c$.",
"Cambiar el orden de los t�rminos tanto en el numerador como en el denominador. Seleccionar, en principio, la fracci�n completa sobre la que se va a operar.",
"ab/c = a(b/c)",
"Descomponer en dos la fracci�n, aplicando la igualdad $a/bc = (1/b)(a/c)$."
},
{ /* compound_fractions */
"Una fracci�n compuesta es aquella cuyo numerador o denominador (o ambos), contienen, a su vez, fracciones o n�meros mixtos. Una fracci�n 'compuesta' por dos de igual denominador, puede reducirse a una simple, aplicando la igualdad $(a/c)/(b/c) = a/b$.",
"Siendo un denominador fraccionario, a su vez, una fracci�n, la igualdad $a/(b/c)=ac/b$ permite simplificarla.",
"La inversa de una fracci�n puede simplificarse aplicando la igualdad $1/(a/b) = b/a$.",
"Una fracci�n 'compuesta' solo por un numerador fraccionario, puede reducirse a una simple, aplicando la igualdad $(a/b)/c = a/(bc)$.",
"Aplicar $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$", /* never suggested in auto mode */
"Siendo un numerador fraccionario, un producto con una fracci�n como factor, la igualdad $(a/b)c/d = ac/bd$ permite la simplificaci�n.",
"Seg�n el caso, puede ser conveniente factorizar el denominador.",
"Siendo el denominador y/o el numerador fraccionario, una suma de fracciones, solo al sacar el respectivo denominador com�n para poder realizar sendas sumas, se puede avanzar en la ulterior simplificaci�n y/o reducci�n de la fracci�n compuesta resultante."
},
{ /* common_denominators */
"Tras factorizar el denominador, se evidencia cu�l es el denominador com�n.",
"Como los denominadores no son iguales, se empieza por sacar el denominador com�n.",
"Como los denominadores no son iguales, solo tras sacar denominador com�n es posible la suma de las fracciones.",
"Frente a un producto de fracciones, solo tras la correspondiente multiplicaci�n se obtiene una sola fracci�n.",
"Frente a un producto de una fracci�n por un t�rmino, solo tras operar para incorporarlo se obtiene una sola fracci�n.",
"Es conveniente ordenar los t�rminos para mejor identificar los coincidentes y lo que cabe simplificar.",
"Frente a fracciones del mismo denominador, por adici�n y/o sustracci�n se obtiene una sola fracci�n.",
"Hay fracciones a las que sacarles com�n denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles com�n denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles com�n denominador.",
"Hay fracciones a las que sacarles com�n denominador.",
"Multiplicar numerador y denominador por el mismo factor."
},
{ /* exponents 10*/
"Cabe librarse de la presente potencia de 0.",
"Cabe librarse de la presente potencia de exponente unitario.",
"Cero elevado a una potencia no nula es siempre cero.",
"1 elevado a cualquier potencia es siempre 1.",
"Las potencias enteras de -1 valen 1 cuando son pares y -1 cuando son impares.",
"Frente a una potencia elevada a otra potencia, se puede aplicar la regla para combinar el conjunto en una sola potencia.",
"Se pueden extraer el signo menos de una potencia entera aplicando la f�rmula $(-a)^n = (-1)^na^n$.",
"Puede ser conveniente distribuir el exponente en el numerador y el denominador aplicando esta regla: $(a/b)^n = a^n/b^n$.",
"Frente a una potencia de un producto, se puede aplicar la regla para distribuir el exponente entre los factores: $(ab)^n = a^nb^n$.",
"Se puede desarrollar el cuadrado de una suma seg�n la f�rmula, binomial en este caso: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.",
"El teorema del binomio puede ser conveniente aqu�.",
"Frente al producto de 2 o m�s potencias de igual base, los exponentes se suman.",
"Se puede transformar la potencia de una suma en un producto de potencias.",
"Dada una fracci�n en la forma $a^n/b^n$, se puede aplicar el exponente a la fracci�n en su conjunto, de este modo: $(a/b)^n$.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una �nica potencia en el numerador.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una �nica potencia en el denominador."
},
{ /* expand_powers */
"Desarrollar un cuadrado.", /* Never used in auto mode */
"Desarrollar un cubo.",
"Desarrollar una potencia.",
"Descomponer la potencia en el producto de potencias menores.",
"Desarrollar el cuadrado de una suma.",
"Desarrollar el cubo de una suma.",
"Desarrollar el cubo de una diferencia.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^b)^c$ si $a>0$ o $c\\in Z$.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^c)^b$ si $a>0$ o $c\\in Z$.",
"Aplicar esta regla: $a^(bc) = (a^b)^c$, tras ingresar el valor de $c$.",
"Extraer el exponente del denominador aplicando esta regla $1/a^n = (1/a)^n$"
},
{ /* negative_exponents */
"Aplicar la definici�n de exponente negativo, $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Los exponentes negativos en el numerador pasan a ser positivos en el denominador.",
"Aplicar la definici�n de exponente $-1$, $a^(-1) = 1/a$.",
"Aplicar la definici�n de un exponente negativo, $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Los exponentes negativos en el numerador pasan a ser positivos en el denominador.",
"Los exponentes negativos en el denominador pasan a ser positivos en el numerador.",
"Los exponentes positivos en el denominador pasan a ser negativos en el numerador.",
"Se puede reducir una fracci�n, convirtiendo el denominador en un factor con exponente -1.",
"Una fracci�n elevada a exponente negativo se puede formular con un exponente positivo tras invertirla.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una �nica potencia en el numerador.",
"Frente a potencias de la misma base en el numerador y en el denominador, se las puede combinar en una �nica potencia en el denominador.",
"Aplicar la regla $a^(b-c) = a^b/a^c$"
},
{ /* square_roots */
"Combinar el producto de ra�ces cuadradas en una sola ra�z cuadrada.",
"Descomponer la ra�z cuadrada en un producto de ra�ces cuadradas.",
"Frente a un factor cuadr�tico bajo el signo de la ra�z, se lo puede extraer con la debida precauci�n respecto del signo.",
"La ra�z cuadrada de $x^2$ es $x$, al menos para $x$ positivo; de ser $x$ negativo, se lo debe expresar como valor absoluto de $x$.",
"La ra�z cuadrada de $x^2$ es $x$, al menos para $x$ positivo; de ser $x$ negativo, se lo debe expresar como valor absoluto de $x$.",
"Para simplificar la ra�z cuadrada de un entero, conviene comenzar factorizando el entero.",
"La ra�z cuadrada de una fracci�n se puede formular como una fracci�n de ra�ces cuadradas, aplicando esta regla $\\sqrt (x/y) = \\sqrt x/\\sqrt y$",
"La ra�z cuadrada de una fracci�n se puede formular como una fracci�n de ra�ces cuadradas, aplicando esta regla $\\sqrt (x/y) = \\sqrt |x|/\\sqrt |y|$. El signo de valor absoluto es necesario si el signo de $x$ y $y$ se desconocen.",
"Dado el cociente de ra�ces cuadradas, la propuesta es tratar de obtener una �nica ra�z cuadrada.",
"Dado $x\\ge 0$, $\\sqrt x$ veces $\\sqrt x$ es igual a $x$. As� que cuando $x$ tambi�n es distinto de cero, $x/\\sqrt x$ se reduce a $\\sqrt x$.",
"Dado $x\\ge 0$, $\\sqrt x$ veces $\\sqrt x$ es igual a $x$. As� que cuando $x$ tambi�n es distinto de cero, $\\sqrt x/x$ se reduce a $1/\\sqrt x$.",
"Una potencia par de una ra�z cuadrada se puede simplificar aplicando $(\\sqrt x)^2^n = x^n$, al menos para valores de $x$ no negativos.",
"Una potencia impar de una ra�z cuadrada se puede simplificar aplicando $(\\sqrt x)^(2n+1) = x^n\\sqrt x$.",
"Indicar si puede o no calcularse exactamente la ra�z cuadrada.",
"Obtener una aproximaci�n decimal de la ra�z cuadrada.",
arithhint
},
{ /* advanced_square_roots 14 */
"Indicar si el numerador y el denominador tienen un factor com�n bajo el signo de la ra�z cuadrada?",
"Factorizar el polinomio bajo el signo de la ra�z cuadrada.",
"Racionalizar el denominador, multiplicando por el mismo factor el numerador y el denominador. El factor se selecciona con el fin de eliminar las ra�ces cuadradas del denominador.",
"Racionalizar el numerador, multiplicando por el mismo factor el numerador y el denominador. El factor se selecciona con el fin de eliminar las ra�ces cuadradas del numerador.",
"Una ra�z cuadrada de una potencia par se puede simplificar aplicando el valor absoluto",
"Hay un factor com�n bajo el signo de la ra�z cuadrada en el numerador y denominador. Simplificar la ra�z cuadrada com�n.",
"Multiplicar los factores bajo el signo de la ra�z cuadrada.",
"Si $b$ es positivo, se puede considerar a $b$ como el cuadrado de $\\sqrt b$, lo que permite formular que $a^2-b = (a-\\sqrt b)(a+\\sqrt b)$.",
"Una ra�z con �ndice 2 es una ra�z cuadrada.",
"Expresar una ra�z cuadrada como ra�z de una potencia, por ejemplo $\\sqrt 2 = ^4\\sqrt 4$",
"Expresar una ra�z cuadrada como potencia de una ra�z, por ejemplo $\\sqrt 3 = (^4\\sqrt 3)^2$",
"Se desprende de la definici�n de la funci�n ra�z cuadrada como funci�n inversa de la funci�n cuadrada en el conjunto de los reales positivos, que cualquier n�mero bajo una ra�z puede ser considerado como un cuadrado.",
"Hay una potencia de exponente mayor a dos bajo el signo de la ra�z; extraer fuera del signo de la ra�z cuadrada, alg�n factor elevado al exponente que corresponda, manteniendo el resto bajo la ra�z.",
"Poner un t�rmino bajo el signo de la ra�z aplicando la f�rmula $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, verificando si a y b son positivos.",
"Racionalizar el denominador y simplificar."
},
{ /* fractional_exponents 15*/
"Un exponente de $\\onehalf $ se puede convertir en una ra�z cuadrada.",
"Una fracci�n en el exponente con denominador 2 se puede convertir en una ra�z cuadrada, aplicando $a^(n/2) = \\sqrt (a^n)$.",
"Una fracci�n en el exponente con denominador $n$ se puede convertir en una ra�z e$n$-�sima, aplicando $a^(b/n) = ^n\\sqrt (a^b)$.",
"Una ra�z cuadrada se puede convertir en un exponente de $\\onehalf $",
"Una ra�z e$n$-�sima se puede convertir en un exponente de $1/n$",
"Eliminar las ra�ces e$n$-�simas de potencias de n�meros positivos al convertirlas en potencias de exponentes racionales.",
"Eliminar las potencias de ra�ces e$n$-�simas al convertirlas en potencias de exponentes racionales.",
"Eliminar las potencias de ra�ces cuadradas al convertirlas en potencias de exponente racional.",
"La ra�z e$n$-�sima de n�meros positivos en el denominador se puede convertir en una potencia de exponente negativo $-1/n$.",
"Transformar una ra�z cuadrada de un n�meros positivo en el denominador en una potencia de exponente racional negativo.",
"Las potencias enteras de $-1$ se calculan simplemente.",
"Factorizar un entero elevado a un exponente racional.",
"Extraer el exponente fraccionario del denominador.",
"Extraer el exponente fraccionario del numerador.",
"Hacer del exponente fraccionario, una potencia de una ra�z cuadrada.",
"Hacer del exponente fraccionario, una potencia de una ra�z."
},
{ /*nth_roots 16*/
"Combinar un producto de ra�ces e$n$-�simas en una �nica ra�z e$n$-�sima.",
"Descomponer la ra�z e$n$-�sima del producto en un producto de ra�ces e$n$-�simas.",
"Sacar el exponente fuera de la ra�z e$n$-�sima para que todo dependa de la misma ra�z $k$-�sima.",
"Dada una potencia e$n$-�sima bajo una ra�z e$n$-�sima, conviene extraerla.",
"Siempre que las hip�tesis se verifiquen, siendo cierto que $^n\\sqrt (x^n) = x$, una ra�z e$n$-�sima de una potencia e$n$-�sima se puede simplificar.",
"Se puede simplificar la ra�z. Por ejemplo, la ra�z c�bica de $x^6$ es $x^2$.",
"Suele ser posible reducir el orden $n$ de una ra�z e$n$-�sima. Por ejemplo, si $x\\ge 0$, la ra�z sexta de $x^3$ es $\\sqrt x$.",
"Suele ser posible reducir el orden $n$ de una ra�z e$n$-�sima. Por ejemplo, si $x\\ge 0$, la ra�z sexta de $x^2$ es la ra�z c�bica de $x$.",
"Recordando la definici�n de la funci�n ra�z e$n$-�sima de $x$, se tiene que la funci�n inversa de la funci�n potencia de exponente $x$.",
"Frente a una potencia bajo la ra�z e$n$-�sima, cabe introducir el exponente bajo la ra�z, como en $(^n\\sqrt x)^2 = ^n\\sqrt (x^2)$.",
"Frente a la potencia de una ra�z e$n$-�sima como la de $x$, cabe extraer factores de $x^n$ para que el exponente pase a ser menor que $n$. Por ejemplo: $(^3\\sqrt 2)^7 = 2^2 ^3\\sqrt 2$.",
"Factorizar el entero bajo el signo de la ra�z.",
"Frente a una ra�z impar de una expresi�n negativa, se puede sacar el signo menos fuera de la ra�z.",
"Acaso las ra�ces pudieran valorarse exactamente.",
"Factorizar el polinomio bajo la ra�z.",
"Multiplicar entre s� los t�rminos bajo la ra�z."
},
{ /* roots_of_roots */
"Una ra�z cuadrada de la ra�z cuadrada se puede expresar como una ra�z cuarta.",
"Una ra�z cuadrada de una ra�z e$n$-�sima se puede expresar como una ra�z e$2n$-�sima.",
"Una ra�z e$n$-�sima de una ra�z cuadrada se puede expresar como una ra�z e$2n$-�sima.",
"Una ra�z e$n$-�sima de una ra�z e$m$-�sima se puede expresar como una �nica ra�z e$n$-$m$-�sima. Por ejemplo, una ra�z c�bica de una ra�z cuarta es una ra�z 12-�sima."
},
{ /* roots_and_fractions */
"Transformar la ra�z e$n$-�sima de un cociente en un cociente de ra�ces e$n$-�simas.",
"Transformar un cociente de dos ra�ces e$n$-�simas en una �nica ra�z e$n$-�sima.",
"Combinar las ra�ces e$n$-�simas en el numerador y en el denominador, en una �nica ra�z e$n$-�sima.",
"Combinar las ra�ces e$n$-�simas en el numerador y en el denominador, en una �nica ra�z e$n$-�sima.",
"Seleccionar la fracci�n completa para eliminar un factor bajo una ra�z.",
"Seleccionar la fracci�n completa para simplificar las ra�ces e$n$-�simas del numerador y del denominador. ",
"El numerador y denominador tienen un factor com�n bajo la ra�z. Seleccionar la fracci�n completa.",
"Pasar un t�rmino bajo el signo de la ra�z aplicando una igualdad, $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, v�lida para todo real $b\\ge 0$.",
"Pasar un t�rmino bajo el signo de la ra�z aplicando una igualdad, $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$, v�lida para todo real $b\\ge 0$.",
"Pasar un signo menos bajo la ra�z e$n$-�sima.",
"Pasar fracci�n completa bajo la ra�z e$n$-�sima.",
"Pasar fracci�n completa bajo la ra�z e$n$-�sima.",
"Pasar fracci�n completa bajo la ra�z e$n$-�sima.",
"Pasar fracci�n completa bajo la ra�z e$n$-�sima.",
"Una potencia de ra�z e$n$-�sima se puede simplificar, resultando una ra�z con un �ndice $p$, inferior a $n$",
"Al simplificarse, una potencia de ra�z e$n$-�sima puede resultar una ra�z cuadrada."
},
{ /* complex_numbers */
"Como $i^2$ es igual a $-1$, entonces, $1/i=-i$ dado que al factorizar $1/i$ resulta igual a $-i$.",
"Siendo $1/i$ igual a $-i$, cambiando el signo de un cociente, se puede transferir desde el denominador al numerador un factor igual a $i$.",
"Siendo $1/i$ igual a $-i$, cambiando el signo de un cociente, se puede transferir desde el denominador al numerador un factor igual a $i$.",
"Por definici�n, la ra�z cuadrada compleja de $-1$ es $i$.",
"La ra�z cuadrada compleja de un n�mero negativo se puede expresar en t�rminos de $i$, aplicando la igualdad $\\sqrt (-a) = i\\sqrt a$.",
"Se puede eliminar la parte imaginaria del denominador, multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.",
"El producto de un n�mero complejo por su conjugado resulta el cuadrado de su m�dulo, acorde a $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$.",
"En el conjunto de los n�meros complejos, la suma de dos cuadrados se puede factorizar a trav�s de la relaci�n $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$.",
"Por definici�n de m�dulo, para todo par $(u,v)$ de n�meros reales, se establece 'pitag�ricamente` que $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$",
"Por definici�n de m�dulo, para todo par $(u,v)$ de n�meros reales, se establece 'pitag�ricamente` que $|u + vi| = \\sqrt (u^2+v^2)$",
"Expresar el cociente como un �nico n�mero complejo, aplicando la relaci�n $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$.",
"Escribir los n�meros complejos bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una ra�z cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una ra�z cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una ra�z cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$",
"Expresar una ra�z cuadrada compleja bajo la forma $u+vi$"
},
{ /* factoring 20*/
"Factorizar un n�mero.",
"Despejar los denominadores num�ricos para mejorar la revisi�n del proceso.",
"Hay un factor com�n que se puede extraer aplicando la propiedad distributiva de la suma respecto del producto $ab+ac = a(b+c)$",
"Factorizar por el mayor exponente com�n.",
"Indicar si se reconoce el cuadrado perfecto de una suma. Vale tener en cuenta la igualdad siguiente: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.",
"Indicar si se reconoce el cuadrado perfecto de una diferencia. Vale tener en cuenta la igualdad siguiente: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.",
"Una diferencia de cuadrados se puede factorizar aplicando la igualdad $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.",
"Esto no parece ajustarse a una de las formas m�s simple, pero como se trata de un trinomio de segundo grado, se puede factorizar.",
"De no resultar otra alternativa, siempre se puede factorizar este trinomio v�a f�rmula de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado.",
"Una potencia par se puede formular como cuadrado, aplicando la regla $a^2^n = (a^n)^2$. Luego, acaso se puedan aplicar otros m�todos de factorizaci�n para las expresiones conteniendo cuadrados.",
"Tratar de combinar las potencias aplicando esta regla $a^nb^n = (ab)^n$",
"Podr�a ser conveniente factorizar los coeficientes del polinomio.",
"Factorizar el entero.",
"Podr�a ser conveniente una composici�n de funciones.",
"Eliminar un par�metro.",
"Considerar una variable como un par�metro."
},
{ /* advanced_factoring 21*/
"Esto es muy complicado para factorizarlo directamente. Se puede avanzar por pasos, formul�ndolo correctamente como una funci�n de sub-expresiones.",
"Esto es muy complicado para factorizarlo directamente. Se puede avanzar por pasos, formul�ndolo correctamente como una funci�n de sub-expresiones.",
"Expresar una potencia mayor como un cubo aplicando la f�rmula $a^(3n) = (a^n)^3$",
"Expresar una potencia aplicando la f�rmula $a^(mn) = (a^m)^n$.",
"Hay una f�rmula para factorizar la diferencia de cubos.",
"Hay una f�rmula para factorizar la suma de cubos.",
"Hay una f�rmula para factorizar $a^n-b^n$.",
"Hay una f�rmula para factorizar $a^n-b^n$.",
"Hay una f�rmula para factorizar $a^n+b^n$.",
"Hay f�rmulas para factorizar la suma de potencias cuarta.",
"Algunos polinomios de cuarto grado pueden factorizarse aplicando f�rmulas especiales.",
"Tratar de componer una funci�n. Seleccione el t�rmino a reemplazar.",
"Revisar en b�squeda de un factor evidente.", /* guess a factor isn't used in auto mode */
"Si todo lo dem�s falla, se puede intentar la b�squeda sistem�tica de un factor de primer grado ",
"Tratar de factorizar por grupos",
"Formular como un polinomio en una variable o expresi�n. Seleccionar la variable o la expresi�n."
},
{ /* solve_equations 22*/
"Efectuar los necesarios intercambios para dejar la inc�gnita a la izquierda.",
"Cambiar los signos de ambos miembros.",
"Sumarle a ambos miembros de la ecuaci�n, el mismo sumando.",
"Restarle a ambos miembros de la ecuaci�n, el mismo sustraendo.",
"Pasar un t�rmino apropiado de izquierda a derecha.",
"Pasar un t�rmino apropiado de derecha a izquierda.",
"Multiplicar ambos miembros de la ecuaci�n, por el mismo factor.",
"Dividir ambos miembros de la ecuaci�n, por el mismo dividendo.",
"Elevar al cuadrado a ambos miembros de la ecuaci�n.",
"Eliminar los t�rminos coincidentes a un lado y otro de la ecuaci�n.",
"Simplificar un factor com�n a ambos miembros de la ecuaci�n.",
"Restar para formular una ecuaci�n bajo la forma $u=0$.",
"Cuando una ecuaci�n se reduce a una identidad de la forma $u=u$, todo n�mero que deja definidos a ambos miembros de la ecuaci�n se asume soluci�n. La b�squeda se reduce a la del conjunto en que el valor de verdad de la identidad resulta 'cierto'.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuaci�n, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuaci�n $a = -b$ es equivalente a $a^2 = -b^2$.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuaci�n, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuaci�n $a = -b$ es equivalente a $a=0$ y $b=0$.",
"Cuando son opuestos los signos de sendos miembros de una ecuaci�n, las soluciones se limitan a las que anulan ambos. Osea, si $a$ y $b$ son ambos positivos, la ecuaci�n $a = -b$ es equivalente a $a=0$ y $b=0$.",
},
{ /* quadratic_equations 23 */
"A un producto nulo, se lo puede descomponer en dos (o m�s) ecuaciones en que sea nulo uno o m�s factores, seg�n la regla: ab=0 si y solo si a=0 o b=0.",
"La f�rmula de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado se puede aplicar independientemente de cual fuera la cuadr�tica de la que se trate.",
"La f�rmula de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado se puede aplicar independientemente de cual fuera la cuadr�tica de la que se trate.",
"Completar el cuadrado.", /* I don't think this is used en automode except en calculus */
"Extraer la ra�z cuadrada en ambos miembros.",
"Frente a una ecuaci�n que expresa la igualdad de dos cocientes sin simplificaci�n posible a primera vista, parece conveniente y �gil reformularla como igualdad de productos cruzados.",
"Si el discriminante es negativo, la ecuaci�n cuadr�tica no tiene ra�ces reales.",
"Un sistema de dos ecuaciones $u^2 = a$ y $u^2 = -a$ es equivalente a $u=a=0$.",
arithhint
},
{ /* numerical_equations 24*/
"Evaluar num�ricamente en un punto.", /* Never used en auto mode */
"Se puede dejar a cargo de MathXpert la 'resoluci�n num�rica' para que se computen las soluciones por un m�todo de aproximaci�n iterativa."
},
{ /* advanced_equations 25 */
"Frente a una ecuaci�n que expresa la igualdad de dos cocientes sin simplificaci�n posible a primera vista, parece conveniente y �gil reformularla como igualdad de productos cruzados.",
"Se pueden elevar ambos t�rminos a una potencia, aplicando la regla: si $u=v$, entonces $u^n=v^n$.",
"Para acceder a una inc�gnita bajo una ra�z cuadrada, basta con elevar ambos miembros al cuadrado.",
"Para acceder a una inc�gnita bajo una ra�z $n$-�sima, basta con elevar ambos miembros a la potencia $n$.",
"Para acceder a la inc�gnita, cabe aplicarle a ambos miembros, una funci�n conveniente.",
"Reducir las fracciones a un mismo denominador.",
"Descomponer la ecuaci�n en tantas ecuaciones como factores, dado que ab=0 si y solo si a=0 o b=0",
"Descomponer la ecuaci�n en dos o m�s ecuaciones aplicando esta regla: si ab=ac entonces a=0 o b=c",
"Seleccionar una ecuaci�n.", /* Not used en auto mode */
"Mostrar nuevamente todas las ecuaciones dado que ya se tiene concluido con una ellas.",
"Agrupar las soluciones.",
"Puede ser conveniente componer la funci�n con una adecuada sustituci�n. Seleccionar la expresi�n a reemplazar por una nueva variable.",
"Ahora cabe eliminar la nueva variable.",
"Como una de las ecuaciones no tiene soluci�n, cabe eliminarla.",
"Debe tenerse presente la necesidad de verificar y controlar las ra�ces en la ecuaci�n original, para comprobarlas.",
"Se podr�a resolver directamente esta ecuaci�n lineal."
},
{ /* cubic_equations 26*/
"Una sustituci�n de variable apropiada permite eliminar los t�rminos de segundo grado. ",
"El estudio del discriminante permite saber si hay solo una o tres ra�ces reales. Hay que efectuar los c�lculos en primer lugar, para saber qu� f�rmulas de resoluci�n de las ecuaciones de tercer grado aplicar.",
"Mostrar nuevamente la ecuaci�n c�bica para seguir adelante.",
"Como Vieta descubri� en 1592, la introducci�n de $x = y - a/(3cy)$ en $cx^3 + ax + b = 0$, se obtiene una ecuaci�n de segundo grado por $y^3$. Seleccionar la ecuaci�n entera para que aparezca esta opci�n.",
"Si el discriminante es positivo, esta ecuaci�n de tercer grado tiene una sola ra�z real.",
"Si el discriminante es negativo, esta ecuaci�n de tercer grado a tres ra�ces reales.",
"Si el discriminante es positivo, esta ecuaci�n de tercer grado tiene una sola ra�z real.",
"Puede ser conveniente componer la funci�n con la sustituci�n $x = f(u)$ donde $x$ es una variable existente y $u$, la nueva.",
"Ahora cabe eliminar la nueva variable.",
"Un cambio de las variables enteras permite verificar que estas dos expresiones coinciden. Como una de las ecuaciones se elimina, solo hay tres soluciones, mientras que en apariencia hab�a seis.",
"Calcular la expresi�n de la ra�ces para obtener respuestas exactas.",
"La mejor implicar�a evaluar para obtener una aproximaci�n decimal delas ra�ces",
"Simplificar"
},
{ /* logarithmic_equations */
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $u=v$ entonces $a^u = a^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $ln u = v$ entonces $u = e^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo al aplicar esta regla: si $log u = v$ entonces $u = 10^v$.",
"Despejar el logaritmo del miembro izquierdo aplicando esta regla: si $log(b,u) = v$, entonces $u = b^v$, donde $log(b,u)$ designa al logaritmo de base $b$ de $u$.",
"Como los dos miembros son potencias de la misma base, los exponentes tambi�n son iguales.",
"Extraer el logaritmo decimal de ambos miembros.",
"Extraer el logaritmo natural de ambos miembros.",
"Una de las ecuaciones no es posible debido a que las funciones logar�tmicas reales se definen solo en el conjunto de los reales positivos.",
},
{ /* cramers_rule */
"Aplicar la regla de Cramer",
"Calcular el determinante. Se puede dejar a cargo a MathXpert para que lo resuleva en un solo paso."
},
{ /* several_linear_equations 29*/
"Empezar por pasar inc�gnitas y variables al miembro izquierdo y las constantes, al derecho.",
"Agrupar los t�rminos semejantes, de modo tal que haya un �nico t�rmino por cada inc�gnita.",
"Alinear correctamente las variables, para poder comparar f�cilmente los coeficienteslas de las diferentes ecuaciones.",
"Sumar dos ecuaciones.",
"Restar dos ecuaciones.",
"Multiplicar una ecuaci�n por una constante.",
"Dividir una ecuaci�n por una constante.",
"Sumarle a una ecuaci�n, el m�ltiplo de otra ecuaci�n.",
"Multiplicar una ecuaci�n por un n�mero negativo, y sumar el resultado a otra ecuaci�n.",
"Intercambiar dos ecuaciones.",
"Poner las ecuaciones resueltas en orden.",
"Eliminar las ecuaciones redundantes.",
"Establecer una variable en funci�n de la cual ser�n expresadas las soluciones.",
"Indicar si se pueden efectivamente resolver estas ecuaciones. Parecen incompatibles o contradictorias."
},
{ dummystring, /* selection_mode_only, these operators */
dummystring, /* are not used en automode so need no hints */
dummystring,
dummystring
},
{ /* linear_equations_by_selection */
"Sumar dos ecuaciones.",
"Restar dos ecuaciones.",
"Multiplicar una ecuaci�n por una constante.",
"Dividir una ecuaci�n por una constante.",
"Sumar el m�ltiplo de una ecuaci�n a otra ecuaci�n.",
"Restar el m�ltiplo de una ecuaci�n de otra ecuaci�n.",
"Intercambiar dos ecuaciones.",
"Expresar una de las inc�gnitas en funci�n del resto, en una de las ecuaciones.",
"Sumar dos filas.",
"Restarle a una fila, otra.",
"Multiplicar alguna filas por una constante.",
"Dividir alguna fila por una constante.",
"Sumarle a una fila, el producto de otra fila por une constante.",
"Restar de una fila, el producto de otra fila por una constante.",
"Intercambiar dos filas.",
"Escribir una matriz $A$ como un producto $IA$, donde $I$ es la matriz identidad. Al operar sobre las filas, afectar�n tambi�n a la inversa de $A$ que se manifestar� donde est� $I$."
},
{ /* linear_equations_by_substitution */
"Agrupar los t�rminos similares, de modo tal que haya un �nico t�rmino para cada variable.",
"Expresar una de las inc�gnitas en funci�n del resto, en una de las ecuaciones.",
"Simplificar una o m�s de las ecuaciones.",
"Simplificar un t�rmino que aparece en ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Sumarle el mismo t�rmino a ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Restarle el mismo t�rmino a ambos miembros de una de las ecuaciones.",
"Dividir una de las ecuaciones por una constante para aislar una variable.",
"Tras haber expresado gracias a una de las ecuaciones, una de las inc�gnitas en funci�n de las oras, reemplazarla en todas las otras ecuaciones por esta expresi�n.",
"El sistema de ecuaciones presenta contradicciones."
},
{ /* matrix_methods 33*/
"Por empezar, plantear las ecuaciones en forma matricial.",
"Multiplicar el miembro derecho por la matriz identidad $I$.",
"Intercambiar dos filas.",
"Sumar dos filas.",
"Restar una fila de otra.",
"Multiplicar alguna filas por una constante.",
"Dividir alguna filas por una constante.",
"Sumar el m�ltiplo de una fila a otra fila.",
"Restar el m�ltiplo de una fila de otra fila.",
"Multiplicar matrices.",
"Una columna completamente nula, se puede eliminar.",
"Una fila completamente nula, se puede eliminar.",
"Cuando se repiten dos filas id�nticas, una de ellas se puede eliminar.",
"Las ecuaciones presentan contradicciones.",
"Una ecuaci�n matricial se puede convertir en un sistema lineal."
},
{ /* advanced_matrix_methods */
"Multiplicar las matrices.",
"Resolver invirtiendo la matriz: $AX = B => X = A^(-1)B$",
"Hay una f�rmula expl�cita para la inversa de una matriz de 2 por 2.",
"Se puede dejar a cargo de MathXpert el c�lculo exacto de la matriz inversa. Seleccionar la matriz inversa a calcular.",
"Se puede dejar a cargo de MathXpert el c�lculo de una aproximaci�n decimal de la matriz inversa. Seleccionar la matriz inversa a calcular.",
},
{ /* absolute_value */
"Siendo $u$ un real positivo, se puede eliminar el signo del valor absoluto, porque en este caso $|u| = u$.",
"Siempre se puede suponer $u\\ge 0$ y luego escribir $|u| = u$.",
"Siendo $u$ un real negativo, se puede eliminar el signo del valor absoluto, porque en este caso $|u| = -u$.",
"Se puede extraer un factor positivo fuera del signo del valor absoluto aplicando esta regla: si $c\\ge 0$, entonces $|cu| = c|u|$.",
"Se puede extraer un denominador positivo fuera del signo del valor absoluto aplicando esta regla: $|u/c| = |u|/c$.",
"Se puede simplificar un producto de valores absolutos aplicando esta regla $|u||v| = |uv|$.",
"Si fuera conveniente, se puede descomponer un producto de valores absolutos aplicando esta regla: $|uv| = |u||v|$.",
"Se puede descomponer el valor absoluto en los valores absolutos del denominador y del numerador, aplicando esta igualdad: $|u/v| = |u| / |v|$.",
"En un cociente, se puede distribuir el valor absoluto en numerador y denominador seg�n esta regla: $|u/v| = |u| / |v|$.",
"Se puede simplificar una potencia par de valor absoluto, aplicando la regla: si $u$ es reel, entonces $|u|^(2n)=u^(2n)$.",
"Los valores absolutos de una potencia se pueden simplificar siendo $n$ real, seg�n esta regla: $|u^n|=|u|^n$.",
"Para todo valor real positivo u, resulta $|\\sqrt u| = \\sqrt u = \\sqrt |u|$.",
"Si $u$ es un real y si $n$ es un entero natural impar, o si $u$ es un reel positivo y si $n$ es un entero par positivo, resulta $|^n\\sqrt u| = ^n\\sqrt |u|$.",
"Se pueden simplificar los cocientes de valores absolutos aplicando esta regla, v�lida si $a$ y $c$ son dos reales no nulos: $|ab|/|ac|=|b|/|c|$",
"Se pueden simplificar los cocientes de valores absolutos aplicando esta regla, v�lida si $a$ es un real no nulo: $|ab|/|a|=|b|$",
"Puede haber un factor com�n al interior de los valores absolutos del numerador y del denominador. Si as� fuera, podr�a resultar conveniente mostrarlo expl�citamente.",
},
{ /* absolute_value_ineq1 */
"Si $c\\ge 0$, siempre se puede descomponer una ecuaci�n $|u|=c$ en dos ecuaciones $u=c$, $u = -c$.",
"La ecuaci�n $|x|/x = c$ tiene dos soluciones reales si y solo si $c$ pertenece a ${-1, 1}$; cuando $c=-1$, el conjunto de soluciones es el de los reales negativos y cuando $c=1$, el de los reales positivos.",
"$|u| < v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo abierto de extremos $-v$ y $v$.",
"$|u| \\le v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$u < |v|$ si y solo si $v < -u$ o $u < v$",
"$u \\le |v|$ si y solo si $v \\le -u$ o $u \\le v$",
"La ecuaci�n $|u| = u$ es equivalente a la inecuaci�n $0 \\le u$, formulada sin el signo de valor absoluto.",
"La ecuaci�n $|u| = -u$ es equivalente a la inecuaci�n $u \\le 0$, formulada sin el signo de valor absoluto.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: debe ser siempre cierto $0 \\le |u|$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: no existe un real tal que $|u| < 0$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: para todo real $u$ y todo $c$ positivo, debe ser $-c \\le |u|$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $-c < |u|$ es siempre cierto para que $c$ sea positivo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $|u| < -c$ es falso, para que $c$ sea positivo",
"Un valor absoluto no puede ser negativo: $|u| \\le -c$ es falso, para que $c$ sea positivo",
"Si $c \\ge 0$, la inecuaci�n $|u| \\le -c$ es posible solo si $u$ y $c$ son ambas nulas. En MathXpert, esta afirmaci�n se formula as�: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hip�tesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habr� soluci�n. En caso contrario, la soluci�n encontrada determinar� que sea $u=0$.",
"Si $c \\ge 0$, la ecuaci�n $|u| = -c$ es posible si y solo si $u$ y $c$ son ambas nulas. En MathXpert, esta afirmaci�n se formula as�: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hip�tesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habr� soluci�n. En caso contrario, la soluci�n encontrada determinar� que sea $u=0$.",
},
{ /* absolute_value_ineq2 */
"$v > |u|$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo abierto de extremos $-v$ y $v$.",
"$v\\ge |u|$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$|v|>u$ si y solo si $-u>v$ o $v>u$",
"$|v|\\ge u$ si y solo si $-u\\ge v$ o $v\\ge u$",
"Los valores absolutos son siempre no negativos.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Si $c \\ge 0$, la inecuaci�n $-c \\ge |u|$ es posible solo si $u$ y $c$ son ambos nulos. En MathXpert, esta afirmaci�n se formula as�: $|u| \\le -c$ si y solo si $u=0$ suponiendo $c=0$. Se plantea la hip�tesis $c=0$. Si esto eventualmente contradice $u=0$ no habr� soluci�n. En caso contrario, la soluci�n encontrada determinar� que sea $u=0$.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"Un valor absoluto no puede ser negativo.",
"$v\\ge 0$, $|u| \\le v$ si y solo si $v\\ge 0$ y $u$ pertenece al intervalo cerrado de extremos $-v$ y $v$.",
"$u < |v|$ si y solo si $v < -u$ o $u < v$",
"Si $u$ es real, entonces $u^(2n) = |u|^(2n)$. Es decir que una potencia par se puede escribir como potencia de un valor absoluto",
"Si $n$ es real, entonces $|u|^n = |u^n|$. Es decir que los valores absolutos de una potencia siguen la regla $|u|^n = |u^n|$ si $n$ es real."
},
{ /* less_than */
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"Sumar un t�rmino adecuado en ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Restar un t�rmino adecuado en ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiar� tambi�n el sentido de la inecuaci�n: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiar� tambi�n el signo $<$ por $>$.",
"Se pueden multiplicar ambos miembros de la inecuaci�n por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Si solo se sabe que $0 \\le c$ se debe pasar de $<$ a $\\le $.",
"Si se quisiera multiplicar ambos miembros por un valor real del que no se sabe si es positivo o negativo, ser� preferible multiplicar por su cuadrado, que siempre ser� no-negativo.",
"Se pueden dividir ambos miembros de la inecuaci�n por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo.",
"Cuando ambos miembros son n�meros, se puede simplemente calcular la inecuaci�n num�ricamente.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando ambos miembros son positivos, ambos se pueden elevar al cuadrado.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuaci�n adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Combinar en un conjunto la inecuaci�n $u < v$ y la correspondiente ecuaci�n $u = v$.",
"Dos de las soluciones determinan intervalos que se superponen y que se deben combinar.",
"Hay una o m�s soluciones que no satisfacen la inecuaci�n inicial. Tales soluciones podr�an haberse introducidos al elevar al cuadrado la inecuaci�n o simplificar una expresi�n. Conviene revisar las hip�tesis a validar o refutar.",
},
{ /* greater_than */
"$u > v$ significa lo mismo que $v < u$",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros, cambiando al mismo tiempo $>$ por $<$ y viceversa.",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen t�rminos de izquierda a derecha y viceversa. As�, por ejemplo: $-u > -v$ pasa a ser $v > u$.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuaci�n adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Combinar en conjunto, la inecuaci�n $u > v$ y la ecuaci�n correspondiente $u = v$.",
},
{ /* less_than_or_equals 40 */
"$x \\le y$ significa lo mismo que $y \\ge x$",
"Sumar un t�rmino adecuado a ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Restarles un t�rmino adecuado a ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiar� tambi�n el sentido de la inecuaci�n: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen t�rminos de izquierda a derecha y viceversa. As�, por ejemplo: $-u \\le -v$ pasa a ser $v \\ge u$.",
"Se pueden multiplicar ambos miembros de la inecuaci�n por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Se debe cambiar el sentido de la inecuaci�n si $c<0$: si $0 \\le c$ se deber�n intercambiar los signos $<$ por $\\le $ y viceversa.",
"Si se quisiera multiplicar ambos miembros por un valor real del que no se sabe si es positivo o negativo, ser� preferible multiplicar por su cuadrado, que siempre ser� no-negativo.",
"Se pueden dividir ambos miembros de la inecuaci�n por el mismo real $c$ siempre que se conozca su signo. Se debe cambiar el sentido de la inecuaci�n si $c<0$: si $0 \\le c$ se deber�n intercambiar los signos $<$ por $\\le $ y viceversa.",
"Cuando ambos miembros son n�meros, se puede simplemente calcular la inecuaci�n num�ricamente.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Siempre que sean no negativos, ambos miembros se pueden elevar al cuadrado.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuaci�n adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
"Dos de las soluciones determinan intervalos que se superponen y que se deben combinar.",
"Hay una o m�s soluciones que no satisfacen la inecuaci�n inicial. Tales soluciones podr�an haberse introducidos al elevar al cuadrado la inecuaci�n o simplificar una expresi�n. Conviene revisar las hip�tesis a validar o refutar.",
},
{ /* greater_than_or_equals */
"$x \\ge y$ significa lo mismo que $y \\le x$",
"Se puede cambiar el signo en ambos miembros, sin olvidar que cambiar� tambi�n el sentido de la inecuaci�n: -u < -v => v < u",
"Se puede cambiar el signo de ambos miembros manteniendo el sentido del signo siempre que se pasen t�rminos de izquierda a derecha y viceversa. As�, por ejemplo: $-u \\le -v$ pasa a ser $v \\ge u$.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Cuando al elevar al cuadrado ambos miembros se desconoce si el menor es positivo, se obtiene una inecuaci�n adicional que expresa la posibilidad de tal miembro menor, como negativo.",
},
{ /* square_ineq1 */
"Se puede extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros, bajo esta condici�n: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la ra�z cuadrada del t�rmino constante y el opuesto tal ra�z.",
"Se puede siempre extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros, bajo este recaudo: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la ra�z cuadrada de una inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las ra�ces cuadradas positivas y negativas.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de una inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las ra�ces cuadradas positivas y negativas.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuaci�n. Seleccionar la inecuaci�n completa para realizar esta operaci�n.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuaci�n. Seleccionar la inecuaci�n completa para realizar esta operaci�n.",
"Despejar la ra�z cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuaci�n.",
"Despejar la ra�z cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuaci�n.",
"Despejar la ra�z cuadrada o el valor absoluto elevando al cuadrado ambos miembros de esta inecuaci�n.",
"Si los dos miembros de una inecuaci�n son positivos, se puede sacar la ra�z cuadrada de cada uno de estos dos miembros: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, no puede ser negativa.",
"Las ra�ces cuadradas son siempre no negativas, pero al elevar al cuadrado una ra�z, se debe verificar que el valor bajo la ra�z sea no negativo."
},
{ /* square_ineq2 */
"Se puede extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros, bajo esta condici�n: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la ra�z cuadrada del t�rmino constante y el opuesto tal ra�z.",
"Se puede siempre extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros, bajo este recaudo: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la ra�z cuadrada de una inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las ra�ces cuadradas positivas y negativas.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de una inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a las ra�ces cuadradas positivas y negativas.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuaci�n. Seleccionar la inecuaci�n completa para realizar esta operaci�n.",
"Los cuadrados son siempre positivos, por lo cual se puede obviar la primera inecuaci�n. Seleccionar la inecuaci�n completa para realizar esta operaci�n.",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n.",
"Si los dos miembros de una inecuaci�n son positivos, se puede sacar la ra�z cuadrada de cada uno de estos dos miembros: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Un cuadrado, y con mayor generalidad, toda potencia par, es siempre positiva.",
"Las ra�ces cuadradas son siempre positivas, pero al elevar al cuadrado una ra�z, se debe verificar que el valor bajo la ra�z sea no negativo."
},
{ /* recip_ineq1 */
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precauci�n respecto de la posibilidad de la inclusi�n de ceros en el intervalo",
"Calcular la inversa, con la necesaria precauci�n respecto de la posibilidad de la inclusi�n de ceros en el intervalo"
},
{ /* recip_ineq2 */
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa de ambos miembros",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa para despejar la inc�gnita del denominador.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precauci�n respecto de la posibilidad de la anulaci�n.",
"Calcular la inversa, con la necesaria precauci�n respecto de la posibilidad de la anulaci�n.",
},
{ /* root_ineq1 46 */
"Siendo $n$ impar, se puede sacar la ra�z e$n$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero con esta precauci�n: si $a>0$, entonces $u^(2n) < a => |u| < ^(2n)\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero con esta precauci�n: $u^2^n < a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a < u < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero con esta precauci�n: $0 \\le a < u^2^n => ^2^n\\sqrt a < |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la ra�z e$m$-�sima: $a < u^2^n$ si y solo si $v < -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a < u$.",
"Si $n$ es par, se puede sacar la ra�z e$n$-�sima de tres miembros pero sabiendo que debe obtenerse entonces un intervalo adicional que corresponde al opuesto de la ra�z e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima. Debe recordarse que si $n$ es par, la funci�n ra�z e$n$-�sima no est� definida sino en el conjunto de los reales positivos, lo que obliga a explicitar esta condici�n. Por ejemplo, $^4\\sqrt x < 16$ se convierte en $0 \\le x < 2$.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de la desigualdad a una una potencia positiva impar.",
"Si los dos miembros de una desigualdad son positivos, se los puede elevar a cualquier potencia estrictamente positiva.",
"La funci�n ra�z e$n$-�sima tiene valores positivos cuando $n$ es par, pero al elevar tal ra�z a una potencia, no hay que olvidar que el t�rmino bajo la ra�z debe ser positivo."
},
{ /* root_ineq2 */
"Siendo $n$ impar, se puede sacar la ra�z e$n$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero con esta precauci�n: $u^2^n \\le a$ si y solo si $|u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la ra�z e$m$-�sima: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero con esta precauci�n: $0 \\le a \\le u^2^n$ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se puede sacar la ra�z e$m$-�sima de ambos miembros de una inecuaci�n, pero sabiendo que debe obtenerse una segunda desigualdad correspondiente al opuesto de la ra�z e$m$-�sima: $a \\le u^2^n$ si y solo si $v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Si $n$ es par, se puede sacar la ra�z e$n$-�sima de tres miembros pero sabiendo que debe obtenerse entonces un intervalo adicional que corresponde al opuesto de la ra�z e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima. Debe recordarse que si $n$ es par, la funci�n ra�z e$n$-�sima no est� definida sino en el conjunto de los reales positivos, lo que obliga a explicitar esta condici�n. Por ejemplo, $^4\\sqrt x < 16$ se convierte en $0 \\le x < 2$.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"De tener una ra�z e$n$-�sima, se puede eliminar en el exponente de ambos miembros, a la potencia e$n$-�sima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de la desigualdad a una una potencia positiva impar.",
"Si los dos miembros de una desigualdad son positivos, se los puede elevar a cualquier potencia estrictamente positiva.",
"La funci�n ra�z e$n$-�sima tiene valores positivos cuando $n$ es par, pero al elevar tal ra�z a una potencia, no hay que olvidar que el t�rmino bajo la ra�z debe ser positivo."
},
{ /* zero_ineq1 */
"Se deben eliminar todos los factores positivos.",
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resoluci�n de una inecuaci�n lineal, puede ser conveniente la factorizaci�n de un coeficiente de la inc�gnita: si $a$ es no nulo, ser� $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"El conjunto de soluciones de una inecuaci�n de la forma $(x-a)(x-b) < 0$, es el intervalo abierto cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: a < x < b}$, si $a < b$.",
"El conjunto de soluciones de una desigualdad de la forma $0 < (x-a)(x-b)$, es el complemento del intervalo cerrado cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: x < a o b < x}$ si $a<b$."
},
{ /* zero_ineq2 49*/
"Se debieran eliminar todos los factores positivos.",
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resoluci�n de una inecuaci�n lineal, puede ser conveniente la factorizaci�n de un coeficiente de la inc�gnita: si $a$ es no nulo, ser� $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u < v$ significa lo mismo que $v > u$",
"El conjunto de soluciones de una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) \\le 0$, es el intervalo cerrado cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: a \\le x \\le b}$, si $a < b$.",
"El conjunto de soluciones de una inecuaci�n de la forma $0 \\le (x-a)(x-b)$, es el complementario del intervalo abierto cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir: ${x: x \\le a o b \\le x}$, si $a<b$."
},
{ /* square_ineq3 50 */
"Se puede extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros, bajo esta condici�n: Si $a >0$, entonces $a > u^2$ es equivalente a $\\sqrt a > |u|$. No debe olvidarse el valor absoluto.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros se obtiene un intervalo cuyos extremos son la ra�z cuadrada del t�rmino constante y el opuesto tal ra�z.",
"Se pueden extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros de una inecuaci�n, destacando lo siguiente: si $a>0$, entonces $v^2 > a$ es equivalente a $|v| > \\sqrt a$.",
"Al extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros; de esta inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a la ra�z cuadrada positiva y a su opuesta.",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Cuando todos los t�rminos de una inecuaci�n son positivos, se pueden extraer las ra�ces cuadradas de ambos miembros de esa inecuaci�n: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma siempre valores no-negativos.",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma siempre valores no-negativos.",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos, pero cuando se eleva al cuadrado una ra�z cuadrada, no debe olvidarse que lo que est� bajo la ra�z sea positivo."
},
{ /* square_ineq4 51 */
"Se pueden extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros de una inecuaci�n, destacando lo siguiente: si $a >0$, entonces $a \\ge u^2$ es equivalente a $\\sqrt a \\ge |u|$. No se debe olvidar el valor absoluto.",
"Extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros; se obtiene un intervalo cuyos extremos son la ra�z cuadrada de un miembro constante y el opuesto de dicha ra�z.",
"Se puede extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros de la inecuaci�n, destacando lo siguiente: cuando $a>0$, la inecuaci�n $0 \\le u < v^2$ es equivalente a $\\sqrt u < |v|$",
"Al extraer la ra�z cuadrada de ambos miembros; de esta inecuaci�n, se obtienen dos inecuaciones, correspondientes a la ra�z cuadrada y a su opuesta.",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Se despeja una ra�z cuadrada elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuaci�n",
"Cuando todos los t�rminos de una inecuaci�n son positivos, se pueden extraer las ra�ces cuadradas de ambos miembros de esa inecuaci�n: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos.",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos.",
"La aplicaci�n cuadrado, $x -> x^2$ toma valores positivos, pero cuando se eleva al cuadrado una ra�z cuadrada, no debe olvidarse que lo que est� bajo la ra�z sea positivo."
},
{ /* recip_ineq3 52 */
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros"
},
{ /* recip_ineq4 53 */
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros",
"Extraer la inversa de ambos miembros"
},
{ /* root_ineq3 54 */
"Siendo $n$ impar, se pueden sacar las ra�ces e$n$-�simas de ambos miembros de una inecuaci�n.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, siempre que se corrobore lo siguiente: $u^2^n \\le si y solo si |u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, pero se obtendr� una segunda inecuaci�n correspondiente a la opuesta de la ra�z e$m$-�simas: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, siempre que se corrobore lo siguiente: $0 \\le a \\le u^2^n $ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, pero se obtendr� una segunda inecuaci�n correspondiente a la opuesta de la ra�z e$m$-�simas: $a \\le u^2^n$ si y solo si $ v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Siendo $m$ par, se pueden sacar las ra�ces e$n$-�simas de tres miembros, pero adem�s se obtendr� un intervalo adicional correspondiente a la opuesta de la ra�z e$n$-�simas.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de una inecuaci�n a una potencia positiva impares.",
"Se puede elevar ambos miembros de una inecuaci�n a cualquier potencia positiva, si ambos miembros son positivos.",
"La funci�n ra�z e$n$-�sima toma siempre valores positivos cuando $n$ es par, pero cuando se eleva tales ra�ces a una potencia, se debe destacar que el termino bajo la ra�z debe ser positivo."
},
{ /* root_ineq4 55 */
"Siendo $n$ impar, se pueden sacar las ra�ces e$n$-�simas de ambos miembros de una inecuaci�n.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, siempre que se corrobore lo siguiente: $u^2^n \\le si y solo si |u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, pero se obtendr� una segunda inecuaci�n correspondiente a la opuesta de la ra�z e$m$-�simas: $u^2^n \\le a$ si y solo si $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, siempre que se corrobore lo siguiente: $0 \\le a \\le u^2^n $ si y solo si $^2^n\\sqrt a \\le |u|$.",
"Siendo $m$ par, $m=2n$, se pueden sacar las ra�ces e$m$-�simas de ambos miembros de la inecuaci�n, pero se obtendr� una segunda inecuaci�n correspondiente a la opuesta de la ra�z e$m$-�simas: $a \\le u^2^n$ si y solo si $ v \\le -^2^n\\sqrt a$ o $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Siendo $m$ par, se pueden sacar las ra�ces e$n$-�simas de tres miembros, pero adem�s se obtendr� un intervalo adicional correspondiente a la opuesta de la ra�z e$n$-�simas.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"La ra�z e$n$-�sima puede despejarse elevando ambos miembros a la potencia e$n$-�sima.",
"Siempre se puede elevar ambos miembros de una inecuaci�n a una potencia positiva impares.",
"Se puede elevar ambos miembros de una inecuaci�n a cualquier potencia positiva, si ambos miembros son positivos.",
"La funci�n ra�z e$n$-�sima toma siempre valores positivos cuando $n$ es par, pero cuando se eleva tales ra�ces a una potencia, se debe destacar que el termino bajo la ra�z debe ser positivo."
},
{ /* zero_ineq3 56*/
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resoluci�n de una inecuaci�n lineal, puede ser conveniente la factorizaci�n de un coeficiente de la inc�gnita: si $a$ es no nulo, ser� $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"El conjunto de soluciones de una desigualdad de la forma $(x-a)(x-b) \\le 0$, es el intervalo cerrado cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: a \\le x \\le b}$, si $a < b$.",
"El conjunto de soluciones de una inecuaci�n de la forma $0 \\le (x-a)(x-b)$, es el complementario del intervalo abierto cuyos extremos son las ra�ces $a$ y $b$ del trinomio, es decir: ${x: x \\le a o b \\le x}$ si $a<b$.",
},
{ /* zero_ineq4 57 */
"Siendo el numerador positivo, el cociente es positivo si y solo si el denominador es positivo.",
"En una desigualdad de la forma $0 < u/\\sqrt v$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es positivo si y solo si $u$ y $v$ son ambos distintos de cero y del mismo signo. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea positivo siendo la desigualdad $0 < uv$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $0 < u/v$.",
"En una desigualdad de la forma $u/\\sqrt v < 0$, multiplicar por $v\\sqrt v$ y no solo por $\\sqrt v$, evita la p�rdida de informaci�n sobre el dominio de definici�n. Debe advertirse que $v\\sqrt v$ sea positivo. Las ra�ces cuadradas se simplifican.",
"$u/v$ es negativo si y solo si $u$ y $v$ son de signo opuesto. Esta es la misma condici�n para que $uv$ sea negativo siendo la desigualdad $uv < 0$ posiblemente m�s f�cil de estudiar que $u/v < 0$.",
"Durante la resoluci�n de una inecuaci�n lineal, puede ser conveniente la factorizaci�n de un coeficiente de la inc�gnita: si $a$ es no nulo, ser� $ax \\pm b < 0$ si y solo si $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"Habiendo una inecuaci�n bajo la forma $(x-a)(x-b) < 0$, el conjunto de las soluciones es el intervalo cerrado cuyos extremos son las ra�ces de $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: a \\le x \\le b}$, si $a < b$.",
"Habiendo una inecuaci�n bajo la forma $0 \\le (x-a)(x-b)$, siendo $a < b$, el conjunto de las soluciones es el complementario del intervalo abierto cuyos extremos son las ra�ces de $a$ y $b$ del trinomio, es decir ${x: x \\le a o b \\le x}$ si $a<b$.",
},
{ /* binomial_theorem 58 */
"Desarrollar la potencia, aplicando el teorema binomial.",
"Aplicar el teorema binomial con coeficientes binomiales $(n k)$.",
"Expresar los coeficientes binomiales en t�rminos de factorial, aplicando $(n k) = n!/((n-k)!k!)$.",
"Aplicar la definici�n de factorial, $n! = n(n-1)(n-2)...1$.",
"Calcular el factorial expl�citamente.",
arithhint,
"Calcular los coeficientes binomiales (n k).",
"Desarrollar la sumatoria o suma indexada de notaci�n $\\sum $ como una suma ordinaria.",
"Calcular la sumatoria o suma indexada de notaci�n $\\sum $ como un n�mero racional.",
"Aplicar la ecuaci�n recursiva para la funci�n factorial, $n! = n(n-1)$.",
"$n!$ es divisible por $n$, con cociente $(n-1)!$.",
"$n!$ es divisible por $(n-1)!$, con cociente $n$.",
"$n!$ es divisible por $k!$ cuando $k$ es menor que $n$.",
"$n!$ es divisible por $n$, con cociente $(n-1)!$.",
"$n!$ es divisible por $(n-1)!$, con cociente $n$.",
"$n!$ es divisible por $k!$ cuando $k$ es menor que $n$."
},
{ /* factor_expansion 59 */
"Indicar si se ha reconocido el cubo de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido el cubo de una diferencia. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia cuarta de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia cuarta de una diferencia. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia de una suma. Factorizar en tal caso.",
"Indicar si se ha reconocido la potencia de una diferencia. Factorizar en tal caso."
},
{ /* sigma_notation 60 */
"El t�rmino general de la suma indexada, bajo el signo $\\sum $, no depende del �ndice sumatorio; as� que la suma es igual al producto del t�rmino general por el n�mero de t�rminos de esa suma",
"Tratar de obtener el signo negativo fuera del signo $\\sum $.",
"Extraer las constantes fuera del signo $\\sum $",
"Descomponer en dos o en m�s la suma, aplicando esta regla $\\sum (u+v) = \\sum u + \\sum v$",
"Descomponer en dos la suma, aplicando esta regla $\\sum (u-v) = \\sum u - \\sum v$",
"Desarrollar la suma indexada seg�n la notaci�n $\\sum $ como una suma ordinaria, expresada con el signo $+$.",
"Hay una f�rmula para la suma de los primeros $n$ enteros naturales.",
"Hay una f�rmula para la suma de los primeros $n$ cuadrados.",
"Hay una f�rmula expl�cita para la sumatoria de una progresi�n geom�trica, $1+x+..+x^n$.",
"Mostrar los primeros t�rminos.", /* Not used en auto mode */
"Calcular la suma indexadas de notaci�n $\\sum $, expresando el resultado de la sumatoria como una fracci�n racional.",
"Calcular en decimal.", /* Not used en auto mode */
"Calcular la suma indexadas de notaci�n $\\sum $, expresando el resultado de la sumatoria como una fracci�n racional.",
"Calcular en decimal.", /* Not used en auto mode */
"Expresar el t�rmino general de la sumatoria como una funci�n polin�mica de la suma indexada.",
"Esta es una suma telesc�pica: una parte de sus t�rminos se simplifica con otra, la de los t�rminos sucesivos."
},
{ /* advanced_sigma_notation 61*/
"Trasladar el �ndice de la sumatoria. En otras palabras, sumar el mismo n�mero a los dos terminales del conjunto de �ndices, y adaptar el t�rmino general de la suma a fin de dejarlo sin cambios, representando los mismos t�rminos.",
"Renombrar la variable �ndice.",
"Un producto de dos sumatorias se convierte en una doble sumatoria: $(\\sum u)(\\sum v) = \\sum \\sum uv$",
"Separar el ultimo t�rmino de la sumatoria, para poder aplicar la hip�tesis de inducci�n.",
"Hay una f�rmula para la suma de los primeros $n$ cubos.",
"Hay una f�rmula para la suma de las primeras $n$ potencias cuartas.",
"Se puede diferenciar t�rmino por t�rmino. Osea, la derivada de una suma finita es la suma de las derivadas.",
"Extraer el signo de derivaci�n fuera de la sumatoria. Seleccionar la sumatoria completa para activar esta opci�n.",
"Se puede integrar t�rmino por t�rmino. Osea, la integral en un intervalo de una suma finita de funciones integrables en ese intervalo, es la suma de las integrales en ese intervalos de esas funciones.",
"Extraer el signo de integraci�n fuera de la sumatoria. Seleccionar la sumatoria completa para activar esta opci�n.",
"Incorporar una constante a la sumatoria.",
"Si el nuevo valor m�nimo del �ndice de la sumatoria fuese cero, ser�a posible resolver este problema.",
"Si el nuevo valor m�nimo del �ndice de la sumatoria fuese diferente, ser�a posible resolver este problema."
},
{ /* prove_by_induction 62*/
"Seleccionar la variable de inducci�n, la que se emplea para indexar el razonamiento por recurrencia.",
"Comenzar con el caso base, comprobando la propiedad para el primer valor del �ndice de recurrencia.",
"Comenzar el paso de inducci�n o etapa general de recurrencia, que muestra el paso de $n$ a $n+1$.",
"Ahora, aplicar la hip�tesis de inducci�n.",
"Contando con todos los elementos, pasar a la conclusi�n"
},
{ /* trig_ineq */
"Recordar que la funci�n seno toma valores entre $-1$ y 1: $|sin u| \\le 1$",
"Recordar que la funci�n coseno toma valores entre $-1$ y 1: $|cos u| \\le 1$",
"$sin u \\le u$ si $u\\ge 0$",
"$1 - u^2/2 \\le cos u$",
"Por definici�n de funci�n arcotangente, resulta $|arctan u| \\le \\pi /2$",
"Si $u\\ge 0$, entonces $arctan u \\le u$.",
"Si $u\\ge 0$, entonces $u \\le tan u$."
},
{ /* log_ineq1 */
"La funci�n logaritmo natural, cuya notaci�n es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La funci�n logaritmo decimal, cuya notaci�n es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq2 */
"La funci�n logaritmo natural, cuya notaci�n es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La funci�n logaritmo decimal, cuya notaci�n es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq3 */
"La funci�n logaritmo natural, cuya notaci�n es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La funci�n logaritmo decimal, cuya notaci�n es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
},
{ /* log_ineq4 */
"La funci�n logaritmo natural, cuya notaci�n es ln, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"La funci�n logaritmo decimal, cuya notaci�n es log, es estrictamente creciente. Si ambos miembros de una desigualdad son estrictamente positivos, se puede extraer su log.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Tratar de eliminar los logaritmos formul�ndolos como potencias.",
"Funciones exponenciales controlan los polinomios.",
"Funciones algebraicas controlan los logaritmos.",
},
{ /* logarithms_base10 */
"Vale tener en cuenta que: log $a$ es un n�mero tal que $10^log a = a$.",
"Un log en el exponente se puede simplificar aplicando la regla: $10^(n log a) = a^n$",
"Vale tener en cuenta que: $log 10^n = n$, al menos para $n$ real.",
"Vale tener en cuenta que: logaritmo de 1 es 0.",
"Vale tener en cuenta que: log 10 es 1.",
"Expresar el logaritmo en t�rminos de ln aplicando la f�rmula $log a = (ln a)/(ln 10)$.",
"Toda potencia $u^v$ puede expresarse aplicando logaritmos como $10^(v log u)$.",
"Al factorizar un n�mero, se lo puede descomponer en sus logaritmos.",
"Se puede simplificar un logaritmo decimal al factorizarlo en potencias de 10.",
"log(a/b) = -log(b/a)",
"log(b,a/c) = -log(b,c/a)"
},
{ /* logarithms */
"Descomponer logaritmos de potencias aplicando esta regla $log a^n = n log a$.",
"Para multiplicar, sumar los logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log ab = log a + log b$.",
"El logaritmo del inverso es el opuesto del logaritmo: $log 1/a = -log a$",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a/b = log a - log b$",
"Para multiplicar, sumar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a + log b = log ab$",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $log a - log b = log a/b$",
"Para multiplicar o dividir, sumar o restar logaritmos: si $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $log a + log b - log c =log ab/c$",
"Se puede incorporar un factor al interior del logaritmo aplicando esta regla: si $a>0$, entonces para todo real $n$, se verifica que $n log a = log a^n$.",
"Los logaritmos de ra�ces cuadradas se simplifican seg�n la regla, v�lida para todo $a>0$: $log \\sqrt a = 1/2 log a$",
"Los logaritmos de ra�ces e$n$-�sima se simplifican seg�n la regla, v�lida para todo $a>0$: $log ^n\\sqrt a = (1/n) log a$",
"El log de 1 es 0.",
"Factorizar un n�mero completamente facilita la simplificaci�n de su logaritmo.",
"La factorizaci�n en potencias de 10 facilita simplificar al logaritmo decimal.",
"Tratar de expresar $log(u)$ como $1/a log u^a$",
"Se pueden calcular logaritmos num�ricamente.",
"Expresar el logaritmo en t�rminos de ln aplicando la f�rmula $log a = (ln a)/(ln 10)$."
},
{ /* logarithms_base_e */
"Un logaritmo en un exponente se puede simplificar aplicando esta regla: si $a>0$, entonces $e^ln a = a$.",
"ln e = 1",
"ln 1 = 0",
"Para todo n�mero real $n$, resulta $ln e^n = n$.",
"Toda potencia de la forme $u^v$ puede expresarse como $e^(v ln u)$.",
"Un logaritmo en una potencia se puede simplificar aplicando esta regla: si $c>0$, entonces $e^((ln c) a) = c^a$"
},
{ /* natural_logarithms */
"$ln a^n = n ln a$.",
"Para multiplicar, sumar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln ab = ln a + ln b$.",
"El logaritmo del inverso es el opuesto del logaritmo: $ln 1/a = -ln a$.",
"Para dividir, restar logaritmos: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a/b = ln a - ln b$.",
"ln 1 = 0",
"Factorizar un n�mero completamente.",
"Las sumas de logaritmos naturales se agrupan seg�n esta regla: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a + ln b = ln ab$.",
"Las diferencias de logaritmos naturales se agrupan seg�n esta regla: si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ln a - ln b = ln a/b$.",
"Para multiplicar o dividir, sumar o restar logaritmos naturales: si $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $ln a + ln b - ln c = ln (ab/c)$.",
"Para todo n�mero real $n$, resulta $n ln a = ln a^n$",
"Los logaritmos naturales de ra�ces cuadradas se simplifican seg�n la regla, v�lida para todo $a>0$: $ln \\sqrt a = \\onehalf ln a$.",
"Los logaritmos naturales de ra�ces e$n$-�sima se simplifican seg�n la regla, v�lida para todo $a>0$: $ln ^n\\sqrt a = (1/n) ln a$.",
"Tratar de expresar $ln(1+v)$ como $v ln((1+v)^(1/v))$, empleando la definici�n de $e$ como l�mite.",
"Se pueden calcular logaritmos num�ricamente.",
"ln(a/b) = -ln(b/a)"
},
{ /* reverse_trig */
"Aplicar la f�rmula rec�proca del seno de una suma.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca del seno de una diferencia.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca del coseno de una suma.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca del coseno de una diferencia.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca de la tangente de medio �ngulo.",
"Aplicar una de la f�rmulas para la tangente de medio �ngulo.",
"Aplicar una de la f�rmulas para la cotangente de medio �ngulo.",
"Aplicar una de la f�rmulas para la cotangente de medio �ngulo.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca de la tangente de una suma.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca de la tangente de una diferencia.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca para la cotangente de una suma.",
"Aplicar la f�rmula rec�proca para la cotangente de una diferencia.",
"Expresar $1 - cos \\theta $ como $2 sin^2(\\theta /2)$"
},
{ /* complex_polar_form 73 */
"Expresar el n�mero complejo en forma polar",
"Desarrollar el exponencial complejo con formulaci�n asociada a $sin$ y $cos$",
"La imagen de un real mediante la funci�n exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"La imagen de un real mediante la funci�n exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"La imagen de un real mediante la funci�n exponencial compleja es un punto de la circunferencia unitaria, que es por lo tanto, de valor absoluto 1.",
"El signo menos puede eliminarse aplicando esta regla: $-a = ae^(i\\pi )$.",
"La funci�n ra�z e$n$-�sima compleja no es en general ni par ni impar: dado que $a$ es complejo, $^n\\sqrt (-a)$ no equivale a $-^n\\sqrt a$ cuando se opera con n�meros complejos. Hay un factor complejo tal que: $\\sqrt (-a) = e^(\\pi i/n) ^n\\sqrt a$.",
"Los exponentes complejos debieran organizarse en el numerador.",
"Aplicar la f�rmula de De Moivre para obtener la expresi�n de las $n$ ra�ces e$n$-�sima de un n�mero complejo.",
"Reemplazar el par�metro entero por n�meros espec�ficos para obtener una lista completa de las soluciones."
},
{ /* logs_to_any_base */
"Aplicar la definici�n de un logaritmos en base $b$: para todo real $a>0$, $b^(log(b,a)) = a$",
"Un logaritmo en el exponente se puede simplificar aplicando la regla: $b^(n log(b,a)) = a^n$ v�lida para todo real $a>0$.",
"$log(b,b) = 1$",
"$log(b,b^n) = n$",
"El logaritmo de cualquier base, de un producto, se puede simplificar aplicando esta regla: si $x$ y $y$ son reales positivos, entonces $log xy = log x + log y$",
"El logaritmo de cualquier base, del inverso de un n�mero, se puede simplificar aplicando esta regla: para todo real $x>0$, $log (1/x) = -log x$.",
"Para dividir, restar los logaritmos: si $x$ y $y$ son reales positivos, entonces $log x/y = log x-log y$",
"$log(b,1) = 0$.",
"Factorizar la base de logaritmos; por ejemplo, $log(4,x)=log(2^2,x)$",
"Para todo real $x>0$, todo entero $n>0$, y todo real $b>1$, $log(b^n, x) = (1/n) log (b, x)$.",
"Para todo real $x>0$, y todo real $n$, $log x^n = n log x$.",
"Factorizar las potencias de la base de los logaritmos.",
"Para todo real $x$ y $y$ positivos, $log x + log y = log xy$.",
"Para todo real $x$ y $y$ positivos, $log x - log y = log x/y$.",
"Para todo real $x$, $y$ y $z$ positivos, $log x + log y - log z =log xy/z$.",
"Para todo real $x$ positivos y todo real $n$, $n log x = log x^n$.",
},
{ /* change_base */
"Convertir los logaritmos en logaritmos naturales.",
"Convertir los logaritmos a la base 10.",
"Convertir la base de los logaritmos.",
"Convertir los logaritmos en una base com�n, aplicando esta regla: $log(b^n,x) = (1/n) log (b,x)$",
"La notaci�n de la funci�n logar�tmica decimal, es decir de base 10, es log",
"La notaci�n de la funci�n logar�tmica natural, es decir de base $e$, es ln",
"Convertir log a ln",
"Convertir ln a log",
"Expresar la potencia con la variable en el exponente, con la f�rmula: $u^v = b^(v log(b,u))$."
},
{ /* evaluate_trig_functions 76 */
"La funci�n seno vale cero en cero.",
"La funci�n coseno vale uno en cero.",
"La funci�n tangente vale cero en cero.",
"Los ceros de la funci�n seno son m�ltiplos de $\\pi $",
"La funci�n coseno toma valor 1 en todos los m�ltiplos pares de $\\pi $",
"Los ceros de la funci�n tangente son m�ltiplos de $\\pi $",
"Como las funciones trigonom�tricas son peri�dicas, se debe encontrar un �ngulo representante del resultado entre 0 y $360\\deg$. Seleccionar una funci�n trigonom�trica con un argumento en el intervalo apropiado.",
"Como las funciones trigonom�tricas son peri�dicas, se debe encontrar un �ngulo representante del resultado entre 0 y $2\\pi $. Seleccionar una funci�n trigonom�trica con un argumento en el intervalo apropiado.",
"Se conocen los valores de cada funci�n trigonom�trica cuando el �ngulo es un m�ltiplo de $90\\deg$.",
"Aplicar las relaciones de un tri�ngulo de lados $1-2-\\sqrt 3$.",
"Aplicar las relaciones de un tri�ngulo de lados $1-1-\\sqrt 2$.",
"Convertir radianes en grados.",
"Convertir grados en radianes.",
"Expresar el �ngulo bajo la forma $a 30\\deg + b 45\\deg $; donde se pueden aplicar las f�rmulas de suma por tramos. ",
"Evaluae num�ricamente."
},
{ /* basic_trig */
"Expresar la funci�n tangente en t�rminos de las funciones seno y coseno.",
"Expresar la funci�n cotangente en t�rminos de la funci�n tangente.",
"Expresar la funci�n cotangente en t�rminos de las funciones seno y coseno.",
"Expresar la funci�n secante en t�rminos de la funci�n coseno.",
"Expresar la funci�n cosecante en t�rminos de la funci�n seno.",
"Combinar seno y coseno en tangente",
"Combinar coseno y seno en cotangente"
}
};
/*_________________________________________________*/
const char *Spanish_hints(int n, int m)
/* Borland's compiler chokes if all the hints are put into
a single array. Therefore they are divided into two
smaller arrays. The dimension of the first array is
calculated so that it will not be sensitive to a
change of dimension of hintstrings1. If in the future
it chokes again on hints1, you can just move the bottom
array of strings from hints1 to hints2.
*/
{ int nitems; /* number of menus represented in hintstrings1 */
nitems = sizeof(hintstrings1) / (MAXLENGTH * sizeof(char *));
if(n < nitems)
return hintstrings1[n][m];
else
return Spanish_hints2(n-nitems,m);
}
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