Sindbad~EG File Manager
/* M. Beeson, for MathXpert.
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8.20.94 Original date
11.24.98 modified
12.29.98 added seven more lines in binomial_theorem
1.14.99 added last entry in advanced_sigma_notation
2.21.99 moved two menus out to hints.c because of Borland compiler limits.
4.2.00 added four new lines in absolute_value_ineq2
9.12.04 four more lines in complex_numbers
8.9.07 corrected the hint containing Vieta
5.3.13 changed names of exported functions
5.24.13 two more in the first menu
6.3.13 added one more in signed_fractions
6.4.13 two more in fractional_exponents
*/
#define ENGLISH_DLL
#include "export.h"
#include "mtext.h" /* MAXLENGTH */
#include "english1.h"
static char arithhint[] = "Hier muss Arithmetik angewandt werden.";
static char dummystring[] = "Dummy";
static char *hintstrings1[][MAXLENGTH] =
{
{ /* numerical_calculation1 */
arithhint,
"Wenden Sie Dezimalarithmetik an.",
"Berechnen Sie den Dezimalwert einer Wurzel.",
"Berechnen Sie den Dezimalwert einer Potenz.",
"Berechnen Sie den Dezimalwert. ",
"Es k�nnte helfen, eine ganze Zahl in Faktoren zu zerlegen, z.B. unter einer Wurzel oder einem Quadratwurzelzeichen.",
"Berechnen Sie den Wert in einem Punkt numerisch. ", /* Not used in auto mode */
"Berechnen Sie den Dezimalwert.", /* decimal value of pi_term, not used in auto mode. */
"Berechnen Sie den Dezimalwert.", /* decimal value of e, not used in auto mode. */
"Berechnen Sie einen numerischen Wert einer Funktion.",
"Sie k�nnen immer N�herungsmethoden benutzen, um die Wurzeln eines Polynoms numerisch zu berechnen und so ihre Faktoren zu finden, zumindest bis zu den wesentlichen Nachkommastellen. W�hlen Sie 'Polynom numerisch faktorisieren', um den Computer das tun zu lassen.",
"Bewerten Bernoulli Zahl auf eine rationale Zahl",
"Bewerten Euler Zahl auf eine rationale Zahl"
},
{ /* numerical_calculation2 */
"Wandeln Sie eine Dezimalzahl in einen Bruch um.", /* Not used in auto mode. */
"Dr�cken Sie eine Zahl in der Form x^2 aus",
"Dr�cken Sie eine Zahl in der Form x^3 aus",
"Dr�cken Sie eine Zahl als eine $n$-te Potenz f�r ein passendes $n$ aus.",
"Dr�cken Sie eine Zahl als eine Potenz einer bestimmten Basis aus.",
"Dr�cken Sie eine ganze Zahl als Potenz aus; schreiben Sie z.B. $9$ als $3^2$.",
"Dr�cken Sie eine ganze Zahl als Summe aus, indem Sie $x = ? + (x-?)$ benutzen",
},
{ /* complex_arithmetic */
"Benutzen Sie die Definition der komplexen Zahl $i$, n�mlich $i^2 = -1$.",
"Ganzzahlige Potenzen der komplexen Zahl $i$ k�nnen vereinfacht werden.",
"Ganzzahlige Potenzen der komplexen Zahl $i$ k�nnen vereinfacht werden.",
"Ganzzahlige Potenzen der komplexen Zahl $i$ k�nnen vereinfacht werden.",
"Ganzzahlige Potenzen der komplexen Zahl $i$ k�nnen vereinfacht werden.",
"Hier muss komplexe Arithmetik angewandt werden.",
"Es gibt eine Potenz einer komplexen Zahl, die ausgerechnet werden kann.",
"Hier muss komplexe Arithmetik angewandt werden.",
"Wenden Sie komplexe Dezimalarithmetik an",
"Es k�nnte helfen, eine ganze Zahl in Faktoren zu zerlegen.",
"Manchmal kann eine ganze Zahl in komplexe Faktoren zerlegt werden, wie z.B. $5 = (2-i)(2+i)$.",
"Zerlegen Sie einen Ausdruck wie $n+mi$ in komplexe Faktoren. Z.B. $7-5i = (2-i)(3-i)$.",
"Berechnen Sie den Dezimalwert.", /* decimal value of root, not used in auto mode. */
"Berechnen Sie den Dezimalwert.", /* decimal value of x�, not used in auto mode. */
"Berechnen Sie den Dezimalwert.", /* decimal value of a function, not used in auto mode. */
"Berechnen Sie den einzelnen Wert an einem Punkt. " /* not used in auto mode */
},
{ /* simplify_sums */
"L�sen Sie das doppelte Minuszeichen auf.",
"Schieben Sie das Minuszeichen in die Summe.",
"Bringen Sie die Minuszeichen aus der Summe heraus.", /* never done in auto mode anyway */
arithhint,
"Wenn Sie eine Summe haben, die eine Summe enth�lt, k�nnen Sie die Terme neu anordnen, um die zus�tzlichen Klammern verschwinden zu lassen.",
"Bringen Sie die Terme in der Summe in die richtige Reihenfolge.",
"Sie k�nnen einen Summanden, der null ist, weglassen, indem Sie das Gesetz $x+0 = x$ verwenden.",
"Es gibt Ausdr�cke, die sich wegk�rzen lassen.",
"Fassen Sie �hnliche Terme zusammen.",
"Fassen Sie �hnliche Terme zusammen.",
"Wenden Sie das Kommutativgesetz der Addition an.",
"Klammern Sie ein Minuszeichen aus, indem Sie $a(b-c) = -a(c-b)$ benutzen.",
"-ab = a(-b)",
"-abc = ab(-c)",
"a(-b)c = ab(-c)"
},
{ /*simplify_products */
"Null mal irgendeine Zahl ist null.",
"Sie k�nnen einen Faktor, der eins ist, weglassen.",
"Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $a(-b) = -ab$ benutzen",
"Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $a(-b-c) = -a(b+c)$ benutzen",
"Ziehen Sie ein Minuszeichen heraus, indem Sie $(-a-b)c = -(a+b)c$ benutzen",
"Ordnen Sie die Faktoren neu, um die zus�tzlichen Klammern loszuwerden, indem Sie das Assoziativgesetz der Multiplikation anwenden.",
"Wenn in einem Produkt mehr als eine Zahl vorkommt, fassen Sie sie am Anfang des Produkts zusammen.",
"Bringen Sie die Faktoren eines Produkts in die Standardreihenfolge.",
"Fassen Sie Potenzen zusammen, d.h.: Kombinieren Sie Ausdr�cke mit derselben Basis in einem einzelnen Ausdruck.",
"Multiplizieren Sie aus, indem Sie das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$ anwenden.",
"Wenden Sie das Gesetz, um $(a-b)(a+b)$ zu einer Differenz a^2 - b^2 zu machen, an.",
"Multiplizieren Sie das Quadrat einer Summe aus, indem Sie die Standardformel benutzen.",
"Multiplizieren Sie das Quadrat einer Differenz aus, indem Sie die Standardformel benutzen.",
"Erkennen Sie eine Differenz von Zahlen hoch 3 in ihrer faktorisierten Form?",
"Erkennen Sie eine Summe von Zahlen hoch 3 in ihrer faktorisierten Form?",
"Benutzen Sie das Kommutativgesetz der Multiplikation."
},
{ /* expand_menu */
"Ein Produkt von Summen, oder eine Potenz von Summen kann immer ausmultipliziert werden, um eine einzelne Summe zu erhalten. Manchmal f�hrt dies zu weiteren Vereinfachungen, wenn das urspr�ngliche Produkt oder die Potenz Teil einer gr��eren Summe ist.",
"Vielleicht wird alles einfacher, wenn Sie den Z�hler ausmultiplizieren.",
"Vielleicht wird alles einfacher, wenn Sie den Nenner ausmultiplizieren.",
"Benutzen Sie $na = a + ... + a$." /* never used in auto mode anyway */
},
{ /* fractions */
"Lassen Sie den Bruch mit der Null im Z�hler verschwinden.",
"Lassen Sie die 1 im Nenner verschwinden.",
"Sie haben hier etwas mal seinem reziproken Wert-- das ergibt 1",
"Multiplizieren Sie die Br�che, um einen einzelnen Bruch zu erhalten",
"Wenden Sie das Gesetz $a(b/c) = ab/c$ an, um einen einzelnen Bruch zu erhalten",
"K�rzen Sie einen gemeinsamen Faktor aus Z�hler und Nenner.",
"Addieren Sie Br�che mit dem gleichen Nenner.",
"Teilen Sie einen Bruch mit einer Summe im Z�hler in zwei Br�che auf.",
"Teilen Sie einen Bruch mit einer Summe im Z�hler in zwei Br�che auf, von denen einer sich durch K�rzen vereinfachen l�sst.",
"Benutzen Sie Polynomdivision, um einen Bruch zu vereinfachen, wenn der Exponent des Z�hlers gr��er als der des Nenners ist.",
"Sie k�nnen vielleicht durch Polynomdivision k�rzen.",
"Machen Sie die Zahlen im Z�hler und Nenner zu einzelnen rationalen Zahlen, indem Sie das Gesetz au/bv=(a/b)(u/v) anwenden.",
"Machen Sie den Nenner zu einem Koeffizienten, indem Sie das Gesetz $a/b = (1/b) a$ anwenden",
"Klammern Sie die reellen Faktoren aus Z�hler und Nenner aus, indem Sie $au/b = (a/b)u$ benutzen.",
"Teilen Sie einen Bruch auf, indem Sie $ab/cd = (a/c)(b/d)$ benutzen.",
"Fassen Sie die numerischen Teile aus Z�hler und Nenner zu einem einzelnen Koeffizienten zusammen, indem Sie das Gesetz $ab/c = (a/c)b$ anwenden."
},
{ /* signed_fractions */
"K�rzen Sie die Minuszeichen in Z�hler und Nenner.",
"Bringen Sie das Minuszeichen in den Z�hler, indem Sie das Gesetz $-(a/b) = (-a)/b$ benutzen.",
"Bringen Sie das Minuszeichen in den Nenner, indem Sie das Gesetz $-(a/b) = a/(-b)$ benutzen.",
"Klammern Sie dieses Minuszeichen aus dem Z�hler aus, so dass es dem gesamten Bruch voransteht.",
"Klammern Sie dieses Minuszeichen aus dem Nenner aus, so dass es dem gesamten Bruch voransteht.",
"Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Z�hler aus, indem Sie das Gesetz $(-a-b)/c = -(a+b)/c$ anwenden.",
"Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Nenner aus, indem Sie das Gesetz $a/(-b-c) = -a/(b+c)$ anwenden.",
"Passen Sie das Vorzeichen im Nenner an, indem Sie das Gesetz $a/(b-c) = -a/(c-b)$ anwenden. ",
"Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Nenner aus, indem Sie das Gesetz $-a/(-b-c) = a/(b+c)$ anwenden.",
"Passen Sie das Vorzeichen an, indem Sie das Gesetz $-a/(b-c) = a/(c-b)$ anwenden ",
"Klammern Sie die Minuszeichen aus dem Z�hler aus, indem Sie das Gesetz $-(-a-b)/c = (a+b)/c$ anwenden.",
"Stellen Sie die Reihenfolge im Z�hler und im Nenner um. W�hlen Sie dazu den gesamten Bruch aus.",
"ab/c = a(b/c)",
"Teilen Sie einen Bruch auf, indem Sie $a/bc = (1/b)(a/c)$ benutzen."
},
{ /* compound_fractions */
"Wenn Z�hler und Nenner beides Br�che mit demselben Nenner sind, k�nnen Sie das Gesetz $(a/c)/(b/c) = a/b$ anwenden, um Doppelbr�che zu vereinfachen.",
"Wenn der Nenner selbst ein Bruch ist, kehren Sie ihn um und multiplizieren Sie mit ihm, wobei Sie das Gesetz $a/(b/c)=ac/b$ anwenden",
"Der reziproke Wert eines Bruchs kann mit dem Gesetz $1/(a/b) = b/a$ vereinfacht werden.",
"Wenn der Z�hler ein Bruch ist, k�nnen Sie das Gesetz $(a/b)/c = a/(bc)$ anwenden, um den Doppelbruch zu vereinfachen.",
"Benutzen Sie $(a/b)/c = (a/b)(1/c)$", /* never suggested in auto mode */
"Wenn der Z�hler ein Produkt ist, das einen Bruch enth�lt, k�nnen Sie das Gesetz $(a/b)c/d = ac/bd$ anwenden",
"Manchmal hilft es, den Nenner in Faktoren zu zerlegen.",
"Wenn Sie eine Summe von Br�chen in Z�hler oder Nenner haben, m�ssen Sie erst den Men�punkt gemeinsamer Nenner benutzen, um diese Summe in einen einzelnen Bruch umzuwandeln. Dann k�nnen Sie fortfahren, indem Sie den resultierenden Doppelbruch vereinfachen."
},
{ /* common_denominators */
"Zuerst zerlegen Sie den Nenner in Faktoren, dadurch wird der wahre gemeinsame Nenner sichtbar.",
"Die Nenner sind nicht gleich. Daher m�ssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden.",
"Die Nenner sind nicht gleich. Daher m�ssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden. Aber addieren Sie die Br�che nur.",
"Sie haben ein Produkt von Br�chen, das noch nicht in einen einzelnen Bruch umgewandelt wurde. Multiplizieren Sie Ihre Br�che.",
"Sie haben etwas mit einem Bruch multipliziert. Schreiben Sie das als einen einzelnen Bruch.",
"Es ist vorteilhaft, die Faktoren in der richtigen Reihenfolge zu lassen. Es hilft, �hnliche Ausdr�cke und M�glichkeiten zum K�rzen zu erkennen.",
"Nun haben Sie Br�che mit dem gleichen Nenner. Sie k�nnen leicht addiert werden, um einen einzelnen Bruch zu erhalten.",
"Sie haben Br�che, die Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen k�nnen.",
"Sie haben Br�che, die Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen k�nnen.",
"Sie haben Br�che, die Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen k�nnen.",
"Sie haben Br�che, die Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen k�nnen.",
"Multiplizieren Sie Z�hler und Nenner mit irgend etwas."
},
{ /* exponents */
"Sie haben einen Exponenten, der null ist. Lassen Sie ihn verschwinden.",
"Sie haben einen Exponenten, der eins ist. Lassen Sie ihn verschwinden.",
"Null hoch irgend etwas (das nicht null ist) ist null.",
"Eins hoch irgend etwas ist eins.",
"Minus eins hoch einen ganzzahligen Exponenten kann berechnet werden: Das ergibt 1 f�r gerade und -1 f�r ungerade Exponenten.",
"Sie haben eine Potenz hoch eine Potenz. Es gibt ein Gesetz, um so etwas in eine einzelne Potenz umzuwandeln.",
"Sie k�nnen ein Minuszeichen aus einer Potenz ausklammern, indem Sie $(-a)^n = (-1)^na^n$ benutzen.",
"Es k�nnte helfen, den Exponenten in den Z�hler und Nenner zu bringen, indem Sie $(a/b)^n = a^n/b^n$ benutzen.",
"Sie haben eine Potenz eines Produkts. Es w�rde den Ausdruck vereinfachen, wenn Sie den Exponenten hereinbringen w�rden, indem Sie $(ab)^n = a^nb^n$ benutzen.",
"Sie k�nnen eine Summe zum Quadrat ausmultiplizieren, indem Sie $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ benutzen.",
"Die Anwendung des binomischen Lehrsatzes k�nnte hier von Erfolg gekr�nt sein.",
"Sie haben zwei oder mehr Potenzen derselben Basis, die miteinander multipliziert sind. Fassen Sie diese Potenzen zusammen.",
"Sie haben eine Potenz einer Summe; wandeln Sie sie in ein Produkt von Potenzen um.",
"Sie haben einen Bruch der Form $a^n/b^n$. Klammern Sie den Exponenten aus dem Bruch aus: $(a/b)^n$.",
"Sie haben Potenzen derselben Basis in Z�hler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Z�hler zusammen.",
"Sie haben Potenzen derselben Basis in Z�hler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Nenner zusammen."
},
{ /* expand_powers */
"Multiplizieren Sie einen quadratischen Ausdruck aus. ", /* Never used in auto mode */
"Multiplizieren Sie einen kubischen Ausdruck aus. ",
"Multiplizieren Sie eine Potenz aus.",
"Teilen Sie eine Potenz in ein Produkt von kleineren Potenzen auf",
"Multiplizieren Sie eine Summe zum Quadrat aus.",
"Multiplizieren Sie die dritte Potenz einer Summe aus.",
"Multiplizieren Sie die dritte Potenz einer Differenz aus.",
"Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^b)^c$ an, wenn $a>0$ oder $c\\in Z$.",
"Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^c)^b$ an, wenn $a>0$ oder $c\\in Z$.",
"Wenden Sie das Gesetz $a^(bc) = (a^b)^c$ an, indem Sie den Wert von $c$ angeben.",
"Bringen Sie einen Exponenten aus dem Nenner heraus, indem Sie $1/a^n = (1/a)^n$ benutzen"
},
{ /* negative_exponents */
"Benutzen Sie die Definition eines negativen Exponenten: $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Negative Exponenten im Z�hler werden zu positiven Exponenten im Nenner.",
"Benutzen Sie die Definition eines Exponenten von $-1$ : $a^(-1) = 1/a$.",
"Benutzen Sie die Definition eines negativen Exponenten: $a^(-n) = 1/a^n$.",
"Negative Exponenten im Z�hler werden zu positiven Exponenten im Nenner.",
"Negative Exponenten im Nenner werden zu positiven Exponenten im Z�hler.",
"Positive Exponenten im Nenner werden zu negativen Exponenten im Z�hler.",
"Sie k�nnen einen Bruch immer aufl�sen, indem Sie den Nenner in einen Term mit einem Exponenten von -1 umwandeln.",
"Ein Bruch mit einem negativen Exponenten kann, nachdem der Kehrwert gebildet wurde, mit einem positiven Exponenten geschrieben werden.",
"Sie haben Potenzen derselben Basis in Z�hler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Z�hler zusammen.",
"Sie haben Potenzen derselben Basis in Z�hler und Nenner. Fassen Sie sie in eine einzelne Potenz im Nenner zusammen.",
"Wenden Sie das Gesetz $a^(b-c) = a^b/a^c$ an"
},
{ /* square_roots */
"Fassen Sie Ihr Produkt von Quadratwurzeln in einer einzelnen Quadratwurzel zusammen.",
"Machen Sie Ihre Quadratwurzel zu einem Produkt von Quadratwurzeln.",
"Sie haben einen Faktor zum Quadrat unter dem Quadratwurzelzeichen. Ziehen Sie ihn raus-- aber passen Sie auf das Vorzeichen auf.",
"Die Quadratwurzel von $x^2$ ist $x$, zumindest f�r positive $x$. Aber wenn $x$ negativ ist, m�ssen Sie daraus den Betrag von $x$ machen.",
"Die Quadratwurzel von $x^2$ ist $x$, zumindest f�r positive $x$. Aber wenn $x$ negativ ist, m�ssen Sie daraus den Betrag von $x$ machen.",
"Um die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu vereinfachen, beginnen Sie, diese Zahl in Faktoren zu zerlegen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel eines Bruches als Bruch der Quadratwurzeln schreiben, indem Sie $\\sqrt (x/y) = \\sqrt x/\\sqrt y$ benutzen",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel eines Bruches als Bruch der Quadratwurzeln schreiben, indem Sie $\\sqrt (x/y) = \\sqrt |x|/\\sqrt |y|$ benutzen. Die Betragszeichen sind n�tig, wenn die Vorzeichen von $x$ und $y$ unbekannt sind.",
"Sie haben einen Quotienten von Quadratwurzeln. Versuchen Sie, das als eine einzelne Quadratwurzel zu schreiben.",
"Denken Sie daran: $\\sqrt x$ mal $\\sqrt x$ ist $x$. Daf�r vereinfacht sich $x/\\sqrt x$ zu $\\sqrt x$.",
"Denken Sie daran: $\\sqrt x$ mal $\\sqrt x$ ist $x$. Daf�r vereinfacht sich $\\sqrt x/x$ zu $/\\sqrt x$.",
"Eine gerade Potenz einer Quadratwurzel kann vereinfacht werden, indem Sie $(\\sqrt x)^2^n = x^n$ benutzen. Das gilt zumindest f�r nicht negative $x$",
"Eine ungerade Potenz einer Quadratwurzel kann vereinfacht werden, indem Sie $(\\sqrt x)^(2n+1) = x^n\\sqrt x$ benutzen.",
"Vielleicht kann die Quadratwurzel exakt berechnet werden?",
"Berechnen Sie die Quadratwurzel, indem Sie Dezimalzahlen benutzen",
arithhint
},
{ /* advanced_square_roots */
"Haben Z�hler und Nenner einen gemeinsamen Faktor unter dem Quadratwurzelzeichen?",
"Zerlegen Sie das Polynom unter dem Quadratwurzelzeichen in Faktoren.",
"Machen Sie den Nenner rational. Das hei�t, multiplizieren Sie Z�hler und Nenner mit dem gleichen Ausdruck, um Quadratwurzeln im Nenner verschwinden zu lassen.",
"Machen Sie den Z�hler rational. Das hei�t, multiplizieren Sie Z�hler und Nenner mit dem gleichen Ausdruck, um Quadratwurzeln im Z�hler verschwinden zu lassen.",
"Eine Quadratwurzel einer geraden Potenz kann mit dem Betrag vereinfacht werden",
"Es gibt einen gemeinsamen Faktor unter den Quadratwurzelzeichen in Z�hler und Nenner. K�rzen Sie die gemeinsame Quadratwurzel.",
"Multiplizieren Sie unter dem Quadratwurzelzeichen aus.",
"Es k�nnte helfen an $b$ als das Quadrat von $\\sqrt b$ zu denken, also $a^2-b = (a-\\sqrt b)(a+\\sqrt b)$.",
"Eine Wurzel mit dem Index 2 kann zu einer Quadratwurzel umgewandelt werden.",
"Dr�cken Sie eine Quadratwurzel als Wurzel einer Potenz aus. Z.B. $\\sqrt 2 = ^4\\sqrt 4$",
"Dr�cken Sie eine Quadratwurzel als Potenz einer Wurzel aus. Z.B. $\\sqrt 3 = (^4\\sqrt 3)^2$",
"Eine gerade Potenz ist ein Quadrat. Also haben Sie ein Quadrat unter dem Quadratwurzelzeichen.",
"Sie haben eine Potenz zweiter oder h�herer Ordnung unter dem Quadratwurzelzeichen; bringen Sie einige Potenzen aus der Quadratwurzel heraus.",
"Bringen Sie etwas unter die Quadratwurzel, indem Sie $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$ benutzen.",
"Machen Sie den Nenner rational und vereinfachen Sie."
},
{ /* fractional_exponents */
"Ein Exponent von $\\onehalf $ kann in eine Quadratwurzel umgewandelt werden.",
"Ein Bruch im Exponenten mit dem Nenner 2 kann in eine Quadratwurzel umgewandelt werden, indem Sie $a^(n/2) = \\sqrt (a^n)$ benutzen.",
"Ein Bruch im Exponenten mit dem Nenner $n$ kann in eine $n$-te Wurzel umgewandelt werden, indem Sie $a^(b/n) = ^n\\sqrt (a^b)$ benutzen.",
"Eine Quadratwurzel kann in einen Exponenten von $\\onehalf $ umgewandelt werden",
"Eine $n$-te Wurzel kann in einen Exponenten von $1/n$ umgewandelt werden",
"Lassen Sie Wurzeln von Potenzen verschwinden, indem Sie sie zu Br�chen im Exponenten machen.",
"Lassen Sie Potenzen von Wurzeln verschwinden, indem Sie sie zu Br�chen im Exponenten machen.",
"Lassen Sie Potenzen von Quadratwurzeln verschwinden, indem Sie sie zu Br�chen im Exponenten machen.",
"Eine $n$-te Wurzel im Nenner kann in einen negativen Exponenten von $1/n$ umgewandelt werden",
"Dr�cken Sie eine Quadratwurzel im Nenner aus, indem Sie einen negativen Bruch im Exponenten benutzen.",
"Potenzen von $-1$ k�nnen genau berechnet werden",
"Zerlegen Sie eine ganze Zahl, die hoch einen Bruch im Exponenten genommen wurde, in Faktoren",
"Bringen Sie den Bruch im Exponenten aus dem Nenner.",
"Bringen Sie den Bruch im Exponenten aus dem Z�hler.",
"Machen Sie den Bruch im Exponenten in einer Leistung von einer Quadratwurzel",
"Machen Sie den Bruch im Exponenten in einer Leistung von einer Wurzel"
},
{ /*nth_roots */
"Machen Sie das Produkt von Wurzeln zu einer einzelnen Wurzel.",
"Teilen Sie die Wurzel eines Produkts in ein Produkt von Wurzeln.",
"Bringen Sie den Exponenten aus der Wurzel heraus, so dass alles eine Funktion derselben Wurzel ist.",
"Sie haben eine $n$-te Potenz unter einer $n$-ten Wurzel. Klammern Sie sie aus.",
"Eine $n$-te Wurzel einer $n$-ten Potenz kann vereinfacht werden. Aber Achtung: $^n\\sqrt (x^n) = x$ ist nicht immer wahr.",
"Sie k�nnen die Wurzel vereinfachen: die dritte Wurzel von $x^6$ z.B. ist $x^2$",
"Manchmal k�nnen Sie den Index einer Wurzel verkleinern. Die 6te Wurzel von $x^3$ z.B. ist $\\sqrt x$.",
"Manchmal k�nnen Sie den Index einer Wurzel verkleinern. Z.B. ist die 6te Wurzel von $x^2$ die dritte Wurzel von $x$.",
"Denken Sie an die Definition der $n$-ten Wurzel von $x$: Wenn Sie sie zur $n$-ten Potenz nehmen, erhalten Sie $x$.",
"Sie haben die Potenz einer Wurzel. Bringen Sie den Exponenten unter die Wurzel wie in $(^n\\sqrt x)^2 = ^n\\sqrt (x^2)$.",
"Sie haben die Potenz einer $n$-ten Wurzel, z.B. von $x$. Klammern Sie einige Faktoren von $x^n$ aus, bis die Potenz kleiner als $n$ ist. Beispiel: $(^3\\sqrt 2)^7 = 2^2 ^3\\sqrt 2$.",
"Zerlegen Sie die ganze Zahl unter dem Wurzelzeichen in Faktoren.",
"Sie haben eine ungerade Wurzel eines negativen Ausdrucks; bringen Sie das Minuszeichen vor die Wurzel.",
"Vielleicht kann die Wurzel exakt berechnet werden?",
"Zerlegen Sie das Polynom unter dem Wurzelzeichen in Faktoren.",
"Multiplizieren Sie unter dem Wurzelzeichen aus."
},
{ /* roots_of_roots */
"Eine Quadratwurzel einer Quadratwurzel kann als die vierte Wurzel ausgedr�ckt werden.",
"Eine Quadratwurzel einer n-ten Wurzel kann als eine 2n-te Wurzel ausgedr�ckt werden.",
"Eine n-te Wurzel einer Quadratwurzel kann als eine 2n-te Wurzel ausgedr�ckt werden.",
"Eine Wurzel einer Wurzel kann als eine einzelne Wurzel ausgedr�ckt werden. Z.B. die dritte Wurzel einer vierten Wurzel ist die 12-te Wurzel."
},
{ /* roots_and_fractions */
"Machen Sie Ihre Wurzel eines Bruchs zu einem Bruchs zweier Wurzeln.",
"Machen Sie einen Quotienten von zwei Wurzeln zu einer einzelnen Wurzel.",
"Fassen Sie die Wurzeln in Z�hler und Nenner zusammen, um eine einzelne Wurzel zu bekommen.",
"Fassen Sie die Wurzeln in Z�hler und Nenner zusammen, um eine einzelne Wurzel zu bekommen.",
"K�rzen Sie einen Faktor unter dem Wurzelzeichen. W�hlen Sie den ganzen Bruch aus.",
"K�rzen Sie eine Wurzel aus Z�hler und Nenner. W�hlen Sie den ganzen Bruch aus.",
"Z�hler und Nenner haben einen gemeinsamen Faktor unter dem Wurzelzeichen. W�hlen Sie den ganzen Bruch aus.",
"Bringen Sie etwas unter die Wurzel, indem Sie $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$ benutzen.",
"Bringen Sie etwas unter die Wurzel, indem Sie $a\\sqrt b = \\sqrt (a^2b)$ benutzen.",
"Bringen Sie ein Minuszeichen unter die Wurzel.",
"Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Wurzel.",
"Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Wurzel.",
"Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Quadratwurzel.",
"Bringen Sie den ganzen Bruch unter die Quadratwurzel.",
"Eine Potenz einer Wurzel kann vereinfacht werden, indem man sie zu einer Wurzel mit einem kleineren Index macht ",
"Eine Potenz einer Wurzel kann vereinfacht werden, indem man sie zu einer Quadratwurzel macht."
},
{ /* complex_numbers */
"Sie wissen, dass $i^2$ $-1$ ist. Daraus folgt, dass $1/i$ $-i$ ist.",
"Weil ja $1/i$ $-i$ ist, kann $i$ vom Nenner in den Z�hler gebracht werden, wenn Sie das Vorzeichen des Bruchs �ndern.",
"Weil ja $1/i$ $-i$ ist, kann $i$ vom Nenner in den Z�hler gebracht werden, wenn Sie das Vorzeichen des Bruchs �ndern.",
"Nach Definition kann die Quadratwurzel von $-1$ als $i$ geschrieben werden.",
"Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann mit $i$ dargestellt werden, indem das Gesetz $\\sqrt (-a) = i\\sqrt a$ angewandt wird.",
"Sie k�nnen $i$ ganz aus dem Nenner herausbekommen, indem Sie Z�hler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Nenner multiplizieren.",
"Eine komplexe Zahl mal ihre konjugiert komplexe Zahl vereinfacht sich (unter Anwendung von $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$).",
"Sie k�nnen eine Summe von Ausdr�cken hoch 2 in Faktoren zerlegen, indem Sie komplexe Zahlen benutzen (unter Anwendung von $a^2+b^2 = (a-bi)(a+bi)$).",
"Nach dem Satz des Pythagoras haben wir $|u + vi|^2 = u^2 + v^2$",
"Nach dem Satz des Pythagoras haben wir $|u + vi| = \\sqrt (u^2+v^2)$",
"Dr�cken Sie den Quotienten als eine einzelne komplexe Zahl aus, indem Sie $(u+vi)/w = u/w + (v/w)i$ benutzen.",
"Schreiben Sie komplexe Zahlen in der Form $u+vi$",
"Schreiben Sie eine komplexe Quadratwurzel in der Form $u+vi$",
"Schreiben Sie eine komplexe Quadratwurzel in der Form $u+vi$",
"Schreiben Sie eine komplexe Quadratwurzel in der Form $u+vi$",
"Schreiben Sie eine komplexe Quadratwurzel in der Form $u+vi$"
},
{ /* factoring */
"Klammern Sie eine Zahl aus.",
"Lassen Sie Ihre numerischen Nenner verschwinden, um besser zu sehen, was los ist.",
"Es gibt einen gemeinsamen Faktor, den sie ausmultiplizieren k�nnen, indem Sie das Distributivgesetz $ab+ac = a(b+c)$ anwenden",
"Klammern Sie die gr��te gemeinsame Potenz aus.",
"F�llt Ihnen etwas auf? Denken Sie an $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.",
"F�llt Ihnen etwas auf? Denken Sie an $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.",
"Eine Differenz von Ausdr�cken hoch 2 kann in Faktoren zerlegt werden, indem $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ angewandt wird.",
"Das scheint in keines der einfacheren Muster zu passen, ist aber ein quadratisches Trinom, also kann es vielleicht in Faktoren zerlegt werden.",
"Wenn es sich nicht anders zerlegen l�sst, k�nnen Sie immer noch die p,q-Formel benutzen.",
"Eine gerade Potenz kann als Ausdruck hoch 2 geschrieben werden, indem man $a^2^n = (a^n)^2$ benutzt. Dann kann man vielleicht Zerlegemuster anwenden, die auch Ausdr�cke hoch 2 einschlie�en.",
"Versuchen Sie, Potenzen zusammenzufassen, indem Sie das Gesetz $a^nb^n = (ab)^n$ anwenden",
"Es k�nnte helfen, die Koeffizienten Ihres Polynoms in Faktoren zu zerlegen.",
"Zerlegen Se diese Zahl in Faktoren.",
"Es k�nnte helfen, eine Substitution zu machen.",
"Jetzt lassen Sie Ihre definierte Variable verschwinden.",
"Betrachten Sie eine Variable als eine Konstante."
},
{ /* advanced_factoring */
"Das ist zu kompliziert, um es direkt zu zerlegen, aber wenn Sie es als Funktion eines Teilausdrucks schreiben, dann kommen Sie voran.",
"Das ist zu kompliziert, um es direkt zu zerlegen, aber wenn Sie es als Funktion eines Teilausdrucks schreiben, dann kommen Sie voran.",
"Dr�cken Sie eine h�here Potenz als einen kubischen Ausdruck aus, indem Sie die Formel $a^(3n) = (a^n)^3$ benutzen",
"Dr�cken Sie eine Potenz aus, indem Sie die Formel $a^(mn) = (a^m)^n$ benutzen.",
"Es gibt eine Formel, um die Differenz von kubischen Ausdr�cken in Faktoren zu zerlegen.",
"Es gibt eine Formel, um die Summe von kubischen Ausdr�cken in Faktoren zu zerlegen.",
"Es gibt eine Formel, um $a^n-b^n$ in Faktoren zu zerlegen.",
"Es gibt eine Formel, um $a^n-b^n$ in Faktoren zu zerlegen.",
"Es gibt eine Formel, um $a^n+b^n$ in Faktoren zu zerlegen.",
"Es gibt Formeln, um die Summe von Potenzen vierten Grades in Faktoren zu zerlegen.",
"Manche Polynome vierten Grades k�nnen durch spezielle Formeln in Faktoren zerlegt werden.",
"Versuchen Sie, eine Substitution zu machen. W�hlen Sie den Ausdruck, der durch eine neue Variable ersetzt werden soll.",
"Raten Sie einen Faktor.", /* guess a factor isn't used in auto mode */
"Wenn alles andere nicht klappt, k�nnen Sie systematisch nach einem linearen Faktor suchen",
"Versuchen Sie, durch geeignete Gruppierung zu faktorisieren",
"Schreiben Sie als ein Polynom in irgendeiner Variablen oder einem Ausdruck. W�hlen Sie die Variable oder den Ausdruck."
},
{ /* solve_equations */
"Vertauschen Sie die Seiten, um die Unbekannte links zu haben.",
"Vertauschen Sie die Vorzeichen von beiden Seiten.",
"Addieren Sie etwas zu beiden Seiten der Gleichung.",
"Ziehen Sie etwas von beiden Seiten der Gleichung ab.",
"Bringen Sie einen passenden Ausdruck von links nach rechts.",
"Bringen Sie einen passenden Ausdruck von rechts nach links.",
"Multiplizieren sie beide Seiten Ihrer Gleichung mit etwas.",
"Teilen sie beide Seiten Ihrer Gleichung durch etwas.",
"Nehmen sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.",
"K�rzen Sie einen Ausdruck von beiden Seiten Ihrer Gleichung.",
"K�rzen Sie einen gemeinsamen Faktor von beiden Seiten Ihrer Gleichung.",
"Subtrahieren Sie, um in die Form $u=0$ zu bringen.",
"Wenn eine Gleichung sich auf eine Identit�t reduziert, ist jede Zahl (f�r die beide Seiten definiert sind) eine L�sung. Die Gleichung reduziert sich auf den logischen Ausdruck 'wahr'.",
"Wenn beide Seiten einer Gleichung gegens�tzliche Vorzeichen haben, ist die einzig m�gliche L�sung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $a^2 = -b^2$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Diese Art die Gleichung zu schreiben wird Sie oft davor bewahren falsche L�sungen zu bekommen, die nachher verworfen werden m�ssen.",
"Wenn beide Seiten einer Gleichung gegens�tzliche Vorzeichen haben, ist die einzig m�gliche L�sung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $a=0$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Am Ende pr�fen Sie die L�sung, und wenn $b$ nicht auch null war, wird die L�sung verworfen werden.",
"Wenn beide Seiten einer Gleichung gegens�tzliche Vorzeichen haben, ist die einzig m�gliche L�sung auf beiden Seiten null. D.h. $a = -b$ wird $b=0$, wenn $a$ und $b$ nicht negativ sind. Am Ende pr�fen Sie die L�sung, und wenn $a$ nicht auch null war, wird die L�sung verworfen werden."
},
{ /* quadratic_equations */
"Sie haben ein Produkt, das gleich null ist. Teilen Sie das in zwei (oder mehr) Gleichungen, indem Sie jeden Faktor null setzen und das Gesetz benutzen: wenn ab=0, dann ist entweder a=0 oder b=0.",
"Sie k�nnen immer die p,q-Formel f�r jede quadratische Gleichung benutzen.",
"Sie k�nnen immer die p,q-Formel f�r jede quadratische Gleichung benutzen.",
"Quadratische Erg�nzung.", /* I don't think this is used in automode except in calculus */
"Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten.",
"Sie haben eine Gleichung von Br�chen mit keinen offensichtlichen Vereinfachungen. Also m�ssen Sie mit Nennern der beiden Seiten multiplizieren.",
"Wenn die Diskriminante negativ ist, hat eine quadratische Funktion keine reellen Wurzeln.",
"Sie haben zwei Gleichungen der Form $u^2 = a$ und $u^2 = -a$. Sie k�nnen zu $u^2 = |a|$ vereinfacht werden.",
arithhint
},
{ /* numerical_equations */
"Berechnen Sie den einzelnen Wert an einem Punkt. ", /* Never used in auto mode */
"Sie k�nnten 'numerisch l�sen' ausw�hlen, um den Computer durch ein iteratives N�herungsverfahren L�sungen finden zu lassen."
},
{ /* advanced_equations */
"Sie haben eine Gleichung von Br�chen mit keinen offensichtlichen Vereinfachungen. Also sollten Sie mit den Nennern der beiden Seiten multiplizieren.",
"Sie k�nnen beide Seiten potenzieren, indem Sie das Gesetz - wenn $u=v$, dann $u^n=v^n$ - benutzen.",
"Um an die unbekannte Gr��e unter der Quadratwurzel zu kommen, ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten.",
"Um an die unbekannte Gr��e unter der Wurzel zu kommen, ziehen Sie die $n$-te Wurzel aus beiden Seiten.",
"Um an die unbekannte Gr��e zu kommen, wenden Sie eine passende Funktion auf beiden Seiten an.",
"Bringen Sie Ihre Br�che auf einen gemeinsamen Nenner.",
"Teilen Sie Ihre Gleichung in zwei oder mehr Gleichungen, indem Sie das Gesetz - wenn ab=0, dann a=0 oder b=0 - benutzen",
"Teilen Sie Ihre Gleichung in zwei oder mehr Gleichungen, indem Sie das Gesetz - wenn ab=ac, dann a=0 oder b=c - benutzen",
"W�hlen Sie eine Gleichung aus.", /* Not used in auto mode */
"Zeigen Sie alle Ihre Gleichungen noch einmal an; Sie sind mit der fertig, die sichtbar ist.",
"Fassen Sie mehrere L�sungen zusammen.",
"Vielleicht k�nnen Sie eine hilfreiche Substitution machen. W�hlen Sie den Ausdruck, der durch eine neue Variable ersetzt werden soll.",
"Nun lassen Sie Ihre definierte Variable verschwinden.",
"Eine Ihrer Gleichungen ist unm�glich-- verwerfen Sie sie.",
"Vergessen Sie nicht, die Wurzeln in der urspr�nglichen Gleichung zu pr�fen.",
"Sie k�nnen diese lineare Gleichung sofort l�sen."
},
{ /* cubic_equations */
"Machen Sie eine passende Substitution, um den quadratischen Ausdruck loszuwerden.",
"Die Diskriminante bestimmt, ob es 3 oder nur 1 reelle Wurzel gibt, und Sie m�ssen sie erst auszurechnen, um zu wissen, welche kubische Formel angewandt werden muss.",
"Sie m�ssen die kubische Gleichung noch einmal anzeigen lassen, um weiter daran zu arbeiten.",
"Wie Vieta anno 1592 herausfand, in $cx^3 + ax + b = 0$ k�nnen Sie $x = y - a/(3cy)$ substituieren, was dann eine Gleichung, die quadratisch in $y^3$ ist, schafft. W�hlen Sie die ganze Gleichung aus, um diese Auswahlm�glichkeit zu sehen.",
"Ihr kubischer Ausdruck hat nur eine reelle Wurzel, weil die Diskriminante positiv ist.",
"Ihr kubischer Ausdruck hat drei reelle Wurzeln, weil die Diskriminante negativ ist.",
"Ihr kubischer Ausdruck hat nur eine reelle Wurzel, weil die Diskriminante positiv ist.",
"Machen Sie eine Substitution $x = f(u)$, in der $x$ eine alte Variable und $u$ eine neue ist.",
"Nun ist es Zeit, sich von der definierten Variablen zu trennen.",
"Diese beiden Ausdr�cke werden gleich sein, wenn Sie eine der ganzzahligen Variablen �ndern. W�hlen Sie eine der Variablen aus und machen Sie eine Substitution. Danach wird eine Gleichung wegfallen. Im Moment steht jede Gleichung f�r drei Wurzeln, also gibt es scheinbar sechs Wurzeln, aber in Wirklichkeit sind da nur drei.",
"Berechnen Sie die Ausdr�cke f�r die Wurzeln, um exakte Antworten zu bekommen.",
"Das beste, was Sie machen k�nnen, ist, n�herungsweise Dezimalwerte f�r die Wurzeln zu finden",
"Vereinfachen Sie"
},
{ /* logarithmic_equations */
"Versuchen Sie, den Logarithmus in den Exponent zu bekommen, indem Sie das Gesetz - wenn $u=v$, dann $a^u = a^v$ - anwenden.",
"Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $ln u = v$, dann $u = e^v$ - benutzen.",
"Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $log u = v$, dann $u = 10^v$ - benutzen.",
"Lassen Sie den Logarithmus auf der linken Seite verschwinden, indem Sie - wenn $log(b,u) = v$, dann $u = b^v$ - benutzen.",
"Da beide Seiten Potenzen sind und die Basen die gleichen sind, m�ssen auch die Exponenten gleich sein.",
"Nehmen Sie log von beiden Seiten.",
"Nehmen Sie ln von beiden Seiten.",
"Eine Ihrer Gleichungen ist unm�glich-- denken Sie daran: Logarithmen von negativen Zahlen sind nicht definiert."
},
{ /* cramers_rule */
"Benutzen Sie die Cramersche Regel",
"Bestimmen Sie die Determinante. MathExperte wird das f�r Sie in einem einfachen Schritt tun."
},
{ /* several_linear_equations*/
"Zuerst bringen Sie die Variablen auf die linke und die Konstanten auf die rechte Seite.",
"Fassen Sie gleiche Ausdr�cke zusammen, so dass Sie nur einen Ausdruck in jeder Variablen haben.",
"Listen Sie die Variablen auf, damit Sie die Koeffizienten in verschiedenen Gleichungen leicht vergleichen k�nnen.",
"Addieren Sie zwei Gleichungen.",
"Subtrahieren Sie zwei Gleichungen.",
"Multiplizieren Sie eine Gleichung mit einer Konstanten.",
"Teilen Sie eine Gleichung durch eine Konstante.",
"Addieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.",
"Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung von einer anderen Gleichung.",
"Vertauschen Sie zwei Gleichungen.",
"Bringen Sie die gel�sten Gleichungen in Reihenfolge.",
"Identit�t weglassen.",
"Betrachten Sie eine Variable als eine Konstante, um nach den anderen Variablen aufzul�sen.",
"K�nnen diese Gleichungen wirklich gel�st werden? Scheinbar sind Sie da auf einen Widerspruch gesto�en."
},
{ dummystring, /* selection_mode_only, these operators */
dummystring, /* are not used in automode so need no hints */
dummystring,
dummystring
},
{ /* linear_equations_by_selection */
"Addieren Sie zwei Gleichungen",
"Subtrahieren Sie zwei Gleichungen",
"Multiplizieren Sie eine Gleichung mit einer Konstanten.",
"Teilen Sie eine Gleichung durch eine Konstante.",
"Addieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.",
"Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Gleichung von einer anderen Gleichung.",
"Vertauschen Sie zwei Gleichungen.",
"L�sen Sie eine der ungel�sten Gleichungen nach einer Variablen auf. ",
"Addieren Sie zwei Zeilen.",
"Ziehen Sie eine Zeile von einer anderen ab.",
"Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Konstanten.",
"Teilen Sie eine Zeile durch eine Konstante.",
"Addieren Sie ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile.",
"Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen Zeile.",
"Vertauschen Sie zwei Zeilen.",
"Schreiben Sie eine Matrix $A$ als das Produkt $IA$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Dann, wenn Sie Zeilenoperationen anwenden, wird sich die Inverse von $A$ da entwickeln, wo $I$ ist."
},
{ /* linear_equations_by_substitution */
"Fassen Sie gleiche Ausdr�cke zusammen, so dass sie nur einen Ausdruck in jeder Variablen haben.",
"L�sen Sie eine der ungel�sten Gleichungen nach einer Variablen auf. ",
"Vereinfachen Sie eine oder mehr Ihrer Gleichungen.",
"Lassen Sie einen Ausdruck verschwinden, der auf beiden Seiten einer Ihrer Gleichungen vorkommt.",
"Addieren Sie etwas zu beiden Seiten einer der Gleichungen.",
"Ziehen Sie bei einer der Gleichungen etwas von beiden Seiten ab.",
"Teilen Sie eine der Gleichungen durch eine Konstante, um eine Variable zu isolieren.",
"Nachdem Sie nach einer Variablen aufgel�st haben, benutzen Sie diese Gleichung, um diese Variable in anderen Gleichungen zu ersetzen.",
"Ihre Gleichungen sind widerspr�chlich."
},
{ /* matrix_methods */
"Zum Anfang schreiben Sie Ihre Gleichungen in Matrixform.",
"Multiplizieren Sie die rechte Seite mit der Einheitsmatrix $I$.",
"Vertauschen Sie zwei Zeilen.",
"Addieren Sie zwei Zeilen.",
"Ziehen Sie eine Zeile von einer anderen ab.",
"Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Konstanten.",
"Teilen Sie eine Zeile durch eine Konstante.",
"Addieren Sie ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile.",
"Subtrahieren Sie ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen Zeile.",
"Multiplizieren Sie Matrizen.",
"Eine Spalte, die nur aus Nullen besteht, kann weggelassen werden.",
"Eine Zeile, die nur aus Nullen besteht, kann weggelassen werden.",
"Eine doppelte Zeile kann weggelassen werden.",
"Ihre Gleichungen sind widerspr�chlich.",
"Eine Matrixgleichung kann in ein System von normalen Gleichungen umgewandelt werden."
},
{ /* advanced_matrix_methods */
"Multiplizieren Sie Matrizen.",
"L�sen Sie, indem Sie ein Symbol f�r die Inverse einer Matrix benutzen: $AX = B => X = A^(-1)B$",
"Es gibt eine Formel f�r die Inverse einer 2 x 2 - Matrix.",
"Bitten Sie MathExperte, die genaue Inverse der Matrix zu berechnen. W�hlen Sie die Matrix, deren Inverse Sie berechnen wollen, aus.",
"Sie k�nnten MathExperte mal bitten, die dezimale Inverse der Matrix zu berechnen. W�hlen Sie die Matrix, deren Inverse Sie berechnen wollen, aus.",
},
{ /* absolute_value */
"F�r nichtnegative $u$, k�nnen Sie die Betragszeichen loswerden, indem Sie $|u| = u$ benutzen.",
"Sie k�nnen immer $u\\ge 0$ annehmen und $|u| = u$ setzen.",
"F�r negative $u$, k�nnen Sie die Betragszeichen loswerden, indem Sie $|u| = -u$ benutzen.",
"Sie k�nnen eine nicht negative Gr��e aus den Betragszeichen bringen: $|cu| = c|u|$.",
"Sie k�nnen einen positiven Nenner aus dem Betragszeichen bringen, indem Sie $|u/c| = |u|/c$ benutzen.",
"Sie k�nnen ein Produkt von Betr�gen vereinfachen: $|u||v| = |uv|$.",
"Wenn's hilft, k�nnen Sie einen Betrag aufteilen: $|uv| = |u||v|$.",
"Bringen Sie Betr�ge in den Z�hler und Nenner : $|u/v| = |u| / |v|$.",
"Bringen Sie Betr�ge aus Ihrem Bruch heraus, indem Sie $|u| / |v| = |u/v|$ benutzen",
"Gerade Potenzen eines Betrages k�nnen vereinfacht werden: $|u|^2^n=u^2^n$ gilt, wenn $u$ eine reelle Zahl ist.",
"Betr�ge einer Potenz gehorchen dem Gesetz $|u^n|=|u|^n$, wenn $n$ eine reelle Zahl ist.",
"Betr�ge von Quadratwurzeln gehorchen dem Gesetz $|\\sqrt u| = \\sqrt |u|$.",
"Betr�ge von Wurzeln gehorchen dem Gesetz $|^n\\sqrt u| = ^n\\sqrt |u|$.",
"Sie k�nnen in den Betragszeichen k�rzen, indem Sie das Gesetz $|ab|/|ac|=|b|/|c|$ benutzen",
"Sie k�nnen in den Betragszeichen k�rzen, indem Sie das Gesetz $|ab|/|a|=|b|$ benutzen",
"Vielleicht gibt es einen gemeinsamen Faktor in den Betr�gen in Z�hler und Nenner. Wenn ja, w�re es hilfreich, das ausdr�cklich hervorzuheben.",
},
{ /* absolute_value_ineq1 */
"Wenn $c >= 0$ ist, k�nnen Sie eine Gleichung $|u|=c$ immer durch die beiden Gleichungen $u=c$ und $u = -c$ darstellen.", // was: "Sie k�nnen eine $|u|=c$ immer in zwei Gleichungen $u=c$, $u = -c$ aufteilen.",
"Die Gleichung $|u|/u=c$ hat nur dann reelle L�sungen $u$, wenn $c$ 1 oder $-1$ ist. Dann sind die L�sungen $u = 1$, $u = -1$.",
"Ist $v>= 0$, dann gilt $|u| < v$ genau dann, wenn $u$ (echt) zwischen $-v$ und $v$ liegt", //"$|u| < v$ genau dann, wenn $u$ (echt) zwischen $-v$ und $v$ liegt",
"Ist $v >= 0$, dann gilt $|u| \\le v$ genau dann, wenn $u$ zwischen $-v$ und $v$ liegt", //"$|u| \\le v$ genau dann, wenn $u$ zwischen $-v$ und $v$ liegt",
"$u < |v|$ genau dann, wenn $v < -u$ oder $u < v$",
"$u \\le |v|$ genau dann, wenn $v \\le -u$ oder $u \\le v$",
"Eine Gleichung $|u| = u$ kann in eine Ungleichung $0 \\le u$ umgewandelt werden, wobei das Betragszeichen wegf�llt.",
"Eine Gleichung $|u| = -u$ kann in eine Ungleichung $0 \\le u$ umgewandelt werden, wobei das Betragszeichen wegf�llt.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $0 \\le |u|$ ist immer wahr.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| < 0$ ist immer unwahr.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $-c \\le |u|$ ist immer wahr vorausgesetzt $c$ ist nicht negativ.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $-c < |u|$ ist immer wahr vorausgesetzt $c$ ist positiv.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| < -c$ ist unwahr vorausgesetzt $c$ ist nicht negativ",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein: $|u| \\le -c$ ist unwahr vorausgesetzt $c$ ist positiv",
"Wenn $c \\ge 0$, ist die Ungleichung $|u| \\le -c$ nur m�glich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| \\le -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schlie�lich $u=0$ widerspricht, gibt es keine L�sung. Andernfalls finden Sie die L�sung durch das L�sen von $u=0$.",
"Wenn $c \\ge 0$, ist die Ungleichung $|u| = -c$ nur m�glich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| = -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schlie�lich $u=0$ widerspricht, gibt es keine L�sung. Andernfalls finden Sie die L�sung durch das L�sen von $u=0$."
},
{ /* absolute_value_ineq2 */
"$v>|u|$ genau dann, wenn $u$ (echt) zwischen $-v$ und $v$ liegt",
"$v\\ge |u|$ genau dann, wenn $u$ zwischen $-v$ und $v$ liegt",
"$|v|>u$ genau dann, wenn $-u>v$ oder $v>u$",
"$|v|\\ge u$ genau dann, wenn $-u\\ge v$ oder $v\\ge u$",
"Betr�ge sind immer nichtnegativ.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein.",
"Wenn $c \\ge 0$, ist die Ungleichung $-c \\ge |u|$ nur m�glich, wenn $u$ und $c$ beide null sind. In MathExperte behandeln Sie diese Situation, indem Sie - $|u| \\le -c$ genau dann, wenn $u=0$ vorausgesetzt $c=0$ - anwenden. $c=0$ wird vorausgesetzt werden. Wenn es schlie�lich $u=0$ widerspricht, gibt es keine L�sung. Andernfalls finden Sie die L�sung durch das L�sen von $u=0$.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein.",
"Ein Betrag kann nicht negativ sein.",
"For $v\\ge 0$, $|u| \\le v$ iff $u$ is between $-v$ and $v$",
"$u < |v|$ iff $v < -u$ or $u < v$",
"You can write an even power as a power of an absolute value",
"Absolute values of a power obey the law $|u|^n = |u^n|$ if $n$ is real."
},
{ /* less_than */
"$u < v$ bedeutet das gleiche wie $v > u$",
"Addieren Sie einen passenden Ausdruck zu beiden Seiten Ihrer Gleichung.",
"Ziehen Sie einen passenden Ausdruck von beiden Seiten Ihrer Gleichung ab.",
"�ndern Sie die Vorzeichen auf beiden Seiten, aber denken Sie daran: das �ndert die Richtung der Ungleichung: -u < -v => v < u",
"Sie k�nnen die Vorzeichen auf beiden Seiten �ndern, aber Sie m�ssen auch $<$ to $>$ �ndern.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Gr��e $c$ multiplizieren. Aber das Vorzeichen von $c$ muss bekannt sein. Und wenn Sie nur $0 \\le c$ wissen, werden Sie $<$ f�r $\\le $ eintauschen.",
"Wenn Sie beide Seiten mit etwas multiplizieren wollen, aber Sie wissen nicht, ob es positiv oder negativ ist, k�nnen Sie statt dessen immer mit seinem Quadrat multiplizieren, weil das ja immer nichtnegativ ist.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Gr��e $c$ multiplizieren. Aber das Vorzeichen von $c$ muss bekannt sein.",
"Wenn beide Seiten Zahlen sind, k�nnen Sie die Ungleichung nur numerisch l�sen. ",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ.",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz kann nie negativ sein.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat, was ja erlaubt ist, da beide Seiten nicht negativ sind.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat. Da die kleinere Seite nicht klarerweise nichtnegativ ist, werden Sie eine zus�tzliche Gleichung bekommen, um die M�glichkeit zu ber�cksichtigen, dass sie negativ sein kann.",
"Sie haben eine Ungleichung $u < v$ und die dazugeh�rige Gleichung $u = v$. Kombinieren Sie sie.",
"Zwei Ihrer L�sungen definieren sich �berschneidende Intervalle. Kombinieren Sie diese Intervalle.",
"Sie haben eine oder mehr L�sungen, die die urspr�ngliche Ungleichung nicht erf�llen. Solche L�sungen k�nnen auftauchen, wenn man eine Ungleichung zum Quadrat nimmt, oder einen Ausdruck k�rzt. Benutzen sie die Voraussetzungen, um solche L�sungen nicht anzunehmen oder zu verbessern.",
},
{ /* greater_than */
"$u > v$ bedeutet das gleiche wie $v < u$",
"Sie k�nnen die Vorzeichen auf beiden Seiten �ndern, aber Sie m�ssen auch $>$ in $<$ �ndern.",
"Sie k�nnen die Vorzeichen beider Seiten �ndern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u > -v$ in $v > u$ �ndern.",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz kann nie negativ sein.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat. Da die kleinere Seite nicht klarerweise nichtnegativ ist, werden Sie eine zus�tzliche Gleichung bekommen, um die M�glichkeit zu ber�cksichtigen, dass sie negativ sein kann.",
"Sie haben eine Ungleichung $u > v$ und die dazugeh�rige Gleichung $u = v$. Kombinieren Sie sie."
},
{ /* less_than_or_equals */
"$x \\le y$ bedeutet das gleiche wie $y \\ge x$",
"Addieren Sie einen passenden Ausdruck zu beiden Seiten Ihrer Gleichung.",
"Ziehen Sie einen passenden Ausdruck von beiden Seiten Ihrer Gleichung ab.",
"�ndern sie die Vorzeichen beider Seiten, aber denken Sie daran: Das �ndert die Richtung der Ungleichung.",
"Sie k�nnen die Vorzeichen beider Seiten �ndern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u \\le -v$ in $v \\ge u$ �ndern.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung mit derselben Gr��e multiplizieren. Aber das Vorzeichen muss bekannt sein, weil $\\le $ zu $\\ge $ werden muss wenn Sie mit einer negativen Menge multiplizieren.",
"Wenn Sie beide Seiten mit etwas multiplizieren wollen, aber Sie wissen nicht, ob es positiv oder negativ ist, k�nnen Sie statt dessen immer mit seinem Quadrat multiplizieren, weil das ja immer nichtnegativ ist.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung durch dieselbe Gr��e teilen. Aber das Vorzeichen muss bekannt sein, weil $<$ zu $>$ werden muss, wenn Sie durch eine negative Gr��e teilen.",
"Wenn beide Seiten Zahlen sind, k�nnen Sie die Ungleichung nur numerisch l�sen.",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz kann nie negativ sein.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat, was ja erlaubt ist, da beide Seiten nicht negativ sind.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat. Da die kleinere Seite nicht klarerweise nichtnegativ ist, werden Sie eine zus�tzliche Gleichung bekommen, um die M�glichkeit zu ber�cksichtigen, dass sie negativ sein kann.",
"Zwei Ihrer L�sungen definieren sich �berschneidende Intervalle. Kombinieren Sie diese Intervalle.",
"Sie haben eine oder mehr L�sungen, die die urspr�ngliche Ungleichung nicht erf�llen. Solche L�sungen k�nnen auftauchen, wenn man eine Ungleichung zum Quadrat nimmt, oder einen Ausdruck k�rzt. Benutzen sie die Voraussetzungen, um solche L�sungen nicht anzunehmen oder zu verbessern.",
},
{ /* greater_than_or_equals */
"$x \\ge y$ bedeutet das gleiche wie $y \\le x$",
"Sie k�nnen die Vorzeichen auf beiden Seiten �ndern, aber Sie m�ssen auch $\\ge $ in $\\le $ �ndern.",
"Sie k�nnen die Vorzeichen beider Seiten �ndern und das gleiche Ungleichheitszeichen behalten, indem Sie $-u \\ge -v$ in $v \\ge u$ �ndern.",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz ist immer nichtnegativ",
"Ein Ausdruck zum Quadrat oder zu einer geraden Potenz kann nie negativ sein.",
"Nehmen Sie beide Seiten zum Quadrat. Da die kleinere Seite nicht klarerweise nichtnegativ ist, werden Sie eine zus�tzliche Gleichung bekommen, um die M�glichkeit zu ber�cksichtigen, dass sie negativ sein kann."
},
{ /* square_ineq1 */
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Obacht: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. Vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten ein Intervall zwischen den beiden Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Obacht: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ; demnach kann die erste Ungleichung weggelassen werden. W�hlen Sie die ganze Ungleichung aus, um dies zu tun.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ; demnach kann die erste Ungleichung weggelassen werden. W�hlen Sie die ganze Ungleichung aus, um dies zu tun.",
"Lassen Sie eine Quadratwurzel oder einen Betrag verschwinden, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen.",
"Lassen Sie eine Quadratwurzel oder einen Betrag verschwinden, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen.",
"Lassen Sie eine Quadratwurzel oder einen Betrag verschwinden, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Quadratwurzeln sind immer nichtnegativ, aber wenn Sie eine Quadratwurzel zum Quadrat nehmen, denken Sie daran: Das, was unter dem Wurzelzeichen steht, darf nicht negativ sein."
},
{ /* square_ineq2 */
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2 < a => |u| < \\sqrt a$. Vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten dann ein Intervall zwischen zwei Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \\le u < v^2 => \\sqrt u < |v|$",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ; demnach kann die erste Ungleichung weggelassen werden. W�hlen Sie die ganze Ungleichung aus, um dies zu tun.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ; demnach kann die erste Ungleichung weggelassen werden. W�hlen Sie die ganze Ungleichung aus, um dies zu tun.",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Quadratwurzeln sind immer nichtnegativ, aber wenn Sie eine Quadratwurzel zum Quadrat nehmen, denken Sie daran: Das, was unter dem Wurzelzeichen steht, darf nicht negativ sein."
},
{ /* recip_ineq1 */
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, aber passen Sie auf, wenn das Intervall null beinhaltet!",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, aber passen Sie auf, wenn das Intervall null beinhaltet!"
},
{ /* recip_ineq2 */
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, um die Unbekannte aus dem Nenner zu bekommen.",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, aber passen Sie auf, wenn das Intervall null beinhaltet!",
"Nehmen Sie den reziproken Wert, aber passen Sie auf, wenn das Intervall null beinhaltet!"
},
{ /* root_ineq1 */
"Sie k�nnen bei jeder Gleichung ungerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2^n < a => |u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Sie werden einen Term bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $u^2^n < a$ genau dann, wenn $-^2^n\\sqrt a < u < ^2^n\\sqrt a$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \\le a < u^2^n => ^2^n\\sqrt a < |u|$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zus�tzlichen Teil bekommen: $a < u^2^n$ genau dann, wenn $v < -^2^n\\sqrt a$ oder $^2^n\\sqrt a < u$.",
"Sie k�nnen eine gerade Wurzel aller drei Ausdr�cke ziehen, aber wegen der negativen Wurzeln werden Sie ein zus�tzliches Intervall bekommen.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Vereinfachen Sie diese, indem Sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz nehmen. Aber bedenken Sie, dass gerade Wurzeln von negativen Zahlen nicht definiert sind. Also m�ssen Sie diese Voraussetzung beibehalten. Z.B. wird $^4\\sqrt x < 16$ zu $0 \\le x < 2$.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie k�nnen immer beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven ungeraden Potenz nehmen.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven Potenz nehmen, wenn beide Seiten nicht negativ sind.",
"Wurzeln mit einem geraden Index sind immer nichtnegativ; aber wenn Sie solch eine Wurzel potenzieren, vergessen Sie nicht, dass das, was unter dem Wurzelzeichen steht, nicht negativ sein darf."
},
{ /* root_ineq2 */
"Sie k�nnen von beiden Seiten jeder Gleichung ungerade Wurzeln ziehen.",
"Sie k�nnen die gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $u^2^n \\le a$ genau dann, wenn $|u| < ^2^n\\sqrt a$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen Term erhalten, der der negativen Wurzel entspricht : $u^2^n \\le a$ genau dann, wenn $-^2^n\\sqrt a \\le u \\le ^2^n\\sqrt a$",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \\le a \\le u^2^n$ genau dann, wenn $^2^n\\sqrt a \\le |u|$",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden wegen der negativen Wurzel einen zus�tzlichen Teil bekommen: $a \\le u^2^n$ genau dann, wenn $v \\le -^2^n\\sqrt a$ oder $^2^n\\sqrt a \\le u$.",
"Sie k�nnen eine gerade Wurzel aller drei Ausdr�cke ziehen, aber wegen der negativen Wurzeln werden Sie ein zus�tzliches Intervall bekommen.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Vereinfachen Sie diese, indem Sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz nehmen. Aber bedenken Sie, dass gerade Wurzeln von negativen Zahlen nicht definiert sind. Also m�ssen Sie diesen Zustand genau beibehalten. Z.B. wird $^4\\sqrt x \\le 16$ zu $0 \\le x \\le 2$.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie k�nnen immer beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven ungeraden Potenz nehmen.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven Potenz nehmen, wenn beide Seiten nicht negativ sind.",
"Wurzeln mit einem geraden Index sind immer nichtnegativ; aber wenn Sie solch eine Wurzel potenzieren, vergessen Sie nicht, dass das, was unter dem Wurzelzeichen steht, nicht negativ sein darf."
},
{ /* zero_ineq1 */
"Sie sollten positive Faktoren weglassen.",
"Der Z�hler ist positiv; also ist der Bruch positiv genau dann, wenn der Nenner positiv ist.",
"In $0 < u/\\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\\sqrt v$, nicht nur mit $\\sqrt v$, oder Sie werden Informationen �ber u und v verlieren. Achtung: $v\\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen aufl�sen.",
"$u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie f�r $uv$ positiv, und $0 < uv$ k�nnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 < u/v$.",
"In $u/\\sqrt v < 0$ multiplizieren Sie mit $v\\sqrt v$, nicht nur mit $\\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen aufl�sen.",
"$u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv < 0$ k�nnte einfacher zu berechnen sein als $u/v < 0$.",
"Wenn Sie eine lineare Ungleichung l�sen, k�nnte es helfen den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \\pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u < v$ bedeutet das gleiche wie $v > u$",
"Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) < 0$ haben, ist die L�sung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a < x < b$, wenn $a < b$.",
"Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 < (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die L�sung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x < a$ oder $b < x$."
},
{ /* zero_ineq2 */
"Sie sollten positive Faktoren weglassen.",
"Der Z�hler ist positiv; also ist der Bruch nicht negativ genau dann, wenn der Nenner nicht negativ ist.",
"In $0 \\le u/\\sqrt v$ multiplizieren Sie mit $v\\sqrt v$, nicht nur mit $\\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen aufl�sen.",
"$u/v$ ist positiv genau dann, wenn $u$ und $v$ das gleiche Vorzeichen haben. Das ist die gleiche Bedingung wie f�r $uv$ positiv, und $0 \\le uv$ k�nnte einfacher zu bearbeiten sein als $0 \\le u/v$.",
"In $u/\\sqrt v \\le 0$ multiplizieren Sie mit $v\\sqrt v$, nicht nur mit $\\sqrt v$, oder Sie werden Bereichsinformationen verlieren. Achtung: $v\\sqrt v$ ist positiv. Die Quadratwurzeln werden sich in Wohlgefallen aufl�sen.",
"$u/v$ ist negativ genau dann, wenn $u$ und $v$ nicht die gleichen Vorzeichen haben. Dann muss auch $uv$ negativ sein; und $uv \\le 0$ k�nnte einfacher zu berechnen sein als $u/v \\le 0$.",
"Wenn Sie eine lineare Ungleichung l�sen, k�nnte es helfen, den Koeffizienten der Unbekannten auszuklammern: $ax \\pm b < 0$ genau dann, wenn $a(x\\pm b/a) < 0$.",
"$u \\le v => v \\ge u$",
"Wenn Sie eine Ungleichung der Form $(x-a)(x-b) \\le 0$ haben, ist die L�sung das Intervall zwischen den Nullstellen des quadratischen Ausdrucks. D.h. : $a \\le x \\le b$, wenn $a < b$.",
"Wenn Sie eine Ungleichung der Form $0 \\le (x-a)(x-b)$ haben, vielleicht mit $a < b$, ist die L�sung aus allen Werten, die nicht zwischen den beiden Wurzeln liegen, zusammengesetzt. D.h.: $x \\le a$ oder $b \\le x$."
},
{ /* square_ineq3 */
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a > u^2$ wird zu $\\sqrt a > |u|$. Vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten dann ein Intervall zwischen zwei Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $v^2 > a$ wird zu $|v| > \\sqrt a$ vorausgesetzt $a > 0$.",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \\le u < v$ impliziert, dass $\\sqrt u < \\sqrt v$",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Quadratwurzeln sind immer nichtnegativ, aber wenn Sie eine Quadratwurzel zum Quadrat nehmen, denken Sie daran: Das, was unter dem Wurzelzeichen steht, darf nicht negativ sein."
},
{ /* square_ineq4 */
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a \\ge u^2$ wird zu $\\sqrt a \\ge |u|$. Vergessen Sie nicht den Betrag.",
"Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten; Sie sollten dann ein Intervall zwischen zwei Quadratwurzeln der konstanten Seite bekommen.",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \\le u < v^2$ wird zu $\\sqrt u < |v|$",
"Wenn Sie die Quadratwurzel dieser Ungleichung ziehen, bekommen Sie zwei Ungleichungen, die den positiven und negativen Quadratwurzeln entsprechen.",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie haben eine Quadratwurzel. Werden Sie die los, indem Sie beide Seiten Ihrer Ungleichung zum Quadrat nehmen",
"Sie k�nnen die Quadratwurzel beider Seiten einer Ungleichung ziehen, wenn Sie wissen, dass alles nicht negativ ist: $0 \\le u < v => \\sqrt u < \\sqrt v$",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Ausdr�cke zum Quadrat sind immer nichtnegativ.",
"Quadratwurzeln sind immer nichtnegativ, aber wenn Sie eine Quadratwurzel zum Quadrat nehmen, denken Sie daran: Das, was unter dem Wurzelzeichen steht, darf nicht negativ sein."
},
{ /* recip_ineq3 */
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten"
},
{ /* recip_ineq4 */
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten",
"Nehmen Sie hier den reziproken Wert beider Seiten"
},
{ /* root_ineq3 */
"Sie k�nnen von beiden Seiten jeder Gleichung ungerade Wurzeln ziehen.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $a > u^2^n$ wird zu $ ^2^n\\sqrt a > |u|$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln aus beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen zus�tzlichen Ausdruck bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $ a > u^2^n$ genau dann, wenn $-^2^n\\sqrt a < u < ^2^n\\sqrt a$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber Vorsicht: $0 \\le a < u^2^n$ wird zu $^2^n\\sqrt a < |u|$.",
"Sie k�nnen gerade Wurzeln von beiden Seiten ziehen, aber sie werden einen zus�tzlichen Ausdruck bekommen, der der negativen Wurzel entspricht: $a < u^2^n$ genau dann, wenn $v < -^2^n\\sqrt a$ oder $^2^n\\sqrt a < u$.",
"Sie k�nnen eine gerade Wurzel aller drei Ausdr�cke ziehen, aber wegen der negativen Wurzeln werden Sie ein zus�tzliches Intervall bekommen.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie haben eine $n$-te Wurzel. Nehmen sie beide Seiten zur $n$-ten Potenz.",
"Sie k�nnen immer beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven ungeraden Potenz nehmen.",
"Sie k�nnen beide Seiten einer Ungleichung zu einer positiven Potenz nehmen, wenn beide Seiten nicht negativ sind.",
"Wurzeln mit einem geraden Index sind immer nichtnegativ; aber wenn Sie solch eine Wurzel potenzieren, vergessen Sie nicht, dass das, was unter dem Wurzelzeichen steht, nicht negativ sein darf."
}
};
//
// /*_________________________________________________*/
// const char * hints(int n, int m)
// /* Borland's compiler chokes if all the hints are put into
// a single array. Therefore they are divided into two
// smaller arrays. The dimension of the first array is
// calculated so that it will not be sensitive to a
// change of dimension of hintstrings1. If in the future
// it chokes again on hints1, you can just move the bottom
// array of strings from hints1 to hints2.
// */
//
// { int nitems; /* number of menus represented in hintstrings1 */
// nitems = sizeof(hintstrings1) / (MAXLENGTH * sizeof(char *));
// if(n < nitems)
// return hintstrings1[n][m];
// else
// return hints2(n-nitems,m);
// }
//
const char * German_hints(int n, int m)
/* Borland's compiler chokes if all the hints are put into
a single array. Therefore they are divided into three
smaller arrays. The dimensions of the arrays are
calculated so that they will not be sensitive to a
change of dimension of hintstrings1 (or 2). If in the future
it chokes again on hints1, you can just move the bottom
array of strings from hints1 to hints2.
*/
{ int nitems; /* number of menus represented in hintstrings1 */
int nitems2;
nitems = sizeof(hintstrings1) / (MAXLENGTH * sizeof(char *));
nitems2 = get_German_hintsize2();
if(n < nitems)
return hintstrings1[n][m];
else if(n < nitems + nitems2)
return German_hints2(n-nitems,m);
else
return German_hints3(n-nitems-nitems2,m);
}
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