Sindbad~EG File Manager
/* M. Beeson, for MathXpert.
status-line help for operations menus, in English
Translate text between quotes, except don't translate text
between dollar signs.
Original date 8.31.95
modified 7.30.98
12.29.98 added seven more lines in binomial_theorem
1.14.99 added one more line in advanced_sigma_notation
1.14.99 changed "Vereinfacht eine Ungleichung" to "Vereinfacht eine Ungleichung"
in several lines.
2.19.99 added numerical_calculation2 menu.
4.2.00 four more lines in absolute_value_ineq2
6.24.04 four more lines in complex_numbers
1.23.06 added two lines in advanced_sigma_notation
5.3.13 changed names of exported functions
5.24.13 two more in first menu
removed last item in trig_sum
6.3.13 added one more to signed_fractions menu
6.4.13 one more under log_ineq4 and two under fractional exponents
6.5.13 one more under log_ineq4
*/
#include <assert.h>
#define ENGLISH_DLL
#include "export.h" /* don't translate this or the next 3 lines */
#include "mtext.h"
#include "operator.h"
#include "english1.h"
static const char arithhelp[] = "Berechnet Ausdr�cke ausschlie�lich unter Verwendung exakter rationaler Arithmetik.";
static const char *ophelp1[][MAXLENGTH] =
/* let the first dimension be calculated by the compiler from the
initialization. */
{
{ /* numerical_calculation1 */
arithhelp,
"F�hrt dezimale Arithmetik aus, die allerdings nicht exakt ist.",
"Beispiel: $\\sqrt 2 = 1.414214$",
"Beispiel: 2^(1/2) = 1.414214",
"Beispiel: ln 2.0 = 0.69315. Berechnet auch sin, tan, etc.",
"Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$.",
"Sie werden aufgefordert werden einen Wert f�r die Variablen (bzw. Variablen) einzugeben",
"Ersetzt $\\pi $ durch einen angen�herten Dezimalwert, 3.14159235...",
"Ersetzt $e$ durch einen n�herungsweisen Dezimalwert, 2.718281828...",
"Berechnet den numerischen Wert einer Funktion mithilfe der Definition der Funktion.",
"Beispiel: x^3-x+1 = (x+1.32472)(x^2 - 1.32472 x + 0.754878)",
"Bewerten Bernoulli Zahl auf eine rationale Zahl",
"Bewerten Euler Zahl auf eine rationale Zahl"
},
{ /* numerical_calculation2 */
"Verwandelt Dezimalzahlen in Br�che. Mit Vorsicht zu genie�en bei n�herungsweisen Werten.",
"Beispiel: 64 = 8^2",
"Beispiel: 1000 = 10^3",
"Beispiel: 256 = 4^4. Sie werden aufgefordert werden, einen Exponenten einzugeben.",
"Beispiel: 256 = 4^4. Sie werden aufgefordert werden, eine Basis einzugeben.",
"Beispiele: 36 = 6^2, or 256 = 2^8.",
"Beispiel: 3 ist ausgew�hlt, Sie geben 2 ein, das Ergebnis ist 2 + 1.",
},
{ /* complex_arithmetic */
"Das ist die wichtigste Eigenschaft der komplexen Zahl i.",
"Beispiele: i^4 = 1, i^8 = 1, i^12 = 1",
"Beispiele: i^5 = i, i^9 = i, i^(-3) = i",
"Beispiel: i^6 = -1",
"Beispiel: i^7 = -i",
"F�hrt exakte Arithmetik (aber ohne Potenzrechnung) komplexer Zahlen aus.",
"Beispiel, $(1+i)^2 = \\sqrt 2 i$.",
"F�hrt exakte Arithmetik (einschlie�lich Potenzrechnung) komplexer Zahlen aus.",
"F�hrt n�herungsweise Arithmetik f�r komplexe Zahlen mit dezimalen Real- bzw. Imagin�rteilen aus.",
"Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$.",
"Zerlegt ganze Zahl in komplexe Primzahlpotenzen, z.B. 5 = (1+2i)(1-2i)",
"Beispiel: -3+4i = (1+2i)^2",
"Beispiel: $\\sqrt $i = 0.707168 + 0.707168 i",
"Beispiel, i^(1/2) = 0.707168 + 0.707168 i",
"Beispiel, cos i = 1.543080635",
"Zeigt den Wert eines Ausdrucks an, nachdem Sie Werte f�r die Variablen eingegeben haben.",
},
{ /* simplify_sums */
"L�sst doppelte Minuszeichen weg.",
"Beispiel: -(x^2 - 2x + 1) wird zu x^2 + 2x - 1",
"Beispiel: -x-5 wird zu -(x+5)",
arithhelp,
"Wendet Assoziativgesetz an. Beispiel: (a+b) + (c+d) = a+b+c+d",
"Ordnet Summanden in Standardreihenfolge an. Beispiel: y+x = x+y",
"Beispiel: x^2 + 0 + 5 = x^2 + 5",
"Beispiel: x^2 + x + sin x - x = x^2 + sin x",
"Beispiel: x^2 + 3x + 2x = x^2 + 5x",
"Beispiel: x^2 + 3x + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 5x",
"Kommutativgesetz: vertauscht zwei Summanden.",
"Beispiel: 5(1-x) wird zu -5(x-1)",
"Beispiel: -5x wird zu 5(-x)",
"Beispiel: -5xy wird zu 5x(-y)",
"Beispiel: 5x(-y)z wird zu 5xy(-z)"
},
{ /*simplify_products */
"Beispiel: $2^100\\times 0$ wird zu 0",
"L�sst Faktoren, die 1 sind, weg.",
"Zieht Minuszeichen aus Produkt raus und schreibt es vor das Produkt.",
"Zieht Minuszeichen aus Produkt raus und schreibt es vor das Produkt.",
"Zieht Minuszeichen aus Produkt raus und schreibt es vor das Produkt.",
"Wendet Assoziativgesetz an. Beispiel: (3x^2)(yz) = 3x^2yz",
"Beispiel: $2x\\times 3y$ = 6xy",
"Ordnet Faktoren in Standardreihenfolge an. Beispiel: yx = xy",
"Wendet das Gesetz x^n x^m = x^(n+m) an. Beispiel: x^2x^3 = x^5.",
"Distributivgesetz. Beispiel: x(x^2 + 1) = x^3 + x.",
"Beispiel: (x-2)(x+2) = x^2-4",
"Beispiel: (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9",
"Beispiel: (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9",
"Beispiel: (x-1)(x^2+2x+1) = x^3-1",
"Beispiel: (x+1)(x^2-2x+1) = x^3+1",
"Kommutativgesetz: vertauscht zwei Faktoren in einem Produkt"
},
{ /* expand_menu */
"Beispiel: (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2",
"Multipliziert Produkte von Summen im Z�hler aus, aber nicht im Nenner.",
"Multipliziert Produkte von Summen im Nenner aus, aber nicht im Z�hler.",
"Beispiel: 3x = x + x + x"
},
{ /* fractions */
"Null geteilt durch irgendetwas, das ungleich null ist, ist null.",
"Teilen durch 1 ver�ndert einen Ausdruck nicht.",
"Definition des Kehrwerts. Beispiel, $2 \\times (1/2) = 1$",
"Beispiel, (3/4)(x/y) = 3x/(4y)",
"Beispiel, 3(x/2) = 3x/2",
"Beispiel: x^2 y / x = xy",
"Addiert Br�che, die denselben Nenner haben, durch Addition der Z�hler.",
"Teilt einen Bruch, dessen Z�hler eine Summe ist, in zwei oder mehr Br�che auf.",
"Teilt $(a\\pm b)/c$ in mehrere Br�che auf, falls sich einer der resultierenden Br�che k�rzen l�sst. ",
"Beispiel: (x^2 + 2x + 2)/(x+1) = x+1 + 1/(x+1)",
"K�rzt den gr��ten gemeinsamen Faktor von Z�hler und Nenner.",
"Beispiel: 2x/3y = (2/3)(x/y)",
"Beispiel: $(x^2 + y^2)/\\sqrt 2 = (1/\\sqrt 2) x^2 + y^2$",
"Beispiel: $3e^(it)/\\sqrt 2 = (3/\\sqrt 2) e^(it)$",
"Beispiel: ax/(2y) = (a/2)(x/y)",
"Beispiel: $\\sqrt 3x/2 = (\\sqrt 3/2)x$"
},
{ /* signed_fractions */
"K�rzt ein Minuszeichen aus Z�hler und Nenner.",
"Schiebt ein Minuszeichen in den Z�hler.",
"Schiebt ein Minuszeichen in den Nenner.",
"Zieht ein Z�hler aus dem Z�hler raus.",
"Zieht ein Minuszeichen aus dem Nenner raus.",
"Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Z�hler raus.",
"Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Nenner raus.",
"Vertauscht zwei Summanden im Nenner und passt das Vorzeichen an.",
"Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Nenner raus.",
"Zieht Minuszeichen aus einer Summe im Z�hler raus.",
"Vertauscht zwei Summanden im Nenner und passt das Vorzeichen an.",
"Beispiel: (1-x)/(3-x) = (x-1)/(x-3)",
"Beispiel: 2x/3 = 2(x/3)",
"Beispiel: 1/(x(1-x^2)) = (1/x)(1/(1-x^2)"
},
{ /* compound_fractions */
"Beispiel: x/2 /(y/2) = x/y",
"Beispiel: 3/(2/x) = 3x/2",
"Beispiel: 1/(2/x) = x/2",
"Beispiel: (3/2)/x = 3/(2x)",
"Beispiel: (2/3)/x = (2/3)(1/x)",
"Beispiel: (2/3)x/y = 2x/3y",
"Beispiel: 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1)^2",
"Findet gemeinsamen Nenner einer Summe von Br�che innerhalb eines gr��eren Bruchs."
},
{ /* common_denominators */
"Beispiel: 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1)^2",
"Beispiel: 1/x + 1/y = 1/x(y/y) + (1/y)(x/x)",
"Genau wie bei finde gemeinsamen Nenner, ignoriert in einer Summe aber Ausdr�cke, die keine Br�che sind.",
"Beispiel: (x/2)(y/3) = xy/6",
"Beispiel: 2(x/y) = 2x/y",
"Ordnet Faktoren eines Produkts in Standardreihenfolge an. Beispiel: yx = xy",
"Addiert Br�che, die denselben Nenner haben, durch Addition der Z�hler.",
"Beispiel: 1/x + 1/y + 1 = (y+x+xy)/(xy)",
"Beispiel: 1/x + 1/y + 1 = (y+x)/(xy) + 1",
"Beispiel: y/x + x/y = (x^2+y^2)/xy",
"Ignoriert Ausdr�cke, die keine Br�che sind, bearbeitet also nur die Br�che.",
"Sie geben an, womit multipliziert werden soll. Beispiel, x/y = x^2/xy, falls Sie x eingeben."
},
{ /* exponents */
"Etwas hoch null ist 1; nur 0^0 ist undefiniert.",
"Die erste Potenz von x ist einfach x.",
"Null hoch irgend eine positive Zahl ist wieder null.",
"1 hoch irgend ein Zahl ist wieder 1.",
"Beispiele: (-1)^4 = 1 and (-1)^3 = -1",
"$c\\in Z$ bedeutet, dass c eine ganze Zahl ist.",
"Hier muss die Zahl $a$ positiv sein.",
"Vorausgesetzt die neuen Z�hler und Nenner sind definiert.",
"Beispiel: (2x)^2 = 4x^2",
"Beispiel: (x+1)^2 = x^2+2x+1",
"Beispiel: (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1",
"Wendet das Gesetz x^n x^m = x^(n+m) an. Beispiel: x^2x^3 = x^5.",
"Beispiel: 3^(2+x) = 3^2 3^x",
"Beispiel: a^2/b^2 = (a/b)^2",
"Beispiel: x^5/x^3 = x^2",
"Beispiel: x^3/x^5 = 1/x^2"
},
{ /* expand_powers */
"Beispiel: (x+1)^2 = (x+1)(x+1)",
"Beispiel: (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1)",
"Beispiel: (x+1)^4 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1)",
"Beispiel: x^5 = x^2 x^3. Sie geben die 2 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.",
"Beispiel: (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1",
"Beispiel: (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1",
"Beispiel: (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1",
"Beispiel: 2^(2n)=(2^2)^n",
"Beispiel: 2^(2n)=(2^n)^2",
"Beispiel: 2^(2nm) = 2^(2n)^m",
"Beispiel: 1/2^n = (1/2)^n"
},
{ /* negative_exponents */
"Beseitigt einen konstanten negativen Exponenten",
"Beseitigt einen konstanten negativen Exponenten",
"Beseitigt einen negativen Exponenten.",
"Beseitigt einen negativen Exponenten. Beispiel: x^(-2) = 1/x^2",
"Beseitigt einen negativen Exponenten. Beispiel: x^(-2)/3 = 1/(3x^2)",
"Beseitigt einen negativen Exponenten im Nenner. Beispiel: 1/x^(-2) = x^2",
"Beseitigt einen negativen Exponenten im Nenner. Beispiel: 3/x^(-2) = 3x^2",
"Beispiel: 2/x = 2x^(-1)",
"Beispiel: (2/x)^(-2) = (x/2)^2",
"Beispiel: x^5/x^3 = x^2",
"Beispiel: x^3/x^5 = 1/x^2",
"Beispiel: x^(n-2) = x^n/x^2"
},
{ /* square_roots */
"Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\\sqrt 2\\sqrt x = \\sqrt (2x)$",
"Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\\sqrt (2x) = \\sqrt 2\\sqrt x$",
"Beispiel: $\\sqrt (4y) = 2\\sqrt y$",
"Quadrieren und die Quadratwurzel ziehen sind invers zueinander, solange x nichtnegativ ist.",
"Wenn Sie das Vorzeichen von x nicht kennen, m�ssen Sie die Betragsstriche verwenden.",
"Beispiel: $\\sqrt 8 = \\sqrt 2^3$",
"Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel: $\\sqrt (x/2) = \\sqrt x/\\sqrt 2$",
"Wenn Sie die Vorzeichen von x und y nicht kennen, m�ssen Sie die Betragsstriche verwenden.",
"Vorausgesetzt beide Seiten sind definiert. Beispiel $\\sqrt x/\\sqrt 2 = \\sqrt (x/2)$",
"Da $\\sqrt x \\sqrt x = x$ nach Definition von $\\sqrt $. Nat�rlich muss x nichtnegativ sein.",
"Da $\\sqrt x \\sqrt x = x$ nach Definition von $\\sqrt $. Nat�rlich muss x nichtnegativ sein.",
"Beispiel, $(\\sqrt x)^6 = x^3$",
"Beispiel, $(\\sqrt x)^5 = x^2\\sqrt x$",
"Berechnet Quadratwurzel, wenn die Wurzel eine rationale Zahl ist. Beispiel, $\\sqrt 16 = 4$",
"Berechnet einen n�herungsweisen Dezimalwert von Wurzeln. Beispiel, $\\sqrt 2$ = 1.41416...",
"Berechnet keine Quadratwurzeln bzw. Wurzeln; f�hrt (andere) arithmetische Umformungen durch."
},
{ /* advanced_square_roots */
"Beispiel: $\\sqrt (x^2+2x+1)/\\sqrt (x^2-1) = \\sqrt (x+1)^2/\\sqrt (x-1)(x+1)$",
"Beispiel: $\\sqrt (x^2+2x+1) = \\sqrt (x+1)^2$",
"Beispiel: $1/(1-\\sqrt x) = (1+\\sqrt x)/((1-\\sqrt x)(1+\\sqrt x))$, um $(1+\\sqrt x)/(1-x)$ zu erhalten.",
"Beispiel: $(1-\\sqrt x)/(1+\\sqrt x) = (1-\\sqrt x)(1+\\sqrt x)/(1+\\sqrt x)^2$, um $(1-x)/(1+\\sqrt x)^2$ zu erhalten",
"Wenn sie das Vorzeichen von x nicht kennen, m�ssen Sie die Betragsstriche verwenden.",
"Beispiel: $\\sqrt (2x)/\\sqrt 2 = \\sqrt x$",
"Multipliziert Produkte von Summen unter einer Wurzel aus.",
"Die Operation a^2-b^2 = (a-b)(a+b) erzeugt keine neue Wurzel; diese Operation erzeugt eine.",
"$^2\\sqrt $ und $\\sqrt $ sind zwei Symbole, die dieselbe Bedeutung haben.",
"Beispiel: $\\sqrt x = ^4\\sqrt x^2$. Sie werden aufgefordert werden, ein n einzugeben.",
"Beispiel: $\\sqrt x = (^4\\sqrt x)^2$. Sie werden aufgefordert werden, ein n einzugeben.",
"Beispiel: $\\sqrt x^4 = x^2$",
"Beispiel: $\\sqrt x^5 = x^2 \\sqrt x$",
"Der Faktor vor der Wurzel muss nichtnegativ sein.",
"Beispiel: $1/(1-\\sqrt x) = (1+\\sqrt x)/(1-x)$"
},
{ /* fractional_exponents */
"Dr�ckt $\\onehalf $ im Exponenten als Quadratwurzel aus.",
"Beispiel: $a^(5/2) = \\sqrt (a^5)$",
"Beispiel: $a^(5/3) = ^3\\sqrt (a^5)$",
"Dr�ckt eine Quadratwurzel aus durch einen Exponenten von $\\onehalf $",
"Dr�ckt eine Wurzel aus durch einen Bruch im Exponenten.",
"Beispiel: $^3\\sqrt x^2 = x^(2/3)$",
"Beispiel: $(^3\\sqrt x)^2 = x^(2/3)$",
"Beispiel: $(\\sqrt x)^3 = x^(3/2)$",
"Dr�ckt $1/\\sqrt x$ durch einen negativen Bruch im Exponenten aus.",
"Dr�ckt den Kehrwert einer Wurzel durch einen negativen Bruch im Exponenten aus.",
"Beispiel: (-1)^(5/3) = -1. Verwendet keine komplexen Wurzeln.",
"Beispiel: 8^(2/3) = (2^3)^(2/3)",
"Beispiel: x/x^(1/3) = (x^3/x)^(1/3)",
"Beispiel: x^(1/3)/x = (x/x^3)^(1/3)",
"Beispiel: x^(n/2) = (\\sqrt x)^n",
"Beispiel: x^(n/3) = (^3\\root x)^n"
},
{ /*nth_roots */
"Beispiel: $^3\\sqrt 5^3\\sqrt x = ^3\\sqrt (5x)$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (2x) = ^3\\sqrt 2 ^3\\sqrt x$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x^2 = (^3\\sqrt x)^2$",
"Beispiel $^3\\sqrt x^5 = x ^3\\sqrt x^2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (x^3) = x$", /* rootofpower */
"Beispiel: $^3\\sqrt x^6 =x^2$",
"Beispiel: $^6\\sqrt x^3 = \\sqrt x$", /* rootofpower2 */
"Beispiel: $^9\\sqrt x^3) = ^3\\sqrt x$", /* rootofpower4 */
"Beispiel: $(^3\\sqrt x)^3 = x$", /* powerofroot */
"Beispiel: $(^3\\sqrt a)^2 = ^3\\sqrt (a^2)$", /* powerofroot2 */
"Beispiel $(^3\\sqrt a)^8 = a^2 ^n\\sqrt a^2$", /* powerofroot3 */
"Beispiel: $^3\\sqrt 12 = ^3\\sqrt (2^2\\times 3)$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (-a) = -^3\\sqrt a$, n ungerade",
"F�hrt arithmetische Umformungen aus, wobei rationale Werte von Wurzeln berechnet werden, wenn m�glich.",
"Beispiel: $^3\\sqrt (x^3+3x^2+3x+1) = ^3\\sqrt (x+1)^3$",
"Multipliziert Summen von Produkten unter einem Wurzelzeichen aus."
},
{ /* roots_of_roots */
"Beispiel: $\\sqrt (\\sqrt 2) = ^4\\sqrt 2$",
"Beispiel: $\\sqrt (^3\\sqrt 2) = ^6\\sqrt 2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (\\sqrt 2) = ^6\\sqrt 2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (^4\\sqrt 2) = ^(12)\\sqrt 2$"
},
{ /* roots_and_fractions */
"Schreibt die Wurzel eines Quotienten als Quotient von Wurzeln",
"Schreibt einen Quotienten von Wurzeln als Wurzel eines Quotienten",
"Beispiel: $x/^3\\sqrt x = (^3\\sqrt x)^2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x/x = 1/(^3\\sqrt x)^2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (2x)/^3\\sqrt (2y) = ^3\\sqrt x/^3\\sqrt y$",
"Beispiel: $^n\\sqrt (2a)/^n\\sqrt a = ^n\\sqrt 2$",
"Findet den gr��ten gemeinsamen Teiler von u und v und klammert ihn aus u und v aus",
"Beispiel: $x^3\\sqrt y = ^3\\sqrt (x^3y)$",
"Beispiel: $x^2(^4\\sqrt y) = ^4\\sqrt (x^8y)$",
"Beispiel: $-^3\\sqrt 2 = ^3\\sqrt (-2)$",
"Beispiel: $x/^3\\sqrt x = ^3\\sqrt (x^3/x)$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x/x = ^3\\sqrt (x/x^3)$",
"Beispiel: $x^2/\\sqrt x = \\sqrt (x^4/x)$",
"Beispiel: $\\sqrt x/x^2 = \\sqrt (x/x^4)$",
"Beispiel: $(^6\\sqrt x)^2 = ^3\\sqrt x$",
"Beispiel: $(^4\\sqrt x)^2 = \\sqrt x$"
},
{ /* complex_numbers */
"Da i^2 = -1 ist, gilt 1/i = -i",
"Da i^2 = -1 ist, gilt a/i = -ai",
"Da i^2 = -1 ist, gilt a/(bi) = -ai/b",
"Nach Definition gilt i = $\\sqrt (-1)$",
"Beispiel: $\\sqrt (-3) = i\\sqrt 3$",
"Beispiel: $1/i^3 = i$",
"Beispiel: $(x-i)(x+i) = x^2+1$",
"Zerlegt die Summe zweier Quadratzahlen in zwei komplexe Faktoren.",
"Das ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras.",
"Das ist die Definition des Betrags einer komplexen Zahl.",
"Beispiel: $(3 + 5i)/2 = (3/2) + (5/2)i$",
"Bringt eine komplexe Zahl in die Standardform $u+vi$",
"Beispiel: $\\sqrt i = sqrt(1/2) + sqrt(1/2) i$",
"Beispiel: $\\sqrt(-i) = sqrt(1/2) - sqrt(1/2) i$",
"Beispiel: $\\sqrt(3+4i) = sqrt((5+3)/2) + sqrt((5-3)/2) i$",
"Beispiel: $\\sqrt(3-4i) = sqrt((5+3)/2) - sqrt((5-3)/2) i$"
},
{ /* factoring */
"Beispiel: 2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1)",
"Beispiel: x^2 + x + 1/4 = (1/4) (4x^2+ 4x + 1)",
"Beispiel: x^3y^2-x^3 = x^3(y^2-1)",
"Beispiel: x^5 - x^3 = x^3(x^2-1)",
"Beispiel: x^2+2x+1 = (x+1)^2",
"Beispiel: x^2-2x+1 = (x-1)^2",
"Beispiel: x^2-1 = (x-1)(x+1)",
"Beispiel: x^2-3x+1 = (x-2)(x-1)",
"Beispiel: $x^2-x-1 = (x-1/2-\\sqrt 5/2)(x-1/2+\\sqrt 5/2)$",
"Beispiel: x^8 = (x^4)^2",
"Beispiel: $a^2b^2 = (ab)^2$",
"Beispiel: $4x^2 + 6x + 9 = 2^2x^2 + 2\\times 3x + 3^2$",
"Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$",
"Sie k�nnen einen neuen Buchstaben definieren, um den Ausdruck zu vereinfachen.",
"Ersetzt eine bereits definierte Variable durch ihre Definition innerhalb einer Zeile.",
"Beim L�sen von Gleichungen werden Konstanten anders behandelt als Variablen.",
},
{ /* advanced_factoring */
"Es wird keine neue Variable benutzt.",
"Es wird keine neue Variable benutzt.",
"Beispiel: x^12 = (x^4)^3",
"Beispiel: x^12 = (x^3)^4. Sie geben die 4 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.",
"Faktorisiert die Differenz zweier kubischer Ausdr�cke. Beispiel: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$",
"Faktorisiert die Summe zweier kubischer Ausdr�cke. Beispiel: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$",
"Beispiel: x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)",
"Beispiel: x^4-1 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1)",
"Beispiel: x^5+1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)",
"Beispiel: $x^4+1 =(x^2-\\sqrt 2x+1)(x^2+\\sqrt 2x+1)$",
"Beispiel (mit p=5, q=3): $x^4+x^2+25=(x^2-3x+5)(x^2+3x+5)$",
"Sie w�hlen keinen Term aus, sondern �berlassen es MathExperte eine gute Substitution zu finden.",
"Sie geben einen Faktor ein und MathExperte bestimmt den anderen Faktor durch Polynomdivision.",
"Probiert systematisch alle m�glichen linearen Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten aus.",
"Teilt die Summe in zwei Gruppen, um dann ihren gr��ten gemeinsamen Teiler auszuklammern.",
"Schreibt den Ausdruck als Polynom des ausgew�hlten Terms."
},
{ /* solve_equations */
"Beispiel: 3=x wird zu x=3",
"Beispiel: -x = -3 wird zu x = 3",
"Beispiel: x-3 = 2 wird zu x = 5",
"Beispiel: x+3 = 5 wird zu x = 2",
"Beispiel: x-3 = 5 wird zu x = 8",
"Beispiel: x^2 = x-1 wird zu x^2-x+1 = 0",
"Beispiel: x/2 = x + 1 wird zu x = 2x + 2",
"Beispiel: 2x = 4 wird zu x = 2",
"Beispiel: $\\sqrt x = 3$ wird zu x = 9",
"Beispiel: x+y = 3+y wird zu x = 3",
"Beispiel: 2x^2 = 2 wird zu x^2 = 1",
"Beispiel: x^2 = x-1 wird zu x^2-x+1 = 0",
"Beispiel: 3x = 3x wird zu 'wahr'",
"Beispiel: $\\sqrt x = -\\sqrt x$ wird zu x = -x",
"Beispiel: $\\sqrt x = -\\sqrt x$ wird zu $\\sqrt x = 0$",
"Beispiel: $-\\sqrt x = \\sqrt x$ wird zu $\\sqrt x = 0$",
},
{ /* quadratic_equations */
"aus ab=0 folgt a=0 oder b=0",
"Wendet p,q-Formel an",
"$x = -b/2a \\pm \\sqrt (b^2-4ac)/2a$",
"Erg�nzt quadratisch",
"Zieht Wurzel aus beiden Seiten",
"Multipliziert mit Nennern der beiden Seiten",
"b^2-4ac < 0 => es gibt keine reellen Wurzeln",
"Verwenden Sie dies, wenn das Vorzeichen von $a$ nicht bestimmt werden kann.",
arithhelp
},
{ /* numerical_equations */
"Berechnet beide Seiten f�r einen Wert der Unbekannten, den Sie eingeben.",
"Sie werden aufgefordert, zwei Werte einzugeben, zwischen denen bekannterma�en eine L�sung liegt.",
},
{ /* advanced_equations */
"Beispiel: x/3 = (x-1)/4 wird zu 4x = 3(x-1)",
"Potenziert beide Seiten. Die neue Gleichung hat evtl. zus�tzliche L�sungen.",
"Beispiel: x^2 = 9 wird zu [x = 3, x = -3]",
"Beispiel: x^3 = 8 wird zu x = 2",
"Sie werden aufgefordert, eine Funktion anzugeben, die auf beide Seiten angewandt wird.",
"Bringe Summen von Br�chen auf einen gemeinsamen Nenner.",
"Beispiel: (x^2-1)(x-2) = 0 wird zu [x^2-1=0, x=2]",
"Beispiel: ax^2=ax wird zu [a=0, x^2=x]",
"W�hrend Sie die ausgew�hlte Gleichung bearbeiten, werden die anderen Gleichungen ausgeblendet.",
"Die Gleichungen, die Sie vor einiger Zeit ausgeblendet haben, werden wieder angezeigt werden.",
"Doppelte L�sungen k�nnen zusammengefasst werden.",
"Dies funktioniert, falls die vorgeschlagene Substitution eine alte Variable verschwinden l�sst.",
"Ersetzt eine Variable durch ihre Definition innerhalb einer Zeile.",
"Beispiel: $x = \\sqrt -3$ bei der Suche nach reellen L�sungen.",
"Einige Operationen haben m�glicherweise Wurzeln erzeugt, die die urspr�ngliche Gleichung gar nicht erf�llen.",
"Beispiel: 3x-1 = x+1 wird zu x=1"
},
{ /* cubic_equations */
"Diese Substitution l�sst den quadratischen Ausdruck verschwinden.",
"Die Diskriminante einer kubischen Gleichung cx^3+ax+b ist $D = b^2/4c + a^3/27c^3$.",
"Zeigt die kubische Gleichung erneut an, so dass Sie wieder an ihr arbeiten k�nnen.",
"Diese Substitution verwandelt die Gleichung in einen quadratischen Ausdruck in y^3.",
"In cx^3+ax+b=0: $x=^3\\sqrt (-b/2c+\\sqrt D)+^3\\sqrt (-b/2c-\\sqrt D), wobei D = b^2/4c + a^3/27c^3.",
"In cx^3-ax+b=0: $x=[2\\sqrt (a/3)cos(t/3),2\\sqrt (a/3)cos(t+2pi/3),2\\sqrt (a/3)cos(t+4pi/3)]$, wobei $cos t = -b/(2c)\\sqrt (27/a^3)$.",
"In cx^3+ax+b=0: $x=[^3\\sqrt (-b/2c+\\sqrt D)+^3\\sqrt (-b/2c-\\sqrt D),(1/2)^3\\sqrt (-b/2c+\\sqrt D)+^3\\sqrt (-b/2c-\\sqrt D) \\pm (\\sqrt 3/2)(^3\\sqrt (-b/2c+\\sqrt D)-^3\\sqrt (-b/2c-\\sqrt D)]$",
"Substituiert $x = f(u)$, wobei $x$ eine alte und $u$ eine neue Variable ist.",
"Eliminiert eine definierte Variable durch Verwendung ihrer Definition.",
"Beispiel: Wenn $n$ in $1-k$ ge�ndert wird, dann ist das Ergebnis �quivalent zum vorigen Ausdruck, weil $1-k$ alle ganzen Zahlen durchl�uft.",
"Berechnet Quadratwurzeln und $n$-te Wurzeln, wenn das Ergebnis eine rationale Zahl ist.",
"Berechnet numerische Gr��en durch angen�herte Dezimalzahlen.",
"F�hrt algebraische Vereinfachungen durch."
},
{ /* logarithmic_equations */
"Beispiel: $ln x = 2$ wird zu $x = e^2$",
"Beispiel: $ln x = 2$ wird zu $x = e^2$",
"Beispiel: $log x = 2$ wird zu $x = 100$",
"Beispiel: $log(3,x) = 2$ wird zu $x = 9$",
"Beispiel: $10^(x+1) = 10^(2x)$ wird zu $x+1 = 2x$",
"Beispiel: $10^x = 3$ wird zu $x = log 3$",
"Beispiel: $e^x = 3$ wird zu $x = ln 3$",
"Der Logarithmus von negativen Zahlen ist nicht definiert.",
},
{ /* cramers_rule */
"Cramersche Regel",
"Berechnet eine numerische Determinante bzw. eine symbolische Determinante mit 2 oder 3 Parametern.",
},
{ /* several_linear_equations*/
"Beispiel: $x-1 = 2+y$ wird zu $x - y = 1$",
"Beispiel: $2x + 3 + x = 5$ wird zu $3x + 3 = 5$",
"Schreibt die Terme in derselben Variablen in eine Spalte.",
"Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die Gleichungsnummer und die Zahl, mit der diese Gleichung multipliziert werden soll, einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die Gleichungsnummer und die Zahl, durch die diese Gleichung geteilt werden soll, einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern und den Faktor einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern und den Faktor einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die beiden Gleichungsnummern einzugeben",
"Beispiel: $y=1$, $x=2$ wird zu $x=2$, $y=1$.",
"Streicht eine Gleichung, die zu einer identischen Gleichung, wie z.B. 2=2, vereinfacht wurde.",
"Sie geben eine Variable an, die im weiteren Verlauf der Rechnung als Konstante angesehen wird.",
"Beispiel: Wenn Sie $x = 5$, $x = 2$ hergeleitet haben, dann k�nnen die Gleichungen nicht erf�llt werden."
},
{ /* selection_mode_only */
"Schreibt eine nichtnegative Gr��e in die Betragsfunktion.",
"Schreibt einen nichtnegativen Nenner in die Betragsfunktion.",
"Schreibt einen nichtnegativen Bruch in die Betragsfunktion.",
"L�st eine lineare Gleichung nach der ausgew�hlten Variablen auf."
},
{ /* linear_equations_by_selection */
"Sie werden nach der Nummer der Gleichung gefragt, die ver�ndert werden soll.",
"Sie werden nach der Nummer der Gleichung gefragt, die ver�ndert werden soll.",
"Sie werden gefragt, womit die ausgew�hlte Gleichung multipliziert werden soll.",
"Sie werden gefragt, wodurch die ausgew�hlte Gleichung geteilt werden soll.",
"Sie werden aufgefordert, den Multiplikator und die Zielgleichung einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, den Multiplikator und die Zielgleichung einzugeben.",
"Sie werden nach der Nummer der anderen Gleichung gefragt.",
"Sie werden aufgefordert, eine Variable auszuw�hlen.",
"Sie werden nach der Nummer der Zeile, die ver�ndert werden soll, gefragt.",
"Sie werden nach der Nummer der Zeile, die ver�ndert werden soll, gefragt.",
"Sie werden aufgefordert, einen Multiplikator einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, einen Divisor einzugeben.",
"Sie werden nach dem Multiplikator und der anderen Zeilennummer gefragt.",
"Sie werden nach dem Multiplikator und der anderen Zeilennummer gefragt.",
"Sie werden nach der Nummer der anderen Zeile gefragt.",
"F�gt auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix ein zur Berechnung der inversen Matrix."
},
{ /* linear_equations_by_substitution */
"Beispiel: $2x + 3y + x = 5$ wird zu $3x + 3y = 5$.",
"Sie werden aufgefordert, eine Gleichungsnummer auszuw�hlen und dann eine Variable.",
"F�hrt algebraische Vereinfachungen durch.",
"Beispiel: $x + y = x + 2$ wird zu $y = 2$",
"Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuw�hlen und einzugeben, was addiert werden soll.",
"Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuw�hlen und einzugeben, was subtrahiert werden soll.",
"Sie werden aufgefordert, eine Gleichung auszuw�hlen und einen Divisor einzugeben.",
"Wenn eine Gleichung gel�st ist, k�nnen Sie sie in die anderen Gleichungen einsetzen.",
"Beispiel: Wenn Sie $x=2$ und $x=5$ hergeleitet haben, dann k�nnen die Gleichungen nicht erf�llt werden."
},
{ /* matrix_methods */
"Schreibt Gleichungssystem in Matrixform",
"F�gt auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix ein zur Berechung der inversen Matrix.",
"Sie werden gefragt, welche beiden Gleichungen vertauscht werden sollen.",
"Sie werden nach den Nummern der beiden Zeilen gefragt.",
"Sie werden nach den Nummern der beiden Zeilen gefragt.",
"Sie werden aufgefordert, die Zeilennummer und den Multiplikator einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, die Zeilennummer und den Divisor einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, zwei Zeilennummern und den Multiplikator einzugeben.",
"Sie werden aufgefordert, zwei Zeilennummern und den Multiplikator einzugeben.",
"Multipliziert Matrizen.",
"Benutzen Sie dies, wenn eine Spalte nur aus Nullen besteht.",
"Benutzen Sie dies, wenn eine Zeile nur aus Nullen besteht.",
"Benutzen Sie dies, wenn zwei Zeilen identisch sind.",
"Benutzen Sie dies, wenn zwei Zeilen zwar auf der linken Seite �bereinstimmen, aber nicht auf der rechten.",
"Schreibt eine Gleichung von zwei Matrizen, die beide nur aus einer einzigen Spalte bestehen, als Gleichungssystem."
},
{ /* advanced_matrix_methods */
"Multipliziert Matrizen",
"Die inverse Matrix wird hier noch nicht berechnet, sondern nur mit einem Symbol bezeichnet.",
"Berechnet die inverse Matrix einer 2x2-Matrix.",
"Verwendet exakte Arithmetik und kann mit Symbolen rechnen. Falls die inverse Matrix existiert, ist das Ergebnis exakt.",
"Bei numerischen Matrizen anwendbar. Berechnet die inverse Matrix unter Verwendung dezimaler Arithmetik mit einer begrenzten Genauigkeit."
},
{ /* absolute_value */
"L�sst die Betragsstriche um eine nichtnegative Gr��e weg.",
"Beispiel: $ |x-2| = x-2$, was eine neue Voraussetzung erzeugt, $x\\ge 2$.",
"Beispiel: |-2| = 2",
"Beispiel: |2u| = 2|u|",
"Beispiel: |u/2| = |u|/2",
"Beispiel: |x-1||x+1| = |(x-1)(x+1|",
"Beispiel: |(x-1)(x+1)| = |x-1||x+1|",
"Beispiel: |(x-1)/x| = |x-1| / |x|",
"Beispiel: |x^2-1| / |x-1| = |(x^2-1)/(x-1)|",
"Beispiel: |x|^4 =x^4",
"Beispiel: |u^3|=|u|^3",
"Bei reellen u ist der Betrag auf der rechten Seite �berfl�ssig.",
"Beispiel: $|^3\\sqrt u| = ^3\\sqrt |u|$",
"K�rzt ohne die Betragsstriche zu beachten.",
"K�rzt ohne die Betragsstriche zu beachten.",
"Klammert den gr��ten gemeinsamen Teiler von Z�hler und Nenner aus.",
},
{ /* absolute_value_ineq1 */
"Beispiel: |x|=2 wird zu [x = 2, x = -2]",
"Beispiele: |x|/x = x-2 wird zu [x-2 = 1, x-2 = -1]",
"Beispiel: |x| < 2 wird zu -2 < u < 2",
"Beispiel: $|x| \\le 2$ wird zu $-2 \\le u \\le 2$",
"Beispiel: 2 < |x| genau dann, wenn x < -2 oder 2 < x",
"Beispiel: $2 \\le |x|$ genau dann, wenn $x \\le -2$ oder $2 \\le x$",
"Beispiel: |x-1| = x-1 wird zu $0 \\le x-1$",
"Beispiel: |x-1| = 1-x wird zu $x-1 \\le 0$",
"Beispiel: $0 \\le |x^2+1|$ gilt immer.",
"Beispiel: $-5 \\le |x^2+1|$ gilt immer.",
"Beispiel: $-5 < |x^2+1|$ gilt immer.",
"Beispiel: |x^2+1| < 0 hat keine L�sung.",
"Beispiel: |x| < -5 hat keine L�sung.",
"Beispiel: $|x| \\le -5$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $|x^3-x| \\le -x^2$ wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen.",
"Beispiel: |x^3-x| = -x^2 wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen."
},
{ /* absolute_value_ineq2 */
"Beispiel: 2 > |x| wird zu -2 < x < 2",
"Beispiel: $2 \\ge |x|$ wird zu $-2 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: |x| > 2 genau dann, wenn -2 > x oder x > 2",
"Beispiel: $|x| \\ge 2$ genau dann, wenn $-2 \\ge x$ oder $x \\ge 2$",
"Beispiel: $|x^2-1| \\ge 0$ ist wahr.",
"Beispiel: 0 > |x^2-1| hat keine L�sung.",
"Beispiel: -5 > |x| hat keine L�sung.",
"Beispiel: $-5 \\ge |x|$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $-x^2 \\ge |x^3-x|$ wird zu x^3-x = 0 und es wird x=0 angenommen.",
"Beispiel: |x| > -5 ist wahr",
"Beispiel: $|x| \\ge -5$ ist wahr",
"Example: $-2 \\le u \\le 2$ becomes $|x| \\le 2$",
"Example: x < -2 or 2 < x iff 2 < |x|",
"Example: x^4 = |x|^4",
"Example: |u|^3 = |u^3|"
},
{ /* less_than */
"Beispiel: 2 < x wird zu x > 2",
"Beispiel: x-2 < 5 wird zu x<7. Sie w�hlen die 2.",
"Beispiel: x+2 < 5 wird zu x=3. Sie w�hlen die 2.",
"Beispiel: -2 < -x wird zu x < 2.",
"Beispiel: -x < - 2 wird zu x > 2.",
"Beispiel: x/3 < 1 wird zu x < 3. Sie w�hlen die 3.",
" x/(x-1) < 2 wird zu x(x-1) < 2(x-1)^2, wenn Sie x-1 eingeben.",
"Beispiel: 5x < 10 wird zu x < 2. Sie w�hlen die 5.",
"Ergibt 'Keine L�sung' bzw. 'wahr', wenn in der Gleichung nur Zahlen vorkommen.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'Keine L�sung'.",
"u < v wird zu u^2 < v^2 vorausgesetzt u ist nichtnegativ. $0\\le v$ wird abgeleitet bzw. vorausgesetzt.",
"u < v wird zu [u^2 < v^2, u<=0]. Verwenden Sie dies, wenn u auch negativ sein kann.",
"Beispiel: x<4 oder x=4 wird zu $x\\le 4$. Das \"or\" ist bei Klammerschreibweise implizit gegeben.",
"Beispiel: 1<x oder 2<x wird zu 1<x",
"Verwenden Sie die Voraussetzungen, um L�sungen zu verwerfen oder zu verbessern, so dass sie die urspr�ngliche Ungleichung erf�llen."
},
{ /* greater_than */
"Beispiel: 2 > x wird zu x < 2",
"Beispiel: -x > -2 wird zu x < 2",
"Beispiel: -2 > -x wird zu x > 2",
"Beispiel: x^2 > -1 ist wahr",
"Beispiel: -1 > x^2 ist falsch",
"Beispiel: 2 > x wird zu [4 > x^2, x < 0]",
"Beispiel: [x > 2, x = 2] wird zu $x \\ge 2$"
},
{ /* less_than_or_equal */
"Beispiel: $x \\le 2$ wird zu $2 \\ge x$",
"Beispiel: $x-2 \\le 5$ wird zu $x\\le 7$. Sie w�hlen die 2.",
"Beispiel: $x+2 \\le 5$ wird zu x=3. Sie w�hlen die 2.",
"Beispiel: $-2 \\le -x$ wird zu $x \\le 2$.",
"Beispiel: $x \\le -2$ wird zu $x \\ge 2$.",
"Beispiel: $x/3 \\le 1$ wird zu $x \\le 3$. Sie w�hlen die 3.",
"Beispiel: $x/(x-1) \\le 2$ wird zu $x(x-1) \\le 2(x-1)^2$. Sie w�hlen x-1",
"Beispiel: $x/5 \\le 10$ wird zu $x \\le 2$. Sie w�hlen die 5.",
"Ergibt 'Keine L�sung' bzw. 'wahr', wenn in der Gleichung nur Zahlen vorkommen.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'Keine L�sung'." ,
"$u \\le v$ wird zu $u^2 \\le v^2$ vorausgesetzt u ist nichtnegativ. $0\\le v$ wird abgeleitet bzw. vorausgesetzt.",
"$u \\le v$ wird zu $u^2 \\le v^2$ oder $u\\le 0$. Verwenden Sie dies, wenn u auch negativ sein kann.",
"Beispiel: $1\\le x$ oder $2\\le x$ wird zu $1\\le x$",
"Verwenden Sie die Voraussetzungen, um L�sungen zu verwerfen oder zu verbessern, so dass sie die urspr�ngliche Ungleichung erf�llen."
},
{ /* greater_than_or_equal */
"Beispiel: $2 \\ge x$ wird zu $x \\le 2$",
"Beispiel: $-x \\ge -2$ wird zu $x \\le 2$",
"Beispiel: $-2 \\ge -x$ wird zu $x \\ge 2$",
"Beispiel: $x^2 \\ge -1$ ist wahr",
"Beispiel: $-1 \\ge x^2$ ist falsch",
"Beispiel: $2 \\ge x$ wird zu $[4 \\ge x^2, x \\le 0]$"
},
{ /* square_ineq1 */
"Beispiel: x^2 < 4 wird zu |x| < 2",
"Beispiel: x^2 < 4 wird zu -2 < x < 2",
"Beispiel: 4 < x^2 wird zu 2 < |x|",
"Beispiel: 4 < x^2 wird zu [x < -2, 2 < x]",
"Beispiel: 4 < x^2 < 9 wird zu [-3 < x < -2, 2 < x < 3]",
"Beispiel -2 < x^2 < 9 wird zu x^2 < 9",
"Beispiel: $-2 < x^2 \\le 9$ wird zu $x^2 \\le 9$",
"Beispiel: $\\sqrt x < 2$ wird zu $0 \\le x < 4$",
"Beispiel: $2\\sqrt x < 2$ wird zu $0 \\le 4x < 4$",
"Beispiel: $2 < \\sqrt x$ wird zu 4 < x",
"Beispiel: $x^2 < a => x < \\sqrt a$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird. ",
"Beispiel: $-1 < x^2$ gilt immer.",
"Beispiel: $x^2 < -1$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $-1 < \\sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \\le x^2 -1$"
},
{ /* square_ineq2 */
"Beispiel: $x^2 \\le 4$ wird zu $|x| \\le 2$",
"Beispiel: $x^2 \\le 4$ wird zu $-2 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: $4 \\le x^2$ wird zu $2 \\le |x|$",
"Beispiel: $4 \\le x^2$ wird zu $[x \\le -2, 2 \\le x]$",
"Beispiel: $4 \\le x^2 \\le 9$ wird zu $[-3 \\le x \\le -2, 2 \\le x \\le 3]$",
"Beispiel: $-2 \\le x^2 \\le 9$ wird zu $x^2 \\le 9$",
"Beispiel: $-2 \\le x^2 < 9$ wird zu $x^2 < 9$",
"Beispiel: $\\sqrt x \\le 2$ wird zu $0 \\le x \\le 4$",
"Beispiel: $2\\sqrt x \\le 2$ wird zu $0 \\le 4x \\le 4$",
"Beispiel: $2 \\le \\sqrt x$ wird zu $4 \\le x$",
"Beispiel: $x^2 \\le a => x \\le \\sqrt a$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $-1 \\le x^2$ gilt immer.",
"Beispiel: $x^2 \\le -1$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $-1 \\le sqrt(x^2 - 1)$ wird zu $0 \\le x^2 -1$"
},
{ /* recip_ineq1 */
"$1/x < a$ genau dann, wenn $x < 0$ or $1/a < x$, vorausgesetzt $a > 0$",
"$a < 1/x$ genau dann, wenn $0 < x < 1/a$ vorausgesetzt $a > 0$",
"$1/x < -a$ genau dann, wenn $-1/a < x < 0$ vorausgesetzt $a > 0$",
"$-a < 1/x$ genau dann, wenn $x < -1/a$ or $0 < x$ vorausgesetzt $a > 0$",
"Beispiel: $1 < x < 2$ wird zu $1/2 < x < 1$",
"Beispiel: $1 < x \\le 2$ wird zu $1/2 \\le x < 1$",
"Beispiel: $-2 < 1/x < -1$ wird zu $-1 < x < -1/2$",
"Beispiel: $-2 < 1/x \\le -1$ wird zu $-1 \\le x < -1/2$",
"Beispiel: -2 < 1/x < 3 wird zu [x < -1/2, 1/3 < x]",
"Beispiel: $-2 < 1/x \\le 3$ wird zu $[x < -1/2, 1/3 \\le x]$"
},
{ /* recip_ineq2 */
"$1/x \\le a$ genau dann, wenn x < 0 or $1/a \\le x$, vorausgesetzt $a > 0$",
"$a \\le 1/x$ genau dann, wenn $0 < x \\le 1/a$ vorausgesetzt $a > 0$",
"$1/x \\le -a$ genau dann, wenn $-1/a \\le x < 0$ vorausgesetzt $a > 0$",
"$-a \\le 1/x$ genau dann, wenn $x \\le -1/a$ or 0 < x vorausgesetzt $a > 0$",
"Beispiel: $1 \\le 1/x < 2$ wird zu $1/2 < x \\le 1$",
"Beispiel: $1 \\le 1/x \\le 2$ wird zu $1/2 \\le x \\le 1$",
"Beispiel: $-2 \\le 1/x < -1$ wird zu $-1 < x \\le -1/2$",
"Beispiel: $-2 \\le 1/x \\le -1$ wird zu $-1 \\le x \\le -1/2$",
"Beispiel: $-2 \\le 1/x < 3$ wird zu $[x \\le -1/2, 1/3 < x]$",
"Beispiel: $-2 \\le 1/x \\le 3$ wird zu $[x \\le -1/2, 1/3 \\le x]$"
},
{ /* root_ineq1 */
"Beispiel: x^3 < 27 wird zu x < 3",
"Beispiel: x^4 < 16 wird zu |x| < 2",
"Beispiel: x^4 < 16 wird zu -2 < x < 2",
"Beispiel: 16 < x^4 wird zu 2 < |x|",
"Beispiel: 16 < x^4 wird zu [x < -2, 2 < x]",
"Beispiel: 16 < x^4 < 81 wird zu [-3 < x < -2, 2 < x < 3]",
"Beispiel: $^4\\sqrt x < 16$ wird zu $0 \\le x < 2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x < 2$ wird zu x < 8",
"Beispiel: $2 ^3\\sqrt x < 1$ wird zu 8x < 1",
"Beispiel: $2 < ^3\\sqrt x$ wird zu 8 < x",
"Beispiel: $^3\\sqrt x < 2$ wird zu x < 8",
"Beispiel: x^4 < a wird zu $x < ^4\\sqrt a$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $-1 < ^4\\sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \\le x^2 -1$"
},
{ /* root_ineq2 */
"Beispiel: $x^3 \\le 27$ wird zu $x \\le 3$",
"Beispiel: $x^4 \\le 16$ wird zu $|x| \\le 2$",
"Beispiel: $x^4 \\le 16$ wird zu $-2 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: $16 \\le x^4$ wird zu $2 \\le |x|$",
"Beispiel: $16 \\le x^4$ wird zu $[x \\le -2, 2 \\le x]$",
"Beispiel: $16 \\le x^4 < 81$ wird zu $[-3 \\le x \\le -2, 2 \\le x \\le 3]$",
"Beispiel: $^4\\sqrt x \\le 16$ genau dann, wenn $0 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x \\le 2$ wird zu $x \\le 8$",
"Beispiel: $2 ^3\\sqrt x \\le 1$ wird zu $8x \\le 1$",
"Beispiel: $2 \\le ^3\\sqrt x$ wird zu $8 \\le x$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x \\le 2$ wird zu $x \\le 8$",
"Beispiel: $x^4 \\le a$ wird zu $x \\le ^4\\sqrt a$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $-1 \\le ^4\\sqrt (x^2 - 1)$ wird zu $0 \\le x^2 -1$"
},
{ /* zero_ineq1 */
"Beispiel: 0 < x(x^2+1) wird zu 0 < x",
"Beispiel: $0 < 1/\\sqrt x$ wird zu $0 < \\sqrt x$ ",
"Beispiel: $0 < x/\\sqrt (x-1)$ wird zu 0 < x(x-1)",
"Beispiel: 0 < (x-1)/(x-2) wird zu 0 < (x-1)(x-2)",
"Beispiel: $1/\\sqrt x < 0$ wird zu $\\sqrt x < 0$",
"Beispiel: $x/\\sqrt (x-1) < 0$ wird zu $x(x-1) < 0$",
"$ax \\pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\\pm b/a) < 0$",
"u < v => v > u",
"Beispiel: (x-1)(x+1) < 0 genau dann, wenn -1 < x < 1. Funktioniert auch bei mehr Faktoren.",
"Beispiel: 0 < (x-1)(x+1) genau dann, wenn x < -1 or 1 < x. Funktioniert auch bei mehr Faktoren."
},
{ /* zero_ineq2 */
"Beispiel: $0 \\le x(x^2+1)$ wird zu $0 \\le x$",
"Beispiel: $0 \\le 1/\\sqrt x$ wird zu $0 \\le \\sqrt x$ ",
"Beispiel: $0 \\le x/\\sqrt (x-1)$ wird zu $0 \\le x(x-1)$",
"Beispiel: $0 \\le (x-1)/(x-2)$ wird zu $0 \\le (x-1)(x-2)$",
"Beispiel: $1/\\sqrt x \\le 0$ wird zu $\\sqrt x \\le 0$",
"Beispiel: $x/\\sqrt (x-1) \\le 0 $ wird zu $x(x-1) \\le 0$",
"$ax \\pm b \\le 0$ genau dann, wenn $a(x\\pm b/a) \\le 0$",
"$u \\le v => v \\le u$",
"Beispiel: $(x-1)(x+1) \\le 0$ genau dann, wenn $-1 \\le x \\le 1$. Funktioniert auch bei mehr Faktoren.",
"Beispiel: $0 \\le (x-1)(x+1)$ genau dann, wenn $x \\le -1 or 1 \\le x$. Funktioniert auch bei mehr Faktoren."
},
{ /* square_ineq3 */
"Beispiel: 4 > x^2 wird zu 2 > |x|",
"Beispiel: 4 > x^2 wird zu -2 < x < 2",
"Beispiel: x^2 > 4 wird zu |x| > 2",
"Beispiel: x^2 > 4 wird zu [x < -2, x > 2]",
"Beispiel: $2 > \\sqrt x$ wird zu $0 \\le x < 4$",
"Beispiel: $2 > 2\\sqrt x < 2$ wird zu $0 \\le 4x < 4$",
"Beispiel: $\\sqrt x > 2$ wird zu x > 4",
"Beispiel: 4 > x^2 wird zu 2 > x, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $x^2 > -1$ gilt immer.",
"Beispiel: $-1 > x^2$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $\\sqrt (x^2-1) > -1$ wird zu $x^2-1 \\ge 0$"
},
{ /* square_ineq4 */
"Beispiel: $4 \\ge x^2$ wird zu $2 \\ge |x|$",
"Beispiel: $4 \\ge x^2$ wird zu $-2 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: $x^2 \\ge 4$ wird zu $|x| \\ge 2$",
"Beispiel: $x^2 \\ge 4$ wird zu $[x \\le -2, 2 \\le x]$",
"Beispiel: $2 \\ge \\sqrt x$ wird zu $0 \\le x \\le 4$",
"Beispiel: $2 \\ge 2\\sqrt x$ wird zu $0 \\le 4x \\le 4$",
"Beispiel: $\\sqrt x \\ge 2$ wird zu $x \\ge 4$",
"Beispiel: $4 \\ge x^2$ => $2 \\ge x$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $x^2 \\ge -1$ gilt immer.",
"Beispiel: $-1 \\ge x^2$ hat keine L�sung.",
"Beispiel: $\\sqrt (x^2-1) \\ge -1$ wird zu $x^2-1 \\ge 0$"
},
{ /* recip_ineq3 */
"a > 1/x genau dann, wenn <0 oder x > 1/a, vorausgesetzt $a > 0$",
"$1/x > a$ genau dann, wenn $0 < x < 1/a$, vorausgesetzt $a > 0$",
"$-a > 1/x$ genau dann, wenn $-1/a < x < 0$, vorausgesetzt $a > 0$ ",
"$1/x > -a$ genau dann, wenn $x < -1/a$ or $x > 0$, vorausgesetzt $a > 0$"
},
{ /* recip_ineq4 */
"$a \\ge 1/x$ genau dann, wenn x<0 or $x \\ge 1/a$, vorausgesetzt a > 0",
"$1/x \\ge a$ genau dann, wenn $0 < x \\le 1/a$, vorausgesetzt a > 0",
"$-a \\ge 1/x$ genau dann, wenn $-1/a \\le x < 0$, vorausgesetzt a > 0",
"$1/x \\ge -a$ genau dann, wenn $x \\le -1/a$ or x > 0, vorausgesetzt a > 0"
},
{ /* root_ineq3 */
"Beispiel: 27 > x^3 wird zu $3 > x$",
"Beispiel: 16 > x^4 wird zu $2 > |x|$",
"Beispiel: 16 > x^4 wird zu $-2 < x < 2$",
"Beispiel: x^4 > 16 wird zu |x| > 2",
"Beispiel: x^4 > 16 wird zu [-2 > x, x > 2]",
"Beispiel: 16 < x^4 < 81 wird zu [-3 < x < -2, 2 < x < 3]",
"Beispiel: $2 > ^3\\sqrt x$ wird zu 8 > x",
"Beispiel: $1 > 2 ^3\\sqrt x$ wird zu 1 > 8x",
"Beispiel: $^3\\sqrt x > 2$ wird zu x > 8",
"Beispiel: $2 > ^3\\sqrt x$ wird zu 8 > x ",
"Beispiel: $a > x^4$ wird zu $^4\\sqrt a > x$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $^4\\sqrt (x^2 - 1) > -1$ wird zu $x^2 -1 \\ge 0$"
},
{ /* root_ineq4 */
"Beispiel: $27 \\ge x^3$ wird zu $3 \\ge x$",
"Beispiel: $16 \\ge x^4$ wird zu $2 \\ge |x|$",
"Beispiel: $16 \\ge x^4$ wird zu $-2 \\le x \\le 2$",
"Beispiel: $x^4 \\ge 16$ wird zu $|x| \\ge 2$",
"Beispiel: $x^4 \\ge 16$ wird zu $[-2 \\ge x, x \\ge 2]$",
"Beispiel: $16 \\le x^4 < 81$ wird zu $[-3 \\le x \\le -2, 2 \\le x \\le 3]$",
"Beispiel: $2 \\ge ^3\\sqrt x$ wird zu $8 \\ge x$",
"Beispiel: $1 \\ge 2 ^3\\sqrt x$ wird zu $1 \\ge 8x$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x \\ge 2$ wird zu $x \\ge 8$",
"Beispiel: $^3\\sqrt x \\le 2$ wird zu $x \\le 8$",
"Beispiel: $x^4 \\le a$ wird zu $x \\le ^4\\sqrt a$, falls $0\\le x$ schon vorausgesetzt wird.",
"Beispiel: $^4\\sqrt (x^2 - 1) \\ge -1$ wird zu $x^2 -1 \\ge 0$"
},
{ /* zero_ineq3 */
"Beispiel: $1/\\sqrt x > 0$ wird zu $\\sqrt x > 0$",
"Beispiel: $x/\\sqrt (x-1) > 0$ wird zu x(x-1) > 0",
"Beispiel: (x-1)/(x-2) > 0 wird zu (x-1)(x-2) > 0",
"Beispiel: $0 > 1/\\sqrt x$ wird zu $0 > \\sqrt x$",
"Beispiel: $0 > x/\\sqrt (x-1)$ wird zu 0 > x(x-1)",
"$0 > ax \\pm b$ genau dann, wenn $0 > a(x\\pm b/a)$",
"Beispiel: 0 > (x-1)(x+1) genau dann, wenn -1 < x < 1. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.",
"Beispiel: (x-1)(x+1) > 0 iff x < -1 or 1 < x. Funktioniert auch mit mehr Faktoren."
},
{ /* zero_ineq4 */
"Beispiel: $1/\\sqrt x \\ge 0$ wird zu $\\sqrt x \\ge 0$",
"Beispiel: $x/\\sqrt (x-1) \\ge 0$ wird zu $x(x-1) \\ge 0$",
"Beispiel: $(x-1)/(x-2) \\ge 0$ wird zu $(x-1)(x-2) \\ge 0$",
"Beispiel: $0 \\ge 1/\\sqrt x$ wird zu $0 \\ge \\sqrt x$",
"Beispiel: $0 \\ge x/\\sqrt (x-1)$ wird zu $0 \\ge x(x-1)$",
"$0 \\ge ax \\pm b$ genau dann, wenn $0 \\ge a(x\\pm b/a)$",
"Beispiel: $0 \\ge (x-1)(x+1)$ genau dann, wenn $-1 \\le x \\le 1$. Funktioniert auch mit mehr Faktoren.",
"Beispiel: $(x-1)(x+1) \\ge 0$ genau dann, wenn $x \\le -1$ or $1 \\le x$. Funktioniert auch mit mehr Faktoren."
},
{ /* binomial_theorem */
"Schreibt Term komplett aus ohne ein Summenzeichen zu verwenden. Das kann riesige Ausdr�cke erzeugen.",
"Schreibt Term mit Summenzeichen und Binomialkoeffizienten aus.",
"Ersetzt die Binomialkoeffizienten durch Fakult�ten.",
"Schreibt Fakult�ten gem�� ihrer Definition als Produkt, aber ohne sie auszumultiplizieren.",
"Berechnet den Wert einer Fakult�t. Beispiel: 6! = 720.",
arithhelp,
"Berechnet den Wert eines Binomialkoeffizienten. Beispiel: (4 2) = 6",
"Schreibt $\\sum $ mit + aus. Die Summe muss eine konstante Anzahl von Summanden haben.",
"Berechnet den Wert einer Summe mit exakter rationaler Arithmetik, falls alle Summanden Zahlen sind.",
"Beispiel: $7! = 7\\times 6!$",
"Beispiel: $7!/7 = 6!$",
"Beispiel: $7!/6! = 7$",
"Beispiel: $n!/(n-2)! = n(n-1)$",
"Beispiel: $7/7! = 1/6!$",
"Beispiel: $6!/7! = 1/7$",
"Beispiel: $(n-2)!/n! = 1/(n(n-1))$"
},
{ /* factor_expansion */
"Schreibt eine Summe als dritte Potenz einer Summe, falls m�glich.",
"Schreibt eine Summe als dritte Potenz einer Differenz, falls m�glich.",
"Schreibt eine Summe als vierte Potenz einer Summe, falls m�glich.",
"Schreibt eine Summe als vierte Potenz einer Differenz, falls m�glich.",
"Schreibt eine Summe als n-te Potenz einer Summe, falls m�glich.",
"Schreibt eine Summe als n-te Potenz einer Differenz, falls m�glich."
},
{ /* sigma_notation */
"Beispiel: Die Summe �ber 1 von 1 bis 10 ist 10.",
"Zieht ein Minuszeichen aus einem Summenzeichen raus.",
"Zieht eine Konstante aus einem Summenzeichen raus.",
"Teilt ein Summenzeichen in zwei (oder mehr) Summen auf.",
"Teilt ein Summenzeichen in zwei (oder mehr) Summen auf.",
"Schreibt $\\sum $ mit + aus. Die Summe muss eine konstante Anzahl von Summanden haben.",
"Beispiel: Die Summe �ber $i$ von $i=1$ bis 100 ist 100(101)/2 = 5050.",
"Formel f�r die Summe der ersten n Quadratzahlen.",
"Die Summe �ber x^i von $i=0$ bis n hat diese elegante geschlossene Darstellung.",
"Sie werden gefragt, wie viele Summanden explizit ausgeschrieben werden sollen.",
"Sie geben einen Parameterwert ein und anschlie�end wird die Summe mit exakter rationaler Arithmetik berechnet.",
"Sie geben einen Parameterwert ein und anschlie�en wird die Summe mit (ungenauer) Dezimalarithmetik berechnet.",
"Berechnet den Wert einer Summe, deren Summanden Zahlen sind, mit exakter Arithmetik. Keine Parameter zul�ssig.",
"Berechnet den Wert einer Summe, deren Summanden Zahlen sind, mit Dezimalarithmetik. Keine Parameter zul�ssig.",
"Dr�ckt den Summanden als Polynom in der Indexvariablen aus, falls m�glich.",
"Beispiel: Die Summe �ber 1/(k+1) - 1/k von 1 bis n wird zu 1/(n+1) - 1"
},
{ /* advanced_sigma_notation */
"Beispiel: Eine Summe von k=0 bis n wird in eine Summe von k = 1 bis n+1 umgeformt",
"Vor dem Ausmultiplizieren eines Produkts von Summen m�ssen Sie evtl. eine Variable umbenennen.",
"Formt ein Produkt von Summen in eine Doppelsumme um, wobei das Distributivgesetz verwendet wird.",
"Beispiel: �ndert eine Summe von 1 bis n+1 in eine Summe von 1 bis n plus den letzten Summanden.",
"Formel f�r die Summe der ersten n Kubikzahlen",
"Formel f�r die Summe der ersten n nat�rlichen Zahlen zur vierten Potenz",
"Vertauscht Differentiation und Summenbildung",
"Vertauscht Summenbildung und Differentiation",
"Vertauscht Integration und Summenbildung",
"Vertauscht Summenbildung und Integration",
"Multipliziert Konstante mal Summe bzw. unendliche Reihe aus.",
"Schreibt eine Summe als einer Differenz von zwei Summen mit Null als unteren Grenzwert der Summation",
"Schreibt eine Summe als einer Differenz von zwei Summen mit einen neuen unteren Grenzwert der Summation."
},
{ /* prove_by_induction */
"Sie werden aufgefordert, die Induktionsvariable zu w�hlen.",
"Sie werden aufgefordert, den Wert f�r den Induktionsanfang festzulegen.",
"Nimmt die Induktionsvoraussetzung an und stellt die Induktionsbehauptung auf.",
"Benutzt die Induktionsvoraussetzung, um die aktuelle Zeile zu vereinfachen.",
"Benutzen Sie dies nach Beendigung des Induktionsschritts, um den Beweis zu beenden."
},
{ /* trig_ineq */
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'. Beispiel: $sin x^2 \\le x^2$.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
"Vereinfacht eine Ungleichung in der beschriebenen Form zu 'wahr'.",
},
{ /* log_ineq1 */
"u < v genau dann, wenn ln u < ln v, vorausgesetzt u > 0.",
"u < v genau dann, wenn log u < log v, vorausgesetzt u > 0.",
"Beispiel: 2 < ln x wird zu e^2 < x",
"Beispiel: ln x < 2 wird zu x < e^2",
"Beispiel: 2 < log x wird zu 10^2 < x",
"Beispiel: log x < 2 wird zu x < 10^2",
"Sie geben die Zahl ? ein, die als Basis der Exponenten verwendet wird."
},
{ /* log_ineq2 */
"$u \\le v$ genau dann, wenn $ln u \\le ln v$, vorausgesetzt u > 0.",
"$u \\le v$ genau dann, wenn $log u \\le log v$, vorausgesetzt u >0.",
"Beispiel: $2 \\le ln x$ wird zu $e^2 \\le x$",
"Beispiel: $ln x \\le 2$ wird zu $x \\le e^2$.",
"Beispiel: $2 \\le log x$ wird zu $10^2 \\le x$.",
"Beispiel: $log x \\le 2$ wird zu $x \\le 10^2$.",
"Sie geben die Zahl ? ein, die als Basis der Exponenten verwendet wird."
},
{ /* log_ineq3 */
"u > v genau dann, wenn ln u > ln v, vorausgesetzt u > 0.",
"u > v genau dann, wenn log u > log v, vorausgesetzt u > 0.",
"Beispiel: ln x > 2 wird zu x > e^2.",
"Beispiel: 2 > ln x wird zu e^2 > x.",
"Beispiel: log x > 2 wird zu x > 10^2.",
"Beispiel: 2 > log x wird zu 10^2 > x.",
"Sie geben die Zahl ? ein, die als Basis der Exponenten verwendet wird."
},
{ /* log_ineq4 */
"$u \\ge v$ genau dann, wenn $ln u \\ge ln v$, vorausgesetzt u > 0",
"$u \\ge v$ genau dann, wenn $log u \\ge log v$, vorausgesetzt u >0",
"Beispiel: $ln x \\ge 2$ wird zu $x \\ge e^2$.",
"Beispiel: $2 \\ge ln x$ wird zu $e^2 \\ge x$.",
"Beispiel: $log x \\ge 2$ wird zu $x \\ge 10^2$.",
"Beispiel: $2 \\ge log x$ wird zu $10^2 \\ge x$.",
"Sie geben die Zahl ? ein, die als Basis der Exponenten verwendet wird.",
"Beispiel: $ n <2 ^ n $ f�r $ n> M $, f�r einen bestimmten, aber unbestimmte Zahl $ M $",
"Beispiel: $ln n < \\sqrt n$ for $n > M$, f�r einen bestimmten, aber unbestimmte Zahl $ M $"
},
{ /* logarithms_base10 */
"Beispiel: 10^(log 3x) wird zu 3x.",
"Beispiel: log 100 wird zu 2",
"Es gilt log 1 = 0, da 10^0 = 1 ist.",
"Es gilt log 10 = 1, da 10^1 = 1 ist.",
"Stellt Logarithmen zur Basis 10 durch nat�rliche Logarithmen dar.",
"Dr�ckt eine Potenz als 10 hoch einen Logarithmus aus.",
"Zerlegt eine ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden). Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$.",
"Beispiel: $400 = 10^2\\times 4$. Faktorisiert nicht vollst�ndig, sondern spaltet nur die 10er Potenzen ab.",
"Beispiel: 10^(2 log x) wird zu x^2.",
"Beispiel: $log (4/5) = - log (5/4)$",
"Beispiel: $log(3,4/5) = - log(3, 5/4)$"
},
{ /* logarithms */
"Beispiel: log x^3 = 3 log x",
"Beispiel: log 3x = log 3 + log x",
"Beispiel: log 1/2 = -log 2",
"Beispiel: log x/2 = log x - log 2",
"Beispiel: log 2 + log x = log 2x",
"Beispiel: log x - log 2 = log a/2",
"Beispiel: log x + log 2 - log 3 =log 2x/3",
"Beispiel: 2 log x = log x^2",
"Beispiel: $log \\sqrt 3 = \\onehalf log 3$",
"Beispiel: $log ^3\\sqrt x = (1/3) log x$",
"Es gilt log 1 = 0, da 10^0 = 1.",
"Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$.",
"Beispiel: $400 = 10^2\\times 4$. Faktorisiert nicht vollst�ndig, sondern spaltet nur die 10er Potenzen ab.",
"Sie werden aufgefordert, a einzugeben. Beispiel: log x = $\\onehalf log u^2$",
"Berechnet Logarithmen mit dezimalen N�hrungen.",
"Stellt Logarithmen zur Basis 10 durch nat�rliche Logarithmen dar."
},
{ /* logarithms_base_e */
"Dieses grundlegende Gesetz verbindet den nat�rlichen Logarithmus und die Exponentialfunktion.",
"Mit Worten: e ist die Basis des nat�rlichen Logarithmus.",
"Der nat�rliche Logarithmus von 1 ist 0, da e^0 = 1.",
"Beispiel: ln e^2 = 2",
"Dr�ckt eine beliebige Potenz als $e$ hoch einen nat�rlichen Logarithmus aus.",
"Vereinfacht einen nat�rlichen Logarithmus im Exponenten von $e$."
},
{ /* natural_logarithms */ /* menu 70 */
"Beispiel: ln x^2 = 2 ln x",
"Beispiel: ln 2x = ln 2 + ln x",
"Beispiel: ln 1/2 = -ln 2",
"Beispiel: ln x/2 = ln x - ln 2",
"Der nat�rliche Logarithmus von 1 ist 0, da e^0 = 1.",
"Zerlegt ganze Zahl (kleiner als 4 Milliarden) in Primfaktoren. Beispiel: $360 = 2^3\\times 3^2\\times 5$.",
"Beispiel: ln (x-1) + ln (x+1) = ln (x-1)(x+1)",
"Beispiel: ln x - ln 2 = ln x/2",
"Beispiel: ln x + ln 2 - ln 3 = ln (2x/3)",
"Beispiel: 2 ln x = ln x^2",
"Beispiel: $ln \\sqrt 3 = \\onehalf ln 3$",
"Beispiel: $ln ^3\\sqrt x = (1/3) ln x$",
"Sie werden aufgefordert, a einzugeben. Beispiel: ln (1 + 1/n) = 1/n ln(1+1/n)^n",
"Berechnet nat�rliche Logarithmen mit dezimalen N�herungen.",
"Beispiel: $ln (4/5) = - ln (5/4)$"
},
{ /* reverse_trig */
"Beispiel: $sin x cos(\\pi /2) + cos x sin(\\pi /2) = sin(x+\\pi /2)$",
"Beispiel: $sin x cos(\\pi /2) - cos x sin(\\pi /2) = sin(x-\\pi /2)$",
"Beispiel: $cos x cos(\\pi /2) - sin x sin(\\pi /2) = cos(x+\\pi /2)$",
"Beispiel: $cos x cos(\\pi /2) + sin x sin(\\pi /2) = cos(x-\\pi /2)$",
"Beispiel: (sin 4u)/(1+cos 4u) = tan 2u",
"Beispiel: (1-cos 4u)/sin 4u = tan 2u",
"Beispiel: (1+cos 4u)/sin 4u = cot 2u",
"Beispiel: (sin 4u)/(1-cos 4u) = cot 2u",
"Beispiel: $(tan x + tan \\pi /2)/(1-tan x tan \\pi /2) = tan(x+\\pi /2)$",
"Beispiel: $(tan x - tan \\pi /2)/(1+tan x tan \\pi /2) = tan(x-\\pi /2)$",
"Beispiel: $(cot x cot(\\pi /4) - 1)/(cot x + cot \\pi /4) = cot(x+\\pi /4)$",
"Beispiel: $(1 + cot x cot \\pi /4)/(cot \\pi /4 - cot x) = cot(x-\\pi /4)$",
"Beispiel: $1-cos(\\pi /3)$ becomes $2sin^2 \\pi /6$"
},
{ /* complex_polar_form */
"Wandelt x + iy in Polarkoordinatendarstellung $r e^(i\\theta )$ um.",
"Dr�ckt eine komplexe Exponentialfunktion durch Kosinus und Sinus aus.",
"Da $e^(i\\theta )$ auf dem Einheitskreis liegt, ist der Betrag davon 1.",
"Da $Re^(i\\theta )$ auf einem Kreis mit Radius R liegt, ist der Betrag davon R.",
"Wenn das Vorzeichen von R nicht bekannt ist, braucht man den Betrag auf der rechten Seite.",
"Beispiel: $-2 = 2e^(i\\pi )$",
"Beispiel: $^3\\sqrt (-2) = e^(\\pi i/3) ^3\\sqrt 2$",
"Beispiel: 2/(3e^t) = 2e^(-t)/3",
"Beispiel: x^3 = 1 wird zu $x = e^(2k\\pi i/3)$",
"Beispiel: $x = e^(2k\\pi i/3)$ wird zu $[x=1, x=e^(2\\pi i/3), x=e^(4\\pi i/3)]$"
},
{ /* logs_to_any_base */
"Beispiel: 2^(log(2,3)) = 3",
"Der Logarithmus von b zur Basis b ist 1.",
"Der Logarithmus von b^n zur Basis b ist n.",
"Beispiel: log 2x = log 2 + log x",
"Beispiel: $log (\\onehalf ) = -log 2$",
"Beispiel: log x/2 = log x - log 2",
"Der Logarithmus von 1 zu irgendeiner Basis ist null, da b^0 = 1.",
"Nachdem Sie dies angewendet haben, werden Sie die Basis �ndern k�nnen.",
"Beispiel: $log(3^2,x) = \\onehalf log (3,x)$",
"Beispiel: log x^2 = 2 log x",
"Beispiel: $log(2, 84) = log(2,2^2\\times 21)$",
"Beispiel: log 2 + log x = log 2x",
"Beispiel: log x - log 2 = log x/2",
"Beispiel: log x + log 2 - log 3 =log 2x/3",
"Beispiel: 2 log x = log x^2",
"Beispiel: 5^(2 log(5,x)) wird zu x^2"
},
{ /* change_base */
"Stellt Logarithmen zur Basis b durch nat�rliche Logarithmen dar",
"Stellt Logarithmen zur Basis b durch Logarithmen zur Basis 10 dar.",
"Stellt Logarithmen zur Basis b durch Logarithmen zur Basis a dar.",
"Beispiel: log(3^2,x) = (1/2) log (3,x)",
"Definition von log",
"Mit Worten: e ist die Basis des nat�rlichen Logarithmus.",
"Stellt Logarithmen zur Basis 10 durch nat�rliche Logarithmen dar.",
"Stellt nat�rliche Logarithmen durch Logarithmen zur Basis 10 dar.",
"Beispiel: x^5 wird zu 3^5 log(3,x)"
},
{ /* evaluate_trig_functions */
"sin 0 = 0",
"cos 0 = 1",
"tan 0 = 0",
"Sinus wird null bei allen Vielfachen von $\\pi $.",
"Kosinus ist 1 bei allen geraden Vielfachen von $2\\pi $.",
"Tangens ist null bei allen Vielfachen von $\\pi $.",
"Beispiel: $sin 370\\deg = sin 10\\deg $",
"Beispiel: $sin 9\\pi /4 = sin \\pi /4$",
"Beispiele: $sin 3\\pi /2 = -1; cos 180\\deg = -1; cot 90\\deg = 0$.",
"Beispiele: $sin 30\\deg = 1/2; cos \\pi /3 = 1/2; tan 2\\pi /3 = -\\sqrt 3$.",
"Beispiele: $sin 45\\deg = 1/\\sqrt 2; tan 3\\pi /4 = -1$.",
"$\\pi $ Radianten = 180 Grad = Halbkreis",
"180 Grad = $\\pi $ Radianten = Halbkreis",
"Beispiel: $15\\deg = 45\\deg - 30\\deg $. Verwenden Sie dies, um $sin 15\\deg $ genau zu berechnen.",
"Berechnet Winkelfunktionen mit dezimalen N�herungen."
},
{ /* basic_trig */
"Dr�ckt tan durch sin und cos aus",
"Dr�ckt cot durch tan aus",
"Dr�ckt cot durch sin und cos aus",
"Definition von sec",
"Definition von scs",
"Definition von tan",
"Definition von cot"
},
{ /* trig_reciprocals */
"Der Kehrwert vom Sinus ist der Kosekans.",
"Der Kehrwert vom Kosinus ist der Sekans.",
"Der Kehrwert vom Tangens ist der Kotangens",
"Der Kehrwert vom Tangens kann durch sin und cos ausgedr�ckt werden.",
"Der Kehrwert vom Kotangens ist der Tangens",
"Der Kehrwert vom Kotangens kann durch sin und cos ausgedr�ckt werden.",
"Der Kehrwert vom Sekans ist der Kosinus",
"Der Kehrwert vom Kosekans ist der Sinus.",
"Der Kehrwert vom Sinus ist der Kosekans",
"Definition von sec",
"Dr�ckt tan durch cot aus"
},
{ /* trig_squares */
"Diese fundamentale Gleichung ist eigentlich der Satz des Pythagoras in Verkleidung.",
"Verwenden Sie diese Form von $sin^2 u + cos^2 u = 1$, um $1 - sin^2 u$ zu vereinfachen.",
"Verwenden Sie diese Form von $sin^2 u + cos^2 u = 1$, um $1 - cos^2 u$ zu vereinfachen.",
"Dr�ckt $sin^2$ durch $cos^2$ aus.",
"Dr�ckt $cos^2$ durch $sin^2$ aus.",
"Diese Gleichung k�nnen Sie sich merken, indem Sie$sin^2 + cos^2 = 1$ by $cos^2$.",
"Damit k�nnen Sie $tan^2 u + 1$ vereinfachen.",
"Damit k�nnen Sie $sec^2 u - 1$ vereinfachen.",
"Dr�ckt $sec^2$ durch $tan^2$ aus.",
"Dr�ckt $tan^2$ durch $sec^2$ aus.",
"Beispiel: $sin^5 t = sin t (1-cos^2 t)^2$",
"Beispiel: $cos^5 t = cos t (1-sin^2 t)^2$",
"Beispiel: $tan^5 t = tan (sec^2 t-1)^2$",
"Beispiel: $sec^5 t = sec t (tan^2 t+1)^2$",
"Beispiel: (1-cos t)^2(1+cos t)^2 = sin^4 t",
"Beispiel: (1-sin t)^2(1+sin t)^2 = cos^4 t"
},
{ /* csc_and_cot_identities */
"Diese Gleichung k�nnen Sie sich merken, indem Sie $sin^2 + cos^2 = 1 by sin^2$.",
"Vereinfachen Sie damit $cot^2 u + 1$.",
"Vereinfachen Sie damit $csc^2 u - 1$.",
"Dr�ckt $csc^2$ aus durch $cot^2$.",
"Dr�ckt $cot^2$ aus durch $csc^2$.",
"Beispiel: $csc \\pi /6 = sec \\pi /3$",
"Beispiel: $cot \\pi /6 = tan \\pi /3$",
"Beispiel: $cot^5 t = cot (csc^2 t-1)^2$",
"Beispiel: $csc^5 t = csc t (cot^2 t+1)^2$"
},
{ /* trig_sum */
"Beispiel: $sin(x+\\pi /4)= sin x cos \\pi /4 + cos x sin \\pi /4$",
"Beispiel: $sin(x-\\pi /4)= sin x cos \\pi /4 - cos x sin \\pi /4$",
"Beispiel: $cos(x+\\pi /4)= cos x cos \\pi /4 - sin x sin \\pi /4$",
"Beispiel: $cos(x-\\pi /4)= cos x cos \\pi /4 + sin x sin \\pi /4$",
"Beispiel: $tan(x+\\pi /4)=(tan x+tan \\pi /4)/(1-tan x tan \\pi /4)$",
"Beispiel: $tan(x-\\pi /4)=(tan x-tan \\pi /4)/(1+tan x tan \\pi /4)$",
"Beispiel: $cot(x+\\pi /4)=(cot x cot \\pi /4-1)/(cot x+cot \\pi /4)$",
"Beispiel: $cot(x-\\pi /4)=(1+cot x cot \\pi /4)/(cot \\pi /4-cot x)$"
},
{ /* double_angle */
"Beispiele: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x; $sin 40\\deg = 2 sin 20\\deg sin 20\\deg $",
"Beispiele: cos 4x = cos^2 x - sin^2 x; $cos 40\\deg = cos^2 20\\deg - sin^2 20\\deg $",
"Dr�ckt $cos 2\\theta $ aus durch $sin^2 \\theta $.",
"Dr�ckt $cos 2\\theta $ aus durch $cos^2 \\theta $.",
"Dr�ckt $cos 2\\theta $ aus durch $cos^2 \\theta $.",
"Dr�ckt $cos 2\\theta $ aus durch $sin^2 \\theta $.",
"Dr�ckt $tan 2\\theta $ aus durch $tan \\theta $.",
"Dr�ckt $cot 2\\theta $ aus durch $cot \\theta $.",
"Dr�ckt $sin \\theta cos \\theta $ aus durch $sin 2\\theta $",
"Dr�ckt $2 sin \\theta cos \\theta $ aus durch $sin 2\\theta $",
"Dr�ckt $cos^2 \\theta - sin^2 \\theta $ durch eine einzige Winkelfunktion aus, $cos(2\\theta )$",
"Verwenden Sie dies, um $sin^2$ durch eine einzige Winkelfunktion zu ersetzen.",
"Verwenden Sie dies, um $cos^2$ durch eine einzige Winkelfunktion zu ersetzen."
},
{ /* multiple_angles */
"Beispiel: $3\\theta = 2\\theta + \\theta $",
"Beispiel: $7\\theta = 3\\theta + 4\\theta $; Sie geben die 3 ein, wenn Sie dazu aufgefordert werden.",
"Diese Formel f�r dreifache Winkel erspart Ihnen unter Umst�nden einige Schritte.",
"Diese Formel f�r dreifache Winkel erspart Ihnen unter Umst�nden einige Schritte.",
"Beispiel: $sin 7\\theta = -sin^7 \\theta + 21 cos^2 \\theta sin^5 \\theta + ...$",
"Beispiel: $cos 7\\theta = cos^7 \\theta - 21 cos^5 \\theta sin^2 \\theta + ...$"
},
{ /* verify_identities */
"Beispiel: x/3 = 3/4 wird zu 4x = 9",
"Beispiel: 3 = x wird zu x = 3",
"Der angegebene Term wird von der linken auf die rechte Seite gebracht.",
"Der angegebene Term wird von der rechten auf die linke Seite gebracht.",
"Addiert den angegebenen Term zu beiden Seiten",
"Subtrahiert den angegebenen Term von beiden Seiten",
"Multipliziert beide Seiten mit dem angegebenen Term.",
"Beispiel: $1 - sin^2 x + tan x = tan x + cos^2 x$ wird zu $1-sin^2 x = cos^2 x$.",
"Beispiel: $\\sqrt (1-sin^2 x) = cos x$ wird zu $1-sin^2 x = cos^2 x$.",
"Beispiel: tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x wird zu tan x = sin x / cos x",
"Beispiel: tan^3 x = sin^3 x / cos^3 x wird zu tan x = sin x / cos x",
"Sie werden gefragt, welche Funktion angewendet werden soll.",
arithhelp,
"Verwenden Sie dies, um eine falsche Gleichung zu widerlegen bzw. um eine Gleichung, die Sie nicht beweisen k�nnen, zu testen.",
"Sie k�nnen einen neuen Buchstaben definieren, um den Ausdruck zu vereinfachen."
},
{ /* solve_by_30_60_90 */
"Das sind Winkel von $30\\deg $ �ber dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.",
"Das sind Winkel von $30\\deg $ unter dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.",
"Das sind alle Winkel oberhalb der x-Achse, die Vielfache von $60\\deg $ sind.",
"Das sind alle Winkel unterhalb der x-Achse, die Vielfache von $60\\deg $ sind.",
"D.h. plus oder minus $30\\deg $.",
"D.h. plus oder minus $30\\deg $ vom negativen Abschnitt der x-Achse.",
"D.h. plus oder minus $60\\deg $.",
"D.h. plus oder minus $120\\deg $.",
"D.h. $30\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $210\\deg $ eingeschlossen).",
"D.h. $-30\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $150\\deg $ eingeschlossen).",
"D.h. $60\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $240\\deg $ eingeschlossen).",
"D.h. $-60\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $120\\deg $ eingeschlossen)."
},
{ /* solve_by_45_45_90 */
"Das sind Winkel von $45\\deg $ �ber dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.",
"Das sind Winkel von $45\\deg $ unter dem positiven bzw. negativen Abschnitt der x-Achse.",
"Das sind Winkel von $45\\deg $ zur Rechten des positiven bzw. negativen Abschnitts der y-Achse.",
"Das sind Winkel von $45\\deg $ zur Linken des positiven bzw. negativen Abschnitts der y-Achse.",
"D.h. $45\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $225\\deg $ eingeschlossen).",
"D.h. $-45\\deg $ plus Vielfache von $\\pi $ (nicht $2\\pi $, z.B. ist $135\\deg $ eingeschlossen).",
},
{ /* zeroes_of_trig_functions */
"sin u ist null bei allen Vielfachen von $\\pi $.",
"sin u ist 1, wenn u einem Winkel von $\\pi /2$ plus ein Vielfaches von $2\\pi $ entspricht.",
"sin u ist -1, wenn u einem Winkel von $3\\pi /2$ plus ein Vielfaches von $2\\pi $ entspricht.",
"cos u ist 0, wenn u ein ungerades Vielfaches von $\\pi /2$ ist.",
"cos u =1, wenn u ein Vielfaches von $2\\pi $ ist.",
"cos u = -1, wenn u ein ungerades Vielfaches von $\\pi $ ist.",
"Beispiel: $tan x^2 = 0$ wird zu $sin x^2 = 0$.",
"Beispiel: $cot x^2 = 0$ wird zu $cos x^2 = 0$."
},
{ /* inverse_trig_functions */
"Beispiel: sin x = 3/4 wird zu $x = (-1)^narcsin 3/4 + n\\pi $",
"Beispiel: sin x = 3/4 wird zu $[x = arcsin 3/4 + 2n\\pi , x = -arcsin 3/4 + (2n+1)\\pi ]$",
"Beispiel: cos x = 3/4 wird zu $[x = arccos 3/4+2n\\pi , x = -arccos 3/4 + 2n\\pi ]$",
"Beispiel: tan x = 3 wird zu $x = arctan 3 + n\\pi $",
"Beispiel: $arcsin(\\onehalf ) = \\pi /6$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden k�nnen.",
"Beispiel: $arccos(\\onehalf ) = \\pi /3$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden k�nnen.",
"Beispiel: $arctan 1 = \\pi /4$. Es gibt nur wenige Werte, die exakt berechnet werden k�nnen.",
"Wenn cot z = x ist, dann ist tan z = 1/x.",
"Wenn sec z = x ist, dann ist cos z = 1/x.",
"Wenn csc z = x ist, dann ist sin z = 1/x.",
"arcsin ist eine punktsymmetrische Funktion",
"arccos ist zwar nicht punktsymmetrisch, gehorcht aber dieser ziemlich �hnlichen Gleichung.",
"arctan ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Stellt die L�sungen in der Form $c + 2n\\pi $ dar, wenn $2\\pi $ die Periode ist.",
"Beispiel: sin u = 2 hat keine L�sung.",
"Beispiel: cos u = 2 hat keine L�sung."
},
{ /* invsimp */
"Wenn $sin \\theta = x$ ist, dann ist $tan \\theta = x/\\sqrt (1-x^2)$.",
"Wenn $cos \\theta = x$ ist, dann ist $tan \\theta = \\sqrt (1-x^2)/x$.",
"Eigenschaft, durch die arctan definiert ist.",
"Eigenschaft, durch die arcsin definiert ist.",
"Wenn $cos \\theta = x$ ist, dann ist $sin \\theta = \\sqrt (1-x^2)$.",
"Wenn $tan \\theta = x$ ist, dann ist $sin \\theta = x/\\sqrt (x^2+1)$.",
"Wenn $sin \\theta = x$ ist, dann ist $cos \\theta = \\sqrt (1-x^2)$",
"Eigenschaft, durch die arccos definiert ist",
"Wenn $tan \\theta = x$ ist, dann ist $cos \\theta = 1/\\sqrt (x^2+1)$",
"Wenn $sin \\theta = x$ ist, dann ist $sec \\theta = 1/\\sqrt (1-x^2)$",
"Wenn $cos \\theta = x$ ist, dann ist $sec \\theta = 1/x$",
"Wenn $tan \\theta = x$ ist, dann ist $sec \\theta = \\sqrt (x^2+1)$",
"Beispiel: $arctan (tan \\pi /3) = \\pi /3$",
"Beispiel: $arcsin(sin \\pi /3) = \\pi /3$",
"Beispiel: $arccos(cos \\pi /5) = \\pi /5$",
"c1 ist in Intervallen, wo tan x definiert ist, konstant; eine Integrationskonstante."
},
{ /* adding_arctrig_functions */
"Der Winkel u mit sin u = x und der Winkel v mit cos v = x sind Komplementwinkel.",
"D.h. die Summe ist $\\pm \\pi /2$, je nach Vorzeichen von x.",
#if 0 /* Perhaps add these later */
"$arcsin x \\pm arcsin y = arcsin[x\\sqrt (1-y^2)\\pm y\\sqrt (1-x^2)]$",
"$arccos x + arccos y = arccos[xy-\\sqrt ((1-x^2)(1-y^2))]$",
"$arccos x - arccos y = arccos[xy+\\sqrt ((1-x^2)(1-y^2))]$",
"arctan x + arctan y = arctan[(x+y)/(1-xy)]",
"arctan x - arctan y = arctan[(x-y)/(1+xy)]",
#endif
},
{ /* complementary_trig */
"Kosinus ist der Sinus des Komplements.",
"Sinus ist der Kosinus des Komplements.",
"Kotangens ist der Tangens des Komplements.",
"Tangens ist der Kotangens des Komplements.",
"Kosekans ist der Sekans des Komplements.",
"Sekans ist der Kosekans des Komplements.",
"Beispiel: $sin (\\pi /3) = cos (\\pi /6)$",
"Beispiel: $cos (\\pi /3) = sin (\\pi /6)$",
"Beispiel: $tan (\\pi /3) = sin (\\pi /6)$",
"Beispiel: $cot (\\pi /3) = tan (\\pi /6)$",
"Beispiel: $sec (\\pi /3) = csc (\\pi /6)$",
"Beispiel: $csc (\\pi /3) = sec (\\pi /6)$"
},
{ /* complementary_degrees */
"Kosinus ist der Sinus des Komplements.",
"Sinus ist der Kosinus des Komplements.",
"Kotangens ist der Tangens des Komplements.",
"Tangens ist der Kotangens des Komplements.",
"Kosekans ist der Sekans des Komplements.",
"Sekans ist der Kosekans des Komplements.",
"Beispiel: $sin (30\\deg ) = cos (60\\deg )$",
"Beispiel: $cos (30\\deg ) = sin (60\\deg )$",
"Beispiel: $tan (30\\deg ) = sin (60\\deg )$",
"Beispiel: $cot (30\\deg ) = tan (60\\deg )$",
"Beispiel: $sec (30\\deg ) = csc (60\\deg )$",
"Beispiel: $csc (30\\deg ) = sec (60\\deg )$",
"Beispiel: $15\\deg +10\\deg = (15+10)\\deg = 25\\deg $. Es k�nnen nur Zahlen direkt addiert werden.",
"Beispiel: $2\\times 30\\deg = (2\\times 30)\\deg = 60\\deg $",
"Beispiel: $60\\deg /2 = (30)\\deg $"
},
{ /* trig_odd_and_even */
"Sin ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Cos ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Tan ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Cot ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Sec ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Csc ist eine punktsymmetrische Funktion.",
"Sin^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Cos^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Tan^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Cot^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Sec^2 ist eine achsensymmetrische Funktion.",
"Csc^2 ist eine achsensymmetrische Funktion."
},
{ /* trig_periodic */
"Sin ist periodisch mit Periode $2\\pi $. Beispiel: $sin (9\\pi /4) = sin (\\pi /4)$",
"Cos ist periodisch mit Periode $2\\pi $. Beispiel: $cos (9\\pi /4) = cos (\\pi /4)$",
"Tan ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $tan (3\\pi /4) = tan (\\pi /4)$",
"Sec ist periodisch mit Periode $2\\pi $. Beispiel: $sec (9\\pi /4) = sec (\\pi /4)$",
"Csc ist periodisch mit Periode $2\\pi $. Beispiel: $csc (9\\pi /4) = csc (\\pi /4)$",
"Cot ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $cot (3\\pi /4) = cot (\\pi /4)$",
"Sin^2 ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $sin^2 (3\\pi /4) = sin^2 (\\pi /4)$",
"Cos^2 ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $cos^2 (3\\pi /4) = cos^2 (\\pi /4)$",
"Sec^2 ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $sec^2 (3\\pi /4) = sec^2 (\\pi /4)$",
"Csc^2 ist periodisch mit Periode $\\pi $. Beispiel: $csc^2 (3\\pi /4) = csc^2 (\\pi /4)$",
"Beispiel: $sin 200\\deg = -sin 20\\deg $",
"Beispiel: $sin 160\\deg = sin 20\\deg $",
"Beispiel: $cos 200\\deg = -cos 20\\deg $",
"Beispiel: $cos 160\\deg = -cos 20\\deg $"
},
{ /* half_angle_identities */
"Dr�ckt $sin^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.",
"Dr�ckt $cos^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.",
"Dr�ckt $sin^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.",
"Dr�ckt $cos^2$ durch eine einzige Winkelfunktion aus anstatt als Potenz.",
"Formt ein Produkt von Winkelfunktionen in eine einzige Winkelfunktion um.",
"Es gibt zwei Formeln f�r $tan (\\theta /2)$. W�hlen Sie die geeignetere je nach Kontext.",
"Es gibt zwei Formeln f�r $tan (\\theta /2)$. W�hlen Sie die geeignetere je nach Kontext.",
"Es gibt zwei Formeln f�r $cot (\\theta /2)$. W�hlen Sie die geeignetere, je nach Kontext.",
"Es gibt zwei Formeln f�r $cot (\\theta /2)$. W�hlen Sie die geeignetere, je nach Kontext.",
"Dr�ckt $sin(\\theta /2)$ durch $cos \\theta $ aus",
"Dr�ckt $sin(\\theta /2)$ durch $cos \\theta $ aus",
"Dr�ckt $cos(\\theta /2)$ durch $cos \\theta $ aus",
"Dr�ckt $cos(\\theta /2)$ durch $cos \\theta $ aus",
"Beispiel: $60\\deg = 2\\times 30\\deg $."
},
{ /* product_and_factor_identities */
"Die Umkehrung der Doppelwinkelformel.",
"Beispiel: $sin (x+\\pi /4) cos (x-\\pi /4) = \\onehalf [sin(2x)+sin(\\pi /2)]$",
"Beispiel: $cos (x+\\pi /4) sin (x-\\pi /4) = \\onehalf [sin(2x)-sin(\\pi /2)]$",
"Beispiel: $sin (x+\\pi /4) sin (x-\\pi /4) = \\onehalf [cos(\\pi /2)-cos(2x)]$",
"Beispiel: $cos (x+\\pi /4) cos (x-\\pi /4) = \\onehalf [cos(2x)+cos(\\pi /2)]$",
"Schreibt eine Summe von Sinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.",
"Schreibt eine Differenz von Sinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.",
"Schreibt eine Summe von Kosinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.",
"Schreibt eine Differenz von Kosinussen als Produkt von Sinus und Kosinus.",
"Ersetzt die verschiedenen Ausdr�cke innerhalb der Winkelfunktionen durch zwei neue Variablen."
}
};
/*_____________________________________________________________*/
const char ** German_ophelp(int n)
/* returns an array of strings for the n-th menu */
/* Borland's compiler chokes if all these strings are put into
a single array or file. Therefore they are divided into two
smaller arrays. The dimension of the first array is
calculated so that it will not be sensitive to a
change of dimension of hintstrings1. If in the future
it chokes again on hints1, you can just move the bottom
array of strings from hints1 to hints2.
*/
{ int nitems; /* number of menus represented in ophelp1 */
nitems = sizeof(ophelp1) / (MAXLENGTH * sizeof(char *));
if(n < nitems)
return (const char **) ophelp1[n];
if(n >= MAXMENUS)
assert(0);
return (const char **) German_ophelp2(n-nitems);
}
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